数学:3.3.3《简单的线性规划问题-实际应用》课件(苏教版必修五)
3.3.3简单的线性规划问题课件(30张) 高中数学 必修5 苏教版
【训练1】 某企业生产A、B两种产品,生产每一吨产品所
需要的劳动力和煤、耗电如下表:
产品品种 劳动力(个) 煤(吨) 电(千瓦) 3 9 4 A产品 10 4 5 B产品 已知生产每吨 A产品的利润是 7万元,生产每吨 B 产品的利 润是 12 万元,现因条件限制,该企业仅有劳动力 300 个,煤 360 吨,并且供电局只能供电200千瓦,试问该企业生产A、B两种产 品各多少吨时,才能获得最大利润?最大利润为多少?
吨,现按 7 吨、 8 吨和 5 吨把货物分别调动给甲、乙、丙三个商 店,从仓库A运货物到商店甲、乙、丙,每吨货物的运费分别为
8元、6元、9元;从仓库 B运货物到商店甲、乙、丙,每吨货物
的运费分别为3元、4元、5元,问应如何安排调运方案,才能使 得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少? [思路探索] 解答本题可先设出仓库A运给甲、乙商店货物吨 数,再利用题中等量关系表示出其他运货情况,建立线性规划 模型求解.
解 设生产A、B两种产品各为x,y吨,利润为z万元. 3x+10y≤300, 9x+4y≤360, 由题意得 4x+5y≤200, x≥0,y≥0,
z=7x+12y.
作出不等式组表示的平面区域.
7 z 将目标函数z=7x+12y转化为直线l:y=- x+ .这是一条 12 12 7 z 斜率为- ,在y轴上的截距为 的直线,当z变化时,可以得到 12 12 一簇平行直线,直线与阴影部分的交点满足不等式组,且当截距 z 最大时,目标函数取得最大值. 12 由图可知,当直线l经过点A时,在y轴上的截距最大,此时z 取得最大值.
3x+10y=300, 由 4x+5y=200, x=20 得 y=24
即A(20,24)
故zmax=20×7+12×24=428(万元), 即该企业生产A产品20吨,B产品24吨时,可以获得最大利 润,最大利润为428万元.
高中数学 3.3.3 简单的线性规划问题(第1课时)教案 必修5
3.3.3 简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决;(2)了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念,会根据条件建立线性目标函数;(3)了解线性规划的图解法,并会用图解法求线性目标函数的最大(小)值;(4)培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透集合、化归、数形结合、等价转化的数学思想.2.过程与方法(1)本节课是以二元一次不等式(组)表示的平面区域的知识为基础,将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决;(2)考虑到学生的知识水平和消化能力,教师可通过激励学生探究入手,讲练结合,真正体现数学的工具性,同时,借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性.3.情感、态度与价值观(1)结合教学内容,培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识,激励学生创新;(2)渗透集合、数形结合、化归的数学思想,培养学生“数形结合”的应用数学的意识,激发学生的学习兴趣.●重点、难点重点:线性规划问题的图解法,寻求线性规划问题的最优解.难点:利用图解法求最优解.为突出重点,本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法,将实际问题数学化,代数问题几何化.解决难点的方法是精确作图,利用数形结合的思想将代数问题几何化.(教师用书独具)●教学建议从内容上看,简单的线性规划问题是在学习了不等式、直线方程的基础上展开的,它是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解.它是用数学知识解决实际问题,属于数学建模,是初等数学中较抽象的,对学生要求较高,又是必须予以掌握的内容.考虑到学生的认知水平和理解能力,建议教师可以通过激励学生探究入手,讲练结合,培养学生对本节内容的学习兴趣,培养学生数形结合的意识,让学生体味数学的工具性作用.另外,教师还可借助计算机直观演示利用图解法求最优解的过程,增强教学的趣味性和生动性.●教学流程创设问题情境,引导学生了解线性约束条件、线性目标函数、可行域、线性规划问题等概念.⇒结合教材让学生掌握线性规划问题的图解法.⇒通过例1及其变式训练使学生巩固掌握利用图解法求最优解的步骤.⇒通过例2及其变式训练使学生掌握利用线性规划研究字母参数的方法.⇒通过例3及其变式训练使学生掌握求非线性目标函数的最值的方法.⇒归纳整理,进行课堂小结,整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双达达标,巩固所学知识,并进行反馈矫正.(对应学生用书第56页)课标解读1.了解目标函数、约束条件、可行域、最优解等基本概念.2.掌握线性规划问题的求解过程,特别是确定最优解的方法.(重点、难点)可行域约束条件所表示的平面区域,称为可行域.线性规划求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题,通常称为线性规划问题,上述只含两个变量的简单线性规划问题可用图解法解决.(对应学生用书第56页)线性规划问题设z =3x +5y ,式中变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x +2y ≥3,7x +10y ≥17,x ≥0,y ≥0.求z的最小值.【思路探究】【自主解答】 画出约束条件表示的点(x ,y )的可行域, 如图所示的阴影部分(包括边界直线).把z =3x +5y 变形为y =-35x +z 5,得到斜率为-35,在y 轴上的截距为z5,随z 变化的一族平行直线.作直线l :3x +5y =0,把直线向右上方平行移至l 1的位置时,直线经过可行域上的点M ,此时l 1:3x +5y -z =0的纵截距最小,同时z =3x +5y 取最小值.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +2y =3,7x +10y =17,得M (1,1).故当x =1,y =1时,z min =8.1.由本例可以看出,解线性规划问题时,一定要注意最优解的对应点是最大值点,还是最小值点.对于目标函数z =ax +by ,当b >0时,直线截距最大时,z 有最大值,截距最小时,z 有最小值;当b <0时,则相反.2.图解法是解决线性规划问题的有效方法,其关键是利用z 的几何意义求解.平移直线ax +by =0时,看它经过哪个点(哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域,则这样的点即为最优解,最优解一般是在可行域的边界取得.设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x -y +2≥0,x -5y +10≤0,x +y -8≤0,则目标函数z =3x -4y 的最大值和最小值分别为多少.【解】 作可行域如图所示,解⎩⎪⎨⎪⎧x -y +2=0,x +y -8=0得⎩⎪⎨⎪⎧x =3,y =5,∴A (3,5).解⎩⎪⎨⎪⎧x +y -8=0,x -5y +10=0得⎩⎪⎨⎪⎧x =5,y =3,∴B (5,3).平移直线3x -4y =z 可知,直线过A 点时,z 取最小值,过B 点时,z 取最大值. ∴z min =3×3-4×5=-11,z max =3×5-4×3=3.利用线性规划求字母参数的值(或范围)已知x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x -4y +3≤0,3x +5y ≤25,x ≥1,设z =ax +y (a >0),若当z 取最大值时,对应的点有无数多个,求a 的值.【思路探究】【自主解答】 作出可行域如图所示.由⎩⎪⎨⎪⎧3x +5y =25,x -4y +3=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =5,y =2,∴点A 的坐标为(5,2).由⎩⎪⎨⎪⎧x =1,3x +5y =25,得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =4.4,∴点C 的坐标为C (1,4.4).当直线z =ax +y (a >0)平行于直线AC ,且直线经过线段AC 上任意一点时,z 均取得最大值,此时有无数多点使z 取得最大值,而k AC =-35,∴-a =-35,即a =35.1.本题中,z 取最值时对应的点有无数多个,故这无数多个对应点构成平面区域的一段边界.2.解线性规划问题时一般要结合图形(平面区域)及目标函数的几何意义解题.若x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≥1,x -y ≥-1,2x -y ≤2,目标函数z =ax +2y 仅在点(1,0)处取得最小值,则a 的取值范围是________.【解析】 作出可行域,让目标函数所表示的直线过定点,观察斜率的范围,构建不等式求参数范围.如图所示,约束条件所表示的平面区域为三角形,目标函数z =ax +2y ,即y =-a 2x +z 2仅在点(1,0)处取得最小值,故其斜率应满足-1<-a 2<2,即-4<a <2.故填(-4,2).【答案】 (-4,2)求非线性目标函数的最值已知x ,y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x -5y -23≤0,x +7y -11≤0,4x +y +10≥0.(1)求u =x 2+y 2的最大值和最小值; (2)求z =yx +5的最大值和最小值. 【思路探究】【自主解答】 画出不等式组所表示的平面区域,如图所示.(1)∵u =x 2+y 2,∴u 为点(x ,y )到原点(0,0)的距离,结合不等式组所表示的平面区域可知,点B 到原点的距离最大,而当(x ,y )在原点时,距离为0.由⎩⎪⎨⎪⎧7x -5y -23=0,4x +y +10=0得点B 的坐标为(-1,-6),∴(x 2+y 2)max =(-1)2+(-6)2=37,(x 2+y 2)min =0. (2)z =yx +5=y -0x --5,所以求z 的最大值和最小值,即是求可行域内的点(x ,y )与点(-5,0)连线斜率的最大值和最小值.设点M 的坐标为(-5,0),由⎩⎪⎨⎪⎧x +7y -11=0,4x +y +10=0得点C 的坐标为(-3,2),由(1)知点B 的坐标为(-1,-6),∴k max =k MC =2-0-3--5=1,k min =k MB =-6-0-1--5=-32,∴yx +5的最大值是1,最小值是-32. 1.本题中,(1)x 2+y 2是平面区域内的点(x ,y )到原点的距离的平方;(2)y x +5=y -0x --5可看成平面区域内的点(x ,y )与点(-5,0)连线的斜率.2.解决此类问题,应先准确作出线性约束条件表示的平面区域,然后弄清非线性目标函数的几何意义.已知x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x -y +2≥0,x +y -4≥0,2x -y -5≤0.(1)求z =x 2+y 2+2x -2y +2的最小值; (2)求z =|x +2y -4|的最大值. 【解】 (1)作出可行域,如图所示, ∵z =(x +12+y -12)2,∴z 可看作是可行域内任意一点(x ,y )到点M (-1,1)的距离的平方. 由图可知z min 等于原点到直线x +y -4=0的距离的平方, ∴z min =(|-4|2)2=8.(2)∵z =|x +2y -4|=5·|x +2y -4|5, ∴z 可看作是可行域内任意一点(x ,y )到直线x +2y -4=0的距离的5倍. 由图可知点C 到直线x +2y -4=0的距离最大.由⎩⎪⎨⎪⎧x -y +2=0,2x -y -5=0得点C (7,9),∴z max =|7+2×9-4|5×5=21.(对应学生用书第58页) 直线的倾斜程度判断不准致误已知⎩⎪⎨⎪⎧11x +4y ≤44,7x +5y ≤35,6x +7y ≤42,x ≥0,y ≥0,求z =x +y 的最大值.【错解】 作出可行域,如图所示.作出直线l 0:x +y =0,将它移至点B ,则点B 的坐标是可行域中的最优解,它使z 达到最大值.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧11x +4y =44,7x +5y =35,得点B 的坐标为(8027,7727).所以z max =8027+7727=15727.【错因分析】 将直线l 0向上移动时,最后离开可行域的点不是点B 而是点A ,这是由于直线倾斜程度不准确引起的,由于三条边界直线的斜率依次是-67,-75,-114,而目标函数z =x +y 的斜率为-1,它夹在-67与-75之间,故经过点B 时,直线x +y =z 必在点A 的下方,即点B 不是向上平移直线时最后离开可行域的点,而是点A .【防范措施】 解决线性规划问题时,可行域一定要准确,关键点的位置不能画错,若数据比较大,不易画图,也可用斜率分析法确定关键点或取得最值点.【正解】 作出二元一次不等式组所表示的平面区域如上图.作出直线l ′0:x +y =0,将它向上平移,当它经过点A 时,z 取得最大值.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x +5y =35,6x +7y =42,得⎩⎪⎨⎪⎧x =3519,y =8419,故z max =3519+8419=119191.基础知识: (1)可行域; (2)线性规划. 2.基本技能: (1)解线性规划问题;(2)利用线性规划求字母参数的值(或范围); (3)求非线性目标函数的最值. 3.思想方法: (1)数形结合思想; (2)函数思想; (3)转化思想.(对应学生用书第58页)1.已知实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x -y +5≥0,x ≤3,x +y ≥0,则目标函数z =x +2y 的最小值为________.【解析】 画出不等式组表示的平面区域,由图可知目标函数在点(3,-3)处取得最小值-3.【答案】 -3图3-3-72.给出平面区域(包含边界)如图3-3-7所示,若使目标函数z =ax +y (a >0)取得最大值的最优解有无数多个,则a 的值为________.【解析】 由题意知-a =k AC =-35,∴a =35.【答案】 353.已知变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x -y +2<0,x >1,x +y -7<0,则yx的取值范围是________.【解析】 目标函数y x 是可行域上的动点(x ,y )与原点连线的斜率,最小值是k OC =95,最大值是k AO =6,又可行域边界取不到,∴95<yx<6.【答案】 (95,6)4.已知x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x -5y -23≤0,x +7y -11≤0,4x +y +10≥0,求z =4x -3y 的最值.【解】 原不等式组表示的平面区域如图所示: 其中A (4,1)、B (-1,-6)、C (-3,2). 作与4x -3y =0平行的直线l :4x -3y =t , 即y =43x -t3,则当l 过C 点时,t 最小; 当l 过B 点时,t 最大.∴z max =4×(-1)-3×(-6)=14,z min =4×(-3)-3×2=-18.(对应学生用书第97页)一、填空题1.(2013·微山高二检测)设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≤1,y ≤x ,y ≥-2,则z =3x +y 的最大值为________.【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示:把z =3x +y 变形为y =-3x +z 得到斜率为-3,在y 轴截距为z 的一族平行直线,由图当直线l :y =-3x +z 过可行域内一点M 时,在y 轴截距最大,z 也最大.由⎩⎪⎨⎪⎧x +y =1,y =-2,∴⎩⎪⎨⎪⎧x =3,y =-2,即M (3,-2).∴当x =3,y =-2时,z max =3×3+(-2)=7. 【答案】 72.(2013·苏州高二检测)变量x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x +y ≥12,2x +9y ≥36,2x +3y ≥24,x ≥0,y ≥0,则使得z =3x +2y 的值最小的(x ,y )是________.【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示:把z =3x +2y 变形为y =-32x +z 2,作与直线l 0:y =-32x 平行的直线l ,显然当l 经过可行域内点M 时在y 轴上截距最小,z 也最小.由⎩⎪⎨⎪⎧2x +y =12,2x +3y =24,∴⎩⎪⎨⎪⎧x =3,y =6,即M (3,6)时,z =3x +2y 的值最小. 【答案】 (3,6)3.设z =2y -2x +4,式中的x ,y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1,0≤y ≤2,2y -x ≥1,则z 的取值范围是________.【解析】 作出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1,0≤y ≤2,2y -x ≥1的可行域(如图所示),作直线2y -2x =0,并将其平移,由图象可知当直线经过点A (0,2)时,z max =2×2-2×0+4=8; 当直线经过点B (1,1)时,z min =2×1-2×1+4=4.所以z 的取值范围是[4,8]. 【答案】 [4,8]4.(2013·连云港检测)设实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x -y -2≤0,x +2y -4≥0,2y -3≤0,则yx的最大值是________.【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示: 又y x =y -0x -0表示过平面区域内一点(x ,y )与原点(0,0)的直线的斜率,由图知(x ,y )在平面区域内A 点处时直线斜率最大.由⎩⎪⎨⎪⎧x +2y -4=0,2y -3=0得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =32,∴A (1,32),∴y x 的最大值为32.【答案】 325.(2013·无锡检测)二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x <0,y <0,x +y +4>0表示的平面区域内,使得x +2y 取得最小值的整点坐标为________.【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示: ∵平面区域不包括边界,∴平面区域内的整点共有(-1,-1),(-1,-2),(-2,-1)三个. 代入检验知,整点为(-1,-2)时x +2y 取得最小值. 【答案】 (-1,-2)6.已知⎩⎪⎨⎪⎧x +y -1≤0,x -y +1≥0,y ≥-1,且u =x 2+y 2-4x -4y +8,则u 的最小值为________.【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示,由已知得(x -2)2+(y -2)2=(u )2,则(u )min =|2+2-1|1+1=32,u min =92.【答案】 927.已知变量x ,y 满足约束条件1≤x +y ≤4,-2≤x -y ≤2.若目标函数z =ax +y (其中a >0)仅在点(3,1)处取得最大值,则a 的取值范围为________.【解析】 由题设知可行域为如图所示的矩形,要使目标函数z =ax +y 在点(3,1)处取得最大值,结合图形可知a >1.【答案】 (1,+∞)8.如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x -y +2≥0,x -2y +1≤0,x +y -2≤0内,点Q 在曲线x 2+(y +2)2=1上,那么|PQ |的最小值为________.【解析】 首先作出不等式组表示的平面区域和曲线x 2+(y +2)2=1,如图所示,从而可知点P 到Q 的距离最小值是可行域上的点到(0,-2)的最小值减去圆的半径1,由图可知|PQ |min =12+-22-1=5-1。
2020学年高中数学3.3.3简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题应用案巩固提升课件苏教版必修5
划问题,作直线 a+b=0,并且平移使它通过可行域内的 A 点,
此时 z=a+b 取得最大值为53.
第3章 不等式
[B 能力提升] x+y≤2, 1.若变量 x,y 满足2x-3y≤9,则 x2+y2 的最大值是________. x≥0,
第3章 不等式
解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,其中 A(0,-3), B(3,-1),C(0,2),显然在点 B 处 x2+y2 取得最大值 10.
x≤1, 小值为________.
第3章 不等式
解析:作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示, 由图知当 z=2x+3y-5 经过点 A(-1,-1)时,z 取得最小值, zmin=2×(-1)+3×(-1)-5=-10.
答案:-10
第3章 不等式
8.已知 x,y 满足约束条件003≤ ≤ y-xy≤ x≤≥22, 2,,如果2,43是 z=ax-y 取得最大值时的最优解,则实数 a 的取值范围是________.
第3章 不等式
(2)v=x-y 5表示可行域内的点 P(x,y)与定点 D(5,0)连线的斜 率,由图可知,kBD 最大,kCD 最小,又 C(3,8),B(3,-3), 所以 vmax=3--35=32,vmin=3-8 5=-4.
第3章 不等式
10.已知 f(x)=(3a-1)x+b-a,x∈[0,1],若 f(x)≤1 恒成立,
答案:10
第3章 不等式
y≤x, 2.若变量 x,y 满足约束条件x+y≤4,且 z=2x+y 的最小值
y≥k, 为-6,则 k=________.
第3章 不等式
解析:作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,
z=2x+y,则 y=-2x+z.易知当直线 y=-2x+z 过点 A(k,k) 时,z=2x+y 取得最小值,即 3k=-6,所以 k=-2. 答案:-2
人教版高中数学必修五第3章 3.3 3.3.3 简单的线性规划问题(二) 课件
(x+2)2+y2=1 上,那么|PQ|的最小值是( A )
A.1
B.2
2 C.
310-1
2 10 D. 3
2x+5y≥10, 4.已知 x,y 满足约束条件2x-3y≥-6, 则 z=x2+y2
2x+y≤10,
100 的最小值为______2_9_____.
题型3 非线性目标函数(面积)
|3x+4y+5| (3)
表示点
P(x,y)与_直__线__3_x+__4_y_+__5_=__0_的距离.
5
题型1 非线性目标函数(斜率) 例1:求 z= yx++11的最大值,其中 x,y 满足约束条件
思维突破:把所求问题看成区域上的点与点(-1,-1)连 线的斜率.
自主解答:作出不等式组表示的可行域如图 D18.
图D23
例 4:若不等式组xx≥ +03, y≥4, 3x+y≤4
所表示的平面区域被直线
y=kx+43分为面积相等的两部分,则 k 的值是( )
欢迎来到二)
1.进一步了解线性规划的意义,了解线性约束条件、线性 目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.
2.掌握线性规划问题的图解法,会用图解法求目标函数的 最大值、最小值.
3.训练数形结合、化归等常用思想,培养和发展数学应用 意识.
非线性目标函数.
当把 z 看作常数时,它表示点(x,y)与点(-1,-1)所在直
线的斜率,点(x,y)在可行域内.因此当点(x,y)是点 A 时,斜
率 z 最大.
∵点 A 为直线 y=11 与 y 轴的交点,
∴点 A 的坐标为(0,11).
∴zmax=101++11=12.
图 D18
对形如 z=acxy++db(ac≠0)型的目标函数,可先变 形为 z=ac·yx- -- -badc的形式,将问题化为可行域内的点(x,y)与 -dc,-ba连线斜率的ac倍的范围、最值等.
江苏省靖江市第一高级中学高中数学必修五苏教版课件:3.3.3 简单的线性规划问题(2)
一、问题情景
某校办工厂有方木料90m3,五合板600m2,正准备为外校新生加工 新桌椅和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1m3,五合板2m2 ,生产每个书橱需要方木料0.2m3,五合板1m2,出售一张书桌可获 利润80元,出售一张书橱可获利润120元.
(1)假设你是工厂的生产科长,请你按要求设计出工厂的生产方案。 方案一:若只生产书桌,用完五合板,可生产书桌300张,可获得利 润80×300=24000元,但方木料没有用完. 方案二:若只生产书橱,用完方木料,可生产450张书橱,可获得利 润120×450=54000元,但五合板没有用完.
学段
初中 高中
班级学生数 配备教师数
45
2
40
3
硬件建设 (万元)
26/班 54/班
教师年薪 (万元)
2/人 2/人
分别用数学关系式和图形表示上述限制条件.若根据有关部门的规 定,初中每人每年可收学费1600元,高中每人每年可收学费2700元.因 生源和环境等条件限制,办学规模以20至30个班为宜(含20个与30个) 那么开设初中班和高中班多少个?每年收费的学费总额最多?
xN
y N
目标函数为: z 80x 120y
(3)如果你是厂长,为使工厂原料充分利用,问怎么安排能 够使资源最大限度的利用,且可获得最大利润? 方案三、生产书桌100张,书橱400张,有最大利润为56000元.
二、线性规划在实际中的应用
线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用,
一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下,如何使用它们来完 成最多的任务;
二是给定一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、 物力、资金等资源来完成该项任务.
简单的线性规划问题课件(39张) 高中数学 必修5 苏教版
求非线性目标函数的最值
x≥0, (1)已知 x, y 满足约束条件3x+ 4y≥ 4, 则 x2+y2 y≥0, + 2x 的最小值是 ________. x- y- 2≤ 0, y (2)设实数 x, y 满足x+2y-4≥0, 求 的最大值. x 2y-3≤0,
名称
线性目 标函数 可行域 最优解 线性规 划问题
定义 一次 含有两个变量x,y的___________ 函数
约束条件所表示的平面区域
使目标函数取得___________ 最大值 或___________ 最小值 的 (x,y)
最大值 求线性目标函数在线性约束条件下的___________ 最小值 的问题统称为线性规划问题 或___________
解析:画出可行域,易知z=2y-2x+4的最小值在点(1,1)处
取到,zmin=4.
x+ y≥ 2, 3.(课本改编题 )已知实数 x,y 满足x- y≤ 2,则 z=2x- y 的 0≤y≤3,
[-5,7] . 取值范围是 _____________ 解析:可行域如图所示, 线性目标函数为z=2x-y, zmax=2×5-3=7, zmin=2×(-1)-3=-5.
(2)如图,画出不等式组表示的平面区域 ABC, y 令 u= ,其几何意义是可行域 ABC 内任一点 (x, y)与原点相 x y- 0 连的直线 l 的斜率为 u,则 u= .由图形可知,当直线 l 经 x-0 过可行域内点 C 时, u 最大,
x+2y-4=0, 3 1 , 由 得C , 2 2y-3=0,
ห้องสมุดไป่ตู้
y 3 3 ∴ umax= ,∴ 2 xmax=2.
方法归纳 非线性目标函数最值问题的求解方法 (1)求非线性目标函数的最值问题时,要充分理解非线性目标函 数的几何意义,诸如两点间的距离 (或平方),点到直线的距离, 过已知两点的直线斜率等,充分利用数形结合知识解题,能起 到事半功倍的效果. (2)常见代数式的几何意义主要有: ① ② x2+ y2表示点(x, y)与原点 (0, 0)的距离; ( x- a) 2+( y- b) 2表示点(x, y)与点(a, b)的距离;
3.3《简单的线性规划问题3》课件(苏教版必修5).
{
2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0 y≥0
目标函数为 z=x+y
作出可行域(如图) 作出可行域(如图)
例题分析
{
2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N ∈ y≥0 y∈N ∈
y 15
调整优值法
作出一组平行直线z=x+y, , 作出一组平行直线
甲产品 消耗量 产品 (1 杯) 资源 奶粉( 奶粉(g) 咖啡(g) 咖啡(g) 糖(g) 利润( 利润(元) 乙产品(1 乙产品 杯) 资源限额( ) 资源限额(g)
9 4 3 0.7
4 5 10 1.2
3600 2000 3000
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
设每天应配制甲种饮料x 设每天应配制甲种饮料x杯,乙种饮料y杯,则 乙种饮料y
y
x-y=0 1 x 1
(2,-1)
z=2x+y 叫做
线性目标函数 ;
都叫做可行解 满足 线性约束条件 的解(x,y)都叫做可行解; 都叫做可行解; 取得最大值 使z=2x+y取得最大值的可行解为 (2,-1) 取得最大值的可行解为 且最大值为 3 ; ,
0
(-1,-1)
y=-1
2x+y=0
取得最小值 使z=2x+y取得最小值的可行解 (-1,-1) , 取得最小值的可行解 且最小值为
应 用
简单的线性规划
可行解 可行域
求解方法: 求解方法:画、 移、求、答
最优解
练习巩固
1.某家具厂有方木材 某家具厂有方木材90m3 , 木工板 木工板600m3 , 准备加工成 某家具厂有方木材 书桌和书橱出售, 已知生产每张书桌需要方木料0.1m3 、 书桌和书橱出售 , 已知生产每张书桌需要方木料 木工板2m 生产每个书橱需要方木料0.2m3 , 木工板 木工板 3 ; 生产每个书橱需要方木料 1m3 , 出售一张书桌可以获利 元 , 出售一张书橱可以 出售一张书桌可以获利80元 获利120元; 获利 元 (1)怎样安排生产可以获利最大? )怎样安排生产可以获利最大? (2)若只生产书桌可以获利多少? )若只生产书桌可以获利多少? (3)若只生产书橱可以获利多少? )若只生产书橱可以获利多少?
苏教版数学必修五:3.3.3简单的线性规划问题【教师版】
§3.3.3 简单的线性规划问题 第 课时 班级__________ 姓名_________【学习目标】1.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决;2.了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念;会根据条件建立线性目标函数;3.了解线性规划的图解法,并会用图解法求线性目标函数的最大(小)值.【重点难点】培养学生从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题.【学习过程】一、 自主学习与交流反馈1.线性条件与线性约束条件:2.目标函数与线性目标函数:3.可行域:4.线性规划:二、新知学习与重难点突破:例1 在约束条件41043200x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩下,求目标函数P = 2x + y 的最大值.例2 设变量x , y 满足条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>∈≤+≤+0,0,1141023y x Zy x y x y x ,求S=5x+4y 的最大值.例3 投资生产A产品时,每生产100吨需要资金200万元,需场地200平方米,可获利润300万元;投资生产B产品时,每生产100米需要资金300万元,需场地100平方米,可获利润200万元.现某单位可使用资金1400万元,场地900平方米,问:应作怎样的组合投资,可使获利最大?分析:这是一个二元线性规划问题,可先将题中数据整理成下表,以方便理解题意:然后根据此表数据,设出未知数,列出约束条件和目标函数,最后用图解法求解例4 某运输公司向某地区运送物资,每天至少运送180吨.该公司有8辆载重为6吨的A型卡车与4辆载重为10吨的B型卡车,有10名驾驶员.每辆卡车每天往返的次数为A 型车4次,B型车3次.每辆卡车每天往返的成本费为A型车320元,B型车为504元.试为该公司设计调配车辆的方案,使公司花费的成本最低.小结:解线性规划应用题的一般步骤:①设出未知数;②列出约束条件;③建立目标函数;④求最优解.三、巩固练习:1.若0,0≥≥y x ,且1≤+y x ,则y x z -=的最大值是__________________.2.设y x z -=,其中y x ,满足条件⎩⎨⎧≥-≥-+,02,03y x y x 则z 的最小值是____________.3.已知点),(y x P 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-022,01,02y x y x 所表示的平面区域内运动,则y x z -=的取值范围是________________.4.已知实数y x ,满足条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤-+≥+0,0,03,32y x y x y x ,求y x 3+的最大值.四、回顾反思:五、作业批改情况记录及分析。
苏教版必修5高二数学3.3.3《简单的线性规划问题》ppt课件(二)
原料/10 g 蛋白质/单位 铁质/单位 费用/元
甲
5
10
3
乙
7
4
2
设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g,总费用为z,
5x+7y≥35, 那么10x+4y≥40,
x≥0,y≥0,
目标函数为 z=3x+2y,
作出可行域如图所示:
把 z=3x+2y 变形为 y=-23x+2z,得到斜率为-23,在 y 轴上的截距为2z,随 z 变化的一族平行直线.
当堂测·查疑缺
1234
1.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为
60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要,软件至少买
3片,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式共有________种.
解析 设购买软件x片,磁盘y盒.
60x+70y≤500
则x≥3,x∈N*
,
y≥2,y∈N*
x+y≥1,
1 则 z=x2+y2 的最小值为_2_.
解析 实数x,y满足的可行域如图中阴影部分所
示,则z的最小值为原点到直线AB的距离的平方, 故 zmin= 122=12.
呈重点、现规律
1.画图对解决线性规划问题至关重要,关键步骤基本上是在 图上完成的,所以作图应尽可能准确,图上操作尽可能规范. 2.在实际应用问题中,有些最优解往往需要整数解(比如人数、 车辆数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解,可 以运用枚举法验证求最优整数解,或者运用平移直线求最优 整数解.最优整数解有时并非只有一个,应具体情况具体分析.
由图可知,当直线 y=-32x+2z经过可行域上的点 A 时,截 距2z最小,即 z 最小.
10x+4y=40, 由
苏教版必修5高二数学3.3.3《简单的线性规划问题》ppt课件(一)
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的,若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较,便可以抓住老师的思路。
探究点一 求目标函数的最大值或最小值
思考1 经过这几节的学习,你认为本章第3.3节开始提出
的问题实质上是什么问题?
4x+y≤10,
答 在约束条件4x+3y≤20, x≥0,
y≥0
下,如何探求目标函数
P=2x+y 的最大值?
思考2 目标函数P=2x+y的几何意义是什么? 答 将目标函数P=2x+y变形为y=-2x+P,它表示斜率 为-2,在y轴上的截距为P的一条直线.
反思与感悟 解线性规划问题的关键是准确地作出可行域, 正确理解z的几何意义,对一个封闭图形而言,目标函数的 最值一般在可行域的边界上取得,在解题中也可由此快速 找到最大值点或最小值点.
跟踪训练1
y≤1, 若变量x,y满足约束条件 x+y≥0,则z=x
x-y-2≤0,
-2y的最大值为________.
值是__2__.
解析 可行域如图所示, ∵z=x+2y,∴y=-2x+2z, ∵-21>-1,∴当直线 z=x+2y 经过点 B(0,1)时,z 取到最 大值,且 zmax=2.
4.在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影 部分且包括边界),目标函数z=x+ay取得 最小值的最优解有无数个,则a的一个可能 值为_①___.(填序号) ①-3;②3;③-1;④1 解析 -1a=24- -11=13,∴a=-3.
苏教版高中数学必修五课件3.3.3《简单的线性规划问题(1)》
y=x 1
y = 3x- Z 作直线 y = 3x
1
o
x
y = -1 -1
x + y -1 = 0
y x
x
+
y
1
y -1
Z = 3x- y 的最值
y
y=x 1
y = 3x- Z 作直线 y = 3x
1
o
x
y = -1 -1
x + y -1 = 0
y x
1
o
x
y = -1 -1
x + y -1 = 0
y x
x
+
y
1
y -1
Z = 3x- y 的最值
y
y=x 1
y = 3x- Z 作直线 y = 3x
1
o
x
y = -1 -1
x + y -1 = 0
y x
x
+
y
1
y -1
Z = 3x- y 的最值
y
y=x 1
y = 3x - Z 作直线 y = 3x
1
o
x
y = -1 -1
x + y -1 = 0
y x
x
+
y
1
y -1
Z = 3x - y 的最值
y
y=x 1
y = 3x - Z 作直线 y = 3x
1
o
x
y = -1 -1
x + y -1 = 0
y x
y
苏教版高中数学必修五课件008-3.3.3简单的线性规划问题(3).pptx
作出可行域 作出可行域中的整点,
320x+504y=0
可行域中的整点(5, 2)使Z=320x+504y 取得最小值,且Zmin=2608元
课后练习:
1.在x,y的值都是不小于0的整数点(x,y)中,
满足x + y ≤ 4的点的个数为_1_5_____
2.设变量x, y满足条件
3 x2 y10 x4 y11 x , yZ x0, y0 求S 5x 4 y的最大值。
2.在可行域内找整数解,一般采用平移 找解法,即打网络、找整点、平移直线、 找出整数最优解;还可以用调整最优值法。
例2 某运输公司接受了向抗洪抢险地区每 天至少运送180吨支援物资的任务,该公 司有8辆载重量为6吨的A型卡车和4辆载 重量为10吨的B型卡车,有10名驾驶员; 每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次, B型卡车3次,每辆卡车每天往返的成本 费A型卡车为320元,B型卡车为504元,
问如何安排车辆才能使该公司所花的成本 费最低,最低为多少元?(要求每型卡车 至少安排一辆)
解:设每天调出的A型车x
辆,B型车y辆,公司所花
的费用为z元,则
{ x≤8 x+y≤10
y 4x+5y=30
y≤4
4
4x+5y≥30
3
x+y=10 x=8 y=4
x,y∈N* Z=320x+504y
2
1
X
0 1 2 34 5 6 7 8
纵坐标为整数)的个数。
y
•4 •••
•••• •
共有:
-4•
9+2(7+5+3+1)
• ••o••
• •
苏教版高中数学必修五3.3.3 简单的线性规划问题(一).docx
3.3.3 简单的线性规划问题(一)课时目标 1.了解线性规划的意义.2.会求一些简单的线性规划问题.线性规划中的基本概念名称 意义约束条件由变量x ,y 组成的不等式或方程 线性约束条件由x ,y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量x ,y 的函数解析式 线性目标函数关于x ,y 的一次解析式 可行解满足线性约束条件的解(x ,y ) 可行域 约束条件表示的平面区域 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在__________条件下的最大值或最小值问题一、填空题1.若实数x ,y 满足不等式组⎩⎨⎧ x +3y -3≥0,2x -y -3≤0,x -y +1≥0,则x +y 的最大值为________.2.已知点P (x ,y )的坐标满足条件⎩⎨⎧x +y ≤4,y ≥x ,x ≥1,则x 2+y 2的最大值为________.3.设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≥3,x -y ≥-1,2x -y ≤3.则目标函数z =2x +3y 的最小值为________.4.已知-1<x +y <4且2<x -y <3,则z =2x -3y 的取值范围是________.(答案用区间表示)5.已知实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x +2y -5≤0,x ≥1,y ≥0,x +2y -3≥0,则yx的最大值为____________. 6.设变量x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x -y +2≥0,x -5y +10≤0,x +y -8≤0,则目标函数z =3x -4y 的最大值和最小值分别为________和________.7.在坐标平面上有两个区域M 和N ,其中区域M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ,y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤x y ≤2-x ,区域N ={(x ,y )|t ≤x ≤t +1,0≤t ≤1},区域M 和N 公共部分的面积用函数f (t )表示,则f (t )的表达式为________.8.设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1,x -2y +3≥0y ≥x,所表示的平面区域是Ω1,平面区域Ω2与Ω1关于直线3x -4y -9=0对称.对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ,则AB 的最小值为________.二、解答题9.线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +3y ≥12x +y ≤103x +y ≥12下,求z =2x -y 的最大值和最小值.10.已知⎩⎪⎨⎪⎧2x +y -5≥03x -y -5≤0x -2y +5≥0,求x 2+y 2的最小值和最大值.能力提升11.已知实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧(x -y +6)(x +y -6)≥01≤x ≤4,求x 2+y 2-2的取值范围.12.已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x +y -2≥0x -2y +4≥03x -y -3≤0,试求z =y +1x +1的最大值和最小值.1.作不等式组表示的可行域时,注意标出相应的直线方程,还要给可行域的各顶点标上字母,平移直线时,要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较,确定最优解.2.在解决与线性规划相关的问题时,首先考虑目标函数的几何意义,利用数形结合方法可迅速解决相关问题.3.3.3 简单的线性规划问题(一)答案知识梳理 线性约束 作业设计 1.9解析 画出可行域如图:当直线y =-x +z 过点A 时,z 最大.由⎩⎪⎨⎪⎧2x -y -3=0,x -y +1=0得A (4,5),∴z max =4+5=9. 2. 10解析 画出不等式组对应的可行域如下图所示:易得A (1,1),|OA |=2,B (2,2), |OB |=22,C (1,3),|OC |=10.∴(x 2+y 2)max =|OC |2=(10)2=10. 3.7解析 作出可行域如图所示.由图可知,z =2x +3y 经过点A (2,1)时,z 有最小值,z 的最小值为7. 4.(3,8)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧-1<x +y <4,2<x -y <3得平面区域如图阴影部分所示.由⎩⎪⎨⎪⎧ x +y =-1,x -y =3得⎩⎪⎨⎪⎧ x =1,y =-2.由⎩⎪⎨⎪⎧ x +y =4,x -y =2得⎩⎪⎨⎪⎧x =3,y =1. ∴2×3-3×1<z =2x -3y <2×1-3×(-2),即3<z <8,故z =2x -3y 的取值范围是(3,8). 5.2解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +2y -5≤0,x ≥1,y ≥0,x +2y -3≥0对应的平面区域Ω,y x =y -0x -0表示平面区域Ω上的点P (x ,y )与原点的连线的斜率.A (1,2),B (3,0),∴0≤yx≤2.6.3 -11解析 作出可行域如图阴影部分所示,由图可知z =3x -4y 经过点A 时z 有最小值,经过点B 时z 有最大值.易求A (3,5),B (5,3).∴z 最大=3×5-4×3=3,z 最小=3×3-4×5=-11.7.f (t )=-t 2+t +12解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤xy ≤2-x所表示的平面区域.由t ≤x ≤t +1,0≤t ≤1,得f (t )=S △OEF -S △AOD -S △BFC =1-12t 2-12(1-t )2=-t 2+t +12.8.4解析 如图所示.由约束条件作出可行域,得D (1,1),E (1,2),C (3,3).要求(AB )min ,可通过求D 、E 、C 三点到直线3x -4y -9=0距离最小值的2倍来求. 经分析,D (1,1)到直线3x -4y -9=0的距离d =|3×1-4×1-9|5=2最小,∴(AB )min =4.9.解 如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +3y ≥12x +y ≤103x +y ≥12下的可行域,包含边界:其中三条直线中x +3y =12与3x +y =12交于点A (3,3),x +y =10与x +3y =12交于点B (9,1), x +y =10与3x +y =12交于点C (1,9),作一组与直线2x -y =0平行的直线l :2x -y =z ,即y =2x -z ,然后平行移动直线l ,直线l 在y 轴上的截距为-z ,当l 经过点B 时, -z 取最小值,此时z 最大,即z max =2×9-1=17;当l 经过点C 时,-z 取最大值,此时z 最小,即z min =2×1-9=-7. ∴z max =17,z min =-7. 10.解 作出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x +y -5≥03x -y -5≤0x -2y +5≥0的可行域如图所示,由⎩⎪⎨⎪⎧ x -2y +5=02x +y -5=0,得A (1,3), 由⎩⎪⎨⎪⎧ x -2y +5=03x -y -5=0,得B (3,4), 由⎩⎪⎨⎪⎧3x -y -5=02x +y -5=0,得C (2,1), 设z =x 2+y 2,则它表示可行域内的点到原点的距离的平方,结合图形知,原点到点B 的距离最大,注意到OC ⊥AC ,∴原点到点C 的距离最小.故z max =|OB |2=25, z min =|OC |2=5.11.解 作出可行域如图,由x 2+y 2=(x -0)2+(y -0)2,可以看作区域内的点与原点的距离的平方,最小值为原点到直线x +y -6=0的距离的平方, 即OP 2,最大值为OA 2,其中A (4,10),OP =|0+0-6|12+12=62=32,OA =42+102=116,∴(x 2+y 2-2)min =(32)2-2=18-2=16, (x 2+y 2-2)max =(116)2-2=116-2=114, ∴16≤x 2+y 2-2≤114.即x 2+y 2-2的取值范围为16≤x 2+y 2-2≤114. 12.解 由于z =y +1x +1=y -(-1)x -(-1),所以z 的几何意义是点(x ,y )与点M (-1,-1)连线的斜率, 因此y +1x +1的最值就是点(x ,y )与点M (-1,-1)连线的斜率的最值,结合图可知,直线MB 的斜率最大,直线MC 的斜率最小,即 z max =k MB =3,此时x =0,y =2;z min =k MC =12,此时x =1,y =0.∴z 的最大值为3,最小值为12.。
苏教版必修5高中数学3.3.3《简单的线性规划问题》ppt课件3
解 设每天调出A型x车辆,B型y车辆,公司花费成本z元,由题可知约
x y 10,
束条件为
04x
6 x
3y 8,
10
180
0 y 4,
x, y z
x y 10
即 04xx5y8 30
0 y 4 x, y Z
每生每年可收取600元,高中每生每年可收取1500
解:设初中编制为x个班,高中编制为y个班,则
依题意有2208xx58
y y
30 1200
x,
y
N*
s 0.6x 2y
(★)
又x设18年, y利1润2 为s万sm元ax ,34那.8 么
现6在50直6角00坐10标00系0中62作1出.2(4★40)1所500表1示000的0可4行2.5域1.,6 11.6
例3 私人办学是教育发展的一个方向,某人准备投
资1200万元创办一所中学,为了考虑社会效益和经
济效益,对该地区教育市场进行调查,得出一组数
据,列表如下班(级学以生班级配为备单教师位)硬:件建设 教师年薪
数
数 学 科网
费(万元)(万元)
初中
50
2.0
28
1.2
高中
40
2.5
58
1.6
根据物价部门的有关文件,初中是义务教育阶段, 收费标准适当控制,预计除书本费、办公费,初中
如图所示 211.6 23.(2 万元)
显然n 当35直.5 线过图中的A点时,11纵.6截23.距23取4.8最(n大2) 值12.00
即
时,得
设经过n年可收回投资,则第1年利润为
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• 把实际问题转化成线性规划问题即建立数学 模型的方法。大致可分为以下三个步骤: • • (1)准确建立数学模型,即根据题意找 出约束条件,确定线性目标函数; (2)用图解法求得数学模型的解,即画 出可行域,在可行域内求得使目标函数取得 最值的解; (3)根据实际意义将数学模型的解转化 为实际问题的解,即结合实际情况求得最优 解。
图解法
想一想(结论): 三个转化
线性约束条件
转化 转化
可行域
线性目标函数 Z=Ax+By
Z y x B
一组平行线
图 解 法
最优解
转化
四个步骤:
寻找平行线组的 最大(小)纵截距
1。画(画可行域) 2。作(作z=Ax+By=0时的直线L 。) 3。移(平移直线L 。寻找使纵截距取得最值时的点) 4。答(求出点的坐标,并转化为最优解)
线性约束 条件 一组平行线
12 20 M( , ) 7 7
可行域 .. .. . .. 1 2 3 4 5 6
y≥0
最优解
寻找平行线组 的纵截距 求z=9x+10y的最大值. 最值9x+10y=0
线性目标函数
x
四个步骤:
1、画 2、作 3、移 4、答
0
2x+3y=12 5x+4y=20
代数问题
(线性约束条件)
Z max
x
5 ( , 0) 2
15 2
o
12x+9y=60
2x+y=0
例2p83某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品 1t需消耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t;生产乙种产 品1吨需消耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t.每1t甲种产 品的利润是600元,每1t乙种产品的利润是1000元.工厂 在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过 300t、 消耗B种矿石不超过200t、消耗煤不超过360t. 若你是厂长,你应如何安排甲乙两种产品的产量(精确 到0.1t),才能使利润总额
例3.gsp图形 答:应生产甲产品约12.4吨,乙产品34.4吨,能使利润总额达到最大。
结论1:
实际问题
列表
设立变量
寻找约束条件 建立目标函数
转 化
线性规划问题 注意:
1.约束条件要写全; 2.作图要准确,计算也要准确; 3.解题格式要规范.
例2.某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180吨支援物 资的任务,该公司有8辆载重量为6吨的A型卡车和4辆载重量为10 吨的B型卡车,有10名驾驶员;每辆卡车每天往返的次数为A型卡 车4次,B型卡车3次,每辆卡车每天往返的成本费A型卡车为320 元,B型卡车为504元,问如何安排车辆才能使该公司所花的成本 费最低,最低为多少元?(要求每型卡车至少安排一辆)
3.3.3简单的线性规划问题— 实际应用
一.复习 想一想:
线性约 5x+4y ≤ 束条件
已知实数x,y满足下列条件: 转化 20
可行域
三个转化
y
Z的最大值为44
6. . 5 4. 3. 2. 1 . 最优解
2x+3y 线性目 标函数 x ≥0 Z=Ax+By
≤12转化
转化
Z y x B
平移L找交点及交点坐标
12
2x+y=15
x+y=12 x+2y=18
18
x 27
x+3y=27
当直线L经过点A时z=x+y=11.4, 但它不是最优整数解. 作直线x+y=12 1.满足哪些条件的解才是最优解? 解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8)
2.目标函数经过A(3.6,7.8)时Z的值是多少?
问在一个大集装箱内这两种(不能只装一种)货物各装多 少袋时,可获得最大的利润? 分析:设托运甲货物x袋, 托运乙货物y袋,获得利润为z(百元)
24 2x+3y 15
5x+4y
x0
Z=20x+15y
(x,y N )
y0
图象
小结:
列表
实际问题
作 答
设出变量
寻找约束条件 建立目标函数
转化
小结
巩固练习 二
某货运公司拟用集装箱托运甲.乙两种货物,一个大集装箱所装托 3 运货物的总体积不能超过24 m ,总重量不能超过1500kg,甲.乙 两种货物每袋的体积.重量和可获得的利润,列表如下:
货物
甲 乙
每袋体积(立方米) 每袋重量(100kg)
5 4 2 3
每袋利润(单位百元 )
20 15
y ≥0
分 析 问 题:
原 每吨产品消耗的原材料 原 材料限 额 材 甲产品(t) xt 乙产品(t) yt 料 1.本问题给定了哪些原材料(资源)? 300 A种矿石 10 4
5 4 600 4
B种矿石 煤 利润
2.该工厂生产哪些产品? 200
3.各种产品对原材料(资源)有怎样的要求? 9 360 4.该工厂对原材料(资源)有何限定条件? 1000 5.每种产品的利润是多少?利润总额如何计算?
2.调整优解法:即先求非整数条件下的最优解,
调整Z的值使不定方程Ax+By=Z存在最大(小) 的整点值,最后筛选出整点最优解.
巩固练习一
设每天应配制甲种饮料x杯,乙种饮料y杯,则
咖啡馆配制两种饮料.甲种饮料每杯含奶粉9g 、咖啡4g、糖 9 x 4 y 3600 4 x 5 y 2000 3g,乙种饮料每杯含奶粉4g 、咖啡5g、糖10g.已知每天原料 的使用限额为奶粉3600g ,咖啡2000g 糖3000g,如果甲种饮 3x 10 y 3000 料每杯能获利0.7元,乙种饮料每杯能获利1.2元,每天在原料 x 0 的使用限额内饮料能全部售出,每天应配制两种饮料各多少 目标函数为:z =0.7x +1.2y 杯能获利最大? y 0 解:将已知数据列为下表:
C(4,8)
目标函数t = x+y
9
A(18/5,39/5)
x+y =0
2 1 0 12
作出一组平行直线t = x+y,
x 78
2x+y=15
18
27
x+2y=18 x+3y=27
当直线经过点A时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解,在可行域内打出网格线, 将直线x+y=11.4继续向上平移, 经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)且和原点距离最近的直线是 x+y=12,它们是最优解.
实际应用
给定一定量的 人力.物力, 资金等资源
精打细算 最优方案
完
最佳方案
所耗的人力. 物力资源最小 获取最大的利润
降低成本
例1某工厂生产甲、乙两种产品,生产1t甲两 种产品需要A种原料4t、 B种原料12t,产生的 利润为2万元;生产乙种产品需要A种原料1t、 B种原料9t,产生的利润为1万元。现有库存A 种原料10t、 B种原料60t,如何安排生产才能 使利润最大? 分析:在关数据列表如下: A种原料 B种原料 利润
_ 0
4 x 5 y 2000 , 3x 10 y 3000 ,
0 _
4 _00
1 500 _000 _ 4 _ x + 5 y = 2000
x _
得点C的坐标为(200,240)
9 x + 4 y = 3600 _
答:每天配制甲种饮料200杯,乙种饮料240杯可获取最大利润.
约束条件: 2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, y≥0 目标函数:z= x+y ( x, y N )
y 15
{
调整优解法
图例题4.gsp示
10 B(3,9) C(4,8) 8 画可行域 6 A(3.6,7.8) x+y =0 4 作出直线L:x+y=0, 2 0 2 4 6 8
原 料 奶粉(g) 咖啡(g) 糖(g) 利 润(元) 每配制1杯饮料消耗的原料 甲种饮料 x 乙种饮料 y 9 4 3 0.7 4 5 10 1.2 原 料限 额 3600 2000 3000
解:设每天应配制甲种饮料x杯,乙种饮料y杯,则
9 x 4 y 3600 4 x 5 y 2000 9 _00 3x 10 y 3000 x 0 作出可行域: y 0 目标函数为:z =0.7x +1.2y 作直线l:0.7x+1.2y=0,
•
巩固练习1:
不等式组
x 0 y 表示的平面区域内的整数点共有 y 0 4 4 x 3 y 12
3 2
(
)个
1
0
1
2
3
4
x
4x+3y=12
结论2:
线性规划求最优整数解的一般方法: 1.平移找解法: 即先打网格,描出可行域内的
整点,平移直线,最先经过或最后经过的整点
坐标即为最优整解.
达到最大?
某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t需消耗A种矿石 设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z元 10t、B种矿石5t、煤4t;生产乙种产品1吨需消耗A种矿石4t、B 把题中限制条件进行转化: 约束条件 种矿石4t、煤9t.每1t甲种产品的利润是600元,每1t乙种产品的利 润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不 10x+4y≤300 5x+4y≤200 超过300t、 消耗B种矿石不超过200t、消耗煤不超过360t.若你 4x+9y≤360 是厂长,你应如何安排甲乙两种产品的产量(精确到0.1t),才能使利 x≥0 目标函数:z=600x+1000y. 润总额达到最大?