图论与代数-test

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代数结构-图论

记作Nn，特别地，称N1为平凡图（Trivial graph）。在图的定义中规定结点集V为非空集，但在图的运算
中可能产生结点集为空集的运算结果，为此规定结
点集为空集的图为空图（Empty Graph），并将空图
记为。阶为有限的图称为有限图(Finite Graph)，
否则称为无限图(Infinite Graph)。结点没有标号
的图称为非标号图（Unlabeled Graph），否则为标
号图（Labeled heory
10.2 图与图模型
如果图中存在某两条边的端点都相同，则称该
图为多重图(Multigraph)，该两条边称为平行边。
如果一条边关联的两个结点是相同的结点，则称该边为圈或自环(Loop)。
请你思考？
如何找到物流运输的最优路径？如何找到最优的网络通信线路？如果你想周游全国所有城市，如何设计旅游线路？化学化合物分析：结构是否相同？程序结构度量：程序是否结构相似？如何为考试分配教室，使得资源利用率最优？如何安排工作流程而达到最高效率？如何设计为众多的电视台频道分配最优方案？如何设计通信编码以提高信息传输效率？操作系统中,如何调度进程而使得系统效率最优？
图的类型：
（1）有向图/无向图；简单图/多重图/伪图；零图，平凡图，空图；有限图/无限图；带权图、标记图；
（2）特殊图：环图(Cn)、轮图(Wn)、立方图(Qn)、网格、正则图 (r-图)；偶图(G(V1,V2), 二分图/二部图, Bipartite graph) 、完全偶图(Km,n)；
（3）特殊图：子图、完全图、补图（4）特殊图：Euler图、Hamilton图、树图、平面图
主要内容
8
中国地质大学计算机学院

图论第一章课后习题解答

bi 个 (i = 1,2,…,s)，则有列。定理 7
bi = n。故非整数组(b ,b ,…, b )是 n 的一个划分，称为 G 的频序
1 2 s
s
i 1
一个 n 阶图 G 和它的补图 G 有相同的频序列。
§1.2 子图与图的运算
且 H 中边的重数不超过 G 中对应边的定义 1 如果 V H V G ，E H E G ，重数，则称 H 是 G 的子图，记为 H G 。有时又称 G 是 H 的母图。当 H G ，但 H G 时，则记为 H G ，且称 H 为 G 的真子图。G 的生成子图是指满足 V(H) = V(G)的子图 H。假设 V 是 V 的一个非空子集。以 V 为顶点集，以两端点均在 V 中的边的全体为边集所组成的子图，称为 G 的由 V 导出的子图，记为 G[ V ]；简称为 G 的导出子图，导出子图 G[V\ V ]记为 G V ；它是 G 中删除 V 中的顶点以及与这些顶点相关联的边所得到的子图。若 V = {v}, 则把 G-{v}简记为 G–v。假设 E 是 E 的非空子集。以 E 为边集，以 E 中边的端点全体为顶点集所组成的子图称为 G 的由 E 导出的子图，记为 G E ；简称为 G 的边导出子图，边集为 E \ E 的 G 的导出子图简记为 G E 。若 E e ，则用 G–e 来代替 G-{e}。定理 8 简单图 G 中所有不同的生成子图（包括 G 和空图）的个数是 2m 个。定义 2 设 G1，G2 是 G 的子图。若 G1 和 G2 无公共顶点，则称它们是不相交的；若 G1 和 G2 无公共边，则称它们是边不重的。G1 和 G2 的并图 G1∪G2 是指 G 的一个子图，其顶点集为 V(G1)∪V(G2)，其边集为 E(G1)∪E(G2)；如果 G1 和 G2 是不相交的，有时就记其并图为 G1+G2。类似地可定义 G1 和 G2 的交图 G1∩G2，但此时 G1 和 G2 至少要有一个公共顶点。

图论与代数结构

G1 G2
假如 G1 G2 ，则必须满足： (1) | V (G1) || V (G2 ) |, | E(G1 ) || E(G2 ) | ． (2) G1 和 G2 结点度的非增序列相同． (3)存在同构的导出子图．

图的概念

性质1.1.5 非空简单图G中一定存在度相同的结点．证明：设在G中不存在孤立结点，则对n个结点的简单图，每个结点度d(v)的取值范围是 1~(n-1),由抽屉原理，一定存在两个度相同的结点．若存在一个孤立的结点，亦类似可证．
图的概念

定义1.1.4 如果图G=(V,E)的每条边 ek (vi , v j ) 都赋以一个实数wk 作为该边的权，则称G是赋权图．特别地，如果这些权都是正实数，就称G是正权图．图1.5就是一个正权图．权可以表示该边的长度，时间，费用或者容量等．
图的概念

性质1.1.1 设G=(V,E)有n个结点，m条边，则
v V (G )

d (v) 2m
证明：由于每条边e=(u,v)对结点u和v度的贡献各为１，因此m条边对全部结点的总贡献率为 2m.
图的概念

性质1.1.2 G中度为奇数的结点必为偶数个．证明： G中任一结点的度或为偶数或为奇数，设 Ve是度为偶的结点集，Vo 是度为奇的结点集，于是有
vVe
d (v) d (v) 2m
vV0
因此上式左边第二项也为偶数，也即度为奇数的结点必为偶数个
图的概念

性质1.1.3 有向图G中正度之和等于负度之和．这是因为每条边对结点的正，负度贡献各为1. 性质1.1.4 K n 的边数是n(n-1)/2. 证明：K n 中各结点的度都是(n-1),由性质 1.1.1就可以得到

图论与代数结构 1.1 基本概念

V={a, b, c, d} E={e1,e2,e3,e4,e5,e6} |V|称为结点数，记为n 该值有限，有限图 |E|称为边数，记为m.该值有限。
有向图无向图
如果每条边都有方向的，则为有向图。如果每条边都没有方向，则为无向图。某些边有方向，某些边没有方向，混合图
邻接 e1 A
e4
B
图论与代数结构
清华大学戴一奇胡冠章等
图的概念-直观定义
• 由结点和连结两个结点的连线所组成的对象称为“图”。 • 至于结点的位置及连线的长度无紧要
A
e4 B
e1 e3 e2
D
e5
C
形式定义：三元组(V(G),E(G),M(E,V))称为图。其中V(G)为点的集合(非空集)，E(G)是边集， M(E,V)=边与点连接关系。常简化为二元组 (V(G),E(G))称为图。简记为 G=(V,E)。
边数=
n(n-1)/2
非空简单图一定存在度相同的结点
证明:图G的结点数记为n。由于它是简单图,无重复边与自环, 每点的度数取值范围是0～n-1. 当没有度数为0的结点时,每点度数的取值范围是1～n-1，根据鸽巢原则，这n个点中至少有 2个点的度数相同。当有度数为0的结点时,剔除所有度数为0的结点,对剩下来的结点所组成的图使用前面的证明.
U3
1、可构作双射g: V(c)→V(d)，其中g(a)=u3， g(b)=u1，g(c)=u4，g(d)=u2。 2、<a,b>→<u3,u1>，<b,d>→<u1,u2>， <a,c>→<u3,u4>，<c,d>→<u4,u2>
e5 e2

图论与代数结构第一二三章习题解答

习题一1. 一个工厂为一结点；若两个工厂之间有业务联系，则此两点之间用边相联；这样就得到一个无向图。

若每点的度数为3,则总度数为27,与图的总度数总是偶数的性质矛盾。

若仅有四个点的度数为偶数，则其余五个点度数均为奇数，从而总度数为奇数，仍与图的总度数总是偶数的性质矛盾。

（或者利用度数为奇数的点的个数必须为偶数个）m <= (n-1)( n-2)/2,与题设矛盾。

3•记a i为结点V i的正度数，a「为结点V i的负度数，则n n n nv a j 2「[ (n -1) - a" ]2 = n(n -1)2-2( n-1)、a「a「i 4 i 4n因为Z a「= c n = n(n -1)/2,i討4. 用向量（a1,a2,a3）表示三个量杯中水的量，其中a i为第i杯中水的量,i = 1,2,3.以满足a1+a2+a3 = 8 （a1,a2,a3为非负整数）的所有向量作为各结点，如果⑻耳厲）中某杯的水倒满另一杯得到（a' a' a'）,则由结点到结点画一条有向边。

这样可得一个有向图。

本题即为在此图中找一条由（8, 0, 0 ）到（4, 4, 0 ）的一条有向路，以下即是这样的一条：(8 0 0 ).(5 0 3 )■( 5 3 0 )• f 0 Q \(2, 5, 1 ) (8, 0, 0丿 f ( 5, 0, 3丿r ( 5, 3, 0丿----- r■t / 4 4 O \ -----►(4, 4, 0 )T(7, 0, 1 )■ ( 7, 1, 0 )1^ ( 4, 1, 3 )5. 可以。

6若9个人中没有4个人相互认识，构造图G,每个点代表一个点，两个人相互认识则对应的两个点之间有边。

1）若可以找到点v, d（v）＞5，则与v相连的6个点中，要么有3个相互认识，要么有3个相互不认识（作K6并给边涂色：红=认识，蓝=不认识，只要证图中必有同色三角形。

集合论、图论重要习题100

集合论、图论重要习题100例：1、设A,B是两个集合,B≠￠,试证:若A×B=B×B, 则A=B。

2、设A,B,C,D是任意四个集合，证明：（A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D)3、某班30名学生中学英语有7人，学日语有5人，这两科都选有3人，问两科都不选的有多少人？(|AC∩BC|+|A∪B|=30, |AC∩BC|=21人)4、令N={1,2,3,…}，S:N→N，则(1)?n∈N,S(n)=n+1,Ｓ称为自然数集N上的后继函数。

(2)S(1)=1,?n∈N,S(n)=n-1,n≥2,Ｓ称为自然数集N 上的前仆函数。

5、设f:N×N →N,f((x,y))=xy。

则（1）说明f是否是单射、满射或双射？（2）求f(N×{1}),f-1({0})。

(1,4)≠(2,2),f((1,4))=f((2,2))=4；y∈N,f((1,y))=1·y=y,任一元都有原象；[f不是单射,f是满射]f(N×{1})={n·1|n ∈N}=N；f-1({0})={(x,y)|xy=0}={N×{0}}?{{0}×N}。

6、设R、I、N是实数、整数、自然数集合，下面定义映射f1,f2,f3,f4,f5,f6，试确定它们的性质。

（0 ∈N）（1）f1:R→R,f1(x)=2x；（2）f2:I→N,f2(x)=|x|；f1单射，不是满射。

f2不是单射，满射。

（3）f3:N→N,f3(n)=n(mod3)；（4）f4:N→N×N,f4(n)=(n,n+1)；f3不是单射，不是满射；f4单射，不是满射。

（5）f5:R→R,f5(x)=x+2；（6）f6:R→R,f6(x)=x2,x≥0,f6(x)=-2,x<0；f5是双射(单射,满射)；f6不是单射,不是满射。

7、证明：在52个正整数中，必有两个整数，使得这两个整数之和或差能被100整除。

离散数学——图论

全图。由此得到图中点与边之间的数量关系。
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42
§8.3欧拉图
❖ 欧拉图产生的背景就是前面的七桥问题。
❖ 定义：图G的回路，若它通过G中的每条边一次，这样的回路称为欧拉回路。具有欧拉回路的图称为欧拉图。
❖ 定义欧拉通路：通过图G中每条边一次的通路（非回路）称为欧拉通路。
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27
正则图
❖ 所有结点均有相同次数d的图称为d次正则图。 ❖ 如4阶的完全图是3次正则图，是对角线相连
的四边形。 ❖ 试画出两个2次正则图。
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两图同构需满足的条件
❖ 若两个图同构，必须满足下列条件：（1）结点个数相同（2）边数相同（3）次数相同的结点个数相同
❖ 例子
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❖ 1847年德国的克希霍夫(G.R.Kirchoff)将树的概念和理论应用于工程技术的电网络方程组的研究。
❖ 1857年英国的凯莱(A.Cayley)也独立地提出了树的概念，并应用于有机化合物的分子结构的研究中。
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4
❖ 1936年匈牙利的数学家哥尼格(D.Konig) 发表了第一部集图论二百年研究成果于一书的图论专著《有限图与无限图理论》，这是现代图论发展的里程碑，标志着图论作为一门独立学科。
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连通性
❖ 定义：无向图，若它的任何两结点间均是可达的，则称图G是连通图；否则为非连通图。
❖ 定义：有向图，如果忽略图的方向后得到的无向图是连通的，则称此有向图为连通图。否则为非连通图。
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有向连通图
❖ 定义：设G为有向连通图， ❖ 强连通：G中任何两点都是可达的。 ❖ 单向连通：G中任何两结点间，至少存在一个方向

离散数学知识点总结

离散数学知识点总结1. 集合论- 集合的基本概念：集合、元素、子集、幂集、并集、交集、差集、补集。

- 集合的运算：德摩根定律、分配律、结合律、交换律。

- 有限集合和无限集合：可数与不可数集合、阿列夫零、阿列夫一。

2. 数理逻辑- 命题逻辑：命题、联结词、真值表、逻辑等价、逻辑蕴含、逻辑独立。

- 一阶谓词逻辑：量词、谓词、解释、满足、逻辑公式、全称量词、存在量词。

- 证明方法：直接证明、间接证明、反证法、数学归纳法。

3. 递归关系和函数- 递归定义：递归方程、初始条件、递归函数。

- 递归函数的例子：阶乘、斐波那契数列。

- 函数的性质：单射、满射、双射、复合函数。

4. 图论- 图的基本概念：顶点、边、路径、回路、图的同构。

- 图的类型：无向图、有向图、简单图、多重图、连通图、强连通图。

- 图的算法：欧拉路径、哈密顿回路、最短路径（Dijkstra算法）、最小生成树（Prim算法、Kruskal算法）。

5. 组合数学- 排列与组合：排列数、组合数、二项式定理。

- 组合恒等式：Pascal三角形、组合恒等式。

- 组合问题：计数原理、Inclusion-Exclusion原理。

6. 布尔代数- 布尔运算：AND、OR、NOT、XOR、NAND、NOR、XNOR。

- 布尔表达式的简化：卡诺图、奎因-麦克拉斯基方法。

- 布尔函数的表示：真值表、卡诺图、逻辑表达式。

7. 关系论- 关系的基本概念：笛卡尔积、自反性、对称性、传递性。

- 关系的类型：等价关系、偏序关系、全序关系。

- 关系的闭包：自反闭包、对称闭包、传递闭包。

8. 树和森林- 树的基本概念：节点、边、根、叶、子树、兄弟、祖先、子孙。

- 特殊类型的树：二叉树、平衡树、B树、B+树。

- 树的遍历：前序遍历、中序遍历、后序遍历、层次遍历。

9. 算法复杂度- 时间复杂度：最好情况、最坏情况、平均情况、大O表示法。

- 空间复杂度：算法空间需求的分析。

- 渐进分析：渐进紧确界、大Θ表示法、小o和大O的非正式描述。

图论简介

关于有 n 结点 m 边的(n,m)图度的定理
• 定理1-1 令 v1,…,vn为图的所有结点,则 i=1n deg(vi)=2m. (1) 定理1-2 任何图中度为奇数的结点必பைடு நூலகம்偶数个.
图的同构
定义:对给定两个图 G=V,E,G=V,E,若存在双射 f:VV 使对任意a,bV, (a,b)E (f(a),f(b))E,并且(a,b)与 (f(a),f(b))有相同重数,则称 G 与 G同构,记为 GG. 注:① 两图同构是相互的: GG GG. ② 两图同构时不仅结点之间要有一一对应关系, 而且要求这种对应关系保持结点间的邻接关系. 对有向图同构还要求保持边的方向. ③ 寻求判断图同构的简单有效方法仍是图论待解决的重要问题.
无向图 G 能否一笔画的问题等价于 G 是否有一条Euler路径(回路)的问题
a
1 b 2 3 9 6 4 5 8 7
若图只有两个奇结点,则任何Euler路径必从其中一点开始到另一点结束.利用这条规律, 先在此2奇点之间加条边使之变成Euler图并画出一条Euler回路,然后再去掉所加的边即得一条Euler路径.
同构图举例
4 2 1 a c 3 1 2 3
G
4 a 5 d 6
H H’
b
G’
d b
f c e
G G’ 1a,2b,3c, 4d
H H’ 1a,2b,3c, 4d,5e,6f
非同构图举例
存在结点数及每个结点对应度都相等的两个图仍然不同构的情况.; 如下:(注意:两个4度点或邻接或不相邻接)
图的定义与记号
• 图G是一个二重组:G=V,E,其中V是非空有限集合,它的元素称为结点或顶点, E 也是(可空)有限集合,它的元素称为边. • 图G的边e是一个结点二重组:a,b,a,bV,e可以是有序的,称为有向边,简称为弧,a称为弧e 的始点,b称为e的终点; e也可以是无序的,称为无向边.e=a,b时,称e与a,b关联,或a,b与e 关联,或a与b相邻接;关联于同一顶点的一条边称为自回路或环. • 每条边都是无向边的图称为无向图;每条边都是有向边的图称为有向图;我们仅讨论无向图和有向图.

图论简介

图论简介图论属于拓扑学topology。

拓扑学分为一般拓扑学和代数拓扑学，前者来源于数学分析，最终研究一般的拓扑空间和一般的拓扑结构，而后者来源于几何，实际上是一种几何学的分支。

我们主要讨论后者，重点是利用图形的几何拓扑性质。

拓扑性质，就是几何图形在弯曲、变形、拉大、缩小下仍然保持的性质，只是这种变形要求原来不再一起的点不能粘在一起，原来一起的点也不能断开，也就是图形变换前后每点附近的点还是在附近。

这种变换和它的逆变换都是连续的一一对应，称为同胚。

一个图形和它同胚的图形称为拓扑等价。

拓扑学就是研究图形的拓扑性质。

也就是图形经过连续变换下，保持不变的性质。

图论以图为研究对象的数学分支。

图论中的图指的是一些点以及连接这些点的线的总体。

通常用点代表事物，用连接两点的线代表事物间的关系。

图论则是研究事物对象在上述表示法中具有的特征与性质的学科。

看一些例子：一、哥尼斯堡七桥问题。

当时的图论问题是盛行的迷宫问题和游戏问题。

最有代表性的工作是著名数学家L.Euler于1736年解决的哥尼斯堡七桥问题(Konigsberg Seven Bridges Problem)。

东普鲁士的哥尼斯堡城(现今是俄罗斯的加里宁格勒，在波罗的海南岸）位于普雷格尔(Pregel)河的两岸，河中有一个岛，于是城市被河的分支和岛分成了四个部分，各部分通过7座桥彼此相通。

如同德国其他城市的居民一样，该城的居民喜欢在星期日绕城散步。

于是产生了这样一个问题：从四部分陆地任一块出发，按什么样的路线能做到每座桥经过一次且仅一次返回出发点。

这就是有名的哥尼斯堡七桥问题。

哥尼斯堡七桥问题看起来不复杂，因此立刻吸引所有人的注意，但是实际上很难解决。

瑞士数学家(Leonhard Euler)在1736年发表的“哥尼斯堡七桥问题”的文章中解决了这个问题。

这篇论文被公认为是图论历史上的第一篇论文，Euler也因此被誉为图论之父。

欧拉把七桥问题抽象成数学问题---一笔画问题，并给出一笔画问题的判别准则，从而判定七桥问题不存在解。

图论

第7章图论图论是建立和处理离散型数学模型的重要数学工具，它已发展成具有广泛应用的一个数学分支。

图论的发展已有200多年的历史，它最早起源于一些数学游戏的难题研究。

1736年瑞士数学家欧拉（L.Eluer ）发表了关于解决哥尼斯堡七桥问题的一篇文章，标志着图论的正式诞生。

从19世纪中叶到20世纪中叶，图论问题大量出现，如汉密尔顿图问题、四色猜想等。

这些问题的出现进一步促进了图论的发展。

1847年，克希霍夫（Kirchhoff ）用图论分析电网络，这是图论最早应用于工程科学的一个例子。

随着计算机科学的迅猛发展，在现实生活中的许多问题，如交通网络问题，运输的优化问题，社会学中某类关系的研究，都可以用图论进行研究和处理。

图论在计算机领域中，诸如算法、语言、数据库、网络理论、数据结构、操作系统、人工智能等方面都有重大贡献。

本章主要介绍图论的基本概念、基本性质和一些典型应用。

7.1 图的基本概念7.1.1 图的基本概念1.图的定义图在现实生活中随处可见，如交通运输图、旅游图、流程图等。

此处我们只考虑由点和线所组成的图。

这种图能够描述现实世界的很多事情。

例如，用点表示球队，两队之间的连线代表二者之间进行比赛，这样，各支球队的比赛情况就可以用一个图清楚地表示出来。

到底什么是图呢？可用一句话概括：图是用点和线来刻划离散事物集合中的每对事物间以某种方式相联系的数学模型。

因为上述描述太过于抽象，难于理解，因此下面给出图作为代数结构的一个定义。

定义7.1.1 一个图（Graph ）是一个三元组〈)(G V ，)(G E ，G ϕ〉，其中)(G V 是一个非空的节点集合，)(G E 是有限的边集合，G ϕ是从边集合E 到点集合V 中的有序偶或无序偶的映射。

例7.1.1 图G =〈)(G V ，)(G E ，G ϕ〉，其中)(G V =},,,{d c b a ，)(G E =},,,,,{654321e e e e e e ，),()(1b a e G =ϕ，),()(2c a e G =ϕ，),()(3d b e G =ϕ，),()(4c b e G =ϕ，),()(5c d e G =ϕ，),()(6d a e G =ϕ。

图论第二版答案

图论第二版答案【篇一：图论与代数结构第一二三章习题解答】厂为一结点；若两个工厂之间有业务联系，则此两点之间用边相联；这样就得到一个无向图。

若每点的度数为3，则总度数为27，与图的总度数总是偶数的性质矛盾。

若仅有四个点的度数为偶数，则其余五个点度数均为奇数，从而总度数为奇数，仍与图的总度数总是偶数的性质矛盾。

（或者利用度数为奇数的点的个数必须为偶数个） 2. 若存在孤立点，则m不超过kn-1的边数, 故m = (n-1)(n-2)/2, 与题设矛盾。

?－3. 记ai为结点vi的正度数，ai为结点vi的负度数，则nnnn? 2? 22－ai?[(n?1)?ai]?n(n?1)?2(n?1)ai＋ai－2， i?1i?1i?1i?1 nnn－2? 2 因为ai?cn?n(n?1)/2，所以ai?ai－ 2。

i?1i?1i?14. 用向量(a1,a2,a3)表示三个量杯中水的量, 其中ai为第i杯中水的量, i = 1,2,3.以满足a1+a2+a3 = 8 (a1,a2,a3为非负整数)的所有向量作为各结点, 如果(a1,a2,a3)中某杯的水倒满另一杯得到( a’1, a’2, a’3 ) , 则由结点到结点画一条有向边。

这样可得一个有向图。

本题即为在此图中找一条由( 8, 0, 0 )到( 4, 4, 0 )的一条有向路，以下即是这样的一条： ( 8, 0, 0 ) ( 5, 0, 3 ) ( 5, 3, 0 ) ( 2, 3, 3 ) ( 2, 5,1 )(7, 0, 1 ) ( 7, 1, 0 ) ( 4, 1, 3 ) ( 4, 4, 0 )5. 可以。

???????6 若9个人中没有4个人相互认识，构造图g，每个点代表一个点，两个人相互认识则对应的两个点之间有边。

1）若可以找到点v，d(v)5，则与v相连的6个点中，要么有3个相互认识，要么有3个相互不认识（作k6并给边涂色:红=认识，蓝=不认识，只要证图中必有同色三角形。

代数方法在图论中的精彩应用

代数⽅法在图论中的精彩应⽤⽬录Preface⼀直想对GTAC讨论班的⼀些精彩内容做⼀次整理，却⼀直挖不出时间来。

昨晚我们在讨论班教室吃披萨，喝果汁，听了⼀些代数⽅法在图论中的应⽤，度过了愉快的平安夜。

新的⼀年（和ddl）快要来了，是时候做个整理了。

由于 eden 上课不做笔记，忘记了⼀些定理的名字以及来源，再由于时间关系 eden 不能整理得特别详细。

所以凑合着看吧：）Graham-Pollack theoremTheorem 1. (Graham-Pollack theorem) 若完全图K_n可以表⽰为m个互不相交的完全⼆分图的并，则m\ge n-1。

设图K_n的邻接矩阵为A，那么A=J-I（约定J为全1矩阵，I为单位矩阵）。

如果K_n的⼀个⼦图G是完全⼆分图，⼀边的点集为V_1，另⼀边的点集为V_2。

那么该⼦图的邻接矩阵B满⾜：B_{x,y}=B_{y,x}=1,\forall x\inV_1,y\in V_2。

所以B可以拆成⼀个秩⼀矩阵与它的转置之和：B=C^T+C\ (C_{x,y}=1,\forall x\in V_1,y\in V_2)。

K_n可以拆成m个互不相交的完全⼆分图的并，所以A可以表⽰为(C_1+\cdots+C_m)^T+(C_1+\cdots+C_m)，其中C_1,\cdots,C_m都是秩⼀矩阵。

可以推出：\begin{align} I&=J-A=(\frac{1}{2}J-C_1-\cdots-C_m)^T+(\frac{1}{2}J-C_1-\cdots-C_m)\\ &=D^T+D \tag{1.1} \\设\ D&=\frac{1}{2}J-C_1-\cdots-C_m \end{align}假设m<=n-2，那么rank(D)\le rank(J)+rank(C_1)\cdots+rank(C_m)=n-1，取D的右零空间中的⼀个⾮零向量\boldsymbol \alpha，在(1.1)式中左乘\boldsymbol \alpha^T，右乘\boldsymbol \alpha，(1.1)式变为：\boldsymbol \alpha^TI\boldsymbol \alpha=(D\boldsymbol \alpha)^T\boldsymbol \alpha+\boldsymbol \alpha^T(D\boldsymbol \alpha)=0\tag{1.2}这与\boldsymbol \alpha是⾮零向量⽭盾。

一些有关几何的代数图论问题

一些有关几何的代数图论问题
代数图论是数学的一个分支,是近几年发展迅速的一个方向.有限域上的几何学和几何图是十分重要的几何结构和组合结构,它们涉及到很多领域,如结合方案、信息科学、编码等等.一些学者将各类几何空间和图论联系起来研究几何图的性质,并取得了很多研究成果.但是,关于有限域的一些几何图(例如,经典极图,经典对偶极图,格拉斯曼图)的色数与无关数的计算与估计等重要问题还尚未完全解决.在代数图论中,图同态的研究是一个核心问题.一个图G称作核,如果G 的每个图自同态都是图自同构.对于一个图G,一个重要的问题是判别G是否为一个核.本文共分三章.第一章简要介绍了本文的课题研究背景、预备知识和主要结果.第二章主要讨论了经典极图与经典对偶极图的性质、部分几何和它的点图,主要结果是进一步解决了经典极图是否为一个核的判别.本章所得到的主要结果是定理2.1.7和推论2.1.9,定理2.2.15和定理2.3.4.这些结果对代数图论与矩阵几何的研究有一定的意义.第三章主要讨论了格拉斯曼图的性质,研究了低阶格拉斯曼图J_q(4,2)的顶点集的划分与它的最大无关集的计算.。

图论和代数结构

1736年瑞士著名数学家欧拉(Leonhard Euler)发表了图论的第一篇论文“哥尼斯堡七桥问题”。成功地回答了，图中是否存在经过每条边一次且仅一次的回路。
欧拉道路与回路
欧拉道路与回路
定义2.3.1
无向连通图 GV,E中的一条经过所有边的简单
回路(道路)称为G的欧拉回路(道路)。定理2.3.1
无向连通图G存在欧拉回路的充要条件是 G中各结点的度都是偶数。
欧拉道路与回路
定理2.3.1的证明： 1. 必要性：若G中有欧拉回路 C，则C过每条边一
次且仅一次。对任一结点 v来说，如果 C经过 e i 进入v，则一定通过另一条边 e i从 v离开。因此结点 v的度是偶数。
2. 充分性：由于G是有穷图，因此可以断定，从G 的任一结点 v 0 出发一定存在G的一条简单回路 C。这是因为各结点的度都是偶数，所以这条简单道路不可能停留在 v 0 以外的某个点，而不能再向前延伸以致构成回路 C。
欧拉道路与回路
推论2.3.1 若无向连通图 G 中' 只有2个度为奇的结点。则 G 存' 在欧拉道路。
证明：设 v i 和 v j 是两个度为奇数的结点。作 G' G(vi,vj)，则 G '中各点的度都是偶数。由定理2.3.1，G ' 有欧拉回路，它含边 (vi , v j ) ，删去该边，得到一条从 v i 到 v j 的简单道路，它恰好经过了 G的所有边，亦即是一条欧拉道路。
哈密顿回路是初级回路，是特殊的简单回路，因此它与欧拉回路不同。当然在特殊情况下，G的哈密顿回路恰好也是其欧拉回路。鉴于H回路是初级回路，所以如果G中含有重边或自环，删去它们后得到的简单图G’，那么G和G’关于H回路（道路）的存在性是等价的。因此，判定H回路存在性问题一般是针对简单图的。

图论与代数结构

图论与代数结构
图论
图论是一种抽象的数学结构，用来描述复杂的关系。

它用一组节点和边的集合来表示，节点表示实体，边表示实体之间的关系。

图论是用来描述网络结构的理论，它可以用来解决许多实际问题，如路径规划、社交网络分析等。

代数结构
代数结构是一种抽象的数学结构，它用来描述一组元素之间的结构关系。

它是由一组元素和一些运算组成的，这些运算可以用来操作元素，从而得到新的元素。

代数结构可以用来描述群、环、域等数学概念，并可以用来解决许多实际问题，如密码学、编码理论等。