高中数学必修1全册学案(完整word版)[精品含答案]

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高中数学人教A版必修第一册 学案与练习 对数函数的概念、图象及性质

高中数学人教A版必修第一册 学案与练习 对数函数的概念、图象及性质

4.4 对数函数学习目标1.通过对数函数的概念及对数函数图象和性质的学习,培养数学抽象、直观想象素养.2.通过对数函数图象和性质的应用,培养逻辑推理、数学运算素养.第1课时对数函数的概念、图象及性质1.对数函数的概念一般地,函数y=log a x(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞).2.对数函数的图象与性质我们可以借助指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质:对数函数的概念[例1] (1)下列函数是对数函数的是( )A.y=lg 10xB.y=log3x2C.y=ln xD.y=lo g13(x-1)(2)若函数f(x)=log a x+(a2-4a-5)是对数函数,则实数a= . 解析:(1)由对数函数的定义,得y=log a x(a>0,a≠1)是对数函数,由此得到y=ln x是对数函数.故选C.(2)由对数函数的定义可知,{a2-4a-5=0,a>0,a≠1,解得a=5.答案:(1)C (2)5判断一个函数是否为对数函数的方法判断一个函数是对数函数必须是形如y=log a x(a>0,且a ≠1)的形式,即必须满足以下条件: (1)系数为1.(2)底数为大于0,且不等于1的常数. (3)对数的真数仅有自变量x.针对训练1:(1)若函数y=log a x+a 2-3a+2为对数函数,则a 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4(2)已知对数函数的图象过点M(9,2),则此对数函数的解析式为 .解析:(1)因为函数y=log a x+a 2-3a+2为对数函数,所以{a 2-3a +2=0,a >0,a ≠1,解得a=2.故选B. (2)设函数f(x)=log a x(x>0,a>0,且a ≠1),因为对数函数的图象过点M(9,2),所以2=log a 9,所以a 2=9,又a>0, 解得a=3.所以此对数函数的解析式为y=log 3x. 答案:(1)B (2)y=log 3x对数型函数的定义域[例2] 求下列函数的定义域.(1)y=log a (3-x)+log a (3+x)(a>0,且a ≠1); (2)f(x)=1log 12(2x+1).解:(1)由{3-x >0,3+x >0,得-3<x<3,所以函数的定义域是{x|-3<x<3}.(2)由题意有{2x +1>0,2x +1≠1,解得x>-12,且x ≠0,则函数的定义域为(-12,0)∪(0,+∞).(1)求解含对数式的函数定义域,若自变量在底数和真数上,要保证真数大于0,底数大于0,且不等于1. (2)对数函数y=log a x 的定义域为(0,+∞).(3)形如y=log g(x)f(x)的函数,定义域由{f (x )>0,g (x )>0,g (x )≠1来确定.(4)形如y=f(log a x)的复合函数在求定义域时,必须保证每一部分都要有意义.针对训练2:函数f(x)=√lgx +lg(5-3x)的定义域是( ) A.[0,53) B.[0,53]C.[1,53) D.[1,53]解析:函数f(x)=√lgx +lg(5-3x)的定义域是{x|{x >0,lgx ≥0,5-3x >0},即{x|1≤x<53}.故选C.对数函数的图象类型一 对数型函数图象过定点问题[例3] (1)函数y=log a (x-3)+1(a>0,且a ≠1)的图象恒过定点P ,则点P 的坐标是()A.(4,1)B.(3,1)C.(4,0)D.(3,0)(2)若函数y=log a (x-1)+8(a>0,且a ≠1)的图象过定点P ,且点P 在幂函数f(x)=x α(α∈R)的图象上,则f(12) = .解析:(1)令x-3=1,求得x=4,y=1, 可得它的图象恒过定点P(4,1).故选A. (2)令x-1=1,解得x=2,此时y=8,此函数图象过定点P(2,8). 由点P 在幂函数f(x)=x α(α∈R)的图象上知, 2α=8,解得α=3,所以f(x)=x 3, 所以f(12)=( 12) 3=18.答案:(1)A (2)18涉及与对数函数有关的函数图象过定点问题的一般规律:若f(x)=klog a g(x)+b(a>0,且a ≠1),且g(m)=1,则f(x)图象过定点P(m ,b).针对训练3:(1)(多选题)下列四个函数中过相同定点的函数有( ) A.y=ax+2-a B.y=x a-2+1C.y=a x-3+1(a>0,a ≠1)D.y=log a (2-x)+1(a>0,a ≠1)(2)已知函数f(x)=log a(x-m)+n的图象恒过定点(3,5),则lg m+lg n 的值是.(3)函数y=log a(2x-1)+3(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,则点P的坐标是.解析:(1)由于函数y=ax+2-a=a(x-1)+2,令x=1,可得y=2,故该函数经过定点(1,2),由于函数y=x a-2+1,令x=1,可得y=2,故该函数经过定点(1,2),由于y=a x-3+1(a>0,a≠1),令x-3=0,求得x=3,y=2,故该函数经过定点(3,2),由于y=log a(2-x)+1(a>0,a≠1),令2-x=1,求得x=1,y=1,故该函数经过定点(1,1).故选AB.(2)函数f(x)=log a(x-m)+n的图象恒过定点(1+m,n),又函数f(x)的图象恒过定点(3,5),故1+m=3,n=5,即m=2,n=5,所以lg m+lg n=lg 2+lg 5=lg 10=1.(3)令2x-1=1,得x=1,y=3,所以函数的图象恒过定点P(1,3). 答案:(1)AB (2)1 (3)(1,3)类型二对数型函数图象的识别[例4] 函数y=-lg |x+1|的大致图象为( )解析:法一函数y=-lg |x+1|的定义域为{x|x≠-1},可排除A,C;当x=1时,y=-lg 2<0,显然只有D符合题意.故选D.法二y=-lg |x+1|={-lg(x+1),x>-1, -lg(-x-1),x<-1,又x∈(-1,+∞)时,y=-lg(x+1)是减函数.故选D.对数型函数图象的识别一定要注意利用对数式的真数大于0确定函数的定义域,注意利用对数型函数图象所过定点,同时结合单调性进行判断,也可以利用函数图象的变换进行判断.针对训练4:(1)(2021·河南开封期末)函数y=|lg(x+1)|的图象是( )(2)如图,①②③④中不属于函数y=log2x,y=log0.5x,y=-log3x的一个是( )A.①B.②C.③D.④解析:(1)函数的定义域为(-1,+∞),图象与x轴的交点是(0,0).故选A.(2)根据函数的图象,函数y=log a x(a>0,且a≠1)的底数决定函数的单调性,当底数a>1时,函数单调递增,当0<a<1时,函数单调递减,当底数a>1,x>1时,满足底数越大函数的图象越靠近x轴,故①对应函数y=log2x的图象,根据对称性,④对应函数y=log0.5x的图象,③对应函数y=-log3x的图象,②与函数的图象相矛盾,故②不符合题意.故选B.类型三根据图象求解析式中的参数的范围[例5] 已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数.其中a>0,a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( )A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1解析:因为函数单调递减,所以0<a<1.当x=1时,log a(x+c)=log a(1+c)<0,即1+c>1,所以c>0,当x=0时,log a(x+c)=log a c>0,所以0<c<1.故选D.根据图象求解析式中的参数的范围和图象识别的方法是一致的,也是主要利用函数的单调性和图象上特殊点的坐标的大小建立有关参数的不等式.针对训练5:(1)如图,若C1,C2分别为函数y=log a x和y=log b x的图象,则( )A.0<a<b<1B.0<b<a<1C.a>b>1D.b>a>1(2)已知定义在R上的函数f(x)=log2(a x-b+1)(a>0,a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是( )A.0<1a <1b<1 B.0<1b<a<1C.0<b<1a <1 D.0<1a<b<1解析:(1)由对数的性质log a a=1(a>0,且a≠1),画一条直线y=1,如图所示,由图可知0<b<a<1.故选B.(2)由函数单调性可知,a>1,f(0)=log2(1-b+1),故0<log2(1-b+1)<1,解得0<b<1,由log2(a-1-b+1)<0可得a-1<b,所以0<1a<b<1.故选D.典例探究:如图,直线x=t与函数f(x)=log3x和g(x)=log3x-1的图象分别交于点A,B,若函数y=f(x)的图象上存在一点C,使得△ABC为等边三角形,则t的值为( )A.√3+22B.3√3+32C.3√3+34D.3√3+3解析:由题意A(t ,log 3t),B(t ,log 3t-1),|AB|=1, 设C(x ,log 3x),因为△ABC 是等边三角形,所以点C 到直线AB 的距离为√32,所以t-x=√32,x=t-√32,所以C(t-√32,log 3(t-√32)), 根据中点坐标公式可得log 3(t-√32) =log 3t+log 3t -12=log 3t-12=log 3√3,所以t-√32=√3,解得t=3√3+34.故选C.应用探究:已知正方形ABCD 的面积为36,BC 平行于x 轴,顶点A ,B 和C 分别在函数y=3log a x ,y=2log a x 和y=log a x(其中a>1)的图象上,则实数a 的值为( ) A.√3 B.√6 C.√36D.√63解析:设B(x ,2log a x),因为BC 平行于x 轴,所以C(x ′,2log a x),即log a x ′=2log a x ,所以x ′=x 2,所以正方形ABCD 的边长|BC|=x 2-x=6,解得x=3.由已知,AB 垂直于x 轴,所以A(x ,3log a x),正方形ABCD 的边长|AB|=3log a x-2log a x=log a x=6,即log a 3=6,a 6=3,a=√36.故选C.1.函数f(x)=log 2(3+2x-x 2)的定义域为( C ) A.[-1,3] B.(-∞,-1)∪(3,+∞) C.(-1,3) D.(-∞,-1)∪[3,+∞)解析:由3+2x-x 2>0,得-1<x<3,所以f(x)的定义域为(-1,3).故选C.2.已知对数函数f(x)的图象过点(4,12),则f(x)等于( A )A.log 16xB.log 8xC.log 2xD.lo g 116x解析:由题意设f(x)=log a x(a>0,且a ≠1),由函数图象过点(4,12)可得f(4)=12,即log a 4=12,所以4=a 12,解得a=16,故f(x)=log 16x.故选A.3.如图所示的曲线是对数函数y=log a x ,y=log b x ,y=log c x ,y=log d x 的图象,则a ,b ,c ,d 与1的大小关系为 .解析:由题图可知函数y=log a x ,y=log b x 的底数a>1,b>1,函数y=log c x ,y=log d x 的底数0<c<1,0<d<1.过点(0,1)作平行于x 轴的直线l(图略),则直线l 与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c ,d ,a ,b ,显然b>a>1>d>c>0. 答案:b>a>1>d>c4.已知函数y=log a (x+3)+89(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 也在函数f(x)=3x -b 的图象上,则b= . 解析:对于y=log a (x+3)+89,令x+3=1,得x=-2,则y=89,所以函数y=log a (x+3)+89(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A(-2,89),又点A 也在函数f(x)=3x -b 的图象上, 则89=3-2-b ,求得b=-79.答案:-79[例1] 已知函数y=f(x)的定义域是[0,2],那么g(x)=f (x 2)1+lg (x+1)的定义域是( )A.(-1,-910)∪(-910,√2]B.(-1,√2]C.(-1,-910)D.(-910,√2)解析:依题意,{0≤x 2≤2,x +1>0,1+lg (x +1)≠0,解得-1<x<-910或-910<x ≤√2.故选A.[例2] 已知函数y=log 3x 的图象上有两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),且线段AB 的中点在x 轴上,则x 1·x 2= .解析:因为函数y=log 3x 的图象上有两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 所以y 1=log 3x 1,y 2=log 3x 2.根据中点坐标公式得y1+y2=0,即log3x1+log3x2=0,所以log3(x1x2)=0,x1·x2=1.答案:1[例3] (1)求函数f(x)=log a(a x-1)(a>0,且a≠1)的定义域;(2)求函数f(x)=log a[(a-1)x-1]的定义域.解:(1)由a x-1>0,即a x>1,当a>1时,f(x)的定义域为(0,+∞),当0<a<1时,f(x)的定义域为(-∞,0).(2)由题意(a-1)x-1>0,且a>0,a≠1,当a>1时,x>1;a-1.当0<a<1时,x<1a-1所以当a>1时,f(x)的定义域为(1,+∞);a-1当0<a<1时,f(x)的定义域为(-∞,1).a-1[例4] 已知函数f(x)=lg(a x-b x)(a>1>b>0).(1)求y=f(x)的定义域;(2)证明f(x)是增函数;(3)当a,b满足什么条件时,f(x)在(1,+∞)上恒取正值?(1)解:要使函数有意义,必有a x-b x>0,a>1>b>0,可得(a) x>1,解得x>0,b函数的定义域为(0,+∞).(2)证明:设g(x)=a x-b x,再设x1,x2是(0,+∞)上的任意两个数,且x1<x2,则g(x1)-g(x2)=a x1-b x1-a x2+b x2=(a x1-a x2)+(b x2-b x1),对于函数y=a x为增函数,y=b x为减函数,所以a x1-a x2<0,b x2-b x1<0,所以g(x1)-g(x2)<0,所以g(x)在(0,+∞)上为增函数,因为y=lg x在(0,+∞)上为增函数,所以f(x)在(0,+∞)上为增函数.(3)解:因为f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以命题f(x)恰在(1,+∞)取正值等价于f(1)≥0,所以a-b≥1.选题明细表基础巩固1.函数f(x)=ln(x+2)+的定义域为( B )√2-xA.(2,+∞)B.(-2,2)C.(-∞,-2)D.(-∞,2)解析:由题意可知{x +2>0,2-x >0,解得-2<x<2.故选B.2.已知f(x)=a -x ,g(x)=log a x ,且f(2)·g(2)>0,则函数f(x)与g(x)的图象是( D )解析:因为f(2)·g(2)>0,所以a>1,所以f(x)=a -x 与g(x)=log a x 在其定义域上分别是减函数与增函数.故选D.3.已知函数f(x)=a x-1+log b x-1(a>0,且a ≠1,b>0,且b ≠1),则f(x)的图象过定点( C ) A.(0,1) B.(1,1) C.(1,0) D.(0,0)解析:当x=1时,f(1)=a 0+log b 1-1=1+0-1=0,所以f(x)的图象过定点(1,0).故选C.4.(多选题)函数f(x)=log a (x+2)(0<a<1)的图象过( BCD ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解析:作出函数f(x)=log a (x+2)(0<a<1)的大致图象如图所示,则函数f(x)的图象过第二、第三、第四象限.故选BCD.5.已知f(x)为对数函数,f(12)=-2,则f(√43)= .解析:设f(x)=log a x(a>0,且a ≠1), 则log a 12=-2,所以1a2=12,即a=√2,所以f(x)=lo g √2x ,所以f(√43)=lo g √2 √43=log 2(√43)2=log 2243=43.答案:436.(2021·江苏启东期末)已知函数f(x)=log a (x+b)(a>0,a ≠1,b ∈R)的图象如图所示,则a= ,b= .解析:由图象得{log a (0+b )=2,log a (-2+b )=0,解得{a =√3,b =3.答案:√3 3能力提升7.已知函数y=lg(x 2-3x+2)的定义域为A ,y=lg(x-1)+lg(x-2)的定义域为B ,则( D ) A.A ∩B= B.A=BC.A ⫋BD.B ⫋A解析:由x 2-3x+2>0,解得x<1或x>2, 所以A=(-∞,1)∪(2,+∞);由{x -1>0,x -2>0,解得x>2,所以B=(2,+∞).故B ⫋A.故选D.8.已知等式log 2m=log 3n ,m ,n ∈(0,+∞)成立,那么下列结论:①m=n;②n<m<1;③m<n<1;④1<n<m;⑤1<m<n.其中可能成立的是( B ) A.①② B.①②⑤ C.③④ D.④⑤解析:当m=n=1时,有log 2m=log 3n ,故①可能成立;当m=14,n=19时,有log 2m=log 3n=-2,故②可能成立;当m=4,n=9时,有log 2m=log 3n=2,此时1<m<n ,故⑤可能成立.可能成立的是①②⑤.故选B. 9.如图,四边形OABC 是面积为8的平行四边形,OC ⊥AC ,AC 与BO 交于点E.某对数函数y=log a x(a>0,且a ≠1)的图象经过点E 和点B ,则a= .解析:设点E(b ,c),则C(b ,0),A(b ,2c),B(2b ,2c), 则{2bc =8,log a b =c ,log a (2b )=2c ,解得b=c=2,a=√2.答案:√210.已知f(x)=|log 3x|. (1)画出函数f(x)的图象;(2)讨论关于x 的方程|log 3x|=a(a ∈R)的解的个数. 解:(1)f(x)={log 3x ,x ≥1,-log 3x ,0<x <1,函数f(x)的图象如图所示.(2)设函数y=|log 3x|和y=a ,当a<0时,两图象无交点,原方程解的个数为0个. 当a=0时,两图象只有1个交点,即原方程只有1个解. 当a>0时,两图象有2个交点,即原方程有2个解. 11.已知函数f(x)=log 2[ax 2+(a-1)x+14].(1)若定义域为R ,求实数a 的取值范围; (2)若值域为R ,求实数a 的取值范围.解:(1)要使f(x)的定义域为R ,则对任意实数x 都有t=ax 2+(a-1)x+14>0恒成立.当a=0时,不合题意;当a ≠0时,由二次函数图象(图略)可知{a >0,Δ=(a -1)2-a <0,解得3-√52<a<3+√52.故所求实数a 的取值范围为(3-√52,3+√52).(2)要使f(x)的值域为R ,则有t=ax 2+(a-1)x+14的值域必须包含(0,+∞).当a=0时,显然成立;当a ≠0时,由二次函数图象(图略)可知,其图象必须与x 轴相交,且开口向上, 所以{a >0,Δ=(a -1)2-a ≥0, 解得0<a ≤3-√52或a ≥3+√52.故所求a 的取值范围为[0,3-√52]∪[3+√52,+∞).应用创新12.已知函数f(x)=|log 2x|,正实数m ,n 满足m<n ,且f(m)=f(n),若f(x)在区间[m 2,n]上的最大值为2,则n+m= . 解析:根据题意并结合函数f(x)=|log 2x|的图象知,0<m<1<n ,所以0<m 2<m<1.根据函数图象易知,当x=m 2时函数f(x)取得最大值,所以f(m 2)=|log 2m 2|=2.又0<m<1,解得m=12.再结合f(m)=f(n)求得n=2,所以n+m=52.答案:52。

(完整word版)高中数学必修1第一章导学案

(完整word版)高中数学必修1第一章导学案

1.1.1 集合的含义与表示 第1课时 集合的含义学习目标 1.了解集合与元素的含义.2.理解集合中元素的特征,并能利用它们进行解题.3.理解集合与元素的关系.4.掌握数学中一些常见的集合及其记法.知识点一 集合的概念思考 有首歌中唱道“他大舅他二舅都是他舅”,在这句话中,谁是集合?谁是集合中的元素?答案 “某人的舅”是一个集合,“某人的大舅、二舅”都是这个集合中的元素. 梳理 元素与集合的概念(1)把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母a ,b ,c ,…表示.(2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母A ,B ,C ,…表示. 知识点二 元素与集合的关系思考 1是整数吗?12是整数吗?有没有这样一个数,它既是整数,又不是整数?答案 1是整数;12不是整数.没有.梳理 元素与集合的关系有且只有两种,分别为属于、不属于,数学符号分别为∈、∉. 知识点三 元素的三个特性思考1 某班所有的“帅哥”能否构成一个集合?某班身高高于175厘米的男生能否构成一个集合?集合元素确定性的含义是什么?答案 某班所有的“帅哥”不能构成集合,因“帅哥”无明确的标准.高于175厘米的男生能构成一个集合,因标准确定.元素确定性的含义:集合中的元素必须是确定的,也就是说,给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.思考2构成单词“bee”的字母形成的集合,其中的元素有多少个?答案2个.集合中的元素互不相同,这叫元素的互异性.思考3“中国的直辖市”构成的集合中,元素包括哪些?甲同学说:“北京、上海、天津、重庆”;乙同学说:“上海、北京、重庆、天津”,他们的回答都正确吗?由此说明什么?怎么说明两个集合相等?答案两个同学都说出了中国直辖市的所有城市,因此两个同学的回答都是正确的.由此说明,集合中的元素是无先后顺序的,这就是元素的无序性.只要构成两个集合的元素一样,我们就称这两个集合是相等的.梳理元素的三个特性是指确定性、互异性、无序性.知识点四常用数集及表示符号类型一判断给定的对象能否构成集合例1考察下列每组对象能否构成一个集合.(1)不超过20的非负数;(2)方程x2-9=0在实数范围内的解;(3)某班的所有高个子同学;(4)3的近似值的全体.解(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”,所以能构成集合;(2)能构成集合;(3)“高个子”无明确的标准,对于某个人算不算高个子无法客观地判断,因此不能构成一个集合;(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度,因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值,所以不能构成集合.反思与感悟判断给定的对象能不能构成集合,关键在于是否给出一个明确的标准,使得对于任何一个对象,都能按此标准确定它是不是给定集合的元素.跟踪训练1下列各组对象可以组成集合的是()A.数学必修1课本中所有的难题B.小于8的所有素数C.直角坐标平面内第一象限的一些点D.所有小的正数答案B解析 A 中“难题”的标准不确定,不能构成集合;B 能构成集合;C 中“一些点”无明确的标准,对于某个点是否在“一些点”中无法确定,因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合;D 中没有明确的标准,所以不能构成集合. 类型二 元素与集合的关系 命题角度1 判定元素与集合的关系 例2 给出下列关系:①12∈R ;②2∉Q ;③|-3|∉N ;④|-3|∈Q ;⑤0∉N ,其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B解析 12是实数,①对;2不是有理数,②对;|-3|=3是自然数,③错;|-3|=3为无理数,④错;0是自然数,⑤错.故选B.反思与感悟 要判断元素与集合的关系,首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集,如N ,R ,Q ,概念要清晰);其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件. 跟踪训练2 用符号 “∈”或“∉”填空. -2________R ; -3________Q ; -1________N ; π________Z . 答案 ∈ ∈ ∉ ∉命题角度2 根据已知的元素与集合的关系推理例3 集合A 中的元素x 满足63-x ∈N ,x ∈N ,则集合A 中的元素为________.答案 0,1,2解析 ∵x ∈N ,63-x ∈N ,∴0≤x ≤2且x ∈N .当x =0时,63-x =63=2∈N ;当x =1时,63-x =63-1=3∈N ;当x =2时,63-x =63-2=6∈N .∴A 中元素有0,1,2.反思与感悟 判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法①使用前提:集合中的元素是直接给出的.②判断方法:首先明确集合是由哪些元素构成,然后再判断该元素在已知集合中是否出现. (2)推理法①使用前提:对于某些不便直接表示的集合.②判断方法:首先明确已知集合的元素具有什么特征,然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征.跟踪训练3 已知集合A 中元素满足2x +a >0,a ∈R ,若1∉A,2∈A ,则( ) A.a >-4 B.a ≤-2 C.-4<a <-2 D.-4<a ≤-2答案 D解析 ∵1∉A ,∴2×1+a ≤0,a ≤-2.又∵2∈A ,∴2×2+a >0,a >-4,∴-4<a ≤-2. 类型三 元素的三个特性的应用例4 已知集合A 有三个元素:a -3,2a -1,a 2+1,集合B 也有三个元素:0,1,x . (1)若-3∈A ,求a 的值; (2)若x 2∈B ,求实数x 的值; (3)是否存在实数a ,x ,使A =B .解 (1)由-3∈A 且a 2+1≥1,可知a -3=-3或2a -1=-3,当a -3=-3时,a =0;当2a -1=-3时,a =-1.经检验,0与-1都符合要求. ∴a =0或-1.(2)当x =0,1,-1时,都有x 2∈B ,但考虑到集合元素的互异性,x ≠0,x ≠1,故x =-1. (3)显然a 2+1≠0.由集合元素的无序性,只可能a -3=0或2a -1=0. 若a -3=0,则a =3,A ={a -3,2a -1,a 2+1}={0,5,10}≠B . 若2a -1=0,则a =12,A ={a -3,2a -1,a 2+1}={0,-52,54}≠B .故不存在这样的实数a ,x ,使A =B .反思与感悟 元素的无序性主要体现在:①给出元素属于某集合,则它可能表示集合中的任一元素;②给出两集合相等,则其中的元素不一定按顺序对应相等.元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验,同一集合中的元素要互不相等.跟踪训练4 已知集合M 中含有三个元素:2,a ,b ,集合N 中含有三个元素:2a,2,b 2,且M =N ,求a ,b 的值.解 方法一 根据集合中元素的互异性,有⎩⎪⎨⎪⎧ a =2a ,b =b 2或⎩⎪⎨⎪⎧ a =b 2,b =2a ,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =0,b =1或⎩⎪⎨⎪⎧a =0,b =0或⎩⎨⎧a =14,b =12.再根据集合中元素的互异性,得⎩⎪⎨⎪⎧a =0,b =1或⎩⎨⎧a =14,b =12.方法二 ∵两个集合相等,则其中的对应元素相同.∴⎩⎪⎨⎪⎧a +b =2a +b 2,a ·b =2a ·b 2, 即⎩⎪⎨⎪⎧a +b (b -1)=0, ①ab ·(2b -1)=0, ② ∵集合中的元素互异,∴a ,b 不能同时为零.当b ≠0时,由②得a =0,或b =12.当a =0时,由①得b =1,或b =0(舍去).当b =12时,由①得a =14.当b =0时,a =0(舍去).∴⎩⎪⎨⎪⎧a =0,b =1或⎩⎨⎧a =14,b =12.1.下列给出的对象中,能组成集合的是( ) A.一切很大的数 B.好心人 C.漂亮的小女孩D.方程x 2-1=0的实数根 答案 D2.下面说法正确的是( ) A.所有在N 中的元素都在N *中 B.所有不在N *中的数都在Z 中 C.所有不在Q 中的实数都在R 中 D.方程4x =-8的解既在N 中又在Z 中 答案 C3.由“book 中的字母”构成的集合中元素个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C4.下列结论不正确的是( ) A.0∈N B.2∉Q C.0∉Q D.-1∈Z 答案 C5.已知集合A 是由0,m ,m 2-3m +2三个元素组成的集合,且2∈A ,则实数m 为( ) A.2 B.3 C.0或3 D.0,2,3均可答案 B解析由2∈A可知:若m=2,则m2-3m+2=0,这与m2-3m+2≠0相矛盾;若m2-3m+2=2,则m=0或m=3,当m=0时,与m≠0相矛盾,当m=3时,此时集合A的元素为0,3,2,符合题意.1.考察对象能否构成一个集合,就是要看是否有一个确定的特征(或标准),依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体,如果有,能构成集合,如果没有,就不能构成集合.2.元素a与集合A之间只有两种关系:a∈A,a∉A.3.集合中元素的三个特性(1)确定性:指的是作为一个集合中的元素,必须是确定的,即一个集合一旦确定,某一个元素属不属于这个集合是确定的.要么是该集合中的元素,要么不是,二者必居其一,这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合.(2)互异性:集合中的元素必须是互异的,就是说,对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的.(3)无序性:集合与其中元素的排列顺序无关,如由元素a,b,c与由元素b,a,c组成的集合是相等的集合.这个性质通常用来判断两个集合的关系.课时作业一、选择题1.已知集合A由x<1的数构成,则有()A.3∈AB.1∈AC.0∈AD.-1∉A答案C解析很明显3,1不满足不等式,而0,-1满足不等式.2.由实数x,-x,|x|,x2,-3x3所组成的集合,最多含()A.2个元素B.3个元素C.4个元素D.5个元素答案A解析由于|x|=±x,x2=|x|,-3x3=-x,并且x,-x,|x|之中总有两个相等,所以最多含2个元素.3.下列结论中,不正确的是()A.若a∈N,则-a∉NB.若a∈Z,则a2∈ZC.若a∈Q,则|a|∈QD.若a∈R,则3a∈R答案A解析 A 不对.反例:0∈N ,-0∈N .4.已知x ,y 为非零实数,代数式x |x |+y|y |的值所组成的集合是M ,则下列判断正确的是( )A.0∉MB.1∈MC.-2∉MD.2∈M答案 D解析 ①当x ,y 为正数时,代数式x |x |+y |y |的值为2;②当x ,y 为一正一负时,代数式x |x |+y|y |的值为0;③当x ,y 均为负数时,代数式x |x |+y|y |的值为-2,所以集合M 的元素共有3个:-2,0,2,故选D.5.已知集合S 中三个元素a ,b ,c 是△ABC 的三边长,那么△ABC 一定不是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 答案 D解析 由元素的互异性知a ,b ,c 均不相等.6.已知A 中元素满足x =3k -1,k ∈Z ,则下列表示正确的是( ) A.-1∉A B.-11∈A C.3k 2-1∈A D.-34∉A 答案 C解析 令3k -1=-1,解得k =0∈Z ,∴-1∈A .令3k -1=-11,解得k =-103∉Z ,∴-11∉A ;∵k ∈Z ,∴k 2∈Z ,∴3k 2-1∈A .令3k -1=-34,解得k =-11∈Z ,∴-34∈A . 二、填空题7.在方程x 2-4x +4=0的解集中,有________个元素. 答案 1解析 易知方程x 2-4x +4=0的解为x 1=x 2=2,由集合元素的互异性知,方程的解集中只有1个元素.8.下列所给关系正确的个数是________.①π∈R ;②3D ∈/Q ;③0∈N *;④|-4|D ∈/N *. 答案 2解析 ∵π是实数,3是无理数,0不是正整数,|-4|=4是正整数,∴①②正确,③④不正确,正确的个数为2.9.如果有一集合含有三个元素:1,x ,x 2-x ,则实数x 的取值范围是________. 答案 x ≠0,1,2,1±52解析 由集合元素的互异性可得x ≠1,x 2-x ≠1,x 2-x ≠x ,解得x ≠0,1,2,1±52.10.已知a ,b ∈R ,集合A 中含有a ,ba ,1三个元素,集合B 中含有a 2,a +b,0三个元素,若A =B ,则a +b =____. 答案 -1解析 ∵A =B,0∈B ,∴0∈A .又a ≠0,∴ba =0,则b =0.∴B ={a ,a 2,0}.∵1∈B ,∴a 2=1,a =±1.由元素的互异性知,a =-1,∴a +b =-1. 三、解答题11.已知集合A 是由a -2,2a 2+5a,12三个元素组成的,且-3∈A ,求实数a 的值. 解 由-3∈A ,可得-3=a -2或-3=2a 2+5a , ∴a =-1或a =-32.当a =-1时,a -2=-3,2a 2+5a =-3,不满足集合中元素的互异性,故a =-1舍去. 当a =-32时,a -2=-72,2a 2+5a =-3,满足题意.∴实数a 的值为-32.12.已知集合A 含有两个元素a -3和2a -1,a ∈R . (1)若-3∈A ,试求实数a 的值; (2)若a ∈A ,试求实数a 的值.解 (1)因为-3∈A ,所以-3=a -3或-3=2a -1.若-3=a -3,则a =0. 此时集合A 含有两个元素-3,-1,符合题意.若-3=2a -1,则a =-1. 此时集合A 含有两个元素-4,-3,符合题意. 综上所述,满足题意的实数a 的值为0或-1.(2)因为a ∈A ,所以a =a -3或a =2a -1.当a =a -3时,有0=-3,不成立; 当a =2a -1时,有a =1,此时A 中有两个元素-2,1,符合题意. 综上所述,满足题意的实数a 的值为1.13.数集A 满足条件:若a ∈A ,则11-a ∈A (a ≠1).(1)若2∈A ,试求出A 中其他所有元素;(2)自己设计一个数属于A ,然后求出A 中其他所有元素;(3)从上面的解答过程中,你能悟出什么道理?并大胆证明你发现的“道理”. 解 (1)2∈A ,则11-2∈A ,即-1∈A ,则11+1∈A ,即12∈A ,则11-12∈A ,即2∈A ,所以A 中其他所有元素为-1,12.(2)如:若3∈A ,则A 中其他所有元素为-12,23.(3)分析以上结果可以得出:A 中只能有3个元素,它们分别是a ,11-a ,a -1a ,且三个数的乘积为-1.证明如下:若a ∈A ,a ≠1,则有11-a ∈A 且11-a≠1,所以又有11-11-a=a -1a ∈A 且a -1a≠1, 进而有11-a -1a =a ∈A .又因为a ≠11-a (因为若a =11-a ,则a 2-a +1=0,而方程a 2-a +1=0无解).故11-a≠a -1a ,所以A 中只能有3个元素,它们分别是a ,11-a,a -1a ,且三个数的乘积为-1.四、探究与拓展14.已知集合A ={a ,b ,c }中任意2个不同元素的和的集合为{1,2,3},则集合A 的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是( ) A.{1,2,3} B.{1,2} C.{0,1} D.{0,1,2}答案 B解析 由题意知:⎩⎪⎨⎪⎧a +b =1,b +c =2,c +a =3,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =0,c =2,∴集合A ={0,1,2},则集合A 的任意2个不同元素的差的绝对值分别是1,2.故集合A 的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是{1,2}.故选B.15.已知集合A 中的元素x 均满足x =m 2-n 2(m ,n ∈Z ),求证: (1)3∈A ;(2)偶数4k -2(k ∈Z )不属于集合A .证明 (1)令m =2∈Z ,n =1∈Z ,得x =m 2-n 2=4-1=3,所以3∈A . (2)假设4k -2∈A ,则存在m ,n ∈Z ,使4k -2=m 2-n 2=(m +n )(m -n )成立. ①当m ,n 同奇或同偶时,m +n ,m -n 均为偶数, 所以(m +n )(m -n )为4的倍数与4k -2不是4的倍数矛盾. ②当m ,n 一奇一偶时,m +n ,m -n 均为奇数,所以(m +n )(m -n )为奇数,与4k -2是偶数矛盾.所以假设不成立.综上,4k -2∉A .第2课时集合的表示学习目标 1.掌握用列举法表示有限集.2.理解描述法格式及其适用情形.3.学会在集合不同的表示法中作出选择和转换.知识点一列举法思考要研究集合,要在集合的基础上研究其他问题,首先要表示集合.而当集合中元素较少时,如何直观地表示集合?答案把它们一一列举出来.梳理把集合中的元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.适用于元素较少的集合.知识点二描述法思考能用列举法表示所有大于1的实数吗?如果不能,又该怎样表示?答案不能.表示集合最本质的任务是要界定集合中有哪些元素,而完成此任务除了一一列举,还可用元素的共同特征(如都大于1)来表示集合,如大于1的实数可表示为{x∈R|x>1}.梳理描述法常用以表示无限集或元素个数较多的有限集.表示方法是在花括号内画一竖线,竖线前写元素的一般符号及取值(或变化)范围,竖线后写元素所具有的共同特征.类型一用列举法表示集合例1用列举法表示下列集合.(1)小于10的所有自然数组成的集合;(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合.解(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.(2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B,那么B={0,1}.反思与感悟(1)集合中的元素具有无序性、互异性,所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序,且元素不能重复,元素与元素之间要用“,”隔开;(2)列举法表示的集合的种类①元素个数少且有限时,全部列举,如{1,2,3,4};②元素个数多且有限时,可以列举部分,中间用省略号表示,如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3,…,1 000};③元素个数无限但有规律时,也可以类似地用省略号列举,如:自然数集N可以表示为{0,1,2,3,…}.跟踪训练1用列举法表示下列集合.(1)由所有小于10的既是奇数又是素数的自然数组成的集合;(2)由1~20以内的所有素数组成的集合.解(1)满足条件的数有3,5,7,所以所求集合为{3,5,7}.(2)设由1~20以内的所有素数组成的集合为C,那么C={2,3,5,7,11,13,17,19}.类型二用描述法表示集合例2试用描述法表示下列集合.(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合;(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.解(1)设方程x2-2=0的实数根为x,并且满足条件x2-2=0,因此,用描述法表示为A ={x∈R|x2-2=0}.(2)设大于10小于20的整数为x,它满足条件x∈Z,且10<x<20.因此,用描述法表示为B={x∈Z|10<x<20}.引申探究用描述法表示函数y=x2-2图象上所有的点组成的集合.解{(x,y)|y=x2-2}.反思与感悟用描述法表示集合时应注意的四点(1)写清楚该集合中元素的代号;(2)说明该集合中元素的性质;(3)所有描述的内容都可写在集合符号内;(4)在描述法的一般形式{x∈I|p(x)}中,“x”是集合中元素的代表形式,I是x的范围,“p(x)”是集合中元素x的共同特征,竖线不可省略.跟踪训练2用描述法表示下列集合.(1)方程x2+y2-4x+6y+13=0的解集;(2)二次函数y=x2-10图象上的所有点组成的集合.解(1)方程x2+y2-4x+6y+13=0可化为(x-2)2+(y+3)2=0,解得x=2,y=-3.所以方程的解集为{(x,y)|x=2,y=-3}.(2)“二次函数y=x2-10图象上的所有点”用描述法表示为{(x,y)|y=x2-10}.类型三集合表示的综合应用命题角度1选择适当的方法表示集合例3用适当的方法表示下列集合.(1)由x=2n,0≤n≤2且n∈N组成的集合;(2)抛物线y=x2-2x与x轴的公共点的集合;(3)直线y=x上去掉原点的点的集合.解(1)列举法:{0,2,4};或描述法{x|x=2n,0≤n≤2且n∈N}.(2)列举法:{(0,0),(2,0)}.(3)描述法:{(x,y)|y=x,x≠0}.反思与感悟用列举法与描述法表示集合时,一要明确集合中的元素;二要明确元素满足的条件;三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合.跟踪训练3若集合A={x∈Z|-2≤x≤2},B={y|y=x2+2 000,x∈A},则用列举法表示集合B=________.答案{2 000,2 001,2 004}解析由A={x∈Z|-2≤x≤2}={-2,-1,0,1,2},所以x2∈{0,1,4},x2+2 000的值为2 000,2 001,2 004,所以B={2 000,2 001,2 004}.命题角度2新定义的集合例4对于任意两个正整数m,n,定义某种运算“※”如下:当m,n都为正偶数或正奇数时,m※n=m+n;当m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m※n=mn,则在此定义下,集合M={(a,b)|a※b=16}中的元素个数是()A.18B.17 D.16 D.15 答案B解析因为1+15=16,2+14=16,3+13=16,4+12=16,5+11=16,6+10=16,7+9=16,8+8=16,9+7=16,10+6=16,11+5=16,12+4=16,13+3=16,14+2=16,15+1=16,1×16=16,16×1=16,集合M中的元素是有序数对(a,b),所以集合M中的元素共有17个,故选B.反思与感悟命题者以考试说明中的某一知识点为依托,自行定义新概念、新公式、新运算和新法则,做题者应准确理解应用此定义,在新的情况下完成某种推理证明或指定要求.跟踪训练4定义集合运算:A※B={t|t=xy,x∈A,y∈B},设A={1,2},B={0,2},则集合A※B的所有元素之和为________. 答案6解析由题意得t=0,2,4,即A※B={0,2,4},又0+2+4=6,故集合A※B的所有元素之和为6.1.用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为()A.{1,1}B.{1}C.{x=1}D.{x2-2x+1=0}答案B2.一次函数y=x-3与y=-2x的图象的交点组成的集合是()A.{1,-2}B.{x=1,y=-2}C.{(-2,1)}D.{(1,-2)}答案 D3.设A ={x ∈N |1≤x <6},则下列正确的是( ) A.6∈A B.0∈A C.3∉A D.3.5∉A 答案 D4.第一象限的点组成的集合可以表示为( ) A.{(x ,y )|xy >0} B.{(x ,y )|xy ≥0} C.{(x ,y )|x >0且y >0} D.{(x ,y )|x >0或y >0} 答案 C5.下列集合不等于由所有奇数构成的集合的是( ) A.{x |x =4k -1,k ∈Z } B.{x |x =2k -1,k ∈Z } C.{x |x =2k +1,k ∈Z } D.{x |x =2k +3,k ∈Z }答案 A1.在用列举法表示集合时应注意:(1)元素间用分隔号“,”;(2)元素不重复;(3)元素无顺序;(4)列举法可表示有限集,也可以表示无限集.若元素个数比较少用列举法比较简单;若集合中的元素较多或无限,但出现一定的规律性,在不发生误解的情况下,也可以用列举法表示. 2.在用描述法表示集合时应注意:(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么),是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式;(2)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时,要去伪存真(元素具有怎样的属性),而不能被表面的字母形式所迷惑.课时作业一、选择题1.方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +y =3,x -y =-1的解集不可以表示为( )A.{(x ,y )|⎩⎪⎨⎪⎧x +y =3x -y =-1} B.{(x ,y )|⎩⎪⎨⎪⎧x =1y =2} C.{1,2} D.{(1,2)} 答案 C解析 方程组的集合中最多含有一个元素,且元素是一个有序实数对,故C 不符合. 2.集合A ={x ∈Z |-2<x <3}的元素个数为( )A.1B.2C.3D.4 答案 D解析 因为A ={x ∈Z |-2<x <3},所以x 的取值为-1,0,1,2. 3.集合{(x ,y )|y =2x -1}表示( ) A.方程y =2x -1 B.点(x ,y ) C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D.函数y =2x -1图象上的所有点组成的集合 答案 D解析 集合{(x ,y )|y =2x -1}的代表元素是(x ,y ),x ,y 满足的关系式为y =2x -1,因此集合表示的是满足关系式y =2x -1的点组成的集合,故选D. 4.已知x ,y 为非零实数,则集合M ={m |m =x |x |+y |y |+xy|xy |}为( )A.{0,3}B.{1,3}C.{-1,3}D.{1,-3} 答案 C解析 当x >0,y >0时,m =3,当x <0,y <0时,m =-1-1+1=-1. 若x ,y 异号,不妨设x >0,y <0,则m =1+(-1)+(-1)=-1. 因此m =3或m =-1,则M ={-1,3}. 5.下列选项中,集合M ,N 相等的是( )A.M ={3,2},N ={2,3}B.M ={(3,2)},N ={(2,3)}C.M ={3,2},N ={(3,2)}D.M ={(x ,y )|x =3且y =2},N ={(x ,y )|x =3或y =2} 答案 A解析 元素具有无序性,A 正确;点的横坐标、纵坐标是有序的,B 选项两集合中的元素不同;C 选项中集合M 中元素是两个数,N 中元素是一个点,不相等;D 选项中集合M 中元素是一个点(3,2),而N 中元素是两条直线x =3和y =2上所有的点,不相等. 6.集合{3,52,73,94,…}用描述法可表示为( )A.{x |x =2n +12n ,n ∈N *}B.{x |x =2n +3n ,n ∈N *}C.{x |x =2n -1n ,n ∈N *}D.{x |x =2n +1n ,n ∈N *}答案 D解析 由3,52,73,94,即31,52,73,94,从中发现规律,x =2n +1n ,n ∈N *,故可用描述法表示为{x |x =2n +1n,n ∈N *}. 二、填空题7.方程x 2-5x +6=0的解集可表示为______. 答案 {2,3} 解析 易知方程x 2-5x +6=0的解为x =2或3,则方程解集为{2,3}. 8.集合{x ∈N |x 2+x -2=0}用列举法可表示为________. 答案 {1} 解析 由x 2+x -2=0,得x =-2或x =1.又x ∈N ,∴x =1.9.已知集合A ={1,2,3},B ={(x ,y )|x ∈A ,y ∈A ,x +y ∈A },则B 中所含元素的个数为________. 答案 3解析 根据x ∈A ,y ∈A ,x +y ∈A ,知集合B ={(1,1),(1,2),(2,1)},有3个元素. 10.定义集合A -B ={x |x ∈A ,且x ∉B },若集合A ={x |2x +1>0},集合B ={x |x -23<0},则集合A -B =________. 答案 {x |x ≥2}解析 A ={x |x >-12},B ={x |x <2},A -B ={x |x >-12且x ≥2}={x |x ≥2}.三、解答题11.已知集合A ={x |y =x 2+3},B ={y |y =x 2+3},C ={(x ,y )|y =x 2+3},它们三个集合相等吗?试说明理由.解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同, 所以它们是互不相同的集合.理由如下:集合A 中代表的元素是x ,满足条件y =x 2+3中的x ∈R ,所以A =R ;集合B 中代表的元素是y ,满足条件y =x 2+3中y 的取值范围是y ≥3,所以B ={y |y ≥3}. 集合C 中代表的元素是(x ,y ),这是个点集,这些点在抛物线y =x 2+3上,所以C ={P |P 是抛物线y =x 2+3上的点}. 12.用适当的方法表示下列集合: (1)大于2且小于5的有理数组成的集合; (2)24的所有正因数组成的集合;(3)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合. 解 (1)用描述法表示为{x |2<x <5,且x ∈Q }. (2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}.(3)在平面直角坐标系内,点(x ,y )到x 轴的距离为|y |,到y 轴的距离为|x |,所以该集合用描述法表示为{(x ,y )||y |=|x |}.13.设A 表示集合{2,3,a 2+2a -3),B 表示集合{|a +3|,2},若5∈A ,且5∉B ,求实数a 的值. 解 ∵5∈A ,且5∉B ,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2+2a -3=5,|a +3|≠5,即⎩⎪⎨⎪⎧a =-4或a =2,a ≠2且a ≠-8,解得a =-4. 四、探究与拓展14.设正整数集N *,已知集合A ={x |x =3m ,m ∈N *},B ={x |x =3m -1,m ∈N *},C ={x |x=3m-2,m∈N*},若a∈A,b∈B,c∈C,则下列结论中可能成立的是()A.2 006=a+b+cB.2 006=abcC.2 006=a+bcD.2 006=a(b+c)答案C解析由于2 006=3×669-1,不能被3整除,而a+b+c=3m1+3m2-1+3m3-2=3(m1+m2+m3-1)不满足;abc=3m1(3m2-1)(3m3-2)不满足;a+bc=3m1+(3m2-1)(3m3-2)=3m-1适合;a(b+c)=3m1(3m2-1+3m3-2)不满足.故选C.15.若P={0,2,5},Q={1,2,6},定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},用列举法表示集合P +Q.解∵当a=0时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为1,2,6;当a=2时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为3,4,8;当a=5时,b依次取1,2,6,得a+b的值分别为6,7,11.∴P+Q={1,2,3,4,6,7,8,11}.1.1.2集合间的基本关系学习目标 1.理解子集、真子集、空集的概念.2.能用符号和Venn图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法.知识点一子集思考如果把“马”和“白马”视为两个集合,则这两个集合中的元素有什么关系?答案所有的白马都是马,马不一定是白马.梳理对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A⊆B(或B⊇A),读作“A含于B”(或“B包含A”).子集的有关性质:(1)任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A.(2)对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆C.(3)若A⊆B,B⊆A,则A=B.知识点二真子集思考在知识点一中,我们知道集合A是它本身的子集,那么如何刻画至少比A少一个元素的A的子集?答案用真子集.梳理如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,称集合A是集合B的真子集,记作:A B(或B A),读作:A真包含于B(或B真包含A).知识点三空集思考集合{x∈R|x2<0}中有几个元素?答案0个.梳理定义不含任何元素的集合叫做空集符号用符号表示为∅规定空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集知识点四思考图中集合A,B,C的关系用符号可表示为__________.答案A⊆B⊆C梳理一般地,用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.Venn图可以直观地表达集合间的关系.类型一求集合的子集例1(1)写出集合{a,b,c,d}的所有子集;(2)若一个集合有n(n∈N)个元素,则它有多少个子集?多少个真子集?验证你的结论.解(1)∅,{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d},{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d},{a,b,c,d}.(2)若一个集合有n(n∈N)个元素,则它有2n个子集,2n-1个真子集.如∅,有一个子集,0个真子集.反思与感悟为了罗列时不重不漏,要讲究列举顺序,这个顺序有点类似于从1到100数数:先是一位数,然后是两位数,在两位数中,先数首位是1的等等.跟踪训练1适合条件{1}⊆A{1,2,3,4,5}的集合A的个数是()A.15B.16C.31D.32答案A解析这样的集合A有{1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,3,4,5}共15个.类型二判断集合间的关系命题角度1概念间的包含关系例2设集合M={菱形},N={平行四边形},P={四边形},Q={正方形},则这些集合之间的关系为()A.P ⊆N ⊆M ⊆QB.Q ⊆M ⊆N ⊆PC.P ⊆M ⊆N ⊆QD.Q ⊆N ⊆M ⊆P答案 B解析 正方形都是菱形,菱形都是平行四边形,平行四边形都是四边形,所以选B. 反思与感悟 一个概念通常就是一个集合,要判断概念间的关系首先得准确理解概念的定义.跟踪训练2 我们已经知道自然数集、整数集、有理数集、实数集可以分别用N 、Z 、Q 、R 表示,用符号表示N 、Z 、Q 、R 的关系为________. 答案 NZ Q R命题角度2 数集间的包含关系例3 设集合A ={0,1},集合B ={x |x <2或x >3},则A 与B 的关系为( ) A.A ∈B B.B ∈A C.A ⊆B D.B ⊆A 答案 C解析 ∵0<2,∴0∈B .又∵1<2,∴1∈B .∴A ⊆B . 反思与感悟 判断集合关系的方法 (1)观察法:一一列举观察.(2)元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系.(3)数形结合法:利用数轴或Venn 图.跟踪训练3 已知集合A ={x |-1<x <4},B ={x |x <5},则( ) A.A ∈B B.A B C.B A D.B ⊆A 答案 B解析 由数轴易知A 中元素都属于B ,B 中至少有一个元素如-2∉A ,故有A B .类型三 由集合间的关系求参数(或参数范围)例4 已知集合A ={x |x 2-x =0},B ={x |ax =1},且A ⊇B ,求实数a 的值. 解 A ={x |x 2-x =0}={0,1}. (1)当a =0时,B =∅⊆A ,符合题意.(2)当a ≠0时,B ={x |ax =1}={1a },∵1a ≠0,要使A ⊇B ,只有1a =1,即a =1.综上,a =0或a =1.反思与感悟 集合A 的子集可分三类:∅、A 本身,A 的非空真子集,解题中易忽略∅. 跟踪训练4 已知集合A ={x |1<x <2},B ={x |2a -3<x <a -2},且A ⊇B ,求实数a 的取值范围.解 (1)当2a -3≥a -2,即a ≥1时,B =∅⊆A ,符合题意. (2)当a <1时,要使A ⊇B ,需满足⎩⎪⎨⎪⎧a <1,2a -3≥1,a -2≤2,这样的实数a 不存在.综上,实数a 的取值范围是{a |a ≥1}.1.下列集合中,结果是空集的是( ) A.{x ∈R |x 2-1=0} B.{x |x >6或x <1} C.{(x ,y )|x 2+y 2=0} D.{x |x >6且x <1}答案 D2.集合P ={x |x 2-1=0},T ={-1,0,1},则P 与T 的关系为( ) A.P T B.P ∈T C.P =T D.P ⊈T 答案 A3.下列关系错误的是( )A.∅⊆∅B.A ⊆AC.∅⊆AD.∅∈A 答案 D4.下列正确表示集合M ={-1,0,1}和N ={x |x 2+x =0}关系的Venn 图是( )答案 B5.若A ={x |x >a },B ={x |x >6},且A ⊆B ,则实数a 可以是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 D1.对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素,即由x ∈A ,能推出x ∈B ,这是判断A ⊆B 的常用方法.(2)不能简单地把“A ⊆B ”理解成“A 是B 中部分元素组成的集合”,因为若A =∅时,则A中不含任何元素;若A=B,则A中含有B中的所有元素.(3)在真子集的定义中,A B首先要满足A⊆B,其次至少有一个x∈B,但xD∈/A.2.集合子集的个数求集合的子集问题时,一般可以按照子集元素个数分类,再依次写出符合要求的子集.集合的子集、真子集个数的规律为:含n个元素的集合有2n个子集,有2n-1个真子集,有2n-2个非空真子集.写集合的子集时,空集和集合本身易漏掉.3.由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法(1)注意点:①不能忽视集合为∅的情形;②当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论.(2)常用方法:对于用不等式给出的集合,已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时,常采用数形结合的思想,借助数轴解答.课时作业一、选择题1.在下列关系中错误的个数是()①1∈{0,1,2};②{1}∈{0,1,2};③{0,1,2}⊆{0,1,2};④{0,1,2}={2,0,1};⑤{0,1}⊆{(0,1)};A.1B.2C.3D.4答案B解析①正确;因为集合{1}是集合{0,1,2}的真子集,而不能用属于来表示,所以②错误;③正确,因为任何集合都是它本身的子集;④正确,因为集合元素具有无序性;因为集合{0,1}表示数集,它有两个元素,而集合{(0,1)}表示点集,它只有一个元素,所以⑤错误,所以错误的个数是2.故选B.2.已知集合A={x|x=19(2k+1),k∈Z},B={x|x=49k±19,k∈Z},则集合A,B之间的关系为()A.A BB.B AC.A=BD.A≠B 答案C解析A={x|x=2k+19,k∈Z}={…,-59,-39,-19,19,39,59,…},B={x|x=4k±19,k∈Z}={…,-59,-39,-19,19,39,59,…},故A=B.3.已知集合U、S、T、F的关系如图所示,则下列关系正确的是()。

高中数学必修一全册精品讲学案(课前预习、课上练习、课后作业)含答案

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高中数学必修一全册精品讲学案课前预习、课上练习、课后作业第一章集合与函数概念1.1集合1.1.1集合的含义与表示课时1集合的含义1.集合的相关概念(1)元素①定义:指的是研究对象.②表示:用小写的拉丁字母a,b,c,…表示.(2)集合①含义:指的是一些元素组成的总体.②表示:用大写的拉丁字母A,B,C,…表示.(3)集合相等:指构成两个集合的元素是一样的.(4)集合中元素的特性:确定性、互异性和无序性.2.元素与集合的关系(1)“属于”:如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a∈A.(2)“不属于”:如果a不是集合A的元素,就说a不属于集合A,记作a∉A.3.常见的数集及表示符号A.中央电视台著名节目主持人B.我市跑得快的汽车C.上海市所有的中学生D.香港的高楼答案 C解析对A,“著名”无明确标准;对B,“快”的标准不确定;对D,“高”的标准不确定,因而A 、B 、D 均不能组成集合.而对C ,上海市的中学生是确定的,能组成集合.2.已知a 和b 都是自然数,且a ≠b ,由a ,b ,a 2,b 2,a 3,b 3构成的集合M 中,元素的个数最少为________.答案 2个解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ a =0,b =1,或⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =0,则a =a 2=a 3,b =b 2=b 3,此时元素的个数最少,只有2个.3.给出下列关系式:2∈R,0.3∈Q,0∉N,0∈N *,12∈N *,-π∉Z .其中正确的有( )A .3个B .4个C .5个D .6个答案 A解析 正确的有2∈R,0.3∈Q ,-π∉Z .4.已知集合A 中只有一个元素a ,则下列各式中正确的是( ) A .0∈A B .a ∉A C .a ∈A D .a =A 答案 C解析 集合A 中只有一个元素a ,所以a ∈A .集合中元素特性的应用5.的值.解 若1∈A ,则a =1或a 2=1,即a =±1. 当a =1时,a =a 2,集合A 有一个元素,∴a ≠1. 当a =-1时,集合A 含有两个元素1,-1,符合互异性. ∴a =-1.易错分析本题产生错误的原因是没有注意到字母a的取值带有不确定性而得到错误答案两个元素.事实上,当a=1时,不满足集合中元素的互异性.正解x2-(a+1)x+a=(x-a)(x-1)=0,所以方程的解为x1=1,x2=a.若a=1,则方程的解集中只含有一个元素1;若a≠1,则方程的解集中含有两个元素1,a.一、选择题1.下列各组对象中不能构成集合的是()A.正三角形的全体B.所有的无理数C.高一数学第一章的所有难题D.不等式2x+3>1的解答案 C解析因为A、B、D三项可以确定其元素,而C中难题的标准无法确定.因此选C.2.若a∈R,但a∉Q,则a可以是()A.3.14 B.-5C.37 D.7答案 D解析由题意知a是实数但不是有理数,故a应为无理数.3.下列三个结论:①集合N中最小的数是1,②-a∉N,则a∈N,③a∈N,b∈N,则a+b最小值是2.其中正确结论的个数是()A.0 B.1C.2 D.3答案 A解析因为自然数集中最小的数是0,而不是1,所以①错;对于②,取a =2,则-2∉N,2∉N,所以②错;对于③,a=0,b=0时,a+b取得最小值0,而不是2,所以③错.4.[2016·衡水高一调研]若集合M中的三个元素a、b、c分别是△ABC的三边长,则△ABC一定不是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形答案 D解析因为集合中元素具有互异性,所以a,b,c互不相等,所以三角形不可能为等腰三角形,选D.5.[2016·泰安高一检测]下列所给关系正确的个数是()①π∈R;②3∉Q;③0∈N*;④|-4|∉N*.A.1 B.2C.3 D.4答案 B解析π是实数,①对;3是无理数,②对;0不属于N*,③错;|-4|=4,4∈N*,④错,故选B.二、填空题6.设直线y=2x+3上的点集为P,点(2,7)与点集P的关系为(2,7)________P(填“∈”或“∉”).答案∈解析直线y=2x+3上的点的横坐标x和纵坐标y具有y=2x+3的关系,即只要具备此关系的点就是集合P的元素.由于当x=2时,y=2×2+3=7,故(2,7)∈P.7.设P,Q是两个数集,P中含有0,2两个元素,Q中含有1,2两个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,则P+Q中元素的个数是________.答案 4解析由于a∈P,a=0或2,b∈Q,b=1或2,因此a+b的值为1,2,3,4,共4个.8.[2016·连云港高一检测]集合A中的元素x满足63-x∈N,x∈N,则集合A中的元素为________.答案0,1,2解析由题意知3-x是6的正约数,当3-x=1时,x=2;当3-x=2时,x=1;当3-x=3时,x=0;当3-x=6时,x=-3;而x∈N,∴x=0,1,2,即集合A中的元素为0,1,2.三、解答题9.判断下列说法是否正确,并说明理由.(1)某个单位里的年轻人组成一个集合;(2)由1,32,64,⎪⎪⎪⎪⎪⎪-12,12这些数组成的集合有五个元素;(3)由a,b,c组成的集合与由b,a,c组成的集合是相等的.解(1)不正确.因为判断是不是“年轻人”没有明确的标准,对象不具有确定性,不能组成集合.(2)不正确.由集合的互异性可知,这个集合是由三个元素组成的.(3)正确.集合中的元素相同,只是次序不同,它们仍表示同一个集合.10.已知集合中含有三个元素:a+2,(a+1)2,a2+3a+3,且1∈A,求实数a的值.解∵1∈A,∴a+2=1或(a+1)2=1或a2+3a+3=1.∴a=-1或a=0或a=-2.当a=-1时,集合中的元素为:a+2=1,(a+1)2=0,a2+3a+3=1,不符合元素的互异性,舍去;当a=0时,集合中的元素为:a+2=2,(a+1)2=1,a2+3a+3=3,符合元素的互异性;当a=-2时,集合A中的元素为:a+2=0,(a+1)2=1,a2+3a+3=1,不符合元素的互异性,舍去.综上a=0.课时2集合的表示1.列举法表示集合(1)定义:把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法.(2)形式:A={a1,a2,a3,…,a n}.2.描述法表示集合(1)定义:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.(2)具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.1.R}.答案{(-1,1)}解析因为(x+1)2≥0,|y-1|≥0,所以(x+1)2=0且|y-1|=0,故有x=-1且y=1,因此答案为{(-1,1)}.2.已知集合A={x|x<5且x∈N*},B={(a,b)|a+b2=1,b∈A},试用列举法表示集合B=________.答案{(0,1),(-3,2),(-8,3),(-15,4)}解析∵x∈N*,且x<5,∴x=1,2,3,4,∴A={1,2,3,4}.又∵a+b2=1,且b ∈A,∴当b=1时,a=0,当b=2时,a=-3,当b=3时,a=-8,当b=4时,a=-15.∴B={(0,1),(-3,2),(-8,3),(-15,4)}.3.)A.{x|x=2k,k∈Z} B.{x|x=2k,k∈N}C .{x |x =2k ,k ∈N *}D .以上都不对答案 C解析 因为正偶数都能被2整除,因此选C.4.将集合“正奇数的全体”用描述法表示正确的是( ) A .{x |x =2n +1,n ∈N *} B .{x |x =2n -1,n ∈N *} C .{x |x =2n -1,n ∈Z } D .{x |x =2n +1,n ∈Z }答案 B解析 A 项中没有1;C ,D 两项表示奇数集.集合表示法的应用5.中只有一个元素,的值. 解 应根据a 是否为0分两种情况进行讨论:①a =0,此时A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫-12,符合题意;②a ≠0,则必须且只需Δ=4-4a =0,即a =1. ∴a =0或a =1.(1)A ={y |y =-x 2+6,x ∈N ,y ∈N }; (2)B ={(x ,y )|y =-x 2+6,x ∈N ,y ∈N }.易错分析 本题产生错误的原因是对用描述法表示的集合分不清其代表元素,导致用列举法表示集合时出现错误.正解 (1)因为y =-x 2+6≤6,且x ∈N ,y ∈N , 所以x =0,1,2时,y =6,5,2,符合题意, 所以A ={2,5,6}.(2)(x ,y )满足条件y =-x 2+6,x ∈N ,y ∈N , 则有⎩⎨⎧ x =0y =6,⎩⎨⎧ x =1y =5,⎩⎨⎧x =2y =2,所以B ={(0,6),(1,5),(2,2)}.一、选择题1.方程组⎩⎨⎧x +y =3,x -y =1的解组成的集合是( )A .{2,1}B .(2,1)C .{(2,1)}D .{-1,2}答案 C解析 先求出方程组的解⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =1,再写成集合的形式.注意集合的元素是有序实数对(2,1),故选C.2.用列举法可将集合{(x ,y )|x ∈{1,2},y ∈{1,2}}表示为( ) A .{1,2} B .{(1,2)} C .{(1,1),(2,2)}D .{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} 答案 D解析 x =1时,y =1,2;x =2时,y =1,2.共有4组,故选D.3.[2016·成都高一一诊]已知集合P ={1,2},Q ={z |z =x +y ,x ,y ∈P },则集合Q 为( )A .{1,2,3}B .{2,3,4}C .{3,4,5}D .{2,3}答案 B解析 ∵1+1=2,1+2=3,2+1=3,2+2=4, 又集合中的元素具有互异性, ∴Q ={2,3,4},故选B.4.[2016·成都七中高一月考]已知集合A ={1,2,3,4,5},B ={(x ,y )|x ∈A ,y ∈A ,x -y ∈A },则B 中的元素个数为( )A .3B .6C .8D .10答案 D解析 ∵x ∈A ,y ∈A ,且x -y ∈A .∴x =2时,y =1;x =3时,y =2,1;x =4时,y =3,2,1;x =5时,y =4,3,2,1.所以集合B 中的元素共有1+2+3+4=10个,故选D.5.[2016·南昌高一检测]若1∈{x,x2},则x=()A.1 B.-1C.0或1 D.0或1或-1答案 B解析若x=1则x2=1不满足互异性,若x2=1则x=±1且x=1舍去,故x=-1.二、填空题6.[2016·汉中高一检测]若集合A={1,2,3,4},集合B={y|y=x-1,x∈A},将集合B用列举法表示为________.答案{0,1,2,3}解析当x=1,2,3,4时,y=x-1,∴y=0,1,2,3,∴B={0,1,2,3}.7.[2016·昆明高一检测]设-5∈{x|x2-ax-5=0},则集合{x|x2-5x-a=0}中所有元素之和为________.答案 5解析由-5∈{x|x2-ax-5=0}得:25+5a-5=0,∴a=-4,则集合{x|x2-5x-a=0}={x|x2-5x+4=0}={x|(x-1)(x-4)=0}={1,4},∴集合中所有元素之和为1+4=5.8.集合A={m|m+1≥5},B={y|y=x2+2x+5,x∈R},则A、B________(填“是”或“否”)表示同一集合.答案是解析A={m|m≥4,m∈R},即A中元素为大于或等于4的所有实数;B={y|y=(x+1)2+4},即y=(x+1)2+4≥4,所以B中元素也为大于或等于4的所有实数,故A、B表示同一集合.三、解答题9.将大于0不大于15且除以4余3的整数构成的集合分别用列举法和描述法表示出来.解列举法:{3,7,11,15};描述法:{x|0<x≤15,且x=4n+3,n∈N}.10.集合A={x|kx2-8x+16=0},若集合A中只有一个元素,试求实数k 的值,并用列举法表示集合A.解当k=0时,原方程变为-8x+16=0,x=2.此时集合A={2}.当k≠0时,要使一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等的实根,只需Δ=64-64k=0,即k=1.此时方程的解为x1=x2=4,集合A={4},满足题意.综上所述,实数k的值为0或1.当k=0时,A={2};当k=1时,A={4}.►1.1.2集合间的基本关系课时3集合间的基本关系1.Venn图表示集合通常用平面上封闭曲线的内部表示一个集合.2.子集的有关概念(1)子集①定义:对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集;②记作:A⊆B(或B⊇A);③读作:“A包含于B”(或“B包含A”).(2)集合相等①定义:如果集合A是集合B的子集(A⊆B),且集合B是集合A的子集(B ⊆A),此时,集合A与集合B中的元素是一样的,因此集合A和集合B相等.②符合表示:若A⊆B且B⊆A,则A=B.(3)真子集①定义:如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,我们称集合A是集合B的真子集.②记法:A B(或B A).③图示:3.空集(1)定义:不含任何元素的集合叫做空集,记为∅;(2)规定:空集是任何集合的子集.4.集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集,即A⊆A.(2)对于集合A,B,C,①若A⊆B,且B⊆C,则A⊆C;②若A B,B C,则A C.(3)若A⊆B,A≠B,则A B.1.①空集没有子集;②空集是任何一个集合的真子集;③∅={0};④任何一个集合必有两个或两个以上的子集.其中正确命题的个数为()A.0个B.1个C.2个D.3个答案 A解析空集是其本身的子集,是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.2.写出A={0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是集合A的真子集.解{0,1,2}的所有子集:∅,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2},其中集合A的真子集有:∅,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}.3.之间的关系是)A .AB B .A BC .A =BD .不能确定答案 A解析 B ={x |x <5},利用数轴易知A B .4.[2016·福建六校高一联考]已知集合A ={0,1},则下列式子错误的是( ) A .0∈A B .{1}∈A C .∅⊆A D .{0,1}⊆A答案 B解析 “∈”用于元素与集合之间,而{1}是A 的子集, ∴应为{1}⊆A .5.的值.解 由P =Q 得⎩⎪⎨⎪⎧ a =2a ,b =b 2,①或⎩⎪⎨⎪⎧b =2a ,a =b 2.②解①得⎩⎪⎨⎪⎧ a =0,b =0,或⎩⎪⎨⎪⎧a =0,b =1.解②得⎩⎪⎨⎪⎧a =0,b =0,或⎩⎪⎨⎪⎧a =14,b =12.当a =b =0时,不符合元素的互异性,舍去. ∴a =0,b =1或a =14,b =12.6.,且a 的值为________.易错分析 由集合B ⊆A 及B 的含义求a 时,易忽略B =∅时的情况,也就丢了a 的可能解.答案 0或23或-2正解由A={x|x2-2x-3=0}={-1,3}得当B⊆A时,B=∅或B={-1}或B={3},当B=∅时,a=0.当B={-1}时,得a=-2.当B={3}时,得a=2 3.综上可知:a=0或a=-2或a=2 3.一、选择题1.下列各式中,正确的是()A.23∈{x|x≤3} B.23∉{x|x≤3}C.23⊆{x|x≤3} D.{23}{x|x≤3}答案 B解析23表示一个元素,{x|x≤3}表示一个集合,但23不在集合中,故23∉{x|x≤3},A,C不正确,又集合{23}{x|x≤3},故D不正确.2.[2016·成都七中高一月考]下列四个集合中,表示空集的是()A.{0}B.{(x,y)|x2+y2=0,x,y∈R}C.{x||x|=5,x∈Z,x∉N}D.{x|2x2+3x-2=0,x∈N}答案 D解析A中,{0}有元素0,不是空集;B中,集合为{(0,0)},不是空集;C 中,集合为{-5},不是空集;D中,方程没有非负整数解,为空集,选D.3.[2016·福建漳州高一质检]定义集合A*B={x|x∈A,且x∉B},若A={1,3,5,7},B={2,3,5},则A*B的子集个数为()A.1 B.2C.3 D.4答案 D解析A*B中的元素有{1,7},∴A*B的子集个数为22=4个,选D.4.集合B={a,b,c},C={a,b,d},集合A满足A⊆B,A⊆C,则集合A的个数是()A.8 B.3C.4 D.1答案 C解析若A=∅,则满足A⊆B,A⊆C;若A≠∅,由A⊆B,A⊆C知A是由属于B且属于C的元素构成,此时集合A可能为{a},{b},{a,b}.5.[2016·浏阳高一检测]已知集合A={x|3≤x2≤5,x∈Z},则集合A的真子集个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个答案 C解析A={x|3≤x2≤5}={2,-2},它的真子集有∅,{2},{-2},共3个.二、填空题6.已知集合U,S,T,F之间的关系如下图所示,下列关系中错误的有________.(只填序号)①S U;②F T;③S T;④S F;⑤S F;⑥F U.答案②④⑤解析根据子集、真子集的Venn图,可知S U,S T,F U正确,其余错误.7.[2016·玉溪高一检测]已知集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x≥m},若A⊆B,则实数m的取值范围为________.答案m≤-2解析由已知A⊆B,画数轴可得m ≤-2. 8.设x ,y ∈R ,A ={(x ,y )|y =x },B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ,y )⎪⎪⎪y x =1,则A ,B 的关系是________.答案 B A解析 A 中(x ,y ),x ∈R ,y ∈R ,所以A 表示直线y =x 上所有点构成的集合.B 中的x ≠0,所以B 表示直线y =x 上所有点构成的集合,但除去原点. ∴B A . 三、解答题9.设集合A ={1,-2,a 2-1},B ={1,a 2-3a,0}.若A =B ,求a 的值. 解 由A =B 及集合中元素特点可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2-1=0,a 2-3a =-2,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =±1,a =1或a =2,∴a =1. 把a =1代入验证,满足集合中元素的互异性. ∴a =1.10.若集合M ={x |x 2+x -6=0},N ={x |(x -2)(x -a )=0},且N ⊆M ,求实数a 的值.解 由x 2+x -6=0,得x =2或x =-3. 所以M ={2,-3}. 若a =2,则N ={2},此时NM ;若a =-3,则N ={2,-3},此时N =M ;若a ≠2且a ≠-3,则N ={2,a },此时N 不是M 的子集,故所求实数a 的值为2或-3.►1.1.3 集合的基本运算 课时4 并集、交集1.并集(1)定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B.(2)并集的符号语言表示为A∪B={x|x∈A,或x∈B}.(3)性质:A∪B=B∪A,A∪A=A,A∪∅=A,A∪B=A⇔B⊆A,A⊆A∪B.2.交集(1)定义:一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B.(2)交集的符号语言表示为A∩B={x|x∈A,且x∈B}.(3)性质:A∩B=B∩A,A∩A=A,A∩∅=∅,A∩B=A⇔A⊆B,A∩B⊆A ∪B,A∩B⊆A,A∩B⊆B.1.P∪A.{2,3,4,5,6} B.{1,2,3,4,5,6}C.{1,2,3,4,5} D.{2,3,4,5}答案 B解析∵M={2,3,4,5},∴P∪M={1,2,3,4,5,6}.2.已知集合M={x|-3<x≤5},N={x|x<-5或x>5},则M∪N=() A.{x|x<-5或x>-3} B.{x|-5<x<5}C.{x|-3<x<5} D.{x|x<-3或x>5}答案 A解析由题意画出数轴.可知,M∪N={x|x<-5或x>-3}.3.已知集合A ={-1,0,1},B ={x |-1≤x <1},则A ∩B 等于( ) A .{0} B .{-1,0} C .{0,1} D .{-1,0,1}答案 B解析 ∵-1,0∈B,1∉B ,∴A ∩B ={-1,0}.4.设A ={x |-1<x <2},B ={x |x <a },若A ∩B ≠∅,则a 的取值范围是________. 答案 a >-1解析 结合数轴可知a >-1.,求 解 ∵A ∩B =B ,∴B ⊆A . ∵A ={-2}≠∅,∴B =∅或B ≠∅.当B =∅时,方程ax +1=0无解,此时a =0.当B ≠∅时,此时a ≠0,则B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫-1a ,∴-1a ∈A ,即有-1a =-2,得a =12. 综上,a =0或a =12.6.集合=0}B =B ,则a 的取值范围是________.易错分析 本题由A ∩B =B 得B ⊆A ,则B ={1}或B ={2}或B ={1,2},忽视了B =∅的可能性,从而导致a 的取值范围错误.答案 {a |a ≥2}正解 由题意得A ={1,2},∵A ∩B =B ,∴B ⊆A ,∴B =∅或B ={1}或B ={2}或B ={1,2}. 当B =∅时,Δ=4-4(a -1)<0,得a >2.当B ={1}时,⎩⎨⎧12-2×1+a -1=0Δ=4-4(a -1)=0,得a =2.当B ={2}时,⎩⎨⎧22-4+a -1=0Δ=4-4(a -1)=0,无解.当B ={1,2}时,此时a 无解. 综上可知,a 的取值范围是{a |a ≥2}.一、选择题1.若集合A ={0,1,2,3},B ={1,2,4},则集合A ∪B =( ) A .{0,1,2,3,4} B .{1,2,3,4} C .{1,2} D .{0}答案 A解析 由并集的概念,可得A ∪B ={0,1,2,3,4}.2.已知集合M ={(x ,y )|x +y =2},N ={(x ,y )|x -y =4},那么集合M ∩N 为( )A .x =3,y =-1B .(3,-1)C .{3,-1}D .{(3,-1)} 答案 D解析 ∵要求集合M 与N 的公共元素,∴⎩⎪⎨⎪⎧ x +y =2x -y =4解得⎩⎪⎨⎪⎧x =3y =-1∴M ∩N ={(3,-1)},选D.3.设全集U =R ,A ={x ∈N |1≤x ≤10},B ={x ∈R |x 2+x -6=0},则右图中阴影部分表示的集合为( )A .{2}B .{3}C .{-3,2}D .{-2,3}答案 A解析 注意到集合A 中的元素为自然数,因此易知A ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},而直接解集合B 中的方程可知B ={-3,2},因此阴影部分显然表示的是A ∩B ={2},选A.4.满足M ⊆{a 1,a 2,a 3,a 4},且M ∩{a 1,a 2,a 3}={a 1,a 2}的集合M 的个数是( )A .1B .2C .3D .4答案 B解析 直接列出满足条件的M 集合有{a 1,a 2}、{a 1,a 2,a 4},因此选B. 5.集合A ={x |-1≤x ≤2},B ={x |x <1},则A ∩B 等于( ) A .{x |x <1} B .{x |-1≤x ≤2} C .{x |-1≤x ≤1} D .{x |-1≤x <1}答案 D解析 由交集定义得{x |-1≤x ≤2}∩{x |x <1}={x |-1≤x <1}. 二、填空题6.[2015·江苏高考]已知集合A ={1,2,3},B ={2,4,5},则集合A ∪B 中元素的个数为________.答案 5解析 A ∪B ={1,2,3,4,5},∴A ∪B 中元素的个数为5. 7.[2016·福建六校高一联考]已知集合A ={1,3,m }, B ={3,4},A ∪B ={1,2,3,4},则m =________. 答案 2解析 由题意易知2∈(A ∪B ),且2∉B ,∴2∈A ,∴m =2.8.已知集合P ={-1,a +b ,ab },集合Q =⎩⎨⎧⎭⎬⎫0,b a ,a -b ,若P ∪Q =P ∩Q ,则a -b =________.答案 -4解析 由P ∪Q =P ∩Q 易知P =Q ,由Q 集合可知a 和b 均不为0,因此ab ≠0,于是必须a +b =0,所以易得ba =-1,因此又必得ab =a -b ,代入b =-a 解得a =-2.所以b =2,因此得到a -b =-4.三、解答题9.[2016·山东烟台模块检测]已知集合A ={x |a ≤x ≤a +3},B ={x |x <-1或x >5}.(1)若A ∩B =∅,求a 的取值范围; (2)若A ∪B =B ,求a 的取值范围. 解 (1)要使A ∩B =∅,则需满足下列不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a +3≤5,a ≥-1,解此不等式组得-1≤a ≤2, 即a 的取值范围是{a |-1≤a ≤2}. (2)要使A ∪B =B ,即A 是B 的子集, 则需满足a +3<-1或a >5, 解得a >5或a <-4,即a 的取值范围是{a |a >5或a <-4}.10.[2016·衡水高一调研]已知集合A ={-1,1},B ={x |x 2-2ax +b =0},若B ≠∅且A ∪B =A ,求a ,b 的值.解 B ≠∅且A ∪B =A ,所以B ≠∅且B ⊆A ,故B 存在两种情况: (1)当B 含有两个元素时,B =A ={-1,1},此时a =0,b =-1; (2)当B 含有一个元素时,Δ=4a 2-4b =0,∴a 2=b . 若B ={1}时,有a 2-2a +1=0,∴a =1,b =1. 若B ={-1}时,有a 2+2a +1=0,∴a =-1,b =1. 综上:⎩⎪⎨⎪⎧ a =0,b =-1或⎩⎪⎨⎪⎧ a =1,b =1或⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =1.课时5 补集1.全集(1)定义:如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集.(2)记法:全集通常记作U.2.补集∁U U=∅,∁U∅=U,∁U(∁U A)=A. A∩(∁U A)=∅.∁U(A∩B)=(∁U A)∪(∁U B).∁U(A∪B)=(∁U A)∩(∁U B).1.U∩(U)A.∅B.{1,3}C.{4} D.{2,5}答案 A解析由题意可知:∁U A={2,5},∁U B={1,3}.∴(∁U A)∩(∁U B)=∅,选A.2.[2015·浙江高考]设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},则∁U A =()A.∅B.{2}C.{5} D.{2,5}答案 B解析A={x∈N|x2≥5}={x∈N|x≥3},U={x∈N|x≥2},∴∁U A={2},故选B.补集的应用3.答案 A ∩(∁U B )解析 由韦恩图可知阴影部分位于集合A 内,但不位于集合B 内,∴阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B ).4.[2015·上海高考]设全集U =R .若集合A ={1,2,3,4},B ={x |2≤x ≤3},则A ∩(∁U B )=________.答案 {1,4}解析 ∁U B ={x |x <2或x >3},A ={1,2,3,4}, ∴A ∩(∁U B )={1,4}.5.已知集合A ={x |x 2+ax +12b =0}和B ={x |x 2-ax +b =0},满足(∁U A )∩B ={2},A ∩(∁U B )={4},U =R ,求实数a ,b 的值.解 ∵(∁U A )∩B ={2},∴2∈B ,∴4-2a +b =0.① 又∵A ∩(∁U B )={4},∴4∈A ,∴16+4a +12b =0.② 联立①②,得⎩⎪⎨⎪⎧4-2a +b =0,16+4a +12b =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =87,b =-127.6.(∁U 易错分析 本题易产生的错解是在进行集合的交集运算时,遗漏了0这个端点值.由于集合变成了单元素集,所以常常会出现遗漏的情况.答案 {x |x ≥2或x =0}正解 N ={y |y =x 2}={x |x ≥0},∁U M ={x |x ≤0或x ≥2},则(∁U M )∩N ={x |x ≥2或x =0}.一、选择题1.设全集U={a,b,c,d},集合M={a,c,d},N={b,d},则(∁U M)∩N 等于()A.{b} B.{d}C.{a,c} D.{b,d}答案 A解析由题意可知,∁U M={b},∴(∁U M)∩N={b},选A.2.设全集U=M∪N={1,2,3,4,5},M∩(∁U N)={2,4},则N等于()A.{1,2,3} B.{1,3,5}C.{1,4,5} D.{2,3,4}答案 B解析∵M∩(∁U N)={2,4},∴2,4∈M且2,4∉N,又∵M∪N={1,2,3,4,5},∴N ={1,3,5},选B.3.[2016·杭州七校高一联考]已知全集U={-1,1,3},集合A={a+2,a2+2},且∁U A={-1},则a的值是()A.-1 B.1C.3 D.±1答案 A解析由A∪(∁U A)=U,可知A={1,3},又∵a2+2≥2,∴a+2=1且a2+2=3.解得a=-1,故选A.4.如下图,U是全集,M,P,S是U的三个子集,则阴影部分所表示的集合是()A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪SC.(M∩P)∩(∁U S) D.(M∩P)∪(∁U S)答案 C解析由题图不难判断阴影部分位于M∩P中,但不在S中,故阴影部分表示的集合为(M∩P)∩(∁U S),选C.5.[2016·哈尔滨九中期末]已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},M={3,4,5},N={1,3,6},则集合{2,7}等于()A.M∩N B.(∁U M)∩(∁U N)C.(∁U M)∪(∁U N) D.M∪N答案 B解析根据元素与集合的关系和集合的运算规律可知,2,7既不在集合M中,也不在集合N中,所以2,7在集合∁U M且在∁U N中,根据交集的意义即可知{2,7}=(∁U M)∩(∁U N).二、填空题6.有15人进入家电超市,其中有9人买了电视机,有7人买了电脑,两种均买的有3人,则这两种均没买的有________人.答案 2解析设这15人构成全集U,买电视机的9人构成集合A,买电脑的7人构成集合B,用Venn图表示,如图所示,则两种均没买的有15-(9-3)-3-(7-3)=2(人).7.已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<2},A∪(∁R B)=R,则实数a的取值范围是________.答案{a|a≥2}解析∵∁R B={x|x≤1或x≥2},又A={x|x<a},且A∪(∁R B)=R,∴a≥2.8.已知集合U={(x,y)|y=3(x-1)+2},A={ (x,y)|⎭⎪⎬⎪⎫y -2x -1=3,则∁U A =________. 答案 {(1,2)}解析 ∵A ={(x ,y )|y =3(x -1)+2,x ≠1}.又当x =1时,由y =3(x -1)+2得y =2,∴∁U A ={(1,2)}.三、解答题9.[2016·郑州期末]已知集合A ={x |0<2x +a ≤3},B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-12<x <2. (1)当a =1时,求A ∪(∁R B ); (2)若A ⊆B ,求实数a 的取值范围.解 (1)当a =1时,A =⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫-12<x ≤1,∁R B =⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤-12或x ≥2,∴A ∪(∁R B )={x |x ≤1或x ≥2}. (2)A =⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫-a 2<x ≤3-a 2, 若A ⊆B ,则⎩⎪⎨⎪⎧-a 2≥-12,3-a2<2,解得-1<a ≤1,所以a 的取值范围是{a |-1<a ≤1}.10.已知集合U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},A ={1,2,3,4,5,6},B ={5,6,7,8,9,10}. (1)求(∁U A )∩(∁U B ),∁U (A ∪B ),(∁U A )∪(∁U B ),∁U (A ∩B ); (2)从(1)的计算结果,能发现什么规律?解 (1)(∁U A )∩(∁U B )={7,8,9,10}∩{1,2,3,4}=∅,∁U (A ∪B )=∅,(∁U A )∪(∁U B )={7,8,9,10}∪{1,2,3,4}={1,2,3,4,7,8,9,10},∁U (A ∩B )={1,2,3,4,7,8,9,10}.(2)(∁U A )∩(∁U B )=∁U (A ∪B ), (∁U A )∪(∁U B )=∁U (A ∩B ).习题课(1)复习要点集合是数学中最基本的概念,学习时一是要注意把集合知识作为一种语言来学习,集合语言是用集合的有关概念和符号来描述问题的语言,能简洁、准确地表达相关的数学内容;二是要注意集合中元素的互异性及空集的特殊性;三是要注意使用集合间的运算法则或运算思想,解决一些逻辑关系较复杂的问题,例如运用补集思想解决问题等.提升训练一、选择题1.下列各项中,不能组成集合的是()A.所有三角形B.数学《必修1》中的所有习题C.所有有理数D.数学《必修1》中的所有难题答案 D解析因A、B、C三项可以确定其元素,而D中难题的标准无法确定,因此选D.2.设集合A={x|x≤13},a=11,那么()A.a A B.a∉AC.{a}∈A D.{a}A答案 D解析因a=11<13,∴{11}{x|x≤13},∴选D.3.设集合A={x|1<x<4},集合B={x|-1≤x≤3},则A∩(∁R B)等于() A.{x|1<x<4} B.{x|3<x<4}C.{x|1<x<3} D.{x|1<x<2或3<x<4}答案 B解析∵B={x|-1≤x≤3},则∁R B={x|x<-1或x>3},∴A∩(∁R B)={x|3<x<4}.4.已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥3},右图中阴影部分所表示的集合为()A.{1} B.{1,2}C.{1,2,3} D.{0,1,2}答案 B解析由题意得,A∩B={3,4,5},阴影部分所表示的集合为集合A去掉集合A∩B中的元素所组成的集合,所以为{1,2}.5.50名学生参加甲、乙两项体育活动,每人至少参加了一项,参加甲项的学生有30名,参加乙项的学生有25名,则仅参加了一项活动的学生人数为() A.50 B.45C.40 D.35答案 B解析记参加甲、乙项体育活动的学生组成的集合分别为A、B,则依题意有card(A∪B)=50,card(A)=30,card(B)=25,card(A∩B)=30+25-50=5,于是只参加了一项活动的学生人数是(30-5)+(25-5)=45.(也可利用Venn图解决问题)6.[2016·洛阳高一检测]已知全集U={x|0<x<8,且x∈Z},集合A,B均为全集U的子集,若∁U(A∪B)={1,2,3},(∁U A)∩B={6,7},则集合A为() A.{1,2,3,4,5} B.{4,5}C.{4,5,6,7} D.{1,2,3,6,7}答案 B解析U={1,2,3,4,5,6,7},如图:由图可知,∁U A={1,2,3,6,7},∴A={4,5},选B.二、填空题7.[2016·邯郸高一检测]已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么M∩N=________.答案 {(3,-1)}解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x +y =2x -y =4,解得x =3,y =-1,即{(3,-1)}.8.定义A -B ={x |x ∈A 且x ∉B },若M ={1,2,3,4,5},N ={2,3,6},则N -M =________.答案 {6}解析 关键是理解A -B 运算的法则, N -M ={x |x ∈N ,且x ∉M }={6}.9.[2016·湖南省长沙一中月考]已知集合A ={-2,1,2},B ={a +1,a },且B ⊆A ,则实数a 的值是______.答案 1解析 由题意知a ≥0,又B ⊆A ,所以⎩⎪⎨⎪⎧ a +1=1a =2或⎩⎪⎨⎪⎧a +1=2a =1,解得a=1.三、解答题10.[2015·山西太原五中期中]已知集合A ={a 2,a +1,-3},B ={a -3,2a -1,a 2+1},若A ∩B ={-3},求实数a 的值.解 ∵A ∩B ={-3},∴-3∈B ,又a 2+1≠-3,∴a -3=-3或2a -1=-3, ∴a =0或a =-1.当a =0时,A ={0,1,-3},B ={-3,-1,1},A ∩B ={-3,1},不合题意. 当a =-1时,A ={1,0,-3},B ={-4,-3,2},A ∩B ={-3},满足题意. 综上可知a 的值为-1.11.已知集合A ={x |ax 2+2x +1=0,a ∈R }至多有一个真子集,求a 的取值范围.解 若A =∅,则集合A 无真子集,这时关于x 的方程ax 2+2x +1=0无实数解,则a ≠0,且Δ=4-4a <0,得a >1;若集合A 恰有一个真子集,这时集合A 必为单元素集,可分为两种情况:①a =0时,方程为2x +1=0,x =-12; ②a ≠0时,则Δ=4-4a =0,a =1.综上,当集合A 至多有一个真子集时,实数a 的取值范围为{a |a ≥1或a =0}.12.[2016·许昌五校高一联考]已知集合A ={x |x 2-3x +2=0},B ={x |x 2-ax +a -1=0},若A ∪B =A ,求实数a 的值.解 依题意得A ={x |x 2-3x +2=0}={1,2}.因为A ∪B =A ,所以B ⊆A ,所以集合B 可分为{1,2},{1},{2},或∅. ①当B ={1,2}=A 时,有⎩⎪⎨⎪⎧a =1+2a -1=1×2,所以a =3符合题意;②当B ={1}时,有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ=a 2-4(a -1)=01-a +(a -1)=0,所以a =2符合题意;③当B ={2}时,有⎩⎪⎨⎪⎧Δ=a 2-4(a -1)=022-2a +(a -1)=0,无解;④当B =∅时,即方程x 2-ax +(a -1)=0无实根, 所以Δ=a 2-4(a -1)<0⇒(a -2)2<0,无解. 综上,a =2或a =3.1.函数的有关概念 (1)定义①前提条件:给定的两个集合A ,B 为非空数集.②对应关系:A 中的任何一个数x 对应B 中唯一确定的数f (x ).即:一一对应或多一对应.③结论:f :A →B 称为从集合A 到集合B 的一个函数.(2)函数的记法集合A上的函数可记作:f:A→B或y=f(x),x∈A.2.区间及有关概念1.A.y等于f与x的乘积B.f(x)一定是一个式子C.y是x的函数D.对于不同的x,y也不同答案 C解析符号y=f(x),即“y是x的函数”的数学表示,它仅仅是函数符号,不是表示“y等于f与x的乘积”,f(x)也不一定是解析式,可以是图象、表格,也可以是文字叙述,故A、B错误;当y=x2时,x=1或x=-1时,y=1,故D 错误.2.[2016·北师大附中月考]下列图形中不是函数的图象的是( )答案 B解析 对于图B ,取x =1,由图可知有2个y 值与之对应,故B 中图象不是函数图象.,则f [)A.1 C .4 D .5答案 B解析 由题可知,f (1)=4,∴f [f (1)]=f (4)=2,故选B. 4.已知f (x )=x 2+1,g (x )=3x +2.则f [g (x )]=__________. 答案 9x 2+12x +5解析 因为f (x )=x 2+1,g (x )=3x +2, 所以f [g (x )]=(3x +2)2+1=9x 2+12x +5.5.(1){x |x ≥2或x <1}; (2){x |x =1或2<x ≤3}; (3){x |2x -1≥0}.解 (1){x |x ≥2或x <1}=(-∞,1)∪[2,+∞). (2){x |x =1或2<x ≤3}={1}∪(2,3].(3){x |2x -1≥0}=⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12=⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,+∞.6.A .y =x +1与y =x 2-1x -1B .y =x 2+1与s =t 2+1C .y =2x 与y =2x (x ≥0)D .y =(x +1)2与y =x 2 易错分析 y =x 2-1x -1=(x +1)(x -1)x -1=x +1,可知A 中两函数相同为相等函数,该题容易先将解析式化简,然后再判断导致错误.答案 B正解对于选项A ,前者定义域为R ,后者定义域为{x |x ≠1},不是相等函数;对于选项B ,虽然变量不同,但定义域与对应关系相同,是相等函数;对于选项C ,因为定义域不同,所以不是相等函数;对于选项D ,虽然定义域相同,但对应关系不同,不是相等函数.一、选择题1.设f (x )=x 2-1x 2+1,则f (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=( )A .1B .-1 C.53 D .-35答案 B解析 f (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=22-122+1⎝ ⎛⎭⎪⎫122-1⎝ ⎛⎭⎪⎫122+1=35-3454=35×⎝ ⎛⎭⎪⎫-53=-1.2.[2016·太原五中高一月考]设M ={x |0≤x ≤2},N ={y |0≤y ≤2},给出下列四个图形,其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有( )答案 B解析A中x的取值为0≤x≤1,不符合;C中y的取值为0≤y≤3,不符合;D中,当x>0时,一个x存在两个y与之对应,不是函数,故选B.3.下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是()A.f(x)=|x| B.f(x)=x-|x|C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x答案 C解析将f(2x)表示出来,看与2f(x)是否相等.对于A,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x);对于B,f(2x)=2x-|2x|=2(x-|x|)=2f(x);对于C,f(2x)=2x+1≠2f(x);对于D,f(2x)=-2x=2f(x),故只有C不满足f(2x)=2f(x),所以选C.4.[2015·许昌五校高一联考]下列各组函数中表示同一函数的是()①f(x)=-2x3与g(x)=x-2x;②f(x)=|x|与g(x)=3x3;③f(x)=x0与g(x)=1x0;④f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1.A.①②B.②③C.③④D.①④答案 C解析①中,两函数定义域相同,都是(-∞,0],但f(x)=-2x3=-x-2x 与g(x)对应关系不同,不是同一函数;②中,两函数定义域相同,都是R,但g(x)=3x3=x与f(x)对应关系不同,不是同一函数;③中,定义域相同,对应关系也相同;④中虽然表示自变量的字母不相同,但两函数的定义域和对应关系都相同.故选C.5.[2016·西安高一检测]下列式子中不能表示函数y =f (x )的是( ) A .x =y 2 B .y =x +1 C .x +y =0 D .y =x 2答案 A解析 根据函数的定义判断,由于A 中对于一个确定的x ,有2个y 与它对应,所以不符合函数的定义要求,故选A.二、填空题6.已知f (x )=π(x ∈R ),则f (x 2)=________. 答案 π解析 由函数的定义可知,f (x 2)=π.7.若[a,3a -1]为一确定区间,则a 的取值范围是________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞解析 3a -1>a 则a >12,故a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞.8.已知函数f (x )的定义域为(0,+∞),且满足f (2)=1,f (xy )=f (x )+f (y ),则f (1)=________,f (4)=________.答案 0 2解析 f (xy )=f (x )+f (y ),∴f (2)=f (2×1)=f (2)+f (1),∴f (1)=0. 又∵f (4)=f (2×2)=f (2)+f (2)=2f (2)=2. 三、解答题9.判断下列各组的两个函数是否相等,并说明理由. (1)y =x -1,x ∈R 与y =x -1,x ∈N ; (2)y =x 2与y =x ·x ; (3)y =1+1x 与y =1+1u .解 (1)前者的定义域是R ,后者的定义域是N ,由于它们的定义域不同,故两个函数不相等.(2)前者的定义域是R ,后者的定义域是{x |x ≥0},它们的定义域不同,故两个函数不相等.(3)两个函数的定义域相同(均为非零实数),对应关系相同(都是自变量取倒数后加1),故两个函数相等.10.已知f (x )=x 21+x 2,x ∈R .(1)计算f (a )+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 的值;(2)计算f (1)+f (2)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12+f (3)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13+f (4)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值.解 (1)由于f (a )=a 21+a 2,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a =11+a 2,所以f (a )+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a =1.(2)解法一:因为f (1)=121+12=12,f (2)=221+22=45, f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=⎝ ⎛⎭⎪⎫1221+⎝ ⎛⎭⎪⎫122=15,f (3)=321+32=910, f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13=⎝ ⎛⎭⎪⎫1321+⎝ ⎛⎭⎪⎫132=110,f (4)=421+42=1617, f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14=⎝ ⎛⎭⎪⎫1421+⎝ ⎛⎭⎪⎫142=117,所以f (1)+f (2)+f⎝ ⎛⎭⎪⎫12+f (3)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13+f (4)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14=12+45+15+910+110+1617+117=72.解法二:由(1)知f (a )+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a =1,所以f (2)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=1,f (3)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13=1,f (4)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14=1,又f (1)=121+12=12, 所以f (1)+f (2)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12+f (3)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13+f (4)+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14=12+1+1+1=72.课时7 函数的定义域、值域1.函数的定义域是自变量的取值集合. 2.函数的值域是函数值的取值集合. 3.函数定义域的求法 (1)y =1f (x )中f (x )≠0. (2)y =f (x )中f (x )≥0. (3)y =[f (x )]0中f (x )≠0.(4)当f (x )由几部分构成时,定义域是使各部分都有意义的实数的集合. (5)若f (x )是由实际问题列出的,则定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.) A .{x |x ≤1}B .{x |x ≥0}C .{x |x ≥1,或x ≤0}D .{x |0≤x ≤1}答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1-x ≥0,x ≥0,解得0≤x ≤1,故选D.2.[2016·重庆一中高一检测]函数f (x )=2x +3x +1的定义域是________.答案⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥-32且x ≠-1解析 若使函数有意义,则2x +3≥0且x +1≠0. ∴x ≥-32且x ≠-1.∴定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥-32且x ≠-1.3.的定义域为. 答案 [0,1]解析 ∵f (x )的定义域为[-1,1],∴-1≤2x-1≤1,∴0≤x≤1.∴函数f(2x-1)的定义域为[0,1].≤x,值域为{y|-1≤y≤2,y≠0},则y=f(x)的图象可能是()答案 B解析由y=f(x)的定义域为{x|-3≤x≤8且x≠5},排除A、D,再由函数的定义知,对任意一个x值都有唯一确定的y值与它对应,排除C,故选B.5.已知函数f(x)=x2-2x(-1≤x≤2).(1)画出f(x)的图象;(2)根据图象写出f(x)的值域.解(1)f(x)的图象如图所示.(2)观察f (x )的图象可知,f (x )图象上所有点的纵坐标的取值范围是[-1,3],则f (x )的值域是[-1,3].6.易错分析 解本题时考虑到1+1x ≥0解出x 的取值范围,未考虑到x ≠0导致定义域解错.正解 ⎩⎪⎨⎪⎧1+1x ≥0x ≠0解得x ≤-1或x >0. 所以函数的定义域为(-∞,-1]∪(0,+∞).一、选择题1.[2016·广东深圳中学月考]已知函数y =1-x2x 2-3x -2,则其定义域为( )A .(-∞,1]B .(-∞,2]C.⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤-12,1 答案 D 解析 要使式子1-x2x 2-3x -2有意义,则⎩⎪⎨⎪⎧1-x ≥02x 2-3x -2≠0,即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1x ≠2且x ≠-12,所以x ≤1且x ≠-12,即该函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤-12,1,故选D.2.[2016·北京海淀期末]函数y =-x 2+1,-1≤x <2的值域是( )A .(-3,0]B .(-3,1]C .[0,1]D .[1,5)答案 B解析 由y =-x 2+1,x ∈[-1,2),可知当x =2时,y min =-4+1=-3;当x =0时,y max =1,∵x ≠2,∴函数的值域为(-3,1],故选B.3.若A ={x |y =x +1},B ={y |y =x 2+1},则A ∩B 等于( ) A .{x |x ≥1} B .{x |x ≥-1} C .{x |-1≤x ≤1} D .{x |x ≥0} 答案 A解析 由A ={x |y =x +1}={x |x ≥-1},B ={y |y =x 2+1}={x |x ≥1},∴A ∩B ={x |x ≥1}.4.[2016·成都高一月考]已知a 为实数,则下列函数中,定义域和值域都有可能是R 的是( )A .f (x )=x 2+aB .f (x )=ax 2+1C .f (x )=ax 2+x +1D .f (x )=x 2+ax +1答案 C解析 A 中函数的值域为[a ,+∞); B 中函数,a =0时,值域为{1},a >0时,值域为[1,+∞),a <0时,值域为(-∞,1]; C 中函数,a =0时,值域为R . a <0时,值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,4a -14a . a >0时,值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫4a -14a ,+∞; D 中函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫4-a 24,+∞.5.下列函数中,值域为(0,+∞)的是( ) A .y =x B .y =1xC .y =1x D .y =x 2+1答案 B解析 A 中x ≥0,所以y ≥0;B 中x >0,所以y >0;C 中x ≠0,所以y ≠0;D 中,x ∈R ,所以y ≥1,故选B.二、填空题6.已知函数f (x )=2x -3,x ∈{x ∈N |1≤x ≤5},则函数f (x )的值域为________. 答案 {-1,1,3,5,7}解析 x ∈{x ∈N |1≤x ≤5}={1,2,3,4,5},∴x =1时y =-1;x =2时y =1;x =3时,y =3;x =4时,y =5;x =5时,y =7,∴y ∈{-1,1,3,5,7}.7.已知f (2x -1)的定义域为[-1,1],则函数f (x )的定义域为________. 答案 [-3,1]解析 ∵f (2x -1)的定义域为[-1,1], ∴x ∈[-1,1].令t =2x -1,∴-3≤t ≤1. ∴f (x )的定义域为[-3,1].8.若函数f (x )的定义域是[0,1],则函数f (2x )+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +23的定义域为________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,13解析 由⎩⎨⎧0≤2x ≤1,0≤x +23≤1,得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤12,-23≤x ≤13.即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,13.三、解答题9.求下列函数的定义域. (1)f (x )=5-x|x |-3;(2)y =x -1+1-x . 解 (1)要使函数有意义,则⎩⎪⎨⎪⎧ 5-x ≥0,|x |-3≠0,即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤5,x ≠±3,在数轴上标出,如图,即x <-3,或-3<x <3,或3<x ≤5.故函数f (x )的定义域为(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5].当然也可以表示为{x |x <-3,或-3<x <3,或3<x ≤5}.(2)要使函数有意义, 则⎩⎪⎨⎪⎧x -1≥0,1-x ≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1,x ≤1.所以x =1,从而函数的定义域为{1}. 10.求下列函数的值域. (1)y =x +1; (2)y =1-xx +2; (3)y =2x -x -1.解 (1)(观察法)因为x ≥0,所以x +1≥1,所以y =x +1的值域为[1,+∞).(2)(分离常数法)y =1-x x +2=-(x +2)+3x +2=-1+3x +2,故y =1-x x +2的值域为{y |y∈R 且y ≠-1}.(3)(换元法)设t =x -1(x -1≥0),则t ≥0且x =t 2+1,所以y =2(t 2+1)-t =2⎝ ⎛⎭⎪⎫t -142+158,由t ≥0,可得函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158,+∞.►1.2.2 函数的表示法课时8 函数的表示法函数的三种表示法(1)解析法——用数学表达式表示两个变量之间的对应关系;(2)图象法——用图象表示两个变量之间的对应关系;(3)列表法——列出表格来表示两个变量之间的对应关系.1.A.0 B.2f(x)C.-2f(x) D.2f(-x)答案 A解析f(x)+f(-x)=x3-x-x3+x=0.2.一个面积为100 cm2的等腰梯形,上底长为x cm,下底长为上底长的3倍,则把它的高y表示成x的函数为()A.y=50x(x>0) B.y=100x(x>0)C.y=50x(x>0) D.y=100x(x>0)答案 C解析由x+3x2·y=100,得2xy=100.∴y=50x(x>0).3.A.96件B.97件C.107件D.108件答案 C解析若按单价25元,则不够300件,故这不可能.若按单价27元购买,可买107件,符合101~300件的范围.4.设f,g都是由A到A的函数,其对应法则如下表(从上到下):表1函数f的对应法则表2函数g则与f[g(1)]A.g[f(1)] B.g[f(2)] C.g[f(3)] D.g[f(4)] 答案 A解析f[g(1)]=f(4)=1,g[f(1)]=g(3)=1,故选A.5.(1)y=|x| x;(2)y=x3+x |x|;(3)y=2x2-4x-3(0≤x≤3).解(1)y=|x|x=⎩⎪⎨⎪⎧1(x>0),-1(x<0).图象如下图(1)所示.(2)y=x3+x|x|=⎩⎪⎨⎪⎧x2+1(x>0),-x2-1(x<0).图象如下图(2)所示.(3)y=2(x-1)2-5(0≤x≤3),图象如下图(3)所示.。

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(3)能使用 图表达集合间的关系,体会直观图示对理解抽象概念的作用.
2.过程与方法
让学生通过观察身边的实例,发现集合间的基本关系,体验其现实意义.
3.情感.态度与价值观
(1)树立数形结合的思想.
(2)体会类比对发现新结论的作用.
二.教学重点.难点
重点:集合间的包含与相等关系,子集与其子集的概念.
难点:难点是属于关系与包含关系的区别.
(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥;
(6)到一个角的两边距离相等的所有的点;
(7)方程 的所有实数根;
(8)不等式 的所有解;
(9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体.
2.教师组织学生分组讨论:这9个实例的共同特征是什么?
3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果,在此基础上,师生共同概括出9个实例的特征,并给出集合的含义.
(六)承上启下,留下悬念
1.课后书面作业:第13页习题1.1A组第4题.
2.元素与集合的关系有多少种?如何表示?类似地集合与集合间的关系又有多少种呢?如何表示?请同学们通过预习教材.
§1.1.2集合间的基本关系
一.教学目标:
1.知识与技能
(1)了解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集。
(2)理解子集.真子集的概念。
第一章集合与函数概念
集合
函数及其表示
函数的基本性质
第二章基本初等函数(Ⅰ)
指数函数
对数函数
幂函数
第三章函数的应用
函数与方程
函数模型及其应用
第一章集合与函数
§1.1.1集合的含义与表示
一.教学目标:
l.知识与技能
(1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;

人教版(新教材)高中数学必修1(第一册)学案:4.5.2 用二分法求方程的近似解

人教版(新教材)高中数学必修1(第一册)学案:4.5.2 用二分法求方程的近似解

4.5.2 用二分法求方程的近似解学习目标 1.了解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想.知识点一二分法对于在区间『a,b』上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.由函数的零点与相应方程根的关系,可用二分法来求方程的近似解.思考已知函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,采用什么方法能进一步有效缩小零点所在的区间?『答案』可采用“取中点”的方法逐步缩小零点所在的区间.知识点二用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤1.确定零点x0的初始区间『a,b』,验证f(a)·f(b)<0.2.求区间(a,b)的中点c.3.计算f(c),并进一步确定零点所在的区间:(1)若f(c)=0(此时x0=c),则c就是函数的零点;(2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a,c)),则令b=c;(3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c,b)),则令a=c.4.判断是否达到精确度ε:若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤(2)~(4).以上步骤可简化为:定区间,找中点,中值计算两边看;同号去,异号算,零点落在异号间;周而复始怎么办?精确度上来判断.1.如果函数零点两侧函数值同号,不适合用二分法求此零点近似值.(√)2.要用二分法,必须先确定零点所在区间.(√)3.用二分法最后一定能求出函数零点.(×)4.达到精确度后,所得区间内任一数均可视为零点的近似值.(√)一、二分法概念的理解例1以下每个图象表示的函数都有零点,但不能用二分法求函数零点的是()考点二分法的概念题点判断是否能用二分法求解零点『答案』 C『解析』使用二分法必先找到零点所在区间『a,b』,且f(a)·f(b)<0,但C中找不到这样的区间.反思感悟运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图象在零点附近连续不断.(2)在该零点左右函数值异号.只有满足上述两个条件,才可用二分法求函数零点.跟踪训练1已知函数f(x)的图象如图,其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A.4,4B.3,4C.5,4D.4,3『答案』 D『解析』图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4;左右函数值异号的零点有3个,所以可以用二分法求解的个数为3,故选D.二、用二分法求方程的近似解例2(1)在用二分法求函数f(x)零点近似值时,第一次取的区间是(-2,4),则第三次所取的区间可能是()A.(1,4) B.(-2,1)C.(-2,2.5) D.(-0.5,1)『答案』 D『解析』因为第一次所取的区间是(-2,4),所以第二次所取的区间可能是(-2,1),(1,4),第三次所取的区间可能为(-2,-0.5),(-0.5,1),(1,2.5),(2.5,4),故选D.(2)用二分法求方程2x3+3x-3=0的一个正实数近似解.(精确度0.1)解令f(x)=2x3+3x-3,经计算,f(0)=-3<0,f(1)=2>0,f(0)·f(1)<0,所以函数f(x)在(0,1)内存在零点,即方程2x3+3x-3=0在(0,1)内有解.取(0,1)的中点0.5,经计算f(0.5)<0,又f(1)>0,所以方程2x3+3x-3=0在(0.5,1)内有解.如此继续下去,得到方程的正实数根所在的区间,如表:由于|0.6875-0.75|=0.0625<0.1,所以0.75可作为方程的一个正实数近似解.反思感悟利用二分法求方程的近似解的步骤(1)构造函数,利用图象确定方程的解所在的大致区间,通常取区间(n,n+1),n∈Z.(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M.(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解,通常取区间M的一个端点.跟踪训练2(1)用二分法求方程2x+3x-7=0在区间『1,3』内的根,取区间的中点为x0=2,那么下一个有根的区间是________.『答案』(1,2)『解 析』 设f (x )=2x +3x -7,f (1)=2+3-7=-2<0,f (3)=10>0,f (2)=3>0,f (x )零点所在的区间为(1,2),所以方程2x +3x -7=0下一个有根的区间是(1,2). (2)用二分法求函数f (x )=x 3-3的正零点.(精确度0.02) 考点 用二分法求函数零点的近似值 题点 用二分法求方程的近似解 解 由于f (0)=-3<0, f (1)=-2<0,f (2)=5>0,故可取区间(1,2)作为计算的初始区间. 用二分法逐次计算,列表如下:区间 中点的值 中点函数值(或近似值)(1,2) 1.5 0.375 (1,1.5) 1.25 -1.047 (1.25,1.5) 1.375 -0.400 (1.375,1.5) 1.4375 -0.030 (1.4375,1.5) 1.46875 0.168 (1.4375,1.46875) 1.4531250.068 (1.4375,1.453125)因为|1.453125-1.4375|=0.015625<0.02,所以函数f (x )=x 3-3的零点的近似值可取为1.4375.1.下列函数中,必须用二分法求其零点的是( ) A .y =x +7 B .y =5x -1 C .y =log 3x D .y =⎝⎛⎭⎫12x-x『答 案』 D『解 析』 A ,B ,C 项均可用解方程求其根,D 项不能用解方程求其根,只能用二分法求零点.2.观察下列函数的图象,判断能用二分法求其零点的是( )考点 二分法的概念题点 判断是否能用二分法求解零点 『答 案』 A3.用二分法求函数f (x )=x 3+5的零点可以取的初始区间是( ) A .『-2,-1』 B .『-1,0』 C .『0,1』 D .『1,2』『答 案』 A4.在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时,经计算,f (0.64)<0,f (0.72)>0,f (0.68)<0,则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为( ) A .0.6B .0.75C .0.7D .0.8 『答 案』 C『解 析』 已知f (0.64)<0,f (0.72)>0, 则函数f (x )的零点的初始区间为『0.64,0.72』. 又0.68=0.64+0.722,且f (0.68)<0,所以零点在区间(0.68,0.72)上, 因为|0.68-0.72|=0.04<0.1,因此所求函数的一个正实数零点的近似值可为0.7, 故选C.5.用二分法求函数y =f (x )在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时,验证f (2)·f (4)<0,取区间(2,4)的中点x 1=2+42=3,计算得f (2)·f (x 1)<0,则此时零点x 0所在的区间是________.考点 用二分法求函数零点的近似值 题点 用二分法判断函数零点所在的区间 『答 案』 (2,3)1.知识清单: (1)二分法的定义.(2)利用二分法求函数的零点、方程的近似解.2.方法归纳:(1)化归思想:把求方程f(x)=0的近似解转化为求函数y=f(x)的近似零点.(2)逼近思想:二分法是求函数零点的一种常用方法,是“逐步逼近”的数学思想的应用.3.常见误区:利用二分法并不适用于所有零点,只能求函数的变号零点.。

高中数学人教版A版必修一学案:第二单元 章末复习课 Word版含答案

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章末复习课网络构建核心归纳1.指数函数的图象和性质一般地,指数函数y =a x(a >0且a ≠1)的图象与性质如下表所示.数的范围,通常要用分类讨论思想.(2)a >1时,a 值越大,图象向上越靠近y 轴,递增速度越快;0<a <1时,a 值越小,图象向上越靠近y 轴,递减速度越快.(3)在同一坐标系中有多个指数函数图象时,图象的相对位置与底数大小有如下关系:在y 轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y 轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小.即无论在y 轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x =1时,y =a 去理解,如图.2.对数函数的图象和性质对数函数y =log a x (a >0且a ≠1)与指数函数y =a x(a >0且a ≠1)互为反函数,其图象关于直线y =x 对称.(如图)4.幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图象都过点(1,1). (2)如果α>0,则幂函数的图象过原点,并且在区间[0,+∞)上为增函数.(3)如果α<0,则幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数,在第一象限内,当x 从右边趋向于原点时,图象在y 轴右方无限地逼近y 轴,当x 从原点趋向于+∞时,图象在x 轴上方无限地逼近x 轴.(4)当α为奇数时,幂函数为奇函数;当α为偶数时,幂函数为偶函数.要点一 指数、对数的运算指数式的运算首先注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为分数指数幂运算,其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价,熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式,换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.【例1】 (1)化简:a 43 -8a 13 b4b 23 +23ab +a 23 ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1-23b a ×3ab ; (2)求值:12lg 3249-43lg 8+lg 245.解 (1)原式=a 13 a -8bb 13 2+2a 13 b 13 +a 132×a 13a 13 -2b 13×a 13 b 13=a 13a -8b a -8b×a 13 ×a 13 b 13 =a 3b .(2)法一 12lg 3249-43lg 8+lg 245=lg 427-lg 4+lg 7 5=lg ⎝⎛⎭⎪⎫427×14×75 =lg 10=12lg 10=12.法二 原式=12(5lg 2-2lg 7)-43·32lg 2+12(2lg 7+lg 5)=52lg 2-lg 7-2lg 2+lg7+12lg 5 =12lg 2+12lg 5=12(lg 2+lg 5) =12lg 10=12. 【训练1】 (1)化简:(8)-23 ×(3102)92 ÷105;(2)计算:2log 32-log 3329+log 38-25log 53.解 (1)原式=⎝⎛⎭⎫232 -23 ×⎝⎛⎭⎫1023 92 ÷1052 =2-1×103×10-52 =2-1×1012 =102.(2)原式=log 34-log 3329+log 38-5log 59=log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫4×932×8-9=-7. 要点二 指数函数、对数函数、幂函数的图象问题 函数图象的画法4解析 法一 当x =0时,y =0,故可排除选项A ,由1-x >0,得x <1,即函数的定义域为(-∞,1),排除选项B ,又易知函数在其定义域上是减函数,故选C .法二 函数y =2log 4(1-x )的图象可认为是由y =log 4x 的图象经过如下步骤变换得到的:(1)函数y =log 4x 的图象上所有点的横坐标不变.纵坐标变为原来的2倍,得到函数y =2log 4x 的图象;(2)把函数y =2log 4x 关于y 轴对称得到函数y =2log 4(-x )的图象;(3)把函数y =2log 4(-x )的图象向右平移1个单位,即可得到y =2log 4(1-x )的图象,故选C .答案 C【训练2】在同一直角坐标系中,函数f(x)=x a(x≥0),g(x)=log a x的图象可能是( )解析法一当a>1时,y=x a与y=log a x均为增函数,但y=x a递增较快,排除C;当0<a<1时,y=x a为增函数,y=log a x为减函数,排除A.由于y=x a递增较慢,所以选D.法二幂函数f(x)=x a的图象不过(0,1)点,故A错;B项中由对数函数f(x)=log a x的图象知0<a<1,而此时幂函数f(x)=x a的图象应是增长越来越慢的变化趋势,故B错;D对;C项中由对数函数f(x)=log a x的图象知a>1,而此时幂函数f(x)=x a的图象应是增长越来越快的变化趋势,故C错.答案 D要点三大小比较问题数的大小比较常用方法:(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型,主要考查数、指数函数、对数函数幂函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用.常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法.(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时,可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值,然后利用该函数的单调性比较.(3)比较多个数的大小时,先利用“0”和“1”作为分界点,即把它们分为“小于0”,“大于等于0小于等于1”,“大于1”三部分,再在各部分内利用函数的性质比较大小.π,c=π-2,则( )【例3】设a=log2π,b=log12A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>b>a解析因为π>2,所以a=log2π>1,所以b=log1π<0.因为π>1,所以0<π-2<1,即20<c<1,所以a>c>b.答案 C【训练3】 设a =log 123,b =⎝ ⎛⎭⎪⎫130.2,c =213 ,则( )A .a <b <cB .c <b <aC .c <a <bD .b <a <c解析 a =log 123<0,0<b =⎝ ⎛⎭⎪⎫130.2<1,c =213 >1,故有a <b <c . 答案 A要点四 函数的定义域与值域 函数值域(最值)的求法(1)直观法:图象在y 轴上的“投影”的范围就是值域的范围. (2)配方法:适合二次函数.(3)反解法:有界量用y 来表示.如y =1-x 21+x 2中,由x 2=1-y 1+y ≥0可求y 的范围,可得值域.(4)换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,特别注意新变量的范围. (5)单调性:特别适合于指、对数函数的复合函数. 【例4】 (1)函数f (x )=1log 2x -的定义域为( ) A .(-∞,2) B .(2,+∞) C .(2,3)∪(3,+∞)D .(2,4)∪(4,+∞)(2)设0≤x ≤2,y =4x -12 -3·2x+5,试求该函数的最值. (1)解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧log 2x -,x -2>0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠3,x >2,所以函数f (x )的定义域为(2,3)∪(3,+∞).答案 C(2)解 令k =2x(0≤x ≤2),∴1≤k ≤4.则y =22x -1-3·2x+5=12k 2-3k +5.又y =12(k -3)2+12,k ∈[1,4],∴y =12(k -3)2+12,在k ∈[1,3]上是减函数,在k ∈[3,4]上是增函数,∴当k =3时,y min =12;当k =1时,y max =52.即函数的最大值为52,最小值为12.【训练4】 (1)若f (x )=1log 0.5x +,则函数f (x )的定义域为( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,+∞ B .(0,+∞)C .⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,0D .⎝ ⎛⎦⎥⎤-12,0(2)函数f (x )=ln ⎝⎛⎭⎪⎫1+1x +1-x 2的定义域为________.解析 (1)f (x )=1log 0.5x +的定义域为:⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎩⎪⎨⎪⎧2x +1>0,log 0.5x +,即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x >-12,2x +1<1, 解得{x |-12<x <0}.故选C .(2)由条件知⎩⎪⎨⎪⎧1+1x>0,x ≠0,1-x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <-1或x >0,x ≠0,-1≤x ≤1⇒x ∈(0,1].答案 (1)C (2)(0,1]。

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人教A版必修第一册全册学案第一章集合与常用逻辑用语................................................................................................ - 1 -1.1集合的概念 ............................................................................................................ - 1 -1.2集合间的基本关系................................................................................................. - 9 -1.3集合的基本运算...................................................................................................... - 18 -1.4充分条件与必要条件.............................................................................................. - 32 -1.5全称量词与存在量词.............................................................................................. - 43 -第二章一元二次函数、方程和不等式.............................................................................. - 51 -2.1等式性质与不等式性质....................................................................................... - 51 -2.2基本不等式 .......................................................................................................... - 58 -2.3二次函数与一元二次方程、不等式(1) ................................................................. - 70 -2.3二次函数与一元二次方程、不等式(2) ................................................................. - 79 -第三章函数的概念与性质.................................................................................................. - 86 -3.1函数的概念及其表示........................................................................................... - 86 -3.2函数的基本性质................................................................................................. - 110 -3.3幂函数 ................................................................................................................ - 134 -3.4函数的应用(一) .................................................................................................. - 143 -第四章指数函数与对数函数............................................................................................ - 153 -4.1 指数 ...................................................................................................................... - 153 -4.2 指数函数 .............................................................................................................. - 161 -4.3对数 .................................................................................................................... - 173 -4.4对数函数 ............................................................................................................ - 186 -4.5函数的应用(二) .................................................................................................. - 210 -第五章三角函数................................................................................................................ - 233 -5.1任意角和弧度制................................................................................................. - 233 -5.2三角函数的概念................................................................................................. - 250 -5.3诱导公式(1) ........................................................................................................ - 268 -5.3诱导公式(2) .........................................................................................................- 276 -5.4三角函数的图象与性质..................................................................................... - 283 -5.5三角恒等变换..................................................................................................... - 333 -5.6函数y=A sin(ωx+φ) ......................................................................................... - 348 -5.7三角函数的应用................................................................................................. - 367 - 第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系.数学抽象数学建模2.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题.授课提示:对应学生用书第1页[教材提炼]知识点一集合的概念预习教材,思考问题(1)方程x2-3x+2=0的所有实数根;(2)所有的正方形;(3)某班所有的“帅哥”.上述问题中的元素可否看成一个“集合”?知识梳理(1)一般地,我们把研究对象统称为元素(element),把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集).(2)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性.我们通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合,用小写拉丁字母a,b,c,…表示集合中的元素.知识点二元素与集合的关系预习教材,思考问题设方程x2-3x+2=0的所有实根构成集合A.1是否在集合A里面?2是否在里面?0是否在里面?知识梳理(1)如果a是集合A的元素,就说a属于(belong to)集合A,记作a ∈A;如果a不是集合A中的元素,就说a不属于(not belong to)集合A,记作a∉A.(2)常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N+Z Q R知识点三集合的表示预习教材,思考问题我们可以用自然语言描述一个集合.除此之外,还可以用什么方式表示集合呢?知识梳理(1)列举法把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.“方程x2-3x+2=0的所有实数根”组成的集合可以表示为{1,2}.(2)描述法一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x 所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.“方程x2-3x+2=0的所有实数根”组成的集合用描述法可表为{x∈R|x2-3x +2=0}.知识点四相等集合预习教材,思考问题A={方程x2-3x+2=0的实数根}B={1,2}C={x∈R|x2-3x+2=0}A、B、C可否说为相等集合?知识梳理只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.[自主检测]1.(教材P5练习1改编)下列给出的对象中,能组成集合的是()A.与定点A,B等距离的点B.高中学生中的游泳能手C.无限接近10的数D.非常长的河流答案:A2.若一个集合中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长,则此三角形一定不是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形答案:D3.下列结论中,不正确的是()A.若a∈N,则1a∉N B.若a∈Z,则a2∈ZC.若a∈Q,则|a|∈Q D.若a∈R,则3a∈R答案:A4.(教材P4例2改编)分别用描述法、列举法表示大于0小于6的自然数组成的集合.解析:描述法:{x∈N|0<x<6},列举法:{1,2,3,4,5}.授课提示:对应学生用书第2页探究一集合的概念[例1]下列对象中可以构成集合的是()A.大苹果B.小橘子C.中学生D.著名的数学家[解析]选项正误原因A ×大苹果到底以多重算大,标准不明确B ×小橘子到底以多重算小,标准不明确C √中学生标准明确,故可构成集合D ד著名”的标准不明确[答案]判断一个“全体”是否能构成一个集合,其关键是对标准的“确定性”的把握,即根据这个“标准”,可以明确判定一个对象是或者不是给定集合的元素.给出下列元素①学习成绩较好的同学;②方程x 2-1=0的解;③漂亮的花儿;④大气中直径较大的颗粒物.其中能组成集合的是( ) A .② B .①③ C .②④ D .①②④答案:A探究二 元素与集合的关系 [例2] 集合A 中的元素x 满足63-x∈N ,x ∈N ,则集合A 中的元素为________. [解析] 由63-x ∈N ,x ∈N 知x ≥0,63-x >0,且x ≠3,故0≤x <3.又x ∈N ,故x =0,1,2.当x =0时,63-0=2∈N ;当x =1时,63-1=3∈N ;当x =2时,63-2=6∈N .故集合A 中的元素为0,1,2.[答案] 0,1,21.若本例2中集合A 是由形如2m +n (m ∈Z ,n ∈Z )(例如数22-1)的数构成的,判断12-1是不是集合A 中的元素. 解析:12-1=2+1=1×2+1, 而1,1∈Z ,所以2+1∈A ,即12-1∈A . 2.若本例2集合A 是由正整数构成的且满足“若x ∈A ,则10-x ∈A ”,则集合A 中元素个数至多有多少个?解析:由x ∈A ,则10-x ∈A 可得:x >0,10-x >0,解得:0<x <10,x ∈N *.若1∈A,则9∈A.同理可得:2,3,4,5,6,7,8,都属于集合A.因此集合A中元素个数至多有9个.答案:9探究三集合的表示[例3]教材给出了奇数集合{x∈Z|x=2k+1,k∈Z}.(1)用这样的方法表示偶数集.(2)用这样的方法表示除以3余1的整数集合.(3)当x∈Z,y∈Z点(x,y)称为整点,如何表示坐标系中第一象限内的整点?[解析](1)偶数集{x∈Z|x=2k,k∈Z}.(2){x∈Z|x=3k+1,k∈Z}(3){(x,y)|x>0,y>0,x∈Z,y∈Z}1.对于含有有限个元素且个数较少的集合,采用列举法表示集合较合适;对于元素个数较多的集合,如果构成该集合的元素具有明显的规律,在不发生误解的情况下,可以列举出几个元素作为代表,其他元素用省略号表示,如N*={1,2,3,…}.2.一般地,元素较多的无限集用描述法表示集合.用另一种方法表示下列集合:(1){绝对值不大于2的整数};(2){能被3整除,且小于10的正数};(3){x|x=|x|,x∈Z且x<5};(4){-3,-1,1,3,5}.解析:(1){-2,-1,0,1,2}.(2){3,6,9}.(3)因为x=|x|,所以x≥0.又因为x∈Z且x<5,所以x=0,1,2,3,4.所以集合可以表示为{0,1,2,3,4}.(4){x|x=2k-1,-1≤k≤3,k∈Z}.探究四集合元素的特性及应用[例4]已知集合A由元素a-3,2a-1,a2-4构成,且-3∈A,求实数a的值.[解析]因为-3∈A,A={a-3,2a-1,a2-4},所以a-3=-3或2a-1=-3或a2-4=-3.若a-3=-3,则a=0,此时集合A={-3,-1,-4},符合题意.若2a-1=-3,则a=-1,此时集合A={-4,-3,-3},不满足集合中元素的互异性.若a2-4=-3,则a=1或a=-1(舍去),当a=1时,集合A={-2,1,-3},符合题意.综上可知,a=0,或a=1.利用集合中元素的互异性求参数问题(1)根据集合中元素的确定性,可以解出字母的所有可能值,再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验;(2)利用集合中元素的特性解题时,要注意分类讨论思想的应用.如果集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}中只有一个元素,则实数a的值是()A.0 B.0或1C.1 D.不能确定解析:集合A中只有一个元素,有两种情况:当a≠0时,由Δ=0,解得a=1,此时A={-1},满足题意;当a=0时,x=-12,此时A=⎩⎨⎧⎭⎬⎫-12,满足题意.故集合A中只有一个元素时,a=0或a=1.答案:B授课提示:对应学生用书第3页一、“天下谁人不识君”——集合中描述法的认识►直观想象、逻辑推理 1.两步认识描述法表示的集合(1)一看代表元素:例如{x |p (x )}表示数集,{(x ,y )|y =p (x )}表示点集. (2)二看条件:即看代表元素满足什么条件(公共特征). 2.四个集合的区别(1)A ={x |y =x 2+1}表示使函数y =x 2+1有意义的自变量x 的取值范围,且x 的取值范围是R ,因此A =R .(2)B ={y |y =x 2+1}表示使函数y =x 2+1有意义的函数值y 的取值范围,而y 的取值范围是y =x 2+1≥1,因此,B ={y |y ≥1}.(3)C ={(x ,y )|y =x 2+1}表示满足y =x 2+1的点(x ,y )组成的集合,因此C 表示函数y =x 2+1的图象上的点组成的集合.(4)P ={y =x 2+1}是用列举法表示的集合,该集合中只有一个元素,且此元素是一个式子y =x 2+1.[典例] 1.已知A ={1,2,3},B ={2,4},定义集合A ,B 间的运算A *B ={x |x ∈A 且x ∉B },则集合A *B 等于( )A .{1,2,3}B .{2,3}C .{1,3}D .{2}[解析] x =1∈A,1∉B ; x =2∈A,2∈B ; x =3∈A,2∉B ; ∴A *B ={1,3}. [答案] C2.二次函数y =x 2-1上的图象上纵坐标为3的点的集合为________. [解析] 点可看作由⎩⎨⎧y =x 2-1y =3组成的解集可用描述法.令y =3得:x 2-1=3,所以x =-2或x =2.所以在y =x 2-1的图象上且纵坐标为3的点的集合为:{(-2,3),(2,3)}.[答案] {(-2,3),(2,3)}或⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ,y )⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧ y =x 2-1y =3 二、集合相等的误区——都是元素惹的“祸”►数学运算、逻辑推理 [典例] 已知集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ,b a ,1,B ={a 2,a +b,0},若A =B ,则a 2 018+b 2 018的值为________.[解析]因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ,ba ,1=(a 2,a +b,0), 又因为a ≠0,1≠0,所以ba =0, 所以b =0,所以{a,0,1}={a 2,a,0}, 所以a 2=1,即a =±1, 又当a =1时,A ={1,0,1}不满 足集合中元素的互异性,舍去, 所以a =-1, 即集合A ={-1,0,1}, 此时a =-1,b =0,故a 2 018+b 2 018 =(-1)2 018+02 018=1+0=1. [答案] 1纠错心得 解答根据集合相等求字母的值的问题时,首先要认真审题明确集合中元素有哪些,找准“突破口”;其次要注意解出字母的值之后,检验元素的互异性.如本例中通过审题找到ba =0这一突破口,求出a =±1后,检验a =1时不满足互异性舍去.1.2 集合间的基本关系内容标准学科素养1.理解集合之间的包含与相等的含义.数学抽象、直观想象数学运算能识别给定集合的子集.2.针对具体集合,利用集合包含关系求参数.3.在具体情境中了解空集的含义.授课提示:对应学生用书第4页[教材提炼]知识点一子集的定义预习教材,思考问题A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};A与B之间有什么关系?能说A比B小吗?知识梳理(1)Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.(2)子集一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集(subset),记作A⊆B(或B⊇A),读作“A包含于B”(或“B包含A”).(3)一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作A=B.也就是说,若A⊆B,且B⊆A,则A=B.知识点二真子集预习教材,思考问题如果A⊆B,那么A与B有可能相等吗?知识梳理如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B 的真子集(proper subset),记作A B(或B A).例如,A⊆B,但a∈B,且a∉A,所以集合A是集合B的真子集.知识点三空集的定义预习教材,思考问题方程x2+1=0的解集是什么?知识梳理空集及表示一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集(empty set),记为∅,并规定:空集是任何集合的子集.是任何非空集合的真子集.知识点四子集的性质预习教材,思考问题A={1,2,3},B={1,2,3,4},C={1,2,3,4,5},A、B、C之间有什么关系?知识梳理(1)任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A;(2)对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆C.(3)对于集合A、B、C,如果A B,且B C,那么A C.[自主检测]1.(教材P8练习2题改编)下列关系式正确的是()A.{0}⊆{0}B.{0}∈{0}C.0={0} D.0∉{0}答案:A2.下列集合中是空集的是()A.{∅} B.{x∈R|x2+1=0}C.{x|x<4或x>8} D.{x|x2+2x+1=0}答案:B3.集合{a、b}的非空真子集为________.答案:{a},{b}4.用适当的符号填空:(1)a________{a,b,c};(2)∅________{x∈R|x2+7=0};(3){0}________(x|x2=x).答案:(1)∈(2)=(3)授课提示:对应学生用书第4页探究一 集合关系的判断 [例1] 已知集合M =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x =m +16,m ∈Z,N =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x =n 2-13,n ∈Z,P =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x =p 2+16,p ∈Z.试确定M ,N ,P 之间的关系.[解析] 集合M =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x =m +16,m ∈Z . 关于集合N :①当n 是偶数时,令n =2m (m ∈Z ), 则N =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x =m -13,m ∈Z; ②当n 是奇数时,令n =2m +1(m ∈Z ), 则N =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x =2m +12-13,m ∈Z =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x =m +16,m ∈Z . 从而,得M N .关于集合P :①当p =2m (m ∈Z )时,P =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x =m +16,m ∈Z; ②当p =2m -1(m ∈Z )时, P =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x =2m -12+16,m ∈Z=⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x =m -13,m ∈Z . 从而,得N =P .综上,知M N =P .判断集合间关系的常用方法(1)列举观察法当集合中元素较少时,可列举出集合中的全部元素,通过定义得出集合之间的关系.(2)集合元素特征法先确定集合的代表元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系.(3)数形结合法利用数轴或Venn 图可清晰、明了地判断集合间的关系,其中不等式的解集之间的关系,适合用数轴法.1.集合A ={x |(x -3)(x +2)=0},B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x -3x +2=0,则A 与B 的关系是( ) A .A ⊆B B .A =B C .A BD .BA解析:∵A ={-2,3},B ={3},∴B A . 答案:D2.已知集合A ={x |x <-2或x >0},B ={x |0<x <1},则( ) A .A =B B .ABC .B AD .A ⊆B解析:在数轴上分别画出集合A ,B ,如图所示,由数轴知B A .答案:C探究二 子集、真子集及个数问题[例2] [教材P 8例1探究](1)已知集合A ={x ∈R |x 2-3x +2=0},B ={x ∈N |0<x <5},则满足条件A CB 的集合C 的个数为( )A .1B .2C .3D .4[解析] 由x 2-3x +2=0,得x =1或x =2,所以A ={1,2}.由题意知B ={1,2,3,4},所以满足条件的C可为{1,2,3},{1,2,4}.[答案] B(2)写出集合{a、b、c}的所有子集,并指出它的真子集有多少个?[解析]子集有:{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},∅共8个.真子集有:{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},∅共7个.(3)若集合A中有5个元素,不具体写出子集.可猜到有多少个子集吗?[解析]25=32个.1.元素个数与集合子集个数的关系(1)探究.集合A中元素的个数集合A子集个数集合An∅0 1{a}1 2{a,b}2 4{a,b,c}38{a,b,c,d}416(2)①A的子集的个数有2n个.②A的非空子集的个数有(2n-1)(n≥1)个.③A的非空真子集的个数有(2n-2)(n≥1)个.2.求给定集合的子集的两个关注点(1)按子集中元素个数的多少,以一定的顺序来写.(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.提醒:真子集个数是在子集的基础上去掉集合本身,做题时看清是真子集还是子集.1.已知集合A={x∈R|x2=a},使集合A的子集个数为2的a的值为() A.-2B.4C.0 D.以上答案都不是解析:由题意知,集合A中只有1个元素,必有x2=a只有一个解;若方程x2=a只有一个解,必有a=0.答案:C2.若A={2,3,4},B={x|x=mn,m,n∈A且m≠n},则集合B的非空真子集的个数为()A.3 B.6C.7 D.8解析:由题意A={2,3,4},B={x|x=mn,m,n∈A且m≠n},可知B={6,8,12},所以集合B的非空真子集个数为:23-2=6.答案:B探究三由集合间的关系求参数的取值范围[例3]设集合A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0}.(1)若a=15,试判定集合A与B的关系.(2)若B⊆A,求实数a的取值集合.[解析](1)由x2-8x+15=0得x=3或x=5,故A={3,5},当a=15时,由ax-1=0得x=5.所以B={5},所以B A.(2)当B=∅时,满足B⊆A,此时a=0;当B≠∅时,a≠0,集合B={1 a},由B⊆A得1a=3或1a=5,所以a=13或a=15.综上所述,实数a的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0,13,15.根据集合的包含关系求参数的两种方法(1)当集合为不连续数集时,常根据集合包含关系的意义,建立方程求解,此时应注意分类讨论思想的运用;(2)当集合为连续数集时,常借助数轴来建立不等关系求解,此时应注意端点处是实点还是虚点.已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a,a≥1},若A B,求a的取值范围.解析:由题意,在数轴上表示出集合A,B,如图所示:若A B,由图可知,a>2.授课提示:对应学生用书第6页一、相逢又相识——∈、⊆、及0、{0}、∅、{∅}的区别与联系►逻辑推理、数学抽象1.元素与集合、集合与集合的关系.“∈”是“元素”与“集合”之间的从属关系,如a∈{a}.“⊆或”是两个集合之间的包含关系.2.0、{0}、∅、{∅}的关系(1)区别:0不是一个集合,而是一个元素,而{0},∅,{∅}都为集合,其中{0}是包含一个元素0的集合;∅为不含任何元素的集合;{∅}为含有一个元素∅的集合,此时∅作为集合{∅}的一个元素.(2)联系:0∈{0},0∉∅,0∉{∅},∅⊆{0},∅{0},∅⊆{∅},∅{∅}.[典例]已知集合A={1,3,x2},B={1,x+2},是否存在实数x,使得集合B 是A的子集?若存在,求出A,B,若不存在,说明理由.[解析]因为B⊆A,所以当x+2=3,即x=1时,A={1,3,1}不满足互异性,所以x =1(舍).当x +2=x 2,即x =2或x =-1,若x =2时,A ={1,3,4},B ={1,4},满足B ⊆A ; 若x =-1时,A ={1,3,1}不满足互异性. 综上,存在x =2使得B ⊆A . 此时,A ={1,3,4},B ={1,4}.二、∅的呐喊——勿忘我►逻辑推理、直观想象[典例] 已知集合A ={x |-2≤x ≤7},B ={x |m +1<x <2m -1},若B ⊆A ,则实数m 的取值范围是________.[解析] 当B =∅时,B ⊆A 显然成立,此时有m +1≥2m -1,则m ≤2. 当B ≠∅时,若B ⊆A ,如图.则⎩⎨⎧m +1≥-2,2m -1≤7,m +1<2m -1,即⎩⎨⎧m ≥-3m ≤4,m >2,解得2<m ≤4.综上,m 的取值范围为{m |m ≤4}. [答案] {m |m ≤4}纠错心得 空集是任何集合的子集,忽视这一点会导致漏解,产生错误结论.对于形如{x |a <x <b }一类的集合,当a ≥b 时,它表示空集,解题中要十分注意.1.3集合的基本运算第一课时 并集、交集内 容 标 准学 科 素 养1.理解两个集合的并集的含义,会求两个简单集合的并集.数学抽象、数学运算直观想象 2.理解两个集合的交集的含义,会求两个简单集合的交集.3.能使用Venn 图表达集合的并集、交集授课提示:对应学生用书第6页[教材提炼]知识点一 并集 预习教材,思考问题对于A ={1,3,5},B ={2,4,6},C ={1,2,3,4,5,6};类比实数的加法运算,你能说出集合C 与集合A ,B 之间的关系吗?知识梳理 (1)定义一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合,称为集合A 与B 的并集(union set),记作A ∪B (读作“A 并B ”),即A ∪B ={x |x ∈A ,或x ∈B },如图,可用Venn 图表示.(2)性质①A ∪B =B ∪A ; ②A ∪A =A ; ③A ∪∅=∅∪A =A ;④A⊆(A∪B),B⊆(A∪B);⑤A∪B=A⇔B⊆A,A∪B=B⇔A⊆B.知识点二交集预习教材,思考问题A={2,4,6,8,10},B={3,5,8,12},C={8};集合A,B与集合C之间有什么关系?知识梳理(1)定义一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为集合A与B 的交集(intersection set),记作A∩B(读作“A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B},可用Venn图表示.(2)性质①A∩B=B∩A;②A∩A=A;③A∩∅=∅;④若A⊆B,则A∩B=A;⑤(A∩B)⊆A;⑥(A∩B)⊆B.[自主检测]1.(教材P10例1改编)若集合M={-1,0,1},集合N={0,1,2},则M∪N=() A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{0,1,2} D.{-1,0,1,2}答案:D2.(教材P10例2改编)已知集合P={x|x<3},集合Q={x|-1≤x≤4},则P∩Q =()A.{x|-1≤x<3} B.{x|-1≤x≤4}C.{x|x≤4} D.{x|x≥-1}答案:A3.满足条件{0,1}∪A={0,1}的所有集合A的个数是()A.1 B.2C.3 D.4答案:D4.(教材P12练习3题改编)设A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角形},则A∩B=_________________________________________________________ 答案:{x|x是等腰直角三角形}授课提示:对应学生用书第7页探究一并集概念及简单应用[例1](1)设集合M={x|x2=x},N={x|0<x≤1},则M∪N=()A.{x|0≤x≤1}B.{x|0<x≤1}C.{x|0≤x<1} D.{x|x≤1}[解析]M={x|x2=x}={0,1},N={x|0<x≤1},∴M∪N={x|0≤x≤1}.[答案] A(2)点集A={(x,y)|x<0},B={(x,y)|y<0},则A∪B中的元素不可能在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[解析]由题意得,A∪B中的元素是由横坐标小于0或纵坐标小于0的点构成的集合,所以A∪B中的元素不可能在第一象限.[答案] A求集合并集的两种基本方法(1)定义法:若集合是用列举法表示的,可以直接利用并集的定义求解;(2)数形结合法:若集合是用描述法表示的由实数组成的数集,则可以借助数轴分析求解.1.若集合A={1,3,x},B={1,x2},A∪B={1,3,x},则满足条件的实数x 的个数为()A.1 B.2C.3 D.4解析:∵A∪B={1,3,x},A={1,3,x},B={1,x2},∴A∪B=A,即B⊆A.∴x2=3,或x2=x.当x2=3时,得x=±3,若x=3,则A={1,3,3},B={1,3},符合题意;若x=-3,则A={1,3,-3},B={1,3},符合题意.当x2=x时,得x=0,或x=1,若x=0,则A={1,3,0},B={1,0},符合题意;若x=1,则A={1,3,1},B={1,1},不符合集合中元素的互异性,舍去.综上知,x=±3,或x=0.故满足条件的实数x有3个.答案:C2.已知M={x|-3<x≤5},N={x|x<-5或x>5}.则M∪N=________.解析:将集合M和N在数轴上表示出来,如图所示,可知M∪N={x|x<-5或x>-3}.答案:{x|x<-5或x>-3}探究二交集概念及简单应用[例2](1)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=()A.{0,2} B.{1,2}C.{0} D.{-2,-1,0,1,2}[解析]由题意知A∩B={0,2}.[答案] A(2)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0} B.{1}C.{1,2} D.{0,1,2}[解析]由题意知,A={x|x≥1},则A∩B={1,2}.[答案] C(3)若集合A={x|-1<x<5},B={x|x≤1,或x≥4},则A∪B=________,A∩B=________.[解析] 借助数轴可知:A ∪B =R ,A ∩B ={x |-1<x ≤1,或4≤x <5}. [答案] R {x |-1<x ≤1,或4≤x <5}求集合交集的两种基本方法(1)定义法:若集合是用列举法表示的,可以直接利用交集的定义求解; (2)数形结合法:若集合是用描述法表示的由实数组成的数集,则可以借助数轴分析法求解.1.(2017·高考全国卷Ⅰ)已知集合A ={x |x <2},B ={x |3-2x >0},则( )A .A ∩B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <32B .A ∩B =∅C .A ∪B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <32D .A ∪B =R解析:由3-2x >0,得x <32, 所以B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <32, 又因为A ={x |x <2}, 所以A ∩B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <32, A ∪B ={x |x <2}. 答案:A2.已知集合U =R ,集合M ={x |-2≤x <2}和N ={y |y =2k -1,k ∈Z }的关系的Venn 图如图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有( )A .3个B .2个C .1个D .0个解析:由题意得,阴影部分所示的集合为M ∩N ,由N ={y |y =2k -1,k ∈Z }知N 表示奇数集合,又由M ={x |-2≤x <2}得,在-2≤x <2内的奇数为-1,1.所以M ∩N ={-1,1},共有2个元素. 答案:B探究三 集合交、并集运算及应用[例3] 已知集合A ={x |2<x <4},B ={x |a <x <3a (a >0)}. (1)若A ∪B =B ,求a 的取值范围. (2)若A ∩B =∅,求a 的取值范围. [解析] (1)因为A ∪B =B ,所以A ⊆B ,观察数轴可知,⎩⎨⎧2≥a ,4≤3a ,所以43≤a ≤2.(2)A ∩B =∅有两类情况:B 在A 的左边和B 在A 的右边,如图. 观察数轴可知,a ≥4或3a ≤2,又a >0,所以0<a ≤23或a ≥4.由集合的运算性质求参数值(范围)的注意事项(1)要考虑因参数的影响是否需要分类讨论;(2)要有数形结合思想的意识,借助于数轴会更方便直观; (3)对于A ∩B =A 的情况要考虑到A 是否为∅的情况.1.本例条件下,若A ∩B ={x |3<x <4},求a 的取值范围. 解析:画出数轴如图.观察图形可知⎩⎨⎧a =3,3a ≥4,即a =3.2.若本例题变为:已知A ={x |a <x ≤a +8},B ={x |x <-1或x >5}.若A ∪B =R ,求a 的取值范围.解析:由a <a +8,又B ={x |x <-1或x >5}, 在数轴上标出集合A ,B ,如图.∴⎩⎨⎧a +8≥5a <-1, ∴-3≤a <-1.授课提示:对应学生用书第8页一、并集元素个数何其多►直观想象、逻辑推理(1)“或”的理解:“x ∈A 或x ∈B ”这一条件,包括下列三种情况:①x ∈A 但x ∉B ;②x ∈B 但x ∉A ;③x ∈A 且x ∈B .(2)一般地,对任意两个有限集合A ,B ,有card(A ∪B )=card(A )+card(B )-card(A ∩B ).[典例] 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则同时参加数学和化学小组的有________人.[解析] 设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A ,B ,C ,同时参加数学和化学小组的有x 人,由题意可得如图所示的Venn 图.由全班共36名同学可得(26-6-x )+6+(15-10)+4+(13-4-x )+x =36, 解得x =8,即同时参加数学和化学小组的有8人. [答案] 8二、“有”与“无”,“虚”与“实”的对立与统一——集合交、并运算的端点值的选用►直观想象、逻辑推理[典例] 集合A ={x |a ≤x ≤a +3},B ={x |x <-1或x >5}. (1)若A ∩B =∅,求a 的取值范围; (2)若A ∩B =A ,求a 的取值范围.[解析] (1)由A ={x |a ≤x ≤a +3},B ={x |x <-1或x >5}, 画出数轴如图所示.由图可知,若A ∩B =∅,则 ⎩⎨⎧a ≥-1,a +3≤5,解得-1≤a ≤2. (2)由A ∩B =A ,得A ⊆B .则a +3<-1或a >5,即a <-4或a >5.纠错心得 由于A 中含端点a 、a +3,而B 中不含端点-1及5.根据A ∩B =∅的含义,a =-1,a +3=5时,也成立.而A ⊆B 时,则不能取“=”.对于是否取端点.可单独验证.第二课时 全集、补集内 容 标准学 科 素 养1.在具体情境中,了解全集的含义.数学抽象 数学运算 直观想象 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.3.能使用Venn 图表达补集的运算.授课提示:对应学生用书第8页[教材提炼]知识点一 全集与补集 预习教材,思考问题(1)方程(x -2)(x 2-3)=0,在有理数范围内的解是什么?在实数集内的解是什么?(2)集合{2}与集合{3,-3}之间有什么关系? 知识梳理 (1)全集一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集(universe set),通常记作U .(2)补集对于一个集合A ,由全集中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集(complementary set),简称为集合A 的补集,记作∁U A ,即∁U A ={x |x ∈U ,且x ∉A },可用Venn 图表示.知识点二 补集的性质 预习教材,思考问题A∩∁U A=________,A∪∁U A=________.知识梳理(1)A∪(∁U A)=U,A∩(∁U A)=∅.(2)∁U(∁U A)=A,∁U U=∅,∁U∅=U.[自主检测]1.设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,3,5},则∁U M=()A.{2,4,6}B.{1,3,5}C.{1,2,4} D.U答案:A2.设集合U=R,M={x|x>2或x<0},则∁U M=()A.{x|0≤x≤2} B.{x|0<x<2}C.{x|x<0,或x>2} D.{x|x≤0,或x≥2}答案:A3.设全集U={a,b,c,d},集合A={a,b},B={b,c,d},则(∁U A)∩B =________.答案:{c,d}4.已知全集U={x|1≤x≤5},A={x|1≤x<a},若∁U A={x|2≤x≤5},则a=________.答案:2授课提示:对应学生用书第9页探究一补集的运算[例1](1)已知U=R,集合A={x|x<-2,或x>2},则∁U A=()A.{x|-2<x<2}B.{x|x<-2,或x>2}C.{x|-2≤x≤2} D.{x|x≤-2,或x≥2}[解析]依题意,画出数轴,如图所示:观察数轴可知,∁U A={x|-2≤x≤2}.[答案] C(2)已知全集U,M,N是U的非空子集,且∁U M⊇N,则必有()A.M⊆∁U N B.M∁U NC.∁U M=∁U N D.M⊆N[解析]依据题意画出Venn图,观察可知,M⊆∁U N.[答案] A(3)已知全集为U,集合A={1,3,5,7},∁U A={2,4,6},∁U B={1,4,6},求集合B. [解析]因为A={1,3,5,7},∁U A={2,4,6},所以U={1,2,3,4,5,6,7}.又∁U B={1,4,6},所以B={2,3,5,7}.求集合补集的两种方法(1)当集合用列举法表示时,直接用定义或借助Venn图求解;(2)当集合是用描述法表示的连续数集时,可借助数轴,利用数轴分析法求解.若集合A={x|-1≤x<1},当S分别取下列集合时,求∁S A.(1)S=R;(2)S={x|x≤2};(3)S={x|-4≤x≤1}.解析:(1)把集合S和A表示在数轴上如图所示:由图知∁S A={x|x<-1,或x≥1}.(2)把集合S和A表示在数轴上,如图所示:由图易知∁S A={x|x<-1,或1≤x≤2}.(3)把集合S和A表示在数轴上,如图所示:由图知∁S A={x|-4≤x<-1,或x=1}.探究二 集合交、并、补的综合运算[例2] (1)(2019·长沙高一检测)已知全集U ={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A ={2,3,5,6},集合B ={1,3,4,6,7},则集合A ∩(∁U B )=( )A .{2,5}B .{3,6}C .{2,5,6}D .{2,3,5,6,8}[解析] 因为U ={1,2,3,4,5,6,7,8},B ={1,3,4,6,7},所以∁U B ={2,5,8}. 又A ={2,3,5,6}, 所以A ∩(∁U B )={2,5}. [答案] A(2)已知全集U =R ,A ={x |-4≤x <2},B ={x |-1<x ≤3},P =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤0,或x ≥52,求A ∩B ,(∁U B )∪P ,(A ∩B )∩(∁U P ).[解析] 将集合A ,B ,P 分别表示在数轴上,如图所示.因为A ={x |-4≤x <2},B ={x |-1<x ≤3}, 所以A ∩B ={x |-1<x <2}. ∁U B ={x |x ≤-1,或x >3}, 又P =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤0,或x ≥52, 所以(∁U B )∪P =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤0,或x ≥52. 又∁U P =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <52, 所以(A ∩B )∩(∁U P )={x |-1<x <2}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <52, ={x |0<x <2}.解决集合交、并、补综合运算的技巧(1)如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn 图来求解.(2)如果所给集合是无限集,则常借助数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后进行交、并、补集的运算,解答过程中要注意边界问题.1.在本例(2)的条件下,求(∁U A )∩(∁U P ). 解析:画出数轴,如图所示:观察数轴可知,(∁U A )∩(∁U P )=⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2≤x <52. 2.将本例(2)中的集合P 改为{x |x ≤5},且全集U =P ,A ,B 不变,求A ∪(∁U B ). 解析:画出数轴,如图所示:∴A ∪(∁U B )={x |x <2,或3<x ≤5} 探究三 根据补集的运算求参数的值或 范围[例3] 设全集U ={3,6,m 2-m -1},A ={|3-2m |,6},∁U A ={5},求实数m . [解析] 因为∁U A ={5},所以5∈U 但5∉A , 所以m 2-m -1=5, 解得m =3或m =-2. 当m =3时,|3-2m |=3≠5,此时U ={3,5,6},A ={3,6},满足∁U A ={5}; 当m =-2时,|3-2m |=7≠5,此时U ={3,5,6},A ={6,7},不符合题意舍去. 综上,可知m =3.由集合的补集求参数的方法(1)由补集求参数问题,若集合中元素个数有限时,可利用补集定义并结合集合知识求解;(2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题,若集合中元素为无限个时,一般利用数轴分析法求解.设集合A ={x |x +m ≥0},B ={x |-2<x <4},全集U =R ,且(∁U A )∩B =∅,求实数m 的取值范围.解析:因为A ={x |x ≥-m },所以∁U A ={x |x <-m }.又B ={x |-2<x <4},(∁U A )∩B =∅,结合数轴(图略)分析可知-m ≤-2,即m ≥2,所以m 的取值范围是m ≥2.授课提示:对应学生用书第10页一、“柳暗花明,正难则反”——补集思想的应用►数学运算、逻辑推理 “正难则反”策略运用的是补集思想,即已知全集U ,求子集A ,若直接求A 困难,可先求∁U A ,再由∁U (∁U A )=A 求A .补集的思想作为一种思想方法,为我们研究问题开辟了新思路.今后我们要有意识地去体会并运用补集思想,在顺向思维受阻时,改用逆向思维,可能“柳暗花明”.从这个意义上讲补集思想具有转换研究对象的功能,这是转化思想的又一体现.[典例] 已知集合A ={x |x 2-4mx +2m +6=0,x ∈R },B ={x |x <0,x ∈R },若A ∩B ≠∅,求实数m 的取值范围.[解析] 当A =∅时不符合题意,∴A ≠∅. 设全集U ={m |Δ=(-4m )2-4(2m +6)≥0}U =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m ≤-1,或m ≥32. 若A ∩B =∅,则方程x 2-4mx +2m +6=0的两根x 1,x 2均非负,则有⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ,x 1+x 2=4m ≥0,解得m ≥32.x 1x 2=2m +6≥0,因为m =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m ≥32关于U 的补集为∁U M ={m |m ≤-1},所以实数m 的取值范围为m ≤-1.二、找全集,认子集,求补集——求补集的程序与条件►数学运算、逻辑推理 [典例] 设全集S ={2,3,a 2+2a -3},A ={|2a -1|,2},∁S A ={5},求实数a 的值.[解析] 由题意得a 2+2a -3=5, 即a 2+2a -8=0, ∴a =-4或a =2,当a =2时,|2a -1|=3∈S ,符合题意,当a =-4时,|2a -1|=9∉S ,不符合题意,故a =2.纠错心得 求一个集合A 的子集,首先A 是全集的子集,如本题当a =-4时A ={9,2}不是S 的子集,故求出a 值还需检验.1.4充分条件与必要条件1.4.1 充分条件与必要条件内 容 标 准学 科 素 养1.根据具体命题,明确条件与结论的关系. 数学抽象、逻辑推理2.针对具体命题理解必要条件、充分条件的意义.授课提示:对应学生用书第11页[教材提炼]知识点充分条件与必要条件预习教材,思考问题下列“若p,则q”形式的命题中,哪些是真命题?哪些是假命题?(1)若平行四边形的对角线互相垂直,则这个平行四边形是菱形;(2)若两个三角形的周长相等,则这两个三角形全等.知识梳理(1)一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可以推出q,记作p⇒q,并且说p是q的充分条件(sufficient condition),q是p的必要条件(necessary condition).如果“若p,则q”为假命题,那么由条件p不能推出结论q,记作p⇒q.此时,我们就说p不是q的充分条件,q不是p的必要条件.(2)一般地,数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.[自主检测]1.若a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的()A.充分条件B.必要条件C.既不是充分条件也不是必要条件D.无法判断答案:A2.“a=b”是“ac=bc”的________条件.(充分,必要)答案:充分3.“x2=1”是“x=1”的________条件.(充分,必要)答案:必要授课提示:对应学生用书第11页。

新人教版高中数学必修第一册全套教学设计教案word版

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第一章
集合与常用逻辑用语
第1节
集合的概念
本课是本节的第一课,也是同学们刚进入高中阶段的第一课.常言道“良好的开端是成功的一半”.本课主
要是让学生从已有的集合知识和实际生活中的例子入手,体会集合的含义.集合作为一种基本的数学语言,
学习并掌握它的最好方法是使用.因此,教学中要多引导学生使用集合语言描述对象,进行自然语言与集合
2.集合元素的三个特征:
3.常见数集的专用符号
元素的含义与性质,
集合的表示方法,提
4.集合的表示方法
五、作业
习题 1.1
1,2 题
高语言转换和抽象

2节
概括能力,树立用集
合语言表示数学内
容的意识。
集合间的基本关系
本节内容来自人教版高中数学必修一第一章第一节集合第二课时的内容。集合论是现代数学的一个重
∴A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}.
【答案】 {-1,4}
5.用适当的方法表示下列集合:
2x-3y=14
(1)方程组
的解集;
3x+2y=8
(2)所有的正方形;
(3)抛物线 y=x2 上的所有点组成的集合.
2x-3y=14
x=4
【解】 (1)解方程组

3x+2y=8,
述法时,先用自然语
言表示集合元素具
有的共同属性,再介
绍用描述法的具体
方法.
写作:
思考:所有奇数的集合怎么表示?偶数的集合怎样表示? 有理数集
怎么表示呢?奇数集、偶数集表示方法是否唯一?
{x Z | x 2k 1, k Z}


{x Z | x 2k 1, k Z} ;

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人教版高中数学必修1精品教案(整套)课题:集合的含义与表示(1)课型:新授课教学目标:(1)了解集合、元素的概念,体会集合中元素的三个特征;(2)理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系;(3)掌握常用数集及其记法;教学重点:掌握集合的基本概念;教学难点:元素与集合的关系;教学过程:一、引入课题军训前学校通知:8月15日8点,高一年级在体育馆集合进行军训动员;试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生?在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合(宣布课题),即是一些研究对象的总体。

阅读课本P2-P3内容二、新课教学(一)集合的有关概念1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2.一般地,我们把研究对象统称为元素(element),一些元素组成的总体叫集合(set),也简称集。

3.思考1:判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由:(1)大于3小于11的偶数;(2)我国的小河流;(3)非负奇数;(4)方程210x+=的解;(5)某校2007级新生;(6)血压很高的人;(7)著名的数学家;(8)平面直角坐标系内所有第三象限的点(9)全班成绩好的学生。

对学生的解答予以讨论、点评,进而讲解下面的问题。

4.关于集合的元素的特征(1)确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A 的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立。

(2)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素。

(3)无序性:给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。

(4)集合相等:构成两个集合的元素完全一样。

5.元素与集合的关系;(1)如果a是集合A的元素,就说a属于(belong to)A,记作:a∈A(2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于(not belong to )A ,记作:a ∉A例如,我们A 表示“1~20以内的所有质数”组成的集合,则有3∈A4∉A ,等等。

高中数学新教材人教A版必修第一册学案:3.2函数的基本性质Word版含答案

高中数学新教材人教A版必修第一册学案:3.2函数的基本性质Word版含答案

【新教材】3.2.1 单调性与最大(小)值(人教A版)1、理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义;2、会根据单调定义证明函数单调性;3、理解函数的最大(小)值及其几何意义;4、学会运用函数图象理解和研究函数的性质.重点:1、函数单调性的定义及单调性判断和证明;2、利用函数单调性或图像求最值.难点:根据定义证明函数单调性.一、预习导入阅读课本76-80页,填写。

1.增函数、减函数的定义2、单调性与单调区间如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)________,区间D叫做y=f(x)的________.[点睛] 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接,而应该用“,”连接.如函数y=1x在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,却不能表述为:函数y=1x在(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递减.3、函数的最大(小)值1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性.( )(2)在增函数与减函数的定义中,可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”.( )(3)任何函数都有最大值或最小值.( )(4)函数的最小值一定比最大值小.( )2.函数y=f(x)的图象如图所示,其增区间是( )A.[-4,4] B.[-4,-3],[1,4]C.[-3,1] D.[-3,4]3.函数y=f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是( )A .-1,0B .0,2C .-1,2 D.12,2 4.下列函数f (x )中,满足对任意x 1,x 2∈(0,+∞),当x 1<x 2时,都有f (x 1)>f (x 2)的是( )A .f (x )=x 2B .f (x )=1xC .f (x )=|x |D .f (x )=2x +15.函数f (x )=2x,x ∈[2,4],则f (x )的最大值为______;最小值为________. 题型一 利用图象确定函数的单调区间例1求下列函数的单调区间,并指出其在单调区间上是增函数还是减函数:(1)y=3x-2;(2)y=-1x . 跟踪训练一1. 已知x ∈R,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间.题型二 利用函数的图象求函数的最值例2 已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域.跟踪训练二1.已知函数f(x)={1x ,0<x<1,x,1≤x ≤2.(1)画出f(x)的图象;(2)利用图象写出该函数的最大值和最小值.题型三 证明函数的单调性 例3 求证:函数f(x)=x+1x 在区间(0,1)内为减函数. 跟踪训练三1.求证:函数f(x)=21x在(0,+∞)上是减函数,在(-∞,0)上是增函数. 题型四 利用函数的单调性求最值例4 已知函数f(x)=x+ 4x .(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性;(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值.跟踪训练四1.已知函数f(x)=6x−1(x∈[2,6],)求函数的最大值和最小值.题型五函数单调性的应用例5已知函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,试比较f(a2-a+1)与f34⎛⎫⎪⎝⎭的大小.跟踪训练五1.已知g(x)是定义在[-2,2]上的增函数,且g(t)>g(1-3t),求t的取值范围.题型六单调性最值的实际应用例6“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1m)?跟踪训练六1. 某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金为3 600元时,能租出多少辆?(2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?1.f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有f(a)−f(b)a−b>0,则必有( )A.函数f(x)先增后减 B.函数f(x)先减后增C.函数f(x)是R上的增函数 D.函数f(x)是R上的减函数2.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)的最小值为-2,则f(x)的最大值为( )A.-1 B.0C.1 D.23.已知函数f(x)=4x2-kx-8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值,则实数k的取值范围是( ) A.[160,+∞) B.(-∞,40]C.(-∞,40]∪[160,+∞) D.(-∞,20]∪[80,+∞)4.若函数y=f(x)的定义域为R,且为增函数,f (1-a)<f(2a-1),则a的取值范围是。

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特别说明:《高中数学教材》是根据最新课程标准,参考独家内部资料,结合自己颇具特色的教学实践和卓有成效的综合辅导经验精心编辑而成;本套资料分必修系列和选修系列及部分选修4系列。

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本套资料按照必修系列和选修系列及部分选修4系列的章节编写,每章或节分三个等级:[基础训练A组],[综合训练B组],[提高训练C组]目录:数学1(必修)数学1(必修)第一章:(上)集合 [训练A、B、C]数学1(必修)第一章:(中)函数及其表 [训练A、B、C]数学1(必修)第一章:(下)函数的基本性质[训练A、B、C] 数学1(必修)第二章:基本初等函数(I) [基础训练A组] 数学1(必修)第二章:基本初等函数(I) [综合训练B组]数学1(必修)第二章:基本初等函数(I) [提高训练C组]数学1(必修)第三章:函数的应用 [基础训练A组]数学1(必修)第三章:函数的应用 [综合训练B组]数学1(必修)第三章:函数的应用 [提高训练C组](数学1必修)第一章(上) 集合[基础训练A 组]一、选择题1.下列各项中,不可以组成集合的是( ) A .所有的正数 B .等于2的数 C .接近于0的数 D .不等于0的偶数 2.下列四个集合中,是空集的是( )A .}33|{=+x xB .},,|),{(22R y x x y y x ∈-= C .}0|{2≤x x D .},01|{2R x x x x ∈=+- 3.下列表示图形中的阴影部分的是( )A .()()A CBC U I UB .()()A B AC U I U C .()()A B B C U I UD .()A B C U I4.下面有四个命题:(1)集合N 中最小的数是1;(2)若a -不属于N ,则a 属于N ; (3)若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2;(4)x x 212=+的解可表示为{}1,1; 其中正确命题的个数为( )A .0个B .1个C .2个D .3个 5.若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长, 则△ABC 一定不是( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等腰三角形6.若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且,则集合A 的真子集共有( ) A .3个 B .5个 C .7个 D .8个二、填空题1.用符号“∈”或“∉”填空 (1)0______N , 5______N , 16______N(2)1______,_______,______2R Q Q e C Q π-(e 是个无理数) (3{}|,,x x a a Q b Q =+∈∈A B C2. 若集合{}|6,A x x x N =≤∈,{|}B x x =是非质数,C A B =I ,则C 的非空子集的个数为 。

高中数学必修1全册学案(完整word版)[精品含答案]

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§1.1.1集合的含义及其表示[自学目标]1.认识并理解集合的含义,知道常用数集及其记法;2.了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义; 3.初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合. [知识要点] 1. 集合和元素 (1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈;(2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ∉.2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性.3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图.4.集合的分类:有限集;无限集;空集.5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作*N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R . [预习自测]例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它. (1)小于5的自然数; (2)某班所有高个子的同学; (3)不等式217x +>的整数解; (4)所有大于0的负数;(5)平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点.分析:判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性.例2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形一定是 ( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例3.设()()(){}22,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+==-+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值.分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A.例4.已知{}2,,M a b =,{}22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值.[课内练习]1.下列说法正确的是( )(A )所有著名的作家可以形成一个集合 (B )0与 {}0的意义相同 (C )集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+N n n x x A ,1是有限集 (D )方程0122=++x x 的解集只有一个元素 2.下列四个集合中,是空集的是( )A .}33|{=+x xB .},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C .}0|{2≤x x D .}01|{2=+-x x x 3.方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是( )A .)}1,1{(B .}1,1{C .(1,1)D .}1{.4.已知}1,0,1,2{--=A ,}|{A x x y y B ∈==,则B =5.若}4,3,2,2{-=A ,},|{2A t t x xB ∈==,用列举法表示B= . [归纳反思]1.本课时的重点内容是集合的含义及其表示方法,难点是元素与集合间的关系以及集合元素的三个重要特性的正确使用;2.根据元素的特征进行分析,运用集合中元素的三个特性解决问题,叫做元素分析法。

(新教材)2022年高中数学人教B版必修第一册学案:2.2.4.1 均值不等式 (含答案)

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2.2.4 均值不等式及其应用第1课时均值不等式1.均值不等式(基本不等式)(1)算术平均值与几何平均值.前提给定两个正数a,b结论数a+b2称为a,b的算术平均值数ab 称为a,b的几何平均值(2)均值不等式前提a,b都是正数,结论a+b2≥ab ,等号成立的条件当且仅当a=b时,等号成立几何意义所有周长一定的矩形中,正方形的面积最大.(3)本质:算数平均值的本质就是数a ,b 在数轴上对应点的中点坐标.几何平均值的本质就是a ,b 乘积的开方.均值不等式就是在正数的前提下其算数平均值大于等于其几何平均值. (4)应用:应用均值不等式求最值.(1)均值不等式中的a ,b 只能是具体的某个数吗? 提示:Xa ,b 既可以是具体的某个数,也可以是代数式.(2)均值不等式的叙述中,“正数”两个字能省略吗?请举例说明. 提示:不能,如(-3)+(-4)2 ≥(-3)×(-4) 是不成立的. 2.均值不等式与最值两个正数的积为常数时,它们的和有最小值; 两个正数的和为常数时,它们的积有最大值.通过以上结论可以得出,利用均值不等式求最值要注意哪几方面? 提示:求最值时,要注意三个条件,即“一正”“二定”“三相等”.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)两个不等式a 2+b 2≥2ab 与a +b2 ≥ab 成立的条件是相同的.( )提示:×.不等式a 2+b 2≥2ab 成立的条件是a ,b ∈R ;不等式a +b2 ≥ab成立的条件是a >0,b >0.(2)当a >0,b >0时a +b ≥2ab .( ) 提示:√.均值不等式的变形公式.(3)当a >0,b >0时ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a +b 2 2.( ) 提示:√.均值不等式的变形公式. (4)函数y =x -1+1x -1的最小值是2.( )提示:×.当x -1<0,即x <1时,x -1+1x -1 是负数.2.若正实数a ,b 满足a +b =2,则ab 的最大值为( ) A .1 B .22 C .2 D .4【解析】选A.当a ,b 为正实数时,由ab ≤a +b 2 ,ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a +b 2 2 =⎝ ⎛⎭⎪⎫22 2=1,当且仅当a =b =1时等号成立,所以ab 的最大值为1. 3.(教材例题改编)已知x >1,y =x +1x -1 ,则y 的最小值是( )A .1B .2C .3D .4【解析】选C.因为x >1,则x -1>0,由基本不等式得y =x -1+1x -1+1≥2(x -1)·1x -1+1=3,当且仅当x =2时,等号成立,因此,y 的最小值是3.类型一 对均值不等式的理解(数学抽象)1.给出下列条件:①ab >0;②ab <0;③a >0,b >0;④a <0,b <0.其中能使b a +ab ≥2成立的条件个数为( )A .1B .2C .3D .4【解析】选C.由均值不等式的前提需“一正、二定、三相等”,即当ba ,ab 均为正数时,可得b a +ab ≥2,此时只需a ,b 同号即可,所以①③④均满足要求.2.不等式a +1≥2 a (a >0)中等号成立的条件是( ) A .a =0 B .a =12 C .a =1 D .a =2【解析】选C.因为a >0,根据均值不等式ab ≤a +b2 ,当且仅当a =b 时等号成立,故a +1≥2 a 中等号成立当且仅当a =1. 3.若a >0,b >0,且M =a +b2 ,G =ab ,H =a 2+b 22 ,则M ,G ,H 的大小关系为________.【解析】因为a >0,b >0,所以有a +b2 ≥ab (当且仅当a =b 时取等号),因此有M ≥G .a 2+b 2≥2ab ⇒a 2+b 2+a 2+b 2≥2ab +a 2+b 2⇒a 2+b 2≥(a +b )22 ⇒a 2+b 22 ≥(a +b )24(当且仅当a =b 时取等号),因为a >0,b >0,所以有a 2+b 22 ≥a +b2 ,因此有H ≥M . 答案:H ≥M ≥G均值不等式使用的条件利用均值不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:“一正”是,要判断参数是否为正;“二定”是,要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);“三相等”是,一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数是否在定义域内,二是多次用≥或≤时等号能否同时成立).【补偿训练】设0<a<b ,则下列不等式中正确的是( ) A .a<b<ab <a +b 2 B .a<ab <a +b2 <b C .a<ab <b<a +b 2 D .ab <a<a +b2 <b【解析】选B .因为0<a<b ,所以0< a < b ,所以a<ab ,同样由0<a<b 得a 2 <b 2 ,所以a +b 2 <b ,由均值不等式可得,ab <a +b 2 ,综上,a<ab <a +b2 <b.类型二 利用均值不等式求最值(数学运算)【典例】当x>1时,求x 2+8x -1 的最小值.探求解书写表达令t=x2+8x-1=(x-1)2+2(x-1)+9x-1=(x-1)+9x-1+2,①因为x-1>0,所以t≥2(x-1)·9x-1+2=8,当且仅当x-1=9x-1,即x=4时,t的最小值为8.②注意书写的规范性:①为了表达式的完整性,可以将表达式记为t=x2+8x-1②步骤中不能省略验证等号成立的条件题后反思表达式的恒等变形是解题的关键,ax2+bx+cdx+e(ad≠0)形式的表达式通常分母不变,将分子化为m(dx+e)2+n(dx+e)+q的形式(m,n,q为常数)并展开,再利用均值不等式求解,均值不等式的应用必须一正、二定、三相等,三者缺一不可利用均值不等式求最值的两种类型和一个关注点(1)两种类型:①若a+b=p(两个正数a,b的和为定值),则当a=b时,积ab有最大值p24,可以用均值不等式ab ≤a+b2求得.②若ab=S(两个正数的积为定值),则当a=b时,和a+b有最小值2S ,可以用均值不等式a+b≥2ab 求得.(2)一个关注点:不论哪种情况都要注意等号取得的条件.(2021·潍坊高一检测)规定记号“⊙”表示一种运算,即a⊙b=ab +a +b(a,b为正实数).若1⊙k=3,则k的值为________,此时函数y=k⊙xx的最小值为________.【解析】由题意得1⊙k=k +1+k=3,即k+k -2=0,所以k =1或k =-2(舍去),所以k=1.y=k⊙xx =x+x+1x=1+x +1x≥1+2x×1x=3,当且仅当x =1x,即x=1时,等号成立.答案:1 3【拓展延伸】1.一次式除以二次式形式的表达式的最值的求法(1)分子一次形式不变,将分母的二次形式改写为分子一次形式的平方或者一次形式的几倍或者常数形式.(2)分子分母同除以分子后利用均值不等式求解.2.利用均值不等式求解整式形式的最值(1)判断所求表达式中未知量的正负.(2)直接使用均值不等式求解,特别注意最后要进行等号成立时的未知量的检验.【拓展训练】对任意x>0,xx 2+3x +1的最大值为________.【解析】由题意,对任意x>0,有x x 2+3x +1 =1x 2+3x +1x =1x +1x +3≤12x·1x +3 =15 ,当且仅当x =1x ,即x =1时,等号成立, 即x x 2+3x +1 的最大值为15 . 答案:15总结:本题主要考查了均值不等式的应用,解答中对xx 2+3x +1 进行等价转化求得最大值是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.类型三 间接利用均值不等式求最值“不正”问题【典例】已知x<0,则3x +12x 的最大值为________. 【思路导引】变形为各项均大于0后利用均值不等式求最值. 【解析】因为x<0,所以-x>0.则3x +12x =-⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12-x +(-3x ) ≤-212(-x )·(-3x ) =-12,当且仅当12-x=-3x ,即x =-2时,3x +12x 取得最大值为-12. 答案:-12若条件改为“x<1”,结论改为“则3(x -1)+12x -1 的最大值为________.”如何求解?【解析】因为x<1,所以x -1<0,故-(x -1)>0,所以3(x -1)+12x -1 =-⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤-3(x -1)+⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-12x -1 ≤ -2-3(x -1)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-12x -1 =-12,当且仅当-3(x -1)=-12x -1 ,即x =-1时,3(x -1)+12x -1 取得最大值-12.答案:-12“不定”问题【典例】(1)已知x>2,求x +1x -2的最小值.【思路导引】先对式子变形,凑定值后再利用均值不等式求最值. 【解析】(1)因为x>2,所以x -2>0,所以x +1x -2 =x -2+1x -2 +2≥2(x -2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x -2 +2=4,所以当且仅当x -2=1x -2 (x>2),即x =3时,x +1x -2 的最小值为4.(2)已知0<x<4,求x(8-2x)的最大值.【解析】因为0<x<4,所以8-2x>0,所以x(8-2x)=12 ×2x(8-2x)≤12 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x +8-2x 2 2 =8, 所以当且仅当2x =8-2x ()0<x<4 , 即x =2时有最大值,x(8-2x)的最大值为8.若把本例(1)改为:已知x<54 , 试求4x -2+14x -5的最大值.【解析】因为x<54 ,所以4x -5<0,5-4x>0. 所以4x -5+3+14x -5 =-⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5-4x +15-4x +3≤-2(5-4x )·15-4x+3=1.当且仅当5-4x =15-4x 时等号成立,又5-4x>0,所以5-4x =1,x =1时,4x -2+14x -5的最大值是1.1.负数在均值不等式中的应用当所给式子均小于0时,也可以利用均值不等式求最值,但是要注意不等号方向的变化.2.通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形.(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标. (3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提.1.(2021·宜春高一检测)已知两个正数a ,b 满足3a +2b =1,则3a +2b 的最小值是( )A .23B .24C .25D .26【解析】选C .根据题意,正数a ,b 满足3a +2b =1, 则3a +2b =⎝⎛⎭⎫3a +2b ⎝⎛⎭⎪⎫3a +2b =13+⎝⎛⎭⎪⎫6a b +6b a≥13+26a b ·6ba =25,当且仅当a =b =15 时等号成立. 即3a +2b 的最小值是25.2.不等式9x -2 +(x -2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是( )A .x =3B .x =-3C .x =5D .x =-5【解析】选C .由均值不等式知等号成立的条件为9x -2 =x -2,即x =5(x =-1舍去).3.已知x<0,则x +94x 的最大值是________.【解析】已知x<0,则x +94x =-⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-x +9-4x ≤-294 =-3,当-x =9-4x,即x =-32 时,等号成立.答案:-3【补偿训练】(2020·潍坊高一检测)设a>b>0,则a 2+1ab +1a (a -b )的最小值是( )A .1B .2C .3D .4【解析】选D .因为a>b>0,所以a 2+1ab +1a (a -b )=a 2-ab +ab +1ab +1a (a -b )=ab +1ab +a(a -b)+1a (a -b ) ≥2+2=4,(当且仅当ab =1且a(a -b)=1即a = 2 ,b =22 时,取“=”号),故应选D .备选类型 “不等”问题【典例】下列命题中,正确的是( ) A .x +4x 的最小值是4B .x 2+4 +1x 2+4的最小值是2C .如果a>b ,c>d ,那么a -c>b -dD .如果ac 2>bc 2,那么a>b【思路导引】利用均值不等式和对勾函数的性质,以及不等式的性质,分别对四个选项进行判断,得到答案.【解析】选D .选项A 中,若x<0,则无最小值,所以错误;选项B 中,t =x 2+4 ≥2,则函数y =x 2+4 +1x 2+4转化为函数y =t +1t ,在[2,+∞)上单调递增,所以最小值为52 ,所以错误; 选项C 中,若a =c ,b =d ,则a -c =b -d ,所以错误; 选项D 中,如果ac 2>bc 2,则c≠0,所以c 2>0,所以可得a>b.运用均值不等式解“不等”问题(1)观察运用均值不等式求最值的表达式是否满足一正二定; (2)使用均值不等式,检验等号是否成立,成立即运用均值不等式,否则结合单调性加以求解.下列各式中,最小值是2的为( )A .(x +1)+⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +1B .(x +2)+⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +2C .(x 2+1)+⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2+1 D .x 2+3 +1x 2+3【解析】选C .选项A ,只有当x +1>0,即x >-1时,才有(x +1)+⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x +1≥2(x +1)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x +1 =2(当且仅当x =0时取等号)成立,此时(x +1)+⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x +1 的最小值为2,当x +1<0,即x<-1时,(x +1)+⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x +1 没有最小值,因此选项A 是错误的;选项B ,只有当x +2>0,即x >-2时,才有(x +2)+⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x +2 ≥2(x +2)·1(x +2)=2(当且仅当x =-1时取等号)成立,此时(x +2)+⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x +2 的最小值为2,当x +2<0,即x <-2时,(x +2)+⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x +2 没有最小值,因此选项B 是错误的;选项C ,因为x 2+1>0,所以⎝⎛⎭⎫x 2+1 +⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 2+1 ≥ 2⎝⎛⎭⎫x 2+1·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 2+1 =2(当且仅当x =0时取等号),因此⎝⎛⎭⎫x 2+1 +⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 2+1 的最小值为2,所以本选项是正确的; 选项D ,因为x 2+3 >0,所以x 2+3 +1x 2+3≥2x 2+3·1x 2+3=2,x 2+3 =1x 2+3⇒x 2+3=1⇒x 2=-2方程无实数根,故不等式取不到等号,因此本选项是错误的.1.若x 2+y 2=4,则xy 的最大值是( ) A .12 B .1 C .2 D .4【解析】选C.xy ≤x 2+y 22 =2,当且仅当x =y 时取“=”.2.(2021·烟台高一检测)已知a >0,b >0,若不等式4a +1b ≥ma +b 恒成立,则m 的最大值为( )A .10B .12C .16D .9【解析】选D.由已知a >0,b >0,若不等式4a +1b ≥ma +b恒成立,所以m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫4a +1b (a +b )恒成立,转化成求y =⎝ ⎛⎭⎪⎫4a +1b (a +b )的最小值,y=⎝ ⎛⎭⎪⎫4a +1b (a +b )=5+4b a +ab ≥5+24b a ·ab =9,当且仅当a =2b 时等号成立,所以m ≤9.3.(教材练习改编)已知x>3,y =x 2-3x +1x -3 ,则y 的最小值为( )A .2B .3C .4D .5【解析】选D .因为x>3,所以x -3>0,则y =x 2-3x +1x -3=x +1x -3=x -3+1x -3+3≥2(x -3)×1x -3+3=5,当且仅当x -3=1x -3,即x =4时取等号. 4.已知0<x<4,则4x +14-x 的最小值为________,此时x =________.【解析】因为x +4-x4 =1,且0<x<4,所以4x +14-x =⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x +14-x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 4+4-x 4 =54 +x 4(4-x ) +4-x x ≥54 +2x 4(4-x )·4-x x =94 ,当且仅当x =83 时等号成立.答案:94 835.若a>0,b>0且2a +1b =3,则ab 的最大值为________. 【解析】因为a>0,b>0,所以2a +1b =3≥22a b ,当且仅当2a =1b ,即a =34 ,b =23 时,等号成立,所以a b ≤98 . 答案:98。

(精校版)(精品)高中数学必修1全套同步练习册

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1。1。3(2)集合的基本运算(补集及综合运算)
1.设全集 U=R,A={x|0≤x≤6},则∁RA=( ). A.{ 0,1,2,3,4,5,6} B.{x|x<0 或 x〉6}
C.{x|0<x〈6}
D.{x|x≤0 或 x≥6}[来源:学科网 ZXXK]
2.已知全集 U={2,5 ,8},且∁UA={2},则集合 A 的真子集个数为( ).
4.直线 y=2x+1 与 y 轴的交点所组成的集合为( ).[来源:学§科§网 Z§X§X§K]
A.{0,1}
B.{(0,1)}
C。Error!
D. {(1f,0)})
5.集合 A={y|y=x2+1},集合 B={(x,y)|y=x2+1}(A、B 中 x∈R,y∈R ).选项中元
素与集合的关系都正确的是( ).
9.以方程 x2-5x+6=0 和方程 x2-x-2=0 的解为元素的集合中共有________个元素.
10.设 1,0, x 三个元素构成集合 A,若 x2∈A,求实数 x 的值.
11.已知集合 M 中含有三个元素 2, a,b,集合 N 中含有三个元素 2a ,2,b2,且 M=N,求 a,b 的值.
A.3
B.4
C.5
D.6
3.若 A 为全体正实数的集合,B={-2,-1,1,2},则下列结论中正确的是( ).
A.A∩B={-2,-1}
B.(∁RA)∪B={-2,- 1,1}
C.A∪B={1,2}
D.(∁RA)∩B={-2,-1}
4.在如图中 , 用阴影表示出集合(∁UA)∩(∁U B).
5.已知 U 为全集,集合 M、N 是 U 的子集,若 M∩N=N,则( ).

人教版(新教材)高中数学必修1(第一册)学案:4.3.2 对数的运算

人教版(新教材)高中数学必修1(第一册)学案:4.3.2 对数的运算

4.3.2 对数的运算学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质,理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.知识点一 对数运算性质如果a >0,且a ≠1,M >0,N >0,那么: (1)log a (M ·N )=log a M +log a N ; (2)log a MN =log a M -log a N ;(3)log a M n =n log a M (n ∈R ). 知识点二 换底公式1.log a b =log c blog c a (a >0,且a ≠1;c >0,且c ≠1;b >0).2.对数换底公式的重要推论:(1)log a N =1log N a (N >0,且N ≠1;a >0,且a ≠1);(2)log n m a b =mnlog a b (a >0,且a ≠1,b >0);(3)log a b ·log b c ·log c d =log a d (a >0,b >0,c >0,d >0,且a ≠1,b ≠1,c ≠1). 预习小测 自我检验1.计算log 84+log 82=________. 『答 案』 12.计算log 510-log 52________. 『答 案』 13.(1)lg 10=________;(2)已知ln a =0.2,则ln ea =________.『答 案』 (1)12 (2)0.84.log 29log 23=________. 『答 案』 2一、对数运算性质的应用 例1 计算下列各式: (1)log 53625;(2)log 2(32×42); (3)log 535-2log 573+log 57-log 595.解 (1)原式=13log 5625=13log 554=43.(2)原式=log 232+log 242=5+4=9.(3)原式=log 5(5×7)-2(log 57-log 53)+log 57-log 595=log 55+log 57-2log 57+2log 53+log 57-2log 53+log 55=2log 55=2. 反思感悟 对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则对数式的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本着便于真数化简的原则进行. (2)两种常用的方法①“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数; ②“拆”,将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差). 跟踪训练1 计算下列各式的值: (1)(lg5)2+2lg2-(lg2)2; (2)lg3+25lg9-35lg 27lg81-lg27.解 (1)原式=(lg5+lg2)(lg5-lg2)+2lg2 =lg10(lg5-lg2)+2lg2 =lg5-lg2+2lg2 =lg5+lg2=1.(2)原式=lg3+45lg3-910lg34lg3-3lg3=⎝⎛⎭⎫1+45-910lg3(4-3)lg3=910. 二、对数换底公式的应用例2 (1)计算:(log 43+log 83)log 32=________. 『答 案』 56『解 析』 原式=⎝⎛⎭⎫1log 34+1log 38log 32 =⎝⎛⎭⎫12log 32+13log 32log 32 =12+13=56. (2)已知log 189=a ,18b =5,求log 3645.(用a ,b 表示) 解 因为18b =5,所以b =log 185. 所以log 3645=log 1845log 1836=log 18(5×9)log 18(2×18)=log 185+log 189log 182+log 1818=a +b 1+log 182=a +b 1+log 18189=a +b 2-log 189=a +b 2-a .延伸探究若本例(2)条件不变,求log 915.(用a ,b 表示) 解 因为18b =5,所以log 185=b . 所以log 915=log 1815log 189=log 18(3×5)log 189=log 183+log 185a =log 189+ba=1218log9ba=12log189+ba=12a+ba=a+2b2a.反思感悟 利用换底公式化简与求值的思路跟踪训练2 (1)log 89log 23的值是( )A.23B.32C .1D .2 『答 案』 A『解 析』 方法一 将分子、分母利用换底公式转化为常用对数, 即log 89log 23=lg9lg8lg3lg2=2lg33lg2·lg2lg3=23. 方法二 将分子利用换底公式转化为以2为底的对数, 即log 89log 23=log 29log 28log 23=2log 233log 23=23. (2)计算:log 52·log 79log 513·log 734.解 原式=log 52log 513·log 79log 73423122114233log 2log log 23log 3==⋅=-12·log 32·3log 23=-32.三、对数的综合应用例3 2018年我国国民生产总值为a 亿元,如果平均每年增长8%,估计约经过多少年后国民生产总值是2018年的2倍?(lg2≈0.3010,lg1.08≈0.0334,精确到1年) 解 设经过x 年后国民生产总值为2018年的2倍. 经过1年,国民生产总值为a (1+8%), 经过2年,国民生产总值为a (1+8%)2, …,经过x 年,国民生产总值为a (1+8%)x =2a , 所以1.08x =2,所以x =log 1.082=lg2lg1.08=0.30100.0334≈9,故约经过9年后国民生产总值是2018年的2倍. 反思感悟 解决对数应用题的一般步骤跟踪训练3 在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v (单位:m/s)和燃料的质量M (单位:kg),火箭(除燃料外)的质量m (单位:kg)满足e v =⎝⎛⎭⎫1+Mm 2000(e 为自然对数的底数,ln3≈1.099).当燃料质量M 为火箭(除燃料外)质量m 的两倍时,求火箭的最大速度(单位:m/s).解 因为v =ln ⎝⎛⎭⎫1+Mm 2000 =2000·ln ⎝⎛⎭⎫1+M m , 所以v =2000·ln3≈2000×1.099=2198(m/s).故当燃料质量M 为火箭质量m 的两倍时,火箭的最大速度为2198m/s.1.计算:log 123+log 124等于( ) A .1B .2C .3D .4 『答 案』 A2.若lg2=m ,则lg5等于( ) A .m B.1m C .1-m D.10m『答 案』 C 『解 析』 lg 5=lg102=lg 10-lg 2=1-m . 3.化简12log 612-2log 62的结果为( )A .62B .122C .log 63D.12『答 案』 C『解 析』 原式=log 612-log 62=log 6122=log 6 3. 4.下列各等式正确的为( ) A .log 23·log 25=log 2(3×5) B .lg3+lg4=lg(3+4) C .log 2xy=log 2x -log 2yD .lg nm =1n lg m (m >0,n >1,n ∈N *)『答 案』 D『解 析』 A ,B 显然错误,C 中,当x ,y 均为负数时,等式右边无意义. 5.计算:log 513·log 36·log 6125=________.『答 案』 2『解 析』 原式=lg 13lg5·lg6lg3·lg 125lg6=-lg3lg5·lg6lg3·-2lg5lg6=2.1.知识清单: (1)对数的运算性质. (2)换底公式. (3)对数的实际应用. 2.方法归纳:(1)利用对数的运算性质,可以把乘、除、乘方运算转化为加、减、乘的运算,加快计算速度. (2)利用结论log a b ·log b a =1,log n m a b =m n log a b 化简求值更方便.3.常见误区:要注意对数的运算性质(1)(2)的结构形式,易混淆.。

人教版高中数学必修1全册导学案及答案

人教版高中数学必修1全册导学案及答案
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课题:1.1.1 集合的含义与表示(2)
一、三维目标: 知识与技能:掌握表示集合的两种表示方法,能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合。 过程与方法:通过集合表示方法的学习,体会集合的表示方法的区别与联系。 情感态度与价值观:提高学生分析问题和解决问题的能力。 二、学习重、难点: 重点:集合的两种表示方法。 难点:对描述法的理解。 三、学法指导: 学生通过阅读教材,自主学习、思考、交流、讨论和概括,从而更好地完成本节课的教学目标。 四、知识链接: 1.集合中元素的特征是: 2.常用数集及其记法:




七、学习小结: 本节课从实例入手,非常自然贴切地引出子集、真子集、空集、相等的概念及符号;并用 Venn 图直观地把这种关系表示出来;注意包含与属于符号的运用。 八、课后反思
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课题:1.1.3 集合的基本运算(一)
一、三维目标: 知识与目标: (1)理解交集与并集的概念; (2)掌握交集与并集的区别与联系; (3)会求两个已知集合的交集和并集,并能正确应用它们解决一些简单问题。 过程与方法:通过观察和类比,借助 Venn 图理解集合的基本运算。体会直观图示对理解抽象概 念的作用,培养数形结合的思想。 情感态度与价值观:通过使用集合的语言,感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义, 学会用数学的思维方式去认识世界、解决问题,养成事实求是、扎实严谨的科学态度。 二、学习重、难点: 重点:交集与并集的概念,数形结合的思想。 难点:理解交集与并集的概念、符号之间的区别与联系。 三、学法指导: 研读学习目标,了解本章重难点,精读教材,独立完成学案,通过小组学习解决部分疑难问题, 再通过课堂各小组展示及质疑对抗,共同提高,完成学习任务。 四、知识链接: 1. 子集的定义、及子集的符号语言和 Venn 图表示?
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§1.1.1集合的含义及其表示[自学目标]1.认识并理解集合的含义,知道常用数集及其记法;2.了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义; 3.初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合. [知识要点] 1. 集合和元素 (1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈;(2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ∉.2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性.3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图.4.集合的分类:有限集;无限集;空集.5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作*N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R . [预习自测]例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它. (1)小于5的自然数; (2)某班所有高个子的同学; (3)不等式217x +>的整数解; (4)所有大于0的负数;(5)平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点.分析:判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性.例2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形一定是 ( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例3.设()()(){}22,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+==-+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值.分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A.例4.已知{}2,,M a b =,{}22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值.[课内练习]1.下列说法正确的是( )(A )所有著名的作家可以形成一个集合 (B )0与 {}0的意义相同 (C )集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+N n n x x A ,1是有限集 (D )方程0122=++x x 的解集只有一个元素 2.下列四个集合中,是空集的是( )A .}33|{=+x xB .},,|),{(22R y x x y y x ∈-=C .}0|{2≤x x D .}01|{2=+-x x x 3.方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是( )A .)}1,1{(B .}1,1{C .(1,1)D .}1{.4.已知}1,0,1,2{--=A ,}|{A x x y y B ∈==,则B =5.若}4,3,2,2{-=A ,},|{2A t t x xB ∈==,用列举法表示B= . [归纳反思]1.本课时的重点内容是集合的含义及其表示方法,难点是元素与集合间的关系以及集合元素的三个重要特性的正确使用;2.根据元素的特征进行分析,运用集合中元素的三个特性解决问题,叫做元素分析法。

这是解决有关集合问题的一种重要方法;3.确定的对象才能构成集合.可依据对象的特点或个数的多少来表示集合,如个数较少的有限集合可采用列举法,而其它的一般采用描述法. 4.要特别注意数学语言、符号的规范使用. [巩固提高]1.已知下列条件:①小于60的全体有理数;②某校高一年级的所有学生;③与2相差很小的数;④方程2x =4的所有解。

其中不可以表示集合的有--------------------( ) A .1个B .2个C .3个D .4个2.下列关系中表述正确的是-----------------------------------------( ) A .{}200x ∈= B .(){}00,0∈ C .0∈∅ D .0N ∈3.下列表述中正确的是----------------------------------------------( ) A .{}0=∅B .{}{}1,22,1=C .{}∅=∅D .0N ∉4.已知集合A={}23,21,1a a a ---,若3-是集合A 的一个元素,则a 的取值是( )A .0B .-1C .1D .25.方程组3254x y x y =+⎧⎨+=⎩的解的集合是---------------------------------------( )A .(){}1,1-B .(){}1,1-C .()(){},1,1x y -D .{}1,1-6.用列举法表示不等式组240121xx x+>⎧⎨+≥-⎩的整数解集合为:7.设21522x x ax⎧⎫∈--=⎨⎬⎩⎭,则集合2192x x x a⎧⎫--=⎨⎬⎩⎭中所有元素的和为:8、用列举法表示下列集合:⑴(){} ,3,,x y x y x N y N+=∈∈⑵{}3,,y x y x N y N +=∈∈9.已知A={1,2,x2-5x+9},B={3,x2+ax+a},如果A={1,2,3},2 ∈B,求实数a的值.10.设集合{},3A n n Z n=∈≤,集合{}21,B y y x x A==-∈,集合,试用列举法分别写出集合A、B、C. (){}2,1,C x y y x x A ==-∈1.1.2子集、全集、补集[自学目标]1.了解集合之间包含关系的意义.2.理解子集、真子集的概念.3.了解全集的意义,理解补集的概念. [知识要点]1.子集的概念:如果集合A 中的任意一个元素都是集合BB ),那么称集合A 为集合B 的子集(subset ),记作B A ⊆或A B ⊇,.B A ⊆还可以用Venn 图表示.我们规定:A ∅⊆.即空集是任何集合的子集. 根据子集的定义,容易得到:⑴任何一个集合是它本身的子集,即A A ⊆. ⑵子集具有传递性,即若B A ⊆且B C ⊆,则A C ⊆.2.真子集:如果B A ⊆且A B ≠,这时集合A 称为集合B 的真子集(proper subset ). 记作:A B⑴规定:空集是任何非空集合的真子集. ⑵如果A B, B C ,那么A C3.两个集合相等:如果B A ⊆与B A ⊆同时成立,那么,A B 中的元素是一样的,即A B =. 4.全集:如果集合S 包含有我们所要研究的各个集合,这时S 可以看作一个全集(Universal set ),全集通常记作U.5.补集:设A S ⊆,由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集 (complementary set ), 记作:S A ð(读作A 在S 中的补集),即[预习自测]例1.判断以下关系是否正确: ⑴{}{}a a ⊆;⑵{}{}1,2,33,2,1=;⑶{}0∅⊆;⑷{}00∈;⑸{}0∅∈;⑹{}0∅=;例2.设{}13,A x x x Z =-<<∈,写出A 的所有子集.例 3.已知集合{},,2M a a d a d =++,{}2,,N a aq aq =,其中0a ≠且M N =,求q 和d 的值(用a 表示).例4.设全集{}22,3,23U a a =+-,{}21,2A a =-,{}5U C A =,求实数a 的值.例5.已知{}3A x x =<,{}B x x a =<. ⑴若B A ⊆,求a 的取值范围; ⑵若A B ⊆,求a 的取值范围; ⑶若R C A R C B ,求a 的取值范围.[课内练习]1. 下列关系中正确的个数为( ) ①0∈{0},②Φ{0},③{0,1}⊆{(0,1)},④{(a ,b )}={(b ,a )}A )1 (B )2 (C )3 (D )42.集合{}8,6,4,2的真子集的个数是( )(A )16 (B)15 (C)14 (D) 133.集合{}正方形=A ,{}矩形=B ,{}平行四边形=C ,{}梯形=D ,则下面包含关系中不正确的是( )(A )B A ⊆ (B) C B ⊆ (C) D C ⊆ (D) C A ⊆ 4.若集合 ,则_____=b .5.已知M={x| -2≤x ≤5}, N={x| a+1≤x ≤2a -1}. (Ⅰ)若M ⊆N ,求实数a 的取值范围; (Ⅱ)若M ⊇N ,求实数a 的取值范围.[归纳反思]1. 这节课我们学习了集合之间包含关系及补集的概念,重点理解子集、真子集,补集的概念,注意空集与全集的相关知识,学会数轴表示数集.2. 深刻理解用集合语言叙述的数学命题,并能准确地把它翻译成相关的代数语言或几何语言,抓住集合语言向文字语言或图形语言转化是打开解题大门的钥匙,解决集合问题时要注意充分运用数轴和韦恩图,发挥数形结合的思想方法的巨大威力。

[巩固提高]1.四个关系式:①∅}0{⊂;②0}0{∈;③}0{∈∅;④}0{=∅.其中表述正确的是[ ] A .①,②B .①,③C . ①,④D . ②,④2.若U={x ∣x 是三角形},P={ x ∣x 是直角三角形},则=P CU----------------------[ ]A .{x ∣x 是直角三角形}B .{x ∣x 是锐角三角形}C .{x ∣x 是钝角三角形}D .{x ∣x 是锐角三角形或钝角三角形}3.下列四个命题:①{}0∅=;②空集没有子集;③任何一个集合必有两个子集;④空集是任何一个集合的子集.其中正确的有---------------------------------------------------[ ] A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.满足关系{}1,2A⊆{}1,2,3,4,5的集合A的个数是--------------------------[ ]A.5 B.6 C.7 D.8 5.若,x y R ∈,(){},A x y y x ==,(),1y B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭,则,A B 的关系是---[ ]A.A B B.A B C.A =B D.A ⊆B6.设A={}5,x x x N ≤∈,B={x ∣1< x <6,x }N ∈,则=B CA7.U={x ∣},01582R x x x ∈=+-,则U 的所有子集是 8.已知集合}5|{<<=x a x A ,x x B |{=≥}2,且满足B A ⊆,求实数a 的取值范围.9.已知集合P={x ∣},062R x x x ∈=-+,S={x ∣},01R x ax ∈=+, 若S ⊆P ,求实数a 的取值集合.10.已知M={x ∣x ,0>R x ∈},N={x ∣x ,a >R x ∈} (1)若M N ⊆,求a 得取值范围; (2)若M N ⊇,求a 得取值范围; (3)若M CRN CR,求a 得取值范围.交集、并集[自学目标]1.理解交集、并集的概念和意义 2.掌握了解区间的概念和表示方法 3.掌握有关集合的术语和符号 [知识要点]1.交集定义:A ∩B={x|x ∈A 且x ∈B}运算性质:(1)A ∩B ⊆A ,A ∩B ⊆B (2) A ∩A=A ,A ∩φ=φ (3) A ∩B= B ∩A (4) A ⊆ B ⇔ A ∩B=A 2.并集定义:A ∪B={x| x ∈A 或x ∈B }运算性质:(1) A ⊆ (A ∪B ),B ⊆ (A ∪B ) (2) A ∪A=A ,A ∪φ=A (3) A ∪B= B ∪A (4) A ⊆ B ⇔ A ∪B=B[预习自测]1.设A={x|x>—2},B={x|x<3},求 A∩B和A∪B2.已知全集U={x|x取不大于30的质数},A、B是U的两个子集,且A∩C U B= {5,13,23},C U A∩B={11,19,29},C U A∩C U B={3,7},求A,B.3.设集合A={|a+1|,3,5},集合B={2a+1,a2+2a,a2+2a—1}当A∩B={2,3}时,求A∪B[课内练习]1.设A=(]3,1-,B=[)4,2,求A∩B2.设A=(]1,0,B={0},求A∪B3.在平面内,设A、B、O为定点,P为动点,则下列集合表示什么图形(1){P|PA=PB} (2) {P|PO=1}4.设A={(x,y )|y=—4x+b},B={(x,y )|y=5x —3 },求A ∩B5.设A={x|x=2k+1,k ∈Z},B={x|x=2k —1,k ∈Z},C= {x|x=2k ,k ∈Z}, 求A ∩B ,A ∪C ,A ∪B[归纳反思]1.集合的交、并、补运算,可以借助数轴,还可以借助文氏图,它们都是数形结合思想的体现2.分类讨论是一种重要的数学思想法,明确分类讨论思想,掌握分类讨论思想方法。

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