3-5 直线与平面以及两平面之间的相对位置

e e
a
a
f
37
分析
过已知点A作平面与已知直线EF垂直交于点K，连接AK，AK即为所求。
A
E
K
F
38
2
f
作图过程
k
2
f
e
1
a
PV
1
e
a
e
e
2
a
2
k
a
f
f
1
1
39
例题1. 作直线CD与三角形LMN的交点，并表明可见性。
V
m c k l n m k n
40
d
O
14
例题
直线
一般位置平面
求交点
A
Ⅰ
M
K
Ⅱ
B N
C
过MN作平面Q垂直于V投影面
15
以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图
直线
QV
一般位置平面 f c
求交点
1
b k
步骤： 1、 过EF作正 垂平面Q。
2
e
f b k a a
2、求Q平面与 ΔABC的交线 ⅠⅡ。 3、求交线 ⅠⅡ与EF的交 点K。
第三章 点、直线、平面的投影
3.1 投影法 3.2 点的投影
3.3 直线的投影
3.4 平面的投影 3.5 直线与平面以及两平面之间的相对位置
1
3.5 直线与平面以及两平面之间的相对位置
3.5.1 平行问题
3.5.2 相交问题
3.5.3 垂直问题
2
2.5.1 平行问题
一．直线与平面平行
几何条件：若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与 该平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。
b
e
a
m
d 因此， MN不垂直于定平面
c f
n
32
二、两平面垂直 几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面 都垂直于该平面。
A
Ⅱ
D
33
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一 点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。
A A
Ⅰ Ⅱ
D
Ⅰ
D
Ⅱ
两平面垂直 两平面不垂直
34
例题11 平面由 BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面
C A
B
24
作图步骤 c PV m a b a b c k m 1
25
f1 2 n
k
1、过点K作平面 KMN// ABC平面。 k’m’//a’b’, km//ab; k’n’//b’c’, kn//bc; 2、过直线EF作正垂 平面P。 3、求平面P与平面 KMN的交线ⅠⅡ。 4、求交线ⅠⅡ 与 EF的交点H。
p f q
e a
b
s
r
g g
O
X
pq f a eb sr
H
47
X
l
d
c
H
例题2. 求特殊位置平面CDEF与直线AB的交点， 并判断可见性。(保留作图图线) Z e’ a’
d’
c’ f’ （k’） b’
X
c
d
a
O
e
YW
k
f b
s
r YH
41
a’ d’
c’
e’
Z
e’’
f’ （k’） b’
f’’ d’’ c’’ O YW
X
c
d
a
k
f b
e
YH
42
a’ d’
c’
直线与特殊位置平面求交点
K
a b k c
C H
m
b
c
11
可见性？
判断直线的可见性（一）
b V N n
a
P
B
K
Ⅰ
1（2）
k
m c a n
2
A PH M a
Ⅱ
b k c
C H
k
b
m 1
12
c
例题
平面
V
M
特殊位置平面
m
P B
K F L N C c PH f n H b k a l
求交线
h
f c g k b
a
d f
k c b h
35
a
d
g
例题12 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否垂直。
h
f c d
g
k
b
a c
g
f k b d 结论：因为AD直线不在 ABC平面上，所以两平面不垂直。
36
例题13 试过定点A作直线与已知直线EF正交。 f
3
利 用 重 影 点 判 别 可 见 性。
b
4

e
a
a
f
2
b k 1 c
3(4
)
e
20
判断平面的可见性（一）
m V M B K F c f n
b k
l a a l
L
N k a l c H
m k b
m
C c
f n
f
n
21
判断平面的可见性（二）
3
c k b 1 ( )
16
2
1
直线与一般位置平面求交点（二）
c
e
平面
一般位置平面
M
B
求交线
K
A L
E
N
平面与一般位置平面求交点（一）
C
17
平面与一般位置平面求交点（二） 两一般 位置平面相 交，求交线 步骤： 1、用直线与 平面求交点 的方法求出 两平面的两 个共有点K、 E。 2、连接两个 共有点，画 出交线KE。
D
27
定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于 该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面 的正平线的正面投影。 n V
a C
E B D n a k
k d
e
c
b
A
e d
c b
28
定理2（逆）：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直 线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直 于该平面。 n V f
e’
b’
c’’ O
e
b’’ YW
X
c
d
a
h
k
f b
YH
45
例题3：求EF与三角形ABC的交点，并判别其可 见性。 e’ b’ d’ 1’(2’) g’ a’ d’ f c’ X O a 2 c d 1 e(f) (g) b
46
例题4. 作三角形EFG与平行四边形PQRS的交线，并 表明可见性。
V
k
b l a
c
f
n m k b
f c n a l
m
平面与特殊位置平面求交线
可见性？
13
判断平面的可见性（一）
V M B 1（2） Ⅱ Ⅰ F N C c f n K m 1（2） c f f n kk
b
l a a l
L
k a l c H
m 2 k b
m
f
1 n
d e k d b f
6
a
c
二、两平面平行
S B A C
P E D F
若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交两 直线，则此两平面平行。
7
例题3
b
试判断两平面是否平行
a n r f s e
m c d c n m a d e
s r
b
f
结论：两平面平行
8
例题4 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试 过点K作一平面平行于已知平面 。
h
e e
h f
n
2
5、连接KH，KH即 为所求。
2.5.3 垂直问题
一、直线与平面垂直 几何条件 定理1 定理2 例题7 例题8 例题9 二、两平面垂直 几何条件 例题11 例题12 例题13
26
直线与平面垂直的几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该 平面的一切直线。
V C E
A
B
a s d m b c c b n d a f f k
n
r r
e
k s
e
m
9
2.5.2 相交问题 求交点/交线
判断可见性
特殊位置平面
直线 平面 一般位置平面
特殊位置平面
平面 平面 一般位置平面
10
直线
V
特殊位置平面
求交点
b a k
m c a n k n
N
B
P A PH M
例题3
例题4
3
一、直线与平面平行
P C A
D
B
若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行。
4
例题1
试判断直线AB是否平行于定平面
c g d f e a b
f
d
e
a
因为：ab不平行于fg 所以：直线AB不平行于定平面
c
g
b
5
例题2 试过点K作水平线AB平行于ΔCDE平面
c f e b k a
有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与 已知平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。 例题1 例题2
二．平面与平面平行 几何条件：若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对 应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。 两面平行的作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过一点作 一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的投影。