俄罗斯教材《代数引论》的启迪_5
俄罗斯高中数学教科书研究及启示
俄罗斯高中数学教科书研究及启示
本研究分析了俄罗斯高中数学教科书对学生学习数学的影响。
结果发现，在俄罗斯高中数学教学中，教科书是一个重要的工具，它不仅可以帮助学生学习数学，而且可以帮助他们理解和记住所学的内容。
教科书的内容尤其有助于深入理解数学原理。
俄罗斯数学教学中也有一些不足之处。
教科书的课文常常比较难以理解，对于初学者来说，学习数学可能会变得更加困难。
另外，教科书缺乏实践和练习。
这意味着学生可能更多地依赖讲师来畅谈数学问题，而无法真正独立工作。
总的来说，俄罗斯高中数学教科书对学生学习数学有重要影响，然而也存在一些不足之处。
因此，我们建议俄罗斯高中的数学教学应该以对学生友好的方式来改善教科书的内容，以及更有趣的实践和练习。
同时也应该加强老师的教学，以帮助学生更好地理解数学。
俄罗斯高中数学教育标准最新进展及启示_徐乃楠
俄罗斯高中数学教育标准最新进展及启示＊徐乃楠１ 孔凡哲２（１．吉林师范大学数学学院１３６０００，２．东北师范大学教育学部１３００２４） 学习前苏联曾是我国教育史上一个非常重要的阶段，新中国第一套数学教科书即是“以苏联教科书为蓝本的”．虽然２０世纪６０年代中苏关系恶化后中国教育界开始批判前苏联教育，但不可否认的是前苏联教育思想和模式已在我国有着深刻影响．正如顾明远先生指出的，中国的教育传统除了继承中国传统的内核外，还融入了苏联教育的因素．历史也证明，在众多人类知识领域中，俄罗斯与前苏联做出最大贡献的就是数学，诞生过罗巴切夫斯基、车比雪夫、马尔可夫、辛钦、柯尔莫戈罗夫、亚历山大洛夫、康托洛维奇、索伯列夫等一大批世界顶级数学家．至今俄罗斯仍是数学强国，格里戈里·佩雷尔曼对“庞加莱猜想”的证明令世人瞩目，被美国Ｓｃｉｅｎｃｅ杂志列入２００６年度十大科学进展之一．因此，认真研究和把握俄罗斯当前数学教育改革与发展的新动向具有非常重要的意义．１ 俄罗斯第一代高中数学教育标准简介２００４年，俄罗斯联邦教育部颁布了第一代国家教育标准，高中数学部分包含两个层次：一个是基础水平的，一个是侧重数学专业水平的．两个水平的基本要求如下．１．１ 基础水平（БАЗОВЫЙУРОВЕНЬ）在普通教育高中阶段（基础水平）数学学习要达到下列目的：（１）形成数学是科学的通用语言、现象与过程模型化的工具的观念；形成数学的思想方法；（２）在将来的职业活动和进一步继续学习中，发展逻辑思维、空间想象、算法思维以及所必需的思维的批判性品质；（３）掌握日常生活以及继续学习自然科学课程所必需的数学知识与技能，以便获得后续教育基础；（４）通过了解数学发展的历史、数学思想演化，理解数学对于科学技术进步的意义，理解作为人类文化一部分的数学与整体的关系，进而以数学为载体提高文化素养．１．２ 专业水平（ПРОФИЛЬНЫЙУРОВЕНЬ）在普通教育高中阶段（侧重数学专业水平）数学学习要达到下列目的：（１）形成数学是科学的通用语言、现象与过程模型化的工具的观念；形成数学的思想方法；（２）掌握口头的和书面形式的数学语言，掌握用以学习自然科学课程，进一步学习所选数学专业必须的数学知识与技能；（３）为了后续教育和将来的职业活动，独立地在数学领域中学习，发展逻辑思维、算法思维、空间想象、数学思维和直觉等方面的能力，以及从事数学活动所必需的创造能力；（４）通过了解数学发展的历史，数学思想的演化，理解数学对于科学技术进步的意义，进而以数学为载体提高文化素养．２ 俄罗斯第二代高中数学教育标准简介２００６年，俄罗斯开始总结第一代标准的种种失误，启动制定第二代国家教育标准，希望纠正第一代标准中的种种失误．经过多年修订，多轮磋商，各学段教育标准相继完成．５２０１３年 第５２卷 第４期 数学通报＊本文系国家社科基金教育学２０１２年度国家重点课题“中小学理科教材国际比较研究”（ＡＨＡ１２０００８）、国家社科基金教育学２０１０年度国家重点课题“主要国家高中数学教材比较研究”（ＡＤＡ１００００９）、吉林省教育科学“十二五”规划重点课题“文化视域下中俄数学教材比较研究”（ＺＣ１１０８６）和吉林省教育厅“十二五”社会科学研究项目“中俄高中数学教材的文化学研究”的阶段性研究成果．高中阶段的国家教育标准是在小学、初中教育标准之后完成的．２０１１年４月１５日，俄罗斯教育部教育标准网站上发布《俄罗斯联邦国家普通中等（完全）教育标准（草案）》征求意见．当时修订后的高中第二代标准（草案）的数学部分有较大的变化．将原来的数学和信息学两个学科课程合并设置为一个课程领域———《数学与信息学》，并设置了《数学与信息学》（整体课程）和基础、专业两个水平的《数学》、《信息学》课程．２０１１年７月５日至６日，俄罗斯联邦科学教育部普通教育司在俄罗斯的车里雅宾斯克举行协调委员会例行会议，针对高中国家教育标准的绪论和实施问题，会上统一了部分意见．２０１２年６月７日，俄罗斯教育部网站公布《联邦国家普通中等（完全）教育标准》及其实施法令（２０１２年５月１７日，ＮＯ．４１３），其中第９．３部分为《数学与信息学》领域，但与修改草案相比，正式标准删去了草案中的《数学与信息学》（整体课程）部分，新的高中数学教育标准给出了《数学与信息学》领域总体要求和基础、深入两个水平的《数学》、《信息学》课程要求．２．１ 《数学与信息学》课程领域总体学习要求《数学与信息学》课程领域的学习应保证：（１）形成对数学与信息科学形成的社会、文化和历史因素的认识；（２）形成符合逻辑的算法和数学思维的原理；（３）具备运用知识解决各种问题的能力；（４）形成数学是人类文化的组成部分，是用来描述、研究现实过程、现象的科学通用语言的认识；（５）形成对信息学和信息通信技术在当代社会中作用的认识，基本了解使用计算机程序及互联网方面的法律问题；（６）形成信息技术对人类社会生活产生重要影响的认识；了解信息技术背景下的社会、经济、政治、文化、法律、自然、工程、医学和生理科学；（７）顾及信息技术的伦理问题；使参与创建和使用信息制度的人们在传播信息时，有责任意识．国家教育标准接下来分别给出了《数学》和《信息学》课程在基础、深入两个水平上的要求．２．２ 《数学：代数与数学分析初步，几何》课程的学习要求２．２．１ 基础水平（базовыйуровень）《数学：代数与数学分析初步，几何》（基础水平）———对数学基础课程掌握的效果要求如下：（１）形成对作为人类文化组成部分的数学及其在现代文明中的地位，以及数学语言是描述现实世界现象的方法的认识；（２）形成对数学概念是描述、研究不同过程、现象的重要数学模型的认识；理解数学理论公理化建构的可能性；（３）掌握证明方法和解题方法，并善于将其应用到问题解决过程中进行推理和证明；（４）掌握有理方程、无理方程、指数方程、幂方程、三角方程和不等式以及它们的方程组和不等式组的标准解题方法；利用已有的计算机程序寻求方程和不等式的解法，包括搜索解和图像；（５）形成对数学分析的基本概念、思想和方法的认识；（６）掌握平面和空间几何图形的基本概念、基本性质；形成识别出图纸、模型和现实世界中几何形状的能力；运用已掌握的几何图形性质和公式解决几何问题及其与现实生活相联系的问题；（７）形成对具有概率性质的现象和过程，现实世界里的统计规律，初等概率论中基本概念的认识；能在简单的情境下探寻和判断概率事件发生的可能性和随机变量的基本特征；（８）掌握利用现有的计算机程序解决实际问题的技能．２．２．２ 深入水平（углубленныйуровень）①《数学：代数与数学分析初步，几何》（深入水平）———对深入水平数学课程掌握的效果要求，除对基础水平数学课程掌握的效果要求外，还需达到如下要求：（１）形成对数学命题进行演绎推理时必要论据和公理体系作用的认识；（２）形成数学课程主要内容的概念结构；掌握６数学通报 ２０１３年 第５２卷 第４期①草案时将第一代标准的“水平”（уровень）改成了“课程”（курс），但公布正式标准时还是改为“水平”（уровень），同时把“专业的”（профильный）一词改成了“углубленный”，俄语是“深入的、进一步的”，故此处笔者译为“深入水平”．基本定理、公式方面的知识，学会运用它们；善于证明定理，并找到创造性的解题方法；（３）具备构建现实情境模型，研究建立的模型，解释得到的结果的能力；（４）形成对数学分析的基本观念、基本性质的认识，掌握描述函数特征的能力，并利用所学知识描述、分析其与现实的密切联系；（５）具备根据习题条件编制概率模型和计算事件发生概率的能力，包括运用组合公式和概率论基本定理；研究随机变量及其分布．２．３ 《信息学》课程的学习要求２．３．１ 基础水平（базовыйуровень）《信息学》（基础水平）———对信息学基础课程掌握的效果要求如下：（１）形成对信息的角色及其与现实世界密切关联的过程的认识；（２）掌握算法思维的基本技能，理解利用算法形式进行描述的必要性；（３）具备运用通用的、高级计算机语言编写、研究程序的能力；掌握程序设计的主要结构；能够利用框图分析算法；（４）掌握为解决实际问题需要的主要程序设计结构和利用计算机语言来描述、调试类似程序的标准化方法；根据专业化程度会选取和利用现有的、实用的计算机程序；（５）形成对计算机数学模型和分析模型与被拟合目标（过程）现象间关系的必要性的认识；形成对数据存储和简单处理方法的认识；形成对数据库及其访问方法的认识，并会运用它们；（６）掌握利用计算机认识和分析数据的方法；（７）形成在运用信息化手段工作时符合技术安全、环境卫生和保护资源的基本技能和能力；了解使用计算机程序及其在互联网上运用的法律准则．２．３．２ 深入水平（углубленныйуровень）《信息学》（深入水平）———对深入水平信息学课程掌握的效果要求，除对基础水平数学课程掌握的效果要求外，还需达到如下要求：（１）掌握能体现信息学对形成现代科学世界所起作用的基本知识体系；（２）掌握计算复杂性的概念，掌握搜索和排序算法等处理数字和文字信息的基本方法；（３）掌握通用的高级编程语言（有选择性的），形成对数据基本类型和数据结构的认识；善于利用主要的控制结构；（４）掌握特定编程环境下开发程序的技巧和经验，包括程序的测验和调试；掌握把应用问题形式化为程序和程序文件的基本技能；（５）形成对离散对象最重要的类型、最普遍的性质和对这些对象进行算法分析的认识，对数据传输的编码和解码以及数据失真原因的认识；把有关于信息学的数学对象方面的知识系统化；能够建立信息学的数学对象，包括建立逻辑公式；（６）形成对现代化计算机设备和计算机技术发展趋势的认识，对操作系统和操作系统基本功能的认识，对互联网程序设计和功能的基本原则的认识；（７）形成对计算机网络及其在现代世界中所起作用的认识；了解计算机网络的组织和功能的基本原理，了解信息伦理学和法律的准则、信息安全保障的原则、信息通讯技术保障的手段和方法；（８）掌握数据库的基本知识、基本结构、创建和利用它们进行工作的工具；（９）形成构建和运用计算机数学模型、借助计算机进行数据实验和统计分析、诠释在模拟现实问题过程中获得的结果的经验；善于评估模拟对象和过程的数值参数，善于运用数据库和查询系统；（１０）具备善于利用程序库工作的能力；形成利用计算机手段进行数据分析与报告的经验．３ 俄罗斯高中数学教育标准新变化给我们的启示俄罗斯以往也是直接用教学大纲，从第一代国家教育标准开始，在教育标准的基础上俄罗斯联邦教育部还颁布了富有特色的示范性教学大纲．但俄罗斯数学教育既有统一要求又有相对开放的空间，在保证国家数学基础教育统一性的前提下，允许地方和不同类型学校创造性地使用大纲和教科书．从第二代国家教育标准修订情况来看，俄罗斯仍然保留了第一代的基本架构，各学段给出总体的国家教育标准，数学学科只是其中的部分，不像我国高中各科都有课标．另外，俄罗斯仍然延续了教育标准基础上再给出示范性教学大纲的框７２０１３年 第５２卷 第４期 数学通报架，不是仅仅给出一个课程标准．教育标准比较宏观，给出的是学生数学素养的基本要求，而示范性大纲则要求的较为细致，涉及到具体的数学知识要求．目前，第二代高中示范性数学教学大纲尚未出台，但国家教育标准仍然是编写个性化示范性教学大纲和教科书最根本的依据．从中我们仍能窥见俄罗斯数学教育的一些特点，对我国高中数学教育改革有一定的启示作用．３．１ 具有区别化的数学课程，为学生发展提供空间２００２年，俄罗斯公布《普通教育高级阶段实行侧重专业式教学的构想》后，侧重专业式教学在普通学校的高中阶段逐步试行．在高年级实行侧重专业式的普通教育结构模式，会形成对课程进行不同组合的可能性，这将保证侧重专业式教学体系的灵活性．这一体系包含普通教育基本课程、侧重性专业课程和选择性课程．普通教育基本课程是所有的学生必修的．普通教育的侧重性专业课程决定着学生每一门具体专业方向提高水平的课程．选择性的课程对于选择这类课程来说是必修的（选定后必须听课），是高中阶段侧重专业式教学的组成部分．高中数学课程设置上不论是第一代标准还是第二代标准都提出了基础、深入（专业）两个层次水平的、具有区别化的要求，既给出了一般基本公民需要的基本素质要求，同时也给有志于数学学习的学生以更大的学习和发展空间，这也可能是俄罗斯数学精英教育能够成功的地方．相比之下，我国高中数学虽然也分文理科，也分必修课与选修课模块．且模块与专题异常丰富，尤其是选修系列３有６个专题，选修系列４有１０个专题．内容上引进了大量的近、现代数学，涉及较多的数学分支．其中信息安全与密码、球面上的几何、对称与群、欧拉公式与闭曲面分类、优选法与试验设计初步、统筹法与图论初步、风险与决策、开关电路与布尔代数等这些模块或专题内容，都是俄罗斯数学课程所没有的．但是，现实却是很多选修专题在多数高中并没有实施开课．高考指挥棒是主要的影响因素，另外，我国高中数学师资的水平还不足以开设那么多专题，同时要考虑到数学教学与高考的紧密关系，以及学生是否有能力构建适合于自己未来发展的模块与专题的学习序列，况且高中数学教师对这些内容也很陌生．我们应借鉴俄罗斯的《国家数学教育标准》，将我国高中的《数学课程标准》的教学内容适当简化，合并、削减过多的模块与专题，真正落实具有区别化的数学课程．不能总是用一把尺子衡量所有学生．这样既可以减轻学生的负担，又可以避免这些模块、专题形同虚设，让学生的选择与自身的兴趣和未来发展的需要真正契合．３．２ 重视数学与信息技术的整合，为新技术应用提供空间未来，仍会是高科技迅猛发展的时代，以计算机为核心的信息技术将越来越广泛地影响着人们的工作和学习，成为信息社会的一种背景文化，成为新世纪公民赖以生存的环境文化．各个学科的发展对计算机的依赖、对信息技术、网络技术的依赖会越来越大．当前高新技术的发展本质上就是数学技术的发展，而数学技术的发展又在相当大程度上依赖于计算机、信息技术的发展．从数学学科发展的角度来看，数学学科中有很多分支已不再是传统的“一支笔、一张纸”就能开展研究了，尤其是非线性科学、随机科学等领域要依赖于计算机数值计算、随机模拟等现代方法．四色定理的计算机证明更是提升了以计算机为基础的数学实验科学的地位，实验方法成为数学研究中的重要方法，实验方法不再是其他自然科学的专有方法，数学研究领域诞生了一批“数学实验科学家”．从教育的层面来看，信息技术与各个学科的综合和相互渗透，成为新世纪教育发展和改革的强大动力．世界各国都已开始探索计算机、信息技术与课程的整合，我国的普通高中数学课程标准也明确提出“注重信息技术与数学课程的整合．”但是，当前的高中数学课程与计算机、信息技术技术整合效果并不是很好．这与数学课程标准中信息技术部分要求过低，高考又很少涉及有关．另外，与高中有单独的信息技术课程标准也有关．当然，我国的教育发展还很不均衡，有些地区在信息技术应用上还只是理论层面，很难转化为具体的教学实践．俄罗斯第二代标准重视了数学与信息学的整合，提出了《数学与信息学》整体课程领域的内容和要求，重视算法思维和利用（下转第１６页）解学生的学习情况．如针对学生的回答，教师经常回应学生：“你是怎么想的？说给大家听听．”“为什么是这样的？你想法的依据是什么？”“大家同意他（她）的看法吗？同意的请举手，不同意的请说出自己的看法．”“其他同学还有什么看法？”等．（４）教师在教学对话中把学习小结权交给学生．学生过于依赖教师，这是产生他们思维“惰性”的主要原因．所以，教师不能“包办代替”，要把学习的主动权交给学生，并将之落实到每一个教学环节中去，包括小结．在案例２中，当完成每一部分的学习任务之后，教师都会让学生自己进行小结：函数单调性“形式化定义”的学习之后，教师提问：“谁试着用数学语言来表述有关内容？”学生解答例题之后，教师提问：“哪位同学来评价他（她）的做法？”整节课学习之后，教师提问：“谁用最简洁的语言来概括这节课的学习内容？”如此提问让学生梳理自己的所学，感受自己的所想，检查自己的所缺，品味自己的所得，而这个过程也是教师了解学生学习情况的最佳时机．然后，教师再进行针对性的归纳，从而促使学生形成更完整的认知结构．参考文献１ Ｓｈｕｌｍａｎ，Ｌ．Ｓ．Ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ａｎｄ Ｔｅａｃｈｉｎｇ：Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅＮｅｗ Ｒｅｆｏｒｍ．Ｈａｒｖａｒｄ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎａｌ Ｒｅｖｉｅｗ，１９８７，５７（１）：１－２２２ Ｓｈｕｌｍａｎ，Ｌ．Ｓ．Ｔｈｏｓｅ Ｗｈｏ Ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ：Ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ Ｇｒｏｗｔｈ ｉｎＴｅａｃｈｉｎｇ．Ｅｄｕｃａｔｉｏｎａｌ Ｒｅｓｅａｒｃｈ，１９８６，１５（２），４－１４３ 施良方．学习论［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２００３：１２１－１２４４ 李定仁，徐继存．教学论研究二十年［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２００１：５０－７６５ 杜威著，孟宪承，俞庆棠译．思维与教学［Ｍ］北京：商务印书馆，１９３６：６４（上接第８页）计算机进行数据实验和统计整理的教学．从中我们看到，俄罗斯高中课程改革认识到了现代数学技术的发展将在很大程度上依赖于计算机、信息技术的发展和应用，这对我们未来的高中数学课程标准修订有一定的借鉴和启示．中国传统数学中最为显著的特色是算法化，为此，我国高中数学课标上一轮修订时特意加强了算法的教学内容和要求，但我们更重视的是算法基本结构和数学思维的训练，重视中国古代优秀算法的文化传统教育，在计算机和信息技术的数学应用和整合上尚待提高．为此，要在高中数学课程中提高以计算机、信息技术为依托的现代数学方法的教学和要求，这对于培养具有创新精神的人才是非常重要的．总之，俄罗斯有着优秀的数学传统，尤其是对社会主义国家影响深远．中俄两国除了有着深厚的政治渊源，教育传统也是血脉相通，虽因各自国情和文化传统不同会表现出一定的差异，但两国课程改革所面临的问题却有着许多共同之处，俄罗斯高中数学课程改革的经验值得我们思考和借鉴．参考文献１ 顾明远．论苏联教育理论对中国教育的影响［Ｊ］．北京师范大学学报（社会科学版），２００４，７２ 英洛伦·Ｒ·格雷厄姆．叶式煇，黄一勤译．俄罗斯和苏联科学简史［Ｍ］．上海：复旦大学出版社，２０００：２３９３ Государственныеобразовательныестандартыобщегообразования［ＥＢ／ＯＬ］．２００６－０６－３０．ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｅｄｕ．ｒｕ／ｄｂ／ｐｏｒｔａｌ／ｏｂｓｃｈｅｅ／ｉｎｄｅｘ．ｈｔｍ４ 朱文芳．俄罗斯数学教育的最新进展［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２０１１：６８５ ФЕДЕРАЛЬНЫЙГОСУДАРСТВЕННЫЙОБРАЗОВА－ТЕЛЬНЫЙСТАНДАРТОБЩЕГООБРАЗОВАНИЯ：Среднее（полное）общееобразование［ＥＢ／ＯＬ］．２０１１－０４－１５．ｈｔｔｐ：／／ｓｔａｎｄａｒｔ．ｅｄｕ．ｒｕ／ａｔｔａｃｈｍｅｎｔ．ａｓｐｘ？ｉｄ＝４５７６ ФЕДЕРАЛЬНЫЙОСУДАРСТВЕННЫЙОБРАЗОВА－ТЕЛЬНЫЙСТАНДАРТ：среднего（полного）общегообразования［ＥＢ／ＯＬ］．２０１２－０６－２０．ｈｔｔｐ：／／ｓｔａｎｄａｒｔ．ｅｄｕ．ｒｕ／ａｔｔａｃｈｍｅｎｔ．ａｓｐｘ？ｉｄ＝４５７７ 朱文芳．俄罗斯国家教育标准简介［Ｊ］．数学通报，２００９，１８ 朱小蔓，李铁君．当代俄罗斯教育理论思潮［Ｍ］．北京：教育科学出版社，２００９：１０８－１０９９ 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（实验）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２００３：６６１０ 朱文芳．俄罗斯《国家数学教育标准》的特征及其借鉴价值［Ｊ］．比较教育研究，２００８，９１１ 何克抗．关于信息技术与课程整合的理论思考［Ｊ］．中小学电教，２００１，１－２：４１２ Ａｌｅｘａｎｄｅｒ Ｋａｒｐ，Ｂｒｕｃｅ Ｒ．Ｖｏｇｅｌｉ．Ｒｕｓｓｉａｎ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｅｄ－ｕｃａｔｉｏｎ：Ｈｉｓｔｏｒｙ ａｎｄ Ｗｏｒｌｄ Ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅ［Ｍ］．Ｗｏｌｄ Ｓｃｉｅｅｎｔｉｆ－ｉｃ Ｐｕｂｌｉｓｈｉｎｇ Ｃｏ．Ｐｔｅ．Ｌｔｄ，２０１０：３２５－３２６。
俄罗斯教材《代数学引论》的启迪
俄罗斯教材《代数学引论》的启迪（初稿）庄瓦金（漳州师范学院，福建，363000）二十年前，北京大学三位教授根据1982年斯普林格出版社的英文版翻译了莫斯科大学A.И.柯斯特利金院士的《代数学引论》[1，2]，使得国内同行们对俄罗斯高水平的代数教材有所认识。
但鉴于中国国情，至今还没看到该书对中国大学本科代数教学有实质的影响。
而今，在中国数学会、中国工业与应用数学学会、国家自然科学基金委员会的关注下，数学天元基金资助、高等教育出版社出版了庆祝莫斯科大学成立250周年而推出的一批优秀数学教材的中译本，其中有A.И.柯斯特利金的《代数学引论》（第二、三版）三卷本[3~5]（以下简称《引论》）。
笔者看后，很受启发，现根据这几年来对高等代数研究的基础[17~23]，对《引论》作些思索，为提升中国大学本科代数教学水平奉献余力。
一《引论》的特色稍读[3~5]，笔者认为，A.И.柯斯特利金之著有以下四大特色。
1 继承性[1]的英文版译者指出：A.И.柯斯特利金“发展了莫斯科大学的代数课”，这从《引论》著者经历就可以看出。
A.И.柯斯特利金1959年获莫斯科大学数理科学博士学位，1972年任莫斯科大学高等代数教研室主任，1976年升为教授，同年当选为苏联科学院通讯院士，1977－1980任莫斯科大学数学系主任，1991年起为莫斯科大学学术委员会成员，他的《引论》理所当然地继承了А.Г.库洛什等老一辈代数学家的代数教材，这还从[3~5]的补充文献也得到进一步证实。
在注意《引论》继承自己前辈工作之时，我们注意到《引论》三卷本与N.Jacobson的《抽象代数学》三卷本[6]在分卷上的相似性，这也多少说明[3~5]继承了国际上代数教材的遗产，使得这三卷本能够更好地贯串一条主线。
因此，《引论》的继承性不仅是莫斯科大学的，而且也包涵了全世界各著名大学的。
值得一提的是，[3~5]的俄文版，第二卷2004年出版，第三卷2001年出版，估计第一卷也是2001年出版，也就是说：这三卷本是在著者去世之后出版的。
高等代数心得体会及感悟(实用17篇)
高等代数心得体会及感悟（实用17篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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俄罗斯教材《代数引论》的启迪_5
俄罗斯教材《代数学引论》的启迪（初稿）庄瓦金（漳州师范学院，福建，363000）二十年前，北京大学三位教授根据1982年斯普林格出版社的英文版翻译了莫斯科大学A.И.柯斯特利金院士的《代数学引论》[1，2]，使得国内同行们对俄罗斯高水平的代数教材有所认识。
但鉴于中国国情，至今还没看到该书对中国大学本科代数教学有实质的影响。
而今，在中国数学会、中国工业与应用数学学会、国家自然科学基金委员会的关注下，数学天元基金资助、高等教育出版社出版了庆祝莫斯科大学成立250周年而推出的一批优秀数学教材的中译本，其中有 A.И.柯斯特利金的《代数学引论》（第二、三版）三卷本[3~5]（以下简称《引论》）。
笔者看后，很受启发，现根据这几年来对高等代数研究的基础[17~23]，对《引论》作些思索，为提升中国大学本科代数教学水平奉献余力。
一《引论》的特色稍读[3~5]，笔者认为，A.И.柯斯特利金之著有以下四大特色。
1 继承性[1]的英文版译者指出：A.И.柯斯特利金“发展了莫斯科大学的代数课”，这从《引论》著者经历就可以看出。
A.И.柯斯特利金1959年获莫斯科大学数理科学博士学位，1972年任莫斯科大学高等代数教研室主任，1976年升为教授，同年当选为苏联科学院通讯院士，1977－1980任莫斯科大学数学系主任，1991年起为莫斯科大学学术委员会成员，他的《引论》理所当然地继承了А.Г.库洛什等老一辈代数学家的代数教材，这还从[3~5]的补充文献也得到进一步证实。
在注意《引论》继承自己前辈工作之时，我们注意到《引论》三卷本与N.Jacobson的《抽象代数学》三卷本[6]在分卷上的相似性，这也多少说明[3~5]继承了国际上代数教材的遗产，使得这三卷本能够更好地贯串一条主线。
因此，《引论》的继承性不仅是莫斯科大学的，而且也包涵了全世界各著名大学的。
值得一提的是，[3~5]的俄文版，第二卷2004年出版，第三卷2001年出版，估计第一卷也是2001年出版，也就是说：这三卷本是在著者去世之后出版的。
近世代数引论PPT课件
详细描述
域是一个非空集合，其中定义了两种运算：加法和乘法 ，满足一定的性质。在域中，加法和乘法都是可逆的， 即每个元素都有唯一的加法逆元和乘法逆元。此外，域 中的乘法满足结合律，且每个元素都有乘法单位元。
子域与扩域
环论在几何学中的应用
环论也是近世代数的一个重要分支，它在几何学中也有着广泛的应用。例如，在代数几 何中，环论被用于描述多项式环的结构；在解析几何中，环论也被用于描述函数的性质。
数论中的应用
域论在数论中的应用
域论是近世代数中一个重要的分支，它在数论中有着广泛的应用。例如，在代数数论中，域论被用于描述代数数 的性质；在数论中，域论也被用于研究整数的性质和结构。
分式域与函数域
总结词
分式域和函数域是两种特殊的域，它们在数学和物理 中有广泛的应用。分式域是由其整环的分式组成的域 ，而函数域则是基于函数的定义域和值域形成的域。
详细描述
分式域是由一个整环的分式组成的域。整环是一个只含 有限除数的环，也就是说，如果一个元素在整环中不能 被其他元素整除，则该元素被称为不可约元素。分式环 是由整环中所有分式组成的集合，它构成一个域。函数 域是基于函数的定义域和值域形成的域。具体来说，给 定一个函数f和一个集合D，函数域是由集合D中所有可 能的函数值组成的集合，它也构成一个域。
交叉学科的研究
近世代数与其他学科的交叉研究也是未来的一个重要方向，如 代数几何、代数数论、计算机科学等学科的交叉研究，可以促
进近世代数的发展和应用。
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环论
环的定义和性质
要点一
总结词
环是具有加法和乘法两种运算的代数系统，满足一定的性 质。
罗素 数理哲学引论 读后感
罗素《数理哲学引论》是一本具有重要影响力的哲学经典之作。
在这本书中，罗素深入浅出地介绍了数理哲学的基本思想和原则，展示了他对于知识的深刻理解和独到观点。
读完这本书，我对于哲学和数学的关系有了更深的理解，也对于人类思维和现实世界的本质有了更深入的思考。
首先，罗素在书中对于数学的本质进行了深刻的探讨。
他认为数学是一种纯粹的逻辑体系，是一种由符号和规则构成的语言。
他将数学与形式逻辑相结合，将数学看作是逻辑的一部分。
这个观点引发了我对于数学基础和数学研究方法的思考，让我更加明白了数学的抽象性和普遍性。
其次，罗素谈到了知识的建立和真理的判断。
他提出了一种语言分析的方法，通过对语言中命题的分析，来判断其真假和合理性。
这让我思考到我们在日常生活中的思维方式和判断依据。
通过对语言的分析和思考，我们能够更加理性地进行思考和决策。
另外，在书中，罗素还对于存在、空间和时间等哲学问题进行了深入的探讨。
他对于存在的本质进行了辩证的思考，提出了存在的两个方面：存在和描述。
这个观点引发了我对于存在意义和个体认识的思考，让我反思了自己对于世界的看法和理解。
总的来说，罗素《数理哲学引论》是一本思维深刻且极具启发性的哲学著作。
通过阅读这本书，我对于哲学和数学的理解更加深入，也对于思维方式和世界观有了更多的思考。
这本书对于广大对于哲学和数学感兴趣的人士来说，是一本非常值得读的经典之作。
代数学引论第二版答案
代数学引论第二版答案【篇一：代数学引论第一章答案】则g. 证明: 对任意a,b错误！未找到引用源。
g,由结合律我们可得到(ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b再由已知条件以及消去律得到ba=ab,由此可见群g为交换群.2. 如果群g中,每个元素a都适合a2=e, 则g为交换群. 证明: [方法1] 对任意a,b错误！未找到引用源。
g,ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab因此g为交换群.[方法2] 对任意a,b错误！未找到引用源。
g,a2b2=e=(ab)2,由上一题的结论可知g为交换群.3. 设g是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法ab,适合条件: (1)a(bc)=(ab)c; (2) 由ab=ac推出b=c; (3) 由ac=bc推出a=b; 证明g在该乘法下成一群. 证明:[方法1]设g={a1,a2,…,an},k是1,2,…,n中某一个数字,由(2)可知若i错误！未找到引用源。
j(i,j=1,2,…,n),有akai错误！未找到引用源。
ak aj------------1 aiak错误！未找到引用源。
aj ak------------2再由乘法的封闭性可知g={a1,a2,…,an}={aka1, aka2,…, akan}------------3g={a1,a2,…,an}={a1ak, a2ak,…, anak}------------4由1和3知对任意at错误！未找到引用源。
g, 存在am错误！未找到引用源。
g,使得akam=at.由2和4知对任意at错误！未找到引用源。
g, 存在as错误！未找到引用源。
g,使得asak=at.由下一题的结论可知g在该乘法下成一群.下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。
[方法2]为了证明g在给定的乘法运算下成一群，只要证明g内存在幺元(单位元)，并且证明g内每一个元素都可逆即可.为了叙述方便可设g={a1,a2,…,an}. (Ⅰ) 证明g内存在幺元.1 存在at错误！未找到引用源。
高等数学教材俄罗斯进口
高等数学教材俄罗斯进口近年来，随着国内高等数学教育水平的提高和对优质教材需求的增加，俄罗斯高等数学教材逐渐成为国内教育界的热门选择。
其深厚的数学传统和严谨的教学方法备受赞誉，为学生提供了优质的数学学习资源。
本文将对俄罗斯高等数学教材进口的相关问题进行深入探讨。
一、俄罗斯高等数学教材的优势俄罗斯高等数学教材在全球范围内享有盛誉，这主要归功于其独特的教学理念和方法。
以下是俄罗斯高等数学教材的几个优势：1. 理论和实践相结合：俄罗斯高等数学教材注重理论和实践的结合，通过丰富的例题和应用实例，帮助学生更好地理解数学概念和方法，并将其应用于实际问题的解决中。
2. 逻辑严谨：俄罗斯高等数学教材强调逻辑思维的培养，通过系统化的讲解和推理过程，引导学生形成良好的逻辑思考能力，培养他们的综合分析和推理能力。
3. 内容全面深入：俄罗斯高等数学教材内容涵盖了高等数学的各个分支，包括微积分、线性代数、概率论等，深入浅出地介绍了相关概念和定理，帮助学生建立扎实的数学基础。
二、俄罗斯高等数学教材进口的原因俄罗斯高等数学教材进口在国内备受欢迎，这源于以下几个原因：1. 教材内容的丰富性和深度：俄罗斯高等数学教材内容广泛且深入，在涉及数学领域的各个方面都有详尽而全面的覆盖，满足了教师和学生对于全面学习高等数学的需求。
2. 教材风格的严谨性和科学性：俄罗斯高等数学教材以其严谨的风格和科学的内容著称，其体系化的教学风格使得学生能够更好地理解数学知识，并更深入地掌握相关概念与应用。
3. 教材对数学思维习惯的培养：俄罗斯高等数学教材注重培养学生的数学思维习惯，通过大量的问题和习题，让学生在解决问题过程中培养出批判性思维和创造性思维，提高学生的数学能力和解决问题能力。
三、俄罗斯高等数学教材的应用与推广随着俄罗斯高等数学教材在国内教育界的声誉日益提高，其在国内的应用与推广也越来越广泛。
以下是一些相关推广措施：1. 教师培训与研讨会：开展俄罗斯高等数学教材的教师培训和研讨会，提供专业的教学指导和交流平台，使教师们能够更好地了解和应用俄罗斯高等数学教材。
柯斯特利金 代数学引论 英译本
柯斯特利金代数学引论英译本在柯斯特利金(Corsten)的《代数学引论》一书中，作者以简洁清晰的语言，深入浅出地介绍了代数学的基本原理和方法。
他以数学家的独特视角，引领读者逐步深入代数学的世界，让人受益匪浅。
1.导言在柯斯特利金的《代数学引论》中，他以对代数学的热爱和敬畏之心，呈现了这一学科的精髓和魅力。
他教导读者如何从最基本的代数运算开始，逐渐理解和掌握代数学的核心概念和方法。
正如他所言：“代数学是一门探索抽象数学结构的学科，它既有丰富的理论体系，也有广泛的应用领域。
”2.代数学的基本概念在《代数学引论》中，柯斯特利金首先介绍了代数学的基本概念，包括集合、映射、群、环和域等。
他以直观的例子和严谨的推导，帮助读者建立对这些基本概念的直观理解和深刻体会。
通过对这些基本概念的学习和掌握，读者可以更好地理解代数学的深层结构和内在关联。
3.代数学的方法论柯斯特利金在《代数学引论》中还强调了代数学的方法论，即抽象思维和形式推导的重要性。
他指出：“代数学是一门极富创造力的学科，通过抽象思维和形式推导，我们可以发现和证明许多数学定理和结论。
”柯斯特利金通过一系列严密的论证和举例，向读者展示了代数学方法论的魅力和力量。
4.英译本的重要性对于我国学生来说，柯斯特利金的《代数学引论》英译本具有重要意义。
它不仅可以帮助我们更好地学习和掌握代数学的知识，还可以拓宽我们的学术视野，提升我们的英语水平。
通过阅读英译本，我们可以更好地理解国际数学界的最新研究成果，并与国际学术界保持沟通和交流。
5.总结与展望柯斯特利金的《代数学引论》英译本，为我国读者提供了一个全新的学习机会和评台。
我们应该珍惜这样的学习资源，认真学习和领会书中的精华内容。
相信通过我们不懈的努力，代数学在我国的发展一定会更加繁荣和辉煌。
在学习《代数学引论》的过程中，我深深感受到了数学之美和代数学的奥妙。
我相信，通过自己的努力和学习，《代数学引论》一书一定会给我带来更加丰富和深刻的数学体验。
抽象代数学习心得
抽象代数学习心得转载 2012年05月12日 20:17:06•标签：•作业 /•语言•正在学习抽象代数，但不知抽象代数的学习方法和具体的存在意义（虽然老师和我们说抽象代数能解决很多问题，但他还是没有演示给我们看到底如何怎么解决，还停留在一个抽象认识的层面），网上搜索时发现这篇文章，转载分享。
这是我个人的一篇随谈性的文章，目的是和大家一起分享我学习抽象代数的体会。
我只是一个刚学完抽象代数没多久的本科生，这篇文章自然谈不上什么含金量。
不过我也曾长期处于菜鸟的阶段，也曾经苦闷过，现在回顾一番，有不少感受。
这篇文章是专为曾和我一样或者即将和我一样在代数学迷宫中闯荡的朋友所写，希望对大家有用。
我想对于初学抽象代数的人来说，他最感兴趣的就是一般高次代数方程的不可解性和尺规作图问题的解决。
这是他学习的兴趣的来源和前进的动力。
不过从最基本的群的定义开始，直到问题的最终的解决，仍然有一段不短的路。
有不少书试图一次性地将这一过程从头到尾展现给读者，我认为效果并不好。
最好是先入门，掌握基本的理论，再去看精密的东西。
那些一次讲下来的书，往往只讲后面结论用到的东西，对那些要求严格的读者来说，很难满意。
尤其难以让人全面地理解和掌握。
我的建议是：丘维声<<抽象代数基础>>——GTM167<<Field and Galois theory>>——GTM101<<Galoistheory>>.丘维声老师的<<抽象代数基础>> 是我非常钟爱的一本小书，叙述清晰，非常适合初学者作一学期的教材之用。
作者并未求全，而是有重点地介绍了抽象代数的主要内容。
课后有精选的习题。
<<Field and Galois theory>>的特点是循序渐进，每个定理都有精确的证明，而且内容全面，看过之后你会对域论和Galois理论有一个全面的了解。
俄罗斯数学教材选译·代数学引论
俄罗斯数学教材选译·代数学引论代数学引论一、概念、定义和表示代数学是对数学中原来的概念，定义，关系和表示的研究。
这是一门抽象的学科，以及数学的基础，有着渊远的历史和深厚的文化内涵。
举个例子，让我们从說句话到数学来看。
比如，有这么一句话：“数学是计算最少所需要用到的技能。
”它表明了一个深刻的真理，即在计算最少所要求的情况下，我们可以用数字来反映它。
在数学领域，概念和定义包括多项式、逻辑公式和函数。
也就是说，代数学让我们可以用多项式计算最少所需要的，从而使计算变得更容易。
另一方面，代数学中的逻辑公式提供了一种有效的方法来解决各种问题，而函数则是对问题的解决方案的有效表达式。
二、结构和思想代数学一般分为三大类：代数学，几何学和分析学。
每一类都有自己的特征，但是它们都有共同的要素，即为了解决计算问题所遵循的核心原则。
代数学的结构主要由多项式和多项式的因子组成，从而可以以高效的方式解决问题。
它们能够结合常量、指数、对数、变量和函数，通过算法来求解问题的最终解答。
代数学的思想是用逻辑公式来描述、求解任何可计算问题。
因此，通过数学方法，将任何一个复杂的问题转换为一个或多个逻辑公式，然后用算法求解它们，从而得出最终答案。
三、应用代数学可用于计算机科学、物理学、生物学、经济学等领域，用以解决实际的计算问题。
例如，它可以用来计算物理学中的运动方程式；计算机科学则能够用来编写程序或计算机模拟；生物学也可以用来建立人类基因模型；经济学也可以用来分析市场行为。
此外，代数学还可以用于求解几何形状，航空路线，公路网络及联系点之类的平面路径，还有用于制定动作计划的最佳匹配算法。
因此，可以说代数学是一门强大概念且重要功能的数学，我们每天都在用它的原理来描述客观事物。
因此，掌握代数学的基本知识和技能，对理解和探索世界有着不可替代的作用。
代数学引论第二卷读后感
代数学引论第二卷读后感
《代数学引论》第二卷是一本非常优秀的代数学著作，作者是苏
联著名的代数学家伊柳辛。
该书主要介绍了群、环、域、向量空间等代数学基础知识，并深入探讨了代数学中的一些重要概念和定理。
在阅读这本书的过程中，我深刻地感受到了代数学的重要性。
代
数学是一种抽象的学科，它通过符号和公式来研究数学结构及其性质，具有非常广泛的应用。
在物理学、工程学、计算机科学等领域中，代数学都扮演着重要的角色。
伊柳辛的写作风格非常独特，他善于运用生动的例子和形象的图
表来解释代数学中的概念和定理。
这种方式非常有助于读者理解代数学的知识，并加深对代数学的理解和掌握。
总的来说，《代数学引论》第二卷是一本值得推荐的书籍。
对于
对代数学感兴趣的读者来说，这本书是一个非常好的选择。
它既可以作为代数学的入门书籍，也可以作为进一步深入学习代数学的参考书。
我非常推荐这本书给所有对代数学感兴趣的读者。
引论重要知识点总结大全
引论重要知识点总结大全在学习和掌握知识的过程中，我们经常会遇到大量的信息和知识点，有时候会感到困惑和不知所措。
因此，对重要的知识点进行总结和归纳是非常有必要的。
本文将对一些重要的知识点进行总结，希望对读者有所帮助。
一、数学1.1 代数代数是数学的一个重要分支，主要研究数字、字母和数学符号的一种推理和计算方法。
其中，代数方程式是代数的核心内容之一。
在解代数方程式的过程中，我们需要掌握一些基本的技巧，比如化简、因式分解、配方法等。
1.2 几何几何是研究空间的形状、大小、对称、方位等性质和相互关系的数学学科。
在几何学中，角度、直线、多边形、圆等是重要的概念。
此外，几何的证明也是非常重要的，它可以培养逻辑思维能力和分析问题的能力。
1.3 微积分微积分是研究函数、极限、微分和积分等概念的数学分支。
在微积分的学习中，我们需要了解函数的性质、导数和微分的计算方法、不定积分和定积分等知识。
1.4 概率论概率论是数学的一个重要分支，主要研究随机现象的规律性和统计规律性。
在概率论的学习中，我们需要了解样本空间、事件、概率的性质和计算方法、随机变量等知识点。
1.5 统计统计是概率论的一个重要应用领域，主要研究数据的收集、整理、分析和解释。
在统计学的学习中，我们需要了解数据的描述性统计、概率统计、参数估计、假设检验等知识。
二、物理2.1 力学力学是研究物体运动规律的一个重要分支，其中运动学、动力学、静力学等是重要的内容。
在力学的学习中，我们需要掌握物体的运动规律、力的概念和性质、牛顿三定律等知识点。
2.2 热学热学是研究热量、温度、热力学定律等内容的物理学分支。
对于热力学的学习，我们需要了解热力学变量、热力学定律、热传导、热辐射等知识。
2.3 光学光学是研究光的传播、反射、折射、色散等规律的物理学分支。
在光学的学习中，我们需要了解光的波动理论、光的粒子性、光的干涉、衍射、偏振等知识。
2.4 电磁学电磁学是研究电场、磁场和电磁波等内容的物理学分支。
伯克霍夫的《近世代数概论》-概述说明以及解释
伯克霍夫的《近世代数概论》-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分是文章的开头，用于引入伯克霍夫的《近世代数概论》一书的背景和主题。
这部分内容可以包括以下方面的描述：伯克霍夫的《近世代数概论》是一本经典的数学著作，该书是近现代代数学的里程碑之一。
它首次详细系统地介绍了近世代数的基本概念、原理和理论。
该书的出版填补了当时代数学发展中的空白，为后来代数学的研究和应用奠定了基础。
近世代数是数学中重要的分支领域，它主要研究代数结构、群论、环论、域论等概念和性质。
迄今为止，这些代数思想和理论在科学研究和工程技术中都发挥着不可替代的作用。
在伯克霍夫的《近世代数概论》中，他以其独特的写作风格和逻辑思维，系统地阐述了近世代数的发展历程、基本概念和主要原理。
通过对代数学思想的深入剖析和清晰的逻辑推导，伯克霍夫帮助读者理解和掌握了这些抽象的数学概念，并将它们应用到实际问题中。
此外，《近世代数概论》也为后来代数学的研究提供了广阔的发展空间，其深远的影响力也体现在数学教育和学术交流中。
无论是对于数学学生还是专业研究人员，这本著作都是不可或缺的参考书。
正因为如此，《近世代数概论》一书在数学学术界享有极高的声誉和影响力。
综上所述，伯克霍夫的《近世代数概论》阐述了近世代数的基本理论和概念，填补了代数学发展中的空白，对于后来代数学的研究和应用起到了重要的推动作用。
它的出版不仅对于数学学术界具有深远的意义，也为广大数学爱好者提供了重要的学习资料。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下几个方面：1.2 文章结构《近世代数概论》是伯克霍夫在19世纪中叶撰写的一部重要著作，该书分为引言、正文和结论三个主要部分。
接下来，我将为您逐一介绍这些章节的内容和主要讨论点。
引言部分主要包括概述、文章结构和目的三个小节。
首先，在概述中，伯克霍夫对近世代数的背景和研究现状进行了简要介绍，引出了他撰写此书的动机和重要性。
其次，在文章结构部分，伯克霍夫详细列出了本书的章节和内容安排，让读者能够清晰地了解整个书籍的组织架构。
读书随笔：代数的历史（下）
读书随笔：代数的历史（下）九章算术之后近一千五百多年，才又由欧洲的莱布尼茨，以及日本江户时代一个叫关效和的武士，再次发现了行列式的秘密。
也就是我们今天的线性多元一次方程组的系数排列组合。
这个叫关效和的武士非常神奇，因为他对幂数列的研究，已经差一点点就要发现微积分了。
上述研究倒了19世纪初，终于被柯西发展为现代矩阵代数。
19世纪开始，代数向着更抽象的领域发展——先是布尔发明了布尔代数——以纯粹的代数符号来替代了此前限于文字表达的逻辑学，把逻辑学发展为数学的一个领域；接着就是凯莱就着矩阵代数发明了群论group，伽罗瓦发明了域论fields。
凯莱所谓的群，是指一些对象的集合，这些对象在集合里通过一定的法则发生关系，主要是乘法关系，好比就是一些对象之间的乘法表。
群论的作用主要是通过不同群之间的置换，即不断变更代数符号和对应关系，来实现对多项式方程求解。
伽罗瓦的域是指一个数系，在这个数系中，不论对哪个具体数进行四则计算，得到的新数都在这个域以内。
比如自然数、整数都不是域，因为两个自然数，两个整数相除得出的结果可能不是整数；而有理数则是一个域，实数也构成一个域，复数也构成一个域。
域可以扩张，也可以收缩。
有了域，伽罗瓦就可以把任何一个多项式方程的求解，都变化为方程的系数所在的域，和方程的解所在的域的关系问题。
也就是说，系数可以构成一个域，解也可以构成一个域，很有可能方程的解并不在系数所在的域，意味着光是凭系数无法得出方程的全部解，那么就可以通过扩张系数的域，来解决此问题。
而扩张的方式，就利用群论的置换方法，把系数的域置换为解的域，从而求解。
伽罗瓦的伟大洞察力在于，运用域对群进行结构分析，他发现群的结构对于群的置换有着极大的影响力，由此，他发现了群结构的特征——正规子群的存在。
正是正规子群，决定了一个多项式方程的代数解形式，最终他得到了判断一个多项式方程是否有代数解的方式，终结了此前一千余年对于多次方程求代数通解的努力。
俄罗斯高中数学教科书研究及启示
作者： 徐乃楠;孔凡哲;史宁中
作者机构： 吉林师范大学数学学院;东北师范大学教育学部
出版物刊名： 长春师范大学学报
页码： 165-168页
年卷期： 2014年 第12期
主题词： 俄罗斯;高中数学;教科书
摘要：俄罗斯高中数学教科书的编写特征对我国当前高中数学课程改革和教科书编写具有重要的借鉴意义。
通过对俄罗斯高中《代数与数学分析初步》和《几何》教科书的比较分析,能够梳理出俄罗斯高中数学教科书的主要特点,为我国高中数学课程改革和教科书编写带来一些启示。
代数的用处
代数的用处——对小学算术教育的一点意见一群雁的数学问题有一只雁在天空飞，遇见迎面而来的一群雁。
这只雁向这群雁打招呼：“你们好！100只雁！”可是飞在前面的雁首领却回答说：“我们不是100只！如果你把我们的个数乘二再加上我们数目的一半，再加上我们数目的1／4，再加上你，那么我们才会有100。
好！你自己去算算看。
”这单独飞行的雁继续飞，可是他却不知这群雁的数目字。
这时他看到下面池塘有一只鹤在寻找青蛙。
在所有的鸟群中，传说鹤是最好的数学家，他经常几小时用一只脚“金鸡独立”地站在池塘里来思考数学问题，专心地动也不动。
于是雁子飞下来向鹤先生打招呼，并告诉他所遇见到的难题。
鹤先生听了之后，就用他的啄嘴在泥地上划一条线代表一群雁，然后再划另外一条同样长度的线，划完之后又划第三条只是原来的线的一半，第四条是原先的1／4，最后有一小条像是一个点代表一只雁。
“现在你明白了没有？”鹤先生抬头问这只雁。
“还不明白。
”于是鹤先生解释这些线和点的意义：第一、二条线代表一群雁，第三条线代表雁群的一半，第四条线代表这雁群的1／4，一点代表一只雁。
（见图一）他现在擦掉那一点：“于是，所有地上的线条就代表99只雁。
由于一条长线代表4个1／4雁群，现在地上的线条总共代表几个1／4雁群呢？”雁子慢慢地加：4+4+2+1，最后回答：“11个。
”“如果11个1／4雁群有99只雁，那么一个1／4雁群有多少雁呢？”“9只！”“那么整群雁有多少呢？”雁子将4乘9，然后回答：“36只！”“对了！可是你却不会自己算出来。
你真是一只愚蠢的雁子！”这只雁被鹤先生一骂，脸都胀红起来，连忙飞走了。
以上的故事是50多年前一位苏联的数学教育工作者编造出来的。
他在学校及一些数学通俗讲座讲这个故事，很受许多儿童欢迎。
我本身也很欣赏这个故事，利用儿童所熟悉的动物的性格来编故事，以此达到教育的目的，这是一个很好的方法，这可以使儿童避免对数学产生恐惧或枯燥的感觉。
我的恶梦我不知道其他的大人先生会不会做梦，梦到小时候的生活？如果我有时梦到小时候的生活，一梦到读书，那往往就是一场恶梦。
代数的历史：人类对未知量的不舍追踪（修订版）
代数的历史：人类对未知量的不舍追踪（修订版）过去学数学，通常只是为了解题，或者为学数学而学，很少从整体上考虑数学是什么？本书作者从代数，几何及数学分析（微积分）有三个方面之一代数的发展三个历史阶段，从哲学角度与高度，总结概括代数历史思考与点评。
他书开始从借用一个非常有趣“俄罗斯五层套娃”概念，即从介绍代数的五个基本入门概念：自然数，整数，有理数，实数，复数（虚数）开始。
代数第一个阶段是与其四千年前历史相关故事。
古希腊哲学家认为“万物皆数”, 早期关于数字记载有汉谟拉比时代泥板，古埃及“代数之父”丢番图，方程式概念引入，及阿拉伯人，波斯人，还有古印度人，中国人在代数上贡献。
例如，九章算术等。
而中世纪之后，“代数学的第一次伟大进步是给出了三次方程的一般解法，紧接着就是四次方程的一般解法”。
作者自然讲述些历史人情世故八卦。
例如，韦达下一代的法国数学家阿尔伯特·吉拉德（1595—1632）在《代数新发现》一书中把五次方程公式推广到任意次方程。
而“笛卡儿因两件事而闻名于世：一是写下了名言“我思故我在”，二是发明了以他的名字命名的坐标系，即用数对表示平面上的点的一种方式”。
书第二部分关于普遍算术，从16 世纪末到 18 世纪初。
比较喜欢其中内容包括牛顿定理等。
其高潮部分代数基本定理证明及数学天才欧拉，法国数学家范德蒙德与拉格朗日等研究解五次方程等。
拉格朗日定理也是现代群论的基石之一，直到“阿贝尔关于一般五次方程没有代数解的证明（更严格地说，是阿贝尔–鲁菲尼的证明）结束了代数学历史上此伟大的时代”。
第三阶段是从“19 世纪中间的五十年。
在这段时期，“人们不仅发现了群，还发现了其他新的数学对象。
“代数”已经不再是一个单数名词，而变成了一个复数词”。
“域”“环”“向量空间”“矩阵”等现代概念也开始形成。
“乔治·布尔（1815—1864）将逻辑置于代数字母符号体系中，而几何学家们发现，多亏了代数学，他们能够去探索超过三维的空间”。
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俄罗斯教材《代数学引论》的启迪（初稿）庄瓦金（漳州师范学院，福建，363000）二十年前，北京大学三位教授根据1982年斯普林格出版社的英文版翻译了莫斯科大学A.И.柯斯特利金院士的《代数学引论》[1，2]，使得国内同行们对俄罗斯高水平的代数教材有所认识。
但鉴于中国国情，至今还没看到该书对中国大学本科代数教学有实质的影响。
而今，在中国数学会、中国工业与应用数学学会、国家自然科学基金委员会的关注下，数学天元基金资助、高等教育出版社出版了庆祝莫斯科大学成立250周年而推出的一批优秀数学教材的中译本，其中有 A.И.柯斯特利金的《代数学引论》（第二、三版）三卷本[3~5]（以下简称《引论》）。
笔者看后，很受启发，现根据这几年来对高等代数研究的基础[17~23]，对《引论》作些思索，为提升中国大学本科代数教学水平奉献余力。
一《引论》的特色稍读[3~5]，笔者认为，A.И.柯斯特利金之著有以下四大特色。
1 继承性[1]的英文版译者指出：A.И.柯斯特利金“发展了莫斯科大学的代数课”，这从《引论》著者经历就可以看出。
A.И.柯斯特利金1959年获莫斯科大学数理科学博士学位，1972年任莫斯科大学高等代数教研室主任，1976年升为教授，同年当选为苏联科学院通讯院士，1977－1980任莫斯科大学数学系主任，1991年起为莫斯科大学学术委员会成员，他的《引论》理所当然地继承了А.Г.库洛什等老一辈代数学家的代数教材，这还从[3~5]的补充文献也得到进一步证实。
在注意《引论》继承自己前辈工作之时，我们注意到《引论》三卷本与N.Jacobson的《抽象代数学》三卷本[6]在分卷上的相似性，这也多少说明[3~5]继承了国际上代数教材的遗产，使得这三卷本能够更好地贯串一条主线。
因此，《引论》的继承性不仅是莫斯科大学的，而且也包涵了全世界各著名大学的。
值得一提的是，[3~5]的俄文版，第二卷2004年出版，第三卷2001年出版，估计第一卷也是2001年出版，也就是说：这三卷本是在著者去世之后出版的。
记得Φ.Ρ.甘特马赫尔的《矩阵论》俄文第二版也是在著者去世后出版的。
看来，这里说的继承性是莫斯科学派集体继承性，这是多么伟大的继承性，它体现了俄罗斯数学家的优良品格。
2 整体性《引论》的特色不仅在于教材的系统性，更在于教材的整体性。
首先是代数科学的整体性，中国的高等代数与抽象代数两门课程，在[3~5]中则整合为一，使整个代数教材的水平提高了一个层次，让学生尽早接触抽象代数思想，推进了学生对代数结构的理解。
这显然对于学生的整个数学学习大有好处。
其次是数学课程的整体性，《引论》第一卷的前言一开头就写到：“人们很早就感到有必要把代数、线性代数和几何放到一个统一的教程中。
而教科书《代数学引论》自出版后的22年来可以看作是这种统一处理的初步考试。
”因此，《引论》突出了代数与几何的统一；同时也注意了与分析的联系，特别是注意到了线性代数的两大后继课程：计算数学与泛函分析，这不仅在教材中有交代，而且在基本术语上相一致，如“线性变换”称为“线性算子”。
再次是数学语言的整体性，在[1]中，著者就注意了范畴论，在[4]中注意了范畴中的“态射”，这或许影响了丘维声在[7]中前言的用词。
3 权威性《引论》的第一版译成英文，所加的译者序就显示其权威性，译者称 A.И.柯斯特处金是“一位有献身精神且有成就的”，从[3~5]的著者简介：“主要从事李代数、有限群、非结合代数、上同调群、群和代数的组合理论、表示论、整数格的研究。
1968年获苏联国家奖。
”可见，柯斯特利金几乎涉及整个代数深刻领域的研究，从而保证了他作为莫斯科大学代数学科带头人的权威性，也保证了《引论》的权威性。
这种权威除了著者的实力外，还有著者长达三十年的实践，还有著者继承莫斯科大学250年的传统。
因此，这种权威是世界的，因而《引论》已译成英文、保加利亚文、西班牙文、波兰文、法文、中文。
作为大学本科教材，没有这种权威性，是不可能有如此多种译本的。
4 先进性《引论》第一卷的前言中，对第三卷有个说明：这里的代数属初等水平，但充分包含了当代每个数学家所需的代数系统。
因此可以猜想：《引论》是以培养数学家为目标的。
这在以后的各卷中都有明确的表露。
在第一卷的第一章“代数的起源”中，在对高斯消元法作注时，提及了1969年的施特拉辛的研究，为第二卷的待解问题：施特拉辛问题作了伏笔。
第一章§7的例1是费马猜想，点出了费马数的最新成果F 1945；例2是欧拉研究的一个多项式：形如n 2-n +41的数；§7的最后的例子是“给定圆周上任意n 个点，确定由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2n 条弦划分的圆内的区域数R n =1+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2n +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4n ，则留给读者完成。
由此可见，《引论》在阐述代数起源时就把人们带进了解决数学难题的王国，为贯彻培养数学家的宗旨打下基础。
再看《引论》各卷之末，第一卷是“关于多项式的公开问题”，第二卷是“有待解决的问题”，第三卷是“未解决的问题”，都充分体现了《引论》培养数学家的宗旨。
当然，《引论》没有直接这么说，但在序言中明确写到：“教科书应当成为创造性思维的推动力”。
著者就是围绕某些基本问题刻意安排大量习题，并与这些猜想相串通，以培养学生的创造性思维，为未来的数学家增进数学素质的。
再加上教材内容之深刻，将之综合，充分地体现了《引论》的先进性，与欧美教材相比较，这种先进性也是世界的。
二 中国的矛盾为了从《引论》中吸收营养，这里不得不面对我们之现实。
1 文革冲击中国的大学本科代数课程，文化大革命以前主要是高等代数，近世代数在一般高校仅选修张禾瑞著的《近世代数基础》；五十年代高代讲的是A.Γ.库洛什《高等代数教程》的内容；五、六十年代之交以来，由于苏联第一颗人造地球卫星上天的影响[8，9]，吉林大学、北京大学、复旦大学、南京大学、武汉大学、北京师大都编著出版了高代教材，中国的高等代数教材基本上与国际接轨，尤其是王湘浩、谢邦杰两先生的《高等代数》，应该说已达到较高水平，特别是1964年的修订本[10]，与A.И.柯斯特利金的三卷本的前两卷，存在着一定相似性。
[10]有阐述群、环、域概念的第七章，因而接下阐述了域上向量空间及其线性变换的一般理论。
为了使书中前面阐述的矩阵、多项式内容对于域上情形也适用，[10]还在第七章§4介绍域的特征之后用两页的篇幅回顾了“关于矩阵、行列式、线性方程组以及多项式的一般理论”，这与[3]第四章§3.6的“关于线性方程组的注记”是多么的吻合。
我们设想，中国的《高等代数》教材如果能在20世纪六十年代[10]的基础上巩固、发展，或许其水平也可剂身于世界之列。
但是，1966年的文化大革命，高等学校受到严重冲击，抽象的数学更是受到了严重冲击，《高等代数》几乎处于消失状态。
不仅如此，文革还制造了数学家之间的隔核，大大削弱了集体攻关的力量。
1977年恢复高考以来，《高等代数》才从死亡中复活，元气至今难以复原。
2 市场冲击“学好数理化，走遍天下都不怕”，这是文化大革命以前人们的口头语，可时下，在市场经济的冲击下，已消失得无影无踪，每年大学招生，不仅高考状元无一人学习数业专业，而且连数学奥赛的优胜者也基本不念数学专业，新生质量较文革前大为下降，而且女生人数的比例在逐年增加。
市场经济的冲击还远不止于此。
如教材、教学参考书，我们统计了1977以来出版的46种带上高等代数帽子的各种图书，习题解答类竞多达一半，而教科书性质者，大多类同，较高水平又方便学生学习的是很少很少。
因此，学生基本上停滞在单一的教材上苦学，难以提高自身的学习能力。
更不少学生成了习题解答的奴隶，这样一门着力培养学生创造思维能力的课程竞有不少学生在背习题解答、应付考试，年复一年的这样高师数学毕业生到中学任教，请大家想想，这对于中国后代的数学教育有多么大的危害？！有个名牌大学教授，在国内著名出版社出了一套高代教材，还被评为国家级名师。
后来由于年龄原因，他不上高代课了，这套教材在该校也不用了，其他学校充其量是作作教学参考书，于是，他在另一个出版社出的学习指导书，上册已出版多年，可下册市面上还没看到，看来这位教授感到，这么好的教材人家都不用了，学习指导书还有什么出版的价值！市场的冲击还稳函着人为的因素。
一个小学老师去教经商，开了一家学生书店，专营中小学教参，可现在挂上××出版社华南片主管，工资、福利、医保比我们在座的每个教授还优，可他还有书店的收入！中国式的市场经济已严重冲击大学教学，抽象的高等代数又如何是好？3 体制之疑上面例子已涉及大学体制。
熊丙奇先生在《教育熊视》[11]中有个标题：“大学最深刻的危机：体制化”，“官”太让人无可奈何！：有个代数教授，他的老师好不容易争取到一个出国名额，使他有机会跟一位国际代数名家读硕、读博、做博士后，回国后不久就评上教授，学校对他也十分关照，但中国的气候毕竟与欧美有异，他深知，要在国内为先，在国内一级刊物发文是自然之事，可他投这些一级刊的文章老是被退回，因此就查起审稿人的为人来了，但得到的答复是中国代数老前辈们为人极佳。
于是，随着时间的流失，他想当“院士”的雄心消失了，因而寻找机会，利用民主党派参政人才之缺，离开学校去当个副厅长，这种还算真才实学者的当官之路，钻体制的漏洞，一步步走上大学领导，利用手中的权力打扮自己，为数也不少，且党内居多，而且反转过来，欺压你这些教授，你们又怎么样？！这种现状怎不引起人们的关注！中国实施经济改革，可教育不然。
教育是在教育部的主导下进行的改革，体制问题左右一切，例如教材，鼓励老师积极性，可本科评估，教材认定的是姓“高”，像北大代数小组的《高等代数》，编著者都不好意思，第三版时加了“王萼芳、石生明修订”，可人们只认是高等教育出版社出版，不管北京大学的现实情况如何，不少学校仍然把它认定为首选教材，考研用书！在这样的体制下，丘维声退位，蓝以中日子也有担忧。
前几天，蓝先生通过北大出版社理学部主任给我寄来了他的新著《高等代数学习指南》[12]，这是一本编著目的正确、阐述简洁、方便学习阅读并达到一定深广度的学习指导书，加上国家首批精品课程、北京大学的牌子，可在当今体制下，对市场、消路还是有担心。
4 环境混沌上述表明，在当今体制下，环境受污染，已处于混沌。
这类混沌的深广度如何？我们不仿来看看教育部抓的质量工程吧！此下，四年一次的“教学成果奖”评选，每年评定的“教学名师”、“精品课程”、“教学团队”，花样不少，名堂也应有尽有！我还当省政协委员时，针对其中的“名堂”曾写了个提案，教育厅可热情啊，连处长都来电话，以示重视。
其中，关键的建议是各种评优应有“答辩”环节，厅里也同意了，可至今未见实施。