第二章 函数——反函数
人教版高中数学必修一教案 :1.3反函数
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反函数——课堂教学设计一、[教材依据]全日制普通高级中学教科书数学(人教版)第一册(上)第二章《函数》第四节“反函数”第一课时。
二、[教材分析][设计思路]1、体验教学的原则:重视学生的亲身体验与感悟,使学生具有对于知识生成、发展、形成及应用过程的体验和感悟。
本节课力求体现二期课改的思路,以学生发展为本。
整节课的概念、例题与练习都以学生讨论、探究、归纳为主,教师引导为辅。
使学生在形成概念、发展规律、获取知识和理解内化的数学学习过程中,在数学应用和实践的过程中发展数学能力和一般能力,学会数学学习和应用的基本方法,逐步增强学生的研习能力、批判思维能力、自学能力和交流合作能力,培养学生勇于探索的精神。
2、本节教材是在学生初步学习了函数及其性质后,再来接触的一个新概念-----“反函数”。
反函数是函数中的一个重要概念,对这个概念的研究是对函数概念和性质在认识上的深化和提高。
它是从研究两个函数关系的角度产生的函数的,反函数本身也是一个函数。
由于反函数的定义本身比较抽象,难度较大,故在本节教学中从具体实例出发,引导学生从函数的三要素的变化角度,认识反函数的特征,揭示反函数的本质,逐步概括出反函数的定义,进而明确求解反函数问题的步骤。
当然学生在具体求解指定函数的反函数时,可能会遇到反解x时正负的选择问题及求原来函数的值域问题,教学中要预以足够的重视。
为了突破“反函数存在的条件”与“反函数与原函数的相互关系”这一难点,在本节教学中采用由课本上前面的例题(本章第一节“函数”部分给出的3个对应,并且是3个从A到B的函数)来加深对反函数定义的理解,这样便于把抽象的问题直观化。
反函数概念的建立,对研究原函数的性质有着重要作用,对将要学习研究的“指数函数”与“对数函数”等函数之间图象与性质的关系也起着重要作用。
三、[教学目标]1、知识与技能目标:(1)、理解反函数的概念 (2)、会求一些简单函数的反函数。
2、过程与方法目标:通过师生的共同讨论,弄清反函数的概念,探索与原函数的相互关系,会求一些简单函数的反函数。
反函数的八个性质及应用
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反函数的八个性质及应用浙江周宇美反函数是函数一章中的重要内容,在历年的高考数学试题和各地的模拟试题中与反函数有关的问题频频出现,且大多是小巧灵活的客观性试题.许多学生在解答这些问题时小题大作,耗时费力,隐含潜在失分的危险.为便于同学们复习、巩固、解决好这类问题,下面给出由反函数的概念得到的几个性质,再举例分类解析,供参考.一、反函数的八个性质⑴原象与象的唯一互对性设函数f(x)存在反函数1f-(x),若函数f(x)将定义域A中的元素a映射成值域为C中的元素b,则它的反函数f-1(x)恰好将值域C中的元素bf-(b)=a.唯一还原成A中的元素a,即f(a)=b⇔1⑵定义域与值域的互换性f-(x)的定义域若函数f(x)的定义域为A,值域为C,则它的反函数1为C,值域为A,即反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域⑶图象的对称性在同一直角坐标系中,互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x 对称,反之亦然.⑷奇偶性f-(x)(x∈C)奇函数y=f(x)(x∈A)若存在反函数,则它的反函数y=1也是奇函数.定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数.⑸单调性若函数y =f (x )(x ∈A )是单调函数,则它的反函数y =1f -(x )(x ∈C )也是单调函数,且它们的单调性相同.⑹ 对应法则互逆性即有①1f -[f (x )]=x ,x ∈A ,A 是f (x )的定义域;②f [1f -(x )]=x ,x ∈C ,C 是f (x )的值域.⑺ 交点性质函数y =f (x )与其反函数y =1f -(x )的图象交点,或者在直线y =x 上;或者关于直线y =x 对称.当函数y =f (x )是单调增函数,则函数y =f (x )与它的反函数y =1f -(x )的图象的交点必定在直线y =x 上.⑻ 自反函数性质①函数y =f (x )为自反函数的充要条件是f [f (x )]=x .②函数y =f (x )为自反函数的充要条件是它自身的图象关于直线y =x 对称.二、性质的应用举例例1 函数),1(,11ln+∞∈-+=x x x y 的反函数( ) (A) ),0(,11+∞∈+-=x e e y x x (B) ),0(,11+∞∈-+=x e e y x x (C) )0,(,11-∞∈+-=x e e y x x (D) )0,(,11-∞∈-+=x e e y x x 解析:本题无需利用求反函数的三步曲:反解——互换——表定义域,只要利用互为反函数的定义域和值域互换性即可.由x ∈(1,+∞),得y =ln 11x x +-=ln(1+21x -)≥0,得反函数的定义域为(0,+∞),排除(C)、(D),且反函数的值域为(1,+∞),故选(B).例2 若f (x )与其反函数1f -(x )是同一个一次函数y =ax +b ,求a 和b的值.解:由f (x )为自反函数,据性质有f [f (x )]=x ,即a 2x +ab +b =x ,得210a ab b ⎧=⎨+=⎩,解得a =1,b =0或a =-1,b ∈R .例3 已知点(1,2)在函数f (x )=的图象上,又在它的反函数图象上,求f (x )的解析式.解:互为反函数的互对性,知点(1,2),(2,1)都在f (x )的图象上,∴21==,解得a =-1,b =7.∴ f (x )=x ≤73). 例4已知f (x )=-31x 2+43(x ≤0),求函数f (x )与它的反函数1f -(x )的图象的交点.解:∵ f (x ) =-31x 2+43在(-∞,0]上是单调增函数,故f (x )与 1f -(x )的图象交点必在y =x 上,即21433y x y x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩,解得(-4,-4). 例5 已知函数f (x )=3x -1,则它的反函数y =1f -(x )的图象是( 解:综合运用上述性质几乎无需动笔即可完成解答:由原函数易知(A)(B)(C)(D)1f -(x )的定义域为R +,从而否定(A)、(B)两项.又∵f (0)=31,∴1f -(31)=0,故选(D).。
高一数学第二章-反函数
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解:由 y 3 x 2 解得 x
y2 3
4
y=3x-2
3 2 1
( x)
∴ 函 数 y 3 x 2( x R ) 的 反 函 数 是y
y=
2
x2 ( x R) , 3
2
-4
-2
x+2 3
4
(1) y 2 x 3
6
(x∈R) (x≥0)
(2) y
( x)
y 3 ,x 在 R 中都有唯一的 2
定义域 值 域
A C
1
值和它对应. 因此,它也确定了一个函数:y 为自变量,x 为 y 的函数,定 义域是 y R,值域是 x R. 综合上述,我们由函数 s=vt 得出了函数 t 了函数 x
探讨 3: y f
( x) 的反函数是?
王新敞
奎屯 新疆
的每一对函数是互为反函数. 二、讲解新课: 反函数的定义 一般地,设函数 y f ( x)( x A) 的值域是 C,根据这个函数中 x,y 的关 系,用 y 把 x 表示出,得到 x= (y). 若对于 y 在 C 中的任何一个值,通过 x= (y),x 在 A 中都有唯一的值和它对应,那么,x= (y)就表示 y 是自变 量 , x 是 自 变 量 y 的 函 数 , 这 样 的 函 数 x= (y) (y C) 叫 做 函 数
1
( x) 是集合 C 到集合 A 的映射,因此,函数 y f ( x) 的定
1
s (常量)确定物体作匀速直线运动的时间,即 t ,这时,位移 s 是自变 v 量,时间 t 是位移 s 的函数,定义域 s 0,值域 t 0.
又如,在函数 y 2 x 6 中,x 是自变量,y 是 x 的函数,定义域 x R, 值域 y R. 我们从函数 y 2 x 6 中解出 x, 就可以得到式子 x 样,对于 y 在 R 中任何一个值,通过式子 x
高中数学 第二章第二节反函数课件 新人教A版必修1 精品
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又如x log2 y( y (0, ))是函数 y 2x
y 2x x R的反函数
对数函数y log2 x( x 0,)是 x log 2 y 指数函数y 2x x R的反函数
y log 2 x
对数函数y loga x(a 0, a 1)与 指数函数y a x (a 0, a 1)是互为反函数
对数函数与指数函数的图象
观察 y log a x 与 y a x 图像特点?
5
4
4
3
y=ax (a>1) 2
1
3
y=ax 2
0<a<1 1
-4
-2
2
4
6
-4
-2
-1 y=logax (a>1)
-1
-2
-2
2
4
6
y=logax
0<a<1
由于对数函数与指数函数互为反函数,故 图象关于直线 y x对称。
x
的图象关于y轴对称,
则f(x)=
(2)若h(x)的图象与g(x)=
1 4
x
的图象关于y=x对称,
则h(x)=
2.已知
f
(x)
a2x 1 2x
1
(a
R)
是R上的奇
函数,(1)求a的值;(2)求f(x)的反函数;
例如:
1.x y 3( y [6,8])是函数y 2x 6(x [0,1])的反函数. 2
2.y x 3(x [6,8])是函数 y 2x 6(x [0,1])的反函数. 2
3.t s (s 0)是函数s 2t(t 0)的反函数. 2
2-反函数
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《高考调研》 高考总复习 高考调研》
第二章
函数
探究3 的解析式.
注意到f-1(x)与f(x)有相同的奇偶性和单调性,
只需研究原函数f(x)的奇偶性和单调性,从而回避了求f-1(x)
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第二章
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思考题 3
-
1 (08·天津卷)设函数 f(x)= (0≤x<1)的反 1- x )
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第二章
函数
x-5 5+my (3)由 y= 得 x= 2x+m 1-2y 5+mx -mx-5 ∴f (x)= = 1-2x 2x-1
-1
∵函数 f(x)的图象关于直线 y=x 对称
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∴f(x)=f 1(x) ∴m=-1.
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在 y
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第二章
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3.反函数的性质 (1)y=f(x)与y=f-1(x)具有 (2)奇函数的反函数是 的反函数是本身 . 相同 的单调性. .(若存在) 奇函数
(3)若函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称,则y=f(x)
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①求反函数忘记注明定义域. ②错误地将y=f-1(x+a)理解为y=f(x+a)的反函数. ③易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性关系,从而 导致解题过程繁琐.
-
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第二章
函数
探究2 本题主要考查函数与反函数之间的关系. ①②题主要训练:若f(a)=b,则f-1(b)=a ③题主要训练:f(x)与f-1(x)的图象关于直线y=x对称 以上这几种关系是常考点.
第二章 反函数教材分析 人教版 教案
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第二章反函数教材分析1.本节知识结构:2.教学目的与要求:(1)使学生了解反函数的概念.(2)使学生明确求反函数的三个步骤,会求一些简单函数的反函数.(3)使学生明确互为反函数的函数图象关于直线y =x 对称.3. 教材分析与教学建议:(1)本小节计划三课时,可以第一课时学习反函数的概念,第二课时学习反函数的求法,第三课时学习互为反函数的图象之间的关系.(2)本小节教材的重点是反函数的概念,学生学习中可能遇上的难点是理解y =f -1(x )中f -1的意义,和求出一个函数的反函数.(3)反函数在数学中十分重要,课本通过实例引入这一概念.教学时,可给学生创设以下活动情境:①设某物体在直线l 上(从点A 起)作匀速直线运动,速度是1.2(米/秒),写出位移s 用时间t 表示的关系式,并回答你写出的关系式是否表明s 是t 的函数?②由st 计算出t 取整数时对应的s 值,并将其列表;表格如下:图2-19③由t =2.1s 计算出位移为的整数倍时对应的时间t 的值,并将其列表; 定义解出x 交换x 与y 的位置写出反函数定义域求反函数的步骤互为反函数图象间的关系反函数表格如下:图2-20④引导学生理解图2-19的意义:由时间计算位移,并且每一个时间都有唯一的位移与其对应,反映的是位移是时间的函数;⑤让学生思考图2-20的意义:由位移计算时间,并且每一个位移都有唯一的时间与其对应,反映的也是一个函数关系:时间是位移的函数;⑥让学生思考:函数st 与函数t =2.1s 是相同的函数吗?它们有什么关系? 在学生完成以上活动后,给出反函数的定义.(4)关于给定函数与它的反函数之间的关系,应明确以下几点:①反函数的定义域与值域应该正好是原来函数的值域与定义域,否则不能算是原来函数的反函数.例如“x =2y (y ∈Z )不是函数y =2x (x ∈Z )的反函数,因为前者的值域显然不是后者的定义域.所以求原来函数的反函数时,必须已知或先确定原来函数的值域.②对于任意一个函数y =f (x )来说,不一定有反函数.如果有反函数y =f -1(x ),那么原来函数y =f (x )也是反函数y =f -1(x )的反函数,即它们互为反函数.③反函数也是函数,因为它是符合函数定义的.(5)求由解析式给出的函数y =f (x )的反函数时,要强调分三个步骤进行:第一步将y =f (x )看成方程,解出x =f -1(y );第二步将x ,y 互换,得到y =f -1(x );第三步写出反函数的定义域.要向学生指出:①y =f (x )中的x ,y 与在x =f -1(y ) 中的x ,y 所表示的量相同,但是地位不同.在y =f (x )中的x 是自变量,y 是函数值;在x =f -1(y ) 中的y 是自变量,x 是函数值.②y =f (x )与在y =f -1(x )中的x 都是自变量,y 是函数值,这比较符合习惯,并给研究函数带来某些方便.但是x ,y 所表示的量(指实际意义)在两式中被互换了,在y =f (x )中的x ,y 所表示的量,分别是y =f -1(x )中的y ,x 所表示的量.③把反函数x =f -1(y ) 改写成y =f -1(x )的形式,在同一个直角坐标系中,函数y =f (x )的图像与它的反函数y =f -1(x )的图象关于直线y =x 对称.这也是对换变量x ,y 的好处之一. (6)互为反函数的两个函数如果有解析式,一般是不同的,但是也有少数例外,例如函数y =x 的反函数仍是y =x ;函数y =x x +-11的反函数仍是y =xx +-11. 如果一个有反函数的函数与其反函数的解析式是相同的,则这个函数的图象是关于直线y =x 对称的.如函数y =xx +-11的图象如下:图2-21(7)研究互为反函数的函数之间的图象关系时,教材是通过例2、例3两个例题,画原来函数与它的反函数的图象,结合图象得出一般结论:函数y =f (x )的图象和它的反函数y =f -1(x )的图象关于直线y =x 对称.其实,学生以上的认识是不充分的,因此,在具体教学过程中,可让学生进行以下活动: ①对例1中四对互为反函数的函数,分四次在同一坐标系中画出它们的图象,同时画出y =x 的图象,得出下面图象:图2-22 图2-23图2-24 图2-25②让学生对以上图象进行观察分析,尝试得出一些结论;③学生自己找一对互为反函数的函数,在同一坐标系中画出它们的图象和y =x 的图象验证自己的结论;④进行例2、例3的教学;⑤得出互为反函数的函数图象之间的关系;⑥指出以上的过程,并没有证明“函数y =f (x )的图象和它的反函数y =f -1(x )的图象关于直线y =x 对称”,这个证明教材不作要求.(8)在得到互为反函数的函数图象之间的关系后,应帮助学生认识如下几点:①函数y =f (x )与y =f -1(x )的图象关于直线y =x 对称,这个结论是在坐标系中横轴为x 轴,纵轴为y 轴,而且横轴与纵轴的单位长度一致的前提下得出的.②函数y =f (x )与y =f -1(x )的图象关于直线y =x 对称,而不是函数y =f (x )与x =f -1(y ) 的图象关于直线y =x 对称.③函数y =f (x )和函数x =f -1(y ) 的图象是同一个图象.例如,函数y =3x -2与32+=y x 的图象是同一条直线. (9)函数y =f (x )的图象和它的反函数y =f -1(x )的图象关于直线y =x 对称这一结论教材没有证明,在学习了两点间距离公式后或直接利用勾股定理作为依据是可以证明的.现给出这一结论的证明过程,为了不提高教学要求,不要求给学生证明,仅供教师参考. 定理 函数y =f (x )的图象和它的反函数y =f -1(x )的图象关于直线y =x 对称. 证明:设M (a ,b )是y =f (x )的图象上的任意一点,那么x =a 时,f (x )有唯一的值f (a )=b .因为y =f (x )有反函数y =f -1(x ),所以x =b 时,f -1(x )有唯一的值f -1(b )=a ,即点M ˊ(b ,a )在反函数y =f -1(x )的图象上.如果a =b ,那么M ,M ˊ是直线y =x 上的同一个点,因此它们关于直线y =x 对称.现设a ≠b ,如图2-26,在直线y =x 上任意取一点P (c ,c ),连结PM ,PM ˊ,MM ˊ.由两点间距离公式,PM =22)()(c b c a -+-,PM ˊ=22)()(c a c b -+-,∴PM =PM ˊ.由此可知,且直线y =x 上任意取一点到两个定点M 、M ˊ的距离相等,因此直线y =x 是线段MM ˊ的垂直平分线,从而点M 、M ˊ关于直线x y =对称. 图2—26因为点M 是y =f (x )的图象上的任意一点,所以y =f (x )图象上任意一点关于直线y =x 的对称点都在它的反函数y =f -1(x )的图象上.由y =f (x )与y =f -1(x )互为反函数,可知,函数y =f -1(x )图象上任意一点关于直线y =x 的对称点也都在它的反函数y =f (x )的图象上.这就是说,函数y =f (x )与y =f -1(x )的图象关于直线y =x 对称.(10)学生对“函数y =f (x )与y =f -1(x )的图象关于直线y =x 对称,函数y =f (x )与x =f -1(y )的图象相同”较难理解,为解决这一难点,可多提供一些具体例子给学生在计算机或计算器上操作,如: y =x 2,y =x (x ≥0),x =y (y ≥0). (11)借助于计算机或计算器,可以很直观地说明“对应法则是一一映射的函数一定有反函数”,而单调函数的对应法则是一一映射,从而“单调函数一定有反函数”. 但有反函数的函数不一定是单调函数,这可由函数y =x1加以说明. (12)本节的“数学实验”,是希望学生借助于计算机或计算器,获得结论:函数有反函数 平行于x 轴的直线(含x 轴)与函数的图象至多有一个交点.在做这个“数学实验”前,应让学生利用图形计算器或计算机,研究一两个有反函数的函数的图象与平行于x 轴的直线(含x 轴)的交点个数.。
反函数与函数的图像变换
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反函数与函数的图像变换一、反函数当一个函数是一个一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数。
比如,指数函数2x y =与对数函数2log x 互为反函数。
函数()y f x =的反函数用1()y f x -=表示。
设函数()y f x =()x A ∈的值域是C ,根据这个函数中,x y 的关系,我们可以用y 把x 表示出来,得到()x y ϕ=,若对于y 在C 中每一个值,都只有唯一的x A ∈与它对应,那么()x y ϕ=就表示以y 为自变量,x 为因变量的一个函数,这样的函数()x y ϕ=()y C ∈叫做函数()y f x =()x A ∈的反函数,记作1()x f y -=,习惯上改写成1()y f x -=。
1f -是对应法则,1()y f x -=是表示反函数的符号,是一个整体。
1f -表示的对应是f 的逆对应,11()()f x f x -≠。
()y f x =也是1()y f x -=的反函数,()y f x =、1()y f x -=互为反函数。
只有当()y f x =是一一映射时,()f x 才有反函数。
特例:2x y =,2log x y →=,2log y x →=,一般:()y f x =,1()x f y -→=,1()y f x -→=。
例1 求下列函数的反函数:(1)21xy -=+()0x >;(2)211,()11,x x f x x x ≤-⎧+=⎨>--+⎩。
二、互为反函数的两个函数的性质:指数函数2x y =与对数函数2log x 的图像关于直线y x =对称。
根据反函数的定义,如果点(),a b 在函数()y f x =上,则点(),b a 在函数1()y f x -=上,从而可知函数()y f x =的图像与函数1()y f x -=的图像关于直线y x =对称。
反函数
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一、函数与极限
4、反函数
⑴、反函数的定义:设有函数,若变量y 在函数的值域内任取一值
y 0时,变量x 在函数的定义域内必有一值x 0与之对应,即,那末变量
x 是变量y 的函数.这个函数用来表示,称为函数的反函数.
注:由此定义可知,函数也是函数的反函数。
⑵、反函数的存在定理:若在(a,b)上严格增(减),其值域为R ,则它的反函数必然在R 上确定,且严格增(减).
注:严格增(减)即是单调增(减)
例题:y=x 2,其定义域为(-∞,+∞),值域为[0,+∞).对于y 取定的非负值,可求得x=±.若我们不加条件,由y 的值就不能唯一确定x 的值,也就是在区间(-∞,+∞)上,函数不是严格增(减),故其没有反函数。
如果我们加上条件,
要求x≥0,则对y≥0、x=
就是y=x 2在要求x≥0时的反函数。
即是:函数在此要求下严格增(减).
⑶、反函数的性质:在同一坐标平面内,与的图形是关于直线y=x 对称的。
例题:函数与函数互为反函数,则它们的图形在同一直角坐标系中是关于直线y=x 对称的。
如右图所示:。
反函数基本公式大全
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反函数基本公式大全反函数基本公式大全:一、反三角函数公式:1、arcsin(-x)=-arcsinx2、arccos(-x)=π-arccosx3、arctan(-x)=-arctanx4、arccot(-x)=π-arccotx5、arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx6、sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)7、当x∈〔—π/2,π/2〕时,有arcsin(sinx)=x8、当x∈〔0,π〕,arccos(cosx)=x9、x∈(—π/2,π/2),arctan(tanx)=x10、x∈(0,π),arccot(cotx)=x11、x〉0,arctanx=arctan1/x,12、若(arctanx+arctany)∈(—π/2,π/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)二、高中数学反函数:1、反正弦函数:正弦函数y=sin x在[-π/2,π/2]上的反函数,叫做反正弦函数。
记作arcsinx,表示一个正弦值为x的角,该角的范围在[-π/2,π/2]区间内。
定义域[-1,1] ,值域[-π/2,π/2]。
2、反余弦函数y=cos x在[0,π]上的反函数,叫做反余弦函数。
记作arccosx,表示一个余弦值为x的角,该角的范围在[0,π]区间内。
定义域[-1,1] ,值域[0,π]3、反正切函数:正切函数y=tan x在(-π/2,π/2)上的反函数,叫做反正切函数。
记作arctanx,表示一个正切值为x的角,该角的范围在(-π/2,π/2)区间内。
定义域R,值域(-π/2,π/2)。
4、反余切函数:余切函数y=cot x在(0,π)上的反函数,叫做反余切函数。
记作arccotx,表示一个余切值为x的角,该角的范围在(0,π)区间内。
定义域R,值域(0,π)。
数学高考复习名师精品教案:第13课时:第二章 函数-反函数
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数学高考复习名师精品教案第13课时:第二章 函数——反函数一.课题:反函数 二.教学目标:理解反函数的意义,会求一些函数的反函数;掌握互为反函数的函数图象间的关系,会利用)(x f y =与)(1x f y -=的性质解决一些问题.三.教学重点:反函数的求法,反函数与原函数的关系.四.教学过程:(一)主要知识:1.反函数存在的条件:从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数;2.反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域,若()y f x =与1()y f x -=互为反函数,函数()y f x =的定义域为A 、值域为B ,则1[()]()f f x x x B -=∈,1[()]()f f x x x A -=∈;3.互为反函数的两个函数具有相同的单调性,它们的图象关于y x =对称.(二)主要方法:1.求反函数的一般方法:(1)由()y f x =解出1()x f y -=,(2)将1()x f y -=中的,x y 互换位置,得1()y f x -=,(3)求()y f x =的值域得1()y f x -=的定义域.(三)例题分析:例1.求下列函数的反函数:(1)()1)f x x ≤-;(2)221(01)(){(10)x x f x x x -≤≤=-≤<; (3)32331y x x x =-++.解:(1)由1)y x =≤-得2211()(1)24y x x =+-≤-,∴10)2x y +=≥,∴所求函数的反函数为10)2y x =-≥.(2)当01x ≤≤时,得10)x y =-≤≤,当10x -≤<时,得1)x y =<≤,∴所求函数的反函数为10)1)x y x -≤≤=<≤⎪⎩.(3)由32331y x x x =-++得3(1)2y x =-+,∴1)x y R =∈,∴所求反函数为1()1)f x x R -=∈.例2.函数11(,)1ax y x x R ax a -=≠-∈+的图象关于y x =对称,求a 的值. 解:由11(,)1ax y x x R ax a -=≠-∈+得1(1)(1)y x y a y -=≠-+, ∴11()(1)(1)x f x x a x --=≠-+, 由题知:1()()f x f x -=,11(1)1x ax a x ax --=++,∴1a =. 例3.若(2,1)既在()f x =,m n 的值. 解:∵(2,1)既在()f x∴(1)2(2)1f f =⎧⎨=⎩,∴21==,∴37m n =-⎧⎨=⎩. 例4.(《高考A 计划》考点12“智能训练第5题”)设函数xx x f +-=121)(,又函数)(x g 与1(1)y f x -=+的图象关于y x =对称,求)2(g 的值.解法一:由121x y x -=+得12y x y -=+,∴11()2x f x x --=+,1(1)3x f x x --+=+, ∴)(x g 与3x y x -=+互为反函数,由23x x -=+,得(2)2g =-. 解法二:由1(1)y f x -=+得()1x f y =-,∴()()1g x f x =-, ∴(2)(2)12g f =-=-.例5.已知函数()y f x =(定义域为A 、值域为B )有反函数1()y f x -=,则方程()0f x =有解x a =,且()()f x x x A >∈的充要条件是1()y f x -=满足11()()(0)f x x x B f a --<∈=且.例6.(《高考A 计划》考点12“智能训练第15题”)已知21()()21x x a f x a R -=∈+,是R 上的奇函数.(1)求a 的值,(2)求()f x 的反函数,(3)对任意的(0,)k ∈+∞解不等式121()log x f x k-+>. 解:(1)由题知(0)0f =,得1a =,此时21212112()()021212112x x x xx x x xf x f x ------+-=+=+=++++, 即()f x 为奇函数.(2)∵21212121x x x y -==-++,得12(11)1x y y y+=-<<-, ∴121()log (11)1x f x x x-+=-<<-. (3)∵121()log x f x k -+>,∴11111x x x k x ++⎧>⎪-⎨⎪-<<⎩,∴111x k x >-⎧⎨-<<⎩, ①当02k <<时,原不等式的解集{|11}x k x -<<, ②当2k ≥时,原不等式的解集{|11}x x -<<.(四)巩固练习:1.设21(01)(){2(10)x x x f x x +≤≤=-≤<,则15(4f -= . 2.设0,1a a >≠,函数log a y x =的反函数和1log ay x =的反函数的图象关于( )()A x 轴对称 ()B y 轴对称 ()C y x =轴对称 ()D 原点对称3.已知函数1()(1x f x =+,则1()f x --的图象只可能是 ()()A ()B ()C ()D 4.若6y ax =-与13y x b =+的图象关于直线y x =对称,且点(,)b a 在指数函数()f x 的图象上,则()f x = .。
第二章 函数——反函数
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一.课题:反函数二.教学目标:理解反函数的意义,会求一些函数的反函数;掌握互为反函数的函数图象间的关系,会利用 与 的性质解决一些问题.三.教学重点:反函数的求法,反函数与原函数的关系. 四.教学过程: (一)主要知识:1.反函数存在的条件:从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数;2.反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域,若()y f x =与1()y f x -=互为反函数,函数()y f x =的定义域为A 、值域为B ,则1[()]()f f x x x B -=∈,1[()]()f f x x x A -=∈; 3.互为反函数的两个函数具有相同的单调性,它们的图象关于y x =对称. (二)主要方法:1.求反函数的一般方法:(1)由()y f x =解出1()x f y -=,(2)将1()x f y -=中的,x y 互换位置,得1()y f x -=,(3)求()y f x =的值域得1()y f x -=的定义域. (三)例题分析:例1.求下列函数的反函数: (1)2()(1)f x x x x =+≤-;(2)221(01)(){(10)x x f x x x -≤≤=-≤<;(3)32331y x x x =-++. 解:(1)由2(1)y x x x =+≤-得2211()(1)24y x x =+-≤-,∴211(0)24x y y +=-+≥,∴所求函数的反函数为211(0)24y x x =--+≥.(2)当01x ≤≤时,得1(10)x y y =+-≤≤,当10x -≤<时,得(01)x y y =-<≤, ∴所求函数的反函数为1(10)(01)x x y x x ⎧+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩.(3)由32331y x x x =-++得3(1)2y x =-+,∴312()x y y R =+-∈,∴所求反函数为13()12()f x x x R -=+-∈.例2.函数11(,)1ax y x x R axa-=≠-∈+的图象关于y x =对称,求a 的值.解:由11(,)1ax y x x R axa-=≠-∈+得1(1)(1)y x y a y -=≠-+,∴11()(1)(1)x f x x a x --=≠-+,由题知:1()()f x f x -=,11(1)1x ax a x ax--=++,∴1a =.例3.若(2,1)既在()f x m x n =+的图象上,又在它反函数图象上,求,m n 的值.解:∵(2,1)既在()f x m x n=+的图象上,又在它反函数图象上,∴(1)2(2)1f f =⎧⎨=⎩,∴221m n m n ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,∴37m n =-⎧⎨=⎩.例4.(《高考A 计划》考点12“智能训练第5题”)设函数xx x f +-=121)(,又函数)(x g 与1(1)y fx -=+的图象关于y x =对称,求)2(g 的值.解法一:由121x y x-=+得12y x y -=+,∴11()2x f x x --=+,1(1)3x f x x --+=+,∴)(x g 与3x y x -=+互为反函数,由23x x -=+,得(2)2g =-.解法二:由1(1)y f x -=+得()1x f y =-,∴()()1g x f x =-, ∴(2)(2)12g f =-=-.例5.已知函数()y f x =(定义域为A 、值域为B )有反函数1()y f x -=,则方程()0f x =有解x a =,且()()f x x x A >∈的充要条件是1()y f x -=满足11()()(0)f x x x B f a --<∈=且. 例6.(《高考A 计划》考点12“智能训练第15题”)已知21()()21xx a f x a R -=∈+,是R 上的奇函数.(1)求a 的值,(2)求()f x 的反函数,(3)对任意的(0,)k ∈+∞解不等式121()log x fx k-+>.解:(1)由题知(0)0f =,得1a =,此时21212112()()021212112xx xx xxxxf x f x ------+-=+=+=++++,即()f x 为奇函数. (2)∵21212121xx xy -==-++,得12(11)1x y y y+=-<<-,∴121()log (11)1x f x x x-+=-<<-.(3)∵121()log x f x k-+>,∴11111x xx kx ++⎧>⎪-⎨⎪-<<⎩,∴111x k x >-⎧⎨-<<⎩,①当02k <<时,原不等式的解集{|11}x k x -<<, ②当2k ≥时,原不等式的解集{|11}x x -<<. (四)巩固练习: 1.设21(01)(){2(10)x x x f x x +≤≤=-≤<,则15()4f -= .2.设0,1a a >≠,函数log a y x =的反函数和1log ay x =的反函数的图象关于( )()A x 轴对称 ()B y轴对称 ()C y x =轴对称 ()D 原点对称3.已知函数1()()12x f x =+,则1()f x --的图象只可能是 ( )()A ()B ()C ()D4.若6y ax =-与13y x b=+的图象关于直线y x =对称,且点(,)b a 在指数函数()f x 的图象上,则()f x = .五.课后作业:《高考A 计划》考点12,智能训练1,2,3,6,10,12,141-x y O2- x y O 1 x yO1- 1- xyO 2-。
人教版高中数学必修第一册同步讲义第二章 2.4 反函数
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2.4 反函数 ①课文三点专讲重点:(1)反函数也是函数,因为它符合函数的定义,从反函数的定义可知,对于任意一个函数)(x f y =来说,不一定有反函数.(2) 求反函数的步骤是(1)将y =f (x )看成关于x 的方程,解出x =f -1(y ),若x 有两解,应特别注意解的选择.(2)将x 、y 互换,得y =f -1(x ).(3)写出反函数的定义域(即y =f (x )的值域).(3) 互为反函数的两个函数的关系:函数)(x f y =与)(1x fy -=的图象关于直线x y =对称.反函数的定义域由原函数的值域得到,而不能由反函数的解析式得到.难点:(1)一个函数有没有反函数是由原来给出函数的性质决定的,且反函数的性质也是由原来给出的函数性质决定的.(2)互为反函数间关系的理解: 函数)(x f y =、)(1x f y -=、)(y f x =、)(1y f x -=间的关系:)(x f y =与)(1x fy -=、)(y f x =与)(1y f x -=互为反函数;)(x f y =与)(1y f x -=、)(y f x =与)(1x f y -=为同一函数。
考点:(1)判断反函数与原函数的单调性与奇偶性要充分利用互为反函数的两个函数的定义域和值域之间的关系,以及x 与y 的对应关系的变化实质,即f-1[f (x )]=x ,f [f-1(x)]=x.(2)对称性问题的考察. ①点A(x,y)关于x 轴的对称点'A (x,-y);②点A(x,y)关于y 轴的对称点'A (-x,y);③点A(x,y)关于原点的对称点'A (-x,-y);④点A(x,y)关于y=x 轴的对称点'A ( y, x);②练功篇典型试题分析例1.求函数 211x y --= (-1≤ x < 0)的反函数。
分析: 求反函数前先判断一下决定这个函数的映射是否是一一映射;求出反函数后习惯上必须将 x 、y 对调,写成习惯形式;求出反函数后必须写出这个函数的定义域——原函数的值域。
高中数学《反函数》 PPT课件 图文
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3 y x 1 x 0
4
y
2x3 x1
xR, x 1
解析:①先判断一下决定这个函数的映射是不是一 一映射? ②求反函数必须写出其定义域即原函数的值域
③求反函数的时候一定要注意原函数的定义域和值 域对反函数的限制。
例2、求函数
x1 0x1 yx2 1x0
2、教学目标的确定
知识目标:(1)对反函数概念的理解 (2)学会求函数的反函数
能力目标: (1)通过概念的学习,培养学生分析、解决问题的能力
和抽象概括的能力 (2)通过在反函数的求解过程中,把握函数与方程的思想
德育、情感目标: (1)培养学生对立统一的辩证唯物主义观点 (2)在民主、和谐的教学氛围中促进师生的情感交流
在学习中,应关注平时抽象思维较弱的学 生,在提供素材的环节中,鼓励他们“敢想”、 “敢做”积极参与,逐步提升思维能力;对于 平时抽象思维较好的学生,应积极引导他们学 会合作、交流,在抽象概括环节中进一步提高 其抽象思维能力,并教会学生学会通过观察、 分析、归纳、从具体实例中抽象出结论的方法, 逐步练就“会学”的本领,从而使人人都能有 所收获,整体水平得到提高。
前置诊断
1、请说出“对应”与“映射”、 “映射”与“函数”的联系与区别; 2、函数的三要素是什么?
创设情境,揭示课题
1、请同学们指出下列两个对应是不是映射?是不是
一一映射?是不是函数?
乘2
1
2
2
4
3
6
4
8
-1 平方 1
1
-2
4
2
-3
9
3
A
B
A
B
2、上述两个映射能不能构成从B到A的映射呢?如
(完整版)高中数学专题反函数
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所谓反函数就是将原函数中自变量与变量调换位置,用原函数的变量表示自变量而形成的函数。
通俗点即原函数:y=3x—1 反函数:。
由此可以得出解决反函数的第一种方法:反表示法。
就是将原函数反表示后,再写成函数形式。
例如:y=3x-1求此反函数。
可以这样做:原函数y=3x-1但是这种反表示法限于一定范围之类,就是只能反表示一示简单的函数,对于比较复杂的如二次函数,就不行了,因此还有另外方法:配方法。
但是为什么此题有两解.这是引发了定义域的问题。
从定义上我们发现反函数中自变量x即为原函数变量y。
所以,原函数定义域为反函数值域.所以上题中“”这一答案需要舍去因为它不符合原函数定义域,值域.因此在今后解题中需要注意,原函数的定义域。
还有一种解决反函数问题的方法:求解法。
就是把函数方程x当未知数来解。
例如“”求反函数原方程:原方程解:所以解决反函数问题时需要三者兼用,方可收到显著效果。
在往常练习中同学们还会遇到某些问题,如“已知"遇此类问题时,不妨这样解。
填空或大题中还有此类题“已知,求实数a。
"有些同学初拿此题不知从何处下手。
其实只需写出,一切都可解开。
解:反函数与原函数最大连联还不在于解析式,而在于图象关于y=x对称。
所以有些题可利用图象即数形结合求解。
如“奇函数y=f(x)(x∈R)有反函数y=f—1(x),则必有在y=f-1(x)的图象上点是:A。
(-f(a),a) B. (—f(a),-a) C. (—a,-f-1(a)) D。
(-a,-f-1(a))此题被老师打上星号,因为它将众知识联合起来。
解:f(x)为奇函数∴f(—a)=-f(a)f(x)必有(a,f(a)),也必有(—a,—f(a))f(x)与—f(x)关于y=x 对称,∴f—1(x)上必有(—f(a),—a).“设函数的反函数为φ(x),又函数φ(x)与φ(x+1)图象关于直线y=x对称,求g(2)。
”此题关键在于反函数φ(x)。
反函数定理
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反函数定理在数学中,反函数定理给出了向量值函数在含有定义域中一点的开区域内具有反函数的充分条件。
该定理还说明了反函数的全导数存在,并给出了一个公式。
反函数定理可以推广到定义在流形上、以及定义在无穷维巴拿赫空间(和巴拿赫流形)上的映射。
定义设M与N为n维光滑流形,U为M的开集,f:U→N为光滑映射。
若f在p∈U有极大阶,则存在p的邻域V,使得限制f:V→f(V)为微分同胚。
简介反函数定理说明如果从Rn的一个开集U到Rn的连续可微函数F 的全导数在点p可逆(也就是说,F在点p的雅可比行列式不为零),那么F在点p的附近具有反函数。
也就是说,在F(p)的某个邻域内,F的反函数存在。
而且,反函数F-1也是连续可微的。
在无穷维的情况中,需要弗雷歇导数在p附近具有有界的反函数。
最后,定理说明这个公式还可以从链式法则推出。
链式法则说明,如果G和H是两个函数,分别在H(p)和p具有全导数,那么:J(G∘H)(P)=JG(H(P))*Jh(P)设G为F,H为F-1,(G∘H)就是恒等函数,其雅可比矩阵也是单位矩阵。
在这个特殊的情况中,上面的公式可以对Jf-1(F(p))求解。
注意链式法则假设了函数H的全导数存在,而反函数定理则证明了F-1在点p具有全导数。
F的反函数存在,等于是说方程组yi = Fj(x1,...,xn)可以对x1,...,xn求解,如果我们把x和y分别限制在p和F(p)的足够小的邻域内。
这个公式还可以从链式法则推出。
链式法则说明,如果G和H是两个函数,分别在H(p)和p具有全导数,那么:J(G∘H)(P)=JG(H(P))*Jh(P)设G为F,H为F-1,(G∘H)就是恒等函数,其雅可比矩阵也是单位矩阵。
在这个特殊的情况中,上面的公式可以对Jf-1(F(p))求解。
注意链式法则假设了函数H的全导数存在,而反函数定理则证明了F-1在点p具有全导数。
F的反函数存在,等于是说方程组yi = Fj(x1,...,xn)可以对x1,...,xn求解,如果我们把x和y分别限制在p和F(p)的足够小的邻域内。
反函数(2)全面版
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∴ y1 1x2(1≤ x < 0)的反函数
是:y 2xx2 ( 0 < x ≤1 )
例2、求函数
x21 (0x1)
y
x2
(1x0) 的反函数。
解:①当 0≤x≤1时1≤x21≤0即 -1≤y ≤ 0
由y=x21(0≤x≤1)解得 x y1 (1≤y≤ 0)
∴ f1(x) x1 (1x0)
② 当 -1≤ x <0时 0 < x2 ≤ 1 即 0 < y ≤ 1
由 y = x2 (1≤ x < 0) 解得 x y (0 < y ≤ 1)
f 1(x) x (0 < x ≤ 1)
∴原函数的反函数为 f1(x) x1(1x0) x(0x1)
x
y 2
3, x在R中都有唯一的值和它对应。
这时 y 为自变量,x 作为 y 的函数
这样的函数称为原函数的反函数
请总结一下反函数的定义
反函数的定义:
函数y=f(x)(x∈A) 中,设它的值域为 C。我们根据这个函数中x,y的关系,
用 y 把 x 表示出来,得到 x = (y) 。
如果对于y在C中的任何一个值,通过x =
(4) y2xx13(xR ,且x 1 )
yx3(xR ,且x 2 ) x2
求函数反函数的步骤: 1求原函数的值域 2 反解 3 x与y互换 4 写出反函数及它的定义域
例2 (1)y=x2(x∈R)有没有反函数? 没有
(2)y=x2(x≥0)的反函数是__y____x_(_x0)
②满足函数的定义 ③自变量与函数对调
④定义域与值域对调
⑤写法:x = f 1(y) 考虑到“用 y表示自变量 x的函数”
高一数学苏教版教案第二章---反函数(1)
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第十二教时教材:反函数(1)目的:要求学生掌握反函数的概念,会求一些简单函数的反函数。
过程:一、复习:映射、一一映射及函数的近代定义。
二、反函数的引入及其定义:1.映射的例子:①这个映射所决定的函数是: y = 3x - 1②这个映射是有方向的:f ::A B ( f :x y = 3x - 1)③如果把方向“倒过来”呢?(写成) f -1: A B ( f -1:y 31+=y x ) ④观察一下函数 y = 3x - 1与函数 31+=y x 的联系我们发现:它们之间自变量与函数对调了;定义域与值域也对调了,后者的解析是前者解析中解出来的(x )。
2.得出结论:函数 31+=y x 称作函数 y = 3x - 1的反函数。
定义:P66 (略)注意:(再反复强调):①用 y 表示 x , x = ϕ (y )②满足函数的(近代)定义 ③自变量与函数对调 ④定义域与值域对调 ⑤写法:x = f -1(y )考虑到“用 y 表示自变量 x 的函数”的习惯,将 x = f -1(y ) 写成 y = f -1(x )如上例 f -1:31+=x y3.几个必须清楚的问题:1︒ 如果 y = f (x ) 有反函数 y = f -1(x ),那么 y = f -1(x ) 的反函数是 y = f (x ),它们互为反函数。
2︒ 并不是所有的函数都有反函数。
如 y = x 2(可作映射说明) 因此,只有决定函数的映射是一一映射,这个函数才有反函数。
3︒ 两个函数互为反函数,必须:原函数的定义域是它的反函数的值域原函数的值域是它的反函数的定义域 如:)(2Z y yx ∈=不是函数 y = 2 x ( x ∈ Z ) 的反函数。
4︒ 指导阅读课本,包括“举例”“定义”“说明”“表格”以加深印象。
三、求反函数:1.例题:(见P66—67 例一)注意:1︒ 强调:求反函数前先判断一下决定这个函数的映射是否是一一映射。
必修2第二章反函数演示
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反函数天津实验中学张维佳使用教材:人民教育出版社数学室编著全日制普通高级中学教科书数学(必修)第一册第二章第四节反函数(第一课时)教材分析及教学目标的确定教学模式及教学环节的实施设计意图及教学设计的反思教材分析本节内容安排在函数的概念、表示法以及单调性的后面,帮助学生从另一个侧面了解函数、研究函数,它使学生对函数的理解更为深入,并且为继续学习指数函数、对数函数等知识进行铺垫.教学目标教养性教育性发展性知识目标:使学生了解反函数的概念,会求一些简单函数的反函数.能力目标:通过反函数的学习培养学生运算求解,演绎推理,归纳抽象,符号表达等理性思维能力.思想方法目标:通过反函数的学习进一步用方程思想指导解题.通过研究函数与反函数的关系,树立对立统一和矛盾转化等辩证唯物主义观点.培养学生思维的可逆性,批判性,深刻性等思维品质.培养学生问题研究的兴趣和问题研究的思维方法.教学重点反函数的概念教学难点对反函数概念的理解及符号表示教学模式:“启发—探究”模式加深理解探究问题布置作业小结升华总结方法巩固概念引出定义创设情境教学设备:视频实物投影仪第一环节创设问题情境引出反函数定义物体作匀速直线运动(速度是常量)v s t =vts =位移是时间的函数时间是位移的函数s s t t v6810......2...-2-1012...CA()()C y A x x f y ∈∈=,4()(),x y x A yC ϕ=∈∈62+=x y ()x ∈R 32-=yx ()y ∈R反函数定义函数中,设它的值域为. 我们根据这个函数中的关系,用把表示出来,得到.如果对于在中的任何一个值,通过,在中都有唯一的值和它对应,那么, 就表示是自变量,是自变量的函数. 这样的函数叫做函数的反函数,记作.()()A x x f y ∈=C y x ,y x()y x ϕ=y C ()y x ϕ=xA ()y x ϕ=y y x()()A x x f y ∈=()y f x 1-=()x y ϕ=()y C ∈第二环节巩固概念总结求反函数方法例1 求下列函数的反函数:≥()()32;y xx =∈()().013x x y +=()()131;y x x =-∈R R(1)将看成方程解出;(2)依照习惯写成.()x f y 1-=()y f x 1-=()x f y =求反函数的步骤第三环节提出探究问题深化理解定义定义域值域定义域值域定义域值域研究性问题1设问1通过研究这张表格中函数与反函数的定义域、值域的填写,你能得到什么结论?13+=x y 1+=x y 21)1()(-=-x x f 13-=x y 31)(1+=-x x f 1)(1-=-x x f 3设问2 通过这一例题,在求反函数时应注意什么?研究性问题2如何求函数的反函数?()23,11x y x x x +=∈≠-且23-+=x x y 132-+=x x y ()32+=-y x y 23-+=y y x ?R函数存在反函数吗?如果存在,求出它的反函数;如果不存在,增添什么条件让它具有反函数?2x y 研究性问题3设问3 是否每个函数都存在反函数?函数存在反函数的一个充分条件是什么?第四环节小结升华布置作业小结1. 从映射的观点理解反函数的概念.2. 从函数的角度,理清函数与它的反函数在定义域、值域、对应法则之间的关系,以及反函数存在的充分条件.3. 用方程思想掌握求简单函数的反函数的步骤.作业:巩固性作业提高性作业研究性作业巩固性作业:1. 阅读课本第60-62页;2. 课本习题2.4 第1,2题.提高性作业:试写出具有反函数的一个充分条件,并且根据此条件写出它的反函数.522+-=x x y研究性作业:●求函数的反函数,并且画出原来的函数和它的反函数的图象,然后研究它们图象之间的关系,这种关系是否具有一般性?●若函数的反函数是它本身,则参数满足什么条件?23-=x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛≠≠-+=0,112b b x bx ax y b a ,对本节课教学设计的反思:(1)由于反函数的概念比较抽象,学生学习本节内容有一定的困难,所以我将反函数的概念教学分层次进行,先从实例入手帮助学生建立有意义的知识联结,顺应认知结构中的原有体系,而后由归纳抽象的方式给出定义,这样从具体到抽象的过渡培养学生的数学抽象能力,以逐步探究的思路实现对问题的深层次理解,增强思维的批判性和深刻性.实际的例子匀速直线运动已学一次函数反函数定义反函数性质反函数存在条件(2)教学中紧紧围绕课本,尊重教材,挖掘教材,从情境设计到例题选择,从导出定义到课堂引申都是以教材内容为载体,充分开发教材的功能.(3)利用最近发展区的理论进行教学已有知识最近区域发展区域反函数概念发展区域互为反函数的函数图象间的关系(下一课时)最近区域最近区域发展区域反函数求法反函数性质(4)学生的思维水平存在着差异,因此,我在设计研究问题时第一个问题全体学生都有能力研究,第二个问题中有一部分学生会出现障碍,第三个问题则要求学生有较高的思维水平,通过小组互动的方式使学生产生思维的碰撞,达到共同完成知识建构的目的,另外在布置作业时分出三个层次,也是使不同层次的学生都有所收获.谢谢请指正。
高三数学反函数1
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y=f(x)反函数和y=f(x)相同;
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激发我们追求真实和永恒的智慧。当我们面对人间的一朵好花,心里有美、有香、有平静、有种种动人的质地,就会使我们有更洁净的心灵来面对人生。 ?让我们看待自己如一枝花吧!香给这世界看! (文章有删改) 20.选文采用了的表现手法,以花为线索,按拾花、、爱花、的顺序 构思全文,层层深入,结构严谨。(3分) 代谢:托物言志(或象征、以物喻人)选花(或悟花)变花(或学花) 21.结合语境,说说句中加点词的含义及其作用。(3分) 每一朵花都是安静地来到这个世界,又沉默离开。若是我们倾听,在安静中仿佛有深思,而在沉默里也有美丽的 雄辩。 答: 答题示例:“雄辩”本义指有说服力、强有力的辩论,这里有“有力代谢明或辩护”之意。(1分)作者用拟人的手法,(1分)表现了花朵平静的心态和洁净的心灵,虽然凋落,依然沉静庄严地开放,倾听土地的呼唤,从而展现一种难言的美丽。(1分) 22.请赏析第⑤ 段画线句子。(3分) 赏析: 答题示例:画线句子运用了比喻、拟人的修辞手法,(1分)以花喻人、花像眼睛,“努力张开”“深情地看着”“深情的最后一瞥”无不展示了花对土地的呼唤及对人间深情的依恋,落花有情,即使凋落,也依然美丽,同时也怕美丽的失去,“惆怅”一 词正是作者复杂心境的体现。(1分) 23.简要分析第?段在文中的作用。(3分) 答: 答题示例:过渡段,起承上启下的作用。(1分)作者巧妙地由上段卖因缘过渡到下段的爱花因缘,文章衔接自然,浑然一体。(2分) 24.通读全文,谈谈文题“把自己变成一朵花,香给这个世界 看”的深刻含义。(3分) 答: 答题示例:文章托物言志,借花寓意了高远的人生志向;(1分)作者珍爱人间的每一朵好花,花里有美、有香、有平静、有种种动人的质地和永恒的智慧,所以作者愿把自己变成一朵花。(1分)同时,作者更愿像花那样,即使不被欣赏,依然沉静庄 严地开放,倾听土地的呼唤,深情地注视人间的美好,用更洁净的心灵来面对人生,把花的“芬芳”“香给这个世界看”。(1分)(言之有理即可) (2017广西柳州)是谁爱着你的背影 邓迎雷 这个周末回家,临走时,母样将我送到门口。 我走了一段,即将拐进小巷时,发现母亲竟 然在身后跟了过来。我催她回去:“妈,快回吧,大门敞着呢。”她说:“没事,我就站在这路口。” 我知道,母亲是要站在路口看我远去的背影。带着一种温暖的滋味,我走进小巷,再回头看母亲,只见她站在原地,正一动不动地看着我的方向。因为隔着一段距离,我看不清她的表 情,但我能感觉到她殷殷期望的眼神里满是留恋不舍。 近些年,母亲越来越显老了。孩子们像小鸟一样,离开她温暖的羽翼,有了自己的家,也有了各自的事业,陪伴她的日子少了许多。母亲不止一次地感叹:“还是你们小时最好,天天在一起,现在你们姊妹几个天南海北四下分散, 团聚一回可真不容易。” 每听见她这样说,我总不以为然,没品味出她话里面的孤单和失落。直到有一天,我猝不及防地发现,在我远去的身后,母亲追随的目光是那样爱意深沉。 那是个夏天,母亲住在弟弟家。有次我去看她,告别时,她又送到门外。直到我从五楼下到四楼,看不见 我的身影,我才听见她关门的声音。 我出了楼,绕过一片绿地,走过小区院子。快走到小区门口时,我偶然间向后望去,忽然被身后的一幕惊呆了——只见弟弟家那个小小的窗框里,母亲正趴在窗口,向我望着,就像一只守在巢里的老鸟,眼巴巴地看着小鸟的远去。看见我回头,她向 我不停地挥手,依稀又在说着什么。 那一刻,我心里酸酸的,眼泪不由得落了下来。如是不是我偶然回头,我哪里知道,就在我一路走去的时候,身后会有母亲浓得化不开的目光。 也是从那时起,我才发现母亲是多么痴恋和孩子在一起的时光,哪怕只是渐渐远去的背影,她也想多看几 眼,不愿错过。 去年秋天,母亲患病住院。我在医院陪她,午后下起了雨,天色阴暗,母亲催我回去。她说:“我好好的,没有什么事,你妹妹也快来了,你快回去吧,别等雨下大了。” 我收拾东西回去,母亲送我上电梯。 很快,电梯从八楼下到一楼。我穿过病房楼大厅,走到院子 里,看雨下得不大,我没有打伞。就在这时,电话忽然响了。只听母亲在电话里说:“你怎么不打伞呢,快把伞打起来,别冻感冒了。” 原来,母亲又在隔窗望着我的背影。 病房楼的电梯间没有窗户,想望向我出门的这个方向,需要出了电梯间,穿过病房长长的走廊。我能想象到,当 电梯门关上的那一刹那,母亲是怎样拖着行动迟缓的腿,努力加快脚步,快速占领那个窗口。然后,老眼昏花地她透过蒙蒙细雨,努力向外望着,只为了看女儿在院子里经过的那一分钟。 雨天里没有打伞,淋湿的是母亲的心。我连忙撑起了伞,在连绵不断的冷雨里一步步走得很稳。我 知道身后有双爱我的眼睛,而母亲不知道的是,伞下的我,眼泪早己不知不觉地流了下来。(选自《特别关注》,有改动) 20.本文叙述了母亲注视着“我”背影的三个事件,请你按照时间顺序,用概括的语言补充下面表格。(4分) ①那个夏天,母亲趴在弟弟家的窗口里望着我离开小 区 ② ③ 21.请你结合全文,分析母亲的形象。(4分) 。 22.请你按照要求进行品析。(4分)? (1)“我才听见她关门的声音。”句中的“才”不可删去,理由是什么? 。 (2)结尾段“淋湿的是母亲的心”在表达上有何妙处? 。 23.文章两处画横线的句子都写到“我”掉泪,请你结 合文中内容分析泪水中蕴含着“我”怎样的复杂情感。(4分) 代谢:20.②去年秋天(1分),母亲在医院病房的窗口望着我在雨中离开(1分) ③这个周末(1分),母亲跟我来到路口,站着看我远去。(1分) 21.概括人物形象的2分,具体分析内容得2分。 示例一:这是一位关注儿 女、爱意深沉的母亲(2分),她依恋与儿女在一起的时光,连儿女离去的背影也不想错过,还要多看一眼(2分) 示例二:这是一位通情达理含蓄深沉的母亲(2分),她虽然因儿女成家立业,缺少陪伴而孤单失落,但并不提出特别要求,只是在儿女离别时默默关注他们的背影,努力延 长和孩子在一起的时光(2分)。 22.(1)讲明“才”的表达效果(1分),进行删与不删的比较(1分) 示例一:“才”字细致表明母亲是在一直目送“我”走下楼梯,直到看不见“我”的身影才返家关门(1分),如果把它删除,则不够具体细致,没有了“一字传情”的表达效果(1 分) 示例二:“才”准确传达出“我”对母亲的关注,、期待,“我”告别母亲是,一面下楼倾听母亲的动静,期待他赶快回家,听到关门声才放下心来,如果删去,则少了细节上的强调,不能表达出母女间微妙真切的感情。(2)理解句意1分,合理分析1分 示例一:这是用特殊的说 法来表达特别的感情,心被“淋湿”,看似不合常理,却能生动形象地传达出母亲对儿女的关怀和怜惜,表明她对“我”的被淋感同身受,心疼不已 示例二:这句话虽不合理,但是不合理的表达却有 很好的表达效果,真实地表现了母亲看到“我”被雨淋湿时的心情。 示例三:此句运 用了拈连的修辞手法,形象生动又巧妙自然地写出了母亲看到“我”被雨淋湿的疼爱和牵挂之情。 23.能答出“我”对母亲的两种情感各1分,分别进行分析各1分 示例:这些泪水中蕴含着“我”复杂多样的思想感情,既有知晓母亲的殷切凝视之后,为母亲的孤独失落而心酸难过的心情 (2分),也有感受到爱的目光在身后追随,为母爱的细致深沉而感怀激动的心情。(2分) (黑龙江龙东) (四) 阅读《教养是一个人最好的名字》一文,回答22——25题。(共9分) 教养是一个人最好的名字 ①有一年,一夜秋风劲,郭德纲家的柿子树叶子落尽,红红的柿子,就像 院子里升起的灯笼。很快,就有喜鹊登枝,一口一口地啄食柿子。家中小儿急了,不由分说,就去驱赶。老郭看到,急忙拦阻,道:“别这么独,让它吃!” ②接着,老郭对儿子说:“人的一生很长,不差这一个柿子吃。而这只喜鹊这辈子顶多吃这么一个柿子。看它有东西吃,也是种 快乐。” ③我觉得这实在是很好的教子素材。“别那么独,让它吃!”天下的父母,若都把这个故事借过来教育自己的子女,孩子的教养一定不会差。 ④前些日子坐火车,四个铺位的软卧包厢,除了我们三个人,还有一个空着。车开动不久,老人说,咱们早点儿休息吧。是啊,这几天 玩累了,我们倒头便睡。车过嘉兴,上来一位女士,轻轻敲门,见包厢里黑着灯,她便借着走廊里的灯光,放妥行李,整理好床铺,然后关好门,蹑手蹑脚上了自己的上铺。直到躺下,她都没有开灯,哪怕是自己的床头灯。 ⑤而那时,也就是晚上7点多,列车里还播放着音乐。 ⑥ 一夜 无话。早上列车员来换车票,通知她该下车了,她便窸窸窣窣地整理。起初,我认为她是在收拾自己的行囊,哪料,她是叠被子。出了无数趟门,坐了无数次车,阅了无数的人,哪里见过这个被子还需要叠的?只见她耐心地把被子舒展开,换了好几种方式,终于叠成昨晚展开之前的模样。 然后,她还把两个枕头的每个角都抻平了,抻舒展了,那“唰唰”的抻枕头的声音,听着真悦耳。 ⑦她下车的那一站是山东德州。不管她是不是德州人,因为她,这个地方一下子变得亲切起来。你说,还需要知道女士姓什么叫什么吗?教养就是一个人最好的名字。 (摘自《今晚报》 2016年3月6日) 22.本文写了几件事?请用简洁的语言概括。(2分) 23.赏析文章第⑥段中的画线句子。(2分) 24.文章最后一段有什么作用?(2分) 25.请谈谈你对“教养是一个人最好的名字”的认识。在生活中你又是如何践行良好教养的?(3分) 代谢:(四)阅读《教养是一 个人最好的名字》一文,回答22——25题。(共9分) 22.①郭德纲(老郭)拦阻儿子驱赶喜鹊并教育他。(儿子不让喜鹊吃柿子,郭德纲拦阻并教育。)②一位女士上车后不影响旅客休息,晨起后认真整理床铺。 评分标准:(2分)每答出一层意思得1分,意思对即可。 23.示例:运 用了排比和反问的修辞手法,加强语气,写出作者的出乎意料,表现这位女士的良好教养。(可从其它角度作答) 评分标准:(2分)角度1分,内容1分,赏析合理即可。 24.结构上:照应题目,总结全文。
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( B) y 轴对称
(C ) y x 轴对称
( D) 原点
1 3.已知函数 f ( x) ( ) x 1 ,则 f 1 ( x) 的图象只可能是 2 y y y
(
)
y
O
1
x
1 O
( B)
x
2
1
O
x 2 1 O
( D)
x
( A)
(C )
4 .若 y ax 6 与 y
2 x 1 2 x 1 2 x 1 1 2 x 0, 2 x 1 2 x 1 2 x 1 1 2 x 即 f ( x) 为奇函数. f ( x) f ( x) 1 y 2x 1 2 (1 y 1) , 1 x ,得 2 x x 1 y 2 1 2 1 1 x ∴ f 1 ( x) log 2 (1 x 1) . 1 x
1 y 1 2x 1 x x 得x ,∴ f 1 ( x) , f 1 ( x 1) , y2 1 x x2 x3 x x ∴ g ( x) 与 y 互为反函数,由 2 ,得 g (2) 2 . x3 x3 解法二:由 y f 1 ( x 1) 得 x f ( y) 1 ,∴ g ( x) f ( x) 1 , ∴ g (2) f (2) 1 2 .
解:由 y
例 3.若 (2,1) 既在 f ( x) mx n 的图象上,又在它反函数图象上,求 m, n 的值. 解:∵ (2,1) 既在 f ( x) mx n 的图象上,又在它反函数图象上,
f (1) 2 m 3 mn 2 ∴ ,∴ ,∴ . n 7 f (2) 1 2 m n 1 1 2x 例 4.设函数 f ( x) ,又函数 g ( x) 与 y f 1 ( x 1) 的图象关于 y x 对称, 1 x 求 g (2) 的值.
1
课 堂 检 测
5 ,则 f 1 ( ) . 4 2 (1 x 0) 2.设 a 0, a 1 ,函数 y log a x 的反函数和 y log 1 x 的反函数的图象关于(
1.设 f ( x) {
x 2 1(0 x 1)
x
)
a
( A) x 轴对称 对称
解法一:由 y
例 5.已知函数 y f ( x) (定义域为 A 、值域为 B )有反函数 y f 1 ( x) ,则方程 f ( x) 0 有 解 x a , 且 f ( x) x( x A) 的 充 要 条 件 是 y f 1 ( x) 满 足 f 1 ( x) x( x B)且f 1 (0) a .
全方位教学辅导教案
学科:数学 姓 名 教 内 重 难 教 目 任课教师: 性 别 授课时间:年月日 年 级 高一 星期 : 总课时: 第次课
学 反函数 容 点 反函数的求法,反函数与原函数的关系. 点 学 理解反函数的意义,会求一些函数的反函数;掌握互为反函数的函数图象间的关系,会利 标 用 y f ( x) 与 y f 1 ( x) 的性质解决一些问题. 课前检 作业完成情况: 查与交 流 交流与沟通: 教学过程: (一)主要知识: 针 1.反函数存在的条件:从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数; 2. 反函数的定义域、 值域上分别是原函数的值域、 定义域, 若 y f ( x) 与 y f 1 ( x) 对 互为反函数, 函 数 y f ( x) 的 定 义 域 为 A 、 值 域 为 B , 则 f [ f 1 ( x)] x( x B) , 性 f 1[ f ( x)] x( x A) ; 3.互为反函数的两个函数具有相同的单调性,它们的图象关于 y x 对称. 授 (二)主要方法: 1.求反函数的一般方法:(1)由 y f ( x) 解出 x f 1 ( y ) ,(2)将 x f 1 ( y ) 中 课 的 x, y 互换位置,得 y f 1 ( x) ,(3)求 y f ( x) 的值域得 y f 1 ( x) 的定义域. (三)例题分析: 例 1.求下列函数的反函数: x 2 1(0 x 1) 2 (1) f ( x) x x ( x 1) ;(2) f ( x) { 2 ; x (1 x 0) (3) y x3 3x 2 3x 1 .
(2)∵ y
1 x 1 x x 1 k 1 x (3)∵ f ( x) log 2 ,∴ 1 x , k ,∴ 1 x 1 k 1 x 1 ①当 0 k 2 时,原不等式的解集 {x |1 k x 1} , ②当 k 2 时,原不等式的解集 {x | 1 x 1} .
a2x 1 (a R) ,是 R 上的奇函数. (1)求 a 的值, (2)求 f ( x) 2x 1 1 x 的反函数,(3)对任意的 k (0, ) 解不等式 f 1 ( x) log 2 . k 解:(1)由题知 f (0) 0 ,得 a 1 ,此时
例 6.已知 f ( x)
∴所求反函数为 f 1 ( x) 1 3 x 2( x R) . 1 ax 1 例 2.函数 y ( x , x R) 的图象关于 y x 对称,求 a 的值. 1 ax a
1 y 1 ax 1 ( y 1) , ( x , x R) 得 x a( y 1) 1 ax a 1 x ∴ f 1 ( x) ( x 1) , a( x 1) 1 x 1 ax 由题知: f ( x) f 1 ( x) , ,∴ a 1 . a( x 1) 1 ax
教
学
过
程
得 x y (0 y 1) , ∴所求函数的反函数为 y
x 1(1 x 0) x (0 x 1)
.
(3)由 y x3 3x 2 3x 1 得 y ( x 1)3 2 ,∴ x 1 3 y 2( y R) ,
1 x b 的图象关于直线 y x 对称,且点 (b, a) 在指数函数 3 . f ( x) 的图象上,则 f ( x)
签 字
课 后 作 业 教研组长: 下节课的计划:
教学主任:
学生:
教务老师:
家长:
老 师 课 后 评 价
学生的状况、接受情况和配合程度:
给家长的建议:
ห้องสมุดไป่ตู้堂检测答案:
1 1 解:(1)由 y x 2 x ( x 1) 得 y 2 ( x )2 ( x 1) , 2 4 1 1 ∴ x y 2 ( y 0) , 2 4
1 1 ∴所求函数的反函数为 y x 2 ( x 0) . 2 4 (2)当 0 x 1 时,得 x y 1(1 y 0) ,当 1 x 0 时,