高中数学第2章概率2.3随机变量的数字特征2.3.2离散型随机变量的方差学案新人教B版选修23
高中数学 第二章离散型随机变量的方差教案 新人教A版选修2-3
2．3．2离散型随机变量的方差一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出5.6. 分布列的两个性质： ⑴i ≥0，＝1，2，...； ⑵1+2+ (1)7.二项分布:ξ～B (n ，p )，并记kn k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．8.几何分布： g (k ，p )= 1k q p -，其中k ＝0,1,2,…， p q -=1．9.数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望．10. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平11 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值12. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)( 13.若ξB （n,p ），则E ξ=np 二、讲解新课：1. 方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．2. 标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．3.方差的性质：（1）ξξD a b a D 2)(=+；（2）22)(ξξξE E D -=； （3）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p )4.其它：⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； ⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛 三、讲解范例：例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差. 解：抛掷散子所得点数X 的分布列为从而111111123456 3.5666666EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=;2222221111(1 3.5)(2 3.5)(3 3.5)(4 3.5)666611(5 3.5)(6 3.5) 2.9266DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯≈1.71X σ=.例2．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得EX 1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1 = 1400 ,DX 1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3+ (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1 = 40 000 ;EX 2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,DX 2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l= 160000 .因为EX 1 =EX 2, DX 1<DX 2，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．例3．设随机变量ξ的分布列为求D ξ解：（略）12n E ξ+=, 2n -1D 12ξ=例4．已知离散型随机变量1ξ的概率分布为离散型随机变量2ξ的概率分布为求这两个随机变量期望、均方差与标准差解：47177127111=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ； 471)47(71)42(71)41(2221=⨯-+⋅⋅⋅+⨯-+⨯-=ξD ；211==ξσξD4713.4718.3717.32=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ； 2ξD =0.04, 2.022==ξσξD .点评：本题中的1ξ和2ξ都以相等的概率取各个不同的值，但1ξ的取值较为分散，2ξ的取值较为集中．421==ξξE E ，41=ξD ，04.02=ξD ，方差比较清楚地指出了2ξ比1ξ取值更集中．1σξ＝2，2σξ=0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差例5．甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平解：180.290.6100.29E ξ=⨯+⨯+⨯=221(89)0.2(99)0.6D ξ=-⨯+-⨯+（10-9）4.02.02=⨯；同理有8.0,922==ξξD E由上可知，21ξξE E =，12D D ξξ<所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些．点评：本题中，1ξ和2ξ所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同．21ξξE E ==9，这时就通过1ξD =0.4和2ξD =0.8来比较1ξ和2ξ的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况例6．A 、B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：A 机床B 机床问哪一台机床加工质量较好解： E ξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,E ξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.它们的期望相同，再比较它们的方差D ξ1=（0-0.44）2×0.7+（1-0.44）2×0.2+（2-0.44）2×0.06+（3-0.44）2×0.04=0.6064,D ξ2=（0-0.44）2×0.8+（1-0.44）2×0.06+（2-0.44）2×0.04+（3-0.44）2×0.10=0.9264. ∴D ξ1< D ξ2 故A 机床加工较稳定、质量较好. 四、课堂练习：1 .已知()~,,8, 1.6B n p E D ξξξ==，则,n p 的值分别是（ ）A ．1000.08和；B ．200.4和；C ．100.2和；D ．100.8和 答案：1.D2. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件．解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3 当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则P （ξ=0）=43129= 当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则 P （ξ=1）=449119123=⨯ 当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则 P （ξ=2）=2209109112123=⨯⨯ 当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P （ξ=3）=220199101112123=⨯⨯⨯ 所以，E ξ=10322013220924491430=⨯+⨯+⨯+⨯ 3. 有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求E ξ，D ξ分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξB （200，1%），从而可用公式：E ξ=np ，D ξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξB （200，1%）因为E ξ=np ，D ξ=npq ，这里n=200，p=1%，q=99%，所以，E ξ=200×1%=2,D ξ=200×1%×99%=1.984. 设事件A 发生的概率为p ，证明事件A 在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4 分析：这是一道纯数学问题．要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列．求出方差D ξ=P(1-P)后，我们知道D ξ是关于P(P ≥0)的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论证明：因为ξ所有可能取的值为0，1且P （ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p, 所以，E ξ=0×(1-p)+1×p=p则 D ξ=（0-p ）2×(1-p)+(1-p) 2×p=p(1-p) 412)p 1(p 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤A B 于120，试比较A 、B 两种钢筋哪一种质量较好分析： 两个随机变量ξA 和ξB &都以相同的概率0．1，0．2，0．4，0．1，0．2取5个不同的数值．ξA 取较为集中的数值110，120，125，130，135；ξB 取较为分散的数值100，115，125，130，145．直观上看，猜想A 种钢筋质量较好．但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性解：先比较ξA 与ξB 的期望值，因为E ξA =110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125, E ξB =100×0.1+115×0.2+125×0.4十130×0.1+145×0.2=125.所以，它们的期望相同．再比较它们的方差．因为D ξA =(110-125)2×0.1+(120-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(135-125) 2×0.2=50，D ξB =(100-125)2×0.1+(110-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0. 1+(145-125) 2×0.2=165.所以，D ξA < D ξB .因此，A 种钢筋质量较好6. 在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？分析：这是同学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等．一般来说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题．本题的“不考虑获利”的意思是指：所收资金全部用于奖品方面的费用解：设一张彩票中奖额为随机变量ξ，显然ξ所有可能取的值为0，5，25，100依题 意，可得ξ的分布列为2.02000100500255054000E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ答：一张彩票的合理价格是0．2元．五、小结 ：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ；④根据方差、标准差的定义求出ξD 、σξ.若ξ～B (n ，p )，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要六、课后作业： P69练习1,2,3 P69 A 组4 B 组1,21.设ξ～B(n 、p)且E ξ=12 D ξ=4，求n 、p解：由二次分布的期望与方差性质可知E ξ=np D ξ= np （1－p ）∴⎩⎨⎧=-=4)1(12p np np ∴⎪⎩⎪⎨⎧==3218p n2.已知随机变量ξ服从二项分布即ξ~B(6、31)求b (2；6，31) 解：p(ξ=2)=c 62(31)2(32)43.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ和η，已知ξ和η的分布列如下：（注得分越大，水平越高）试分析甲、乙技术状况解：由0.1+0.6+a+1⇒a=0.3 0.3+0.3+b=1⇒a=0.4 ∴E ξ=2.3 , E η=2.0 D ξ=0.81 , D η=0.6。
高中数学《离散型随机变量的方差》导学案
§2．3．2离散型随机变量的方差（导学案）一、学习目标：1：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
2：了解方差公式“D (aξ+b )=a 2Dξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则Dξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
3：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：离散型随机变量的方差、标准差教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 二、学习过程： 复习引入：1. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)(2.若ξB （n,p ），则E ξ=np导入新课： 1. 方差:对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．2. 标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．3.方差的性质：（1）ξξD a b a D 2)(=+； （2）22)(ξξξE E D -=；（3）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p )三、讲解范例：例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.例2．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 解：例4．47177127111=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ； 471)47(71)42(71)41(2221=⨯-+⋅⋅⋅+⨯-+⨯-=ξD ；211==ξσξD4713.4718.3717.32=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ；2ξD =0.04, 2.022==ξσξD .三、总结反思 ：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要四、随堂检测： 一、选择题1.已知随机变量X 的分布列是则E(X)和D(X)分别等于( ) A.1和0 B.1和1.8 C.2和2D.2和0.82.(2015·安徽高考)若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1-1，2x 2-1，…，2x 10-1的标准差为( ) A.8B.15C.16D.32【解题指南】应用标准差、方差公式和性质计算标准差.3.(2015·菏泽高二检测)已知随机变量X+η=8，若X ～B(10，0.6)，则E(η)，D(η)分别是( )A.6和2.4B.2和2.4C.2和5.6D.6和5.64.已知随机变量ξ的分布列如表，则随机变量ξ的方差D(ξ)的最大值为( )ξ0 1 2P y 0.4 xA.0.72B.0.6C.0.24D.0.48【解题指南】根据三个变量对应的概率之和是1，写出y与x之间的关系，写出变量的期望和变量平方的期望，写出方差的表示式，表示式是一个关于x的二次函数，根据二次函数求最值可得答案.【解析】5.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得-1分，则得分X的均值与方差分别为( )A.E(X)=0，D(X)=1B.E(X)=，D(X)=C.E(X)=0，D(X)=D.E(X)=，D(X)=1【解题指南】要计算随机变量的均值和方差，应先列出其分布列.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得-1分，得X的分布列，再求均值和方差.二、填空题6.已知随机变量X的分布列为：X 1 2 3P 0.4 0.5 x则X的方差为________.7.某射手击中目标的概率为p，则他射击n次，击中目标次数ξ的方差为________.【解析】8.某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或选错得0分.小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的方差为________.【补偿训练】从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸取的白球数为X，已知E(X)=3，则D(X)=________.【解析】三、解答题(每小题10分，共20分)9.抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示掷出偶数点的次数.(1)若抛掷一次，求E(X)和D(X).(2)若抛掷10次，求E(X)和D(X).10.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为(1)求a，b的值.(2)计算ξ，η的均值与方差，并以此分析甲、乙的技术状况.【解题指南】利用概率和是1求得a，b；再利用公式求得均值和方差，并做出分析.。
高中数学选修2-3公开课教案2.3.2离散型随机变量的方差
2．3．2离散型随机变量的方差教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
过程与方法：了解方差公式“D (aξ+b )=a 2Dξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则Dξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：离散型随机变量的方差、标准差教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 教具准备：多媒体、实物投影仪 。
教学设想：了解方差公式“D (aξ+b )=a 2Dξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则Dξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
授课类型：新授课 课时安排：2课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据1x ，2x ，…，n x 中，各数据与它们的平均值x 得差的平方分别是21)(x x -，22)(x x -，…，2)(x x n -，那么[12nS =21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差 教学过程：一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出5.6. 分布列的两个性质： ⑴i ≥0，＝1，2，...； ⑵1+2+ (1)7.二项分布:ξ～B (n ，p )，并记kn k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．8.几何分布： g (k ，p )= 1k q p -，其中k ＝0,1,2,…， p q -=1．9.数学期望:则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望．10. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 11 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值12. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)( 13.若ξ:B （n,p ），则E ξ=np二、讲解新课：1. 方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．2. 标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．3.方差的性质：（1）ξξD a b a D 2)(=+；（2）22)(ξξξE E D -=； （3）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p ) 4.其它：⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； ⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛 三、讲解范例：例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.从而111111123456 3.5666666EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=;2222221111(1 3.5)(2 3.5)(3 3.5)(4 3.5)666611(5 3.5)(6 3.5) 2.9266DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯≈1.71X σ=≈.例2．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得EX 1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1 = 1400 ,DX 1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3 + (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1 = 40 000 ;EX 2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,DX 2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l = 160000 .因为EX 1 =EX 2, DX 1<DX 2，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．例3．设随机变量ξ的分布列为求D ξ解：（略）12n E ξ+=, 2D 12ξ=例4．已知离散型随机变量1ξ的概率分布为离散型随机变量2ξ的概率分布为求这两个随机变量期望、均方差与标准差解：47177127111=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ； 471)47(71)42(71)41(2221=⨯-+⋅⋅⋅+⨯-+⨯-=ξD ；11==ξσξD4713.4718.3717.32=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ；2ξD =0.04, 2.022==ξσξD .点评：本题中的1ξ和2ξ都以相等的概率取各个不同的值，但1ξ的取值较为分散，2ξ的取值较为集中．421==ξξE E ，41=ξD ，04.02=ξD ，方差比较清楚地指出了2ξ比1ξ取值更集中．1σξ＝2，2σξ=0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差例5．甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平解：180.290.6100.29E ξ=⨯+⨯+⨯=221(89)0.2(99)0.6D ξ=-⨯+-⨯+（10-9）4.02.02=⨯；同理有.0,922==ξξD E由上可知，21ξξE E =，1D D ξξ<所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些．点评：本题中，1ξ和2ξ所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同．21ξξE E ==9，这时就通过1ξD =0.4和2ξD =0.8来比较1ξ和2ξ的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况 例6．A 、B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：A 机床B 机床问哪一台机床加工质量较好解： E ξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,E ξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.它们的期望相同，再比较它们的方差D ξ1=（0-0.44）2×0.7+（1-0.44）2×0.2+（2-0.44）2×0.06+（3-0.44）2×0.04=0.6064,D ξ2=（0-0.44）2×0.8+（1-0.44）2×0.06+（2-0.44）2×0.04+（3-0.44）2×0.10=0.9264. ∴D ξ1< D ξ2 故A 机床加工较稳定、质量较好. 四、课堂练习：1 .已知()~,,8, 1.6B n p E D ξξξ==，则,n p 的值分别是（ ）A ．1000.08和；B ．200.4和；C ．100.2和；D ．100.8和 答案：1.D2. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件．解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则 P （ξ=0）=43129= 当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则 P （ξ=1）=449119123=⨯ 当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则 P （ξ=2）=2209109112123=⨯⨯ 当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P （ξ=3）=220199101112123=⨯⨯⨯ 所以，E ξ=10322013220924491430=⨯+⨯+⨯+⨯3. 有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求E ξ，D ξ分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξ:B （200，1%），从而可用公式：E ξ=np ，D ξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξ:B （200，1%E ξ=np ，D ξ=npq ，这里n=200，p=1%，q=99%，所以，E ξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.984. 设事件A 发生的概率为p ，证明事件A 在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4 分析：这是一道纯数学问题．要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列．求出方差D ξ=P(1-P)后，我们知道D ξ是关于P(P ≥0)的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明结论证明：因为ξ所有可能取的值为0，1且P （ξ=0）=1-p,P(ξ=1)=p, 所以，E ξ=0×(1-p)+1×p=p则 D ξ=（0-p ）2×(1-p)+(1-p) 2×p=p(1-p) 412)p 1(p 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤5. 有A 、B 两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：其中ξA 、ξB 分别表示A 、B 两种钢筋的抗拉强度．在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A 、B 两种钢筋哪一种质量较好分析： 两个随机变量ξA 和ξB &都以相同的概率0．1，0．2，0．4，0．1，0．2取5个不同的数值．ξA 取较为集中的数值110，120，125，130，135；ξB 取较为分散的数值100，115，125，130，145．直观上看，猜想A 种钢筋质量较好．但猜想不一定正确，需要通过计算来证明我们猜想的正确性解：先比较ξA 与ξB 的期望值，因为E ξA =110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125, E ξB =100×0.1+115×0.2+125×0.4十130×0.1+145×0.2=125.所以，它们的期望相同．再比较它们的方差．因为D ξA =(110-125)2×0.1+(120-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(135-125) 2×0.2=50，D ξB =(100-125)2×0.1+(110-125) 2 ×0.2+(130-125) 2×0.1+(145-125) 2×0.2=165.所以，D ξA < D ξB .因此，A 种钢筋质量较好6. 在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？分析：这是同学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等．一般来说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题．本题的“不考虑获利”的意思是指：所收资金全部用于奖品方面的费用解：设一张彩票中奖额为随机变量ξ，显然ξ所有可能取的值为0，5，25，100依题 意，可得ξ的分布列为2.02000100500255054000E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ答：一张彩票的合理价格是0．2元．五、小结 ：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ；④根据方差、标准差的定义求出ξD 、σξ.若ξ～B (n ，p )，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要六、课后作业： P69练习1,2,3 P69 A 组4 B 组1,21.设ξ～B(n 、p)且E ξ=12 D ξ=4，求n 、p解：由二次分布的期望与方差性质可知E ξ=np D ξ= np （1－p ）∴⎩⎨⎧=-=4)1(12p np np ∴⎪⎩⎪⎨⎧==3218p n2.已知随机变量ξ服从二项分布即ξ~B(6、31)求b (2；6，31) 解：p(ξ=2)=c 62(31)2(32)43.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ和η，已知ξ和η的分布列如下：（注得分越大，水平越高）试分析甲、乙技术状况解：由0.1+0.6+a+1⇒a=0.3 0.3+0.3+b=1⇒a=0.4 ∴E ξ=2.3 , E η=2.0 D ξ=0.81 , D η=0.6七、板书设计（略）八、教学反思：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤： ①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； ②求ξ取各个值的概率，写出分布列； ③根据分布列，由期望的定义求出E ξ；④根据方差、标准差的定义求出ξD 、σξ.若ξ～B (n ，p )，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要。
高中数学2.3.2离散型随机变量的方差教案 人教A版选修2-3
2．3．2离散型随机变量的方差教学目标： 知识与技能：离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
过程与方法：学习方差公式“D (aX +b )=a 2D(X)”，以及“若X ～Β(n ，p )，则D(X)=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：离散型随机变量的方差、标准差. 教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题. 教具准备： 多媒体、电子白板 教学设想：学习方差公式“D (aX +b )=a 2D （X ）”，以及“若X ～Β(n ，p )，则D （X ）=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
授课类型： 新授课 . 课时安排： 1课时 . 内容分析：对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究,即随机变量的方差.回顾样本方差的概念：设在一组数据1x ，2x ，…，n x 中，各数据与它们的平均值x得差的平方分别是21)(x x -，22)(x x -，…，2)(x x n -，那么[12nS =21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差 . 教学过程： 一、复习引入：1 数学期望: 一般地，若离散型随机变量X 的概率分布为则称 E （x ）=+11p x +22p x …++n np x … 为X 的数学期望，简称期望．2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 .3、两种特殊分布的数学期望（1）若随机变量X 服从两点分布，则E(X)=p （2）若X ～B(n,p) 则E(X)=np 3. 期望的一个性质: E(aX+b)=aE(X)+b 二、讲解新课：1. 方差: 对于离散型随机变量X ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,称为随机变量X 的均方差，简称为方差，式中的E(X)是随机变量X 的期望．2. 标准差:D(X)的算术平方根X 的标准差，记作σ( X)．3.方差的性质：4.其它：⑴随机变量X 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；⑵随机变量X 的方差、标准差也是随机变量X 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛. 三、讲解范例：例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差. 解：抛掷骰子所得点数X 的分布列为从而.2()D aX b a D X +=（）21()ni ii D X x E X p ==-∑（）（）111111123456 3.5666666EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（）由本题可总结出求离散型随机变量X 的方差、标准差的步骤： ①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； ②求X 取各个值的概率，写出分布列； ③根据分布列，由期望的定义求出E(X)； ④根据方差、标准差的定义求出D(X)、σ(X).例2．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得E(X 1 )= 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1 = 1400 ,D(X 1 )= (1200-1400) 2×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3 + (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1 = 40 000 ;E(X 2 )=1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,D(X 2 )= (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l= 160000 .因为E(X 1 )=E(X 2), D(X 1 ) <D(X 2),所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位． 四、课堂练习：1、在篮球比赛中，罚球命中一次得1分，不中得0分。
高中数学 2.3.2离散型随机变量的方差教案 新人教版选修2-3
§2．3．2离散型随机变量的方差教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
过程与方法：了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：离散型随机变量的方差、标准差教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题授课类型：新授课 课时安排：1课时 教学过程：一、复习引入：1. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)(2.若ξ B （n,p ），则E ξ=np二、讲解新课： 1. 方差:对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．2. 标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．3.方差的性质：（1）ξξD a b a D 2)(=+； （2）22)(ξξξE E D -=；（3）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p )三、讲解范例：例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.解：抛掷散子所得点数X 的分布列为从而111111123456 3.5666666EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=;2222221111(1 3.5)(2 3.5)(3 3.5)(4 3.5)666611(5 3.5)(6 3.5) 2.9266DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯≈1.71X σ=.例2根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得EX 1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1 = 1400 ,DX 1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3+ (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1 = 40 000 ;EX 2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,DX 2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 )2×0.l = 160000 .因为EX 1 =EX 2, DX 1<DX 2，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．例3．设随机变量ξ的分布列为求D ξ解：（略）12n E ξ+=, 2D 12ξ=例4．已知离散型随机变量1ξ的概率分布为离散型随机变量2ξ的概率分布为求这两个随机变量期望、均方差与标准差解：47177127111=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ； 471)47(71)42(71)41(2221=⨯-+⋅⋅⋅+⨯-+⨯-=ξD ；11==ξσξD4713.4718.3717.32=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ；2ξD =0.04, 2.022==ξσξD .四、课堂练习：1 .已知()~,,8, 1.6B n p E D ξξξ==，则,n p 的值分别是（ ）A ．1000.08和；B ．200.4和；C ．100.2和；D ．100.8和 答案：1.D2. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．五、小结 ：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要 六、课后作业： 同步试卷七、板书设计（略）八、教学反思：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要。
高中数学 2.3.2离散型随机变量的方差教案 新人教B版选修2-3
2．3．2离散型随机变量的方差一、教学目标：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
二、课前预习：1 方差的概念：设在一组数据1x ，2x ，…，n x 中，各数据与它们的平均值x 得差的平方分别是21)(x x -，22)(x x -，…，2)(x x n -，那么=2S _____________________________________叫做这组数据的方差 2 对于离散型随机变量X ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,_______________________________________称为离散型随机变量X 的方差，式中的__________是随机变量X 的期望． 3 标准差:)(X D 的算术平方根)(X D 叫做随机变量X 的___________. 4 假设离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，那么___________________________。
三、例题分析例1 甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下：例2 某离散型随机变量X 服从下面的二项分布：k k kC k X P -==449.01.0)((4,3,2,1,0=k )，求E(X)和 D(X).例3离散型随机变量1ξ的概率分布为离散型随机变量2ξ的概率分布为X服从的分布列为,且0<p<1,q=1-p,求D(X).四、课堂练习1有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ2 设离散型随机变量X的分布列为,求D(X).3从装有3个白球和2个黑球的布袋中摸取一球，有放回的摸取5次，求摸得的白球数X的数学期望与方差。
4五、课堂小结。
高中数学 第二章 概率 2.3 随机变量的数字特征 2.3.1
2.3.1 离散型随机变量的数学期望课堂导学三点剖析一、离散型随机变量的数学期望【例1】根据历次比赛或训练记录，甲、乙两射手在同样的条件下进行射击，成绩的分布列试比较甲、乙两射手射击水平的高低.解析：设甲、乙两射手射击一次所得的环数分别为X 1，X 2，则 E （X 1）=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3, E(X 2)=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1,这就是说射手甲射击所得环数的数学期望比射手乙射击所得环数的数学期望高，从而说明甲的平均射击水平比乙的稍高一点.如果两人进行比赛，甲赢的可能性较大. 温馨提示离散型随机变量的分布列具有的性质p i ≥0,i=1,2,…,n 和∑=ni ip1=1.二、利用概率知识求随机变量的分布列【例2】（2006山东高考，理20）袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个.从袋中任取3个小球,按3个小球上最大数字的9倍计分,每个小球被取出的可能性都相等,用ξ表示取出的3个小球上的最大数字,求:(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率; (2)随机变量ξ的概率分布和数学期望; (3)计分介于20分到40分之间的概率.解：（1）方法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,则P(A)=31012121235C C C C C =32. 方法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B ，则事件A 和事件B 是互斥事件，因为P(B)=310182215C C C C =31. 所以P(A)=1-P(B)=131-=32. (2)由题意,ξ所有可能的取值为2,3,4,5.P(ξ=2)=30131022121222=+C C C C C ;P(ξ=3)=15231022141224=+C C C C C ; P(ξ=4)= 10331022161226=+C C C C C ; P(ξ=5)=15831022181228=+C C C C C .因此ξ的数学期望为 Eξ=2×301+3×152+4×103+5×158=313.(3)“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C ，则 P （C ）＝P （ξ＝3或ξ=4)=P(ξ＝3）＋P （ξ=4)=3013103152=+. 温馨提示求随机变量的分布列，首先弄清随机变量所有可能的取值，进而利用所学概率知识，求取每个值的概率，并列出表格即得分布列.三、找到随机变量的所有可能值并求每种取值的概率【例3】 设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行）的概率为43,遇到红灯（禁止通行）的概率为41.假定汽车只在遇到红灯或到达目的地时才停止前进，ξ表示停车时已经通过的路口数，求：（1)ξ的概率分布列及期望Eξ；（2）停车时最多已通过3个路口的概率. 解析：（1）ξ可能取的值是0，1，2，3，4,P （ξ=0）=41, P(ξ=1)=43·41=163,P(ξ=2)=(43)2·41=649,P(ξ=3)=(43)3·41=25627,P(ξ=4)=(43)4=25681,Eξ=0+1×163+2×649+3×25627+4×25681=256525. (2)P(ξ≤3)=1-P(ξ=4)=125681-=256175.温馨提示本题的关键是正确求出各随机变量的概率值.各个击破类题演练 1一个袋子里装有大小相同的5个白球和5个黑球，从中任取4个，求其中所含白球个数的期望.解析：根据题目知所含白球数X 服从参数N=10，M=5，n=4的超几何分布，则 E （X ）=1054⨯=N nM =2,所以从中任取4个球平均来说会含有2个白球. 变式提示 1根据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.设工地上有一台大型设备，为保护设备有以下二种方案. 方案1：运走设备，此时需花费3 800元.方案2：建一保护围墙，需花费2 000元.但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临，设备受损，损失费为60 000元. 试比较哪一种方案好.解析：对于方案1，花费为3 800元，损失为0元，花费与期望损失之和为3 800元；期望损失为60 000×0.1+0×0.99=600(元)，所以花费与期望损失之和为2 000+600=2 600（元）；比较二种方案，方案2的花费与期望损失之和较小，故方案2好. 类题演练 2一接待中心有A 、B 、C 、D 四部热线电话.已知某一时刻电话A 、B 占线的概率均为0.5，电话C 、D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线，试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.ξ可能取的值是0，1，2，3，4. 解析：ξ可能取的值是0,1,2,3,4,P （ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P (ξ=1)=12C ×0.52×0.62+12C ×0.52×0.4×0.6=0.3.P (ξ=2)=22C ×0.52×0.62+12C 12C ×0.52×0.4×0.6+22C ×0.52×0.42=0.37.P (ξ=3)=22C 12C ×0.52×0.4×0.6+12C 22C ×0.52×0.42=0.2.P(ξ=4)=0.52×0.42=0.04.所以Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8.变式提示 2设Y=2X+3，则EY 的值为（ ）A.37B.4C.-1D.1 解析：EX=21-+61=31-,EY=E(2X+3)=2EX+3=32-+3=37.答案：A类题演练 3已知随机变量X 满足P （X=1）=0.3,P （X=2）=0.7,则EX 的值为（ ）A.0.6B.0.7C.0.3D.1.7 解析：EX=1×0.3+2×0.7=1.7. 答案：D变式提升 3袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取1个球，每次取出的黑球不再放回去，直到取出白球为止.求取球次数ξ的概率分布.解析：ξ的所有可能取值为1，2，3，4，5，并且有P （ξ=1）=51=0.2, P(ξ=2)=54×41=0.2, P(ξ=3)=54×43×31=0.2,P (ξ=4)=54×43×32×21=0.2,P (ξ=5)=54×43×32×21×11=0.2,。
高中数学概率随机变量的数字特征离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的方差
所取球的标号．求 ξ 的分布列、均值和方差.
12/9/2021
第二十二页，共四十四页。
【解】 由题意得，ξ的所有可能取值为 0，1，2，3，4，
P(ξ＝0)＝1200＝12，P(ξ＝1)＝210， P(ξ＝2)＝220＝110，P(ξ＝3)＝230， P(ξ＝4)＝240＝15.
3 10
η0 1 2
P
5 10
3 10
2 10
试对这两名工人的技术水平进行比较．
12/9/2021
第二十九页，共四十四页。
【解】 工人甲生产出次品数 ξ 的期望和方差分别为 E(ξ)＝0×160＋1×110＋2×130＝0.7， D(ξ)＝(0－0.7)2×160＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×130＝0.81.工人 乙生产出次品数 η 的期望和方差分别为 E(η)＝0×150＋1×130＋2×120＝0.7，
12/9/2021
第十九页，共四十四页。
解：(1)由已知，有 P(A)＝C22C23C＋48C23C23＝365. 所以，事件 A 发生的概率为365. (2)随机变量 X 的所有可能取值为 1，2，3，4. P(X＝k)＝Ck5CC4843－k(k＝1，2，3，4)． 所以，随机变量 X 的分布列为
12/9/2021
第四页，共四十四页。
2．离散型随机变量的方差 (1)离散型随机变量的方差、标准差 ①设一个离散型随机变量 X 所有可能取的值是 x1，x2，…，xn， 这些值对应的概率是 p1，p2，…，pn，则 D(X)＝(x1－E(X))2p1＋ (x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn 叫做这个离散型随机变量 X 的 方差．离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量取值相对于 期望的平_均__(p_ín_gj_ūn_)波__动__大__小___．
高中数学 第二章 概率 2.3 随机变量的数字特征 2.3.2 离散型随机变量的方差课堂导学案 新人教B版选修23
2.3.2 离散型随机变量的方差课堂导学三点剖析一、离散型随机变量的方差【例1】袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，但不放回原袋中，直到取到白球为止，求取球次数的期望及方差.解析：当每次取出的黑球不再放回时，设随机变量ξ是取球次数，因为每次取出的黑球不再放回去，所以ξ的可能值为1，2，3，4，5，易知：P （ξ=1）=51=0.2,P(ξ=2)=54·41=0.2, P(ξ=3)=54·43·31=0.2,P(ξ=4)=54·43·32·21=0.2,P(ξ=5)=54·43·32·21·1=0.2,∴Eξ=1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.2+5×0.2=3,Dξ=(1-3)2×0.2+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.2+(4-3)2+(5-3)2×0.2=2. 温馨提示求期望和方差的问题关键是求随机变量的分布列，即求每种情况的概率.因此求事件的概率是基础，另外方差可用定义求，也可以用公式：Dη=Eη2-(Eη)2求. 二、离散型随机变量的方差的作用【例2】A 、B 两台测量仪器测量一长度为120 mm 的工件时分布列如下：试比较两种仪器的优劣.解析：设随机变量ξ1表示用A 仪器测量此产品长度的数值，随机变量ξ2表示用B 仪器测量此产品长度的数值，从而有E ξ1=118×0.06+119×0.14+120×0.60+121×0.15+122×0.05=119.99,D ξ1=(118-119.99)2×0.06+(119-119.99)2×0.14+(120-119.99)2×0.60+(121-119.99)2×0.15+(122-119.99)2×0.05=0.729 9,E ξ2=118×0.09+119×0.15+120×0.52+121×0.16+122×0.08=119.99,D ξ2=(118-119.99)2×0.09+(119-119.99)2×0.15+(120-119.99)2×0.52+(121-119.99)2×0.16+(122-119.99)2×0.08=0.989 9， 由此可知，E ξ1=E ξ2,D ξ1<D ξ2,∴A 仪器测量结果波动较小，表明A 仪器质量较好. 温馨提示本题若仅由Eξ1=Eξ2,易产生两台仪器性能一样好的错觉.这表明在实际问题中仅靠期望值不能完全反映随机变量的分布特征，还要研究其偏离平均值的离散程度（即方差）. 三、离散型随机变量的方差的最值【例3】 若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p （0<p<1）,用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数.（1）求方差Dξ的最大值？ （2）求ξξE D 12-的最大值. 解析：随机变量ξ的所有可能取值为0，1，并且有P （ξ=1）=p ，P （ξ=0）=1-p ， 从而Eξ=0×(1-p)+1×p=p,Dξ=(0-p)2×(1-p)+(1-p)2×p=p -p 2.(1)Dξ=p -p 2=-(p 2-p+41)+41 =-(p 21-)2+41,∵0<p<1, ∴当p=21时，Dξ取得最大值，最大值为41. (2)ξξE D 12-=p p p )(22-=2-(2p+p1),∵0<p<1, ∴2p+p1≥22, 当2p=p1,p=22时，取“=”，因此，当p=22时，ξξE D 12-取得最大值2-22. 各个击破类题演练 1且0<p<1.q=1-p,求D （X ）.解析：由题目知X 服从二点分布，所以 E （X ）=p,D(X)=(1-p)2·p+(0-p)2·q=q 2p+p 2q=pq.这表明在二点分布试验中，离散型随机变量X 围绕期望的平均波动大小为pq. 变式提升 1已知某离散型随机变量X 服从下面的二项分布： P （X=k ）=kC 40.1k0.94-k(k=0,1,2,3,4),求E （X ）和D （X ）.解析：根据题目知道离散型随机变量X 服从参数n=4和p=0.1的二项分布，所以 E （X ）=np=4×0.1=0.4,D(X)=npq=4×0.1×0.9=0.36. 类题演练 2一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个选择正确答案得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分.某学生选对任一题的概率为0.6，求此学生在这一次测验中的成绩的期望与方差. 解：设该学生在这次数学测试中选择正确答案的个数为X ，所得的分数（成绩）为Y ，则Y=4X. 由题知X~B （25，0.6）, ∴EX=25×0.6=15, DX=25×0.6×0.4=6, EY=E(4X)=4EX=60,DY=D(4X)=42×DX=16×6=96.答：该学生在这次测验中的期望与方差分别是60与96. 点评：审清题意得出X~B （25，0.6）是解本题的重要一步. 变式提升 2若X 是离散型随机变量，P （X=x 1）=32,P(X=x 2)= 31,且x 1<x 2,又已知EX=34,DX=92,则x 1+x 2的值为（ ）A.35B.37C.3D.311解析：由EX=32x 1+31x 2=34得2x 1+x 2=4① 又DX=（x 1-34）2·32+(x 2-34)2·31=92得 18x 12+9x 22-48x 1-24x 2+29=0②由①②，且x 1<x 2得x 1+x 2=3. 答案：C类题演练 3设一随机试验的结果只有A 和A ，且P （A ）=p ，令随机变量X=1， ⎩⎨⎧不出现出现A A ,0,1则X的方差DX 等于（ ）A.pB.2p(1-p)C.-p(1-p)D.p(1-p) 解析：EX=0·（1-p ）+1·p=p,DX=(0-p)2·（1-p ）+(1-p)2·p=p-p 2=p(1-p). 答案：D变式提升 2甲、乙两种水稻在相同条件下各种植100亩，它们收获情况如下：试评价哪种水稻的质量较好.解：设甲、乙两种水稻的亩产量分别为ξ1,ξ2,则P （ξ1=300)=10020=51,P(ξ1=320)=10025=41, P(ξ1=330)=10040=52,P(ξ1=340)=10015=203;P (ξ2=310)=10030=103,P(ξ2=320)=10020=51,P(ξ2=330)=10040=52,P(ξ2=340)=10010=101.从而有Eξ1=300×51+320×41+330×52+340×203=323. Eξ2=310×103+320×51+330×52+340×101=323.这表明两种水稻的平均亩产量相等，进一步求各自的方差，得Dξ1=（300-323）2×51+(320-323)2×41+(330-323)2×52+(340-323)2×203=171, Dξ2=(310-323)2×102+(320-323)2×51+(330-323)2×52+(340-323)2×101=101,即有Dξ1>Dξ2.这说明乙种水稻其亩产量较为稳定，因此乙种水稻质量较好.。
高中数学第二章概率2.3随机变量的数字特征2.3.2离散型随机变量的方差课堂探究教案新人教B版选修2
离散型随机变量方差课堂探究探究一 求离散型随机变量方差解决求离散型随机变量方差问题，首先要理解随机变量X 意义，写出X 可能取全部值，其次求出X 每个取值对应概率，列出分布列，然后由期望定义求出E (X )，最后由方差计算公式求出D (X )．【典型例题1】 某校从6名学生会干部(其中男生4人，女生2人)中选3人参加市中学生运动会志愿者．(1)所选3人中女生人数为ξ，求ξ分布列及方差． (2)在男生甲被选中情况下，求女生乙也被选中概率．思路分析：(1)先求出ξ分布列，再求期望，再利用方差公式求出方差．(2)利用条件概率或用古典概型概率公式求解．解：(1)ξ可能取值为0,1,2. 由题意P (ξ＝0)＝C 34C 36＝15，P (ξ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝2)＝C 14C 22C 36＝15，所以ξ分布列为E (ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1，D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.(2)设在男生甲被选中情况下，女生乙也被选中事件为C ，“男生甲被选中〞包含根本领件数为C 25＝10，“男生甲被选中，女生乙也被选中〞包含根本领件数为C 14＝4，所以P (C )＝C 14C 25＝410＝25.故在男生甲被选中情况下，女生乙也被选中概率为25.探究二 离散型随机变量方差性质及运算1．简化运算：当求随机变量ξ期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果服从，那么用公式求解，可大大减少运算量．2．性质应用：注意利用E (aξ＋b )＝aE (ξ)＋b 及D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)求期望与方差．【典型例题2】 袋中有20个大小一样球，其中记上0号有10个，记上n 号有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一个，ξ表示所取球标号．(1)求ξ分布列、期望和方差．(2)假设η＝aξ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 值． 思路分析：(1)先求出ξ分布列，再利用公式求出期望与方差． (2)通过ξ与η线性关系表示出E (η)，D (η)，列方程组求解． 解：(1)ξ分布列为所以E (ξ)＝0×12＋1×20＋2×10＋3×20＋4×5＝1.5，D (ξ)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (η)＝a 2D (ξ)，得a 2×2.75＝11， 即a ＝±2.又E (η)＝aE (ξ)＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4即为所求．探究三 方差实际应用离散型随机变量期望反映了随机变量取值平均水平，而方差反映了随机变量取值稳定与波动，集中与离散程度，因此在实际决策问题中，通常需先计算期望，比拟一下谁平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁稳定性较好，因此在利用期望和方差意义去分析解决实际问题时，两者都要考虑．【典型例题3】 有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建立，为了对重点建立负责，政府到两个建材厂进展抽样检查，他们从中各取等量样品进展检查，得到它们抗拉强度指数如下：其中X 和Y 120，比拟说明甲、乙两厂钢筋哪一种稳定性较好．思路分析：要比拟两种钢筋质量，可先比拟甲、乙两种钢筋平均抗拉强度，即期望，然后比拟这两种钢筋质量稳定性，即方差．解：E (X )＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，E (Y )＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，D (X )＝(110－125)2×0.1＋(120－125)2×0.2＋(125－125)2×0.4＋(130－125)2×0.1＋(135－125)2×0.2＝50，D (Y )＝(100－125)2×0.1＋(115－125)2×0.2＋(125－125)2×0.4＋(130－125)2×0.1＋(145－125)2×0.2＝165.由E (X )＝E (Y )，可知甲、乙两厂钢筋平均抗拉强度是相等，且平均抗拉强度都不低于120，但由于D (X )＜D (Y )，即乙厂钢筋抗拉强度与其平均值偏差较大，故可认为甲厂钢筋质量稳定性较好．探究四 易错辨析 易错点：用错公式而致误【典型例题4】 随机变量X 概率分布如下表所示：求E (X )，D (X )，D (X )值．错解：E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋x 3p 3＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，D (X )＝(x 1－E (X ))p 1＋(x 2－E (X ))p 2＋(x 3－E (X ))p 3＝⎝⎛⎭⎪⎫－1＋13×12＋⎝⎛⎭⎪⎫0＋13×13＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋13×16＝0，所以D (X )＝0. 错因分析：错误原因是在利用方差定义求解时，把(x i －E (X ))2p i 中(x i －E (X ))2平方漏掉了．正解：E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋x 3p 3＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，D (X )＝(x 1－E (X ))2p 1＋(x 2－E (X ))2p 2＋(x 3－E (X ))2p 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋132×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋132×16＝59，所以D (X )＝59＝53.。
高中数学 第2章 随机变量及其分布 2.3 2.3.2 离散型随机变量的方差(教师用书)教案 新人教
2.3.2 离散型随机变量的方差 学 习 目 标核 心 素 养 1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念． 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(重点) 3．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．(难点)1．通过离散型随机变量的方差的学习，体会数学抽象的素养． 2．借助方差解决实际问题，提高数学运算的素养.1．离散型随机变量的方差、标准差(1)定义：设离散型随机变量X 的分布列为 X x 1 x 2 … x i … x nP p 1 p 2 … p i … p n那么(x i －E (X ))2描述了i (X )的偏离程度，而D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度．称D (X )为随机变量X 的方差，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差．(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，那么随机变量偏离于均值的平均程度越小．思考：随机变量的方差与样本方差有什么关系？[提示] 随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差那么是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．2．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差(1)假设X服从两点分布，那么D(X)＝p(1－p)；(2)假设X～B(n，p)，那么D(X)＝np(1－p)．3．离散型随机变量方差的线性运算性质设a，b为常数，那么D(aX＋b)＝a2D(X)．1．假设随机变量X服从两点分布，且在一次试验中事件A发生的概率P＝0.5，那么E(X)和D(X)分别为()A．0.25；0.5B．0.5；0.75C．0.5；0.25 D．1；0.75C[E(X)＝0.5，D(X)＝0.5×(1－0.5)＝0.25.]2．随机变量ξ，D(ξ)＝19，那么ξ的标准差为________．13[ξ的标准差D(ξ)＝19＝13.]3．随机变量ξ的分布列如下表：ξ－101P 121316那么ξ的均值为________，方差为________．－1359[均值E(ξ)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13；方差D(ξ)＝－1＋132×12＋0＋132×13＋1＋132×16＝59.]求随机变量的方差与标准差X －101P 1214a(1)求X2的分布列；(2)计算X的方差；(3)假设Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．[解](1)由分布列的性质，知12＋14＋a＝1，故a＝14，从而X2的分布列为X201P1434(2)法一：(直接法)由(1)知a＝14，所以X的均值E(X)＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14.故X的方差D(X)＝⎝⎛⎭⎪⎫－1＋142×12＋⎝⎛⎭⎪⎫0＋142×14＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋142×14＝1116.法二：(公式法)由(1)知a＝14，所以X的均值E(X)＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14，X2的均值E(X2)＝0×14＋1×34＝34，所以X的方差D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝1116.(3)因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11.方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式D(X)＝E(X2)－[E(X)]2不失为一种比较实用的方法．另外注意方差性质的应用，如D(aX＋b)＝a2D(X)．[跟进训练]1．η的分布列为：η010205060P 13 25 115 215 115(1)求η的方差及标准差； (2)设Y ＝2η－E (η)，求D (Y )．[解] (1)∵E (η)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，D (η)＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384， ∴D (η)＝8 6.(2)∵Y ＝2η－E (η)，∴D (Y )＝D (2η－E (η))＝22D (η)＝4×384＝1 536.两点分布与二项分布的方差 [例2] 设X 的分布列为P (X ＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫23(k ＝0,1,2,3,4,5)，那么D (3X )＝( )A ．10B ．30C ．15D ．5 A [由P (X ＝k )＝C k 5⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k (k ＝0,1,2,3,4,5)可知随机变量服从二项分布X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13， 所以D (X )＝5×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝109， D (3X )＝9D (X )＝10.]1．(变换条件、改变问法)本例题改为随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，且E (3X ＋2)＝9.2，D (3X ＋2)＝12.96，求二项分布的参数n ，p 的值．[解] 由E (3X ＋2)＝9.2，D (3X ＋2)＝12.96及X ～B (n ，p )知⎩⎪⎨⎪⎧ E (3X ＋2)＝3E (X )＋2，D (3X ＋2)＝9D (X )，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3np ＋2＝9.2，9np (1－p )＝12.96，解得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝6，p ＝0.4，所以二项分布的参数n ＝6，p ＝0.4.2．(改变问法)本例题条件不变，求E (3X ＋2)．[解] 由例题可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13， 所以E (X )＝5×13＝53.故E (3X ＋2)＝3E (X )＋2＝7.求离散型随机变量的均值与方差的关注点1．写出离散型随机变量的分布列．2．正确应用均值与方差的公式进行计算．3．对于二项分布，关键是通过题设环境确定随机变量服从二项分布，然后直接应用公式计算．均值、方差的实际应用1．A ，B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？[提示]不能．因为E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.所以，不能由E(X1)和E(X2)的值比较两台机床的产品质量．2．在探究1中，试想利用什么指标可以比较A，B两台机床加工质量？[提示]利用样本的方差．方差越小，加工的质量越稳定．[例3]甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5，3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．[思路点拨](1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出ξ，η的分布列．(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的均值，然后再看其方差值．[解](1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分别为ξ10987P 0.50.30.10.1η10987P 0.30.30.20.2(2)由(1)得：E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)<D(η)，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好．利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤1．比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．2．在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．3．下结论．依据方差的几何意义做出结论．[跟进训练]2．有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：甲：分数X 8090100概率P 0.20.60.2乙：分数Y 8090100概率P 0.40.20.4试分析两名学生的成绩水平．[解]因为E(X)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，D(X)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40，E(Y)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90，D(Y)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80，即E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)，所以甲生与乙生的成绩均值一样，甲的方差较小，因此甲生的学习成绩较稳定．对随机变量X的方差、标准差的五点说明(1)随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的．(2)随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X的取值的稳定性和波动、集中与离散程度．(3)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更为广泛．(4)D (X )越小，随机变量X 的取值越稳定，波动越小．(5)方差也可以用公式D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2计算(可由D (X )＝ i ＝1n(x i －E (X ))2p i展开得到)．1．判断(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的概率的平均值．( ) (2)离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的平均水平．( ) (3)离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的波动水平．( ) (4)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．X 的分布列为 X －10 1 P 0.50.3 0.2那么D (X )等于( )A ．0.7B ．0.61C ．－0.3D ．0 B [E (X )＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，D (X )＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61.]3．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X 1，X 2，E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)，那么自动包装机________的质量较好．乙 [因为E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)>D (X 2)，故乙包装机的质量稳定．]4．为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设X 为成活沙柳的株数，E(X)＝4，D(X)＝43，求n，p的值．[解]由题意知，X服从二项分布B(n，p)，由E(X)＝np＝4，D(X)＝np(1－p)＝4 3，得1－p＝1 3，∴p＝23，n＝6.。
2018_2019学年高中数学第2章概率2.3随机变量的数字特征2.3.2离散型随机变量的方差课件新
规律方法 解期望与方差的综合问题时的注意事项 (1)离散型随机变量的分布列、期望和方差是三个紧密联系的 有机统一体，一般在试题中综合在一起考查，其解题的关键 是求出分布列； (2)在求分布列时，要注意利用等可能事件、互斥事件、相互 独立事件的概率公式计算概率，并注意结合分布列的性质， 简化概率计算；
2.求离散型随机变量X的期望、方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值； (2)求X取每一个值的概率； (3)写出随机变量X的分布列； (4)由期望、方差的定义求E(X)，D(X). 特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公 式直接计算E(X)和D(X).
当日需求量n<16时，利润y＝10n－80. 所以y关于n的函数解析式为
10n－80，n<16， y＝
(n∈N).
80，n≥16
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得 下表：
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数
10 20 16 16 15 13 10
要点一 求离散型随机变量的方差 例1 袋中有20个大小相同的球，其中标有0号的有10个，标 有n号的有n个(n＝1,2,3,4).现从袋中任取一球，ξ表示所取球 的标号. (1)求ξ的分布列、期望和方差； 解 ξ的分布列为
ξ0 1 2 3 4
P
1 2
1 20
1 10
3 20
1 5
∴E(ξ)＝0×12＋1×210＋2×110＋3×230＋4×15＝1.5.
人教版2019学年高中数学第2章概率2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望学案新人教B版选修2_
2.3.1 离散型随机变量的数学期望课时目标1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量均值的性质.3.掌握二点分布、二项分布、超几何分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题．1．离散型随机变量的数学期望设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是x 1，x 2，…，x n ，这些值对应的概率是p 1，p 2，…，p n ，则E (X )＝________________________叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望(简称期望)．2．常见的离散型随机变量的数学期望(1)二点分布的数学期望：若离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布，则E (X )＝________.(2)二项分布的数学期望：若离散型随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，即X ～B (n ，p )，则E (X )＝________.(3)超几何分布的数学期望：若离散型随机变量X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布，则E (X )＝______.一、选择题1．设随机变量ξ的分布列为P (X ＝k )＝14，k ＝1,2,3,4，则E (X )的值为( )A ．2.5B ．3.5C ．0.25D ．22．已知随机变量X 的分布列是若E (X )＝7.5，则a A ．5B ．6C ．7D ．83．两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数ξ的数学期望是( )A.13B.23C.43D.344．已知随机变量ξ的分布列为且η＝2ξ＋3，则E(ηA.35B.65C.215D.1255．设10件产品中含有3件次品，从中抽取2件进行检查，则查得次品数的数学期望为( )A.310B.35C.215D.815二、填空题6．随机变量X的概率分布由下表给出：则随机变量X7．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的期望E(ξ)8．某渔业公司要对下月是否出海做出决策，若出海后遇到好天气，则可得收益60 000元，若出海后天气变坏，则将损失80 000元，若不出海，则无论天气好坏都将损失10 000元，据气象部门的预测，下月好天气的概率为60%，坏天气的概率为40%，该公司应做出决策________．(填“出海”或“不出海”)三、解答题9．在人寿保险事业中，很重视某一年龄段的投保人的死亡率，假如每个投保人能活到65岁的概率为0.6，试求3个投保人中，能活到65岁人数的数学期望．10．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个．(1)求其中所含红球个数的数学期望；(2)若每取到一个红球可得到100元，那么可得金额的期望值为多少？能力提升11．已知ξ的分布列为：且η＝3ξ－1，求η12．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列及其数学期望E(ξ)．1．求均值的关键是求出分布列，只要求出随机变量的分布列，就可以套用均值的公式求解，对于aX＋b型随机变量的均值，可以利用均值的性质求解．2．二点分布、二项分布、超几何分布的随机变量的期望，直接利用公式计算．2．3 随机变量的数字特征2．3.1 离散型随机变量的数学期望答案知识梳理1．x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 2．(1)p (2)np (3)nMN作业设计1．A [E (X )＝1×14＋2×14＋3×14＋4×14＝14×10＝2.5.] 2．C [∵E (X )＝4×0.3＋0.1×a ＋9b ＋2＝7.5， 0．3＋0.1＋b ＋0.2＝1，∴a ＝7，b ＝0.4.] 3．B [由题意知ξ～B (2，13)，∴E (ξ)＝2×13＝23.]4．C [E (ξ)＝0×715＋1×715＋2×115＝915＝35，又∵η＝2ξ＋3，∴E (η)＝2E (ξ)＋3＝2×35＋3＝215.]5．B [次品数ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×C27C210＋1×C210＋2×C210＝5.]6．8.2解析 E (X )＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2. 7．0.4解析 ∵E (ξ)＝7x ＋8×0.1＋9×0.3＋10y ＝7×(0.6－y )＋10y ＋3.5＝7.7＋3y ， ∴7.7＋3y ＝8.9，∴y ＝0.4. 8．出海解析 设ξ为公司出海的获利，则ξ的分布列为所以获利期望E (ξ)＝36 000－32 000＝4 000>－10 000，所以应出海． 9．解 设X 为能活到65岁的人数，则X ＝3,2,1,0. 则P (X ＝3)＝C33×0.63×(1－0.6)0＝0.216；P (X ＝2)＝C23×0.62×(1－0.6)1＝0.432； P (X ＝1)＝C13×0.61×(1－0.6)2＝0.288； P (X ＝0)＝C03×0.60×(1－0.6)3＝0.064.所以随机变量X 的分布列为即E (X )10．解 设ξ为取出红球的个数，则ξ＝0,1,2. 所以P (ξ＝0)＝C22C25＝110；P (ξ＝1)＝C13·C 12C25＝610＝35；P (ξ＝2)＝C23C25＝310.所以E (ξ)＝0×110＋1×35＋2×310＝1.2.(2)由于每取到一个红球可得100元，因此可得金额的期望值为E (100ξ)＝100E (ξ)＝120(元)．11．解 因为ξ＝－1,0,1,2，且η＝3ξ－1，所以η的值分别为－4，－1,2,5， 于是E (η)＝(－4)×16＋(－1)×14＋2×13＋5×14＝－23－14＋23＋54＝1.12．解 (1)由x 2－x －6≤0，得－2≤x ≤3， 即S ＝{x |－2≤x ≤3}．由于m ，n ∈Z ，m ，n ∈S 且m ＋n ＝0，所以A 包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)， (－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以ξ＝m 2的所有不同取值为0,1,4,9，且有P (ξ＝0)＝16，P (ξ＝1)＝26＝13，P (ξ＝4)＝26＝13，P (ξ＝9)＝16.故ξ的分布列为1 6＋1×3＋4×3＋9×6＝6.所以E(ξ)＝0×。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.3.2 离散型随机变量的方差
课时目标1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及二点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．
1．方差
一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，x n，这些值对应的概率是p1，p2，…，p n，则
D(X)＝______________________________________叫做这个离散型随机变量X的方差．离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小(或离散程度)．
2．标准差
________________叫做离散型随机变量X的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．
3．二点分布的方差
若离散型随机变量X服从二点分布，则D(X)＝____________.
4．二项分布的方差
若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，即X～B(n，p)，则D(X)＝____________.
一、选择题
1．下列说法中正确的是( )
A．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值
B．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平
C．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的波动水平
D．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平
2．已知ξ的分布列为
ξ123 4
则D (ξ)的值为( ) A.29
12
B.121144
C.179144
D.
1712
3．设随机变量X 服从二项分布B (4，1
3)，则D (X )的值为( )
A.4
3
B.8
3
C.8
9
D.19
4．已知ξ～B (n ，p )，E (ξ)＝8，D (ξ)＝1.6，则n 与p 的值分别为( ) A ．100和0.08 B ．20和0.4 C ．10和0.2
D ．10和0.8
5．某事件在一次试验中发生的次数ξ的方差D (ξ)的最大值为( ) A ．1 B.1
2
C.1
4
D ．2
二、填空题
6．A ，B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：
A 机床
7．已知随机变量ξ的方差D (ξ)＝4，且随机变量η＝2ξ＋5，则D (η)＝________. 8．设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p ＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________．
三、解答题
9．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．求ξ的分布列、期望和方差．
10．某人投弹击中目标的概率为p＝0.8.
(1)求投弹一次，命中次数X的均值和方差；
(2)求重复10次投弹时击中次数Y的均值和方差．
能力提升
11．已知离散型随机变量X的分布列如下表：
X －101 2
P a b c
1 12
若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝______，b＝________.
12．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，
(1)求该题被乙独立解出的概率；
(2)求解出该题的人数ξ的数学期望和方差．
1．求方差和标准差的关键在于求分布列．只要有了分布列，就可以依据定义求数学期望，进而求出方差、标准差，同时还要注意随机变量aX＋b的方差可用D(aX＋b)＝a2D(X)求解．
2．二点分布、二项分布的方差可以直接利用公式计算．
3．随机变量的期望和方差在实际问题特别是风险决策中有着重要意义．
2．3.2 离散型随机变量的方差
答案
知识梳理
1．(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(x n－E(X))2p n
2．D(X)的算术平方根D(X)
3．pq(q＝1－p)
4．npq (q ＝1－p ) 作业设计
1．D [由于离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映的是随机变量的平均取值水平，而不是概率的平均值，故A 错，而D (ξ)则反映随机变量的集中(或稳定)的程度，即波动水平，故选D.]
2．C [∵E (ξ)＝1×14＋2×13＋3×16＋4×14＝29
12
，
∴D (ξ)＝(1－2912)2×14＋(2－2912)2×13＋(3－2912)2×16＋(4－2912)2×14＝179
144.]
3．C [∵X ～B (4，1
3
)，
∴D (X )＝4×13×(1－13)＝4×13×23＝8
9.]
4．D [因为ξ～B (n ，p )， 所以⎩⎪⎨
⎪
⎧
E (ξ)＝np ＝8，D (ξ)＝np (1－p )＝1.6，
解得⎩⎪⎨
⎪
⎧
n ＝10，p ＝0.8.
故选D.]
5．C [设某事件在一次试验中发生的概率为p (0≤p ≤1)，则该事件在一次试验中发生的次数ξ的分布列为
所以D (ξ)＝p (1－p )＝－(p －2)2＋4≤4.]
6．A
解析 E (ξA )＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44，
E (ξB )＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.1＝0.44.
它们的期望相同，再比较它们的方差．
D (ξA )＝(0－0.44)2×0.7＋(1－0.44)2×0.2＋(2－0.44)2×0.06＋(3－0.44)2×0.04
＝0.606 4，
D (ξB )＝(0－0.44)2×0.8＋(1－0.44)2×0.06＋(2－0.44)2×0.04＋(3－0.44)2×0.1
＝0.926 4.
因为D (ξA )<D (ξB )，故A 机床加工质量较好． 7．16 8.1
2
5
解析 D (X )＝100p (1－p )＝100[p (1－p )]2
≤100⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤p ＋(1－p )22＝25，故标准差D (X )≤5，
当且仅当p ＝1－p ，即p ＝1
2时，等号成立．
9．解 (1)ξ的分布列为
∴E (ξ)＝0×12＋1×20＋2×10＋3×20＋4×5
＝1.5，
D (ξ)＝(0－1.5)2
×12＋(1－1.5)2×
120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2
×320
＋(4－1.5)2
×15
＝2.75.
10．解 (1)X 的分布列为
E (X )＝0×0.2＋1×0.8＝0.8D (X )＝(0－0.8)2×0.2＋(1－0.8)2×0.8＝0.16.
(2)由题意知，命中次数Y 服从二项分布， 即Y ～B (10,0.8)．
∴E (Y )＝np ＝10×0.8＝8，D (Y )＝10×0.8×0.2＝1.6. 11.512 1
4
解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝1112
，
－a ＋c ＋1
6＝0
a ＋c ＋13＝1，
，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝512
，
b ＝14，
c ＝14.
12．解 (1)记甲、乙分别解出此题的事件记为A ，B . 设甲独立解出此题的概率为P 1，乙为P 2，
则P (A )＝P 1＝0.6，P (B )＝P 2，
P (A ∪B )＝1－P (A B )＝1－(1－P 1)·(1－P 2)＝P 1＋P 2－P 1P 2＝0.92.∴0.6＋P 2－0.6P 2
＝0.92，
则0.4P2＝0.32，即P2＝0.8.
(2)P(ξ＝0)＝P(A)·P(B)＝0.4×0.2＝0.08，
P(ξ＝1)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)
＝0.6×0.2＋0.4×0.8＝0.44.
P(ξ＝2)＝P(A)·P(B)＝0.6×0.8＝0.48.
ξ的概率分布为：
E(ξ)
＝0.44＋0.96＝1.4，
D(ξ)＝(0－1.4)2×0.08＋(1－1.4)2×0.44＋(2－1.4)2×0.48＝0.1568＋0.0704＋0.1728＝0.4.。