高中数学课时分层作业12导数与函数的单调性含解析北师大版选修2210213110

高中数学课时分层作业12导数与函数的单调性含解析北

师大版选修2210213110

课时分层作业(十二)

(建议用时：60分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1．函数y＝x＋x ln x的单调递减区间是( )

A．(－∞，e－2) B．(0，e－2)

C．(e－2，＋∞) D．(e2，＋∞)

B[因为y＝x＋x ln x，所以定义域为(0，＋∞)．

令y′＝2＋ln x<0，解得0

即函数y＝x＋x ln x的单调递减区间是(0，e－2)，

故选B.]

2．如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图像，则下面判断正确的是( )

A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数

B．在区间(1,3)上f(x)是减函数

C．在区间(4,5)上f(x)是增函数

D．在区间(3,5)上f(x)是增函数

C[由导函数f′(x)的图像知在区间(4,5)上，f′(x)>0，所以函数f(x)在(4,5)上单调递增．故选C.]

3．函数y＝f(x)的图像如图，则其导函数y＝f′(x)的图像可能是( )

A B C D

D[由图像可知函数f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，所以函数f(x)在定义

域内的导函数f ′(x )<0，因此D 正确．]

4．若函数f (x )＝ax 3

－x 在R 上是减函数，则( ) A ．a ≤0 B ．a <1 C ．a <2

D ．a ≤13

A [f ′(x )＝3ax 2

－1．因为函数f (x )在R 上是减函数，所以f ′(x )＝3ax 2

－1≤0恒成立，所以a ≤0.故选A.]

5．已知函数f (x )＝－x 3

＋ax 2

－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )

A ．(－∞，－3)∪[3，＋∞)

B ．[－3，3]

C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)

D ．(－3， 3)

B [由题知，f ′(x )＝－3x 2

＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a 2

－12≤0⇒－3≤a ≤ 3.]

二、填空题

6．函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为__________．

⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π [令f ′(x )＝1－2cos x >0，则cos x <12，又x ∈(0，π)，解得π3

⎪⎫π3，π.]

7．函数y ＝13x 3－ax 2

＋x －2a 在R 上不是单调函数，则a 的取值范围是________．

(－∞，－1)∪(1，＋∞) [由y ′＝x 2

－2ax ＋1有两个不相等零点，得Δ＝(－2a )2

－4>0，得a 2

>1，解得a <－1或a >1．]

8．若函数y ＝－43

x 3

＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是__________．

(0，＋∞) [若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则y ′＝－4x 2

＋b ＝0有两个不相等

的实数根，所以b >0.]

三、解答题

9．若函数f (x )＝x 3

－mx 2

＋2m 2

－5的单调递减区间是(－9，0)，求m 的值及函数的其他单调区间．

[解] 因为f ′(x )＝3x 2

－2mx ， 所以f ′(x )<0，即3x 2－2mx <0.

由题意，知3x 2

－2mx <0的解集为(－9,0)， 即方程3x 2

－2mx ＝0的两根为x 1＝－9，x 2＝0. 由根与系数的关系，得－－2m 3＝－9，即m ＝－27

2.

所以f ′(x )＝3x 2

＋27x .

令3x 2

＋27x >0，解得x >0或x <－9.

故(－∞，－9)，(0，＋∞)是函数f (x )的单调递增区间．

综上所述，m 的值为－27

2，函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－9)，(0，＋∞)．

10．已知函数f (x )＝12x 2

＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )的单调区间．

[解] 函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋a x

.

①当a >0时，因为函数定义域是(0，＋∞)，于是有f ′(x )＝x ＋a x

>0，所以函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间．

②当a <0时，因为函数定义域是(0，＋∞)，于是由f ′(x )＝x ＋a x

>0得x >－a ， 由f ′(x )＝x ＋a x

<0，得0

所以函数的单调递增区间是(－a ，＋∞)；单调递减区间是(0，－a )． 综上所述，当a >0时，f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间． 当a <0时，f (x )的单调递增区间是(－a ，＋∞)，单调递减区间是(0，－a )．

[能力提升练]

1．已知函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图像如图所示，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图像可能是( )

D [由题图，知函数g ′(x )为增函数，f ′(x )为减函数，且都在x 轴上方，所以g (x )的图像上任一点的切线的斜率都大于0且在增大，而f (x )的图像上任一点的切线的斜率都大于0且在减小．又由f ′(x 0)＝g ′(x 0)，知选D.]

2．设f (x )，g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a

A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )

B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )

C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )

D ．f (x )g (x )>f (a )g (a ) C [因为⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x ).又因为f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，所以f (x )

g (x )在R 上为减函数．又因为a

f (a )

g (a )>f (x )g (x )>f (b )

g (b )

，又因为f (x )>0，g (x )>0，所以f (x )g (b )>f (b )g (x )．因此选C.]

3．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )

A ．(－1,1)

B ．(－1，＋∞)

C ．(－∞，－1)

D ．(－∞，＋∞)

B [构造函数g (x )＝f (x )－(2x ＋4)， 则g (－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f ′(x )>2． ∴g ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴g (x )是R 上的增函数． ∴f (x )>2x ＋4⇔g (x )>0⇔g (x )>g (－1)， ∴x >－1．]

4．若函数f (x )＝x 3

＋x 2

＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围为________．

⎣⎢⎡⎭

⎪⎫13，＋∞ [f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由于f (x )是R 上的单调函数，所以f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立．