中考专题复习 分类讨论思想
中考数学压轴题的常见类型与解题思路
2021年3期210中考数学压轴题的常见类型与解题思路熊良斌（湖北省武汉市旭光学校，湖北 武汉 430074）一、分类讨论思想数学知识之间存在着紧密联系，知识与知识间形成一个知识网络体系或知识框架，在复习教学中教师应把相应的知识章节看作一个整体，帮学生理顺知识体系，让学生能够理解相互之间依存关系所在。
以几何知识为例，初中数学教学中，几何知识涵盖了诸多图形知识，且在中考压轴题中较为常见，在探究数学几何问题中，依托分类讨论思想，不仅可以改善薄弱分析环节，也是帮助学生多视角、多维度感知几何图形知识的真知灼见，帮助学生提高压轴题解题效率。
例如：已知一个直角三角形的边长为4和6，求另一边。
从表面看，这道例题较为简单，但诸多学生考虑的不够全面，在这道题中没有交代这两边是斜边长还是直角边长。
如基于这两种情况进行探究解题：一是斜边长为6，直角边长为4：二是直角边长为4、6。
基于数学本质而论，分类讨论思想是一种较为高效的数学思想。
二、符号化和化归思想符号化是初中数学代数中的重要思想方法，初中数学教师在代数教学中应重视培养符号化思想，在教学过程中，应首先让学生认识到引进字母的意义。
以“有理数”教学为例，教师可以通过两个不同意义的数来说明“+”与“-”所表示的两个相反量的意义。
化归思想更多的是一种解决问题的策略，在数学问题的解决上有非常重要的意义和作用。
化归思想即把一个复杂的数学问题通过有效地化解和归纳转化为几个简单问题，从而更轻松简单地解答出答案。
初中数学教师在应用题教学中，可以让学生首先掌握纵向化归和横向化归两种思路，让学生明白纵向化归即将问题整体看作一些互相关联的分问题组，找到问题关键思路，逐个击破，而横向化归思路偏向是将问题划分成相互独立的小问题，独立解决，让问题简单化提高解题效率。
三、辩证思想众所周知，辩证思想广泛运用于不同的学科领域当中，是学术知识探讨和学术问题解决的一个基本思想方法。
中国古代“祸福相倚”的故事传说，就充分体现了对立统一转化的辩证思想。
中考数学复习分类讨论思想
分类讨论【知识要点】分类是基本逻辑方法之一.依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做分类的思想。
“物以类聚，人以群分”。
将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做分类讨论的方法。
分类的思想是自然科学乃至社会科学研究中经常用到的，又叫做逻辑划分。
不论从宏观上还是从微观上对研究对象进行分类，都是深化研究对象、发展科学必不可少的思想。
因此分类讨论既是一种逻辑方法，也是一种数学思想。
需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。
应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学、统一，不重复，不遗漏，并力求最简。
运用分类的思想，通过正确的分类，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。
1命题动态：分类讨论思想是中考的必考内容，历年来，备受全国各省市命题者的青睐，题型多样，主要考察学生数学思维和逻辑推理能力，经常与分类讨论相关的题目有绝对值的化简与计算，三角形边角关系，等边三角形，实际问题以及动点问题中，难度系数较大，对学生能力要求很强，纵观广州近几年考卷，几乎都在动点问题和实际问题中，平均分值16分左右。
2 突破方法：a.牢固掌握概念，掌握概念间的区别与联系。
b.动点问题中的分类讨论是难点，需要同学们认真、细致的分析运动过程，依据动点某时刻所处的位置，化动为静，再利用平面几何知识去处理。
c.实际问题主要是考察学生对数学的驾驭能力以及一些常识性问题，比如人数不能为小数，时间不能为负数等等。
【考点精析】考点1. 许多定义，定理，公式是分类的。
例1. 化简a 32a ---。
例2. 求11+--=x x y 的最大值与最小值【举一反三】1．化简：1x 2x --+考点2. 某些运算和推理过程需要分类例3. 已知0≠abc ，且,p bac a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定过A . 第一第二象限B 第二第三象限C 第三第四象限D 第一第四象限【举一反三】1． 已知实数b ,a 满足0ab ,1b a 22>=+，求22a 1b b 1a -+-的值。
中考专题复习分类讨论思想
2、半径为3cm、5cm的两圆相切，则它们的圆心
距为8cm或2cm来自；3 、矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和 3 cm两部分，则这个矩形的面积为 4cm2或12cm2 。
1 1 3 3 3 1
二．字母取值范围不同的分类
1、在同一坐标系中，正比例函数y=-3x与反比例
函数 y k 的图象的交点的个数是（ A ） x
16
E B
17
如图，当AE=AF=10时,S△AEF=
1 2 2×10×10=50(cm )
C
(2）若底角顶点与矩形顶点重合
A D E A D
E B F C B C
F
如图，当EA=EF=10时,BE=6, BF= 102 62 =8,
1 S△AEF= ×10×8=40(cm2) 2
如图，当EA=EF=10时,DE=7, DF= 102 72 =
D
Q
C
A
P
B
20 28 当t=4秒、 秒、 秒时，⊙P和⊙Q相外切 3 3
7、在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A出发向B以 2cm秒的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向A以1cm/秒的速度移动时， 如果P、Q同时出发，用t秒表示移动的时间（0＜t＜6）那么： （1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？ 解:(1) AP=2t,DQ=t,∴QA=6－ｔ，
y
1
P2(2 ,0)
A (1,1)
P1(2,0)
-1
o
-1
P4( 1, 0 )
1 P3(
2
,0) x
• 相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的 分类。 • 例8、如图所示，在中，是的中点，过点的 直线交于点，若以为顶点的三角形和以为 顶点的三角形相似，则的长为（ ） 4 3 • (A)3 (B)3或 3 (C)3或 4 (D) 4 3
中考数学专题复习：分类讨论-课件
A
P
B
在矩形ABCD中：①当QABA=BACP 时，△QAP∽△ABC，则612t
=
2t 6
，
解得t=
6 5
=1.2秒。所以当t=1.2秒时，△QAP∽△ABC。
②当QBCA=
AP AB
时，△PAQ∽△ABC，则
66t= 122t，
Hale Waihona Puke 解得t=3（秒）。所以当t=3秒时，△PAQ∽△ABC。
10。已知二次函数ｙ＝２ｘ２－２的图像与ｘ轴交于Ａ、Ｂ两点 （点Ａ在点Ｂ的左边），与ｙ轴交于点Ｃ,直线ｘ＝ｍ（ｍ＞ １）与ｘ轴交于点Ｄ。
0, 解得，t1
16 3
, t2
16(不符合题意，舍去）
综合上面的讨论可知：当t 7 秒或t 16 秒时，以B、P、Q三点为顶点的
2
3
三角形是等腰三角形。
（１）求Ａ、Ｂ、Ｃ三点的坐标；
（２）在直线ｘ＝ｍ（ｍ ＞ １）上有一点Ｐ（点Ｐ在第一象
限），使得以Ｐ、Ｄ、Ｂ为顶点的三角形与以Ｂ、Ｃ、Ｏ为顶
点的三角形相似，求点Ｐ的坐标。
ｙ
Ｏ ＡＢ
Ｃ
Ｘ Ｄ
解（1）A（－1，0），B（1，0），C（０，－2）
(2) 当 △ PDB
∽
△
BOC时，
PD
BO=
有Ｐ（ｍ，
m 2
－
1 2
）
BD CO
当 △ PDB ∽ △ COB时， 有P（m, 2m－2）；
Ｏ ＡＢ
Ｃ
P
Ｘ Ｄ
11. 如图所示，在直角梯形ABCD中，AD//BC， C 90°，BC 16，DC 12，
AD=21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位 长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单 位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当 点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为（秒）。 （1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式； （2）当线段PQ与线段AB相交于点O，且BO=2AO时，求
在初三复习教学中培养学生的分类讨论思想
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像这种先分类，再讨论，把问题“分而治之，各个击破”的解决问题的思想就是分类讨论思想。
它实际上也是一种化难为易、化繁为简的解题策略和方法。
分类讨论思想作为一种基本的数学思想，在学生基础知识的获得、基本技能的形成、数学素养的提高、思维能力的发展、创新意识和实践能力的培养等方面有着非常重要的作用。
在近年来的全国各地中考数学卷中，以分类讨论思想为考查目标的试题所占比重很高，但是这类试题的得分率较低。
对这类试题，考生稍不留神就会因“考虑不周”而漏解。
原因主要是教师在教学中（尤其是在初三总复习阶段）存在着如下问题：关注知识的生成多，对思想方法的渗透少；侧重就题论题多，思想方法提炼少；注重知识系统多，思想方法的归纳少。
那么，如何来解决这一问题呢？以下，笔者结合教学实践谈谈如何在初三复习教学中培养学生的分类讨论思想这一问题。
一、根据学生解题的认知局限，培养学生分类讨论的意识皮亚杰认为：学习是建构内部心理表征的过程，学习者并不是把知识从外部“搬”到记忆中，而是以已有的经验为基础，通过与外部环境的相互作用来建构新的图式。
进入初三复习阶段，学生已接触过分类讨论的问题，但在具体解题过程中仍存在着不会分类讨论、分类讨论意识不强等认知局限。
因此，教学要遵循循序渐进、适时渗透、逐步深化的原则，使学生逐步养成分类讨论的意识。
（一）在充分展示思维的过程中培养在遇到分类讨论问题时，教师要从学生的已有经验入手，引导学生用自己的语言说出解决问题的过程与策略，给足学生说话的机会，鼓励学生积极地说、大胆地说，充分暴露他们的思维过程。
2021年中考中的数学思想方法---分类讨论思想(方法指导及例题解析)
中考中的数学思想方法----分类讨论思想一、概述：当我们面对一大堆杂乱的人民币时;我们一般会先分10元;5元;2元;1元;5角;…… 等不同面值把人民币整理成一叠叠的;再分别数出各叠钱数;最后把各叠的钱数加起来得出这一堆人民币的总值。
这样做;比随意一张张地数的方法要快且准确的多;因为这种方法里渗透了分类讨论的思想。
在数学中;分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点;把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想;正确应用分类思想;是完整解题的基础。
而在中考中;分类讨论思想也贯穿其中;几乎在全国各地的重考试卷中都会有这类试题;命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度;很多压轴题也都涉及分类讨论;由此可见分类思想的重要性;下面精选了几道有代表性的试题予以说明。
二、例题导解：1、（上海市中考题）直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 .③解：①当6、8是直角三角形的两条直角边时;斜边长为10;此时这个三角形的外接圆半径等于21╳ 10 =5②当6是这个三角形的直角边;8是斜边时;此时这个三角形的外接圆半径等于21╳ 8=42、（北京市中考题）在△ABC 中;∠B ＝25°;AD 是BC 边上的高;并且AD BD DC 2·;则∠BCA 的度数为____________。
解：①如图1;当△ABC 是锐角三角形时; ∠BCA=90°-25°=65°①如图2;当△ABC 是钝角三角形时; ∠BCA=90°+25°=115°图1 图2这是一道比较基础却很典型的分类 讨论题;关键是要注意题设中的“两条边长”。
这是一道非常容易出错的题目;很多同学由于看惯了图1所示的图形而漏解;一些难度并不很大的题目频频十分很多时候就是由于缺乏分类思想。
3、（济南市中考题）如图1;已知Rt ABC △中;30CAB ∠=;5BC =．过点A 作AE AB ⊥;且15AE =;连接BE 交AC 于点P ． （1）求PA 的长：（2）以点A 为圆心;AP 为半径作⊙A;试判断BE 与⊙A 是否相切;并说明理由：（3）如图2;过点C 作CD AE ⊥;垂足为D ．以点A 为圆心;r 为半径作⊙A ：以点C 为圆心;R 为半径作⊙C ．若r 和R 的大小是可变化的;并且在变化过程中保持⊙A 和⊙C 相切．．;且使D 点在⊙A 的内部;B 点在⊙A 的外部;求r 和R 的变化范围．（1）在Rt ABC △中;305CAB BC ∠==，;210AC BC ∴==．AE BC ∥;APE CPB ∴△∽△． ::3:1PA PC AE BC ∴==． :3:4PA AC ∴=;3101542PA ⨯==． （2）BE 与⊙A 相切．在Rt ABE △中;AB =15AE =;tan AE ABE AB ∴∠===60ABE ∴∠=． 又30PAB ∠=;9090ABE PAB APB ∴∠+∠=∴∠=，;BE ∴与⊙A 相切．（3）因为5AD AB ==，所以r的变化范围为5r <<当⊙A 与⊙C 外切时;10R r +=;所以R的变化范围为105R -<<： 当⊙A 与⊙C 内切时;10R r -=;所以R的变化范围为1510R <<+CＤ 图1 图24、（上海市普陀区中考模拟题）直角坐标系中;已知点P （－2;－1）; 点T （t ;0）是x 轴上的一个动点.(1) 求点P 关于原点的对称点P '的坐标： (2) 当t 取何值时;△P 'TO 是等腰三角形？ 解：（1）点P 关于原点的对称点P '的坐标为（2;1）. （2）5='P O .（a ）动点T 在原点左侧.当51='=O P O T 时;△TO P '是等腰三角形∴点)0,5(1-T .（b ）动点T 在原点右侧.①当P T O T '=22时;△TO P '是等腰三角形.得：)0,45(2T .② 当O P O T '=3时;△TO P '是等腰三角形. 得：点)0,5(3T .③ 当O P P T '='4时;△TO P '是等腰三角形. 得：点)0,4(4T .综上所述;符合条件的t 的值为4,5,45,5-. 5、如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A (3,0),B (0,3)两点, ,点C 为线段AB 上的一动点,过这是济南市的中考数学压轴题;其中第（3）小题涉及圆的位置关系分类讨论;须分内切和外切两种情况加以讨论;只要解题时注意读题;“相切．．”两字是正确解题的关键字。
杭州中考 分类讨论思想
第一讲 分类讨论思想一、 复习要点：分类讨论一般步骤：（1）确定分类对象；（2）恰当合理分类：、；（3）逐类进行讨论；（4）综合概括叙述。
分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行。
有关分类讨论思想的数学问题在数学学习过程中之所以占有重要位置，原因是它具有明显的逻辑性特点，能很好地训练一个的思想的条理性和概括性。
分类思想对于培养和发展学生思维的提高学生分析问题、解决问题的能力颇具意义，在数学教学中占有相当重要的位置。
二、热身练习 A 组题1.已知AB 是圆的直径，AC 是弦，AB ＝2，AC ＝2，弦AD ＝1，则∠CAD ＝ ．2. 若(x 2－x －1)x ＋2＝1，则x ＝___________．3. 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为_______． 4．已知抛物线()3y k x 1x k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，则能使△ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5三、例题分析例1．有一块直角三角形的绿地，量得BC 、AC 两直角边长分别为6m m ，8．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以AC 为直角边的直角三角形，求扩充后所有可能的等腰三角形绿地的周长．(图2，图3备用)A C图1BA C图2BA C图3B例2．联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念。
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心。
举例：如图1，若P A=PB，则点P为△ABC的准外心。
应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=12AB，求∠APB的度数。
探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究P A的长。
例3.已知等边△ABC的边长为3个单位，若点P由A出发，以每秒1个单位的速度在三角形的边上沿A→B→C→A方向运动，第一次回到点A处停止运动，设AP=S，用t表示运动时间．（1）当点P由B到C运动的过程中，用t表示S；（2）当t取何值时，S等于7（求出所有的t值）；（3）根据（2）中t的取值，直接写出在哪些时段AP7<？四、思维提升 B 组题1． 如果关于x的一元二次方程2kx 10+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A ．k ＜12 B ．k ＜12且k≠0 C ．﹣12≤k ＜12 D ．﹣12≤k ＜12且k≠02．直线y=x+1与坐标轴交于A 、B 两点，点C 在坐标轴上，△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 最多有（ ）A 、4个B 、5个C 、7个D 、8个3. 在平面直角坐标系中，如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次函数42762-+-=x x y 的图象与x 轴所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是（ ） A ．5B ． 6C ． 7D ． 84．四条线段的长分别为9，5，x ，1（其中x 为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且AB 与CD 是其中的两条线段（如上图），则x 可取值的个数为（ ）.A ．2个B ．3个C ．4个D ． 6个6. 在直角坐标平面中，O 为坐标原点，二次函数2(1)4y x k x =-+-+的图象与y 轴交于点A ，与x 轴的负半轴交于点B ，且6OAB S ∆=．（1）求点A 与点B 的坐标； （2）求此二次函数的解析式；（3）如果点P 在x 轴上，且△ABP 是等腰三角形，求点P 的坐标．OCDABC组题1、Rt△ABC中，∠A=900，BC=4,有一个内角为600，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且∠ACP=300，则P B的长为．2．在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是．3．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1,0)，B(3,0)，C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．分类讨论思想A 组题1. 15°或105°；2. 2、－1、0、－2 ；3. 腰长6底边9或腰长8底边5 ；4.B例1．在Rt ABC △中，9086ACB AC BC ∠===°，，，由勾股定理有：10AB =. 扩充部分为Rt ACD △，扩充成等腰ABD △，应分以下三种情况：①如图1，当10AB AD ==时，可求6CD CB ==，得ABD △的周长为32m ．②如图2，当10AB BD ==时，可求4CD =，由勾股定理得：AD =ABD △的周长为(20m +．③如图3，当AB 为底时，设AD BD x ==，则6CD x =-，由勾股定理得：253x =，得ABD △的周长为80m 3．例2．解：应用：①若PB =PC ，连接PB ，则∠PCB =∠PBC ，∵CD 为等边三角形的高，∴AD =BD ，∠PCB =30°。
2020年九年级数学中考复习——常用数学思想方法之【分类讨论思想】
2．几何类：几何有各种图形的位置关系，未明确对应关系的全等或相似的可能对应情 况等.
3．综合类：代数与几何类分类情况的综合运用.
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这 种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．
分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想 方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决 问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．
e
故答案为：5；
m
1 2
m s；
11. 24或 6 或 8
解：已知三角形的周长为 3 e 4 e m 12， 设另一个与它相似的三角形的周长为 x，
2 与 3 是对应边时， 两三角形相似，
m 2，
12 3
解得 m h； 与 4 是对应边时，
两三角形相似，
12
m
2，
4
解得 m ；
2 与 5 是对应边时，
A. 34
B. 30
C. 30 或 34
D. 30 或 36
【解】： 当 m 4 时， t h， 、b 是关于 x 的一元二次方程 2
4 e m 12， m h 不符合；
同理， m 4 时，不符合题意； 当 m 时， 、b 是关于 x 的一元二次方程 2
12 e s e 2 m 0 的两根， 12 e s e 2 m 0 的两根，
m
1 2
e 3 与坐标轴分别交于点 A、B，与直线
m
交于点 C，
线段 OA 上的点 Q 以每秒 1 个长度单位的速度从点 O 出发向点 A 作匀速运动，运动时
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分类讨论
【知识要点】
分类是基本逻辑方法之一.依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做分类的思想。
“物以类聚，人以群分”。
将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做分类讨论的方法。
分类的思想是自然科学乃至社会科学研究中经常用到的，又叫做逻辑划分。
不论从宏观上还是从微观上对研究对象进行分类，都是深化研究对象、发展科学必不可少的思想。
因此分类讨论既是一种逻辑方法，也是一种数学思想。
需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。
应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学、统一，不重复，不遗漏，并力求最简。
运用分类的思想，通过正确的分类，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。
【历年考卷形势分析及中考预测】
1命题动态：
分类讨论思想是中考的必考内容，历年来，备受全国各省市命题者的青睐，题型多样，主要考察学生数学思维和逻辑推理能力，经常与分类讨论相关的题目有绝对值的化简与计算，三角形边角关系，等边三角形，实际问题以及动点问题中，难度较大，对学生能力要求很强，纵观近几年考卷，几乎都在动点问题和实际问题中，平均分值16分左右。
2 突破方法：
a .牢固掌握概念，掌握概念间的区别与联系。
b .动点问题中的分类讨论是难点，需要同学们认真、细致的分析运动过程，依据动点某时刻所处的位置，化动为静，再利用平面几何知识去处理。
c .实际问题主要是考察学生对数学的驾驭能力以及一些常识性问题，比如人数不能为小数，时间不能为负数等等。
【考点精析】
考点1. 许多定义，定理，公式是分类的。
例1. 化简a 32a ---。
例2. 求11+--=x x y 的最大值与最小值
【举一反三】
1．化简：1x 2x --+
考点2. 某些运算和推理过程需要分类
例3. 已知0≠abc ，且,p b
a c a c
b
c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定过 A . 第一第二象限 B 第二第三象限 C 第三第四象限 D 第一第四象限
【举一反三】
1． 已知实数b ,a 满足0ab ,1b a 22>=+，求22a 1b b 1a -+-的值。
2．求
a b c a b c ++的值。
考点3. 题设条件不确定要分类
例4.（2010 湖南株洲）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．
已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC ∆为等腰三．．．
角形．．
，则点C 的个数是 A ．6
B ．7
C ．8
D ．9 例5.（2010湖北襄樊）已知：一等腰三角形的两边长x 、y 满足方程组2-3,328,x y x y =⎧⎨+=⎩
则此等腰三角形的周长为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．5或4
例6（06黄冈）. 已知圆中两条平行弦长分别为10和24，圆的半径为13，求这两条平行弦间的距离。
例7、（2007广州，12分）某博物馆的门票每张10元，一次购买30张到99张门票按8折优惠，一次购买100张以上（含100张）按7折优惠。
甲班有56名学生，乙班有54名学生。
（1）若两班学生一起前往参观博物馆，请问购买门票最少共需花费多少元？
（2）当两班实际前往该博物馆参观的总人数多于30人且不足100人时，至少要多少人，才能使得按7折优惠购买100张门票比实际人数按8折优惠购买门票更便宜？
B A
第8题图
【举一反三】
1、（2004年上海市中考题）直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 .
2．（2010·沈阳市）若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A ．50°
B ．80°
C ．65°或50°
D ．50°或80°
3.( 2010•乌鲁木齐)某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为（ ） A ．9cm B ．12cm C ．15cm D ．12cm 或15cm
考点4.题中含有参数
例8. 解关于x 的方程0a ax 2x )1a (2=+--。
例9 已知直线b kx y +=不经过第三象限，则下列结论正确的是---------------（ ）
A ．0b ,0k >>
B 。
0b ,0k ><
C 。
0b ,0k <<
D 。
0b ,0k ≥<
【举一反三】
1：关于x 的方程
22(21)10k x k x +-+=有实数根，则k 的取值范围是（） A ．4k ≤ B .104k k ≤≠或 C .k <14 D . k ≥14
2：关于x 的方程（a -1）x 2+x + a 2-1=0的一个根是0，则a 的值为（）
A ．1
B . -1
C . 1或-1
D . 12
3.（2010安徽芜湖）关于x 的方程(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足（）
A ．a ≥1
B ．a ＞1且a ≠5
C ．a ≥1且a ≠5
D ．a ≠5
4．已知关于x 的方程,1
x m 1x 11x 1x 2-=--+-求m 为何值时，方程有两个不相等的实数根。
考点5.图形运动变化过程中可能产生诸多情况，需要分类。
例10.（2010广东广州，25，14分）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作
直线y＝－1
2
x＋b交折线OAB于点E．
（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.
C
D B
A
E
O x
y
例11.（2009广东广州，25，14分）如图13，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为
4
5。
（1）求该二次函数的关系式；
（2）过y 轴上的一点M （0，m ）作y 轴上午垂线，若该垂线与ΔABC 的外接圆有公共点，求m 的取值范围；
（3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使四边形ABCD 为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由。
【举一反三】
1.（2010年云南楚雄州）已知：如图，⊙A与y轴交于C、D两点，圆心A的坐标为（1，0），⊙A的半径为5，过点C作⊙A的切线交x于点B（－4，0）。
（1）求切线BC的解析式；
（2）若点P是第一象限内⊙A上一点，过点P作⊙A的切线与直线BC相交于点G，且∠CGP=120°，求点G的坐标；
（3）向左移动⊙A（圆心A始终保持在x上），与直线BC交于E、F，在移动过程中是否存在点A，使得△AEF是直角三角形？若存在，求出点A的坐标，若不存在，请说明理由。
2．（2009年深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.
（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？。