数列综合测试题
数列单元测试题2
数列单元测试题二一．选择题（1）数列 ,10,6,3,1的一个通项公式是（ ）.()A 12+-n n ()B 2)1(+n n ()C 2)1(-n n ()D 321-+n（2）在等差数列{}n a 中，,6,5462+=-=a a a 那么=1a （ ）.()A －9 ()B －8 ()C －7 ()D －4（3）某种商品提价25％后，要恢复成原价，应降价（ ）.()A 25％ ()B 20％ ()C 15％ ()D 30％1．等比数列{}n a 中，,91,762==S S 则4S 可能是（ ）.()A 28 ()B 32 ()C 35 ()D 492．三个数成等比数列，它们的和为38，它们的积为1728，则此三数为（ ）.()A 3，12，48 ()B 4，16，27 ()C 8，12，18 ()D 4，12，363．已知数列{}n a 是等差数列，且()()24231310753=++++a a a a a ，那么数列{}n a 的前13项和为（ ）.()A 26 ()B 13 ()C 52 ()D 156二．填空题4．等差数列的前三项依次为,32,1,1++-a a a 那么这个等差数列的通项公式为___32-=n a n ______. （8）等比数列{}n a 中，,271710-=a a 那么4132a a a a ++的值为___________.5．在等比数列{}n a 中，),(12*321N n a a a a n n ∈-=++++ 则.__________2232221=++++n a a a a )14(31-n6．已知)(x f 是一次函数，且,21)10(=f 又)22(),7(),2(f f f 成等比数列，则___________)50()3()2()1(=++++f f f f .2600三．解答题（11）若数列{a n }的前n 项和S n 满足:S n = 2a n +1,求a n （12）已知数列{}n a 中，)(12,56*11N n a a a n n ∈-==+ .①求101a ； ②求此数列前n 项和n S 的最大值.（13）已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，数列{}n b a 是公比为q 的等比数列，且.17,5,1321===b b b ①求q 的值；②求数列{}n b 前n 项和.7．在公差不为0的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，已知111==b a ，22b a =，38b a =；（1）求{}n a 的公差d 和{}n b 的公比q ；（2）设2++=n n n b a c ，求数列{}n c 的通项公式n c 及前n 项和n S .7.解：（1）由⎪⎩⎪⎨⎧====1113822b a b a b a 得⎩⎨⎧=+=+2711qd q d -----------3分∴d d 71)1(2+=+，即，d d52=又∵0≠d ，∴5=d ，从而6=q ---------------6分 （2）∵45)1(1-=-+=n d n a a n ，1116--==n n n q b b∴26452++-=+=-n n n n n b a c=2561-+-n n -------9分 从而，2)253(6161-++--=n n S nn=512125562-++n n n----------12分答案：（1）B （2）B （3）B 1.A 2.C 3.A 4.32-=n a n （8）133-5.)14(31-n6.2600（11）12n n a -=-（12）①－1144②1605=S （13）①3 ②13--n n1.已知函数f(x)=2x -2-x ，数列﹛a n ﹜满足f(㏒ 2 a n )=-2n. (1) 求数列﹛a n ﹜的通项公式； (2) 证明：数列﹛a n ﹜是递减数列。
数列测试题及答案
数列测试题一.选择题1.假如等差数列{}n a 中,34512a a a ++=,那么127...a a a +++=（A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）352.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,已知3432S a =-,2332S a =-,则公比q =（A ）3 （B ）4（C）5（D ）63.设数列{}n a 的前n 项和2n S n =,则8a 的值为（A ） 15 (B) 16 (C) 49 （D ）644.设n s 为等比数列{}n a 的前n 项和,2580a a +=则52S S = (A)-11 (B)-8 (C)5(D)115.已知等比数列}{n a 的公比为正数,且3a ·9a =225a ,2a =1,则1a = A.21 B.22 C. 2 D.26.已知等比数列{}n a 知足0,1,2,n a n >=,且25252(3)n n a a n -⋅=≥,则当1n ≥时,2123221log log log n a a a -+++=A. (21)n n -B. 2(1)n +C. 2nD. 2(1)n -7.公役不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等比中项, 832S =,则10S 等于A. 18B. 24C. 60D. 90 8.设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ,若63S S =3 ,则69S S = （A ） 2 （B ） 73 （C ） 83（D ）39.已知{}n a 为等差数列,1a +3a +5a =105,246a a a ++=99,以n S 暗示{}n a 的前n 项和,则使得n S 达到最大值的n 是（A ）21 （B ）20 （C ）19 （D ） 1810.无限等比数列,42,21,22,1…各项的和等于（） A ．22-B ．22+C ．12+D ．12-11.数列{}n a 的通项222(cos sin )33n n n a n ππ=-,其前n 项和为n S ,则30S 为 A ．470B ．490C ．495D ．510 12.设,R x ∈记不超出x 的最大整数为[x ],令{x }=x -[x ],则{215+},[215+],215+ 二.填空题13.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若36324S S ==，,则9a =.14.在等比数列{}n a 中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式n a =．15.设等比数列{}n a 的公比12q =,前n 项和为n S ,则44S a =． 16.已知数列{}n a 知足：434121,0,,N ,n n n n a a a a n *--===∈则2009a =________;2014a =_________.三.解答题17.已知等差数列{n a }中,,0,166473=+-=a a a a 求{n a }前n 项和n s .18.已知{}n a 是首项为19,公役为-2的等差数列,n S 为{}n a 的前n 项和.（Ⅰ）求通项n a 及n S ;（Ⅱ）设{}n n b a -是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .19.已知等差数列{}n a 知足：37a =,5726a a +=,{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ; （Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *),求数列{}n b 的前n 项和n T ．20.设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ （I ）设12n n n b a a +=-,证实数列{}n b 是等比数列 （II ）求数列{}n a 的通项公式. 21.数列{}n a 的通项222(cos sin )33n n n a n ππ=-,其前n 项和为n S .(1) 求n S ; (2) 3,4nn nS b n =⋅求数列｛n b ｝的前n 项和n T .答案 1.【答案】C【解析】173454412747()312,4,7282a a a a a a a a a a a +++===∴+++=== 2.解析：选B. 两式相减得,3433a a a =-,44334,4a a a q a =∴==.3.答案：A【解析】887644915a S S =-=-=.5.【答案】B【解析】设公比为q ,由已知得()22841112a q a q a q⋅=,即22q=,又因为等比数列}{n a 的公比为正数,所以2q =,故211222a a q===,选B 6.【解析】由25252(3)n n a a n -⋅=≥得n n a 222=,0>n a ,则n n a 2=,+⋅⋅⋅++3212log log a a 2122)12(31log n n a n =-+⋅⋅⋅++=-,选C.答案：C7.【解析】由2437a a a =得2111(3)(2)(6)a d a d a d +=++得1230a d +=,再由81568322S a d =+=得 1278a d +=则12,3d a ==-,所以1019010602S a d =+=,.故选C8.【解析】设公比为q ,则36333(1)S q S S S +=＝1＋q 3＝3q 3＝2于是63693112471123S q q S q ++++===++【答案】B9.[解析]：由1a +3a +5a =105得33105,a =即335a =,由246a a a ++=99得4399a =即433a = ,∴2d =-,4(4)(2)412n a a n n =+-⨯-=-,由10n n a a +≥⎧⎨<⎩得20n =,选B10.答案B 11.答案：A 【解析】因为22{cos sin }33n n ππ-以3 为周期,故 221010211(32)(31)591011[(3)][9]25470222k k k k k k ==-+-⨯⨯=-+=-=-=∑∑故选A12.【答案】B【解析】可分离求得515122⎧⎫+-⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭,51[]12+=.则等比数列性质易得三者组成等比数列. 13.解析：填15. 316132332656242S a d S a d ⨯⎧=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩,解得112a d =-⎧⎨=⎩,91815.a a d ∴=+=14.【答案】n-14【解析】由题意知11141621a a a ++=,解得11a =,所以通项n a =n-14. 15.答案：15【解析】对于4431444134(1)1,,151(1)a q s q s a a q q a q q --==∴==--16.【答案】1,0【解析】本题重要考核周期数列等基本常识.属于创新题型. 依题意,得2009450331a a ⨯-==, 17.解：设{}n a 的公役为d ,则即22111812164a da d a d⎧++=-⎨=-⎩解得118,82,2a a d d =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或是以()()()()819819n n S n n n n n S n n n n n =-+-=-=--=--，或18.19.【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公役为d,因为37a =,5726a a +=,所以有112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得13,2a d ==, 所以321)=2n+1n a n =+-（;n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n . （Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =,所以b n =211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111(-)4n n+1⋅, 所以n T =111111(1-+++-)4223n n+1⋅-=11(1-)=4n+1⋅n 4(n+1), 即数列{}n b 的前n 项和n T =n4(n+1).20.解：（I）由11,a =及142n n S a +=+,有12142,a a a +=+21121325,23a a b a a =+=∴=-=由142n n S a +=+,．．．①则当2n ≥时,有142n n S a -=+．．．．．②②－①得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-又12n n n b a a +=-,12n n b b -∴={}n b ∴是首项13b =,公比为２的等比数列．（II ）由（I ）可得11232n n n n b a a -+=-=⋅,113224n n n n a a ++∴-= ∴数列{}2n n a 是首项为12,公役为34的等比数列． ∴1331(1)22444n na n n =+-=-,2(31)2n n a n -=-⋅ : (1) 因为222cos sin cos 333n n n πππ-=,故1331185(94)2222k k k -+=+++=,故 1,3236(1)(13),316(34),36n n n k n n S n k n n n k ⎧--=-⎪⎪+-⎪==-⎨⎪+⎪=⎪⎩(*k N ∈) (2) 394,424n n n nS n b n +==⋅⋅ 两式相减得 故 2321813.3322n n n nT -+=--⋅。
高中数学--《数列》测试题(含答案)
高中数学--《数列》测试题（含答案）1.已知数列，它的第5项的值为（）A. B. C. D.【答案解析】D2.若成等比数列，则下列三个数：①②③，必成等比数列的个数为（）A、3B、2C、1D、0【答案解析】C3.在数列{}中，，则等于（）。
A B 10 C 13 D 19【答案解析】解析：C。
由2得，∴{}是等差数列∵4.是成等比数列的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案解析】解析：不一定等比如若成等比数列则选D5.x=是a、x、b成等比数列的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案解析】D6.已知为等差数列，且－2＝－1, ＝0,则公差d＝（A）－2 （B）－（C）（D）2【答案解析】B解析：a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1 Þ d＝－7.（2009福建卷理）等差数列的前n项和为，且 =6，=4，则公差d等于A．1 B C.- 2 D 3【试题来源】【答案解析】C解析∵且.故选C8.（2009广东卷理）已知等比数列满足，且，则当时，A. B. C. D.【答案解析】C解析:由得，，则，，选C.9.(2009年广东卷)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则=A. B. C. D.2【答案解析】B解析：设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公比为正数，所以,故,选B10.已知数列…，则是该数列的A.第项B.第项C.第项D.第项【答案解析】C11.等差数列中，，那么的值是A． 12 B． 24 C ．16 D． 48【答案解析】B12.等差数列，，，则数列前9项的和等于A．66 B．99 C. 144 D. 297【答案解析】B13.等差数列中，，则A．8 B．12 C．24 D．25【答案解析】B14.等比数列{an}中，a4=4，则等于A．4 B．8 C．16 D．32【答案解析】C15.设等比数列的公比q=2，前n项和为Sn，则=A． B． C． D．【答案解析】C17若数列的前项和，则A.7B.8C.9D.17【答案解析】A18.等差数列的前项和为，若，则A.1004B.2008C.2009D.2010【答案解析】C19.若等差数列{an}的前5项和S5=25，且a2=3，则a4=（） A．12 B．7C．9 D．15【答案解析】B20.（）A． B． C． D．【答案解析】D。
等差数列数列综合测试题
等差数列测试题班级：_____________姓名：_____________得分：___________ 一选择题：（60分=5分×12）1.已知{}n a 为等差数列，135********,99,a a a a a a a ++=++=则等于（ ） A. -1 B. 1 C. 3 D. 72.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 633.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于 A ．1 B. 53C.- 2D. 3 4.已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝( )A.－2B. 12- C. 12D.25.若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =( )A.12B.13C.14D.15 6.已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是 （ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 7.已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ ） A ．64 B ．100 C ．110 D ．120 8.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，420S =，则6S =（ ） A ．16 B ．24 C ．36 D ．489.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 10.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若36612S1,3S S S ==则（ ） A.310 B.13 C.18 D.1911、等差数列{}n a 中，39||||,a a =公差d<0，则使前项n 和n S 取得最大值的自然数n 的值是（ ）A.4和5B.5和6C.6和7D.不存在12、含2n+1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为（ ） A.21n n+ B.1n n + C.1n n - D.12n n +二、填空题（20分=5分×4）13.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++= 14. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++= 15.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =,则95S S = 16.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655,S S -=则4a = 三、解答题（70分=10分+5×12分，22,23大题任选一题作答） 17.在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求515280a a a +++.18.已知等差数列{n a }中，374616,0a a a a ⋅=-+=，求{n a }前n 项和n S .19、求数列{}n a 的前n 项和n S ，其中1(1)n a n n =+20、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312a =，12S >0，13S <0， ①求公差d 的取值范围；②1212,,,S S S 中哪一个值最大？并说明理由.21、设等差数列}{n a 的前ｎ项的和为S n ,且S 4 =－62, S 6 =－75,求： （1）}{n a 的通项公式a n 及前ｎ项的和n S ； （2）12314...a a a a ++++*22、某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元， （Ⅰ）问第几年开始获利？（Ⅱ）若干年后，有两种处理方案：（1）年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；（2）总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船.问哪种方案合算.*23.若两个数列的前n 项和之比是(71):(427)n n ++,试求它们的第11项之比，第n 项之比。
高中数列测试题及答案
高中数列测试题及答案一•选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1 *1 •已知数列｛a n｝中，a i 2, a n 1 a n -(n N )则的值为( )2 ，A. 49 B . 50 C . 51 D . 522. —1与2.1,两数的等比中项是( )A . 1B .|1 C.-1 D1 '23.在三角形ABC中, 如果a b c b c a 3bc，那么A等于( )A . 300B.600C.1200D1500亠亠c cosC4. 在"ABC中, ，则此三角形为( )b cosBA .直角三角形； B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形5. 已知a n是等差数列，且a2+ a3+ aw+ an=48，则a=+ a7=()A . 12B . 16C . 20D . 246. 在各项均为正数的等比数列b n中，若b7 b8 3，则Iog3$ log3b2 ……log3 b!4等于()(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D)87. 已知a,b 满足：a =3，b =2，a b =4，则a b =()A. 3 B . .5 C . 3 D . 108. 一个等比数列｛a n｝的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为( )A、63 B 、108 C 、75 D 、839.数列｛a n ｝满足 a i = 1, a n +1= 2a n + 1( n € N +)，那么 a 4的值为()10. 已知△ ABC 中，/ A = 60°, a = .. 6 , b = 4，那么满足条件的△ ABC 的形状大12. 若｛a n ｝是等差数列，首项 a 1>0, a 4+ a s >0, a 4 • &v 0,则使前n 项和 S>0 成立的最大自然数 n 的值为（）.A. 4B . 5C. 7D. 8二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 在数列｛a n ｝中，其前n 项和S= 3 • 2n + k ,若数列｛a n ｝是等比数列，则常数 k 的值为 ______ 14.A ABC 中，如果 一^ =—=—，那么△ ABC 是 ________tan A tan B tan C115•数列｛a n ｝满足 a 1 2，a n a . 1 —，则 a .= ____________________________ ;216•两等差数列｛a n ｝和｛b n ｝,前n 项和分别为S n ,T n ,且，A. 4B . 8 C. 15 D. 31小（）.A.有一种情形 C.不可求出11. 已知 D C B 三点在地面同一直线上, B .有两种情形 D.有三种以上情形DC=a ,从C D 两点测得A 的点仰角分别为a 、 3(a>3 )则A 点离地面的高 asin sin sin( ) acos cos sin( )AB 等于（）asin sin cos （ ） acos cos cos （ ）T n n 39.数列｛a n ｝满足 a i = 1, a n +1= 2a n + 1( n € N +)，那么 a 4的值为() 则色__吨等于 _______ _____________6 b 15三•解答题(本大题共6个小题，共70分；解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤)17. (10)分已知a,b,c 是同一平面内的三个向量，其中a 1,2(1)求 AC (2) 求/ A.21. (12分)已知等差数列｛a n ｝的前n 项的和记为 S.如果a 4 =- 12，a s =- 4. (1) 求数列｛a n ｝的通项公式； (2) 求S 的最小值及其相应的 n 的值; 22. (12分)已知等比数列a n 的前n 项和为S n ，且a n 是&与2的等差中项,等差数列 b n 中，b 1.2，点P(b n ,b n|1)在一次函数y x 2的图象上.(1)若 c25，且cac b 于,a2b 2a b a b18. (12 分)△ ABC 中,BC= 7, AB= 3,且sin C sin B19.(12分)已知等比数列a n 中, 4项及前5项和.2 0.( 12 分)在 ABC 中，m且m 和n 的夹角为一.3(1 )求角C ; ( 2)已知c=-，25a 1 a 310,a 4a65，求其第 C . CC • Ccos ,sin ,n cos , s in 2 22 2 ，三角形的面积s⑴求a-i 和a 2的值;⑵求数列 a n , b n 的通项a n 和b ； ⑶设C na nb n ，求数列C n 的前n 项和T n .高中数列测试题答案.选择题。
数列测试题及答案
数列测试题及答案数列测试题及答案 数列测试题及答案： ⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分． 1．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a12＋a13＝24，则a7为( ) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：∵a1＋a2＋a12＋a13＝4a7＝24，∴a7＝6. 答案：A 2．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满⾜S33－S22＝1，则数列{an}的公差是( ) A.12 B．1 C．2 D．3 解析：由Sn＝na1＋n(n－1)2d，得S3＝3a1＋3d，S2＝2a1＋d，代⼊S33－S22＝1，得d＝2，故选C. 答案：C 3．已知数列a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a2 011等于( ) A．1 B．－4 C．4 D．5 解析：由已知，得a1＝1，a2＝5，a3＝4，a4＝－1，a5＝－5，a6＝－4，a7＝1，a8＝5，… 故{an}是以6为周期的数列， ∴a2 011＝a6×335＋1＝a1＝1. 答案：A 4．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是( ) A．d＜0 B．a7＝0 C．S9＞S5 D．S6与S7均为Sn的最⼤值 解析：∵S5＜S6，∴a6＞0.S6＝S7，∴a7＝0. ⼜S7＞S8，∴a8＜0. 假设S9＞S5，则a6＋a7＋a8＋a9＞0，即2(a7＋a8)＞0. ∵a7＝0，a8＜0，∴a7＋a8＜0.假设不成⽴，故S9＜S5.∴C错误. 答案：C 5．设数列{an}是等⽐数列，其前n项和为Sn，若S3＝3a3，则公⽐q的值为( ) A．－12 B.12 C．1或－12 D．－2或12[ 解析：设⾸项为a1，公⽐为q， 则当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，适合题意． 当q≠1时，a1(1－q3)1－q＝3a1q2， ∴1－q3＝3q2－3q3，即1＋q＋q2＝3q2,2q2－q－1＝0， 解得q＝1(舍去)，或q＝－12. 综上，q＝1，或q＝－12. 答案：C 6．若数列{an}的通项公式an＝5 252n－2－425n－1，数列{an}的最⼤项为第x项，最⼩项为第y 项，则x＋y等于( ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：an＝5252n－2－425n－1＝525n－1－252－45， ∴n＝2时，an最⼩；n＝1时，an最⼤． 此时x＝1，y＝2，∴x＋y＝3. 答案：A 7．数列{an}中，a1 ＝15,3an＋1＝ 3an－2(n∈N *)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是( ) A．a21a22 B．a22a23 C．a23a24 D．a24a25 解析：∵3an＋1＝3an－2， ∴an＋1－an＝－23，即公差d＝－23. ∴an＝a1＋(n－1)d＝15－23(n－1)． 令an＞0，即15－23(n－1)＞0，解得n＜23.5. ⼜n∈N*，∴n≤23，∴a23＞0，⽽a24＜0，∴a23a24＜0. 答案：C 8．某⼯⼚去年产值为a，计划今后5年内每年⽐上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个⼚的总产值为( ) A．1.14a B．1.15a C．11×(1.15－1)a D．10×(1.16－1)a 解析：由已知，得每年产值构成等⽐数列a1＝a，w an＝a(1＋10%)n－1(1≤n≤6)． ∴总产值为S6－a1＝11×(1.15－1)a. 答案：C 9．已知正数组成的等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7a14的最⼤值为( ) A．25 B．50 C．1 00 D．不存在 解析：由S20＝100，得a1＋a20＝10. ∴a7＋a14＝10. ⼜a7＞0，a14＞0，∴a7a14≤a7＋a1422＝25. 答案：A 10．设数列{an}是⾸项为m，公⽐为q(q≠0)的等⽐数列，Sn是它的前n项和，对任意的n∈N*，点an，S2nSn( ) A．在直线mx＋qy－q＝0上 B．在直线qx－my＋m＝0上 C．在直线qx＋my－q＝0上 D．不⼀定在⼀条直线上 解析：an＝mqn－1＝x，①S2nSn＝m(1－q2n)1－qm(1－qn)1－q＝1＋qn＝y，② 由②得qn＝y－1，代⼊①得x＝mq(y－1)，即qx－my＋m＝0. 答案：B 11．将以2为⾸项的偶数数列，按下列⽅法分组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，…，第n组有n个数，则第n组的⾸项为( ) A．n2－n B．n2＋n＋2 C．n2＋n D．n2－n＋2 解析：因为前n－1组占⽤了数列2,4,6，…的前1＋2＋3＋…＋(n－1)＝(n－1)n2项，所以第n组的⾸项为数列2,4,6，…的第(n－1)n2＋1项，等于2＋(n－1)n2＋1－12＝n2－n＋2. 答案：D 12．设m∈N*，log2m的整数部分⽤F(m)表⽰，则F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)的值是( ) A．8 204 B．8 192 C．9 218 D．以上都不对 解析：依题意，F(1)＝0， F(2)＝F(3)＝1，有2 个 F(4)＝F(5)＝F(6)＝F(7)＝2，有22个． F(8)＝…＝F(15)＝3，有23个． F(16)＝…＝F(31)＝4，有24个． … F(512)＝…＝F(1 023)＝9，有29个． F(1 024)＝10，有1个． 故F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29＋10. 令T＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29，① 则2T＝1×22＋2×23＋…＋8×29＋9×210.② ①－②，得－T＝2＋22＋23＋…＋29－9×210 ＝ 2(1－29)1－2－9×210＝210－2－9×210＝－8×210－2， ∴T＝8×210＋2＝8 194， m] ∴F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝8 194＋10＝8 204. 答案：A 第Ⅱ卷 (⾮选择共90分) ⼆、填空题：本⼤题共4个⼩题，每⼩题5分，共20分． 13．若数列{an} 满⾜关系a1＝2，an＋1＝3an＋2，该数列的通项公式为__________． 解析：∵an＋1＝3an＋2两边加上1得，an＋1＋1＝3(an＋1)， ∴{an＋1}是以a1＋1＝3为⾸项，以3为公⽐的等⽐数列， ∴an＋1＝33n－1＝3n，∴an＝3n－1. 答案：an＝3n－1 14．已知公差不为零的等差数列{an}中，M＝anan＋3，N＝an＋1an＋2，则M与N的⼤⼩关系是__________． 解析：设{an}的公差为d，则d≠0. M－N＝an(an＋3d)－[(an＋d)(an＋2d)] ＝an2＋3dan－an2－3dan－2d2＝－2d2＜0，∴M＜N. 答案：M＜N 15．在数列{an}中，a1＝6，且对任意⼤于1的正整数n，点(an，an－1)在直线x－y＝6上，则数列{ann3(n＋1)}的前n项和Sn＝__________. 解析：∵点(an，an－1)在直线x－y＝6上， ∴an－an－1＝6，即数列{an}为等差数列． ∴an＝a1＋6(n－1)＝6＋6(n－1)＝6n， ∴an＝6n2. ∴ann3(n＋1)＝6n2n3(n＋1)＝6n(n＋1)＝61n－1n＋1 ∴Sn＝61－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1.＝61－1n＋1＝6nn＋1. 答案：6nn＋1 16．观察下表： 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 … 则第__________⾏的各数之和等于2 0092. 解析：设第n⾏的各数之和等于2 0092， 则此⾏是⼀个⾸项a1＝n，项数为2n－1，公差为1的等差数列． 故S＝n×(2n－1)＋(2n－1)(2n－2)2＝2 0092，解得n＝1 005. 答案：1 005 三、解答题：本⼤题共6⼩题，共70分． 17．(10分)已知数列{an}中，a1＝12，an＋1＝12an＋1(n∈N*)，令bn＝an－2. (1)求证：{bn}是等⽐数列，并求bn； (2)求通项an并求{an}的前n项和Sn. 解析：(1)∵bn＋1bn＝an＋1－2an－2＝12an＋1－2an－2＝12an－1an－2＝12， ∴{bn}是等⽐数列． ∵b1＝a1－2＝－32， ∴bn＝b1qn－1＝－32×12n－1＝－32n. (2)an＝bn＋2＝－32n＋2， Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝－32＋2＋－322＋2＋－323＋2＋…＋－32n＋2 ＝－3×12＋122＋…＋12n＋2n＝－3×12×1－12n1－12＋2n＝32n＋2n－3. 18．(12分)若数列{an}的`前n项和Sn＝2n. (1)求{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满⾜b1＝－1，bn＋1＝bn＋(2n－1)，且cn＝anbnn，求数列{cn}的通项公式及其前n 项和Tn. 解析：(1)由题意Sn＝2n， 得Sn－1＝2n－1(n≥2)， 两式相减，得an＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)． 当n＝1时，21－1＝1≠S1＝a1＝2. ∴an＝2 (n＝1)，2n－1 (n≥2). (2)∵bn＋1＝bn＋(2n－1)， ∴b2－b1＝1， b3－b2＝3， b4－b3＝5， … bn－bn－1＝2n－3. 以上各式相加，得 bn－b1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3) ＝(n－1)(1＋2n－3)2＝(n－1)2. ∵b1＝－1，∴bn＝n2－2n， ∴cn＝－2 (n＝1)，(n－2)×2n－1 (n≥2)， ∴Tn＝－2＋0×21＋1×22＋2×23＋…＋(n－2)×2n－1， ∴2Tn＝－4＋0×22＋1×23＋2×24＋…＋(n－2)×2n. ∴－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－1－(n－2)×2n ＝2(1－2n－1)1－2－(n－2)×2n ＝2n－2－(n－2)×2n ＝－2－(n－3)×2n. ∴Tn＝2＋(n－3)×2n. 19．(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等⽐数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，…，按原来顺序组成⼀个新数列{bn}，记该数列的前n项和为Tn，求Tn的表达式． 解析：(1)依题意，得 3a1＋3×22d＋5a1＋5×42d＝50，(a1＋3d)2＝a1(a1＋12d)，解得a1＝3，d＝2. ∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1， 即an＝2n＋1. (2)由已知，得bn＝a2n＝2×2n＋1＝2n＋1＋1， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝(22＋1)＋(23＋1)＋…＋(2n＋1＋1) ＝4(1－2n)1－2＋n＝2n＋2－4＋n. 20．(12分)设数列{an}的前n项和为Sn，且ban－2n＝(b－1)Sn. (1)证明：当b＝2时，{an－n2n－1}是等⽐数列； (2)求通项an. 新课标第⼀⽹ 解析：由题意知，a1＝2，且ban－2n＝(b－1)Sn， ban＋1－2n＋1＝(b－1)Sn＋1， 两式相减，得b(an＋1－an)－2n＝(b－1)an＋1， 即an＋1＝ban＋2n.① (1)当b＝2时，由①知，an＋1＝2an＋2n. 于是an＋1－(n＋1)2n＝2an＋2n－(n＋1)2n ＝2an－n2n－1. ⼜a1－ 120＝1≠0， ∴{an－n2n－1}是⾸项为1，公⽐为2的等⽐数列． (2)当b＝2时， 由(1)知，an－n2n－1＝2n－1，即an＝(n＋1)2n－1 当b≠2时，由①得 an ＋1－12－b2n＋1＝ban＋2n－12－b2n＋1＝ban－b2－b2n ＝ban－12－b2n， 因此an＋1－12－b2n＋1＝ban－12－b2n＝2(1－b)2－bbn. 得an＝2， n＝1，12－b[2n＋(2－2b)bn－1]， n≥2. 21．(12分)某地在抗洪抢险中接到预报，24⼩时后⼜⼀个超历史最⾼⽔位的洪峰到达，为保证万⽆⼀失，抗洪指挥部决定在24⼩时内另筑起⼀道堤作为第⼆道防线．经计算，如果有 20辆⼤型翻⽃车同时作业25⼩时，可以筑起第⼆道防线，但是除了现有的⼀辆车可以⽴即投⼊作业外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20分钟就有⼀辆车到达并投⼊⼯作．问指挥部⾄少还需组织多少辆车这样陆续⼯作，才能保证24⼩时内完成第⼆道防线，请说明理由． 解析：设从现有这辆车投⼊⼯作算起，各车的⼯作时间依次组成数列{an}，则an－an－1＝－13. 所以各车的⼯作时间构成⾸项为24，公差为－13的等差数列，由题知，24⼩时内最多可抽调72辆车． 设还需组织(n－1)辆车，则 a1＋a2＋…＋an＝24n＋n(n－1)2×－13≥20×25. 所以n2－145n＋3 000≤0， 解得25≤n≤120，且n≤73. 所以nmin＝25，n－1＝24. 故⾄少还需组织24辆车陆续⼯作，才能保证在24⼩时内完成第⼆道防线． 22．(12分)已知点集L＝{(x，y)|y＝mn}，其中m＝(2x－2b,1)，n＝(1,1＋2b)，点列Pn(an，bn)在点集L中，P1为L的轨迹与y轴的交点，已知数列{an}为等差数列，且公差为1，n∈N*. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (3)设cn＝5nan|PnPn＋1|(n≥2)，求c2＋c3＋c4＋…＋cn的值． 解析：(1)由y＝mn，m＝(2x－2b,1)，n＝(1,1＋2b)， 得y＝2x＋1，即L：y＝2x＋1. ∵P1为L的轨迹与y轴的交点， ∴P1(0,1)，则a1＝0，b1＝1. ∵数列{an}为等差数列，且公差为1， ∴an＝n－1(n∈N*) ． 代⼊y＝2x＋1，得bn＝2n－1(n∈N*)． (2)∵Pn(n－1,2n－1)，∴Pn＋1(n,2n＋1)． ＝5n2－n－1＝5n－1102－2120. ∵n∈N*， (3)当n≥2时，Pn(n－1,2n－1)， ∴c2＋c3＋…＋cn ＝1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝1－1n.。
高二数学数列综合测试题(解析版)
7.已知 分别是等差数列 与 的前 项和，且 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】因为数列 是等差数列，所以 ，
所以 ，
又因为 分别是等差数列 与 的前 项和，且 ，
所以 ,
故选： .
8.已知数列 满足 ，则满足 的 的最大取值为（）
11.一个弹性小球从 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的 再落下.设它第 次着地时，经过的总路程记为 ，则当 时，下面说法正确的是（）
A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为250
【答案】BC
【详解】由题可知，第一次着地时， ；第二次着地时， ；
第三次着地时， ；……
第 次着地后，
则 ，显然 ，又 是关于 的增函数， ，故当 时， 的最小值为 ；
A.39B.45C.48D.51
【答案】D
【详解】设该塔群共有n阶，自上而下每一阶的塔数所构成的数列为 ，依题意可知 ， ，…， 成等差数列，且公差为2， ，
则 ，解得 .
故最下面三价的塔数之和为 .故选：D
4.等比数列 的前 项和为 ， ， ，则 为（）
A. B. C. D.28或-21
ห้องสมุดไป่ตู้【答案】A
数列复习训练题
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一个
1.等差数列 中，已知 ，则 （）
A.36B.27C.18D.9
【答案】B
【详解】解：由题得 .故选：B
2.若数列 满足 ， ， ，则 的值为（）
A.-3B.-2C.-1D.2
【答案】C
【详解】由 得 ，故有
数列测试题及答案解析
数列测试题及答案解析一、选择题1. 已知数列{an}满足a1=2，an+1 = 2an，判断数列{an}是否为等比数列。
A. 是B. 不是C. 无法判断答案：A2. 若数列{bn}是等差数列，且b3=5，b5=9，求b7。
A. 11B. 13C. 无法确定答案：B二、填空题1. 给定数列{cn}，其中c1=1，cn+1 = cn + n，求c5的值。
答案：152. 已知等差数列{dn}的首项d1=3，公差d=2，求d20的值。
答案：43三、解答题1. 求等比数列{en}的前n项和Sn，若e1=1，公比q=3。
解：根据等比数列前n项和公式Sn = e1 * (1 - q^n) / (1 - q)，代入e1=1和q=3，得到Sn = (1 - 3^n) / (1 - 3)。
2. 已知等差数列{fn}的前n项和为Tn，若f1=2，d=3，求T10。
解：根据等差数列前n项和公式Tn = n/2 * (2a1 + (n - 1)d)，代入f1=2和d=3，得到T10 = 10/2 * (2*2 + (10 - 1)*3) = 5 * (4 + 27) = 5 * 31 = 155。
四、证明题1. 证明数列{gn}，其中gn = n^2，是一个单调递增数列。
证明：设n≥2，我们需要证明对于任意的n，有gn ≥ gn-1。
即证明n^2 ≥ (n-1)^2。
展开得n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1 > 0，所以数列{gn}是单调递增的。
2. 证明等差数列{hn}的任意两项hn和hm（m > n）之和等于它们中间项的两倍。
证明：设等差数列{hn}的首项为h1，公差为d。
根据等差数列的定义，hn = h1 + (n - 1)d，hm = h1 + (m - 1)d。
将两项相加得hn + hm = 2h1 + (m + n - 2)d。
由于m > n，所以m + n - 2 = m - 1 + n - 1，即hn + hm = h1 + (m - 1)d + h1 + (n - 1)d = 2h1 + (m + n - 2)d = 2h((m + n - 1)/2)，这正是它们中间项的两倍。
第二章数列单元综合测试(人教A版必修5)
第二章数列单元综合测试时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．数列{2n ＋1}的第40项a 40等于( ) A ．9 B ．10 C ．40D ．41解析：a 40＝2×40＋1＝81＝9.答案：A2．等差数列{2－3n }中，公差d 等于( ) A ．2 B ．3 C ．－1D ．－3解析：设a n ＝2－3n ，则an ＋1－a n ＝[2－3(n ＋1)]－(2－3n )＝－3. 答案：D3．数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 10等于( )A ．10B ．210C ．210－2D ．211－2解析：∴数列{a n }是公比为2的等比数列且a 1＝2.答案：D4．在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a 7＝5，S 7＝21，那么S 10等于( ) A ．55 B ．40 C ．35D ．70解析：设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝5，7a 1＋21d ＝21，解得d ＝23，a 1＝1，则S 10＝10a 1＋45d ＝40. 答案：B5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( ) A ．7 B ．8 C ．15D ．16解析：设公比为q ，由于4a 1,2a 2，a 3成等差数列， 则4a 2＝4a 1＋a 3，所以4q ＝4＋q 2，解得q ＝2. 所以S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝1－241－2＝15.答案：C6．等差数列{a n }的前n 项和为S n, 若a 3＋a 17＝10，则S 19的值是( ) A ．55 B ．95 C ．100D ．不确定解析：a 3＋a 17＝a 1＋a 19，∴S 19＝19(a 1＋a 19)2＝192×10＝95.答案：B7．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝( )A ．120B ．105C ．90D ．75解析：{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，即3a 2＝15，则a 2＝5. 又a 1a 2a 3＝80，∴a 1a 3＝(5－d )(5＋d )＝16，∴d ＝3.答案：B8．一个只有有限项的等差数列，它前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )A ．22B ．21C ．19D ．18解析：设该数列有n 项，且首项为a 1，末项为a n, 公差为d .则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝34，①5a n －10d ＝146，②a 1＋an2·n ＝234，③①＋②可得a 1＋a n ＝36.代入③得n ＝13.从而有a 1＋a 13＝36. 又所求项a 7恰为该数列的中间项，∴a 7＝a 1＋a 132＝362＝18.故选D.答案：D9．三个不同的实数a ，b ，c 成等差数列，又a ，c ，b 成等比数列，则ab 等于( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析：∵2b ＝a ＋c ，∴c ＝2b －a .∵c 2＝ab ，∴a 2－5ab ＋4b 2＝0，∴a ＝b (舍去)或a ＝4b ，∴a b＝4. 答案：D10．已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析：设公比为q ，答案：C11．在一直线上共插有13面小旗，相邻两面小旗之间距离为10 m ，在第一面小旗处有一个人，把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路程最短，应集中到哪一面小旗的位置上( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：图1如图1所示，设将旗集中到第x 面小旗处，则从第一面旗到第x 面旗共走路程为10(x－1)m ，然后回到第二面旗处再到第x 面处的路程是20(x －2)m ，…，从第x －1面到第x 面来回共20 m ，从第x 面处到第x ＋1面处路程为20 m ，从第x 面到第x ＋2面处的路程为20×2 m ，….总共的路程为s ＝10(x －1)＋20(x －2)＋20(x －3)＋…＋20×1＋20×1＋20×2＋…＋20×(13－x )＝10(x －1)＋20·(x －2)(x －1)2＋20·(13－x )(14－x )2＝10[(x －1)＋(x －2)(x －1)＋(13－x )(14－x )]＝10(2x 2－29x ＋183)＝20(x －294)2＋31154.∵x ∈N *，∴当x ＝7时，s 有最小值为780 m ， 即将旗集中到第7面小旗处，所走的路程最短． 答案：A12．若数列{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2007＋a 2008>0，a 2007·a 2008<0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( )A ．4013B ．4014C ．4015D ．4016解析：由已知a 1>0，a 2007·a 2008<0，可得数列{a n }为递减数列，即d <0，a 2007>0，a 2008<0.利用等差数列的性质及前n 项和公式可得所以使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是4014，选B. 答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．数列{a n }中的前n 项和S n ＝n 2－2n ＋2，则通项公式a n ＝________. 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－2n ＋2)－[(n －1)2－2(n －1)＋2]＝2n －3. 又n ＝1时，2n －3≠a 1，所以有a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n >1.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n >114．设{a n }为公比q >1的等比数列，若a 2006和a 2007是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2008＋a 2009＝________.解析：方程4x 2－8x ＋3＝0的两根是12和32，答案：1815．等差数列{a n }中，若S 12＝8S 4，且d ≠0，则a 1d等于________．解析：∵S 12＝12a 1＋66d ，S 4＝4a 1＋6d ，又S 12＝8S 4，∴12a 1＋66d ＝32a 1＋48d .∴20a 1＝18d ，∴a 1d ＝1820＝910.答案：91016．用[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.78]＝0，[3.01]＝3，如果定义数列{x n }的通项公式为x n ＝[n5](n ∈N *)，则x 1＋x 2＋…＋x 5n ＝________.解析：x 5n ＝[5n5]＝[n ]＝n ，则x 1＋x 2＋…＋x 5n ＝5[x 5＋x 10＋x 15＋…＋x 5(n －1)]＋x 5n ＝5(1＋2＋…＋n －1)＋n ＝52n 2－32n .答案：52n 2－32n三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(本小题10分)三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列．求这三个数．解：设三数为aq，a ，aq .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝512，(a q －2)＋(aq －2)＝2a ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝12.所以这三个数为4,8,16或16,8,4.18．(本小题12分)求和：(a －1)＋(a 2－2)＋…＋(a n －n )，a ≠0. 解：原式＝(a ＋a 2＋…＋a n )－(1＋2＋…＋n )＝(a ＋a 2＋…＋a n )－n (n ＋1)2＝⎩⎪⎨⎪⎧a (1－a n )1－a－n (n ＋1)2(a ≠1)，n －n 22(a ＝1).19．(本小题12分)已知数列{a n }是等差数列，a 2＝6，a 5＝18；数列{b n }的前n 项和是T n ，且T n ＋12b n ＝1.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列． 解：(1)设{a n }的公差为d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝6，a 1＋4d ＝18，解得a 1＝2，d ＝4. ∴a n ＝2＋4(n －1)＝4n －2.(2)证明：当n ＝1时，b 1＝T 1，由T 1＋12b 1＝1，得b 1＝23.当n ≥2时，∵T n ＝1－12b n ，Tn －1＝1－12b n －1，∴T n －T n －1＝12(bn －1－b n )．∴b n ＝12(b n －1－b n )．∴b n ＝13b n －1. ∴{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列．20．(本小题12分)假设某市2007年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积(以2007年为累计的第一年)等于4750万平方米？解：设n 年后该市每年所建中低价房的面积为a n ， 由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50，则S n ＝250n ＋n (n －1)2×50＝25n 2＋225n .令25n 2＋225n ＝4750，即n 2＋9n －190＝0， 解得n ＝－19或n ＝10. 又n 是正整数，∴n ＝10.到2016年底，该市历年所建中低价房的累计面积等于4750万平方米． 21．(本小题12分)设a 1＝1，a 2＝53，an ＋2＝53an ＋1－23a n (n ∈N *)．(1)令b n ＝an ＋1－a n (n ∈N *)，求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{na n }的前n 项和S n .解：(1)因为b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1＝53a n ＋1－23a n －a n ＋1＝23(a n ＋1－a n )＝23b n ，所以数列{b n }是首项为b 1＝a 2－a 1＝23，公比为23的等比数列，所以b n ＝(23)n (n ＝1,2，…)．22．(本小题12分)将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10记表中的第一列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为{b n }，b 1＝a 1＝1.S n 为数列{b n }的前n 项和，且满足2b nb n S n －S 2n＝1(n ≥2)．(1)证明数列{1S n}成等差数列，并求数列{b n }的通项公式；(2)上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当a 81＝－491时，求上表中第k (k ≥3)行所有项的和．解：(1)证明：由已知，当n ≥2时，2b nb n S n －S 2n＝1，又因为S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，又因为S 1＝b 1＝a 1＝1，所以数列{1S n }是首项为1，公差为12的等差数列．由上可知1S n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，即S n ＝2n ＋1.所以当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝－2n (n ＋1). 因此b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2n (n ＋1)，n ≥2. (2)设题表中从第三行起，每行的公比都为q ，且q >0.因为1＋2＋…＋12＝12×132＝78，所以表中第1行至第12行共含有数列{a n }的前78项．故a 81在表中第13行第三列，因此a 81＝b 13·q 2＝－491.又b 13＝－213×14，所以q ＝2.记表中第k (k ≥3)行所有项的和为S ，即S ＝b k (1－q k )1－q ＝－2k (k ＋1)·1－2k 1－2＝2k (k ＋1)(1－2k )(k ≥3)．。
数列单元测试题及答案解析
数列单元测试题及答案解析一、选择题1. 已知等差数列的首项为a1=3，公差为d=2，求第10项的值。
A. 23B. 25C. 27D. 292. 等比数列的首项为a1=2，公比为r=3，求第5项的值。
A. 162B. 243B. 324D. 4863. 一个数列的前5项为1, 3, 6, 10, 15，这个数列是：A. 等差数列B. 等比数列C. 既不是等差数列也不是等比数列D. 无法判断二、填空题4. 等差数列的前n项和公式为：S_n = _______。
5. 等比数列的前n项和公式为：S_n = _______。
三、解答题6. 已知等差数列的前10项和为S10=185，求公差d。
7. 已知等比数列的前3项和为S3=28，首项a1=2，求公比r。
四、证明题8. 证明：等差数列中，任意两项的等差中项等于它们的算术平均数。
答案解析：一、选择题1. 答案：A。
解析：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，代入n=10，得a10 = 3 + 9*2 = 21。
2. 答案：B。
解析：根据等比数列的通项公式an = a1 * r^(n-1)，代入n=5，得a5 = 2 * 3^4 = 243。
3. 答案：C。
解析：数列1, 3, 6, 10, 15不是等差也不是等比数列，因为相邻两项的差和比值都不是常数。
二、填空题4. 答案：S_n = n/2 * (2a1 + (n-1)d)。
解析：等差数列前n项和的公式。
5. 答案：S_n = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，当r≠1时。
解析：等比数列前n项和的公式。
三、解答题6. 解：根据等差数列前n项和的公式，S10 = 10/2 * (2*3 + 9d) = 185，解得d = 3。
7. 解：根据等比数列前n项和的公式，S3 = a1 * (1 - r^3) / (1 - r) = 28，代入a1=2，解得r = 3。
四、证明题8. 证明：设等差数列中任意两项为an和am，它们的等差中项为a，即a = (an + am) / 2。
【数列】数列综合练习题(1)--测试用
数列综合练习题一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分1、数列 的一个通项公式是 （ ）A. B ． C ． D ． 2、若两数的等差中项为6，等比中项为10，则以这两数为根的一元二次方程是（ ） A 、010062=+-x x B 、0100122=++x x C 、0100122=--x x D 、0100122=+-x x3、已知-9,a 1,a 2,-1四个实数成等差数列，-9,b 1,b 2,b 3,-1五个实数成等比数，则b 2(a 2-a 1)=（ ）A.8 B.-8 C.±8 D.4、已知数列{}n a 是等比数列，若,a a a a 41813229=+则数列{}n a 的前30项的积=30T （ ） A 、154， B 、152， C 、1521⎪⎭⎫ ⎝⎛， D 、153，5、已知等比数列{a n }的公比为2, 前4项的和是1, 则前8项的和为 ( ) A ．15. B ．17. C ．19. D ．216、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若45818,a a S =-=则 （ ）（A ）18 （B ）36 （C ）54 （D ）727、已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则|m －n|=（ ）A ．1B ．43 C ．21 D ．83 8、等差数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 50＝200，a 51+a 52+…+a 100＝2700，则a 1等于( ) A ．－1221 B ．－21．5 C ．－20．5 D ．－20 9、设 {a n }是由正数组成的等比数列, 且公比q = 2, 如果a 1 · a 2 · a 3 · … · a 30 = 230, 那么a 3 · a 6 · a 9 · … · a 30 = ( )A ．210.B ．215.C ．220.D ．216.10、某人从1999年9月1日起，每年这一天到银行存款一年定期a 元，且每年到期的存款将本和利再存入新一年的一年定期，若年利率r 保持不变，到2003年9月1日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数为 A 、()51r a + B 、()()[]r r r a++1-15 C 、 ()41r a + D 、()[]115-+r ra 12)1(3++-=n n n a n n 12)3()1(++-=n n n a n n 121)1()1(2--+-=n n a n n 12)2()1(++-=n n n a n n ⋯--,924,715,58,189二、 填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分。
中职数学数列专项测试
中职数学数列专项测试一、单项选择题1.等差数列{an}中，a5＋a6＋a7＝8，a11＋a12＋a13＝44，则公差d为（）A.18B.2C.36D.12.在等差数列{an}中，已知a2和a4是方程x2－2x－3＝0的两根，则a3等于（）A.－2B.2C.－1D.13.若数列{an}的前4项分别为1，3，9，27，按此规律，第5项为（）A.36B.108C.54D.814.若101是某数列中的一项，则此数列可能是（）A.{n2＋1}B.{n2－1}C.{n2－2n＋1}D.{n2－n－1}5.在等差数列{an}中，若a3＝3，a13＝－2，则a21等于（）A.－6B.－5C.6D.56.已知数列1，a，5是等差数列，则实数a的值是（）A.2B.3C.4D. 57.在等差数列{an}中，若a2＝4，a6＝18，则a4等于（）A.11B.12C.16D.178.在等差数列{an}中，已知a5＝8，前5项和等于10，则前10项和等于（）A.95B.125C.175D.709.等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d＝（）A.1B.53C.2D.310.数列12，34，78，1516，…的通项公式是（ ） A.an ＝2n ＋12n B.an ＝2n ＋12n C.an ＝2n －12n D.an ＝2n ＋12n11.600是数列1×2，2×3，3×4，4×5，…的（ ） A.第20项 B.第24项 C.第25项 D.第30项12.若等差数列{an}的前n 项和Sn ＝n （n ＋1）4，则a1＋a8等于（ ） A.4 B.72 C.5D.9213.数列－1，2，6，11，17，24，32，…的第10项等于（ ） A.50 B.51 C.62 D.7014.已知数列{an}是等差数列，a3＋a11＝50，且a4＝13，则公差d 等于（ ） A.1 B.4 C.5 D.615.已知数列{an}的前n 项和Sn ＝2－n2，则a5的值为（ ） A.－9 B.－6 C.－3 D.016.若a ＝2－1，b ＝2＋1，则a ，b 的等差中项为（ ） A. 2 B.1 C.0 D.－117.数列{3n －1}为（ ） A.递增数列B.递减数列C.常数列D.以上都不对18.已知数列{an}满足an-1-an=-6（n≥2 ）,a4=12,则a1=（）A.-6B.0C.6D.1219.数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…中x的值是（）A.19B.20C.21D.2220.在等差数列{an}中，若S10＝120，则a1＋a10等于（）A.12B.24C.36D.48二、填空题21.已知数列12,23,34,45,…,则0.95是该数列的第项.22.数列{an}中an＋1＝an＋13，且a1＝2，则a100＝.23.数列{an}中an+1=an+13,且a1=2,则a100= .24.数列1，2，3，…，101中各项之和为.25.在等差数列{an}中，若a1＝2，a11＝32，则公差d ＝ ，S11＝ .26.在等差数列{an}中，若a3＝2，a7＝4，则a5＝ . 27.已知数列的前n 项和为Sn ＝－2n2＋3n ，则它的通项公式是 .28.已知数列{an}的通项公式an ＝⎩⎪⎨⎪⎧2·3n-1（n 为偶数，n ∈N*），2n －5（n 为奇数，n ∈N*），则a3·a4＝ .29.某剧院共有25排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有70个座位，这个剧院共有 个座位.30.已知数列{an}的通项公式为an ＝100－3n ，则第 项开始出现负值.31.已知数列{an}的前n 项和Sn ＝log3（2n ＋1），则a14＋a15＋a16＋…＋a40＝ .32.在数列{an}中，若a1＝1，an ＋1＝an ＋2（n ∈N*），则该数列的通项公式为 .33.在等差数列{an}中，若a3＝7，a4＝8，则a7＝ . 34.已知等差数列{an}的通项公式为an ＝3－2n ，则公差d ＝ .35.在－1和8之间插入两个数a ，b ，使这四个数成等差数列，则a ＋b ＝ . 三、解答题36.在等差数列{an}中,已知a2=2,a7,=22. 求:（1）a12的值;（2）a1+a3+a5+a7+a9的和.37.判断22是否为数列{n2－n－20}中的项.如果是，请指出22在数列中的项数.38.已知三个数a1，a2，a3顺次成等差数列，其和为72，且a3＝2a1，求这三个数.39.已知无穷数列7，4，3，…，n＋6n，…请回答以下问题：（1）求这个数列的第10项；（2）5350是这个数列的第几项？（3）这个数列有多少整数项？（4）有没有等于项数号的13倍的项？如果有，求出这些项；如果没有，试说明理由.40.已知等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋…＋b10的值.41.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10＝30，a20＝50. （1）求数列{an}的通项公式；（2）若Sn＝242，求n的值.答案一、单项选择题1.B2.D3.D4.A5.A 【解析】∵在等差数列{an}中，a3＝3，a13＝－2，∴－2＝3＋10d ，解得d ＝－12，故a21＝3＋18d ＝－6. 6.B7.A 【提示】∵a2＝4，a6＝18，∴⎩⎪⎨⎪⎧a1＋d ＝4，a1＋5d ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝12，d ＝72.∴a4＝a1＋3d ＝12＋3×72＝11.（或利用等差中项的性质a4＝a2＋a62＝11）8.A 【提示】S5＝5（a1＋a5）2 ＝5（a1＋8）2 ＝10⇒a1＝－4，a5－a1＝4d ，即8－(－4)＝4d ⇒d ＝3.S10＝10a1＋10×92 d ＝10×(－4)＋45×3＝95.故选A.9.C 【提示】由等差数列的前n 项和定义可得：1133624a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得d＝2. 10.C11.B 【提示】∵600＝24×25，∴600是数列的第24项.12.D 【提示】等差数列前n 项和Sn ＝n （a1＋an ）2，a1＋a8＝2S88. 13.C 14.B【提示】根据等差数列性质求得a7＝25，则d＝a7－a43＝4，选B.15.A16.A【提示】由等差中项定义得2x＝2－1＋2＋1，解得x＝ 2.17.A18.A19.C【提示】本题中的数列是一个斐波那契数列，从第3项起每一项都等于其前两项之和，故x＝8＋13＝21.20.B【提示】∵S10＝10（a1＋a10）2＝120，∴a1＋a10＝24.二、填空题21.1922.3523.3524.5 15125.3 18726.3【提示】a5－a3＝a7－a5得2a5＝a3＋a7.27.an＝－4n＋528.5429.115030.3431.1【提示】当n＝1时，a1＝1；当n≥2，n∈N*时，因为Sn＝log3（2n＋1），所以Sn－1＝log3（2n－1），an＝Sn－Sn－1＝log32121nn+-，故a14＋a15＋…＋a40＝log32927＋log33129＋…＋log38179＝log38127＝log33＝1.32.an＝2n－1【提示】由an＋1＝an＋2，得an＋1－an＝2，∴数列{an}是等差数列，an＝1＋2（n－1）＝2n－1.33.1134.－235.7三、解答题36.(1)42(2)7037.解：解方程n2－n－20＝22，得n＝7或n＝－6（舍去），∴22在数列中的项数是7.38.16，24，3239.解：（1）a10＝10＋610＝85.（2）由5350＝n＋6n得n＝100.（3）∵当n＝1，2，3，6时，an＝1＋6n∈Z，∴an共有4个整数项，分别是a1，a2，a3和a6（4）有这样的项an＝n3＝n＋6n，得n2－3n－18＝0，解得n＝6或n＝－3（舍去）. ∴第6项满足条件.40.解：（1）由题意⎩⎪⎨⎪⎧a1＋d ＝4，a1＋3d ＋a1＋6d ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝3，d ＝1，∴an ＝n ＋2.（2）∵bn ＝2an －2＋n ＝2n ＋n ，∴b1＋b2＋...＋b10＝（2＋22＋23＋...＋210）＋（1＋2＋3＋ (10)＝2×（1－210）1－2＋10×（1＋10）2 ＝2101.41.解：（1）由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a1＋9d ＝30，a1＋19d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝12，d ＝2，∴an ＝2n ＋10.（2）Sn ＝12n ＋n （n －1）2·2＝242， 解得n ＝11或n ＝－22（舍去）.。
数列综合测试题
高二数学数列综合测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知a ，b ，c 成等比数列，a ，m ，b 与b ，n ，c 分别成两个等差数列，则a m ＋cn等于 ( )A ．4B ．3C ．2D ．1 2．已知{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线斜率为 ( )A ．4 B.14 C ．－4 D ．－143．设等比数列{a n }的前n 项与为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝ ( )A ．2 B.73 C.83D ．34．已知数列{a n }的前n 项与为S n ，且15S n ＝a n －1，则a 2等于 ( ) A ．－54 B.54 C.516 D.25165．等比数列{a n }的前n 项与为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4＝( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．166．若数列{a n }的通项公式为a n ＝n (n －1)·…·2·110n，则{a n }为( )A ．递增数列B ．递减数列C ．从某项后为递减D ．从某项后为递增7．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝1－2n ，其前n 项与为S n ，则数列{S nn}的前11项与为( )A ．－45B ．－50C ．－55D ．－668．设数列{a n }的前n 项与为S n , 已知15a =，且12(1)(1)n n nS n n n S +=+++( n ∈N*)， 则过点P(n,n a ) 与Q(n+2,2+n a )( n ∈N*)的直线的一个方向向量的坐标可以是 （ ）A ．（2，21）B ．(-1, -1)C ．(21-, -1)D ．（2,21--）9．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝32，则a 29a 11的值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－410．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项与分别为A n 与B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是 ( )A ．2B ．3C ．4D ．511．已知{a n }是递增数列，对任意的n ∈N *，都有a n ＝n 2＋λn 恒成立，则λ的取值范围是 ( )A ．(－72，＋∞) B ．(0，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－3，＋∞)12．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前2 008项的与等于 ( ) A ．1 506 B ．3 012 C ．1 004D ．2 008二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上)13.已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，当a n 为偶数时3a n ＋1，当a n 为奇数时，若a 6＝1，则m 所有可能的取值为________．14.已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＝a n －1＋1n 2－1(n ≥2)，则{a n }的通项公式为________．15．已知等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都是整数，前n 项与为S n (n ∈N *)．若a 1>1，a 4>3，S 3≤9，则通项公式a n ＝________. 16.下面给出一个“直角三角形数阵”： 14 12，1434，38，316满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为a ij (i ≥j ，i ，j ∈N *)，则a 83＝________.三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b n }的第二项，第三项，第四项． ⑴求数列{a n }与{b n }的通项公式．⑵设数列{c n }对任意正整数n ，均有1332211+=+⋯⋯+++n nna b c b c b c b c ，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2010的值． 18．(本小题满分12分)已知数列{a n }中，其前n 项与为S n ，且n ，a n ，S n 成等差数列(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求S n >57时n 的取值范围． 19．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋a (a ≠0)，不等式f (x )≤0的解集有且只有一个元素，设数列{a n }的前n 项与为S n ＝f (n )．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设各项均不为0的数列{c n }中，满足c i ·c i ＋1<0的正整数i 的个数称作数列{c n }的变号数，令c n ＝1－aa n(n ∈N *)，求数列{c n }的变号数．20．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝12，且[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，n ∈N *.(1)求a 3，a 4，a 5，a 6的值及数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a 2n －1·a 2n ，求数列{b n }的前n 项与S n .21．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项与为S n ，点(n ，S nn)在直线y ＝12x ＋112上．数列{b n }满足b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)，b 3＝11，且其前9项与为153.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝3(2a n －11)(2b n －1)，数列{c n }的前n 项与为T n ，求使不等式T n ＞k57对一切n ∈N *都成立的最大正整数k 的值．22．(本小题满分14分)在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N)．(1)试判断数列{1a n}是否为等差数列；(2)若λa n ＋1a n ＋1≥λ，对任意n ≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．数列综合测试题参考答案一、选择题CABDC DDDBD DA 二、填空题13、4，5，32 14、a n ＝54－2n ＋12n (n ＋1)15、n ＋1 16、12三、解答题17．⑴由题意得（a 1＋d ）(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2(d >0) 解得d ＝2，∴a n ＝2n －1，b n ＝3n －1．⑵当n ＝1时，c 1＝3 当n ≥2时，∵,1n n nna abc -=+∴⎩⎨⎧≥⋅==-)2(32)1(31n n c n n故132-⋅=n n c18．解：(1)∵n ，a n ，S n 成等差数列，∴S n ＝2a n －n ，S n －1＝2a n －1－(n －1) (n ≥2)， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1－1 (n ≥2)， ∴a n ＝2a n －1＋1 (n ≥2)，两边加1得a n ＋1＝2(a n －1＋1) (n ≥2)，∴a n ＋1a n －1＋1＝2 (n ≥2)． 又由S n ＝2a n －n 得a 1＝1.∴数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴a n ＋1＝2·2n －1，即数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)由(1)知，S n ＝2a n －n ＝2n ＋1－2－n ，∴S n ＋1－S n ＝2n ＋2－2－(n ＋1)－(2n ＋1－2－n ) ＝2n ＋1－1>0，∴S n ＋1>S n ，{S n }为递增数列．由题设，S n >57，即2n ＋1－n >59. 又当n ＝5时，26－5＝59，∴n >5.∴当S n >57时，n 的取值范围为n ≥6(n ∈N *)．19．解：(1)由于不等式f (x )≤0的解集有且只有一个元素， ∴Δ＝a 2－4a ＝0⇒a ＝4， 故f (x )＝x 2－4x ＋4.由题S n ＝n 2－4n ＋4＝(n －2)2 则n ＝1时，a 1＝S 1＝1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n －2)2－(n －3)2＝2n －5， 故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝1，2n －5 n ≥2.(2)由题可得，c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3 n ＝11－42n －5 n ≥2.由c 1＝－3，c 2＝5，c 3＝－3，所以i ＝1，i ＝2都满足c i ·c i ＋1<0，当n ≥3时，c n ＋1>c n ，且c 4＝－13，同时1－42n －5>0⇒n ≥5，可知i ＝4满足c i 、c i ＋1<0，n ≥5时，均有c n c n ＋1>0.∴满足c i c i ＋1<0的正整数i ＝1,2,4，故数列{c n }的变号数为3.20．解：(1)经计算a 3＝3，a 4＝14，a 5＝5，a 6＝18.当n 为奇数时，a n ＋2＝a n ＋2，即数列{a n }的奇数项成等差数列，∴a 2n －1＝a 1＋(n －1)·2＝2n －1.当n 为偶数时，a n ＋2＝12a n ，即数列{a n }的偶数项成等比数列，∴a 2n ＝a 2·(12)n －1＝(12)n.因此，数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n 为奇数)，(12)n2(n 为偶数).(2)∵b n ＝(2n －1)·(12)n，∴S n ＝1·12＋3·(12)2＋5·(12)3＋…＋(2n －3)·(12)n －1＋(2n －1)·(12)n， ①12S n ＝1·(12)2＋3·(12)3＋5·(12)4＋…＋(2n －3)·(12)n＋(2n －1)·(12)n ＋1， ②①②两式相减， 得12S n ＝1·12＋2[(12)2＋(12)3＋…＋(12)n ]－(2n －1)·(12)n ＋1 ＝12＋12·[1－(12)n －1]1－12－(2n －1)·(12)n ＋1＝32－(2n ＋3)·(12)n ＋1. ∴S n ＝3－(2n ＋3)·(12)n .21．解：(1)由已知得S n n ＝12n ＋112，∴S n ＝12n 2＋112n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝12n 2＋112n －12(n －1)2－112(n －1)＝n ＋5； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝6也符合上式． ∴a n ＝n ＋5.由b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)知{b n }是等差数列，由{b n }的前9项与为153，可得9(b 1＋b 9)2＝9b 5＝153，得b 5＝17，又b 3＝11，∴{b n }的公差d ＝b 5－b 32＝3，b 3＝b 1＋2d ，∴b 1＝5，∴b n ＝3n ＋2.(2)c n ＝3(2n －1)(6n ＋3)＝12(12n －1－12n ＋1)，∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)． ∵n 增大，T n 增大， ∴{T n }是递增数列．∴T n ≥T 1＝13.T n ＞k57对一切n ∈N *都成立，只要T 1＝13＞k57，∴k ＜19，则k max ＝18.22．解：(1)∵a 1≠0，∴a n ≠0，∴由已知可得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)，故数列{1a n}是等差数列．(2)将a n ＝1b n ＝13n －2代入λa n ＋1a n ＋1≥λ并整理得λ(1－13n －2)≤3n ＋1，∴λ≤(3n ＋1)(3n －2)3n －3，原命题等价于该式对任意n ≥2的整数恒成立．设C n ＝(3n ＋1)(3n －2)3n －3，则C n ＋1－C n ＝(3n ＋1)(3n －4)3n (n －1)>0，故C n ＋1>C n ，∴C n 的最小值为C 2＝283，∴λ的取值范围是(－∞，283]．。
数列测试卷(含答案)
第五章数列测试卷一、选择题(本大题20个小题，每小题3分，共60分) ( )1. 数列1,-2,3,-4……的一个通项公式是A.a n=(一1)n•nB. a n= (-1)n+1 •nC. a n=nD. a n=-n2.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2+n,且156是该数列的一项，则n 等于 ( )A.10B.11C.12D.133.若等差数列的前n项和S n=2n2- n,则它的通项公式a n为( )A.4n+3B.4n一3C.2n-1D.2n+14.在数列{ a n}中,若a1=2,a n=a n+1-2，则该数列的第5项等于( )A.16B. 14C.12D.55.已知2,m,8构成等差数列，则实数m的值是 ( )A.4B.4或一4C.10D.566.在等差数列{a n}中,已知S3=54,则a2为 ( )A.6B.12C.18D.247.在等差数列中，若a1=23,公差d为整数,a6>0,a7<0,则d等于 ( )A.-1B. -2C.-3D.-4 8.若a ≠b,且aa 1,a 2a 3,b 和a.b 1b 2b 3,b 4,b 都是等差数列，则a1−a2b1−b2等于( )A.43B.34C. 45D.549.在等差数列{a n }中,若a 1+a 4+a 7= 39,a 3+a 6+a 9=27,则S 9等于 ( )A.66B.144C.99D.297 10.等差数列{a n }中,若a n = m,a m =n,且m ≠n,那么a m+n .等于( ) A. mn B.m+n C.m-n D.011.已知a,b,c 成等比数列，则函数y=2ax 2+ 3bx+c 与x 轴交点的个数是 ( )A.0B.1C.2D.3 12.等比数列{a n }中,a 6=6,a 9=9,则a 3等于 ( ) A.4 B .32C.169D.213.已知等比数列{a n },前3项的和为7,积为8,则此数列的公比等于( )A.2B.2或32C.12D.-2或-12.14.已知等差数列{a n }的公差d=3,若a 1,a 3.a 4.成等比数列，则a 2等于 ( )A.-18B.-15C.-12D. -9 15.在等比数列(a n )中:若 a 2•a 6=8,Iog 2(a 1•a 7)= ( )A. 8 B .3 C.16 D.28 16.已知1和4的等比中项是log 3x,则实数x 的值是 ( ) A.2或12B.3或13C.4或14D.9或1917.已知等比数列{a n }的各项均为正数.且a 1, 12a 3,2a 2成等差数列，则a9+a10a7+a8= ( )A.1+√2B.1- √2C.3+2√2D.3-2√2 18.在等比数列{a n }中,著a4a7+a5a6=20.则此数列的前10项之积为( )A.50B.2010C.105D. 1010 19.为了治理沙漠，某农场要在沙漠上赖种植被，计划第一年栽种15公顷，以后每年比上一年多栽种4公顷，那么10年后该农场共裁种植被的公顷数是 ( )A.510公顷B.330公顷C.186公顷D.51公顷 20.《九章算术)“竹九节”问题:现有一根9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积是 ( )A.1升B.6766升 C.4744升 D.3733升二、填空题(本大题5个小题，每小题4分，共20分) 21.在等差数列{a n }中,若Sn=3n 2+2n.则公差d 的值是22.已知数列{a n }的通项公式为a n =2n 一49,则当n= 时,S n 有最小值.23.在等差数列{a n }中,已知公差d=12,且a 1+a 3+a 5…+a 97+a 99=60.则a1+a2+a3+…+a99+a100= .24.等比数列{a n}中,a2=2,a5=16,则S6=25.某种储蓄利率为2.5%，按复利计算,若本金为30 000元，设存入工期后的本金和利息为y元，则y随x变化的函数关系为三、解答题(本大题5个小题，共40分)26.(本小题6分)已知等差数列{a n}中,a n=33-3n,求前n项和S n的最大值.27.(本小题8分)设数列{a n}满足:a1=1,a n+1=2a n.n∈N+.(1)求数列{a n}的通项公式:(2)已知数列{b n}是等差数列,S n是其前n项和，且满足b1=a3,b3=a1+a2+a3,求S20的值。
高中数学选择性必修二 第4章数列 综合测试新章节复习
【分析】
设等差数列{an}的公差为 ，利用等比中项求出 和 的关系，代入 求值即为该等比数列的公比．
【详解】
设等差数列{an}的公差为
则 ，即 ，解得
则该等比数列的公比为
故答案为：
14．1
【分析】
利用等差、等比的通项公式结合已知求出公差d、公比q，进而求 .
【详解】
若令 公差、 公比分别为 ，
11．若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积列”.若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2022积数列”，且a1>1，则当其前n项的乘积取最大值时，n的最大值为（）
A．1009B．1010C．1011D．2020
12．已知数列 的前 项和为 ， ， 且 ，满足 ，数列 的前 项和为 ，则下列说法中错误的是（）
人教A版选择性必修第二册第四章数列综合测试2
一、单选题
1．设数列 满足 ，则 （）
A．2B．4C．8D．16
2．在等差数列 中， ，则 等于（）.
A．6B．12C．24D．32
3．等比数列 中， ， ，则 等于（）
A．16B．32C．64D．128
4．设数列 的通项公式为 ，要使它的前 项的乘积大于36，则 的最小值为（）
【分析】
由等差数列的性质可得 ，结合分组求和法即可得解。
【详解】
因为 ， ，
所以数列 是以 为首项，公差为3的等差
所以
.
故选：C.
10．D
【分析】
设该女子第 尺布，前 天工织布 尺，则数列 为等差数列，设其公差为 ，根据 ， 可求得 的值.
【详解】
设该女子第 尺布，前 天工织布 尺，则数列 为等差数列，设其公差为 ，
数列多选题专项训练测试试题及答案
一、数列多选题1．已知数列0,2,0,2,0,2,，则前六项适合的通项公式为（ ） A ．1(1)n n a =+- B ．2cos 2n n a π= C ．(1)2sin 2n n a π+= D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+-- 答案：AC【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案．【详解】对于选项A ，取前六项得：，满足条件；对于选项B ，取前六项得：，不满足条件；对于选项C ，取前六项得：，解析：AC【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案．【详解】对于选项A ，1(1)n n a =+-取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；对于选项B ，2cos2n n a π=取前六项得：0,2,0,2,0,2--，不满足条件； 对于选项C ，(1)2sin 2n n a π+=取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件； 对于选项D ，1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件；故选：AC2．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝0 答案：ABD【分析】对于A ，由题意得bn＝an2，然后化简4(b2020－b2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{an}满足a1＝a2＝1，an ＝an －1＋an －2 (n≥3解析：ABD【分析】对于A ，由题意得b n ＝4πa n 2，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 【详解】由题意得b n ＝4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4πa 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确；故选：ABD.【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题3．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ）A ．0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数 B ．1(1)1n n a -=-+ C ．2sin2n n a π= D ．cos(1)1n a n π=-+ 答案：BD【分析】根据选项求出数列的前项，逐一判断即可.【详解】解：因为数列的前4项为2，0，2，0，选项A ：不符合题设；选项B ：，符合题设；选项C ：，不符合题设；选项D ：，符合题设解析：BD【分析】根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可.【详解】解：因为数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，选项A ：不符合题设；选项B ：01(1)12,a =-+=12(1)10,a =-+= 23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；选项C ：，12sin 2,2a π==22sin 0,a π==332sin 22a π==-不符合题设； 选项D ：1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.故选：BD.【点睛】本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题.4．在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，前n 项和为n S ，则（ ）A ．4619a a a a >B ．130S >，140S <，则78a a >C ．若915S S =，则n S 中的最大值是12SD ．若2n S n n a =-+，则0a =答案：AD【分析】对于，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于，根据等差数列的前项和公式得到和， 进而可得，由此可知，故不正确； 对于，由得到，，然后分类讨论的符号可得答案；对于，由求出及解析：AD【分析】对于A ，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于B ，根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<， 进而可得80a <，由此可知78||||a a <，故B 不正确；对于C ，由915S S =得到，12130a a +=，然后分类讨论d 的符号可得答案；对于D ，由n S 求出n a 及1a ，根据数列{}n a 为等差数列可求得0a =.【详解】对于A ，因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =，且0d ≠，所以24619150a a a a d -=>，所以4619a a a a >，故A 正确；对于B ，因为130S >，140S <，所以77713()1302a a a +=>，即70a >，787814()7()02a a a a +=+<，即780a a +<，因为70a >，所以80a <，所以7878||||0a a a a -=+<，即78||||a a <，故B 不正确；对于C ，因为915S S =，所以101114150a a a a ++++=，所以12133()0a a +=，即12130a a +=，当0d >时，等差数列{}n a 递增，则12130,0a a <>，所以n S 中的最小值是12S ，无最大值；当0d <时，等差数列{}n a 递减，则12130,0a a ><，所以n S 中的最大值是12S ，无最小值，故C 不正确；对于D ，若2n S n n a =-+，则11a S a ==，2n ≥时，221(1)(1)n n n a S S n n a n n a -=-=-+--+--22n =-，因为数列{}n a 为等差数列，所以12120a a =⨯-==，故D 正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键.5．已知数列{}2n na n +是首项为1，公差为d 的等差数列，则下列判断正确的是（ ）A ．a 1＝3B ．若d ＝1，则a n ＝n 2+2nC ．a 2可能为6D ．a 1，a 2，a 3可能成等差数列 答案：ACD【分析】利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可求解【详解】因为，，所以a1＝3，an ＝[1+(n-1)d](n+2n).若d ＝1，则an ＝n(n+2n)；若d ＝0，则a2＝解析：ACD【分析】利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可求解【详解】 因为1112a =+，1(1)2nn a n d n =+-+，所以a 1＝3，a n ＝[1+(n -1)d ](n +2n ).若d ＝1，则a n ＝n (n +2n )；若d ＝0，则a 2＝6.因为a 2＝6+6d ，a 3＝11+22d ，所以若a 1，a 2，a 3成等差数列，则a 1+a 3＝a 2，即14+22d ＝12+12d ，解得15d =-. 故选ACD6．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，151115,a S S ==，则以下正确的是（ ）A ．1d =-B ．413a a =C ．n S 的最大值为8SD ．使得0n S >的最大整数15n = 答案：BCD【分析】设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得，再逐项判断即可得解.【详解】设等差数列的公差为，由题意，，所以，故A 错误；所以，所以，故B 正确；因为，所以当解析：BCD【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得1215d a =-⎧⎨=⎩，再逐项判断即可得解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 由题意，1115411105112215a d a d a ⨯⨯⎧+=+⎪⎨⎪=⎩，所以1215d a =-⎧⎨=⎩，故A 错误； 所以1131439,129a a d a d a =+==+=-，所以413a a =，故B 正确；因为()()2211168642n n n a n d n n n S -=+=-+=--+， 所以当且仅当8n =时，n S 取最大值，故C 正确； 要使()28640n S n =--+>，则16n <且n N +∈，所以使得0n S >的最大整数15n =，故D 正确.故选：BCD.7．（多选题）在数列{}n a 中，若221n n a a p --=，（2n ≥，*n N ∈，p 为常数），则称{}n a 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，则{}2n a 是等方差数列 B ．(){}1n-是等方差数列 C ．若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列答案：BCD【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误.【详解】对于A 选项，取，则不是常数，则不是等方差数列，A 选项中的结论错误； 对于B 选项，为常数，则是等方差数列，B 选项中的结论正解析：BCD【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误.【详解】对于A 选项，取n a n =，则()()()422444221111n n a a n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-=+-=+-⋅++⎣⎦⎣⎦()()221221n n n =+++不是常数，则{}2n a 不是等方差数列，A 选项中的结论错误；对于B 选项，()()22111110n n +⎡⎤⎡⎤---=-=⎣⎦⎣⎦为常数，则(){}1n -是等方差数列，B 选项中的结论正确；对于C 选项，若{}n a 是等方差数列，则存在常数p R ∈，使得221n n a a p +-=，则数列{}2n a 为等差数列，所以()221kn k n a a kp +-=，则数列{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列，C 选项中的结论正确；对于D 选项，若数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则存在m R ∈，使得n a dn m =+，则()()()()2221112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++， 由于数列{}n a 也为等方差数列，所以，存在实数p ，使得221n n a a p +-=，则()222d n m d d p ++=对任意的n *∈N 恒成立，则()2202d m d d p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得0p d ==， 此时，数列{}n a 为常数列，D 选项正确.故选BCD.【点睛】本题考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题.8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（ ）A ．2n S n =B ．223n S n n =-C ．21n a n =-D ．35n a n =-答案：AC【分析】利用等差数列的前项和公式、通项公式列出方程组，求出，，由此能求出与．【详解】等差数列的前项和为．，，，解得，，．故选：AC ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公解析：AC【分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出n a 与n S ．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．39S =，47a =， ∴31413239237S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩， 解得11a =，2d =，1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=．()21212n n n S n +-== 故选：AC ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题，其中的真命题为（ ）. A ．数列{}n a 是递增数列B ．数列{}n na 是递增数列C ．数列{}n a n是递增数列 D ．数列{}3n a nd +是递增数列答案：AD【分析】根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项.【详解】， ，所以是递增数列，故①正确，，当时，数列不是递增数列，故②不正确，，当时，不是递增数列，故③不正确，，因解析：AD【分析】根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项.【详解】0d >，10n n a a d +-=> ，所以{}n a 是递增数列，故①正确，()()2111n na n a n d dn a d n =+-=+-⎡⎤⎣⎦，当12d a n d-<时，数列{}n na 不是递增数列，故②不正确，1n a a d d n n -=+，当10a d -<时，{}n a n不是递增数列，故③不正确， 134n a nd nd a d +=+-，因为0d >，所以{}3n a nd +是递增数列，故④正确， 故选：AD【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题.10．设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1718S S =，则下列各式的值为0的是（ ）A ．17aB ．35SC ．1719a a -D ．1916S S - 答案：BD【分析】由得，利用可知不正确；；根据可知 正确；根据可知不正确；根据可知正确.【详解】因为，所以，所以，因为公差，所以，故不正确；，故正确；，故不正确；，故正确.故选：BD.解析：BD【分析】由1718S S =得180a =，利用17180a a d d =-=-≠可知A 不正确；；根据351835S a =可知 B 正确；根据171920a a d -=-≠可知C 不正确；根据19161830S S a -==可知D 正确.【详解】因为1718S S =，所以18170S S -=，所以180a =，因为公差0d ≠，所以17180a a d d =-=-≠，故A 不正确；135********()35235022a a a S a +⨯====，故B 正确； 171920a a d -=-≠，故C 不正确；19161718191830S S a a a a -=++==，故D 正确.故选：BD.【点睛】本题考查了等差数列的求和公式，考查了等差数列的下标性质，属于基础题.。
数列专题评估测试题及详细答案
数列专题评估测试题[时间120分钟，满分150分]一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在数列{a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝2x 上，则a 4的值为A ．7B ．8C ．9D ．16解析 据题意得a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是等比数列，且公比为2，所以a 4＝a 1q 3＝23＝8.答案 B2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2 014＝S 2 014＝2 014，则a 1等于A ．－2 011B ．－2 012C ．－2 013D ．－2 014 解析 在等差数列{a n }中，S 2 014＝2 014(a 1＋a 2 014)2＝2 014， 所以a 1＋a 2 014＝2，故a 1＝2－a 2 014＝2－2 014＝－2 012.答案 B3．(2013·丰台区一模)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，2a 3＋a 4＝0，则S 3a 1等于 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析 因为2a 3＋a 4＝a 3(2＋q )＝0，所以q ＝－2，则S 3a 1＝a 1＋a 2＋a 3a 1＝1＋q ＋q 2＝3. 答案 B4．(2013·淄博模拟)如果等差数列{a n }中，a 5＋a 6＋a 7＝15，那么a 3＋a 4＋…＋a 9等于A ．21B ．30C ．35D ．40解析 由a 5＋a 6＋a 7＝15得3a 6＝15，a 6＝5.所以a 3＋a 4＋…＋a 9＝7a 6＝7×5＝35，选C.答案 C5．(2013·福州模拟)已知实数a和c的等差中项为1，a2和c2的等比中项也为1，则a2＋c2的值为A．2 B．4 C．3或5 D．2或6解析由题意可知：a＋c＝2，a2c2＝1，即ac＝±1，所以a2＋c2＝(a＋c)2－2ac＝4±2，所以a2＋c2的值为2或6.答案 D6．(2013·张家口模拟)若数列{a n}的前n项和为S n＝λa n－λ(λ，a是不为零的常数)，则A．{a n}不是等比数列B．{a n}是等比数列C．只有a≠1时{a n}才是等比数列D．{a n}从第二项起才构成等比数列解析a1＝S1＝λa－λ，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(λa n－λ)－(λa n－1－λ)＝λa n－1(a－1)，故a≠1时，{a n}才是等比数列．答案 C7．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S1＝2，S6S3＝3，则S10S5等于A.134 B.154C．4 D.174解析易知a1＝S1＝2，设等差数列{a n}的公差为d，则S6S3＝12＋15d6＋3d＝3，解得d＝1，所以S10S5＝6520＝134.答案 A8．已知等差数列{a n}中，a3＝8，a4＝4，则{a n}的前n项和S n等于A．有最小值为S5B．有最小值为S4和S5 C．有最大值为S5D．有最大值为S4和S5解析设等差数列{a n}的公差为d，由a3＝a1＋2d＝8，a4＝a1＋3d＝4，解得d＝－4，a1＝16，故a n＝16－4(n－1)＝20－4n，令a n≥0，解得n≤5，所以S4＝S5最大．答案 D9．(2013·潍坊模拟)在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝34，a 2·a n －1＝64，且前n 项和S n ＝62，则项数n 等于A ．4B ．5C ．6D ．7解析 在等比数列中，a 2a n －1＝a 1a n ＝64.又a 1＋a n ＝34，解得a 1＝2，a n ＝32或a 1＝32，a n ＝2.当a 1＝2，a n ＝32时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－qa n 1－q ＝2－32q 1－q＝62， 解得q ＝2.又a n ＝a 1q n －1，所以2×2n －1＝2n ＝32， 解得n ＝5.同理当a 1＝32，a n ＝2时，由S n ＝62，解得q ＝12，由a n ＝a 1q n －1＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝2， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝116＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124， 即n －1＝4，n ＝5，综上，项数n 等于5，选B.答案 B10．(2013·烟台一模)若正项数列{a n }满足lg a n ＋1＝1＋lg a n ，且a 2 001＋a 2 002＋a 2 003＋…＋a 2 010＝2 013，则a 2 011＋a 2 012＋a 2 013＋…＋a 2 020的值为A ．2 013·1010B ．2 013·1011C ．2 014·1010D ．2 014·1011解析 由条件知lg a n ＋1－lg a n ＝lg a n ＋1a n＝1， 即a n ＋1a n＝10，∴{a n }为公比是10的等比数列． 因为(a 2 001＋…＋a 2 010)q 10＝a 2 011＋…＋a 2 020，所以a 2 011＋…＋a 2 020＝2013·1010，选A.答案 A11．(2013·兰州模拟)已知公差不为零的等差数列{a n}中，a m＋a n＝a2＋a6，则1m＋9n的最小值为A.32B．2 C.138D．不存在解析因为等差数列{a n}的公差不为零，且a m＋a n＝a2＋a6，由等差数列的性质可得m＋n＝2＋6，即m＋n＝8，则18(m＋n)＝1，所以1m＋9n＝18(m＋n)⎝⎛⎭⎪⎫1m＋9n＝18⎝⎛⎭⎪⎫1＋9＋nm＋9mn＝54＋18⎝⎛⎭⎪⎫nm＋9mn≥54＋18×2nm·9mn＝54＋18×2×3＝2，当且仅当nm＝9mn，即m＝2，n＝6时，等号成立．答案 B12．已知函数f(n)＝n2cos(nπ)，且a n＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于A．0 B．－100 C．100 D．10 200 解析因为f(n)＝n2cos(nπ)，所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝[f(1)＋f(2)＋…＋f(100)]＋[f(2)＋…＋f(101)]f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝－12＋22－32＋42－…－992＋1002＝(22－12)＋(42－32)＋…＋(1002－992)＝3＋7＋…＋199＝50(3＋199)2＝5 050.f(2)＋…＋f(101)＝22－32＋42－…－992＋1002－1012＝(22－32)＋(42－52)＋…＋(1002－1012)＝－5－9－…－201＝50(－5－201)2＝－5 150，所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝[f(1)＋f(2)＋…＋f(100)]＋[f(2)＋…＋f(101)]＝－5 150＋5 050＝－100，所以选B.答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．(2013·朝阳区模拟)已知数列1，a,9是等比数列，数列1，b 1，b 2,9是等差数列，则|a |b 1＋b 2的值为________．解析 因为1，a,9是等比数列，所以a 2＝1×9＝9，所以a ＝±3.1，b 1，b 2,9是等差数列，所以b 1＋b 2＝1＋9＝10.所以|a |b 1＋b 2＝310. 答案 31014．(2013·昆明模拟)已知数列{a n }为等比数列，且a 1a 13＋2a 27＝5π，则cos(a 2a 12)的值为________． 解析 在等比数列中a 1a 13＋2a 27＝a 27＋2a 27＝3a 27＝5π，所以a 27＝5π3， 所以cos(a 2a 12)＝cos(a 27)＝cos 5π3＝cos π3＝12.答案 1215．已知a n ＝3n ＋2，把数列{a n }的各项分组如下：{a 1，a 2}，{a 3，a 4，a 5，a 6}，{a 7，a 8，a 9，a 10，a 11，a 12，a 13，a 14}，{a 15，a 16，a 17，…，a 30}，…，记A (m ，n )表示第m 组的第n 个数(如A (4,3)表示第4组的第3个数，为a 17)，则A (9,7)为________．解析 据题意可知，第m 组有2m 个数，则前8组共有2＋22＋23＋…＋28＝2(1－28)1－2＝29－2＝510个数，所以第9组的第7个数是数列{a n }的第517项，即A (9,7)为a 517＝3×517＋2＝1 553.答案 1 55316．在数列{a n }中，对任意n ∈N ＋，都有a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”．下面对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为a n ＝a ·b n ＋c (a ≠0，b ≠0,1)的数列一定是等差比数列，其中正确命题的序号为________．解析 ①正确．对于②，当等差数列的公差不为零时，k ＝1；当等差数列的公差为零时，分母无意义．故②不对．对于③不一定是等差比数列，当等比数列的公比不等于1时，k 等于等比数列的公比；当等比数列的公比等于1时，k 值不存在．故③不对．答案 ①④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2013·济南一模)数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N ＋)，等差数列{b n }满足b 3＝3，b 5＝9.(1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝b n ＋2a n ＋2(n ∈N ＋)，求证：c n ＋1＜c n ≤13. 解析 (1)由a n ＋1＝2S n ＋1①得a n ＝2S n －1＋1②①－②得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)，∴a n ＋1＝3a n ，∴a n ＝3n －1，(3分)∴b 5－b 3＝2d ＝6，∴d ＝3，∴b n ＝3n －6.(5分)(2)证明 因为a n ＋2＝3n ＋1，b n ＋2＝3n ，所以c n ＝3n 3n ＋1＝n 3n ，(7分) 所以c n ＋1－c n ＝1－2n 3n ＋1＜0，c n ＋1＜c n ＜…＜c 1＝13， 所以c n ＋1＜c n ≤13.(10分)18．(12分)(2013·青岛一模)已知n ∈N ＋，数列{d n }满足d n ＝3＋(－1)n 2，数列{a n }满足a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n ；数列{b n }为公比大于1的等比数列，且b 2，b 4为方程x 2－20x ＋64＝0的两个不相等的实根．(1)求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；(2)将数列{b n }中的第a 1项，第a 2项，第a 3项，…，第a n 项，…删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前2 013项和．解析 (1)∵d n ＝3＋(－1)n 2， ∴a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n ＝3×2n 2＝3n .(3分)因为b 2，b 4为方程x 2－20x ＋64＝0的两个不相等的实数根，所以b 2＋b 4＝20，b 2·b 4＝64，解得：b 2＝4，b 4＝16，所以b n ＝2n .(6分)(2)由题知将数列{b n }中的第3项、第6项、第9项…删去后构成的新数列{c n }中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是b 1＝2，b 2＝4公比均是8，(8分)T 2 013＝(c 1＋c 3＋c 5＋…＋c 2 013)＋(c 2＋c 4＋c 6＋…＋c 2 012)＝2×(1－81 007)1－8＋4×(1－81 006)1－8＝20×81 006－67.(12分) 19．(12分)设{a n }是公差大于零的等差数列，已知a 1＝2，a 3＝a 22－10.(1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是以函数y ＝4sin 2πx 的最小正周期为首项，以3为公比的等比数列，求数列{a n －b n }的前n 项和S n .解析 (1)设{a n }的公差为d ，则⎩⎨⎧a 1＝2a 1＋2d ＝(a 1＋d )2－10，解得d ＝2或d ＝－4(舍)， 所以a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .(5分)(2)∵y ＝4sin 2πx ＝4×1－cos 2πx 2＝－2cos 2πx ＋2， 其最小正周期为2π2π＝1，故首项为1.因为公比为3，从而b n ＝3n －1，(8分)所以a n －b n ＝2n －3n －1，(9分) 故S n ＝(2－30)＋(4－31)＋…＋(2n －3n －1)＝(2＋2n )n 2－1－3n1－3＝n 2＋n ＋12－12·3n .(12分) 20．(12分)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n 2＋2n .(1)求数列{a n }的最小值；(2)设b n ＝2na n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，求使S n ＞256成立的正整数n 的最小值．解析 (1)当n ＝1时，a 1＝1＋2＝3，当n ≥2时，由a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n 2＋2n ，①可知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －1)2＋2(n －1)，②①－②，得na n ＝n 2＋2n －(n －1)2－2(n －1)＝2n ＋1，所以a n ＝2＋1n .(3分)又当n ＝1时，a 1＝2＋11＝3，故对n ∈N ＋，a n ＝2＋1n .由于a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋1－⎝⎛⎭⎪⎫2＋1n ＝1n ＋1－1n ＝n －(n ＋1)n (n ＋1)＝－1n (n ＋1)， 且n ∈N ＋，所以－1n (n ＋1)＜0，即a n ＋1＜a n ， 故数列{a n }是单调递减的，故当n ＝1时，数列{a n }的最大值为a 1＝3.(6分)(2)由(1)知，a n ＝2＋1n ，所以b n ＝22n ＋1.因为b n ＋1b n ＝22(n ＋1)＋122n ＋1＝22n ＋322n ＋1＝4，是常数， 所以数列{b n }是首项为b 1＝8，公比为q ＝4的等比数列，(8分)则S n ＝8(1－4n )1－4＝83(4n －1)， 令83(4n －1)＞256，化简可得4n ＞97.(10分)因为n ∈N ＋，所以n ≥4，即使S n ＞256成立的正整数n 的最小值为4.(12分)21．(12分)已知数列{a n }满足a n ＋1＝14a n ，a 1＝14，b n ＋3＝2log 14a n .(1)求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和S n .解析 (1)因为a n ＋1＝14a n ，a 1＝14， 所以数列{a n }是以a 1＝14为首项，以q ＝14为公比的等比数列，故a n ＝a 1q n －1＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ， 即a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n .(4分) 所以，b n ＋3＝2log 14a n ＝2log 14⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝2n ， 即b n ＝2n －3.(6分)(2)由(1)知c n ＝a n ·b n ＝(2n －3)⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ， 记S n ＝a 1·b 1＋a 2·b 2＋…＋a n ·b n ，所以S n ＝－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋3·⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(2n －3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，① 于是14S n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋3·⎝ ⎛⎭⎪⎫144＋…＋(2n －3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1.②(8分) ①－②可得34S n ＝－14＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫144＋…＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －(2n －3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1 ＝－14＋2×2·⎝ ⎛⎭⎪⎫142⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －11－14－(2n －3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1＝112－⎝ ⎛⎭⎪⎫712＋n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，(11分) 所以S n ＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫79＋2n 3⎝ ⎛⎭⎪⎫14n .(12分) 22．(12分)(2013·房山区模拟)已知函数f (x )＝x 2－ax ＋a (x ∈R )同时满足：①函数f (x )有且只有一个零点；②在定义域内存在0＜x 1＜x 2，使得不等式f (x 1)＞f (x 2)成立．设数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )(n ∈N ＋)．(1)求函数f (x )的表达式；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)在各项均不为零的数列{c n }中，所有满足c i ·c i ＋1＜0的整数的个数称为数列{c n }的变号数．令c n ＝1－a a n，求数列{c n }的变号数． 解析 (1)∵f (x )有且只有一个零点，∴Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝0，a ＝4，当a ＝4时，函数f (x )＝x 2－4x ＋4在(0,2)上递减，故存在0＜x 1＜x 2，使得不等式f (x 1)＞f (x 2)成立， 当a ＝0时，函数f (x )＝x 2在(0，＋∞)上递增， 故不存在0＜x 1＜x 2，使得不等式f (x 1)＞f (x 2)成立， 综上，得a ＝4，f (x )＝x 2－4x ＋4.(4分)(2)由(1)可知S n ＝n 2－4n ＋4，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－4n ＋4)－[(n －1)2－4(n －1)＋4] ＝2n －5，∴a n ＝⎩⎨⎧ 1， n ＝1，2n －5， n ≥2.(8分)(3)由题设得c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3， n ＝1，1－42n －5， n ≥2.∵n ≥3时，c n ＋1－c n ＝42n －5－42n －3＝8(2n －5)(2n －3)＞0，∴n ≥3时，数列{c n }递增．∵c 4＝－13＜0，由1－42n －5＞0⇒n ≥5， 可知c 4·c 5＜0，即n ≥3时，有且只有1个变号数． 又∵c 1＝－3，c 2＝5，c 3＝－3，即c 1·c 2＜0，c 2·c 3＜0，∴此处变号数有2个．综上得数列{c n }的变号数为3.(12分)。
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高二数学数列综合测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知a ，b ，c 成等比数列，a ，m ，b 和b ，n ，c 分别成两个等差数列，则a m ＋cn等于 ( )A ．4B ．3C ．2D ．12．已知{a n }是等差数列，a 4＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线斜率为 ( )A ．4 B.14 C ．－4 D ．－143．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝ ( )A ．2 B.73 C.83D ．34．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且15S n ＝a n －1，则a 2等于 ( )A ．－54 B.54 C.516 D.25165．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4＝( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．166．若数列{a n }的通项公式为a n ＝n (n －1)·…·2·110n，则{a n }为 ( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．从某项后为递减 D ．从某项后为递增7．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝1－2n ，其前n 项和为S n ，则数列{S nn}的前11项和为( )A ．－45B ．－50C ．－55D ．－668．设数列{a n }的前n 项和为S n , 已知15a =，且12(1)(1)n n nS n n n S +=+++( n ∈N*)， 则过点P(n,n a ) 和Q(n+2,2+n a )( n ∈N*)的直线的一个方向向量的坐标可以是 （ ） A ．（2，21） B ．(-1, -1)C ．(21-, -1) D ．（2,21--） 9．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝32，则a 29a 11的值为 ( )A ．4B ．2C ．－2D ．－410．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 11．已知{a n }是递增数列，对任意的n ∈N *，都有a n ＝n 2＋λn 恒成立，则λ的取值范围是 ( ) A ．(－72，＋∞) B ．(0，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－3，＋∞)12．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前2 008项的和等于 ( ) A ．1 506 B ．3 012 C ．1 004 D ．2 008 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上) 13.已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，当a n 为偶数时3a n ＋1，当a n 为奇数时，若a 6＝1，则m所有可能的取值为________．14.已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＝a n －1＋1n 2－1(n ≥2)，则{a n }的通项公式为________．15．已知等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都是整数，前n 项和为S n (n ∈N *)．若a 1>1，a 4>3，S 3≤9，则通项公式a n ＝________.16.下面给出一个“直角三角形数阵”： 14 12，14 34，38，316 …满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为a ij (i ≥j ，i ，j ∈N *)，则a 83＝________.三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b n }的第二项，第三项，第四项． ⑴求数列{a n }与{b n }的通项公式． ⑵设数列{c n }对任意正整数n ，均有1332211+=+⋯⋯+++n nn a b c b c b c b c ，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2010的值．18．(本小题满分12分)已知数列{a n }中，其前n 项和为S n ，且n ，a n ，S n 成等差数列(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求S n >57时n 的取值范围．19．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(a≠0)，不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素，设数列{a n}的前n项和为S n＝f(n)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设各项均不为0的数列{c n}中，满足c i·c i＋1<0的正整数i的个数称作数列{c n}的变号数，令c n＝1－aa n(n∈N *)，求数列{cn}的变号数．20．(本小题满分12分)已知数列{a n}满足：a1＝1，a2＝12，且[3＋(－1)n]an＋2－2a n＋2[(－1)n－1]＝0，n∈N*.(1)求a3，a4，a5，a6的值及数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝a2n－1·a2n，求数列{b n}的前n项和S n. 21．(本小题满分12分)已知数列{a n}的前n项和为S n，点(n，S nn)在直线y＝12x＋112上．数列{b n}满足b n＋2－2b n＋1＋b n＝0(n∈N*)，b3＝11，且其前9项和为153.(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)设c n＝3(2a n－11)(2b n－1)，数列{c n}的前n项和为T n，求使不等式T n＞k57对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值．22．(本小题满分14分)在数列{a n}中，a1＝1,3a n a n－1＋a n－a n－1＝0(n≥2，n∈N)．(1)试判断数列{1a n}是否为等差数列；(2)若λa n＋1a n＋1≥λ，对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．数列综合测试题参考答案一、选择题CABDC DDDBD DA 二、填空题13、4，5，32 14、a n ＝54－2n ＋12n (n ＋1) 15、n ＋1 16、12三、解答题17．⑴由题意得（a 1＋d ）(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2(d >0) 解得d ＝2，∴a n ＝2n －1，b n ＝3n －1．⑵当n ＝1时，c 1＝3 当n ≥2时，∵,1n n nn a a b c-=+∴⎩⎨⎧≥⋅==-)2(32)1(31n n c n n 故132-⋅=n n c 20042003220042133232323=⨯+⋯+⨯+⨯+=+⋯++∴c c c 18．解：(1)∵n ，a n ，S n 成等差数列，∴S n ＝2a n －n ，S n －1＝2a n －1－(n －1) (n ≥2)， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1－1 (n ≥2)， ∴a n ＝2a n －1＋1 (n ≥2)，两边加1得a n ＋1＝2(a n －1＋1) (n ≥2)， ∴a n ＋1a n －1＋1＝2 (n ≥2)． 又由S n ＝2a n －n 得a 1＝1.∴数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴a n ＋1＝2·2n －1，即数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)由(1)知，S n ＝2a n －n ＝2n ＋1－2－n ，∴S n ＋1－S n ＝2n ＋2－2－(n ＋1)－(2n ＋1－2－n )＝2n ＋1－1>0，∴S n ＋1>S n ，{S n }为递增数列．由题设，S n >57，即2n ＋1－n >59. 又当n ＝5时，26－5＝59，∴n >5.∴当S n >57时，n 的取值范围为n ≥6(n ∈N *)．19．解：(1)由于不等式f (x )≤0的解集有且只有一个元素， ∴Δ＝a 2－4a ＝0⇒a ＝4， 故f (x )＝x 2－4x ＋4.由题S n ＝n 2－4n ＋4＝(n －2)2 则n ＝1时，a 1＝S 1＝1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n －2)2－(n －3)2＝2n －5，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝1，2n －5 n ≥2.(2)由题可得，c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3 n ＝11－42n －5 n ≥2. 由c 1＝－3，c 2＝5，c 3＝－3，所以i ＝1，i ＝2都满足c i ·c i ＋1<0，当n ≥3时，c n ＋1>c n ，且c 4＝－13，同时1－42n －5>0⇒n ≥5，可知i ＝4满足c i 、c i ＋1<0，n ≥5时，均有c n c n ＋1>0.∴满足c i c i ＋1<0的正整数i ＝1,2,4，故数列{c n }的变号数为3.20．解：(1)经计算a 3＝3，a 4＝14，a 5＝5，a 6＝18.当n 为奇数时，a n ＋2＝a n ＋2，即数列{a n }的奇数项成等差数列， ∴a 2n －1＝a 1＋(n －1)·2＝2n －1.当n 为偶数时，a n ＋2＝12a n ，即数列{a n }的偶数项成等比数列，∴a 2n ＝a 2·(12)n －1＝(12)n .因此，数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n 为奇数)，(12)n 2(n 为偶数).(2)∵b n ＝(2n －1)·(12)n ，∴S n ＝1·12＋3·(12)2＋5·(12)3＋…＋(2n －3)·(12)n －1＋(2n －1)·(12)n ， ①12S n ＝1·(12)2＋3·(12)3＋5·(12)4＋…＋(2n －3)·(12)n ＋(2n －1)·(12)n ＋1， ② ①②两式相减， 得12S n ＝1·12＋2[(12)2＋(12)3＋…＋(12)n ]－(2n －1)·(12)n ＋1 ＝12＋12·[1－(12)n －1]1－12－(2n －1)·(12)n ＋1 ＝32－(2n ＋3)·(12)n ＋1. ∴S n ＝3－(2n ＋3)·(12)n .21．解：(1)由已知得S n n ＝12n ＋112，∴S n ＝12n 2＋112n .当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1 ＝12n 2＋112n －12(n －1)2－112(n －1)＝n ＋5； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝6也符合上式． ∴a n ＝n ＋5.由b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)知{b n }是等差数列，由{b n }的前9项和为153，可得9(b 1＋b 9)2＝9b 5＝153，得b 5＝17，又b 3＝11，∴{b n }的公差d ＝b 5－b 32＝3，b 3＝b 1＋2d ，∴b 1＝5， ∴b n ＝3n ＋2.(2)c n ＝3(2n －1)(6n ＋3)＝12(12n －1－12n ＋1)，∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)． ∵n 增大，T n 增大， ∴{T n }是递增数列．∴T n ≥T 1＝13.T n ＞k 57对一切n ∈N *都成立，只要T 1＝13＞k 57，∴k ＜19，则k max ＝18.22．解：(1)∵a 1≠0，∴a n ≠0，∴由已知可得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)，故数列{1a n}是等差数列．(2)将a n ＝1b n ＝13n －2代入λa n ＋1a n ＋1≥λ并整理得λ(1－13n －2)≤3n ＋1，∴λ≤(3n ＋1)(3n －2)3n －3，原命题等价于该式对任意n ≥2的整数恒成立．设C n ＝(3n ＋1)(3n －2)3n －3，则C n ＋1－C n ＝(3n ＋1)(3n －4)3n (n －1)>0，故C n ＋1>C n ，∴C n 的最小值为C 2＝283，∴λ的取值范围是(－∞，283]．。