空间向量与平行关系导学案

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人教版高中数学全套教案导学案第3章空间向量与立体几何 §3.2 立体几何中的向量方法 (一)—— 平行与

§3.2 立体几何中的向量方法 (一)—— 平行与垂直关系的向量证法知识点一求平面的法向量已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量．解 ∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，AB ＝(1，－2，－4)，AC →＝(1，－2，－4)，设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z)．依题意，应有n ·AB = 0， n ·AC →= 0.即⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －4z ＝02x －4y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y z ＝0.令y ＝1，则x ＝2. ∴平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)．【反思感悟】用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一组解(非零向量)即可．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，DC 的中点，求证：AE是平面A 1D 1F 的法向量.证明设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则AE 是平面A 1D 1F的法向量．证明设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，1，12， AE ＝⎝⎛⎭⎫0，1，12. .D 1＝(0,0,1)， F ⎝⎛⎭⎫0，12，0，A 1(1,0,1)．1D F ＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1，A 1D 1→＝(－1,0,0)． ∵AE ·1D F ＝⎝⎛⎭⎫0，1，12·⎝⎛⎭⎫0，12，－1＝12－12＝0， AE ·A 1D 1→＝0，∴AE ⊥A 1D 1→.又A 1D 1∩D 1F ＝D 1， ∴AE ⊥平面A 1D 1F ，∴ AE 是平面A 1D 1F 的法向量．知识点二利用向量方法证平行关系在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点，求证：B 1C ∥平面ODC 1.证明方法一 ∵1B C =1A D ，∴ B 1A D ∉∴B 1C ∥A 1D ，又A 1D ⊂面ODC 1， ∴B 1C ∥面ODC 1.方法二 ∵1B C =11B C +1B B=1B O +1OC +1D O +OD =1OC +OD .∴1B C ，1OC ，OD 共面.又B 1C ⊄ODC 1，∴B 1C ∥面ODC 1.方法三建系如图，设正方体的棱长为1，则可得 B 1(1,1,1)，C(0,1,0)， O ⎝⎛⎭⎫12，12，1，C 1(0,1,1)，1B C ＝(－1,0，－1)，OD ＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，－1， 1OC ＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0. 设平面ODC 1的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，则10,0,n OD n OC ⎧⨯=⎪⎨⨯=⎪⎩ 得⎩⎨⎧－12x 0－12y 0－z 0＝0 ①－12x 0＋12y 0＝0 ②令x 0＝1，得y 0＝1，z 0＝－1，∴n ＝(1,1，－1)．又 1B C ·n ＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0， ∴1B C ⊥n ，∴B 1C ∥平面ODC 1.【反思感悟】证明线面平行问题，可以有三个途径，一是在平面ODC 1内找一向量与1B C 共线；二是说明1B C 能利用平面ODC 1内的两不共线向量线性表示，三是证明1B C 与平面的法向量垂直．如图所示，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF ，∠BCF ＝∠CEF ＝90°，AD ＝3，EF ＝2.求证：AE ∥平面DCF.证明如图所示，以点C 为坐标原点，以CB 、CF 和CD 所在直线分别作为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系C —xyz.设AB ＝a ，BE ＝b ，CF ＝c ，则C(0,0,0)，A(3，0，a)，B(3，0,0)，E(3，b,0)，F(0，c,0)． AE →＝(0，b ，－a)， CB ＝(3，0,0)，BE ＝(0，b,0)，所以CB ·AE →= 0，CB ·BE = 0，从而CB ⊥AE ，CB ⊥BE.所以CB ⊥平面ABE.因为CB ⊥平面DCF ，所以平面ABE ∥平面DCF.故AE ∥平面DCF.知识点三利用向量方法证明垂直关系在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，试在棱BB 1上找一点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1.解建立空间直角坐标系D —xyz ，设正方体的棱长为2，则E(2,1,0)，F(1,2,0)，D 1(0,0,2)，B 1(2,2,2)．设M （2，2，m ），则EF =（-1，1，0），B 1E →=（0， -1， -2）， 1D M =（2，2，m -2）.∵ 1D M ⊥平面EFB 1，∴ 1D M ⊥EF ，1D M ⊥B 1E ，∴1D M ·EF = 0且1D M ·B 1E →= 0，于是-2+2=0,-2-2(m-2)=0,⎧⎨⎩∴m ＝1，故取B 1B 的中点为M 就能满足D 1M ⊥平面EFB 1.【反思感悟】证明直线与平面垂直有两种方法：(1)用直线与平面垂直的判定定理；(2)证明该直线所在向量与平面的法向量平行．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1C ⊥A 1B.求证：AC 1⊥A 1B.证明建立空间直角坐标系C 1—xyz ，设AB ＝a ，CC 1＝b. 则A 1⎝⎛⎭⎫32a ，a 2，0，B(0，a ，b)，B 1(0，a,0)，C(0,0，b)，A ⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，b ， C 1(0,0,0)．于是1A B =⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，b 1B C =（0，- a ，b ），1AC ＝⎝⎛⎭⎫－32a ，－a2，－b .∵B 1C ⊥A 1B ，∴ 1B C ·1A B ＝－a 22＋b 2＝0,而1A C ·1A B ＝34a 2－14a 2－b 2＝a 22－b 2＝0∴ 1A C ⊥1A B即AC 1⊥A 1B.课堂小结：1．用待定系数法求平面法向量的步骤： (1)建立适当的坐标系．(2)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z)．(3)求出平面内两个不共线向量的坐标a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．(4)根据法向量定义建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a·n ＝0b·n ＝0.(5)解方程组，取其中一解，即得平面的法向量.2．平行关系的常用证法AB ＝λCD →.证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说明直线在平面外，证面面平行可转化证两面的法向量平行．3．垂直关系的常用证法要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直．要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直．要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直．一、选择题1. 已知A （3，5，2），B （-1，2，1），把AB 按向量a ＝(2,1,1)平移后所得的向量是( ) A ．(－4，－3,0) B ．(－4，－3，－1) C ．(－2，－1,0) D ．(－2，－2,0) 答案 BAB ＝(－4，－3，－1)．平移后向量的模和方向是不改变的．2．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是( )A ．平行B ．相交但不垂直C ．垂直D ．不能确定答案 C解析 ∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面也垂直． 3．从点A(2，－1,7)沿向量a ＝(8,9，－12)的方向取线段长AB ＝34，则B 点的坐标为( )A ．(－9，－7,7)B ．(18,17，－17)C ．(9,7，－7)D ．(－14，－19,31) 答案 B解析，设B （x ，y ，z ），AB =（x -2，y+1，z -7）=λ（8，9，- 12），λ>0.故x -2=8λ,y+1=9λ,z -7=-12λ，又（x -22+（y+12+（z -72 = 342，得（17λ）2 = 342，∵λ>0,∴λ=2.∴x = 18,y = 17,z =-17, 即B （18，17，- 17）.4．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y)分别是直线l 1、l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152答案 D解析 ∵l 1∥l 2，∴a ∥b ，则有23＝4x ＝5y ，解方程得x ＝6，y ＝152. 5．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,0，－4)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ． D ．l 与α斜交答案 B解析 ∵u ＝－2a ， ∴a ∥u ，∴l ⊥α. 二、填空题6．已知A(1,1，－1)，B(2,3,1)，则直线AB 的模为1的方向向量是________________．答案 ⎝⎛⎭⎫13，23，23或⎝⎛⎭⎫－13，－23，－23 解析，AB =（1，2，2），|AB | = 3 . 模为1的方向向量是±||ABAB , 7．已知平面α经过点O(0,0,0)，且e ＝(1,1,1)是α的法向量，M(x ，y ，z)是平面α内任意一点，则x ，y ，z 满足的关系式是________________．答案 x ＋y ＋z ＝0解析 OM ·e=（x ，y ，z ）·（1，1，1）= x+y+z = 0.8．若直线a 和b 是两条异面直线，它们的方向向量分别是(1,1,1)和(2，－3，－2)，则直线a 和b 的公垂线(与两异面直线垂直相交的直线)的一个方向向量是________．答案 (1,4，－5)(答案不唯一)解析设直线a 和b 的公垂线的一个方向向量为n ＝(x ，y ，z)，a 与b 的方向向量分别为n 1，n 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ n ·n 1＝0，n ·n 2＝0，即：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝0，2x －3y －2z ＝0.解之得：y ＝4x ，z ＝－5x ，令x ＝1，则有n ＝(1,4，－5)．三、解答题9．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ；(2)平面ADE ∥平面B 1C 1F.证明如图所示建立空间直角坐标系Dxyz ，则有D(0,0,0)、A(2,0,0)，C(0,2,0)，C 1(0,2,2)，E(2,2,1)， F(0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以1FC =（0，2，1），DA =（2，0，0），AE =（0，2，1）.（1）设n 1=（x 1 , y 1 , z 1）是平面ADE 的法向量, 则n 1 ⊥ DA， n 1⊥AE，即 1,11·2·2,DA x AE y z ⎧=⎪⎨=+⎪⎩11n n 得1110,2,x z y =⎧⎨=-⎩ 令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)．因为 FC 1→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1→⊥n 1. 又因为FC 1平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE.（2）∵11C B =（2，0，0），设n 2 = (x 2 , y 2 , z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量. 由n 2⊥FC 1→,n 2⊥11C B ,得21222112·20,·20,n FC y z n C B x ⎧=+=⎪⎨==⎪⎩得得2220,2,x z y =⎧⎨=-⎩令z 2＝2得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)，因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F.10.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，AP ＝BQ ＝b (0<b<1)，截面PQEF ∥A ′D ，截面PQGH ∥AD ′.(1)证明：平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直；(2)证明：截面PQEF 和截面PQGH 面积之和是定值，并求出这个值；(3)若b ＝12，求D ′E 与平面PQEF 所成角的正弦值．解以D 为原点，射线DA 、DC 、DD ′分别为x 、y 、z 轴的正半轴建立如图(2)所示的空间直角坐标系D —xyz ，由已知得DF ＝1－b ，故A(1,0,0)，A ′(1,0,1)，D(0,0,0)，D ′(0,0,1)，P(1,0，b)，Q(1,1，b)，E(1－b,1,0)，F(1－b,0,0)，G(b,1,1)，H(b,0,1)．(1)，证明在所建立的坐标系中,可得PQ = (0,1,0),PF = ( -b , 0, -b),PH = (b -1,0,1 -b),'AD = ( -1,0,1),AD = ( -1,0, -1),因为'AD ·PQ = 0，'AD ·PF= 0，所以'AD 是平面PQEF 的法向量.因为'AD ·PQ = 0，'AD ·PH =0，所以'AD 是平面PQGH 的法向量.所以平面PQEF 和平面PQGH 互相垂直. (2)证明，因为EF = (0, -1,0),所以EF ∥PQ , |EF | = |PQ |,又PF ⊥PQ ,所以四边形PQEF 为矩形, 同理四边形PQGH 为矩形.在所建立的坐标系中可求得|PH | = (1-b), |PF | = b,所以|PH | + |PF |,又|PQ | = 1,所以截面PQEF 和截面PQGH 是定值. (3)解由(1)知'AD ＝(－1,0,1)是平面PQEF 的法向量．由P 为AA ′的中点可知，Q 、E 、F 分别为BB ′、BC 、AD 的中点．所以E （ 12，1，0,），'D E ＝⎝⎛⎭⎫12，1，－1，因此D ′E 与平面PQEF 所成角的正弦值等于|cos 〈AD ′→,'D E > ＝22.。

高中数学第3章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法第1课时空间向量与平行关系学案新人教A版选修2_1

第1课时空间向量与平行关系1．直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量的定义直线的方向向量是指和这条直线_平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量的定义直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则a 叫做平面α的法向量．思考：直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？[提示] 不唯一，直线的方向向量(平面的法向量) 有无数个，它们分别是共线向量． 2．空间中平行关系的向量表示1．若A (－1，0，1)，B (1，4，7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1，2，3) B ．(1，3，2) C ．(2，1，3)D ．(3，2，1)A [AB →＝(2，4，6)＝2(1，2，3)．]2．若平面α，β的一个法向量分别为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，13，－1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，3，则( ) A ．α∥βB ．α⊥βC ．α与β相交但不垂直D ．α∥β或α与β重合D [∵n ＝－3m ，∴m ∥n ，∴α∥β或α与β重合．]3．已知AB →＝(－3，1，2)，平面α的一个法向量为n ＝(2，－2，4)，点A 不在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系为( )A ．AB ⊥αB ．AB ⊂αC ．AB 与α相交但不垂直D ．AB ∥αD [因为n ·AB →＝2×(－3)＋(－2)×1＋4×2＝0，所以n ⊥AB →.又点A 不在平面α内，n 为平面α的一个法向量，所以AB ∥α，故选D.]4．若直线l 的方向向量a ＝(2，2，－1)，平面α的法向量μ＝(－6，8，4)，则直线l 与平面α的位置关系是________．l ⊂α或l ∥α [∵μ·a ＝－12＋16－4＝0，∴μ⊥a ，∴l ⊂α或l ∥α.]AD ＝12，试建立适当的坐标系．(1)求平面ABCD 的一个法向量； (2)求平面SAB 的一个法向量； (3)求平面SCD 的一个法向量．[解] 以点A 为原点，AD 、AB 、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，1，0)，C (1，1，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，S (0，0，1)．(1)∵SA ⊥平面ABCD ，∴AS →＝(0，0，1)是平面ABCD 的一个法向量． (2)∵AD ⊥AB ，AD ⊥SA ，AB ∩SA ＝A ，∴AD ⊥平面SAB ， ∴AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量．(3)在平面SCD 中，DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，SC →＝(1，1，－1)．设平面SCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DC →，n ⊥SC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·DC →＝0，n ·SC →＝0，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋y ＝0，x ＋y －z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ，z ＝－y ，令y ＝－1，得x ＝2，z ＝1，∴平面SCD 的一个法向量为n ＝(2，－1，1)．1．利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB →，AC →. (3)列方程组：由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，列出方程组．(4)解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0.(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 2．求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量．(2)取特值：在求n 的坐标时，可令x ，y ，z 中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量．(3)注意0：提前假定法向量n ＝(x ，y ，z )的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0.1．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱A 1D 1、A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面BDD 1B 1的一个法向量； (2)平面BDEF 的一个法向量．[解] 设正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则D (0，0，0)，B (2，2，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，E (1，0，2)．(1)连接AC (图略)，因为AC ⊥平面BDD 1B 1，所以AC →＝(－2，2，0)为平面BDD 1B 1的一个法向量．(2)DB →＝(2，2，0)，DE →＝(1，0，2)．设平面BDEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DE →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，x ＋2z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，z ＝－12x . 令x ＝2，得y ＝－2，z ＝－1.∴n ＝(2，－2，－1)即为平面BDEF 的一个法向量．111111四边形AEC 1F 是平行四边形．[解] 以点D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，C 1(0，1，1)，F ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12， ∴AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，0，12，FC 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，0，12，EC 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，∴AE →＝FC 1→，EC 1→＝AF →，∴AE →∥FC 1→，EC 1→∥AF →，又∵FAE ，F EC 1，∴AE ∥FC 1，EC 1∥AF ，∴四边形AEC 1F 是平行四边形．1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面． 2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．3．两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直．2．长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是面对角线B 1D 1，A 1B 上的点，且D 1E ＝2EB 1，BF ＝2FA 1.求证：EF ∥AC 1.[证明] 如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设DA ＝a ，DC ＝b ，DD 1＝c ，则得下列各点的坐标：A (a ，0，0)，C 1(0，b ，c )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，23b ，c ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，b 3，23c .∴FE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，b 3，c 3，AC 1→＝(－a ，b ，c )，∴FE →＝13AC 1→.又FE 与AC 1不共线，∴直线EF ∥AC 1.在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？ [提示] 可设几何体的棱长为1或a ，再求点的坐标．【例3】在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CC 1，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD . 思路探究：[证明] 法一：如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，B (1，1，0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12， N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，于是DA 1→＝(1，0，1)，DB →＝(1，1，0)，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12.设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥DA 1→，n ⊥DB →，即⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝x ＋z ＝0，n ·DB →＝x ＋y ＝0，取x ＝1，则y＝－1，z ＝－1，∴平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)．又MN →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN →⊥n .∴MN ∥平面A 1BD .法二：MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→，∴MN→∥DA 1→，∴MN ∥平面A 1BD .法三：MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12DA →－12A 1A →＝12()DB →＋BA→－12()A 1B →＋BA →＝12DB →－12A 1B →. 即MN →可用A 1B →与DB →线性表示，故MN →与A 1B →，DB →是共面向量，故MN ∥平面A 1BD .1．本例中条件不变，试证明平面平面AEB ，BE ⊂平面AEB 两两垂直．0)，C (2，4，0)，F (00)，AB →＝(2，0，－2)．，z )，1．向量法证明线面平行的三个思路(1)设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明a ⊥u ，即a ·u ＝0.(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v ，则α∥β⇔μ∥v .1．应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．(3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．1．已知向量a ＝(2，4，5)，b ＝(3，x ，y )，a 与b 分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152D [∵l 1∥l 2，∴a ∥b ， ∴存在λ∈R ，使a ＝λb ，则有2＝3λ，4＝λx ，5＝λy ， ∴x ＝6，y ＝152.]2．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3，4)，B (9，2，1)，则线段AB 与坐标平面( ) A ．xOy 平行 B ．xOz 平行 C ．yOz 平行D ．yOz 相交 C [AB →＝(0，5，－3)，坐标平面yOz 的一个法向量为n ＝(1，0，0)，因为AB →·n ＝0，所以AB →⊥n .故线段AB 与坐标平面yOz 平行．]3．已知直线l 的方向向量为(2，m ，1)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，且l ∥α，则m ＝________．－8 [∵l ∥α，∴l 的方向向量与α的法向量垂直． ∴(2，m ，1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2＝2＋12m ＋2＝0. 解得m ＝－8.]4．在长方体OAEB O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2PA 1，点S 在棱BB 1上，且SB 1＝2BS ，点Q ，R 分别是棱O 1B 1，AE 的中点．求证：PQ ∥RS .[解] 如图，建立空间直角坐标系，则A (3，0，0)，B (0，4，0)，O 1(0，0，2)，A 1(3，0，2)，B 1(0，4，2)，E (3，4，0)．易求得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，43，Q (0，2，2)，R (3，2，0)，S ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4，23，于是PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，2，23，RS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，2，23.∴PQ →＝RS →，∴PQ →∥RS →.∵R PQ ，∴PQ ∥RS .。

导学设计高中数学人教A版选修2-1配套课件3.2.1空间向量与平行关系

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解
(1)∵ a＝ (2,3，－1)，b＝(－ 6，－ 9,3) 1 ∴a＝－3b，∴a∥b，∴l1∥l2. (2)∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，∴a· b≠0 且 a≠kb(k∈R)， ∴a，b 既不共线也不垂直，即 l1 与 l2 相交或异面． 1 (3)∵u＝(1，－1,2)，v＝3，2，－2，
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解 (1)∵a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)，
∴a· b＝8－6－2＝0，∴a⊥b，即 l1⊥l2.
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(2)∵u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9,0)，∴v＝－3u，
∴v∥u，即 α∥β.
(3)∵a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3)， ∴a· u≠0 且 a≠ku (k∈R)， ∴a 与 u 既不共线也不垂直，即 l 与 α 相交但不垂直． (4)∵a＝(3,2,1)，u＝(－1,2，－1)， ∴a· u＝－3＋4－1＝0，∴a⊥u，即 l⊂α 或 l∥α.
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小结 (1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面． (2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直． (3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直．
④解方程组，利用赋值法，只要给 x，y，z 中的一个变量赋一特值(常赋值－1,0,1)，即可确定一个法向量，赋值不同，所求法向量不同，但(0,0,0)不能作为法向量．

空间向量的平行与垂直导学案

空间向量的平行与垂直导学案学科：高二数学课型：新授课课时：3课时编写时间：2013.3.30编写人：陈平审核人：邓朝华班级：姓名：【导案】【学习目标】1．理解直线的方向向量与平面的法向量。

2．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系。

3．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直关系。

【学习重点】空间向量的平行与垂直【学案】1.直线的方向向量直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量_________的向量，显然一条直线的方向向量可以有___________。

2.平面的法向量所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面_________的向量，显然一个平面的法向量有________个，它们是_________向量。

3.直线的方向向量与平面法向量在确定直线、平面平行关系中的应用（1）若两直线l1、l2的方向向量分别是u1、u2，则有l1∥l2⇔________,即________，（2）若直线l的方向向量为u，平面a的法赂量为v, 则有l∥a⇔_________，即_________，若u=(a1、b1、c1)，v=（a1、b1、c1），则l∥a⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.（3）若两平面α、β的法向量分别是v1、v2则有α∥β⇔________即_________。

4.5、直线l、m的方向向量分别为a=（a1、a2、a3）,b=（b1、b2、b3），则b⊥m⇔______⇔______⇔_______.6.直线的方向量与平面的法赂量的坐标关系设直线l的方向向量是u=(a1、b1、c1)，平面α的法向⊥量v=(a1、b1、c1)，则l⊥a⇔________⇔________⇔________⇔___________（a2·b2·c2≠0）7.两垂直平面法向量的坐标关系若平面a=(a1、b1、c1)，平面β的法向量v=(a1、b1、c1)，则a⊥β⇔_______⇔_______⇔__________.【例1】已知平面a经过三点A（1，2，3），B（2，0，-1）C（3，-2，0），试求平面a的一个法向量.【例2】在正三棱锥P—ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BE：EC=PF：FB=1：2求证：平面GEF⊥平面PBC.【例3】如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA⊥AC=a，PB=PD=2a，PB=PD=2a，点E在PD上，且PE：ED=2：1。

2020年2月高中数学导学案全国版人教版精品课件选修2-1第三章第4课时空间向量的平行、垂直关系

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想一想:在空间直角坐标系 O-xyz 中,已知点 P(2cos x+1,2cos 2x+2,0)和点 Q(cos x,-1,3),
其中 x∈[0,π].若直线 OP 与直线 OQ 垂直,则 x 的值为
��或��
��
.
【解析】由题意得��⊥��.所以 cos x·(2cos x+1)-(2cos 2x+2)=0,
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预学 1:直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量:若向量 a 平行于直线 l,则把向量 a 叫作直线 l 的方向向量. (2)平面的法向量:若表示向量 a 的有向线段所在的直线垂直于平面 α,则称这个向量垂直于平面 α,记作 a⊥α.若 a⊥α,则把向量 a 叫作平面 α 的法向量.
即 2cos2x-cos x=0,解得 cos x=0 或 cos x=1.
2
又 x∈[0,π],所以 x=π或 x=π.
2
3
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1.若点 A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线 l 上,则直线 l 的一个方向向量为( A ).
A.(1,2,3)
B.(1,3,2)
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议一议:利用空间向量证明线面垂直,主要有哪几种方法? 【解析】(1)证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直.
(2)证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量.
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预学 4:在运用向量方法解决立体几何中的平行问题的注意事项与证明垂直的常用方法平行问题的注意事项: (1)向量共线与直线平行的关系,注意重合的情况.(2)正确理解向量共面与线面平行的关系,注意直线在平面内的情况.(3)平面的法向量平行与平面平行的关系,注意平面重合的情况. 垂直关系的常用证法: 要证线线垂直,可以转化为对应的向量垂直. 要证线面垂直,可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直或证明直线的方向向量与平面的法向量共线. 要证面面垂直,可以转化为证明两个平面的法向量垂直. 在具体解题的过程中要注意将传统法与向量法相结合,以简化解题过程.

高中数学 3.2.1空间向量与平行关系导学案理(无答案)新人教A版选修2 1 学案

§3.2.1 空间向量与平行关系学习目标：1．理解直线的方向向量和平面的法向量．2．能用向量语言表述线线、线面、面面平行关系．学习重点：理解直线的方向向量和平面的法向量．学习难点：直线的方向向量和平面的法向量及运算．课前预习案教材助读：阅读教材的内容，思考并完成下列问题：1．直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量能平移到直线上的________向量，叫做直线的一个方向向量平面的法向量直线l⊥α，取直线l的__________n，叫做平面α的法向量课内探究案一、新课导学：探究点一利用方向向量和法向量判定线面的位置关系问题1 对于一条确定的直线和一个确定的平面，它的方向向量及法向量有几个？探究点二利用空间向量证明平行关系问题怎样利用向量证明空间中的平行关系？二、合作探究例1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1)直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)；(2)平面α，β的法向量分别是u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9,0)；(3)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3)；(4)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝(3,2,1)，u＝(－1,2，－1)．例2 证明：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．已知：直线l，m和平面α，β，其中l，m⊂α，l与m相交，l∥β，m∥β，求证：α∥β.例3 已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.三、当堂检测教材练习题四、课后反思课后训练案1．若a ＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是 ( ) A ．(0,1,2) B ．(3,6,9) C ．(－1，－2,3) D ．(3,6,8)2．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为 ( ) A ．(1,2,3) B ．(1,3,2) C ．(2,1,3) D ．(3,2,1)3．已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，则m ＝________.4．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，证明：平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.。

高中数学 2-1 3.2.1空间向量与平行关系 3.2.2空间向量与垂直关系学案

3。

2.1空间向量与平行关系（一）教学目标1.知识与技能：能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系,能用向量方法判断有关直线和平面平行关系的立体几何问题．2。

过程与方法:通过用向量方法解决立体几何中的平行问题的过程，体会向量运算的几何意义．3.情感、态度与价值观:引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣．（二）教学重点与难点重点：用向量方法判断有关直线和平面平行关系问题．难点：空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示；用向量语言证明立体几何中有关平行关系的问题．（三）教学过程活动一：创设情景、引入课题(5分钟）问题1：在空间中，用空间向量解决立体几何的步骤? 问题2：空间中的角度有多少种？用空间向量如何解决？活动二：师生交流、进入新知问题3：回忆立体几何中有那些平行关系?如何用直线的方向向量与平面的法向量来判断？l∥m a∥b⇔l∥α⇔a·u＝0⇔α∥β⇔u∥v⇔例1：如图3－2－5，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D 是AC的中点,求证：AB1∥平面DBC1.例2：（12分)如图3－2－6，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF,∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．求证:FH∥平面EDB.图3－2－6活动三:归纳整理、提高认识1．在空间中，平行有几种情况?2．如何用空间向量求各种平行关系？3.2.2空间向量与垂直关系（一)教学目标1.知识与技能：能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，能用向量方法判断有关直线和平面垂直关系的立体几何问题．2。

过程与方法:通过用向量方法解决立体几何中的垂直问题的过程，体会向量运算的几何意义．通过本节教学使学生理解体会用向量方法解决立体几何问题的思想及过程．3.情感、态度与价值观：引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神,同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣．（二)教学重点与难点重点：用向量方法判断有关直线和平面垂直关系问题．难点：空间直角坐标系的正确建立,空间向量的运算及其坐标表示；用向量语言证明立体几何中有关垂直关系的问题．（三）教学过程活动一：创设情景、引入课题问题1：回忆立体几何中有那些平行关系？如何用直线的方向向量与平面的法向量来判断?问题2:上一节课中我们讨论了几种平行关系？用空间向量如何解决？活动二：师生交流、进入新知问题3：回忆立体几何中有那些垂直关系？如何用直线的方向向量与平面的法向量来判断?l⊥m⇔⇔l⊥α⇔⇔⇔α⊥β⇔⇔⇔图3－2－10例1：已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M 是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN ＝错误!CC1. 求证:AB1⊥MN。

3.2立体几何中的向量方法第1课时空间向量与平行关系教案(人教A版选修2-1)概述.

3.2立体几何中的向量方法第1课时空间向量与平行关系●三维目标1.知识与技能能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，能用向量方法判断有关直线和平面平行关系的立体几何问题．2．过程与方法通过用向量方法解决立体几何中的平行问题的过程，体会向量运算的几何意义．3．情感、态度与价值观引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣．●重点难点重点：用向量方法判断有关直线和平面平行关系问题．难点：空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示；用向量语言证明立体几何中有关平行关系的问题．●教学建议在“以生为本”理念的指导下，充分体现课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系和“以人为本，以学定教”的教学理念，构建学生主动的学习活动过程．在教学策略上宜采用“复习引入——推进新课——归纳与总结——反思”组成的探究式教学策略，并使用计算机多媒体作为辅助教具，提高课堂效率．本节课难点在于用向量证明平行关系，所以利用多媒体帮助分散难点，更符合学生的认知规律．同时在教学中注意关注整个过程和全体学生，“以学生发展为核心”，充分调动学生积极参与教学过程的每个环节．●教学流程创设问题情境，在两条平行线上取两向量，它们的位置关系如何？⇒引出直线的方向向量的概念，并用同样的方法得出平面的法向量的概念.⇒结合图形，引导学生分析方向向量、法向量的作用，得出空间平行关系的向量表示方法.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握求已知平面的法向量的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用向量法证明线线平行.⇒通过例3及其变式训练，解决利用空间向量证明线面平行问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.【问题导思】图3－2－11．如图3－2－1，直线l ∥m ，在直线l 上取两点A 、B ，在直线m 上取两点C 、D ，向量AB →与CD →有怎样的关系？【提示】 AB →∥CD →.2．如图直线l ⊥平面α，直线l ∥m ，在直线m 上取向量n ，则向量n 与平面α有怎样的关系？【提示】 n ⊥α.直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量.图3－2－2已知ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，试建立适当的坐标系．(1)求平面ABCD 与平面SAB 的一个法向量． (2)求平面SCD 的一个法向量．【思路探究】 (1)根据图形特点，如何建立坐标系更方便？(2)怎样求平面的法向量？题中所要求的三个平面的法向量在求解时方法是否相同？【自主解答】以点A 为原点，AD 、AB 、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的坐标系，则A (0,0,0)，B (0,1,0)，C (1,1,0)，D (12，0,0)，S (0,0,1)．(1)∵SA ⊥平面ABCD ，∴AS →＝(0,0,1)是平面ABCD 的一个法向量． ∵AD ⊥AB ，AD ⊥SA ，∴AD ⊥平面SAB ， ∴AD →＝(12，0,0)是平面SAB 的一个法向量．(2)在平面SCD 中，DC →＝(12，1,0)，SC →＝(1,1，－1)．设平面SCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DC →，n ⊥SC →. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DC →＝0n ·SC →＝0，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋y ＝0x ＋y －z ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2yz ＝－y ，令y ＝－1得x ＝2，z ＝1，∴n ＝(2，－1,1)．1．若一个几何体中存在线面垂直关系，则平面的垂线的方向向量即为平面的法向量． 2．一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下： (1)设出平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )． (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量 a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．(3)根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0. (4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量．3．在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0有无数多个解，只需给x ，y ，z 中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱A 1D 1、A 1B 1的中点，在如图3－2－3所示的空间直角坐标系中，求：图3－2－3(1)平面BDD 1B 1的一个法向量． (2)平面BDEF 的一个法向量．【解】设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则D (0,0,0)，B (2,2,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，E (1,0,2)(1)连AC ，因为AC ⊥平面BDD 1B 1，所以AC →＝(－2,2,0)为平面BDD 1B 1的一个法向量． (2)DB →＝(2,2,0)，DE →＝(1,0,2)．设平面BDEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0n ·DE →＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0x ＋2z ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x z ＝－12x .令x ＝2得y ＝－2，z ＝－1.∴n ＝(2，－2,1)即为平面BDEF 的一个法向量.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是面对角线B 1D 1，A 1B 上的点，且D 1E＝2EB 1，BF ＝2F A 1.求证：EF ∥AC 1.【思路探究】 (1)你能写出EF 、AC 1的方向向量吗？(2)两直线的方向向量满足什么条件则说明它们平行？【自主解答】如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设DA ＝a ，DC ＝b ，DD 1＝c ，则得下列各点的坐标：A (a,0,0)，C 1(0，b ，c )，E (23a ，23b ，c )，F (a ，b 3，23c )．∴FE →＝(－a 3，b 3，c 3)，AC 1→＝(－a ，b ，c )，∴FE →＝13AC 1→.又FE 与AC 1不共线， ∴直线EF ∥AC 1.利用向量法证明线线平行的方法与步骤：图3－2－4如图3－2－4所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1和BB 1的中点．求证：四边形AEC 1F 是平行四边形．【证明】以点D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1→为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，E (0,0，12)，C 1(0,1,1)，F (1,1，12)，∴AE →＝(－1,0，12)，FC 1→＝(－1，0，12)，EC 1→＝(0,1，12)，AF →＝(0,1，12)，∴AE →＝FC 1→，EC 1→＝AF →，∴AE →∥FC 1→，EC 1→∥AF →，又∵F ∉AE ，F ∉EC 1，∴AE ∥FC 1，EC 1∥AF ， ∴四边形AEC 1F 是平行四边形.图3－2－5如图3－2－5，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，求证：AB 1∥平面DBC 1.【思路探究】线面平行→线与面的法向量垂直→数量积为0【自主解答】以A 为坐标原点建立空间直角坐标系．设正三棱柱的底面边长为a (a >0)，侧棱长为b (b >0)，则A (0,0,0)，B (32a ，a 2，0)，B 1(32a ，a 2，b )，C 1(0，a ，b )，D (0，a2，0)， ∴AB 1→＝(32a ，a 2，b )，BD →＝(－32a,0,0)，DC 1→＝(0，a 2，b )．设平面DBC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ n ·BD →＝－32ax ＝0，n ·DC 1→＝a 2y ＋＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，z ＝－a 2b y .不妨令y ＝2b ，则n ＝(0,2b ，－a )．由于AB 1→·n ＝ab －ab ＝0，因此AB 1→⊥n . 又AB 1⊄平面DBC 1，∴AB 1∥平面DBC 1.利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示．方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明方向向量与平面的法向量垂直．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E ，F ，E 1分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1的中点．求证：CE ∥平面C 1E 1F .【证明】以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图．设BC ＝1，则C (0,1,0)，E (1,0,1)，C 1(0,1,2)，F (1,1,1)，E 1(1，12，2)．设平面C 1E 1F 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵C 1E 1→＝(1，－12，0)，FC 1→＝(－1,0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·C 1E 1→＝0，n ·FC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ，x ＝z ，取n ＝(1,2,1)． ∵CE →＝(1，－1,1)，n ·CE →＝1－2＋1＝0， ∴CE →⊥n ，且CE →⊄平面C 1E 1F . ∴CE ∥平面C 1E 1F .向量法证明空间平行关系图3－2－6(12分)如图3－2－6，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF ⊥FB ，AB ＝2EF ，∠BFC ＝90°，BF ＝FC ，H 为BC 的中点．求证：FH ∥平面EDB .【思路点拨】先通过推理证明FH ⊥平面ABCD ，建立空间直角坐标系，再设证明HF →、BE →、BD →共面．【规范解答】 ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ⊥BC ，又EF ∥AB ， ∴EF ⊥BC . 又EF ⊥FB ， ∴EF ⊥平面BFC . ∴EF ⊥FH ，∴AB ⊥FH .2分又BF ＝FC ，H 为BC 的中点， ∴FH ⊥BC .∴FH ⊥平面ABC .4分以H 为坐标原点，HB →为x 轴正方向，HF →为z 轴正方向．建立如图所示的空间直角坐标系．设BH ＝1，则B (1,0,0)，D (－1，－2,0)，E (0，－1,1)，F (0,0,1).6分 ∴HF →＝(0,0,1)，BE →＝(－1，－1,1)，BD →＝(－2，－2，0)，设HF →＝λ·BE →＋μ·BD →＝λ·(－1，－1,1)＋μ(－2，－2,0)＝(－λ－2μ，－λ－2μ，λ)8分 ∴(0,0,1)＝(－λ－2μ，－λ－2μ，λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－λ－2μ＝0λ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1μ＝－12，∴HF →＝BE →－12BD →10分∴向量HF →，BE →，BD →共面．又HF 不在平面EDB 内， ∴HF ∥平面EDB .12分【思维启迪】 1.建立空间直角坐标系，通常需要找出三线两两垂直或至少找到线面垂直的条件．2．证明时，要注意空间线面关系与向量关系的联系与区别，注意所运用定理的条件要找全．1．利用向量解决立体几何问题的“三步曲”：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系(距离和夹角等)；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．2．证明线面平行问题，可以利用直线的方向向量和平面的法向量之间的关系；也可以转化为线线平行，利用向量共线来证明．1．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1,2,3) B ．(1,3,2)C ．(2,1,3)D ．(3,2,1)【解析】 AB →＝(2,4,6)＝2(1,2,3)．【答案】 A2．下列各组向量中不平行的是( ) A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4) B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0) C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0) D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16,24,40)【解析】 ∵b ＝(－2，－4,4)＝－2(1,2，－2)＝－2a ，∴a ∥b ，同理：c ∥d ，e ∥f . 【答案】 D3．设平面α内两向量a ＝(1,2,1)，b ＝(－1,1,2)，则下列向量中是平面α的法向量的是( )A ．(－1，－2,5)B ．(－1,1，－1)C ．(1,1,1)D ．(1，－1，－1)【解析】平面α的法向量应当与a 、b 都垂直，可以检验知B 选项适合．【答案】 B4．根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系： (1)直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)； (2)平面α，β的法向量分别是u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9，0)；(3)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)．【解】 (1)∵a ·b ＝1×8＋(－3)×2＋(－1)×2＝0，∴l 1⊥l 2.(2)∵v ＝(－3，－9,0)＝－3(1,3,0)＝－3μ，∴α∥β. (3)∵a 、u 不共线，∴l 不与α平行，也不在α内．又∵a ·u ＝－7≠0，∴l 与α不垂直．故l 与α斜交.一、选择题1．(2013·吉林高二检测)l 1的方向向量为v 1＝(1,2,3)，l 2的方向向量v 2＝(λ，4,6)，若l 1∥l 2，则λ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】 ∵l 1∥l 2，∴v 1∥v 2，则1λ＝24，∴λ＝2.【答案】 B2．(2013·青岛高二检测)若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( ) A ．相交B ．平行C ．在平面内D ．平行或在平面内【解析】 ∵AB →＝λCD →＋μCE →，∴AB →、CD →、CE →共面，则AB 与平面CDE 的位置关系是平行或在平面内．【答案】 D3．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1,1)B ．(1,3，32)C ．(1，－3，32)D ．(－1,3，－32)【解析】对于B ，AP →＝(－1,4，－12)，则n ·AP →＝(3,1,2)·(－1,4，－12)＝0，∴n ⊥AP →，则点P (1,3，32)在平面α内．【答案】 B4．已知A (1,1,0)，B (1,0,1)，C (0,1,1)，则平面ABC 的一个法向量的单位向量是( ) A ．(1,1,1) B ．(33，33，33) C ．(13，13，13)D ．(33，33，－33) 【解析】设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，AB →＝(0，－1,1)，BC →＝(－1,1,0)，AC→＝(－1,0,1)，则⎩⎨⎧AB →·n ＝－y ＋z ＝0BC →·n ＝－x ＋y ＝0AC →·n ＝－x ＋z ＝0∴x ＝y ＝z ，又∵单位向量的模为1，故只有B 正确．【答案】B图3－2－75．如图3－2－7，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则( )①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1； ④A 1M ∥平面D 1PQB 1. 以上正确说法的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 A 1M →＝A 1A →＋AM →＝A 1A →＋12AB →，D 1P →＝D 1D →＋DP →＝A 1A →＋12AB →，∴A 1M →∥D 1P →，所以A 1M ∥D 1P ，由线面平行的判定定理可知，A 1M ∥面DCC 1D 1，A 1M ∥面D 1PQB 1.①③④正确．【答案】 C 二、填空题6．(2013·泰安高二检测)已知直线l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，12，2)，且l ∥α，则m ＝________.【解析】 ∵l ∥α，∴l 的方向向量与α的法向量垂直， ∴(2，m,1)·(1，12，2)＝2＋12m ＋2＝0，∴m ＝－8.【答案】－87．已知A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，点P (x ，－1,3)在平面ABC 内，则x ＝________. 【解析】 AB →＝(－2,2，－2)，AC →＝(－1,6，－8)，AP →＝(x －4，－2,0)，由题意知A 、B 、C 、P 共点共面，∴AP →＝λAB →＋μAC →＝(－2λ，2λ，－2λ)＋(－μ，6μ，－8μ)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2λ＋6μ＝－2－2λ－8μ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－4μ＝1，而x －4＝－2λ－μ，∴x ＝11. 【答案】 118．下列命题中，正确的是________．(填序号)①若n 1，n 2分别是平面α，β的一个法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β； ②若n 1，n 2分别是平面α，β的一个法向量，则α⊥β ⇔n 1·n 2＝0； ③若n 是平面α的一个法向量，a 与平面α共面，则n ·a ＝0； ④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．【解析】 ②③④一定正确，①中两平面有可能重合．【答案】 ②③④ 三、解答题图3－2－89．已知O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为空间的9个点(如图3－2－8所示)，并且OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，OH →＝kOD →，AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →.求证：(1)A 、B 、C 、D 四点共面，E 、F 、G 、H 四点共面； (2)AC →∥EG →； (3)OG →＝kOC →.【解】 (1)由AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →，知A 、B 、C 、D 四点共面，E 、F 、G 、H 四点共面．(2)∵EG →＝EH →＋mEF →＝OH →－OE →＋m (OF →－OE →) ＝k (OD →－OA →)＋km (OB →－OA →)＝kAD →＋kmAB → ＝k (AD →＋mAB →)＝kAC →， ∴AC →∥EG →.(3)由(2)知OG →＝EG →－EO →＝kAC →－kAO →＝k (AC →－AO →)＝kOC →. ∴OG →＝kOC →.10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，DC 的中点，求证：AE →是平面A 1D 1F 的法向量．【证明】设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，E (1,1，12)，D 1(0,0,1)，F (0，12，0)，A 1(1,0,1)，AE →＝(0,1，12)， D 1F →＝(0，12，－1)，A 1D 1→＝(－1,0,0)．∵AE →·D 1F →＝(0,1，12)·(0，12，－1)＝12－12＝0，又AE →·A 1D 1→＝0， ∴AE →⊥D 1F →，AE →⊥A 1D 1→. 又A 1D 1∩D 1F ＝D 1， ∴AE ⊥平面A 1D 1F ，∴AE →是平面A 1D 1F 的法向量．图3－2－911．如图3－2－9，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，证明：直线MN ∥平面OCD .【证明】作AP ⊥CD 于点P .如题图分别以AB 、AP 、AO 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．A (0,0,0)，B (1,0,0)，P (0，22，0)，D (－22，22，0)，O (0,0,2)，M (0,0,1)，N (1－24，24，0).MN →＝(1－24，24，－1)，OP →＝(0，22，－2)，OD →＝(－22，22，－2)．设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·OP →＝0，n ·OD →＝0.即⎩⎨⎧22y －2z ＝0－22x ＋22y －2z ＝0，取z ＝2，则y ＝4，x ＝0，得n ＝(0,4，2)．∵MN →·n ＝(1－24，24，－1)·(0,42)＝0，∴MN ∥平面OCD .(教师用书独具)如图所示，在直角梯形ABCP 中，AP ∥BC ，AP ⊥AB ，AB ＝BC ＝12AP ＝2，D 是AP 的中点，E 、F 、G 分别为PC 、PD 、CB 的中点，将△PCD 沿CD 折起，使得PD ⊥平面ABCD .试用向量方法证明AP ∥平面EFG .【自主解答】如图，以D 为原点，以DA →、DC →、DP →为方向向量建立空间直角坐标系Dxyz ，则有关点及向量的坐标为： P (0,0,2)，C (0,2,0)，G (1,2,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)，A (2,0,0)． AP →＝(－2,0,2)，EF →＝(0，－1,0)，EG →＝(1,1，－1)．设平面EFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝0n ·EG →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －y ＝0x ＋y －z ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝z ，y ＝0.取n ＝(1,0,1)．∵n ·AP →＝1×(－2)＋0×0＋1×2＝0， ∴n ⊥AP →.又AP ⊄平面EFG ，∴AP ∥平面EFG .如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，P A ＝BC ＝12AD ＝1.问：在棱PD 上是否存在一点E ，使得CE ∥平面P AB ？若存在，求出E 点的位置，若不存在，请说明理由．【解】分别以AB 、AD 、AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图．则P (0,0,1)，C (1,1,0)，D (0,2,0), 设E (0，y ，z )，则 PE →＝(0，y ，z －1)， PD →＝(0,2，－1)， ∵PE →∥PD →，∴y (－1)－2(z －1)＝0，①∵AD →＝(0,2,0)是平面P AB 的法向量， CE →＝(－1，y －1，z )， ∴由CE ∥平面P AB, 可得CE →⊥AD →. ∴(－1，y －1，z )·(0,2,0)＝2(y －1)＝0. ∴y ＝1，代入①式得z ＝12.∴E 是PD 的中点，即存在点E 为PD 中点时，CE ∥平面P AB .。

高中数学人教版A版2-1学案：3.2 第1课时空间向量与平行关系

第1课时空间向量与平行关系［学习目标］1。

理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行问题。

2.会用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系．知识点一直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量能平移到直线上的非零向量，叫做直线的一个方向向量平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量n,则向量n叫做平面α的法向量知识点二空间平行关系的向量表示（1）线线平行设直线l,m的方向向量分别为a＝（a1,b1，c1)，b＝（a2，b2,c2)，则l∥m⇔a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2（λ∈R)．（2）线面平行设直线l的方向向量为a＝（a1，b1,c1)，平面α的法向量为u＝（a2，b2,c2),则l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0。

(3)面面平行设平面α,β的法向量分别为u＝（a1,b1，c1）,v＝(a2,b2,c2），则α∥β⇔u∥v⇔u＝λv⇔a1＝λa2,b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．题型一利用方向向量和法向量判定线面、面面的位置关系例1根据下列条件,判断相应的线、面位置关系:(1)直线l1与l2的方向向量分别是a＝（2，3，－1），b＝（－6，－9,3）；(2）直线l1与l2的方向向量分别是a＝（－2,1,4），b＝(6，3，3）；（3)平面α与β的法向量分别是u＝(1，－1，2），v＝错误!;(4）平面α与β的法向量分别是u＝（2，－3，4)，v＝(4,－2，1）；（5)直线l的方向向量，平面α的法向量分别是a＝（0，－8，12)，u＝(0，2,－3)．解（1)∵a＝(2，3，－1），b＝（－6，－9,3），∴a＝－错误!b,∴a∥b，即l1∥l2。

(2)∵a＝（－2，1，4)，b＝(6,3,3），∴a·b≠0且a≠k b(k∈R),∴a，b 既不共线也不垂直，即l1与l2相交或异面．（3）∵u＝(1，－1，2），v＝错误!，∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v,即α⊥β.（4）∵u＝(2，－3,4），v＝(4,－2,1），∴u·v≠0且u≠k v(k∈R）,∴u 与v既不共线也不垂直，即α和β相交但不垂直．（5)∵a＝（0，－8，12)，u＝(0,2，－3)，∴u＝－错误!a，∴u∥a，即l⊥α.反思与感悟(1)两直线的方向向量共线时，两直线平行;否则两直线相交或异面．（2)直线的方向向量与平面的法向量共线时,直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．（3）两个平面的法向量共线（垂直）时，两平面平行(垂直);否则两平面相交但不垂直．跟踪训练1设平面α的法向量为（1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6,k)，若α∥β,则k＝________.答案4解析∵α∥β,∴(1，3，－2）＝λ(－2，－6，k)，∴错误!∴λ＝－错误!，k＝4。

高中数学空间平行关系复习导学案新人教版必修2

必修2第二章§2-5空间平行关系（1）【课前预习】阅读教材P54-57达成下边填空1．直线与平面平行判断定理：（1）定义：，则直线和平面平行（2）判断定理：.，则该直线与此平面平行.图形语言：符号语言为：.2．平面与平面平行判断定理（ 1）定义：（ 2）判断定理：：，则平面和平面平行.，则这两个平面平行.图形语言：符号语言为：.【课初 5 分钟】课前达成以下练习，课前1．已知直线l1、 l 2 ,平面α ,l1∥ l 2 ,5 分钟回答以下问题l1∥α ,那么l2与平面α的关系是（） .A. l1∥α C.l2∥α或l 2B.α D.l2αl 2与α订交2．以下说法（此中a, b 表示直线，表示平面）①若 a∥b， b，则a∥②若 a∥， b∥，则 a∥b③若 a∥b， b∥，则 a∥④若 a∥， b，则a∥ b此中正确说法的个数是（） .个个个个3．以下说法正确的选项是（）.A.一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任一条直线平行B.平行于同一平面的两条直线平行C.假如一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行D.假如一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行4．在以下条件中，可判断平面α与β平行的是（）.A. α、β都平行于直线lB. α内存在不共线的三点到β的距离相等C.l 、m是α内两条直线，且 l ∥β， m∥βD.l 、m是两条异面直线，且 l ∥α， m∥α， l ∥β， m∥β重申（笔录）：【课中 35 分钟】边听边练边落实5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中， E、F 分别为棱 BC、 C1D1的中点.求证：EF∥平面BB1D1D.6．如图，已知P是平行四边形所在平面外一点，M、N分别是的中点ABCD AB、PC（ 1）求证：MN// 平面PAD；（ 2）若MN BC 4，PA 4 3 ，求异面直线PA与 MN所成的角的大小.7．在正方体ABCD— A1B1C1D1中， M、 N、 P 分别是 C1C、 B1C1、 C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面 A1BD.8．直四棱柱 ABCD A1 B1C1D1中，底面ABCD为正方形，边长为2, 侧棱 A1A 3 ，M、N分别为 A1B1、A1D1的中点， E、 F 分别是 B1C1、 C1D1的中点.（ 1）求证：平面AMN∥平面 EFDB；（ 2）求平面与平面的距离 .AMN EFDB重申（笔录）：【课末 5 分钟】知识整理、理解记忆重点1.2.3.4.【课后 15 分钟】自主落实，未懂则问1．已知a，b是两条订交直线，a∥，则A.b∥B. b 与订交b与的地点关系是（） .C. bαD.b∥或b 与订交2．假如平面是（） . A. 平行C. 平行或订交外有两点 A、B，它们到平面B.订交D.AB的距离都是a，则直线AB和平面的地点关系必定3．假如点M是两条异面直线外的一点，则过点A. 只有一个 B.恰有两个C. 或没有，或只有一个 D.有无数个M且与a， b 都平行的平面（）.4．已知a、b、c是三条不重合直线，、、是三个不重合的平面，以下说法中：⑴ a∥ c，b∥ c a∥ b；⑵ a∥ ，b∥a∥b；⑶ c∥， c∥∥；⑷∥，∥∥；⑸ a∥c，∥ c a∥；⑹ a∥ ，∥a∥.此中正确的说法挨次是.5．P是平行四边形ABCD所在平面外一点， E为 PB的中点， O为 AC，BD的交点.（1）求证：EO‖平面PCD；（2）图中EO还与哪个平面平行？6．已知四棱锥P-ABCD中,底面 ABCD为平行四边形.点 M、N、Q分别在 PA、BD、PD上,且PM： MA=BN： ND=PQ： QD.求证：面 MNQ∥面 PBC.PQMCDNB A。

第1课时空间向量与平行关系

用向量的方法证明空间中的平行关系导学案一、复习1.直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线___________的向量． 2.平面的法向量直线l ⊥α，取直线l 的___________，则a叫做平面α的法向量．二、探究与总结空间平行关系的向量表示 (1)线线平行设直线l ，m 的方向向量分别为()()111222,,,,,a a b c b a b c，则l ∥m ⇔→a→b ⇔__________ ⇔ __________(2)线面平行设直线l 的方向向量为()111,,,a a b c 平面α的法向量为()222,,u a b c，则l α∥⇔→a →u ⇔________⇔ ___________________ ．(3)面面平行设平面,αβ的法向量分别为()1111,,n a b c ，()2222,,n a b c则αβ∥⇔1n →→2n ⇔________⇔ __________________________ ()R λ∈空间垂直关系的向量表示 (1)线线垂直设直线l ，m 的方向向量分别为()()111222,,,,,a a b c b a b c，则l ⊥m ⇔→a→b ⇔__________ ⇔ __________设直线l 的方向向量为()111,,,a a b c 平面α的法向量为()222,,u a b c，则l α⊥⇔→a→u ⇔________⇔ ___________________ ．al mbabuaamll(3)面面垂直设平面,αβ的法向量分别为()1111,,n a b c ，()2222,,n a b c则αβ⊥⇔1n →→2n ⇔________⇔ __________________________三、应用(1)设,a b分别是不重合的直线12,l l 的方向向量，根据下列条件判断12,l l 的位置关系：①a ＝(4，6，－2)，b＝(－2，－3，1)； ②a ＝(5，0，2)，b＝(0，1，0)；(2)设,u v分别是不同的平面,αβ的法向量，根据下列条件判断,αβ的位置关系；①()11,1,2,3,2,2u v ⎛⎫--- ⎪⎝⎭②u ＝(3，0，0)，v＝(－2，0，0)；(3)设u 是平面α的法向量，a是直线l 的方向向量，根据下列条件判断平面α与l 的位置关系； ①u ＝(2，2，－1)，a＝(－6，8，4)； ②u ＝(2，－3，0)，a＝(8，－12，0)．知识点一求平面的法向量已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，DC 的中点，求证： AE是平面A 1D 1F的法向量.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点，求证：B 1C ∥平面ODC 1.四、典题训练例.已知正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是11BB DD 、的中点，求证： (1)1FC ∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面11B C F .拓展练习：已知正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是1111BC CC C D AA 、、、的中点，求证：(1) BF//H D 1 (2) EG//面B D 1 (3)面BDF// 面11B D H在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，试在棱BB 1上找一点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1.在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1C ⊥A 1B.求证：AC 1⊥A 1B.求平面法向量的坐标步骤：一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解：得到x 、y 、z 的关系式，取其中一个为非零值（常取1±），得到平面的一个法向量。

高中数学2-6 空间平行关系(2) 导学案

必修2 第二章§2-6 空间平行关系（2）【课前预习】阅读教材P58-61完成下面填空1．直线与平面平行性质定理：性质定理：一条直线与一个平面平行，.图形语言：符号语言为： .2．平面与平面平行性质定理：xKb 1.C om（1）性质定理： .图形语言：符号语言为： .（2）其它性质：①//,//l l αβαβ⊂⇒；②//,l l αβαβ⊥⇒⊥；③夹在平行平面间的平行线段相等.【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题1．已知直线l //平面α，m 为平面α内任一直线，则直线l 与直线m 的位置关系是（）. A. 平行 B. 异面C. 相交D. 平行或异面2．下列说法错误的是（）A.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的平行.B.平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面C. 若直线a 、b 均平行于平面α，则a 与b 平行D. 夹在两个平行平面间的平行线段相等3．下列说法正确的是（）.A. 如果两个平面有三个公共点，那么它们重合B. 过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行C. 在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行D. 如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行4．下列说法正确的是（）.A. 过直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行B. 经过两条平行线中一条有且只有一个平面与另一条直线平行C. 经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行D. 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行强调（笔记）：X k B 1 . c o m【课中35分钟】边听边练边落实5．经过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱BB 1作一平面交平面AA 1D 1D 于E 1E ，求证：E 1E ∥B 1B6．已知正三棱柱的棱长都是a ，过底面一边和上、下底面中心连线的中点作截面，求此截面的面积..7．如图，设平面α//平面β，AB 、CD 是两异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且A 、C ∈α，B 、D ∈β. 求证：MN//α.β α_ N _ M _ D _ B _ C _ Aαβ，直线AB，CA交于点S，A，C在平面α内，B，D在平面β内，且8．已知平面//线段AS=2cm，BS=4cm，CD=8cm，求线段CS的长度.强调（笔记）：【课末5分钟】知识整理、理解记忆要点新-课-标-第-一-网1.2.3.4.【课后15分钟】自主落实，未懂则问1．梯形ABCD中AB//CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是（）.A. 平行B. 平行和异面C. 平行和相交D. 异面和相交2．如图：已知l是过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线，下列结论错误的是（）.A. D1B1∥lB. BD//平面AD1B1C. l∥平面A1D1B1D. l⊥B1 C13．设不同的直线a,b和不同的平面α，β，γ，给出下列四个说法：①a∥α，b∥α，则a∥b；② a ∥α, a ∥β, 则α∥β；③α∥γ，β∥γ，则α∥β；④ a ∥b ,b ⊂α,则a ∥α.其中说法正确的序号依次是 .4．在正方体''''ABCD A B C D -中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是（）.A. '''BDC B D C 与B. '''A BC ACD 与C. '''B D D BDA 与D. '''A DC AD C 与5．已知在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，点E 、F 在PC 上，且PE ：EF ：FC=1：1：1，问在PB 上是否存在一点M ，使平面AEM ∥平面BFD ，并请说明理由。

教案空间向量与平行关系

课题：空间向量与平行关系教学目标：1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行问题．2.能用向量语言表述线线，线面，面面的平行关系.教材分析：1.求直线的方向向量，平面的法向量．(重点)2.用方向向量，法向量处理线线、线面、面面间的平行关系．(重点、难点)教学过程：一，导入1．直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线或的向量．2．平面的法向量直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的．二，练习巩固：1．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则()A．l∥αB．l⊂αC．l⊥αD．l⊂α或l∥α2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝()A．2 B．－4C．4 D．－23．已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.4．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、M、N分别是BC、AE、CD1的中点，AD＝AA1＝a，AB ＝2a.求证：MN∥平面ADD1A1.三．例题题型一由直线的方向向量与平面的法向量判断平行关系(1)设a，b分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，根据下列条件判断l1，l2的位置关系：①a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)②a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)③a＝(－2，－1，－1)，b＝(4，－2，－8)①u ＝(－1,1，－2)，v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12 ②u ＝(3,0,0)，v ＝(－2,0,0) ③u ＝(4,2，－3)，v ＝(1,4，－2)(2)设u ，v 分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系：(3)设u 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，根据下列条件判断α与l 的位置关系： ①u ＝(2,2，－1)，a ＝(－6,8,4)②u ＝(2，－3,0)，a ＝(8，－12,0)③u ＝(1,4,5)，a ＝(－2,4,0)题型二求平面的法向量1 已知平面α经过三点A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，试求平面α的一个法向量．2.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点，分别求平面AED 与平面A 1FD 的法向量．题型三用向量方法证明空间中的平行关系1已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点，求证：(1)FC 1∥平面ADE ；(2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .小结：1．如何认识直线的方向向量？四，空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个方向确定．在直线l 上取A ＝a ，a 可以作为l 的方向向量，借助点A 和a 即可确定直线l 的位置，并能具体表示出直线l 上的任意一点．2．如何理解平面的法向量？(1)平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量．(2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行．3．如何认识直线的方向向量和平面的法向量的作用？(1)可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系．(2)可以利用它们表示直线与平面所成的线面角．(3)可以解决有关线段的长度或点、线、面之间的距离问题．作业。

2018-2019学年人教A版选修2-1 3.2空间向量与平行关系学案

3.2 立体几何中的向量方法第1课时空间向量与平行关系学习目标：1.掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念及求法．(重点)2.熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量的定义直线的方向向量是指和这条直线_平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量的定义直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的法向量．思考：直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？[提示]不唯一，直线的方向向量(平面的法向量) 有无数个，它们分别是共线向量．2．空间中平行关系的向量表示1．思考辨析(1)一个平面的单位法向量是唯一的．()(2)一条直线的方向向量和一个平面的法向量垂直，则这条直线和这个平面平行．()(3)若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交．()[答案](1)×(2)×(3)√2．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A ．(1,2,3)B ．(1,3,2)C ．(2,1,3)D ．(3,2,1)A [→AB＝(2,4,6)＝2(1,2,3)．]3．若直线l 的方向向量a ＝(2,2，－1)，平面α的法向量μ＝(－6,8,4)，则直线l 与平面α的位置关系是________.l ⊂α或l ∥α [∵μ·a ＝－12＋16－4＝0，∴μ⊥a ，∴l ⊂α或l ∥α.][合作探究·攻重难]求平面的法向量ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝21，试建立适当的坐标系．图321(1)求平面ABCD 的一个法向量；(2)求平面SAB 的一个法向量；(3)求平面SCD 的一个法向量．[解] 以点A 为原点，AD 、AB 、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (0,1,0)，C (1,1,0)，D ，0，01，S (0,0,1)．(1)∵SA ⊥平面ABCD ，∴→AS＝(0,0,1)是平面ABCD 的一个法向量．(2)∵AD ⊥AB ，AD ⊥SA ，∴AD ⊥平面SAB ，∴→AD ＝，0，01是平面SAB 的一个法向量．(3)在平面SCD 中，→DC ＝，1，01，→SC＝(1,1，－1)．设平面SCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥→DC ，n ⊥→SC ，所以＝0，SC得方程组x ＋y －z ＝0，x ＋y ＝0，∴z ＝－y ，x ＝－2y ，令y ＝－1，得x ＝2，z ＝1，∴n ＝(2，－1,1)．1．正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱A 1D 1、A 1B 1的中点，在如图322所示的空间直角坐标系中，求：图322(1)平面BDD 1B 1的一个法向量；(2)平面BDEF 的一个法向量．[解] 设正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为2，则D (0,0,0)，B (2,2,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，E (1,0,2)．(1)连接AC (图略)，因为AC ⊥平面BDD 1B 1，所以→AC＝(－2,2,0)为平面BDD 1B 1的一个法向量．(2)→DB ＝(2,2,0)，→DE ＝(1,0,2)．设平面BDEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．∴＝0，DE∴x ＋2z ＝0，2x ＋2y ＝0，∴x.1令x ＝2，得y ＝－2，z ＝－1.∴n ＝(2，－2，－1)即为平面BDEF 的一个法向量.利用空间向量证明线线平行11111和BB 1的中点．求证：四边形AEC 1F 是平行四边形．图323[解] 以点D 为坐标原点，分别以→DA ，→DC ，→DD1为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，E 21，C 1(0,1,1)，F 21，∴→AE ＝21，→FC1＝21，→EC1＝21，→AF ＝21，∴→AE ＝→FC1，→EC1＝→AF ，∴→AE ∥→FC1，→EC1∥→AF ，又∵F /∈AE ，F /∈EC 1，∴AE ∥FC 1，EC 1∥AF ，∴四边形AEC 1F 是平行四边形．2．长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是面对角线B 1D 1，A 1B 上的点，且D 1E ＝2EB 1，BF ＝2F A 1.求证：EF ∥AC 1.[证明] 如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设DA ＝a ，DC ＝b ，DD 1＝c ，则得下列各点的坐标：A (a,0,0)，C 1(0，b ，c )，E b ，c 2，F c 2.∴→FE ＝3c ，→AC1＝(－a ，b ，c )，∴→FE ＝31→AC1. 又FE 与AC 1不共线，∴直线EF ∥AC 1.利用空间向量证明线面、面面平行[在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？提示：可设几何体的棱长为1或a ，再求点的坐标．在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CC 1，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD ．[思路探究][证明] 法一如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，M 21，N ，1，11，于是→DA1＝(1,0,1)，→DB ＝(1,1,0)，→MN ＝21.设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则，DB 即＝x ＋y ＝0，DB 取x ＝1，则y ＝－1，z ＝－1，∴平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)．又→MN ·n ＝21·(1，－1，－1)＝0，∴→MN ⊥n .∴MN ∥平面A 1BD ．法二 →MN ＝→C1N －→C1M ＝21→C1B1－21→C1C ＝21(→D1A1－→D1D )＝21→DA1，∴→MN ∥→DA1，∴MN ∥平面A 1BD ．法三 →MN ＝→C1N －→C1M ＝21→C1B1－21→C1C ＝21→DA －21→A1A ＝21→BA －21→BA ＝21→DB －21→A1B.即→MN 可用→A1B 与→DB 线性表示，故→MN 与→A1B ，→DB 是共面向量，故MN ∥平面A 1BD ．母题探究：1.(变条件)本例中条件不变，试证明平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.[证明] 由例题解析知，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)，则→CD1＝(0，－1,1)，→D1B1＝(1,1,0)，设平面CB 1D 1的法向量为m ＝(x 1，μ1，z 1)，则→D1B1，即＝x1＋y1＝0，D1B1令y 1＝1，可得平面CB 1D 1的一个法向量为m ＝(－1,1,1)，又平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)．所以m ＝－n ，所以m ∥n ，故平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.2．(变条件)若本例换为：在如图324所示的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE ⊥EB ，AD ∥EF ，EF ∥BC ，BC ＝2AD ＝4，EF ＝3，AE ＝BE ＝2，G 是BC 的中点，求证：AB ∥平面DEG .图324[证明] ∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ，∴EF ⊥AE ，EF ⊥BE .又∵AE ⊥EB ，∴EB ，EF ，EA 两两垂直．以点E 为坐标原点，EB ，EF ，EA 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得，A (0,0,2)，B (2,0,0)，C (2,4,0)，F (0,3,0)，D (0,2,2)，G (2，2,0)，∴→ED ＝(0,2,2)，→EG ＝(2,2,0)，→AB ＝(2,0，－2)．设平面DEG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则·n ＝0，EG 即2x ＋2y ＝0，2y ＋2z ＝0，令y ＝1，得z ＝－1，x ＝－1，则n ＝(－1,1，－1)，∴→AB ·n ＝－2＋0＋2＝0，即→AB⊥n .∵AB ⊄平面DEG ，∴AB ∥平面DEG .1．已知向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )，a 与b 分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝215C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝215D [∵l 1∥l 2，∴a ∥b ，∴存在λ∈R ，使a ＝λb ，则有2＝3λ，4＝λx,5＝λy ，∴x ＝6，y ＝215.]2．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3,4)，B (9,2,1)，则线段AB 与坐标平面( )A ．xOy 平行B ．xOz 平行C ．yOz 平行D ．yOz 相交 C [→AB ＝(0,5，－3)，坐标平面yOz 的一个法向量为n ＝(1,0,0)，因为→AB ·n ＝0，所以→AB⊥n .故线段AB 与坐标平面yOz 平行．]3．已知直线l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为，21，且l ∥α，则m ＝________.－8 [∵l ∥α，∴l 的方向向量与α的法向量垂直．∴(2，m,1)×，21＝2＋21m ＋2＝0.解得m ＝－8.]4．在长方体OAEBO 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2P A 1，点S 在棱BB 1上，且SB 1＝2BS ，点Q ，R 分别是棱O 1B 1，AE 的中点．求证：PQ ∥RS .[解] 如图，建立空间直角坐标系，则A (3,0,0)，B (0,4,0)，O 1(0,0,2)，A 1(3,0,2)，B 1(0,4,2)，E (3,4,0)．易求得P 34，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S 32，于是→PQ ＝32，→RS ＝32.∴→PQ ＝→RS ，∴→PQ ∥→RS .∵R /∈PQ ，∴PQ ∥RS .。

12.空间向量与平行关系导学案(原卷版)

1.4.1.1空间向量与平行关系导学案【学习目标】1.了解空间中点、直线和平面的向量表示2.掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念及求法3.熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系【自主学习】知识点一空间中点、直线和平面的向量表示知识点二直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量的定义直线的方向向量是指和这条直线_的非零向量，一条直线的方向向量有个．(2)平面的法向量的定义直线l⊥α，取直线l的a，则向量a叫做平面α的法向量．知识点三间中平行关系的向量表示【合作探究】探究一求平面的法向量【例1】四边形ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2， AD ＝1.在如图所示的坐标系A xyz 中，分别求平面SCD 和平面SAB 的一个法向量．归纳总结：【练习1】已知三点A (1,0,1)，B (0,1,1)，C (1,1,0)，求平面ABC 的一个法向量．探究二利用空间向量证明线线平行【例2】(1)已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( ) A ．2，12 B ．13，12 C ．－3,2 D ．2,2(2)在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，P ，Q ，R ，S 分别是AA 1，D 1C 1，AB ，CC 1的中点．求证：PQ ∥RS .归纳总结：【练习2】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．探究三利用空间向量证线面、面面平行【例3】在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.归纳总结：【练习3】在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．证明平面A1BD∥平面CB1D1课后作业A 组基础题一、选择题1．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)2．已知平面α和平面β的法向量分别为m ＝(3,1，－5)，n ＝(－6，－2,10)，则( ) A ．α⊥βB ．α∥βC ．α与β相交但不垂直D ．以上都不对3．平面α的法向量u ＝(x,1，－2)，平面β的法向量v ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1-y ，，已知α∥β，则x ＋y ＝( )A ．154B ．174C ．3D ．524．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．()11-1，，B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛2331，， C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛233-1，，D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛23-3-1-，，5.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，以D 为原点建立空间直角坐标系，E 为BB 1的中点，F 为A 1D 1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF 的法向量的是( )A ．(1，－2,4)B ．(－4,1，－2)C ．(2，－2,1)D ．(1,2，－2)二、填空题6．若直线l 的方向向量为a ＝(1，－2,3)，平面α的法向量为n ＝(2，x,0)，若l ∥α，则x 的值等于________．7．已知AB →＝(2,2,1)，AC →＝(4,5,3)，则平面ABC 的单位法向量是________．8．若A ⎪⎭⎫ ⎝⎛819,2,0，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛85,-1,1，C ⎪⎭⎫ ⎝⎛85,1,2-是平面α内的三点，设平面α的法向量 a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________.三、解答题9.如图，已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明：(1)MN∥平面CC1D1D；(2)平面MNP∥平面CC1D1D.10.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点，当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面P AO?B组能力提升一、选择题1.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝2a3，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A．相交B．平行C．垂直D．不能确定2．(多选题)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC 中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列说法中正确的是()A．A1M∥D1PB．A1M∥B1QC．A1M∥平面DCC1D1D．A1M∥平面D1PQB1二、填空题3．(一题两空)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，分别以长方体的两个顶点为始点和终点的向量中：(1)直线AB的方向向量有________个；(2)平面AA1B1B的法向量有________个．14.如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 的中点，点P 在棱AA 1上，且DP ∥平面B 1AE ，则AP 的长为________．三、解答题5.如图，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，P A ＝BC ＝12AD ＝1.问：在棱PD 上是否存在一点E ，使得CE ∥平面P AB ？若存在，求出E 点的位置；若不存在，请说明理由．。

2022年《学案1.4.1空间向量与平行关系》优秀教案

空间向量的应用
用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时空间向量与平行关系
1．空间中点、直线和平面的向量表示
法三：坐标法，建立空间直角坐标系，把直线的方向向量用坐标表示，如m1＝1，1，1，m2＝2，
，2，即证明m1＝λm2，即1＝λ2且1＝λ2且1＝λ2
2
[跟进训练]
2如下图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F 是平行四边形．
[证明]以点D为坐标原点，分别以错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!
错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误! ,1，平面α的法向量为错误!，且∥α，那么m＝________
－8[∵∥α，∴的方向向量与α的法向量垂直．
∴2，m,1×错误!＝2＋错误!m＋2＝0
解得m＝－8]
3．与向量a＝2，－1,3共线的单位向量是________．
错误!或错误![∵|a|＝错误!＝错误!，所以与a共线的方向向量为±错误!2，－1,3＝±错误!，∓错误!，±错误!与向量a共线的方向向量为错误!或错误!]
4．平面α经过三点A1,2,3，B2,0，－1，C3，－2,0，求平面α的一个法向量．
[解]因为A1,2,3，B2,0，－1，C3，－2,0，所以错误!＝1，－2，－4，错误!＝2，－4，－3．设平面α的法向量为n＝，，，那么有错误!即错误!
得＝0，＝2，令＝1，那么＝2，所以平面α的一个法向量为n＝2,1,0．。

空间向量与平行关系导学案

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