正弦定理与余弦定理习题课课件ppt(北师大版必修五)
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高中数学必修五北师大版 余弦定理课件(30张)
a c 方法一 由正弦定理sin A＝sin C得： 3 5× 2 csin A 5 3 sin C＝ a ＝ 7 ＝ 14 . 5 3 ∴最大角 A 为 120° ，sin C＝ . 14 a2＋b2－c2 72＋32－52 11 解法二 ∵cos C＝ ＝ ＝ ， 2ab 2×7×3 14 ∴C 为锐角，∴sin C＝ 1－cos C＝
[ 分析 ] 可先由大边对大角，确定出最大的角，再由正、余弦定 理求出最大角及sin C.
[解析] ∵a>c>b，∴A 为最大角．
由余弦定理变形得： b2＋c2－a2 32＋52－72 1 cos A＝ 2bc ＝ ＝－2. 2×3×5 又∵0° <A<180° ，∴A＝120° . 3 ∴sin A＝sin 120° ＝2.
)
2a2 ＝ 2a ＝a＝2.
答案：C
2．在△ABC中，如果sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，那么cos C等
于________．
解析：由条件可设 a＝2t，b＝3t，c＝4t a2＋b2－c2 4t2＋9t2－16t2 1 cos C＝ 2ab ＝ ＝－4. 2×2×3t2
1 答案：－4
1.2 余弦定理
第1课时 余弦定理
பைடு நூலகம்
1.能证明余弦定理，了解并可以从向量方 法、解析方法和三角方法等多种途径证 明余弦定理； 重点：余弦定理的理 解和简单应用．
2.能够应用余弦定理及其推论解三角形； 难点：余弦定理的推 3.了解余弦定理与勾股定理之间的联系， 导及解决简单的三角 知道解三角形问题的几种情形及其基本 解法. 形度量问题.
1 3 3 解法二 由 b<c，B＝30° ，b>csin 30° ＝3 3×2＝ 2 知本题有两解． 1 3 3×2 csin B 3 由正弦定理 sin C＝ ＝ ＝ ， b 3 2 ∴C＝60° 或 120° ， 当 C＝60° 时，A＝90° ， 由勾股定理 a＝ b2＋c2＝ 32＋3 32＝6，
北师大版高中数学必修五第二章第一节《正弦定理》课件(共17张ppt)
必修5第二章:解三角形
1.1 正弦定理
永丰中学 陈保进
知识回顾
1、三角形中三个角有什么关系？ 边之间又有什么关系？ A+B+C=180⁰ 2、三角形中边与角之间的关系是 怎样的？ 大边对大角，大角对大边
能否得到三角形边与角之间准确量化的 关系？
定理的推导
首先回忆直角三角形的边角数量关系 如图,用a,b,c分别表示A,B,C的对边 A
a b c sin A sin B siC n
结构特点： 和谐美、对称美.
变形公式:
(1) a b
sin A； b sin B c
sin sin
B C
；
a c
sin A sin C
(2 )a :b :c siA :n sB i:n sC in
定理的理解
正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等,即
则 x取值范围是( C )
A.(2,) B.(0,2) C.(2,2 2) D.( 2,2)
在我的印象里，他一直努力而自知，每天从食堂吃饭后，他总是习惯性地回到办公室看厚厚的专业书不断提升和充实自己，他的身上有九零后少见的沉稳。同事们恭喜他，大多看 到了他的前程似锦，却很少有人懂得他曾经付出过什么。就像说的：“如果这世上真有奇迹，那只是努力的另一个名字，生命中最难的阶段，不是没有人懂你，而是你不懂自已。” 而他的奇迹，是努力给了挑选的机会。伊索寓言中，饥饿的狐狸想找一些可口的食物，但只找到了一个酸柠檬，它说，这只柠檬是甜的，正是我想吃的。这种只能得到柠檬，就说 柠檬是甜的自我安慰现象被称为：“甜柠檬效应”。一如很多人不甘平庸，却又大多安于现状，大多原因是不知该如何改变。看时，每个人都能从角色中看到自已。高冷孤独的安 迪，独立纠结的樊胜美，乐观自强的邱莹莹，文静内敛的关睢尔，古怪精灵的曲筱绡。她们努力地在城市里打拼，拥有幸或不幸。但她依然保持学习的习惯，这样无论什么事她都 有最准确的判断和认知；樊胜美虽然虚荣自私，但她努力做一个好HR，换了新工作后也是拼命争取业绩；小蚯蚓虽没有高学历，却为了多卖几包咖啡绞尽脑汁；关睢尔每一次出镜 几乎都是在房间里戴着耳机听课，处理文件；就连那个嬉皮的曲筱潇也会在新年之际为了一单生意飞到境外……其实她们有很多路可以走：嫁人，啃老，安于现状。但每个人都像 个负重的蜗牛一样缓缓前行，为了心中那丁点儿理想拼命努力。今天的努力或许不能决定明天的未来，但至少可以为明天积累，否则哪来那么多的厚积薄发和大器晚成？身边经常 有人抱怨生活不幸福，上司太刁，同事太蛮，公司格局又不大，但却不想改变。还说：“改变干嘛？这个年龄了谁还能再看书考试，混一天是一天吧。”一个“混”字就解释了他 的生活态度。前几天我联系一位朋友，质问为什么好久不联系我？她说自已每天累的像一条狗，我问她为什么那么拼？她笑：“如果不努力我就活得像一条狗了。”恩，新换的上 司，海归，虽然她有了磨合几任领导的经验，但这个给她带来了压力。她的英语不好，有时批阅文件全是大段大段的英文，她心里很怄火，埋怨好好的中国人，出了几天国门弄得 自己像个洋鬼子似的。上司也不舒服，流露出了嫌弃她的意思，甚至在一次交待完工作后建议她是否要调一个合适的部门？她的脸红到了脖子，想着自己怎么也算是老员工，由她 羞辱？两个人很不愉快。但她有一股子倔劲，不服输，将近40岁的人了，开始拿出发狠的学习态度，报了个英语培训班。回家后捧着英文书死啃，每天要求上中学的女儿和自己英 语对话，连看电影也是英文版的。功夫不负有心人，当听力渐渐能跟得上上司的语速，并流利回复，又拿出漂亮的英文版方案，新上司看她的眼光也从挑剔变柔和，某天悄悄放了 几本英文书在她桌上，心里突然发现上司并没那么讨厌。心态好了，她才发现新上司的优秀，自从她来了后，部门业绩翻了又翻，奖金也拿到手软，自己也感觉痛快。她说：这个 社会很功利，但也很公平。别人的傲慢一定有理由，如果想和平共处，需要同等的段位，而这个段位，自己可能需要更多精力，但唯有不断付出，才有可能和优秀的人比肩而立。 人为什么要努力？一位长者告诉我：“适者生存。”这个社会讲究适者生存，优胜劣汰。虽然也有潜规则，有套路和看不见的沟沟坎坎，但一直努力的人总会守得云开见月明。有 些人明明很成功了，但还是很拼。比如剧中的安迪，她光环笼罩，商场大鳄是她的男闺蜜，不离左右，富二代待她小心呵护，视若明珠，加上她走路带风，职场攻势凌历，优秀得 让身边人仰视。这样优秀的人，不管多忙，每天都要抽出两个小时来学习。她的学习不是目的，而是能量，能让未来的自己比过去更好一些。现实生活中，努力真的重要，它能改 变一个人的成长轨迹，甚至决定人生成败。有一句鸡汤：不着急，你想要的，岁月都会给你。其实，岁月只能给你风尘满面，而希望，唯有努力才能得到！9、懂得如何避开问题的 人，胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！在家里看到的永远是家，走出去看到的才 是世界。把钱放在眼前，看到的永远是钱，把钱放在有用的地方，看到的是金钱的世界。给人金钱是下策，给人能力是中策，给人观念是上策。财富买不来好观念，好观念能换来 亿万财富。世界上最大的市场，是在人的脑海里！要用行动控制情绪，不要让情绪控制行动；要让心灵启迪智慧，不能让耳朵支配心灵。人与人之间的差别，主要差在两耳之间的 那块地方！人无远虑，必有近忧。人好的时候要找一条备胎，人不好的时候要找一条退路；人得意的时候要找一条退路，人失意的时候要找一条出路！孩子贫穷是与父母的有一定 的关系，因为他小的时候，父母没给他足够正确的人生观。家长的观念是孩子人生的起跑线！有什么信念，就选择什么态度；有什么态度，就会有什么行为；有什么行为，就产生 什么结果。要想结果变得好，必须选择好的信念。播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变
1.1 正弦定理
永丰中学 陈保进
知识回顾
1、三角形中三个角有什么关系？ 边之间又有什么关系？ A+B+C=180⁰ 2、三角形中边与角之间的关系是 怎样的？ 大边对大角，大角对大边
能否得到三角形边与角之间准确量化的 关系？
定理的推导
首先回忆直角三角形的边角数量关系 如图,用a,b,c分别表示A,B,C的对边 A
a b c sin A sin B siC n
结构特点： 和谐美、对称美.
变形公式:
(1) a b
sin A； b sin B c
sin sin
B C
；
a c
sin A sin C
(2 )a :b :c siA :n sB i:n sC in
定理的理解
正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等,即
则 x取值范围是( C )
A.(2,) B.(0,2) C.(2,2 2) D.( 2,2)
在我的印象里，他一直努力而自知，每天从食堂吃饭后，他总是习惯性地回到办公室看厚厚的专业书不断提升和充实自己，他的身上有九零后少见的沉稳。同事们恭喜他，大多看 到了他的前程似锦，却很少有人懂得他曾经付出过什么。就像说的：“如果这世上真有奇迹，那只是努力的另一个名字，生命中最难的阶段，不是没有人懂你，而是你不懂自已。” 而他的奇迹，是努力给了挑选的机会。伊索寓言中，饥饿的狐狸想找一些可口的食物，但只找到了一个酸柠檬，它说，这只柠檬是甜的，正是我想吃的。这种只能得到柠檬，就说 柠檬是甜的自我安慰现象被称为：“甜柠檬效应”。一如很多人不甘平庸，却又大多安于现状，大多原因是不知该如何改变。看时，每个人都能从角色中看到自已。高冷孤独的安 迪，独立纠结的樊胜美，乐观自强的邱莹莹，文静内敛的关睢尔，古怪精灵的曲筱绡。她们努力地在城市里打拼，拥有幸或不幸。但她依然保持学习的习惯，这样无论什么事她都 有最准确的判断和认知；樊胜美虽然虚荣自私，但她努力做一个好HR，换了新工作后也是拼命争取业绩；小蚯蚓虽没有高学历，却为了多卖几包咖啡绞尽脑汁；关睢尔每一次出镜 几乎都是在房间里戴着耳机听课，处理文件；就连那个嬉皮的曲筱潇也会在新年之际为了一单生意飞到境外……其实她们有很多路可以走：嫁人，啃老，安于现状。但每个人都像 个负重的蜗牛一样缓缓前行，为了心中那丁点儿理想拼命努力。今天的努力或许不能决定明天的未来，但至少可以为明天积累，否则哪来那么多的厚积薄发和大器晚成？身边经常 有人抱怨生活不幸福，上司太刁，同事太蛮，公司格局又不大，但却不想改变。还说：“改变干嘛？这个年龄了谁还能再看书考试，混一天是一天吧。”一个“混”字就解释了他 的生活态度。前几天我联系一位朋友，质问为什么好久不联系我？她说自已每天累的像一条狗，我问她为什么那么拼？她笑：“如果不努力我就活得像一条狗了。”恩，新换的上 司，海归，虽然她有了磨合几任领导的经验，但这个给她带来了压力。她的英语不好，有时批阅文件全是大段大段的英文，她心里很怄火，埋怨好好的中国人，出了几天国门弄得 自己像个洋鬼子似的。上司也不舒服，流露出了嫌弃她的意思，甚至在一次交待完工作后建议她是否要调一个合适的部门？她的脸红到了脖子，想着自己怎么也算是老员工，由她 羞辱？两个人很不愉快。但她有一股子倔劲，不服输，将近40岁的人了，开始拿出发狠的学习态度，报了个英语培训班。回家后捧着英文书死啃，每天要求上中学的女儿和自己英 语对话，连看电影也是英文版的。功夫不负有心人，当听力渐渐能跟得上上司的语速，并流利回复，又拿出漂亮的英文版方案，新上司看她的眼光也从挑剔变柔和，某天悄悄放了 几本英文书在她桌上，心里突然发现上司并没那么讨厌。心态好了，她才发现新上司的优秀，自从她来了后，部门业绩翻了又翻，奖金也拿到手软，自己也感觉痛快。她说：这个 社会很功利，但也很公平。别人的傲慢一定有理由，如果想和平共处，需要同等的段位，而这个段位，自己可能需要更多精力，但唯有不断付出，才有可能和优秀的人比肩而立。 人为什么要努力？一位长者告诉我：“适者生存。”这个社会讲究适者生存，优胜劣汰。虽然也有潜规则，有套路和看不见的沟沟坎坎，但一直努力的人总会守得云开见月明。有 些人明明很成功了，但还是很拼。比如剧中的安迪，她光环笼罩，商场大鳄是她的男闺蜜，不离左右，富二代待她小心呵护，视若明珠，加上她走路带风，职场攻势凌历，优秀得 让身边人仰视。这样优秀的人，不管多忙，每天都要抽出两个小时来学习。她的学习不是目的，而是能量，能让未来的自己比过去更好一些。现实生活中，努力真的重要，它能改 变一个人的成长轨迹，甚至决定人生成败。有一句鸡汤：不着急，你想要的，岁月都会给你。其实，岁月只能给你风尘满面，而希望，唯有努力才能得到！9、懂得如何避开问题的 人，胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！在家里看到的永远是家，走出去看到的才 是世界。把钱放在眼前，看到的永远是钱，把钱放在有用的地方，看到的是金钱的世界。给人金钱是下策，给人能力是中策，给人观念是上策。财富买不来好观念，好观念能换来 亿万财富。世界上最大的市场，是在人的脑海里！要用行动控制情绪，不要让情绪控制行动；要让心灵启迪智慧，不能让耳朵支配心灵。人与人之间的差别，主要差在两耳之间的 那块地方！人无远虑，必有近忧。人好的时候要找一条备胎，人不好的时候要找一条退路；人得意的时候要找一条退路，人失意的时候要找一条出路！孩子贫穷是与父母的有一定 的关系，因为他小的时候，父母没给他足够正确的人生观。家长的观念是孩子人生的起跑线！有什么信念，就选择什么态度；有什么态度，就会有什么行为；有什么行为，就产生 什么结果。要想结果变得好，必须选择好的信念。播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变
高中数学第二章解三角形2.1正弦定理与余弦定理2.1.2正弦定理与余弦定理的综合应用课件北师大版必修5
·
4������ 4
题型一
题型二
题型三
题型四
解法二:(利用正弦定理“边化角”) ������ ������ ������ 由 = = = 2������ , 已知条件可化为 sin������ sin������ sin������ 4R2sin2Csin2B+4R2sin2Csin2B=8R2sin Bsin Ccos Bcos C. ∵sin Bsin C≠0,∴sin Bsin C=cos Bcos C, 即cos(B+C)=0. ∵0°<B+C<180°,∴B+C=90°,∴A=90°. 故△ABC是直角三角形. 反思判断三角形的形状时,一般有两种思路:一是转化为三角形 的边与边的关系;二是转化为三角形的角与角的关系.当然有时可 将边与角巧妙结合同时考虑,正弦、余弦定理都可以实现这种边角 关系的转化.注意两种解法的比较.
当 a=6 时 ,由正弦定理 ,得 sin A=
������ sin ������ ������
=
6sin30 ° 3
= 1,
∴ ������ = 90° , 这时C=180°-(A+B)=60°. 当 a=3 时 ,△ABC 为等腰三角形 ,这时 A=B=30°, C=180°-2B=120°. 综上可知 ,C=60°,A=90° ,a=6 或 C=120° ,A=30°,a=3.
b2+c 2-b2 =2b������
2
������ 2 +������ 2 -������ 2
2
2������������ 2 2 2 ������ +������ -������ ������ 2 +������ 2 -������ 2
高中数学必修五1.1正弦定理和余弦定理 课件 (共34张PPT)
两种途径 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角 转换．
双基自测 1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60° ，B＝75° ，a ＝10，则c等于( A．5 2 10 6 C. 3 )． B．10 2 D．5 6
a 解析 由A＋B＋C＝180° ，知C＝45° ，由正弦定理得： sin A ＝ c 10 c 10 6 sin C，即 3＝ 2.∴c＝ 3 . 2 2 答案 C
sin A cos B 2．在△ABC 中，若 a ＝ b ，则 B 的值为( A．30° 解析 B．45° C．60° D．90°
4． 已知两边和其中一边的对角， 解三角形时， 注意解的情况． 如 已知 a，b，A，则 A 为锐角 图形 A 为钝角或直角
关系 式 解的 个数
a＜b sin A a＝bsin A
bsin A＜a＜ b 两解
a≥b a＞b a≤b
无解
一解
一解 一解 无解
一条规律 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大， 正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A＞B⇔a＞b⇔sin A ＞sin B. 两类问题 在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一 边，求其它边或角； (2) 已知两边及一边的对角，求其它边或 角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余 弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两 角；(2)已知三边，求各角．
正弦定理和余弦定理
基础梳理 a b c 1．正弦定理：sin A＝sin B＝sin C＝2R，其中 R 是三角形外接 圆的半径．由正弦定理可以变形为： (1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (2)a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ； a b c (3)sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R等形式，以解决不同的三 角形问题．
北师大版高中数学必修五课件1.1正弦定理
1．任意三角形三边满足：，两三边个之角和满大足于：第，三并边且大边对，
小
内角和为180° 边
大角
对
．小角
2．直角三角形三边长满足勾股定理，即a2＋b2＝c2.
3．在 Rt△ABC 中，C＝π2，则ac＝ sin A ，bc＝ sin B，
a sin
A＝sinb
B＝sinc
C，那么在任意一个三角形中sina
答案：
32 2
4．在△ABC中，已知A＝45°，B＝30°，c＝10，则b＝ ________.
解析： ∵A＋B＋C＝180°， ∴C＝105°. ∵sinb B＝sinc C，∴b＝cssiinnCB＝1s0insin10350°°， 即 b＝5( 6－ 2)． 答案： 5( 6－ 2)
5．已知：△ABC 中，a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，求 A、 C 及 c.
1.在△ABC 中，分别根据下列条件解三角形 (1)A＝45°，B＝30°，a＝2； (2)b＝10，c＝5 6，C＝60°. (3)a＝ 2，b＝2，A＝30°. (4)a＝2，b＝ 3，B＝120°.
解析： (1)由三角形内角和定理，得：
C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°，
A＝sinb
B＝
c sin
C成立吗？
1．正弦定理
在一个三角形中，各边和它们所对角的的正比弦相等，
即sina A＝
b sin B
c ＝ sin C
.
2．解三角形
(1)把三角形的和三它边们的叫做三角形对的角元素．
(2)已知三角形的几个元素求的其过它程元叫素做解三角形．
3．三角形的面积公式
1
1
S△＝ 2ab sin C ＝ 2a csin B
高中数学北师大版必修5 正弦定理和余弦定理 习题课课件(30张)
2 2 2 b ＋ c － a ac＋bc－ac 1 2 解：(1)由题意知，b ＝ac⇒cos A＝ ＝ ＝ ， 2bc 2bc 2
π 因为 A∈(0，π )，所以 A＝ . 3 b a 由 b ＝ac，得 ＝ ， c b 3 3 所以 ＝sin B· ＝sin B· ＝sin A＝ .故填 和 . c b sin B 2 3 2
(2)①由 3a＝2csin A 及正弦定理得， a 2sin A sin A ＝ ＝ . c sin C 3 3 因为 sin A≠0，所以 sin C＝ . 2 π 因为△ABC 是锐角三角形，所以 C＝ . 3 π ②法一：因为 c＝ 7，C＝ ， 3 由面积公式得 1 π 3 3 absin ＝ ，即 ab＝6.(i) 2 3 2
[方法归纳] 对于条件是边角关系混合在一起的等式，一般地，应运用正 弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统
一为角的关系，再利用三角形的有关知识，三角恒等变形、
代数恒等变形等方法进行转化、化简，从而得出结论．
2．(1)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 acos 1 A＝bsin B，则 sin Acos A＋cos2B 等于________ ． 2B＋C (2)在△ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，4sin 2 7 －cos 2A＝ . 2 ①求 A 的度数； ②若 a＝ 3，b＋c＝3，求 b 和 c 的值．
2
1 2 2 1－ ＝ . 9 3
π π 2 2 π 2 1 故 sin A＋ ＝sin Acos ＋cos Asin ＝ × ＋－3× 4 4 3 2 4 2 4－ 2 ＝ . 2 6
π 本例所有条件不变，试求 cos(2A－ )的值． 6
高中数学必修五北师大版 正弦定理与余弦定理课件(32张)
三角形面积的计算 1 1 1 对于此类问题一般用公式 S＝ absin C＝ bcsin A＝ acsin B 进行求 2 2 2 解． 将题目中的边角关系，用正、余弦定理转化为两边及夹角问题，注 意方程思想在解题中的应用．
在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 b＝acos C， 1 且△ABC 的最大边长为 12，最小角的正弦值为3. (1)试判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积．
三角形的面积问题
[例 2] 积．
在△ABC 中，若 B＝30° ，AB＝2 3，AC＝2，求△ABC 的面
[分析] 先利用正弦定理求角或角的正弦值．
[解析]
由正弦定理得 sin C＝
3 . 2
∵AB>AC，∴C>B，则 C 有两解． ①当 C 为锐角时，C＝60° ，A＝90° ， 1 1 则 S＝2AB· AC· sin A＝2×2 3×2×1＝2 3. ②当 C 为钝角时，C＝120° ，A＝30° ， 1 1 1 则 S＝2AB· AC· sin A＝2×2 3×2×2＝ 3.
ab，则∠C的大小为(
)
A．60° B．90° C．120° D．150°
解析：∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab∴a2＋b2－c2＝－ab， a2＋b2－c2 1 即 ＝－ ， 2ab 2 1 ∴cos C＝－ ，∴∠C＝120° . 2
答案：C
2． 在△ABC 中， a＝7， b＝4 3， c＝ 13， 则△ABC 的最小角为( π π π π A.3 B.6 C.4 D.12
判断三角形形状的方法技巧 1．判断三角形的形状一般结论为锐角三角形、钝角三角形、直角
三角形、等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形；
北师版数学高二-必修5课件 第2章 习题课 正弦定理和余弦定理
∴ac＝35，∵cos B＝35，∴sin B＝45. ∴S△ABC＝12acsin B＝21×35×45＝14.
(2)若a＝7，求角C. 解 ∵ac＝35，a＝7，∴c＝5. 由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B＝32，∴b＝4 2. 由正弦定理sinc C＝sinb B， ∴sin C＝bcsin B＝452×45＝ 22. ∵c<b且B为锐角，∴C一定是锐角. ∴C＝45°.
(2)求bsicn B的值.
解 由 b2＝ac，得bc＝ab，∴bsicnB＝sin B·ba
＝sin
sin B·sin
BA＝sin
A＝
3 2.
要点二 正弦、余弦定理与三角变换的综合应用
例2 在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且 4sin2 B＋2 C－cos 2A＝72 . (1)求A的度数.
1234
1234
2.在△ABC中，若c＝2acos B，则△ABC的形状一定是( C )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 解析 ∵c＝2acos B ，由正弦定理，得 2cos Bsin A＝sin C＝sin(A＋B)， ∴sin Acos B－cos Asin B＝0， 即sin(A－B)＝0，∴A＝B.
规律方法 这是一道向量与正弦、余弦定理的综合题， 解题的关键是化去向量的“伪装”，找到三角形的边 角关系.
跟踪演练3 已知△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a， b，c，设向量m＝(a＋b，sin C)，n＝( 3a＋c，sin B－sin A)，
若m∥n，则角B的大小为 150° . 解析 ∵m∥n，∴(a＋b)(sin B－sin A)－sin C( 3a＋c)＝0，
(北师大版)数学必修五：2.1《正弦定理与余弦定理(第2课时)》ppt课件
成才之路 ·数学
北师大版 ·必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 · 北师大版 ·数学 ·必修5
第二章
解三角形
第二章
解三角形
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第二章
§1 正弦定理与余弦定理
第2课时
余弦定理
第二章
解三角形
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2．余弦定理及其变形的应用 应用余弦定理及其变形可解决两类解三角形的问题，一类 夹角 解三角形，另一类是已知________ 三边 解 是已知两边及其________ 三角形．
第二章
§1
第2课时
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3．余弦定理与勾股定理的关系
在△ABC中，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，若角 C ＝ 90°，则 cosC ＝ 0 ，于是 c2 ＝ a2 ＋ b2 － 2a·b·0 ＝ a2 ＋ b2 ，这 说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推 广．
国海监船位于中国南海的 A处，与我国海岛B相距s海里．据观
测得知有一外国探油船位于我国海域 C处进行非法资源勘探， 这艘中国海监船奉命以 v海里/小时的速度前去驱逐．假如能测 得∠BAC＝α，BC＝m海里，你能根据上述数据计算出它赶到C 处的时间吗？
第二章
§1
第2课时
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∵A与B均为△ABC的内角，∴A＝B．
第二章
§1
第2课时
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北师大版 ·必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第二章
解三角形
第二章
解三角形
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第二章
§1 正弦定理与余弦定理
第2课时
余弦定理
第二章
解三角形
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2．余弦定理及其变形的应用 应用余弦定理及其变形可解决两类解三角形的问题，一类 夹角 解三角形，另一类是已知________ 三边 解 是已知两边及其________ 三角形．
第二章
§1
第2课时
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3．余弦定理与勾股定理的关系
在△ABC中，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，若角 C ＝ 90°，则 cosC ＝ 0 ，于是 c2 ＝ a2 ＋ b2 － 2a·b·0 ＝ a2 ＋ b2 ，这 说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推 广．
国海监船位于中国南海的 A处，与我国海岛B相距s海里．据观
测得知有一外国探油船位于我国海域 C处进行非法资源勘探， 这艘中国海监船奉命以 v海里/小时的速度前去驱逐．假如能测 得∠BAC＝α，BC＝m海里，你能根据上述数据计算出它赶到C 处的时间吗？
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∵A与B均为△ABC的内角，∴A＝B．
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余弦定理课件ppt(北师大版必修五)
课前探究学习 课堂讲练互动
当 c＝ 6－ 2时，由正弦定理，得 2 6－ 2 · 6－ 2 c· sin A 2 sin C＝ ＝ ＝ ， a 4 2 2 ∴ C＝ 15° ，∴B＝180° － 15° － 45° ＝ 120° . 综上可知 c＝ 6＋ 2， B＝60° ， C＝ 75° 或 c＝ 6－ 2， B＝120° ，C＝ 15° . 法二 由正弦定理得
解
法一
2
由余弦定理 a2＝ b2＋ c2－ 2bccos A 得
2 8＝ 12＋ c － 2× 2 3× c× ，整理得 c2－ 2 6c＋ 4＝ 0， 2 ∴ c＝ 6＋ 2或 c＝ 6－ 2.当 c＝ 6＋ 2时， 由正弦定理，得 2 6＋ 2 · 6＋ 2 c· sin A 2 sin C＝ ＝ ＝ ，∴ C＝ 75° ， a 4 2 2 由三角形内角和定理，得 B＝ 180° － 75° － 45° ＝ 60° .
－2a×3 3×cos 30° ，∴a2－9a＋18＝0，得 a＝3 或 6.当 a＝3 时，A＝30° ，C＝120° .
课前探究学习 课堂讲练互动
1 6× asin B 2 当 a＝ 6 时，由正弦定理得 sin A＝ ＝ ＝1. b 3 ∴ A＝ 90° ，C＝ 60° . 法二 1 3 3 由 b<c，B＝30° ，b>csin 30° ＝ 3 3× ＝ 知本题有两 2 2
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名师点睛
余弦定理的理解 1． (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构特征：“平方”、“夹角”、“余弦”． (3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中 一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与 角的一种数量关系． (4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角 关系的互化．
当 c＝ 6－ 2时，由正弦定理，得 2 6－ 2 · 6－ 2 c· sin A 2 sin C＝ ＝ ＝ ， a 4 2 2 ∴ C＝ 15° ，∴B＝180° － 15° － 45° ＝ 120° . 综上可知 c＝ 6＋ 2， B＝60° ， C＝ 75° 或 c＝ 6－ 2， B＝120° ，C＝ 15° . 法二 由正弦定理得
解
法一
2
由余弦定理 a2＝ b2＋ c2－ 2bccos A 得
2 8＝ 12＋ c － 2× 2 3× c× ，整理得 c2－ 2 6c＋ 4＝ 0， 2 ∴ c＝ 6＋ 2或 c＝ 6－ 2.当 c＝ 6＋ 2时， 由正弦定理，得 2 6＋ 2 · 6＋ 2 c· sin A 2 sin C＝ ＝ ＝ ，∴ C＝ 75° ， a 4 2 2 由三角形内角和定理，得 B＝ 180° － 75° － 45° ＝ 60° .
－2a×3 3×cos 30° ，∴a2－9a＋18＝0，得 a＝3 或 6.当 a＝3 时，A＝30° ，C＝120° .
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1 6× asin B 2 当 a＝ 6 时，由正弦定理得 sin A＝ ＝ ＝1. b 3 ∴ A＝ 90° ，C＝ 60° . 法二 1 3 3 由 b<c，B＝30° ，b>csin 30° ＝ 3 3× ＝ 知本题有两 2 2
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名师点睛
余弦定理的理解 1． (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构特征：“平方”、“夹角”、“余弦”． (3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中 一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与 角的一种数量关系． (4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角 关系的互化．
高中数学北师大版必修5第2章1《正弦定理与余弦定理》(第1课时 正弦定理)ppt同步课件
注意：(1)判断出一个三角形是等腰三角形后，还要进一步 讨论它是否可能是等边三角形或等腰直角三角形，不要匆忙下 结论；
(2)在△ABC 中，若 sin2A＝sin2B，不一定只有 A＝B，因 为 sin2A＝sin2B⇒2A＝2B，或 2A＝π－2B⇒A＝B 或 A＋B＝π2.
在△ABC 中，acos(π2－A)＝bcos(π2－B)，判断△ABC 的形状． [解析] 解法一：∵acos(π2－A)＝bcos(π2－B)， ∴asinA＝bsinB.
③a b c＝__s_in_A____si_n_B___s_i_n_C_
④sinA＋a＋sinbB＋＋c sinC＝__s_i_an_A_＝__s_ibn_B__＝__si_nc_C___.
3．面积定理
1
1
1 对 于 任 意 △ ABC ， 则 S △ ABC ＝ _2_a_b_s_i_n_C_ ＝ __2_b_c_s_in_A_ ＝
a
b
c
___s_in_A_____＝__s_i_n_B___＝__s_i_n_C___.
2．常见的公式变形
①a＝_2_R__si_n_A__，b＝__2_R_s_in_B__，c＝__2_R_s_in_C__
a
b
c
②sinA＝___2_R____，sinB＝___2_R____，sinC＝___2_R____
2
课堂典例讲练
已知两角及一边解三角形
在△ABC中，已知∠A＝45°，∠B＝30°，c＝ 10，求b.
[分析] 先利用三角形内角和定理求角C，再利用正弦定理 求边b.
[解析] ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠C＝105°，
∵sibnB＝sincC，sin105 °＝sin(45°＋60°)
高中数学 第二章 解三角形 2.1 正弦定理与余弦定理 2.1.1 正弦定理课件 北师大版必修5
∴本题有一解.
∵sin B=
sin
=
10sin60 °
5 6
=
2
2
, ∴ = 45°,
∴A=180°-(B+C)=75°.
∴a=
sin
sin
=
10sin75 °
sin45 °
=
10×
6+ 2
4
2
2
= 5( 3 + 1).
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
判断三角形的形状
【例 2】 在△ABC 中,若 lg a-lg c=lg sin B=-lg 2, 且为锐角,
sin
∴C=60°或 C=120°.
当 C=60°时,A=90°,
1
∴S△ABC = ·AC·sin A=2 3.
2
当 C=120°时,A=30°,
1
∴S△ABC = ·AC·sin A= 3.
2
故三角形的面积是 2 3或 3.
=
3
2
.
1
2
3
4
5
1在△ABC中,若b=2asin B,则A的值是(
BC=
.
解析:c=AB=3,B=75°,C=60°,则 A=45°.
由正弦定理,得
=
,
所以 a=BC=
答案: 6
sin
sin
sin
3sin45 °
sin
sin60 °
=
= 6.
π
【做一做 3-2】 在△ABC 中,若 a=3,b= 3, = ,
3
.
则的大小为
∵sin B=
sin
=
10sin60 °
5 6
=
2
2
, ∴ = 45°,
∴A=180°-(B+C)=75°.
∴a=
sin
sin
=
10sin75 °
sin45 °
=
10×
6+ 2
4
2
2
= 5( 3 + 1).
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
判断三角形的形状
【例 2】 在△ABC 中,若 lg a-lg c=lg sin B=-lg 2, 且为锐角,
sin
∴C=60°或 C=120°.
当 C=60°时,A=90°,
1
∴S△ABC = ·AC·sin A=2 3.
2
当 C=120°时,A=30°,
1
∴S△ABC = ·AC·sin A= 3.
2
故三角形的面积是 2 3或 3.
=
3
2
.
1
2
3
4
5
1在△ABC中,若b=2asin B,则A的值是(
BC=
.
解析:c=AB=3,B=75°,C=60°,则 A=45°.
由正弦定理,得
=
,
所以 a=BC=
答案: 6
sin
sin
sin
3sin45 °
sin
sin60 °
=
= 6.
π
【做一做 3-2】 在△ABC 中,若 a=3,b= 3, = ,
3
.
则的大小为
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一边＋B＋C＝180°，求 角A；由正弦定理求出b与 c，在有解时只有一解
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续表
两边和夹角(如 a，b，C)
由余弦定理求第三边c；由正弦定 余弦定理 理求出一边所对的角；再由A＋B 正弦定理 ＋C＝180°求出另一角，在有解 时只有一解 由余弦定理求出角A，B；再利用 余弦定理 A＋B＋C＝180°，求出角C，在 有解时只有一解
由正弦定理求出角B；由A＋B＋ 正弦定理 C＝180°，求出角C；再利用正 余弦定理 弦定理或余弦定理求c，可有两 解、一解或无解
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三边(a，b，c)
两边和其中一 边的对角(如 a，b，A)
2. 解三角形常用的边角关系及公式总结 (1)三角形内角和等于180° (2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． (3)三角形中大边对大角，小边对小角．
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【示例】在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已
1 知 cos 2C＝－ . 4 (1)求sin C的值； (2)当a＝2,2sin A＝sin C时，求b及c的长． [思路分析]
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解 10 . 4
1 (1)因为 cos 2C＝1－2sin2C＝－ ，及 0<C<π，所以 sin C＝ 4
b＝ 6 6，所以 c＝4 b＝2 或 c＝4
6
.
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方法点评 三角形问题的一般解题方法 (1)合理利用三角公式，如cos 2C＝1－2sin2C＝2cos2C－1 等． (2)认真分析题目所给条件，适时利用正、余弦定理实现 边角转化．
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规律方法 已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的 方法如下：可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边(注意 边的取舍)，再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦 定理求出第二个角(注意角的取舍)，再利用三角形内角和定 理求出第三个角，最后再应用正弦定理求出第三边．
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【训练1】 在△ABC 中，已知角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，
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[规范解答] 在△ABC 中，由正弦定理得， a c ＝ ，(2 分) sin A sin C
a sin A sin 2C a ∴ ＝ ＝ ＝2cos C，即 cos C＝ .(4 分) c sin C sin C 2c a2＋b2－c2 由余弦定理得，cos C＝ . 2ab a＋c 又∵a＋c＝2b，∴b＝ ，(6 分) 2 1 a －c ＋ a＋c2 a 4 ∴ ＝ . 2c a＋c 2a· 2
2 2
整理得 2a3－3a2c＋3c3－2ac2＝0，(8 分)
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3 即(c －a )(3c－2a)＝0.解得 a＝c 或 a＝ c， 2
2 2
∵A>C，∴a>c，∴a＝c 不合题意．(10 分) 3 1 5 当 a＝ c 时，b＝ (a＋c)＝ c. 2 2 4 3 5 ∴a∶b∶c＝ c∶ c∶c＝6∶5∶4.(12 分) 2 4
习题课
【课标要求】
正弦定理与余弦定理
进一步熟悉正、余弦定理的应用． 1． 2． 学会利用正、余弦定理解较简单的综合题． 【核心扫描】 1． 利用正弦定理和余弦定理实现边角转化，从而判断出三角 形形状．(重点) 利用正、余弦定理进行边角转化、代数变形、三角恒等变 2． 形等．(重点、难点)
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ca2＋c2－b2 a－ a2－c2＋b2 2ac 2b 左边＝ ＝ ·2 2 2 2 2 2＝ 2a cb ＋c －a b －c ＋a b－ 2bc b 2Rsin B sin B ＝ ＝ ＝右边． a 2Rsin A sin A 法二 化边为角
sin A－sin C· B sinB＋C－sinC· B cos cos 左边＝ ＝ ＝ sin B－sin C· A sinA＋C－sin C· A cos cos sin B· C sin B cos ＝ ＝右边． sin A· C sin A cos
a c (2)当 a＝2,2sin A＝sinC 时，由正弦定理 ＝ sin A sin C 1 得 c＝4.由 cos 2C＝2cos C－1＝－ ，及 0<C<π， 4
2
6 得 cos C＝± . 4 由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C 得 b2± 6b－12＝0. 解得 b＝ 6或 2
自学导引
解三角形 1． 三个角A，B，C (1)把三角形的________________和它们的____________叫 对边a、b、c 做三角形的元素． 其他元素 (2)已知三角形的几个元素求_________的过程叫做解三角 形． 试一试：在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，则A＝________.
【例1】在△ABC 中，已知角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
若 a＝2 3，b＝ 6，A＝45° ，求边长 c.
[思路探索] 本题可直接利用余弦定理求边长c，也可先由 正弦定理求出B，进而求出C，然后利用正弦定理或余弦 定理求出边长c.
解 法一 在△ABC 中，根据余弦定理可得 a2 ＝b2＋c2－ 2bccos A，即 c2－2 3c－6＝0，所以 c＝ 3± 3.因为 c>0，所 以 c＝ 3＋3.
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规律方法 有关三角形的证明问题，主要涉及三角形的边 和角的三角函数关系．从某种意义上看，这类问题就是有 目标的对含边和角的式子进行化简的问题，所以解题思路 与判断三角形形状类似：边化为角或者角化为边．
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a－c· B sin B cos 【训练2】 在△ABC 中，求证： ＝ . b－c· A sin A cos 证明 法一 化角为边
因为 c>b，所以 C>B，所以 C＝60° C＝120° 或 . 当 C＝60° 时，A＝90° ，此时 a＝ b2＋c2＝6； 当 C＝120° 时，A＝30° ，此时 a＝b＝3.
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题型二
证明三角恒等式
【例2】 在△ABC中，求证：a2sin 2B＋b2sin 2A＝2absin C. [思路探索] 所证式子为既有边又有角的三角函数式， 考虑利用正弦定理将边转化为角． 解 由正弦定理的推广得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B(R为 △ABC外接圆的半径)，于是 a2sin 2B＋b2sin 2A＝(2Rsin A)2· 2B＋(2Rsin B)2· 2A sin sin ＝8R2· Asin B(sin Acos B＋cos Asin B) sin ＝8R2sin Asin Bsin(A＋B)， 由A＋B＝π－C，得上式＝8R2sin Asin B sin C ＝2· 2Rsin A· 2Rsin B· C＝2absin C. sin 所以原式成立．
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法二
2 bsin A 2 1 在△ABC 中， 由正弦定理得 sin B＝ ＝ ＝ ， a 2 2 3 6×
因为 b<a，所以 B<A，B＝30° ，C＝180° －A－B＝105° ，sin C sin 105° ＝sin(45° ＋60° )＝sin 45° cos 60° ＋cos 45° 60° sin ＝ 6＋ 2 2 3× 6＋ 2 asin C 4 ，故 c＝ ＝ ＝ 3＋3. 4 sin A 2 2
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题型三 正弦定理、余弦定理的综合应用
【例3】 (本题满分12分)在△ABC中，A>B>C，且A＝2C，a＋ c＝2b，求此三角形三边之比． 审题指导 正弦定理与余弦定理常常综合考查．若三角形 中的边角关系较为复杂，则在化简求值时，要选择合适的 转化方向． 【解题流程】
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方法技巧 转化与化归思想
1．转化与化归思想是指在研究和解决有关问题时采用某种手 段将问题转化得到解决的一种解题策略． 2．一般是把复杂的问题通过变换转化为简单的问题，把抽象 问题转化为具体问题，把较难的问题转化为容易求解的问 题，把未解决的问题转化为已解决的问题． 3．在本节中通过转化与化归思想，一般把需要解决的问题转 化为三角形中的边角问题，应用正弦、余弦定理完成边角 的转化，使问题得以解决．
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【训练3】 已知△ABC 的周长为 2＋1，且 sin A＋sin B＝ 2sin C．
(1)求边 AB 的长； 1 (2)若△ABC 的面积为 sin C，求 C 的度数． 6
解
(1)由题意及正弦定理，得
AB＋BC＋AC＝ 2＋1，BC＋AC＝ 2AB， 两式相减，得 AB＝1. 1 1 (2)由△ABC 的面积 BC· sin C＝ sin C， AC· 2 6 AC2＋BC2－AB2 1 得 BC· AC＝ .由余弦定理，得 cos C＝ ＝ 3 2AC· BC AC＋BC2－2AC· BC－AB2 1 ＝ .所以 C＝60° . 2AC· BC 2
【题后反思】 余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形 进行边角互化的，所以在解有关三角形的题目时，要有意识 地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能 够利用某个定理的信息．一般地，如果遇到的式子中含角的 余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中 含角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都 不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
c，若 b＝3，c＝3 3，B＝30° ，求边长 a.
解 法一 根据余弦定理可得 b2＝a2＋c2－2accos B，所以 32＝a2＋(3 3)2－2a· 3· 30° 3 cos ，即 a2－9a＋18＝0， 解得 a ＝3 或 a＝6. 法二 csin B 3 3sin 30° 3 根据正弦定理得 sin C＝ ＝ ＝ . b 3 2