立体图形体积的复习(1)

合集下载

立体图形的体积计算复习和整理教学设计

“立体图形的表面积和体积”的整理和复习（天河区员村小学季山）教学内容：立体图形的表面积和体积P132 练习P133－134 5～9教学目标：1、学生在整理、复习的过程中，进一步熟悉立体图形的表面积和体积的内涵，能灵活地计算它们的表面积和体积，加强知识之间的内在联系，将所学知识进一步条理化和系统化。

2、在学生对立体图形的认识和理解的基础上，进一步培养空间观念。

3、让学生在解决实际问题的过程中，感受数学与生活的联系，体会数学的价值，进一步培养学生的合作意识和创新精神。

教学重点灵活运用立体图形的表面积和体积的计算方法解决实际问题。

教学难点沟通立体图形体积计算方法之间的联系。

教具、学具准备课件、多媒体电教设备一套。

教学过程一、回忆旧知，揭示课题1、谈话揭示课题。

昨天我们对立体图形的认识进行了整理和复习，今天将对这些图形的表面积和体积进行整理和复习。

（出示课件立体图形并板书：表面积和体积的整理和复习）2、看到课题，你准备从哪些方面去进行整理和复习。

（板书：意义、计算方法）二、整理复习，形成网络1、立体图形的表面积和体积的意义。

（1）提问：什么是立体图形的表面积？你能举例说明吗？（2）提问：什么是立体图形的体积？你能举例说明吗？（3）教师小结：立体图形的表面积就是指一个立体图形所有的面的面积总和，立体图形的体积就是指一个立体图形所占空间的大小。

2、小组合作，系统整理――立体图形的表面积和体积的计算方法。

（1）独立整理。

刚才我们已经对立体图形的表面积和体积的意义进行了整理。

下面，请同学们拿出题单，用自己喜欢的方式，将对立体图形的计算方法进行整理。

（2）整理好的同学请在小组中说一说你是怎样进行整理的？3、汇报展示，交流评价哪一个同学自愿上讲台展示、汇报你的整理情况。

其余的同学要注意认真地看，仔细地听，待会对他整理情况说说你的看法或者有什么好的建议。

注意计算公式与学生的评价4、归纳总结，升华提高（1）公式推导。

刚才，我们已经对立体图形表面积和体积的计算公式进行了整理。

立体图形的整理与复习

×
圆柱的体积 = 底面积 ×
高
高
V = Sh
考点四、圆柱和圆锥的表面积和体积
圆锥的体积等于与它等底
等高圆柱体积的三分之一。
1
圆锥的体积=
× 底面积×高
3
1
1
Ⅴ圆锥 = Ⅴ圆柱 = Sh
3
3
4．各种立体图形的表面积和体积计算公式：
立体图形
表面积
体积计算公式
长方体
S＝2(ab＋ah＋bh)
V＝abh
这个圆柱的高是(
)dm。
(6)把一个棱长为4 cm的正方体切成棱长为2 cm的小正方
体，可以得到( )个小正方体，表面积增加了( )cm2。
(7)7.02 m3＝(
)m3(
)dm30.75 L＝(
)mL
2．选择。(将正确答案的字母填在括号里)
(2)把棱长为6 cm的正方体削成一个最大的圆锥，这个
圆锥的体积是(
相等的正方形。
上
前
左下后
右
表面积=棱长×棱长×6
S=6²
正方体的表面积
是6个面的面积和。
长方体的体积 = 长×宽×高
h
厘
米
a厘米
V =ɑbh
长方体的体积 = 底面积×高
V = Sh
考点三：长方体和正方体的表面积和体积
体积是物体所占空间的大小。
长方体的体积=长×宽×高
高( )
V=bh
长( )
圆锥是由一个( 底 )面和一个( 侧 )面组成的。圆锥的
底面是一个( 圆 )，侧面是一个( 曲 )面，侧面展开
得到一个( 扇形 )。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆
锥的( 高 )，圆锥有( 1 )条高

高峰龄立体图形体积复习-扬州沙口小学

立体图形体积复习扬州市沙口小学高峰龄教学内容：立体图形体积复习教学目标：1、通过整理立体图形体积公式的推导过程，构建立体图形体积计算的联系，感悟到事物间存在联系。

2、尝试构建立体图形体积计算模型。

3、在回顾、联系的过程中，培养学生主动思考、探究的能力。

教学过程：一、复习什么出示ppt“立体图形体积复习”。

同学们看到课题，打算从哪些方面进行整理和复习呢？小学阶段我们学过哪些立体图形的体积？（板书贴不同的立体图形）关于这些立体图形的体积，你打算复习些什么呢？（根据学生的回答，整理成以下问题）（板书）1、体积怎样算？2、为什么这样算？3、有什么关系？（【预设：通过复习，我们还要整理出它们间的关系。

】）4、解决问题。

二、体积怎样算。

1、我们先从第一个问题开始。

这些立体图形的体积怎样计算？（板书贴计算公式）同学们对每个立体图形体积计算方法掌握得很好。

三、为什么这样算。

1、这些立体图形体积为什么可以这样算？先独立回顾，有什么疑问可以相互间讨论，然后选一个立体图形，汇报体积计算推导的过程。

2、按学生的汇报呈现ppt。

（尽可能学生说，教师仅补充）【预设1】长方体的体积（ppt图）把5个1立方厘米的正方体摆成一排，组成长方体，可以看出这个长方体的体积是多少吗？这个长方体有5个1立方厘米方块组成，体积就是5立方厘米。

（ppt图）现在每层摆4排，摆了3层，组成长方体，你知道这个长方体的体积是多少吗？怎么想的？（ppt）每排个数×排数×层数算出长方体中有多少个体积单位，得到长方体体积的计算方法（ppt）体积=长×宽×高用字母表示可以写成V=abh【如学生提出底面积×高，理解ab的积就是底面面积】【预设2】正方体的体积（ppt图）运用长方体体积计算的经验，可以通过拼搭正方体得到体积计算方法。

还可以通过正方体每条棱都相等的特征，得到体积计算方法棱长×棱长×棱长，用字母表示可以写成V=a3【预设3】圆柱的体积把圆柱转化成长方体。

空间立体体积的计算方法(1)

数学积分求体积方法概述摘要：定积分在大学数学学习及应用中起着非常重要的作用，一直以来定积分问题就是大学数学学习的重点，也是本科及研究生入学考试重点考察的内容之一，在我们的生活中起着很重要的作用！空间立体体积的计算在日常生活和学习中是十分重要的,对于规则的立体,中学里已有一些求解公式,对于不规则的立体,则需要用高等数学积分法加以解决。

本文总结了几种常见的利用积分求立体体积的方法及案例,通过所学积分学知识建立了更为普遍的立体体积的求解方法和计算公式,同时也介绍了相关的物理方法,并从具体的例题入手充分挖掘了空间立体体积计算的一些思想和方法。

关键词：积分; 空间立体体积; 积分区域; 被积函数引言空间立体体积的计算是生活中常见的问题,对于规则的空间立体体积的计算在中学时就有具体的计算公式,但对于不规则的空间立体体积则难以计算。

本文就主要针对各种形状的空间立体研究计算其体积的简便方法。

其实很多文献对空间立体体积的计算问题都进行了讨论,文献[1]就基本上包括了此问题的所有积分计算方法,并给出了相应的计算公式。

文献[2]-[9]分别从不同方面对各种方法进行了细致说明,并对个别特例进行了深入分析,给出了特殊的积分计算方法。

文献[10]则主要是对部分方法做出了总结,并列出了大量相关例题辅助理解。

以上文献充分体现出积分思想在解题中应用广泛,特别是在计算空间立体体积领域。

如果我们能够在积分学的基础上掌握空间立体体积的计算方法,则能使一些复杂的问题简单化,还易让人接受。

所以我们要分析掌握积分法,以便于解决与此相关的各种复杂问题,特别是各种空间立体体积的计算问题。

空间立体体积的计算是高等数学积分法在几何上的主要应用,其主要思想是将体积表示成定积分或重积分,研究空间立体,确定积分区域及被积函数,然后综合考虑立体特征、积分区域及被积函数特点,选择恰当的积分方法,使空间立体体积的计算简单明了。

本文在上述文献的基础上,总结了中学常见的空间立体体积的计算方法。

常用立体图形体积公式

常用的立体图形体积公式：
长方体：V=abc（长方体体积=长×宽×高）
正方体：V=a³（正方体体积=棱长×棱长×棱长）
圆柱（正圆）：V=πr²×h【圆柱（正圆）体积=圆周率×底半径×底半径×高】圆锥（正圆）：V=πr²×h÷3【圆锥（正圆）体积=圆周率×底半径×底半径×高÷3】
角锥：V=rS×h÷3【角锥体积=底面积×高÷3】
柱体：V=sh(柱体体积=底面积×高）
表面积的公式
1、柱体
（1）棱柱
每个面的面积相加
）特殊长方体、正方体（
长方体：S=2(ab+ah+bh)
正方体：S=6a^2
（2）圆柱
S=2πr^2+2πrh
2、锥体
（1）棱锥
每个面的面积相加
（2）圆锥
S=πr^2+πrl
3、台体
（1）棱台
每个面的面积相加
（2）圆台
S=πr^2+πr′ ^2+πrl+πr′ l
4、球
S=4πr^2
提问人的追问2010-03-07 08:00 请问台体是什么呀？？
回答人的补充2010-03-07 09:49。

体积知识点总结

体积知识点总结一、立体几何中的体积在立体几何中，体积是一个基本的概念。

一个立体图形的体积指的是该图形所占据的三维空间的大小。

常见的立体图形包括长方体、正方体、圆柱、圆锥和球体等。

这些图形都有不同的体积计算公式，下面将逐一介绍。

1. 长方体的体积计算公式长方体是一个长、宽、高都不相同的立体图形，其体积可以用以下公式表示：长方体的体积 = 长 × 宽 × 高2. 正方体的体积计算公式正方体是一个长、宽、高相等的立体图形，其体积可以用以下公式表示：正方体的体积 = 边长³3. 圆柱的体积计算公式圆柱是一个底面为圆形的立体图形，其体积可以用以下公式表示：圆柱的体积 = 底面积 × 高其中，底面积指的是圆柱底面的面积，可以用公式πr²表示，其中r为底面的半径。

4. 圆锥的体积计算公式圆锥是一个底面为圆形的立体图形，其体积可以用以下公式表示：圆锥的体积 = 1/3 × 底面积 × 高其中，底面积指的是圆锥底面的面积，可以用公式πr²表示，其中r为底面的半径。

5. 球体的体积计算公式球体是一个半径相等的立体图形，其体积可以用以下公式表示：球体的体积= 4/3 × πr³其中，r为球体的半径。

以上是常见立体图形的体积计算公式，通过这些公式，我们可以方便地计算不同形状的立体图形的体积。

二、单位转换在体积的计算和测量中，我们经常需要进行不同单位之间的转换。

下面将介绍常用的体积单位及其之间的转换关系。

1. 常用的体积单位在国际单位制中，体积的基本单位是立方米(m³)，其他常用的体积单位包括升(L)、立方分米(dm³)、立方厘米(cm³)等。

2. 体积单位之间的转换关系体积单位之间的转换关系如下：1立方米 = 1000升1升 = 1000立方分米1立方分米 = 1000立方厘米通过这些转换关系，我们可以方便地在不同单位之间进行换算。

数学人教版六年级下册立体图形体积的整理和复习

5、判断（1）、圆柱体积是圆锥体积的3倍。（× ）（2）、“做圆柱形通风管需要多少铁皮”是求圆柱的体积。（× ）（3）、一个圆锥的体积是120cm3，与它等底等高的圆柱的体积是360cm3。（ √ ）
本节课你最大的收获是什么？
长方体、正方体、圆柱体、圆锥体的体积相关计算：
V长＝abh V正=a3
知道底面半径和高： v=πr² h 知道底面直径和高： v=π(d÷2)² h 知道底面周长和高：
V=Sh
v=π(c÷π÷2)² h
1 V Sh 锥 3
知道底面半径和高：知道面直径和高：知道底面周长和高：
物体的容积：
仔细观察：盒子的体积与盒子的容积哪个大？
对于同一个容器，它的体积一定比容积大，因为它有厚度。容器的容积计算方法同体积的计算方法一样，但是要从容器的里面量数据。
活动二：尝试运用活动任务：尝试运用回忆整理的知识解决问题。活动流程： 1．自主学习：在演算纸上自己独立解决下列问题。 2．小组讨论：组内交流订正，统一意见。 3．展示分享：一个小组展示并组织其他小组分享。活动要求： 1．组内交流时要说出解题的依据和思路。 2. 组内交流时要记录存在的问题，并进行讨论。
西舍路镇中心完小兰万华
立体图形体积（容积）的整理和复习
长方体
正方体
圆柱
圆锥
活动一：回忆整理活动任务：回忆体积（容积）与哪些知识有关？活动流程： 1．自主学习：回忆整理与体积（容积）相关体积的知识（可以是公式或平时收集的其它知识）。 2．小组讨论：组内交流自己的想法，统一意见。 3．展示分享：一个小组展示并组织其他小组分享。活动要求：补充式发言。
1、计算下列立体图形的体积（单位：cm ) h=8 3 4 5 5

借助GeoGebra 复习立体图形的体积

借助GeoGebra 复习立体图形的体积文|贺慧杰立体图形体积的复习可以借助GeoGebra 几何软件来进行。

一、操作———创作立体图形引导学生回顾已学过的平面图形面积计算方法（图1），进一步思考：如何利用这些平面图形创作出立体图形？学生交流不同的创作方法，如：旋转、累积重叠、拉伸等，最后引导学生运用GeoGebra 的柱体拉伸功能完成小组创作任务（图2）。

图1图2二、交流———区分柱体与锥体1.交流：运用GeoGebra 如何创作这些立体图形？学生一般会说：先画好平面图形，然后拖着平面图形往上笔直拉伸就创作出立体图形了。

2.交流：这个过程什么在变？什么不变？引导学生发现上、下两个底面没有变，底面之间的距离，也就是图形的高三、探讨———柱体的变与不变1.柱体体积与底面积。

图3（出示图3）教师提问：这几个长方体什么没变？什么变了？为什么会变？引导学生发现长方体的高没有变，底面积变大了，因此体积也变大了。

同样的方法依次出示图4、图5、图6引导学生观察并思考：柱体的体积跟什么有关？通过交流，发现在高一样的情况下，柱体底面积越大体积越大。

图4图5图62.柱体体积与高。

出示图7、图8、图9，引导学生发现在底面积相等的情况下，柱体越高体积就越大。

图7图图9四、总结———通用公式通过刚才的活动，学生已经知道这些立体图形的体积跟它的底面积与高有关，引导学生思考：柱体体积如何求？四人小组交流后引导学生通过长方体、正方体、圆柱的体积计算方法“底面积×高”推测出柱体体积计算方法“底面积×高”。

五、拓展———组合底面出示图10、图11，思考：这样的柱体怎样求体积？学生通过独立思考和小组交流得出方法：先把底面积分割成长方形、三角形、平行四边形或者梯形等可以直接计算面积的图形，求出底面积后再乘柱体的高就可以得到柱体的体积。

最后，让学生自己创作稍复杂的柱体并计算体积。

立体图形的体积整理和复习

底面是一个直角三角形，三条边的长分别是3厘米、4厘米、5厘米，高是20厘米
底面是一个直角梯形，其中上底11厘米，下底14厘米，高8厘米，长为16厘米
底面直径8 厘米，高 12厘米
R=30厘米， r=20厘米，长为4米
露一手：计算生活中常见的立体图形的体积。知识要领：（1）明确自己选择的图形是什么立体图形？（2）想一想它是怎样形成的。（3）找出计算体积所需的各个数据，并计算出体积。
5 5
3
o 2
5 S=20
a
a V= a V= a
h
b V= S
h
h S
1
a³
abh
V=Sh
Sh
V=
3
Sh
归纳小结：像长方体、正方体、圆柱体这样的立体图形，它们都有一个共同的特点，就是上下两个底面都是一样的，我们都可以称它们为柱体。
思考：在现实生活中的柱体还会有什么？你能说出它们是怎样形成的吗？
底面是一个直角三角形，三条边的长分别是3厘米、4厘米、5厘米，高是20厘米
底面是一个直角梯形，其中上底11厘米，下底14厘米，高8厘米，长为16厘米
底面直径8 厘米，高 12厘米
R=30厘米， r=20厘米，长为4米
结论：所有的柱体都可以看作是一个平面沿着某一个方向平移而成的。它们的体积都可以用底面积乘高来进行计算。
（1）现有一块长方体锡块，它的长、宽、高分别为8厘米、5厘米、6厘米，现打算把这块锡块熔铸成一个底面积为40平方厘米的圆柱体，求这个圆柱体的高是多少？
（2）水利部门计划在苕溪上一处宽为 100米的地方建造一座防洪大堤，大堤的横截面如右图所示，问：建造这样一座防洪大堤需要多少钢筋混凝土？

五年级奥数-立体图形的体积(含解析)

1.掌握立体图形的体积计算常用公式．2.掌握求不规则立体图形体积的常用方法．本讲立体图形的体积计算，与第七讲的立体图形的表面积，是姐妹篇．对于小学几何而言，立体图形的体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试(比如仁华的入学考试，几乎每年必考)都很重视对立体图形的考查．其中，尤其要以“不规则立体图形的体积”为考查重点．立体图形的体积计算常用公式：立体图形示例体积公式相关要素长方体V abh=V Sh=三要素：a、b、h二要素：S、h正方体3V a=V Sh=一要素：a二要素：S、h 立体图形的体积圆柱体V=Sh二要素：S (或r 、d 、C ) 和h圆锥体V=13Sh 二要素：S 、h不规则形体的体积常用方法：一、化虚为实法二、切片转化法三、先补后去法四、实际操作法五、画图建模法【例 1】 (第五届《小数报》数学竞赛决赛)一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半(如图)．将这个长方体切成12个小长方体，这些小长方体的表面之和为600平方分米．求这个大长方体的体积．【分析】设大长方体的宽(高)为a 分米，则长为2a ，右(左)面积为2a ，其余面的面积为22a ，根据题意， 22222862600a a a ⨯++⨯= 所以225a =，5a =．大长方体的体积2555250=⨯⨯⨯=(立方分米)．［铺垫］ (第十五届“迎春杯”决赛)把一根长2.4米的长方体木料锯成5段(如图)，表面积比原来增加了96平方厘米．这根木料原来的体积是_____立方厘米．2.4米［分析］ 96812÷=(平方厘米)，122402880⨯=(立方厘米)．所以这根木料原来的体积为2880立方厘米．【例 2】 (第九届“祖冲之杯”数学邀请赛)有一个长方体的盒子，从里面量长40厘米，宽12厘米，高7厘米，在这个盒子里放长5厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体木块．最多可放块．【分析】下图表明34⨯的长方形可以填满712⨯的长方形．于是534⨯⨯的长方体可以填满40712⨯⨯的长方体，即盒子中最多可放这种长方体规则立体图形体积的计算44443333340712(534)56⨯⨯÷⨯⨯=(个)．［巩固］ (第九届“迎春杯”数学竞赛决赛)把1个棱长是3厘米的正方体分割成若干个小的正方体，这些小正方体的棱长必须是整厘米数．如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么最少可分割成个小正方体．［分析］因为小正方体的棱长只可能是2厘米或1厘米．必须分割出棱长是2厘米的小正方体才能使数量减少．显然，棱长是3厘米的正方体只能切割出一个棱长为2厘米的小正方体，剩余部分再切割出33322227819⨯⨯-⨯⨯=-=个棱长是1厘米的小正方体，这样总共可以分割成11920+=(个)小正方体．现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是 5厘米的长方体无盖铁皮盒(焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好)，你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米?【分析】如图，在4020⨯的长方形铁皮的四角截去边1030长5厘米的正方形铁皮，然后焊接成长方形无盖铁皮盒．这个铁皮盒的长405530=--=(厘米)．宽205510=--=(厘米)，高5=(厘米)．体积301051500=⨯⨯=(立方厘米)．如图，在4020⨯长方形铁皮的左侧两角上割下边长5厘米的正方形(二块)，紧密焊接到右侧的中间部分，这样做成的无盖铁皮盒的长40535=-=(厘米)，宽205510=--=(厘米)，高5=(厘米)，体积351051750=⨯⨯=(立方厘米)．如图，在4020⨯的长方形铁皮的左右两侧各割下一条宽为5厘米的长方形铁皮(共二块)，分别焊到上、下的中间部分，这样做成的无盖铁皮盒的长40555520=----=(厘米)，宽20=(厘米)，高5=(厘米)，体积202052000=⨯⨯=(立方厘米)．因此，最后一种容积最大．［铺垫］ (第三届“华杯赛”复赛)如图从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2厘米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米？［分析］容器的底面积是(134)(94)45-⨯-=(平方厘米)，高为2厘米，所以容器的体积是，45290⨯=(立方厘米)．【例 3】 (第七届“华杯赛”决赛)用大小相等的无色透明玻璃小正方体和红色玻璃小正方体拼成一个大正方体1111ABCD A B C D -(如图)，大正方体内的对角线1AC ，1BD ，1CA ，1DB 所穿的小正方体都是红D 1C 1B 1A 1DC焊上焊上103520焊上焊上1392色玻璃小正方体，其它部分都是无色透明玻璃小正方体，小红正方体共用了401个，问：无色透明小正方体用了多少个?【分析】 1AC 、1BD ，1CA ，1DB ，四条对角线都穿过在正中央的那个小正方体．除此而外，每条对角线穿过相同的小正方体，所以每条对角线穿过401111014-+=个小正方体这就表明大正方体的每条边由101个小正方体组成．因此大正方体由3101个小正方体组成，其中无色透明的小正方体有310140110303014011029900-=-=．即用了1029900个无色透明的小正方体．【例 4】小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如下图左,从上面看如下图右．那么这个几何体至少用了块木块．【分析】这道题很多同学认为答案是26块．这是受思维定势的影响，认为右图中每一格都要至少放一块．其实，有些格不放，看起来也是这样的．如右图，带阴影的3块不放时，小正方体块数最少，为23块．［拓展］右图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？［分析］正方体只可能有两种：由1个小正方体构成的正方体，有22个；由8个小正方体构成的222⨯⨯的正方体，有4个．所以共有正方体22426+=(个)．由两个小正方体组成的长方体，根据摆放的方向可分为下图所示的上下位、左右位、前后位三种，其中上下位有13个，左右位有13个，前后位有14个，共有13131440++=(个)．【例 5】有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻(有公共面)的积木颜色不同，标A 的为黑色，图中共有黑色积木多少块？【分析】分层来看，如下图(切面平行于纸面)共有黑色积木17块.A不规则立体图形体积的计算［拓展］这个图形，是否能够由112⨯⨯的长方体搭构而成？［分析］每一个112⨯⨯的长方体无论怎么放，都包含了一个黑色正方体和一个白色正方体，而黑色积木有17块，白色积木有15块，所以该图形不能够由112⨯⨯的长方体搭构而成.【例 6】一个酒瓶里面深30cm ，底面内直径是10cm ，瓶里酒深15cm ．把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深25cm ．酒瓶的容积是多少？(π取3)253015【分析】观察前后，酒瓶中酒的总量没变，即瓶中液体体积不变．当酒瓶倒过来时酒深25cm ，因为酒瓶深30cm ，这样所剩空间为高5cm 的圆柱，再加上原来15cm 高的酒即为酒瓶的容积．酒的体积：101015π375π22⨯⨯=瓶中剩余空间的体积1010(3025)π125π22-⨯⨯=酒瓶容积：375π125π500π1500(ml)+==［巩固］输液100毫升，每分钟输2.5毫升．如图，请你观察第12分钟时图中的数据，问：整个吊瓶的容积是多少毫升？［分析］ 100毫升的吊瓶在正放时，液体在100毫升线下方，上方是空的，容积是多少不好算．但倒过来后，变成圆柱体，根据标示的格子就可以算出来．由于每分钟输2.5毫升，12分钟已输液2.51230⨯=(毫升)，因此开始输液时液面应与50毫升的格线平齐，上面空的部分是50毫升的容积．所以整个吊瓶的容积是 10050150+=(毫升)．【例 7】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深10厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米?【分析】 8010(8016)12.5⨯÷-=，因为12.512>，所以此时水已淹没过铁块，8010(8016)1232⨯--⨯=，32800.4÷=，所以现在水深为120.412.4+=厘米［铺垫］一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深8厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米?［分析］根据等积变化原理：用水的体积除以水的底面积就是水的高度．(法1)：808(8016)6406410⨯÷-=÷=(厘米)；(法2)：设水面上升了x 厘米．根据上升部分的体积=浸入水中铁块的体积列方程为：8016(8)x x =+，解得：2x =，8210+=(厘米)． (提问“圆柱高是15厘米”，和“高为12厘米的长方体铁块”这两个条件给的是否多余？)［拓展］一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深13厘米．现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后．现在水深多少厘米?【分析】玻璃杯剩余部分的体积为80(1513)160⨯-=立方厘米，铁块体积为1612192⨯=立方厘米，因为160192<，所以水会溢出玻璃杯，所以现在水深就为玻璃杯的高度15厘米总结铁块放入玻璃杯会出现三种情况①放入铁块后，水深不及铁块高.②放入铁块后，水深比铁块高但未溢出玻璃杯，③水有溢出玻璃杯.小故事教师可以在此穿插一个关于阿基米德测量黄金头冠的体积的故事．一天国王让工匠做了一顶黄金的头冠，不知道工匠有没有掺假，必须知道黄金头冠的体积是多少，可是又没有办法来测量．(如果知道体积，就可以称一下纯黄金相应体积的重量，再称一下黄金头冠的重量，就能知道是否掺假的结果了)于是，国王就把测量头冠体积的任务交给他的大臣阿基米德．(小朋友们，你们能帮阿基米德解决难题吗？)阿基米德苦思冥想不得其解，就连晚上沐浴时还在思考这个问题．当他坐进水桶里，看到水在往外满溢时，突然灵感迸发，大叫一声：“我找到方法了……”，就急忙跑出去告诉别人，大家看到了一个还光着身子的阿基米德．他的方法是：把水桶装满水，当把黄金头冠放进水桶，浸没在水中时，所收集的溢出来的水的体积正是头冠的体积．【例 8】 (武汉明心杯数学挑战赛)如图所示，一个555⨯⨯的立方体，在一个方向上开有115⨯⨯的孔，在另一个方向上开有215⨯⨯的孔，在第三个方向上开有315⨯⨯的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？【分析】求体积：开了315⨯⨯的孔，挖去31515⨯⨯=，开了115⨯⨯的孔，挖去11514⨯⨯-=；开了215⨯⨯的孔，挖去215(22)6⨯⨯-+=，剩余部分的体积是：555(1546)100⨯⨯-++=．(另解)将整个图形切片，如果切面平行于纸面，那么五个切片分别如图：得到总体积为：22412100⨯+=．求表面积：表面积可以看成外部和内部两部分．外部的表面积为55612138⨯⨯-=，内部的面积可以分为前后、左右、上下三个方向，面积分别为()22515121320⨯⨯+⨯-⨯-⨯=、 ()2153513132⨯⨯+⨯-⨯-=、()2151511214⨯⨯+⨯-⨯-=，所以总的表面积为 138203214204+++=．(另解)运用类似于三视图的方法，记录每一方向上的不同位置上的裸露正方形个数：前后方向：32上下方向：30 左右方向：40112211121222211211221122112111111222111111211211211222222222221121122总表面积为()2323040204⨯++=．［巩固］一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方体中相对的两面打通，右图就是抽空的状态．右图中剩下的小正方体有多少个？［分析］解法一：(用“容斥原理”来解)由正面图形抽出的小正方体有5525⨯=个，由侧面图形抽出的小正方体有5525⨯=个，由底面图形抽出的小正方体有4520⨯=个，正面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1221228⨯+⨯+⨯=个，正面图形和底面图形重合抽出的小正方体有13227⨯+⨯=个，底面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1211227⨯+⨯+⨯=个，三个面的图形共同重合抽出的小正方体有4个．根据容斥原理，252520877452++---+=，所以共抽出了52个小正方体．1255273-=，所以右图中剩下的小正方体有73个．注意这里的三者共同抽出的小正方体是4个，必须知道是哪4块，这是最让人头疼的事．但你可以先构造空的两个方向上共同部分的模型，再由第三个方向来穿过“花墙”．这里，化虚为实的思想方法很重要．解法二：(用“切片法”来解) 可以从上到下切五层，得：（1）从上到下五层，如图：（2）或者，从右到左五片，如图：请注意这里的挖空的技巧是：先认一种方向．比如：从上到下的每一层，首先都应该有第一层的空四块的情况，即——如果挖第二层：第(1)步，把中间这些位置的四块挖走如图：第(2)步，把从右向左的两块成线地挖走．(请注意挖通的效果就是成线挖去)，如图：第(3)步，把从前向后的一块(请注意跟第二层有关的只是一块！)挖成线！如图：总结一下“切片法”：全面打洞(例如本题，五层一样)挖块成线(例如本题，在前一次的基层上，一条线一条线地挖)．这里体现的思想方法是：化整为零，有序思考！【例10】如图,已知A 、B 、C 分别是相邻的三条棱的中点．沿三个中点连成一个正三角形，把原来的立方体切掉一角．如果原来的立方体棱长为8，求：⑴切掉的小部分的体积是多少？⑵剩下的大部分的体积是多少？【分析】本题应用相关体积公式．⑴2111244103323V Sh ==⨯⨯⨯=锥⑵3185013V V =-=剩锥⑴教师可以沿三个不相邻的顶点再切一下，求小的图形与大的图形的体积各是多少？小的是：21118885323⨯⨯⨯=;大的是：24263.⑵教师可以提问：去掉一个角上的部分后，它的体积是原立方体体积的几分之几？【例11】如图，是一个正方体，将正方体的A 、C 、B '、D '四个顶点两两连接就构成一个正四面体，已知正方体的边长为3，求正四面体的体积.D′C′B′A′DC BA【分析】这个正四面体可以看作由正方体切掉A '、C '、B 、D 四个角后得到的，如图所示：B C AD′D′D′D′C′B′B′B′B′A′D CCB AA AA所以正四面体的体积1133343332718932⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=-=⎪⎝⎭.【例12】如图是一个四棱锥的展开图，该展开图由正三角形和正方形构成，其中正方形的面积为8平方厘米，那么该四棱锥的体积为多少？【分析】知道四棱锥的底面面积，只要知道四棱锥的高就能求得四棱锥的体积．将四棱锥沿对角线和顶点构成的平面剖开，剖面是一个三角形.该三角形的斜边等于正方形的对角线，直角边等于正方形和等边三角形的边长，所以三角形是一个等腰直角三角形，它的高等于对角线的一半，根据对称性，这条高也等于四棱锥的高.本题，我们要想知道四棱锥的高，如果仅仅通过操作法，可能无法准确得知．我们隆重推出“画图建模法”，比如：请注意在一个正方体中如何作等边三角形，这一经验，会让我们“类比联想”到，如何让四个等边三角形围绕一个正方形，得到四棱锥．另外，这个四棱锥的高正好等于原正方体棱长的一半．根据小正方形面积是8推得，大正方形面积是小正方形的2倍，所以大正方形面积是16，所以大正方体的边长是4．所以小正方体的棱长为2．即四棱锥的高度为2．四棱锥的体积为168233⨯÷=立方厘米．1.(第十一届“迎春杯”)有一个长方体，长是宽的2倍，宽是高的3倍；长的12与高的13之和比宽多1厘米．这个长方体的体积是立方厘米．【分析】长的12即宽，所以高的13就是1厘米，高是3厘米，宽是339⨯=厘米，长是9218⨯=厘米，体积是3918486⨯⨯=(立方厘米)．2. (第六届“华杯赛”决赛口试)某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条(如图所示)在三个方向上的加固．所用尼龙编织条分别为365厘米，405厘米，485厘米．若每个尼龙加固时接头重叠都是5厘米．问这个长方体包装箱的体积是多少立方米?【分析】长方体中高+宽1(3655)1802=-=， ⑴高+长1(4055)2002=-=， ⑵长+宽1(4855)2402=-=， ⑶⑵-⑴：长-宽20=， ⑷ ⑷+⑶：长130=，从而宽110=，代入⑴得高70=．所以长方体体积为701101301001000⨯⨯=(立方厘米) 1.001=(立方米)3. 有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成图示的形状，表面积比原来减少了16平方厘米.求所成形体的体积.【分析】三个小正方体拼接成图中的样子，减少了小正方体的4个侧面正方形的面积，表面积减少了16平方厘米，每个正方形侧面为1644÷=平方厘米，每个正方体棱长为2厘米，三个小正方体体积(即所成形体的体积)是33224⨯=立方厘米.4. 一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10平方厘米，(如下图所示)，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是＿＿＿＿＿＿． 7cm4cm5cm【分析】由已知条件知，第二个图上部空白部分的高为752cm -=，从而水与空着的部分的比为4:22:1=，由图1知水的体积为104⨯，所以总的容积为()4022160÷⨯+=立方厘米．5. 有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字(不同的立方体可以写相同的数字)先将写着2的立方体与写着1的立方体的三个面相邻，再将写着3的立方体写着2的立方体相邻(见左下图)．依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少?高宽长33223323322323111111【分析】第一层如下图，第二层、第三层依次比上面一层每格都多1(见下图)．765434565第三层654323454第二层第一层343212345上面的9个数之和是27，由对称性知，上面、前面、右面的所有数之和都是27．同理，下面的9个数之和是45，下面、左面、后面的所有数之和都是45．所以六个面上所有数之和是(2745)3216+⨯=．6.把一个长方体形状的木料分割成3小块，使这3小块的体积相等．已知这长方体的长为15厘米，宽为12厘米，高为9厘米．分割时要求只能锯两次，如图1就是一种分割线的图．除这种分割的方法外，还可有其他不同的分割方法，请把分割线分别画在图2的各图中．图1图2【分析】分割方法很多，如图3，给出以下9种分割方法：图3。

人教版教科书小学数学六年级下册《立体图形的体积复习》说课稿及教学反思

人教版教科书小学数学六年级下册《立体图形的体积复习》说课稿及教学反思一. 教材分析人教版教科书小学数学六年级下册《立体图形的体积复习》这一课，是对小学阶段立体图形体积知识的回顾和总结。

通过本节课的学习，使学生对立体图形的体积有更深入的理解，提高学生的空间想象能力和抽象思维能力。

本节课的内容包括长方体、正方体、圆柱体和圆锥体的体积计算方法，以及体积单位之间的换算。

二. 学情分析六年级的学生已经掌握了长方体、正方体、圆柱体和圆锥体的体积计算方法，对体积单位之间的换算也有了一定的了解。

但部分学生对立体图形的空间想象能力较弱，对体积计算公式之间的联系和转化还不够熟练。

因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习需求，通过直观的教学手段，帮助学生巩固知识，提高空间想象能力和抽象思维能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：通过复习，使学生熟练掌握长方体、正方体、圆柱体和圆锥体的体积计算方法，以及体积单位之间的换算。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、交流等活动，提高学生的空间想象能力和抽象思维能力。

3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，培养合作意识，使学生在复习过程中体验到成功的喜悦。

四. 说教学重难点1.教学重点：长方体、正方体、圆柱体和圆锥体的体积计算方法，以及体积单位之间的换算。

2.教学难点：体积计算公式之间的联系和转化，以及空间想象能力的培养。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、合作交流、直观演示等教学方法，引导学生主动探究，提高学生的空间想象能力和抽象思维能力。

2.教学手段：利用多媒体课件、立体模型等教学手段，为学生提供丰富的直观信息，帮助学生更好地理解知识。

六. 说教学过程1.导入：通过复习长方体、正方体、圆柱体和圆锥体的体积计算公式，引导学生进入复习状态。

2.新课导入：介绍体积单位之间的换算，如立方米、立方分米、立方厘米等。

3.课堂讲解：讲解长方体、正方体、圆柱体和圆锥体的体积计算方法，以及体积单位之间的换算。

立体图形的表面积和体积的整理和复习

证明几何定理
立体图形的表面积和体积是证明几何定理的重要工具，如利用表面积和体积证明等积定理、等周定理等。
在日常生活中的应用
01
02
03
建筑设计
在建筑设计中，需要计算建筑物的表面积和体积，以确定建筑物的外观、材料用量和建筑成本。
包装设计
在包装设计中，需要计算包装盒的表面积和体积，以确定包装盒的大小、材料用量和运输成本。
工、铸造等。
经济学
在经济学中，立体图形的表面积和体积用于计算资源的分布、利用和优化，如题与解析
基础习题
题目
一个长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm，求其表面积和体积。
题目
一个正方体的棱长为4cm，求其表面积和体积。
题目
一个圆柱体的底面半径为 3cm，高为5cm，求其表面积和体积。
02
立体图形的表面积
表面积的定义与计算方法
定义
立体图形的表面积是指其外部表面的总面积。
计算方法
对于规则的立体图形，如长方体、圆柱体等，可以通过公式直接计算其表面积；对于不规则的立体图形，通常需要将其拆分成若干个规则的立体图形进行计算。
常见立体图形的表面积计算
长方体
圆柱体
圆锥体
球体
长方体的表面积 = 2 × (长×宽 + 长×高 + 宽×
面积和体积。
感谢您的观看
THANKS
04
立体图形的表面积和体积的应用
在几何学中的应用
计算几何形状的面积和体积
立体图形的表面积和体积是几何学中的基本概念，用于计算各种几何形状的面积和体积，如长方体、圆柱体、圆锥体等。
解决几何问题
立体图形的表面积和体积是解决几何问题的关键，如计算几何体的表面积和体积、求几何体的侧面积、求几何体的体积等。

立体图形的体积复习

把一个高10cm的圆柱，切拼成一个近似的长方体后，表面积增加了60平方厘米，圆柱的体积是多少？
10cm 10cm
60÷2=30（cm2） 30÷10=3（cm） 3.1432 10=282.6（cm3）答：圆柱的体积是282.6 cm3。
把一块棱长 10cm的正方体铁块熔铸成一个底面直径是 20cm 的圆锥形铁块。这个圆锥形铁块的高是多少？（得数保留整数）
6厘米
10厘米
5厘米
h=10分米
h=10米
O d=6米
O r=3分米
8厘米 6厘米 10厘米 1、长方体的体积是多少？ 1068=480（cm3）
8厘米 6厘米 6厘米
10厘米 6厘米 1068=480（cm3） 1、长方体的体积是多少？ 2、把它切成最大的正方体，正方体的体积是多少？ 666=216（cm3） 3、把正方体切成最大的圆柱，圆柱的体积是多少？
1.什么叫体积? 物体所占空间的大小叫做物体的体积 2.常见的体积单位有哪些? 立方厘米立方分米立方米
1m380dm3=（1.08）m3 2.3m3=（ 2 ）m3（ 300）dm3 3.立体图形的体积计算公式有哪些?
3cm
1cm3
5cm
５×４×３＝６０长×宽×高＝小正方体的个数（也就是这个长方体的体积）
1、圆柱的底面积是28.26cm2，高10cm； 28.2610=282.6 （cm3）
2、圆柱的底面直径是6cm，高10cm； 3.14（6÷2）210=282.6（cm3） 3、圆柱的底面周长是12.56cm，高10cm； 12.56÷3.14÷2 =2（cm） 3.142210=125.6（cm3） 4、圆柱的侧面积是125.6cm2，高10cm； 125.6÷10=12.56（cm） 3.14（12.56÷3.14÷2）210=125.6（cm3）