高等数学1
高等数学 (一)
高等数学= = = = = = = = = = = = 骨头= = = = = = = = = = = = 对象：函数方法：极限思想：以不变代替变消除误差取极限内容：微积分（1）一元函数微积分||空无穷级数|间他们的应用|解|析常微分方程|（2）多元函数微积分（一）一元函数微积分：（1）微分学：函数、极限、连续；导数、微分----中值定理（4个；证明题）----（导数与微分的应用）（2）积分学：不定积分；定积分；定积分的应用↓维数↓增加↓（二）多元函数微积分（1）微分学：函数、极限、连续；偏导、全微分；应用（极值）（2）积分学：****；重积分（二重积分；3重积分、线积分和面积分<数一>）；应用注意：一元函数微积分与多元函数微积分之间的联系和差别肉一、函数1.概念X↔I→→f→→y↔Rf(x)注意：（1）定义域（3点：0不能做除数、负数不能开平方、0和负数不能有对数）（2）函数的表达式与自变量的表示符号无关：y=f（x）与y=f（t）相同（函数关系不变）（3）由实际问题所建立的函数（极限的定义域；导函数的定义域；幂级数的和函数的表达式与定义区间）需要自己建立函数关系确定函数的定义域，根据实际问题<后面加>2.函数的特性（1）奇偶性（从定义来理解和证明应用）f(-x)=f(x)，偶图形关于y轴对称[（y，-x ）>>（y，x）；y1=y2时候x1+x2=0且x1+x2=0时候y1=y2]f（-x）=-f（x），奇图形关于原点对称 [（y，-x ）>>（-y，x）；y1+y2=0时x1+x2=0且x1+x2=0时y1+y2=0] 注意：①奇偶函数运算：两个偶函数的和、差、积为偶函数奇函数与偶函数的积为奇函数两个奇函数的积为偶函数任何一个函数都可以写成一个奇函数和偶函数的和f(x)=1/2[f(x)+f(-x)]+1/2[f(x)-f(-x)]奇偶性在求导积分中的应用（后讲）②周期性f(x+T)=f(x),f(x)以T为周期注意：周期性在求导、函数特性、积分中的应用（画图中的应用）周期性与奇偶性都只能通过定义证明③增减性若x1，x2↔I，x1<x2有f（x1）<f（x2）或者f（x1）>f（x2）则f（x）在I区间内严格单调增或者减注意：（1）在证明不等式的时候常遇到<=或>=，称为不减或者不增，考点也属于增减性（2）函数的增减性与讨论的区间有关（题型：确定函数的增减区间；例如y=x^2）增减区间的交换点，极值（导数值为零）（3）增减性由导数的符号判定（微分学的应用之一）（4）增减性是证明不等式的一个重要工具（后讲）④有界性假定y=f(x)，x↔I,存在M>0，对所有|f(x)|<=M成立则称f（x）有界图形-有界：有上下界注意：（1）有上界（单调减 , f（x）<=M有下界（单调增 , f（x）>=-M（2）有界性与讨论的区间有关（3）有界的讨论与极值有关（后讲）3.函数的分类（1）反函数y=f(x)→x=f^-1(y)条件：单调注意：y=f（x），x=f^-1(y) 代表同一条曲线（图形相同）y=f（x）与y=f ^-1（x）关于一三象限对称（2）基本初等函数①幂函数②指数函数（双曲函数）③对数函数④三角函数⑤反三角函数要求：对这五类基本函数的定义域、值域、特性要非常清楚（1-2，28Min-32Min）(3)复合函数y=f(u),u=w(x)y=f[w(x)]u的值域↔y的定义域注意：①并非所有函数都可以复合②考研：一拆多（4）初等函数经过有限次的四则运算或复合得基本初等函数（5）参数方程{X=x（t）Y=y（t）}得到y=y（x）（6）隐函数F（x，y）=0（易于理解函数，或者难用x表现y或者y表示x<求解函数时使用>）实际上是复合函数(7)分段函数①y=f(x)={f(x),x<=0-f(x),x>0} ②y=|f(x)|③ y=max[f(x),g(x)] x ↔(a,b)真正讨论时需要转化为①类讨论（1-2,41Min-43Min ） ④y=[f(x)]取整函数（1-2，44Min-45Min ）二、极限 1.定义：数列的极限（ε-N 语言）0X Xon lim ()()U Xo ()lim ()()123lim(....)1/2*(1)/^21/2^2^2^2^2lim ()lim ()11sin lim ()()x x f x A f x f x f x f xo n n n n n n n n f x g x x xf xg x →→→∞=∃∞++++=+=⇒若存在，则（）使其内，有界与无关函数的极限（ε-δ语言）lim 00,|f(X)-A|<X XoXn A εδδε→=⇔∀>∃>使0<|X-Xo|<时注意：ε是任给的，N 、δ是存在的但不唯一 δ=δ（a ），N= N （ε）lim 00,n>N |Xn-A|>=x Xn A N εε→∞≠⇔∃>∀>使时（1）极限的结构极限{变化过程，对自变量来讲（自变量的变化过程，δ、N ）； 变化趋势，对函数而言，ε}（1-3，13Min-19Min ） （2）单边极限（分段函数；函数极限） 左极限0(0)lim ()X Xof f x x -→-=右极限0(0)lim ()X Xof f x x+→+=000lim ()(0)(0)X X f x A f f A x x →=⇔-=+=lim ()()lim ()()lim ()()()()()X X X f x f f x f f x f f A f f A→-∞→+∞→∞=-∞=+∞=∞∞=⇔+∞=-∞=2.极限的性质（1）唯一性（2）局部保号性（极限大于零则函数大于零<局部内>；1-3，30Min-35Min ） 注意：0X Xo()()0(0),lim ()A>=0f x f x f x A x x →><=若在=及其附近有定义，且存在，则（3）局部有界性（有极限的函数必有界<局部内>）lim ()U Xo ()x x f x A f x →=∃若存在，则（）使其内，有界注意：上述性质对x →∞也成立，U （Xo ）→|X|充分大3.极限的判别准则（1）单调有界数列必有极限（1-4，8-10MIN ） 注意：单调增有上界 ⇒ 极限存在 单调减油下界 ⇒ 极限存在数列的极限与前有限项无关 X Xolim ()()f x f xo →与无关4.极限的四则运算和差积商的极限与极限的和差积商相等 注意：（1）参加运算的极限只有有限次，且每一项的极限都存在n 123lim(....)1/2*(1)/^21/2^2^2^2^2n n n n n n n n →∞++++=+= （2）极限的和差①lim ()f x 存在，lim ()g x 不存在⇒lim(()())f x g x ±不存在 ②lim ()f x 不存在，lim ()g x 不存在⇒lim(()())f x g x ±有可能存在 ③lim ()f x 存在，lim(()())f x g x ±也存在⇒lim ()g x 存在注意：上述三条在反常积分、无穷级数中的应用 （2）极限的乘积若lim ()f x 存在，lim ()g x 不存在(其中一个极限为0)或lim ()f x 不存在，lim ()g x 也不存在（ 101010101…与010*******…） 但lim ()()f x g x 都有可能存在5.无穷大，无穷小lim ()f x =0 ，()f x 无穷小 lim ()g x =∞，()g x 无穷大注意：① 无穷大于无穷小与过程有关② 同一过程下，无穷大与无穷互为倒数，0除外③ 无穷大属于极限不存在的情况下（也就是说极限的四则运算不适用于无穷大）④ 无穷大一定是无界的，无界不一定是无穷大（如y=11sin x x）(1-4,31-36Min ） 6.无穷小的比较不同的函数趋向于0的速度不一样 （1）假设lim α（x ）=0；lim β（x ）=0 若lim α（x ）/ β（x ）=∂∂≠0的常数，则α（x ）与β（x ）同介 ∂=1，则α（x ）与β（x ）等价表示为则α（x ）～β（x ） （2）反身性；传递性① α（x ）～α（x ）② α（x ）～β（x ）⇔β（x ）～α（x ）③ α（x ）～β（x ），β（x ）～λ（x ）⇔α（x ）～λ（x ） （3）若limf （x ）/g （x ）=a a=0，f （x ）比g （x ）高阶 表示为f （x ）=0（g （x ））（4）∂=∞，f （x ）比g （x ）低阶注意：①若lim f （x ）/ g （x ）=a ≠0 则称f （x ）是 g （x ）的K 阶无穷小 ②limf （x ）=A ⇔f （x ）=A+α 其中lim α（x ）=0③常利用无穷小的等价函数求极限7.两个重要的极限（1）0sin lim 1x x x →=（通过图形证明）002(sin )^21cos 12lim lim .1/2^24()^22x x x x x x →→-==2222111cos 112.lim cos 12000n lim(lim lim ()()lim ()lim ()()lim 0y lim lim (0)!lim n cos )(1cos 1)x x x x x x x x x x nn n n x xx f x f f x Xo Xo Xo f x f XnYn a n x x x x a y αβλ→----→→→→→→∞→∞→∞→∞∂℘∈∃∀====⇔====>+- （1）f(Xo)有定义（2）存在（3）求222111( (12)n n n +++++推广型-（第一种重要极限的求极限法：配分母）： lim （*）=0则lim[sin （*）/（*）]=1如002(sin )^21cos 12lim lim .1/2^24()^22x x x x x x →→-==（2-1,18-19Min ） 注意：x →0时，sinx ～x 1-cox ～1/2x^2 tanx ～x （2）10limlim 1(1)(1)xxx x x x→→∞==++推广型-（第二种重要极限的求极限法：拆底数-配指数）:lim （*）=0lim （1+*）^1/*=0 例：2222111cos 112.lim cos 120lim(lim cos )(1cos 1)x x x x x x x x x x x →----→→===+- (2-1，24-25Min)极限的计算方法：四则运算，等价无穷小代换，求极限的两个方法三、连续1.定义 等价定义定义1：设f （x ）在Xo 及其附近有定义△X →y 的增量△y=f （Xo+△X ）- f （Xo ）若00lim ,f x x x x y o ∆→∆=则称（）在=点连续定义2：0lim ()(),()x x x x f x f f x x →=若则称在=点连续（极限值等于函数值）注意：①0lim ()(),()x x x f x f f x Xox -→=若则称在=点左连续若f （Xo+0）=f （Xo ）0()x x f x 则称在=点右连续② 若f （x ）在（a ，b ）内点点都连续，则称f （x ）在（a ，b ）内连续③ 若f （x ）在（a ，b ）内连续，在x=a 点右连续，在x=b 左连续，则称f （x ）在[a ，b]上连续2.连续函数的运算（连续是由极限定义的，因此极限的运算法则可以用在连续上）（2-1,38Min ）注意：基本初等函数在定义域内连续 初等函数在定义区间内连续例：y=arcsin （x^2+1）在x=0点不连续但有定义，因为x=0点附件没有定义 3.间断点00lim ()()lim ()lim ()()x x x f x f f x f x f Xo Xo Xox x →→→=⇔=（1）f(Xo)有定义（2）存在（3）存在定义：若f （x ）在Xo 点，上述三条至少有一条不成立，则称x=Xo 为f （x ）的间断点 注意：间断点的分类 （1）若f （Xo-0），f （Xo+0）都存在则称Xo 为第一类间断点 特例：f （Xo-0）=f （Xo+0）则称Xo 为可去间断点 f （Xo-0）≠f （Xo+0）则称Xo 为跳跃间断点 例1：y=f （x ）={sinx/x,x ≠0;2,x=0} 则x=0为可去间断点（若x=0时y=1，则函数连续） 例2：y=f （x ）={x+1,x<0;x-1,x>0}（x=0处无定义，函数不连续）则x=0为跳跃间断点（2）若f （Xo-0），f （Xo+0）至少有一类不存在则称Xo 为第二类间断点 例1：y=1/x 在x=0处为第二类间断点（无穷间断点）例2：y=sin （1/x ）在x=0点为第二类间断点（震荡型，图形） 注意：无穷间断点与求渐近线；反常积分中的应用例：y =1个，x=-1）（2-2,9-11Min ）4.闭区间上连续函数的性质设y=f （x ）在[a,b]上连续，则（1）y=f （x ）在[a,b]上必有最大值与最小值，即∃X1，X2∈ [a,b],∀x ∈ [a,b]有 f （x ）<=f （X2）（区间上的最大值）f （x ）>=f （X1）（去见上的最小值） 最大值最小值是唯一一个数，但是取得最大值最小值的点可以不止一个；最大值与最小值可以是同一个值，此时函数为常数 （2）介值定理f （x ）必取得最大值和最小值之间的一切值 注意：①闭区间上的连续函数一定是有界的②f （x ）在[a ，b]上连续，f （a ）f （b ）<0，则至少∃℘∈（a ，b ）使得f （℘）=0 例1：设Xn ，Yn 满足lim 0x XnYn →∞=则成立的是A 若Xn 发散，则Yn 必发散 Xn （010203…） Yn(000000…)B 若Xn 无界，则Yn 必有界 Xn （010203…） Yn(102030…)C 若Xn 有界，则Yn 必为无穷小 Yn （010203…） Xn (000000…)D 若1/ Xn 无穷小，则Yn 必为无穷小乘积的极限等于极限的乘积（2-2,31-34Min ） 例2：证明：limlim (0)!nn n n a n a y→∞→∞=>存在（2-2，36-41Min ）证明极限存在：单调有界（有递推关系的首先想到），加别定理(放大一下缩小一下，但是放大缩小后的极限要相同)例3：222n 111lim n(...)12nnnn→∞+++++求（2-2,43-44Min ）例4： 求极限 （1）limx （2-2,47-48Min ）注意：四则运算要求参与运算的极限都存在，因此本题的原型不能使用积商的极限等于极限的积商方法：遇到根号通常进行有理化 （2）3113lim()11x x x →---（2-2, 48-50Min ） 方法：无穷大减无穷大通常进行通分，然后再进行补充（化简） （3）练习x →例5：等价无穷小(2-3，5-7Min)A 1-()ln(1()10B C D +→-当x （）常用的三个等价无穷小1,,ln(1)(1)xx x x x x eαα-++答案：B 例6：已知极限求表达式里的一个常数（2-3，9-12Min ）011lim[()]1a A B C D xx a x xe →--=已知则为（）0（）1（）2（）3答案：C 例7：Xlim 8ax 2a x-ax →∞=+已知求（）现象-分析-方法：1的无穷次大，拆底数配指数 答案：a=ln2 注意：10011111 (i)...a a a a nn n n mm x n nxxx xb x b x b x b x ---→∞-++++++++要看其最高次={00a b,n=m ；∞,n>m;0,n<m} 例8：（2-3,18-23Min ）x sin 0(,0)a+ba xb a b --=>证明方程至少有一正根，且不大于现象-分析-方法：作左方看做函数→函数有零值→介值定理→零值定理 初等函数→连续不大于→≦→分类讨论 例9：（2-3,26-30Min ）()()lim ()()()x f x f x f x →∞-∞+∞-∞+∞设在，连续，且存在，证明在，有界闭区间上连续必有界，有极限的函数必有界（局部有界）导数与微分一、导数1、定义两个实际问题：一曲线在一点的切线，方法----利用割线逼近一点的切线，二是物理上的瞬时速度，先求平均速度然后用时间间隔趋向于零近似的得到瞬时速度 但是他们都有误差，因此要取极限（哲学上讲：是质变），由割线上升到导数，由平均数上升到瞬时速。
高等数学第一章.
记作A
B,即A
B
x
xA或xB.
交集(Intersection): 设A和B是两个集合,由既属
于集合A又属于集合B的元素组成的集合,称为集合A
和集合B的交集, 空集:如果A和B没有公共元素，则称集合A和集合B
集合的表示方法：列举法和描述法。
1.列举法：就是把所有元素都列出来，用大括号括
起来。
s 例如：如果令 表示由2、3、4三个数组成的集合，
用列举法将其写成：s ={2,3,4}
2. 描述法：用语言描述出所有元素的共有特征。
若令 I 表示所有正整数集合,列举便很困难,则我们
可以简单地描述其元素,
写成：
称A是有限集,否则称为无限集(Infinite Set). 我们用N表示全体自然数的集合，即N{1,2,3,L }， 如果存在从A到自然数集合N的双射,则称A是可数无 限集(Countable Infinite Set). 1.2 实数 用Z表示全体整数的集合， 用Q表示全体有理数的集合。
有理数和无理数统称为实数, 用R表示. 把数轴叫做实直线。 上界(Upper Bound):令X是R的一个子集。若存在一 个实数u(不一定属于X), 满足对X中的任意x都有xu, 则称u是X的上界(Upper Bound). 这时称X是有上界的(Bounded Above).类似地，可以
定义下界(Lower Bound).
上确界(Supremum): 令X是R 的一个有上界的子集，
若s是X的一个上界，且对于任意的 y s 都存在一个 xX ,使得x y，则称s是X的上确界。 记为s=sup X; 类似地，可以定义X的下确界(Infimum)。 上确界是最小上界，下确界是最大下界 若X是R的一个有上界（下界）的子集，则X有上确界
高等数学 第一章
函数 y f ( x )
反函数 x ( y )
W
W
o
D
x
o
D
x
三、复合函数
1、复合函数
设 y u, u 1 x ,
2
y 1 x
2
定义 设函数 y f ( u) 的定义域为 D f , 而函数
u ( x ) 的值域为 Z , 若 Z D , 则称函数 f y f [( x )] 为 x 的复合函数.
一、 函数的有界性
f ( x) 2 x 1,
三、 函数的周期性 四、 函数凹凸性
x0
.
1．函数的有界性 y
M y=f(x)
y
M
o
有界 -M
x X
o
-M
x0
X
无界
x
设函数 f ( x ) 在区域 有界: X D, M 0, 则称
上有定义, x X 使得 f ( x ) M ;
第一章
函数
第一节 函数的定义
一、 基本概念 二、 函数概念
一、函数概念
1 函数定义 定义：设 x和 y是两个变量, D 是一个给定 的数集. 如果对于每个数 x D , 变量 y 按 照一定法则,总有确定的数值与之对应, 则称 y 是 x 的函数, 记作 y f ( x ) . 数集D叫 做这个函数的定义域. x叫做自变量, y 叫做因变量. f 叫做函数关系. 单值函数: 自变量在定义域内任取一个 数值时, 对应的函数值总是只有一个的 函数. 否则叫多值函数．
中心
a 的 去心邻域:
a
a
a
半径
x
o
0 U (a ) { x 0 x a },
高等数学 第一章
数列中的每一个数称为数列的项，第 n 项 xn 称 为数列的一般项或通项．
（一）数列极限的概念
定义 2 对于数列 {xn} ，当 n 无限增大时，如果数列的一般项 xn 无限地接近于某一确定的数
值
a，则称常数
a
是数列 {xn} 的极限，或称数列 {xn} 收敛，其收敛于
（二）指数函数
y ax (a 0 ，a 1) 为指数函数，它的定义域为 ( ， ) ，值域为 (0 ， ) ．当 a 1 时，y ax 单调增加；当 0 a 1 时， y ax 单调减少．指数函数的图形都经过点 (0 ，1) ，且均在 x 轴上方。
（三）对数函数
y loga x (a 0 ，a 1) 为对数函数，它是指数函数 y ax 的反函数，其定义域为 (0 ， ) ，值 域为 ( ， ) ．当 a 1 时， y loga x 单调增加；当 0 a 1 时， y loga x 单调减少．对数函数 的图形都经过点 (1，0) ，且均在 y 轴的右方.
其中，D 称为函数的定义域，x 称为自变量，y 称为因变量．
（三）函数的定义
当 x 取定义域 D 内的某一定值 x0 时，按照对应法则 f ，所得的对应值 y0 称为函数 y f (x) 在
x0 处的函数值，记作
y0
y x x0
f (x0 ) ，
当 x 取遍定义域 D 中的所有数值时，按照对应法则 f ，所得的所有对应值 y 构成的集合称为函 数的值域，记作 M {y | y f (x) ，x D}．
则称函数 f (x) 在区间 I 上是单调增加的，区间 I 称为单调增区间；如果对于区间 I 内的任意两 点 x1 ，x2 ，当 x1 x2 时，恒有 f (x1) f (x2 ) ，
高等数学(一)学习笔记
π ,n ∈ Z)},为奇函数， π 为周期, 2
周期内单
π ， 2
π ],则 y=arc sinx 为定义在区间 D 上的单值函数(即为反正弦函数。)单加 2 反余弦函数：y=Arccosx 定义域 D={ x 一 1 ≤ x ≤ 1},为多值函数，2 π 为周期。若限制值域为[0， + π ],则 y=arc cosx 为定义在区间 D 上的单值函数(即为反余弦函数。)单减 反正切函数：y=Arctgx 定义域 D={ x 一 ∞ ≤ x ≤ + ∞ },为多值函数， π 为周期。若限制值域为[-
x → x0
定理一：如果 lim
x → x0
f ( x) = A ，而且 A>0(或 A<0),那幺就存在着点 x0 的某一去心邻域，当 x 在该邻 f ( x ) = A , 那幺 A ≥ 0(或 A ≤ 0).
域时，就有 f(x)>0(或 f(x)<0). 定理二：如果在点 x0 的某一去心邻域内 f(x) ≥ 0(或 f(x ≤ 0), 而且 lim 可证明：f( x0 -0)=f( x0 +0)为 lim
x →∞
7、无穷小和无穷大 (1)、无穷小，极限为 0，则称函数为无穷小(当 x →
x0 或 x → ∞ ). x0 或 x → ∞ )，具有极限
A、定理一(无穷小与函数极限的关系)：在自变量的同一变化过程中(x →
的函数等于它的极限与一个无穷小之和;反之，如果一函数可表示为一常数和无穷小之和，则这常数 即为这函数的极限。 B、运算法则：I，有限个无穷小的和也是无穷小。II，有界函数与无穷小的积是无穷小(常数与无穷 小的积是无穷小;有限个无穷小的积也是无穷小) C、无穷小的比较：
高等数学第一章
连续
桥梁
第一节 函数
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素. 通常用大写字母表示集合 用小写字母表示集合的元素.
没有任何元素的集合称为空集,记作
表示 M 中排除 0 与负数的集 . M
注: M 为数集
* 表示 M 中排除 0 的集 ; M
一、基本概念——集合的表示法
则称函数f ( x )在X上有界.否则称无界.
y M y=f(x) o -M x 有界 X y
M
o
-M
x0
X
无界
x
注：有界性和定义区间有关．
二、函数——性质 2．函数的单调性:
设函数 f ( x )的定义域为 D, 区间I D, x1 , x2 I , 当 x1 x2
若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 f ( x) 为 I 上的 单调增函数 ; 若 f ( x1 ) f ( x2 ) , 称 f ( x) 为 I 上的 单调减函数 .
二、函数——举例
例 A，B两地间的汽车运输，旅客携带行李按下列标准支付 运费：不超过10公斤的不收行李费；超过10公斤而不超过30 公斤的，每公斤收运费0.50元；超过30公斤而不不超过100 公斤的，每公斤收运费0.80元。试列出运输行李的运费y与行 李的重量x之间的函数关系式，写出其定义域，并求出所带行 李分别为18公斤和60公斤的甲、乙两旅客各应支付多少运费？
)2 解: f ( 1 2
1 2
2
1 1 , 0 t 1 t 1 f (t ) 2 t 1 , t 定义域 D [0 , )
值 域 f ( D ) [0 , )
《高等数学(上册)》 第一章
作U (a ， ) ，即
o
U (a ， ) {x | 0 | x a | } ． 点 a 将整个邻域分为两部分，左边的称为左邻域，用区间 (a ，a) 表示，右边的称为 右邻域，用区间 (a ，a ) 表示．
1.1.2 函数的概念
在研究各种实际问题时，经常会遇到两种不同类型的量：一种 在所研究问题的过程中可取不同的数值；另一种在所研究问题的过 程中保持不变，只取一个固定值．前者为变量，后者为常量．在同 一个过程中，往往有几个变量同时变化，但是它们的变化不是孤立 的，而是按照一定的规律互相联系着．变量之间互相依赖的关系， 就是下面我们要介绍的函数关系．
1.1.3 函数的几种特性
2．单调性 一般地，设函数 y f (x) 在区间 (a ，b) 内有定义，如果对于 (a ，b) 内的任意两点 x1 和 x2 ，当 x1 x2 时，有 f (x1) f (x2 ) ，则称函数 f (x) 在 (a ，b) 内单调增加；如果对于 (a ，b) 内的任意两点 x1 和 x2 ，当 x1 x2 时，有 f (x1) f (x2 ) ，则称函数 f (x) 在 (a ，b) 内 单调减少． 单调增加函数与单调减少函数统称为单调函数，若函数 f (x) 在区间 (a ，b) 内是单 调函数，则称 (a ，b) 是该函数的单调区间．
一般地，设 y 是 u 的函数 y f (u) ，u 是 x 的函数 u (x) ．如果 u (x) 的值
域或其部分包含在 y f (u) 的定义域中，则 y 通过 u 构成 x 的函数，称为 x 的复合
函数，记作 y f [ (x)] ．其中，x 是自变量，u 称为中间变量．
1.1.4 反函数与复合函数
y f 1(x) 在各自的定义域内具有相同的单调性，在同一直角 坐标系中，它们的图像关于直线 y x 对称，如图所示．
高等数学教材1完整版本
目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (3)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (4)5、复合函数 (5)6、初等函数 (5)7、双曲函数及反双曲函数 (6)8、数列的极限 (7)9、函数的极限 (8)10、函数极限的运算规则 (9)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
高等数学一
高等数学一引言高等数学一是大学数学教育中的一门基础课程，也是理工科学生必修的一门数学课程。
通过学习高等数学一，可以培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力，为学生将来的专业学习打下坚实的数学基础。
本文将介绍高等数学一的内容和学习方法，帮助学生更好地掌握这门课程。
一、高等数学一的内容概述高等数学一主要涵盖以下几个部分：1.数列与函数–数列的概念与性质–等差数列、等比数列和常数列的性质与求和公式–递推数列与通项公式–函数的概念与性质–初等函数的图像与性质2.极限与连续–极限的概念与性质–无穷小与无穷大–一元函数的极限–函数的连续性与间断点–中值定理与罗尔定理3.导数与微分–导数的概念与性质–高阶导数与导数的计算–函数的微分与微分近似–高阶微分的公式与应用4.微分中值定理与泰勒展开–罗尔中值定理与拉格朗日中值定理–洛必达法则与极限的计算–泰勒公式的导出与应用5.不定积分与定积分–不定积分的概念与性质–基本积分计算公式–定积分的概念与性质–牛顿-莱布尼茨公式与定积分的计算6.微积分基本定理与曲线长度–微积分基本定理–曲线长度的计算二、高等数学一的学习方法学习高等数学一需要一定的数学基础和学习方法。
以下是一些学习高等数学一的方法和技巧：1.培养数学思维能力高等数学一是一门较为抽象的数学课程，需要学生具备较强的数学思维能力。
学生可以通过大量的练习题，培养自己的数学思维能力。
同时，要培养一种合理的思维方式，把握问题的本质，掌握基本的数学思维方法。
2.理解概念与性质在学习高等数学一时，要重点理解每个概念和性质的定义和含义。
掌握好概念和性质的关系，对后续的知识学习有很大的帮助。
可以通过绘制简单的图形、列举实际问题等方式，加深对概念和性质的理解。
3.多做题目与习题高等数学一是一门需要大量练习的学科，通过做题目可以加深对知识点的理解和掌握。
可以根据课后练习题的难易程度，合理安排自己的学习时间和方式。
同时，还可以多参加数学竞赛等活动，锻炼自己的数学能力。
高等数学教材1完整版本
目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (3)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (4)5、复合函数 (5)6、初等函数 (5)7、双曲函数及反双曲函数 (6)8、数列的极限 (7)9、函数的极限 (8)10、函数极限的运算规则 (9)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
高等数学第一册教材答案
高等数学第一册教材答案一、导数与微分1. 函数与极限题目：求函数$f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 2$在点$x = 2$处的导数。
答案：经计算得，$f'(2) = 20$。
2. 导数的基本公式题目：计算函数$f(x) = \sin^2x + \cos^2x$的导数。
答案：由于$\sin^2x + \cos^2x = 1$，所以$f'(x) = 0$。
3. 高阶导数题目：求函数$f(x) = e^{-x}\cos x$的二阶导数。
答案：通过计算可以得到$f''(x) = -2e^{-x}\cos x$。
4. 隐函数与参数方程的导数题目：已知曲线的参数方程为$x = \cos t$，$y = \sin t$，求$\frac{{dy}}{{dx}}$。
答案：利用链式法则，可得$\frac{{dy}}{{dx}} = -\frac{{\sin t}}{{\cos t}}$。
二、微分中值定理与泰勒公式1. 极值与最值题目：求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$的极值点。
答案：对$f'(x)$进行求导，令导数等于零，解得$x = 1$或$x = 2$。
由二阶导数的正负性可判断出$x = 1$为极小值点，$x = 2$为极大值点。
2. 勒贝格（L'Hospital）法则题目：计算极限$\lim_{x \to 1} \frac{{e^x - e}}{{\ln(2x - 1)}}$。
答案：对分子和分母分别求导，得到$\lim_{x \to 1}\frac{{e^x}}{{2x - 1}}$。
再次应用L'Hospital法则，得到$\frac{{e}}{{2}}$。
3. 泰勒公式题目：利用泰勒公式展开函数$f(x) = \ln(1 + x)$到$x^3$的最高阶。
答案：泰勒公式的展开形式为$f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) +\frac{{f''(a)}}{{2!}}(x - a)^2 + \frac{{f'''(a)}}{{3!}}(x - a)^3 + \dots$，对$f(x) = \ln(1 + x)$进行求导后带入$a$，得到$f(x) = x - \frac{{x^2}}{{2}} + \frac{{x^3}}{{3}} + \dots$。
高等数学数1是哪本教材
高等数学数1是哪本教材高等数学1是哪本教材高等数学1作为大学本科数学课程的一部分，是培养学生数学分析思维和解决实际问题的基础，它是大学数学必修课程之一。
那么，关于高等数学1的教材，不同学校和教师有着不同的选择。
本文将讨论一些常见的高等数学1教材，并阐述它们的特点和适用性。
一、《高等数学》（同济大学版）《高等数学》（同济大学版）是同济大学编写的一套高等数学教材。
该教材以内容详实、深入浅出和注重应用为特点，被广大学生所熟知和使用。
它以数学分析为核心，包含了数列、极限、连续、微分学、积分学等内容。
该教材具有严密的逻辑结构，讲解思路清晰，配有大量的例题和习题，可以帮助学生掌握基本的数学思维和解题方法。
二、《高等数学》（北京大学版）《高等数学》（北京大学版）是北京大学编写的一套高等数学教材。
该教材注重理论与应用相结合，强调数学的思维方法和应用技巧。
它包含了数列、极限、连续、微分学、积分学等内容，并在每个章节都注重数学的实际应用。
该教材讲解详细，推导严谨，例题和习题的难度适中，有助于学生提高数学分析的能力和解决实际问题的能力。
三、《高等数学》（清华大学版）《高等数学》（清华大学版）是清华大学编写的一套高等数学教材。
该教材以数学分析为主线，涵盖了数列、极限、连续、微分学、积分学等内容。
与同济大学版和北京大学版相比，清华大学版的教材注重理论的严密性和抽象性。
它的讲解风格简练，例题和习题的难度较高，适合有一定数学基础和学习能力的学生。
四、其他教材除了上述几种常见的高等数学1教材外，还有一些其他教材供学生选择。
例如，人民教育出版社的《高等数学分析教程》、高等教育出版社的《高等数学教程》等。
这些教材各有特点，适应不同类型的学生和学习需求。
综上所述，高等数学1教材的选择与学校和教师的倾向有关。
不同版本的教材各有其特点和适用范围，学生可以根据自身的数学基础、学习风格和课程要求来选择适合自己的教材。
无论选择哪种教材，重要的是要认真学习，掌握数学的基本概念和解题方法，培养数学思维和分析问题的能力。