解析几何离心率专题突破

求离心率练习

注意：椭圆的离心率10<e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e

已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式a

c

e =

来解. 1、如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）

A.

23 B. 2

6

C. 23 D 2

解：由题设2=a ，62=c ，则3=c ，2

3

==a c e ，因此选C. 2、在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，1

2

1的距离为到直线左焦点c

a x F -=，则该椭圆的离心率为（ ） A

2 B

22 C 21 D 4

2

解：2

2

1222==

=

AD

AF e 3、若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）

A.

43 B. 32 C. 21 D. 4

1

解：由()0,11F 、()0,32F 知 132-=c ，∴1=c ，又∵椭圆过原点，∴1=-c a ，3=+c a ，∴2=a ，

1=c ，所以离心率2

1

==a c e .故选C.

二、构造a 、c 的齐次式方程，解出e .

根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e .

1：设双曲线122

22=-b

y a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L 过()0,a ，()b ,0两点. 又已知原点到直线

的距离为

c 4

3

，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 2 D.

33

2 解：由已知，直线L 的方程为0=-+ab ay bx ，由点到直线的距离公式，得

c b a ab

4

3

2

2=+， 又222b a c +=, ∴2

34c ab =,两边平方，得()

4

222316c a c a =-，整理得0161632

4

=+-e e ，

得42

=e 或342

=e ，又b a <<0 ，∴212

2222222>+=+==a

b a b a a

c e ，∴42

=e ，∴2=e ，故选A 2：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，021120=∠MF F ，则双曲线的离心率为（ ）A

3 B

26 C 3

6 D 33

解：不妨设()b M ,0，()0,1c F -，()0,2c F ，则2221b c MF MF +==，

又c F F 221=，在21MF F ∆中， 由余弦定理，得

2

12

2

12221212cos MF MF F F MF MF MF F ⋅-+=

∠,即(

)(

)

(

)

2

22

22222421b

c c b c b c +-+++=-，，∴212222-=+-c b c b ， ∵2

2

2

a c

b -=，∴2122

22-=--a

c a ，∴2

223c a =，∴232=e ，∴26=e ，故选B. 3：已知1F 、2F 是双曲线122

22=-b

y a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为

边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）

A. 324+

B.

13- C.

2

1

3+ D. 13+ 解：如图，设1MF 的中点为P ，则P 的横坐标为2c

-，由焦半径公式

a ex PF p

--=1， 即a c a c c -⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=2，得0222

=-⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a c a c ，解得31+==a

c

e （31-舍去），故选D.

4、设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若

21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。

解：121

21222222221-=+=+=+===

c c c PF PF c a c a c e 三、构建关于e 的不等式，求e 的取值范围 例5：设⎪⎭

⎫

⎝⎛∈4,

0πθ，则二次曲线1tan cot 22=-θθy x 的离心率的取值范围为（ ） A. 21 B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,21 C. ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛2,22 D. ()+∞,2 另：由1tan cot 2

2

=-θθy x ，⎪⎭

⎫ ⎝⎛∈4,

0πθ，得θtan 2=a ，θcot 2

=b

,

∴θθcot tan 2

2

2

+=+=b a c ,∴θθθ

θ2222

cot 1tan cot tan +=+==a

c e

∵⎪⎭

⎫ ⎝⎛∈4,

0πθ，∴1cot 2>θ,∴22

>e ，∴2>e ，故选D. 例6：如图，已知梯形ABCD 中，CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、

E 三点，且以A 、B 为焦点．当

4

3

32≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围。 解：以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立如图所示的直角坐标系

xoy ，则y CD ⊥轴.因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线

的对称性知C 、D 关于y 轴对称．依题意，记()0,c A -，⎪⎭

⎫ ⎝⎛h c

C ,2，()00,y x E ，其中AB c 2

1

=

为双曲线的半焦距，h 是梯形的高． 由定比分点坐标公式得()()λλλλ+-=+⋅

+-=

122120c c

c x ，λλ+=10

h y ，设双曲线的方程为12

2

22=-b y a x ，则离

心率a c e =，由点C 、E 在双曲线上，所以，将点C 的坐标代入双曲线方程得

142

2

22=-b h a c ① 将点E 的坐标代入双曲线方程得

111242

2222

2

=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫

⎝⎛+-λλλλb h a c ② 再将a c e =①、②得

14222=-b h e ，∴142

22-=e b

h ③ 11124

2

2222

=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫

⎝⎛+-λλλλb h e ④ 将③式代入④式，整理得

()λλ214442

+=-e ，∴2312+-=e λ，由题设4332≤≤λ得： 4

3

231322≤+-≤e ，解得107≤≤e ，所以双曲线的离心率的取值范围为[]10,7