数学分析课程教学大纲

数学分析课程教学大纲

（Mathematical Analysis）

课程编号：041048-50

课程性质：专业基础课

适用专业：数学与应用数学

先修课程：高中数学

后续课程：复变函数论、实变函数、泛函分析、常微分方程、数学物理方程、微分几何、积分方程、非线性分析

总学时：288

总学分：18

教学目的与要求：

该课程分为极限理论，连续函数，微分学、积分学和级数理论这五个部分，开设本课程的目的，是帮助学生了解数学分析处理问题的基本思想，并能运用这些思想处理纯粹数学和应用数学中所遇到的数学问题；是培养学生的思维能力和推理能力，能用分析的手段将复杂问题分解为简单问题，从而分别突破，是培养学生准确、简练的表达能力，能用标准的分析语言，清晰地陈述自己的思想；是培养学生熟练、精确的极限、微分、积分的运算能力，使当解决问题要求计算能力时能够胜任，是为“分析”这条线上的若干后续课程提供必要的基础和预备知识，使学生能顺利完成后续课程的学习，学完本课程后，要求学生具有下列诸方面的能力。

1．“ε-Ν”，“ε-δ”语言的表述能力

2．对概念的认识，理解能力，对相关概念的串联能力

3．对定理的条件、结论的合理设计能力，对其强弱的认识能力，对相关定理内容的串联能力

4．问题之间的相互转换能力，例如：极限问题与级数问题的相互转换，积分问题与级数问题的相互转换。

5．极限、微分、积分的精确计算及近似计算能力。

6．进行简单的理论研究及应用研究的能力。

教学内容与学时安排

第一章实数集与函数

1．实数：实数及其性质，绝对值与不等式

2．数集与确界原理：区间与邻域、有界集、确界原理。

3．函数概念：定义、表示法、四则运算、复合运算、反函数、初等函数

4．具有特性的函数：有界性、单调性、奇偶性、周期性

本章重点：函数定义及相关概念，确界概念及相关运算

难点：用定义验证函数的某些特性，理解确界概念，验证确界及确界运算

第二章数列极限

1．数列极限概念：数列极限定义，无穷小数列

2．收敛数列的性质

3．数列极限存在的条件。

本章重点：数列极限的定义、性质、存在条件

难点：对“N

ε”定义的理解，否定陈述，利用存在条件验证收敛性。

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第三章函数极限

1．函数极限概念（各种不同变化过程的函数极限定义）

2．函数极限的性质

3．函数极限存在的条件

4．两个重要极限

5．无穷小量与无穷大量，阶的比较

本章重点：陈述各种不同极限过程的函数极限定义及其否定陈述，求函数极限，判断极限存在性，等价无穷小量的运用。

难点：求某些函数极限及判断极限存在性。

第四章函数的连续性

1．连续性概念：点态连续，区间上连续，间断点及其分类。

2．连续函数的性质：局部性质，闭区间上连续函数的性质，反函数的连续性，一致连续性。3．初等函数的连续性

本章重点：连续性概念，闭区间上连续函数的性质

难点：连续函数性质的应用，一致连续性的判断。

第五章导数与微分

1．导数概念：导数定义及导函数

2．求导法则：四则运算法则，反函数求导法则，复合函数求导法则。

基本初等函数求导公式

3．微分：微分概念，可微条件，微分运算法则，利用微分作近似计算

4．高阶导数与高阶微分

5．参数方程所确定的函数的导数

本章重点：导数及微分定义，各种求导运算法则及求导公式，常用的高阶导数表达式

难点：求复合函数导数的链式法则

第六章微分学基本定理与不等式极限

1．中值定理：Fama 定理，Rolle 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理 2．不定式极限：

0型，

∞

∞型及其它

3．Taylor 公式，两种余项形式及应用 本章重点：中值定理及其应用

难点：适时应用中值定理及Taylor 公式

第七章 运用导数研究函数

1．函数的单调性与极值 2．函数的凸性与拐点 3．函数图象讨论 本章重点：函数作图

第八章 极限与连续性（续）

1．实数完备性定理：确界存在定理，单调有界原理，区间套定理，Cauchy 收敛准则，聚点定理，列紧性定理，有限复盖定理及其等价性证明。 2．闭区间上连续函数性质的证明 3．上极限与下极限

本章重点：完备性定理的陈述与理解 难点：完备性定理等价性证明及定理的应用

第九章 不定积分

1．不定积分概念与基本积分公式 2．换元积分法与分部积分法

3．有理函数和可化为有理函数的积分 本章重点：积分技术 难点：选择适当的代换

第十章 定积分

1．定积分概念

2．可积条件：可积的必要条件，可积的充要条件，可积函数类 3．定积分的性质：运算性质，不等式性质，积分中值定理 4．微积分学基本定理：定积分的计算，Taylor 公式的积分型余项 5．非正常积分，无穷限积分，无界函数积分

第十一章 定积分应用

1． 平面图形面积 2． 由截面面积求体积 3． 曲线的弧长与曲率 4． 旋转曲面的面积

5． 定积分在物理上的应用 本章重点：用定积分求面积、体积

第十二章 数项级数

1．级数收敛性概念

2．正项级数：收敛充要条件，比较判别法，比式判别法，根式判别法，积分判别法，Ruba 判别法

3．一般项级数：绝对收敛与条件收敛，交错级数，Abel判别式与Dinichlet判别法

本章重点：数项级数收敛的条件（判别法）

难点：选择适当的判别法，特别是当判别法失效时如何应对。

第十三章函数列与函数项级数

1．一致收敛性：一致收敛概念及判别

2．一致收敛的函数项和函数项级数的性质：连续、可积、可微。

本章重点：一致收敛概念及一致收敛判别

难点：验证一致收敛性

第十四章幂级数

1．幂级数：收敛区间，性质、运算、幂级数求和

2．函数的幂级数展开

本章重点：确定幂级数的收敛域，幂级数求和，幂级数展开

难点：幂级数求和及展开

第十五章Fourier级数

1．Fourier级数：三角级数，正交系，以2π为周期的函数的Fourier级数

2．以2l为周期的函数的Fourier级数展开式

3．收敛定理及其证明

本章重点：求函数的Fourier级数展开式并讨论其收敛性

难点：收敛定理的证明

第十六章多元函数极限与连续

1．平面点集与多元函数：R2上的拓扑概念，R2的完备性，二元函数，n元函数。

2．二元函数的极限：二重极限，累次极限

3．二元函数的连续性：连续性概念，有界闭域上连续函数的性质。

本章重点：二元函数的极限、连续概念

难点：R2上的拓扑概念：求二重极限，有界闭域上连续函数性质的证明。

第十七章多元函数微分学

1．可微：可微性与全微分，偏导数，可微条件，几何意义及应用

2．复合函数微分法

3．方向导数与梯度

4．Taylor公式与极值问题：高阶偏导数，中值定理与Taylor公式，极值问题

本章重点：可微概念、可微条件、复合函数求导法则，中值定理与Taylor公式。

难点：可微性判断，复合函数求导法则，中值定理与Taylor公式的证明，求最大值与最小值。

第十八章隐函数定理及其应用

1．隐函数：隐函数概念、隐函数存在定理、隐函数求导