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[提示] ∠C＝90° ，∠B＝30° ，a＝2 3，b＝2.
[问题 2]
a b c 试计算sin A，sin B，sin C的值，三者有何关系？
[ 提示 ]
2 3 2 a b c ＝ 4 ， sin B ＝ sin 30° ＝ 4 ， sin C ＝ sin A ＝ sin 60°
4 ＝4，三者的值相等． sin 90°
• 1．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝ 75°，求A，b，c.
解析： A＝180° －(B＋C)＝180° －(60° ＋75° )＝45° .
合作探究 课堂互动
已知两角及一边解三角形
• 在△ABC中，已知A＝45°，B＝ 30°，c＝10，求b. • [思路点拨] 解决本题可先利用三角形内角 和定理求C，再利用正弦定理求b.
[边听边记] ∴C＝105° .
∵A＋B＋C＝180° ，
b c ∵sin B＝sin C，
6＋ 2 2 3 1 sin 105° ＝sin(45° ＋60° )＝ 2 × ＋ ＝ 4 ， 2 2
第一章
解三角形
•1.1 正弦定理和余弦定理 •1.1.1 正弦定理
自主学习 新知突破
• 1．了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其 基本应用． • 2．能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形 状．
•
1．如图，在Rt△ABC中，A＝60°，斜边c＝4，
B
A
•
[问题1] △ABC的其他边和角为多少？
• 1．有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适 用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三 角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所 对角的正弦的比是一定值；④在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c. • 其中正确的个数是( ) • A．1 B．2 • C．3 D．4
• 解析： 正弦定理适用于任意三角形，故①② 均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定， 则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故③正 确；由比例性质和正弦定理可推知④正确． • 答案： B
•
2．如图，△ABC为锐角三角形．作出BC边上的高AD.
[问题1]
b c sin B与sin C相等吗？
[提示] 由AD＝csin B，AD＝bsin C知 csin B＝bsin C. b c ∴sin B＝sin C.
[问题2]
a sin A与这两者也相等吗？
来自百度文库
•
[提示] 相等．
正弦定理
• (1)定义：在一个三角形中，各边和它所对角的 正弦的比相等． •
2．利用正弦定理解三角形的步骤： 三角形 第三 正弦定理 (1) 两角与一边 ――→ ――→ 另两边 内角和定理 个角 两边与其中 正弦定理 另一边对角 确定此角与其 (2) ――→ ―→ 一边的对角 的正弦值 他的边和角
• 3．利用正弦定理解三角形的注意事项： • (1)要结合平面几何中“大边对大角，大角 对大边”及三角形内角和定理去考虑问题． • (2)明确给定的三角形的元素，为了防止漏 解或增解，有时常结合几何作图进行判断．
sin A 2．在△ABC中，下列式子与 a 的值相等的是( b A．c sin C C． c
解析：
)
sin B B．sin A c D．sin C a c 由正弦定理得sin A＝sin C，
sin A sin C 所以 a ＝ c ，故选C.
答案： C
3．已知△ABC中，a＝ 2 ，b＝ 3 ，B＝60° ，那么角A等 于________．
sin B 10×sin 30° ∴b＝c· sin C＝ sin 105° ＝5( 6－ 2)．
• 本题属于已知两角与一边求解三角 形的类型，此类问题的基本解法是： • (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理 求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角， 最后由正弦定理求第三边； • (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形 内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两 边．
解三角形
• (1)一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们 的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的 几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． • (2)利用正弦定理可以解决以下两类有关解三角 形的问题： • ①已知三角形的任意两个角与一边，求其他两 边和另一角； • ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角， 求另一边的对角，进而可求其他的边和角．
解析： c· sin B 8sin 30° (1)由正弦定理得sin C＝ b ＝ 4 ＝1.
∵30° <C<150° ，∴C＝90° ， 从而A＝180° －(B＋C)＝60° ， a＝ c2－b2＝4 3.
(2)∵A＋B＋C＝180° ， ∴A＝180° －(B＋C) ＝180° －(75° ＋45° )＝60° . a b 又∵sin A＝sin B， sin A sin 60° ∴a＝bsin B＝2×sin 45° ＝ 6， sin C sin 75° 同理，c＝ sin Bb＝sin 45° ×2＝ 3＋1.
a b c (2)表达式： ______________________. sin A＝sin B＝sin C
1．正弦定理的变形公式 正弦定理以下变形，可直接应用． (1)asin B＝bsin A；asin C＝csin A；bsin C＝csin B(交叉相 乘)； bsin A bsin A (2)a＝ sin B ；sin B＝ a ； a＋b＋c a b c (3) sin A ＝ sin B ＝ sin C ＝ ＝2R(R为△ sin A＋sin B＋sin C ABC外接圆的半径)； (4)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
解析：
a b 由正弦定理知sin A＝sin B，
2 3 2 得sin A＝sin 60° ，解得sin A＝ 2 . 又a＝ 2<b＝ 3， 所以A<B，所以A＝45° .
答案： 45°
• 4．根据下列条件，解△ABC. • (1)已知b＝4，c＝8，B＝30°，求C，A，a； • (2)在△ABC中，B＝45°，C＝75°，b＝2，求a，c， A.
[问题 2]
a b c 试计算sin A，sin B，sin C的值，三者有何关系？
[ 提示 ]
2 3 2 a b c ＝ 4 ， sin B ＝ sin 30° ＝ 4 ， sin C ＝ sin A ＝ sin 60°
4 ＝4，三者的值相等． sin 90°
• 1．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝ 75°，求A，b，c.
解析： A＝180° －(B＋C)＝180° －(60° ＋75° )＝45° .
合作探究 课堂互动
已知两角及一边解三角形
• 在△ABC中，已知A＝45°，B＝ 30°，c＝10，求b. • [思路点拨] 解决本题可先利用三角形内角 和定理求C，再利用正弦定理求b.
[边听边记] ∴C＝105° .
∵A＋B＋C＝180° ，
b c ∵sin B＝sin C，
6＋ 2 2 3 1 sin 105° ＝sin(45° ＋60° )＝ 2 × ＋ ＝ 4 ， 2 2
第一章
解三角形
•1.1 正弦定理和余弦定理 •1.1.1 正弦定理
自主学习 新知突破
• 1．了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其 基本应用． • 2．能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形 状．
•
1．如图，在Rt△ABC中，A＝60°，斜边c＝4，
B
A
•
[问题1] △ABC的其他边和角为多少？
• 1．有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适 用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三 角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所 对角的正弦的比是一定值；④在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c. • 其中正确的个数是( ) • A．1 B．2 • C．3 D．4
• 解析： 正弦定理适用于任意三角形，故①② 均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定， 则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故③正 确；由比例性质和正弦定理可推知④正确． • 答案： B
•
2．如图，△ABC为锐角三角形．作出BC边上的高AD.
[问题1]
b c sin B与sin C相等吗？
[提示] 由AD＝csin B，AD＝bsin C知 csin B＝bsin C. b c ∴sin B＝sin C.
[问题2]
a sin A与这两者也相等吗？
来自百度文库
•
[提示] 相等．
正弦定理
• (1)定义：在一个三角形中，各边和它所对角的 正弦的比相等． •
2．利用正弦定理解三角形的步骤： 三角形 第三 正弦定理 (1) 两角与一边 ――→ ――→ 另两边 内角和定理 个角 两边与其中 正弦定理 另一边对角 确定此角与其 (2) ――→ ―→ 一边的对角 的正弦值 他的边和角
• 3．利用正弦定理解三角形的注意事项： • (1)要结合平面几何中“大边对大角，大角 对大边”及三角形内角和定理去考虑问题． • (2)明确给定的三角形的元素，为了防止漏 解或增解，有时常结合几何作图进行判断．
sin A 2．在△ABC中，下列式子与 a 的值相等的是( b A．c sin C C． c
解析：
)
sin B B．sin A c D．sin C a c 由正弦定理得sin A＝sin C，
sin A sin C 所以 a ＝ c ，故选C.
答案： C
3．已知△ABC中，a＝ 2 ，b＝ 3 ，B＝60° ，那么角A等 于________．
sin B 10×sin 30° ∴b＝c· sin C＝ sin 105° ＝5( 6－ 2)．
• 本题属于已知两角与一边求解三角 形的类型，此类问题的基本解法是： • (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理 求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角， 最后由正弦定理求第三边； • (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形 内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两 边．
解三角形
• (1)一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们 的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的 几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． • (2)利用正弦定理可以解决以下两类有关解三角 形的问题： • ①已知三角形的任意两个角与一边，求其他两 边和另一角； • ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角， 求另一边的对角，进而可求其他的边和角．
解析： c· sin B 8sin 30° (1)由正弦定理得sin C＝ b ＝ 4 ＝1.
∵30° <C<150° ，∴C＝90° ， 从而A＝180° －(B＋C)＝60° ， a＝ c2－b2＝4 3.
(2)∵A＋B＋C＝180° ， ∴A＝180° －(B＋C) ＝180° －(75° ＋45° )＝60° . a b 又∵sin A＝sin B， sin A sin 60° ∴a＝bsin B＝2×sin 45° ＝ 6， sin C sin 75° 同理，c＝ sin Bb＝sin 45° ×2＝ 3＋1.
a b c (2)表达式： ______________________. sin A＝sin B＝sin C
1．正弦定理的变形公式 正弦定理以下变形，可直接应用． (1)asin B＝bsin A；asin C＝csin A；bsin C＝csin B(交叉相 乘)； bsin A bsin A (2)a＝ sin B ；sin B＝ a ； a＋b＋c a b c (3) sin A ＝ sin B ＝ sin C ＝ ＝2R(R为△ sin A＋sin B＋sin C ABC外接圆的半径)； (4)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
解析：
a b 由正弦定理知sin A＝sin B，
2 3 2 得sin A＝sin 60° ，解得sin A＝ 2 . 又a＝ 2<b＝ 3， 所以A<B，所以A＝45° .
答案： 45°
• 4．根据下列条件，解△ABC. • (1)已知b＝4，c＝8，B＝30°，求C，A，a； • (2)在△ABC中，B＝45°，C＝75°，b＝2，求a，c， A.