江西九江市高中数学第二章概率5离散型随机变量的均值与方差(3)北师大版2-3

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江西省九江市高中数学第二章概率 5 离散型随机变量的均值与方差(2)教案北师大版选修23

5 离散型随机变量的均值与方差一、教学目标：1、知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

2、过程与方法：了解方差公式“D (a ξ+b )= a 2D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。

3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

二、教学重点：离散型随机变量的方差、标准差教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题三、教学方法：讨论交流，探析归纳四、内容分析：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据1x ，2x ，…，n x 中，各数据与它们的平均值x 得差的平方分别是21)(x x -，22)(x x -，…，2)(x x n -，那么[12nS =21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差五、教学过程：（一）、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出5. 分布列:6. 分布列的两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)7.二项分布:ξ～B (n ，p )，并记k n k kn q p C -＝b (k ；n ，p )．8.几何分布： g (k ，p )= 1k qp -，其中k ＝0,1,2,…， p q -=1．9.数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 =ξE+11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望．10. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 11 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 12. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)(；13.若ξB （n,p ），则E ξ=np（二）、探析新课：2. 标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．3.方差的性质：（1）ξξD a b a D 2)(=+；（2）22)(ξξξE E D -=；（3）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p )4.其它：⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛（三）、例题探析：例1、随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差. 解：抛掷散子所得点数X 的分布列为从而123456 3.5666666EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=;2222221111(1 3.5)(2 3.5)(3 3.5)(4 3.5)666611(5 3.5)(6 3.5) 2.9266DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯≈1.71X σ=≈.例2、有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得EX 1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1 = 1400 ,DX 1 = (1200-1400) 2×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3 + (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400)2×0. 1= 40 000 ;EX 2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,DX 2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 ) 2×0.l= 160000 .因为EX 1 =EX 2, DX 1<DX 2，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．（四）、课堂练习：1、设ξ～B(n 、p)且E ξ=12 D ξ=4，求n 、p 2、已知随机变量ξ服从二项分布即ξ~B(6、31)求b (2；6，31) 3、已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ和η，已知ξ和η的分布列如下：（注得分越大，水平越高）试分析甲、乙技术状况。

北师大版高中数学选修2-3第二章概率—_ 第五节《离散型随机变量的均值与方差》ppt

,10), 则可以预计他任意n次射击的
平均环数是 0 P( 0) 1 P( 1) 10 P( 10) 记为 E 我们称
E 为此射手射击所得环数的期望，它刻划了所
得环数随机变量

所取的平均值。
数学期望的定义:
x1 x2 xi xn pn pi P p1 p2 则称 E x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn 为的数学期望或均值，简称为期望.它反映了离散型随

机变量取值的平均水平.
一般地，随机变量的概率分布列为
根据定义可推出下面两个结论:
结论1：若 a b, 则 E aE b ; 结论2：若ξ~B(n，p)，则Eξ= np.
结论1：若 a b, 则 E aE b
P( axi b) P( xi ), i 1, 2, 3
10 －4 P 0.6 0.4 所以E=10×0.6＋(-4) ×0.4=4.4
因为4.4>2, 所以商场应选择在商场外进行促销.
前面，我们认识了数学期望. 数学期望: 一般地，若离散型随机变量 ξ 的概率分布列为
ξ P
x1 p1
x2 … xk p2 … pk
… …
xn pn
则称 E x1 p1 x2 p2 … xk pk … xn pn 为 ξ 的数学期望，简称期望．数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．但有时两个随机变量只用这一个特征量是无法区别他们的。还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行刻画．
解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题个数分别是ξ 和η ,则 ξ ～B(20,0.9),η ～B(20,0.25)，所以Eξ ＝20×0.9＝18， Eη ＝20×0.25＝5．由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5ξ 和5η .这样，他们在测验中的成绩的期望分别是 E(5ξ )＝5Eξ ＝5×18＝90， E(5η )＝5Eη ＝5×5＝25．

高中数学北师大版选修2-3第2章第5节《离散型随机变量的均值》(共31张ppt)

解
用
X
、
1
X
和
2
X
分
3
别
表
示
三
种
方
案
的
损
失
.
于是 , EX 1 3 800(元 ),
EX2 62 000 PX2 62 000 2000 PX2 2000
62 000 0.01 2 000 1 0.01 2 600（元）,
EX3 60 000 PX3 60 000 10 000 PX3 10 000 0 PX3 0
均，这里的权数分别是价格应该为：
，所以混合糖果的合1理, 1 , 1 236
18 1 24 1 36 1 23(元 / kg)
2
3
6
如果混合糖果中每颗糖果的质量都相等，你能解
释权数的含义吗？
这就是我们本节课所要学习的主要内容.
1.理解随机变量均值的概念.（重点） 2.初步学会应用随机变量的均值分析有关随机现象. 3.掌握离散型随机变量均值的求法. (难点）
它表示，在一次的抽取中，3件产品中平均有1.2 件是次品，而 1.2 4 ，相当于10件产品中有4件次品.
3 10
这样，平均数1.2就代表了“取次品问题”中随机变量X的平均取值.
1.均值的概念
设随机变量X的可能取值为a1,a2, …,ar,取ai的概率为 pi(i=1,2,3,…,r) ,即X的分布列为：
实例分析
高二（1）班有45人，本学期期中考试数学平均
分为80分，高二（2）班有55人，平均分为90分，求两班的数学平均分。问题1：能否利用两个平均数相加除以二求平均数？如果不能，应该怎么做？
分析：两个平均数相加除以二显然不合适,可通过

高中数学第2章概率5离散型随机变量的均值与方差第1课时离散型随机变量的均值课件北师大版选修2_3

x(0≤x≤0.29)．
依题意，EX≥4.73，即 4.76－x≥4.73，
解得 x≤0.03，所以三等品率最多为 3%.
1．实际问题中的均值问题均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计．
0.2
Eη＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元)．
1．求随机变量的数学期望的方法步骤： (1)写出随机变量所有可能的取值． (2)计算随机变量取每一个值对应的概率． (3)写出分布列，求出数学期望．
2．离散型随机变量均值的性质 (1)Ec＝c(c 为常数)； (2)E(aX＋b)＝aEX＋b(a，b 为常数)； (3)E(aX1＋bX2)＝aEX1＋bEX2(a，b 为常数).
4．已知 X～B100，12，则 E(2X＋3)＝________. 103 [EX＝100×12＝50，E(2X＋3)＝2EX＋3＝103.]
5．某运动员投篮投中的概率 P＝0.6.
(1)求一次投篮时投中次数 ξ 的均值；
(2)求重复 5 次投篮时投中次数 η 的均值．
[解] (1)ξ 的分布列为：
2．均值的性质 (1)若 X 为常数 C，则 EX＝_C_. (2)若 Y＝aX＋b，其中 a，b 为常数，则 Y 也是随机变量，且 EY ＝E(aX＋b)＝__a_E_X_＋__b___.
(3)常见的离散型随机变量的均值
分布名称
参数
超几何分布
N，M，n
二项分布
n，p
均值 M nN
_n_p__
思考：两点分布与二项分布有什么关系？
[母题探究 1] 本例条件不变，若 Y＝2X－3, 求 EY.

高中数学第2章概率5离散型随机变量的均值与方差第1课时离散型随机变量的均值课件北师大版选修2_3

• 所以总费用为30＋60＝90(万元)；
8分
• ④若联合采取甲、乙两种预防措施，
• 则预防措施费用为45＋30＝75(万元)，
• 发生突发事件的概率为(1－0.9)(1－0.85)＝0.015，
• 损失期望值为E4＝400×0.015＝6(万元)， • 所以总费用为75＋6＝81(万元).11分
• 综合①、②、③、④，比较其总费用可知，选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少. 12
【错解】试验次数 ξ 的可能取值为 ξ＝1,2,3， P(ξ＝1)＝23， P(ξ＝2)＝13×23＝29，
P(ξ＝3)＝13×13×23＝227，
所以 ξ 的概率分布为：
ξ
1
2
3
P
2 3
2 9
2 27
所以 Eξ＝43.
【错因】上述解答错误的主要原因是没有明确随机变量 ξ 取值的意义，ξ＝1 表示第一次试验就成功，ξ＝2 表示第一次失败，第二次成功，由于实验最多进行 3 次，所以 ξ＝3 表示前两次失败，第三次可能成功也可能失败．
为46×46＝49，故至少出现 4 点或 5 点的概率为 1－49＝59，
∴X～B10，59.∴EX＝10×59＝590.
答案：
50 9
4．某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 ξ 表示，据统计，随机变量 ξ 的概率分布如下表：
ξ 0 1 23 P 0.1 0.3 2a a (1)求 a 的值和 ξ 的数学期望； (2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率．
a
，
则 EX＝( )
A．
4 5
B．
1 2

高中数学第二章概率5离散型随机变量的均值与方差3教案北师大版选修2

2、过程与方法：了解方差公式“D (a ξ+b )=a 2D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。

3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

二、教学重点：离散型随机变量的方差、标准差教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：1. 方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么, ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．2. 标准差: ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．3.方差的性质：（1）ξξD a b a D 2)(=+；（2）22)(ξξξE E D -=；（3）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p )4.其它：⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛（二）、例题探析例1．设随机变量ξ的分布列为求D ξ 解：（略）12n E ξ+=, 2n -1D 12ξ= 例2．已知离散型随机变量1ξ的概率分布为离散型随机变量2ξ的概率分布为求这两个随机变量期望、均方差与标准差解：47177127111=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ； 471)47(71)42(71)41(2221=⨯-+⋅⋅⋅+⨯-+⨯-=ξD ；211==ξσξD 4713.4718.3717.32=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ；2ξD =0.04, 2.022==ξσξD .1σξ＝2，2σξ=0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差例3．甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平解：180.290.6100.29E ξ=⨯+⨯+⨯=221(89)0.2(99)0.6D ξ=-⨯+-⨯+（10-9）4.02.02=⨯；同理有8.0,922==ξξD E由上可知，21ξξE E =，12D D ξξ<所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些．点评：本题中，1ξ和2ξ所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同．21ξξE E ==9，这时就通过1ξD =0.4和2ξD =0.8来比较1ξ和2ξ的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况例4．A 、B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：问哪一台机床加工质量较好解： E ξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,E ξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.它们的期望相同，再比较它们的方差D ξ1=（0-0. 44）2×0.7+（1-0.44）2×0.2+（2-0.44）2×0.06+（3-0.44）2×0.04=0.6064,D ξ2=（0-0.44）2×0.8+（1-0.44）2×0.06+（2-0.44）2×0.04+（3-0.44）2×0.10=0.9264.∴D ξ1< D ξ2 故A 机床加工较稳定、质量较好. （三）、课堂练习：1 .已知()~,,8, 1.6B n p E D ξξξ==，则,n p 的值分别是（）A ．1000.08和；B ．200.4和；C ．100.2和；D ．100.8和答案：1.D2. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．（四）、小结：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ；④根据方差、标准差的定义求出ξD 、σξ.若ξ～B (n ，p )，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要。

高中数学第2章概率5离散型随机变量的均值与方差第2课时离散型随机变量的方差课件北师大版选修2_3

2．二项分布：若 X～B(n，p)，则 DX＝np(1－p)．上述结论证明如下： ∵X～B(n，p)，令 q＝1－p，则 P(X＝i)＝Cinpiqn－i，
n
n
n
∴EX2＝ i2Cinpiqn－i＝i(i－1)Cinpiqn－i＋iCinpiqn－i
i＝0
i＝2
i＝0
n
＝ i(i－1)Cinpiqn－i＋EX
X1 2 34567
P
1 7
11 1 1 1 1 77 7 7 7 7
离散型随机变量 Y 的概率分布列为
Y 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3
P
1 7
11 1 1 77 7 7
1 7
1 7
求这两个随机变量的均值、方差．
求解．
[边听边记] EX＝1× 17＋2× 17＋…＋7× 17＝4；
方差的实际应用
甲、乙两种水稻在相同条件下各种植100亩，收获的情况如下：
甲：
乙：
试评价哪种水稻的质量较好．
[思路导引] 解答本题应先列出甲、乙两种水稻的概率分布，再求期望与方差．
解析：设甲、乙两种水稻的亩产量分别为 X 和 Y. 则 P(X＝300)＝ 12000＝ 15， P(X＝320)＝ 12050＝ 14， P(X＝330)＝ 14000＝ 25， P(X＝340)＝ 11050＝ 230.
则EX＝0×0.4＋1×0.6＝0.6， DX＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24. (2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，所以EY＝5×0.6＝3，DY＝5×0.6×0.4＝1.2.
课堂互动讲义
求离散型随机变量的方差

高中数学第二章概率 5 离散型随机变量的均值与方差素材北师大版选修2-3

§5 离散型随机变量的均值与方差自主整理1.设随机变量X的可能取值为a1,a2,…,a r,取a i的概率为p i(i=1,2,…,r),即X的分布为P(X=a i)=p i(i=1,2,…,r).则定义X的均值为_________________，即随机变量X的取值a i乘上取值a i的概率P（ X=a i）再求和.X的均值也称作X的数学期望(简称期望),它是一个数,记为_________________,即EX=_________________.均值EX刻画的是X取值的“_________________”，均值能够反映随机变量取值的“_________________”，这是随机变量X的一个重要特征.2.一般地,设X是一个离散型随机变量,我们用_________________来衡量X与EX的平均偏离程度,E(X-EX)2是_________________的期望,并称之为随机变量X的方差,记为_________________.方差越小,则随机变量的取值就越_________________在其均值周围;反之,方差越大,则随机变量的取值就越_________________.高手笔记1.期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均.2.EX是一个实数,由X的分布列唯一确定.即作为随机变量X是可变的,可取不同值,而EX是不变的,它描述X取值的平均状态.3.EX=a1p1+a2p2+…+a r p r直接给出了EX的求法,即随机变量取值与相应概率值分别相乘后再相加.4.∵E(aX+b)=aEX+b,∴随机变量X的线性函数Y=aX+b的期望等于随机变量X的期望的线性函数.此式可有如下几种特殊形式:当b=0时,E(aX)=aEX，此式表明常量与随机变量乘积的数学期望，等于这个常量与随机变量的期望的乘积.当a=1时,E(X+b)=EX+b,此式表明随机变量与常量和的期望,等于随机变量的期望与这个常量的和.当a=0时,E(b)=b,此式表明常量的期望等于这个常量.5.DX表示随机变量X对EX的平均偏离程度,DX越大表明平均偏离程度越大,说明X的取值越分散;反之DX越小,X的取值越集中在EX附近.统计中常用DX来描述X的分散程度(DX称为标准差).6.DX与EX一样也是一个实数,由X的分布列唯一确定.7.要注意:D(aX+b)=a2DX，而易错记为D(aX+b)=aDX+b;D(aX+d)=aDX.名师解惑1.期望和方差有哪些性质?剖析：(1)期望的性质:E(c)=c(c为常数),E(aX+b)=aEX+b.(2)方差的性质:D(c)=0(c为常数),D(aX+b)=a 2DX.(3)期望与方差的联系:DX=EX 2-(EX)2.2.几个常用离散型随机变量的期望与方差的求解公式是什么？剖析：（1）两点分布：设X 服从两点分布X 1 0 P pq则EX=p,DX=pq.（2）超几何分布：设X 服从参数为N ，M,n 的超几何分布，即P(X=k)=nNk n MN k M C C C --(k=0,1,2,…,l=mi n ｛M,n ｝). 则EX=NnM,DX=)1())((2---N N n N M N nM （此公式只作为了解，不要求记忆）. （3）二项分布：设X 服从二项分布B （n,p ）,即 P(X=k)=C kn p k q n-k(k=0,1,2, …,n),则EX=np ，DX=npq.讲练互动【例1】甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等.而两个保护区每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为: 甲保护区:X 1 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2乙保护区:X 2 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4试评价这两个保护区的管理水平. 分析：数学期望仅体现了随机变量取值的平均大小,但有时仅知道均值大小还是不够的,比如:两个随机变量的均值相等了(即数学期望值相等),这就还需要知道随机变量的取值如何在均值周围变化,即计算其方差(或是标准差).方差大说明随机变量取值分散性大;方差小说明取值分散性小,或者说取值比较集中、稳定. 一是要比较一下甲、乙两个保护区内每季度发生的违规事件次数的均值,即数学期望;二是要看发生违规事件的波动情况,即方差值的大小(当然,亦可计算其标准差,同样说明道理). 解：甲保护区的违规次数X 1的数学期望和方差为: EX 1=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3;DX 1=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21. 乙保护区的违规次数X 2的数学期望和方差为： EX 2=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3;DX 2=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41. 因为EX 1=EX 2，DX 1＞DX 2,所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相同的,但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定,而甲保护区的违规事件次数相对分散,波动性较大.绿色通道:期望决定了随机变量的取值的平均水平、集中位置，而方差求的是随机变量的稳定与波动情况.要防止只由期望来评价两者稳定性,而应该进一步考查其方差. 变式训练1.有10张卡片,其中8张标有数字2,两张标有数字5,从中随机地抽取3张卡片,设3张卡片数字和为X,求EX 和DX.解：这3张卡片上的数字之和X 这一随机变量的可能取值为6,9,12.X=6表示取出的3张卡片上标有2,则P(X=6)=15731038=C C .X=9表示取出的3张卡片上两张标有2,一张为5,则P(X=9)=1513101228=C C C . X=12表示取出的3张卡片中的两张为5,一张为2,则P(X=12)=1513102218=C C C . ∴X 的分布列为:X6 9 12P157 157 151 ∴EX=6×157+9×157+12×151=7.8. DX=157×(6-7.8)2+157×(9-7.8)2+151×(12-7.8)2=3.36.2.甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X 与Y ，且X 、Y 的分布列为：X 10 9 8 7 6 5 0 P 0.5 0.2 0.1 0.1 0.05 0.05 0Y 10 9 8 7 6 5 0 P 0.1 0.1 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 计算X 、Y 的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术优劣.解：依题意,有EX=10×0.5+9×0.2+8×0.1+7×0.1+6×0.05+5×0.05+0×0=8.85(环). EY=10×0.1+9×0.1+8×0.1+7×0.1+6×0.2+5×0.2+0×0.2=5.6(环).DX=(10-8.85)2×0.5+(9-8.85)2×0.2+(8-8.85)2×0.1+…+(5-8.85)2×0.05+(0-8.85)2×0=2.227 5.DY=(10-5.6)2×0.1+(9-5.6)2×0.1+(8-5.6)2×0.1+…+(5-5.6)2×0.2+(0-5.6)2×0.2=10.24.所以EX ＞EY ，说明甲的平均水平比乙高.又因为DX ＜DY ，说明甲射中的环数比较集中、稳定;而乙射中的环数分散较大，技术波动较大，不稳定，所以甲比乙的技术好. 【例2】交5元钱,可以参加一次摸奖,一袋中有同样大小的球10个,其中,有8个标1元钱,2个标有5元钱,摸奖者只能从中任取2个球,他所得奖励是抽2球的钱数之和,求抽将人获利的数学期望.分析：抽到的2个球的钱数之和X 是个随机变量,其中每一个X 取值时所代表的随机事件的概率是容易获得的,但此题所求为另一个随机变量,即参加摸奖者获利Y 的数学期望,X 与Y 关系为Y=X-5,利用公式Y=aX+b,则EY=aEX+b 可获解答.解:设X 为抽到的2球钱数之和.则X 的可能取值如下: X=2抽到2个1元;X=6抽到1个1元,1个5元; X=10抽到2个5元. 所以,由题:P(X=2)=452821028=C C ,P(X=6)=45162101218=CC C ,P(X=10)=45121022=C C , EX=2×4528+6×4516+10×451=45162.又设Y 为抽奖者获利可能值,则Y=X-5,所以获利的期望为EY=EX-5=45162-5=-57=-1.4.绿色通道:本题若直接求摸奖者获利Y 的数学期望较为困难,利用Y=aX+b,及EY=aEX+b 转化为求X 的数学期望使问题得到了简化. 变式训练3.NBA 总决赛采用7场4胜制,即若某队先胜4场则比赛结束.由于NBA 有特殊的政策和规则能进入决赛的球队实力都较强,因此可以认为,两个队在每一场比赛中取胜的概率相等.根据不完全统计,主办一场决赛,组织者有望通过出售电视转播权、门票及零售商品、停车费、广告费等收入获取收益2 000万美元(相当于篮球巨星乔丹的年薪).求: (1)所需比赛场数的分布列; (2)组织者收益的数学期望.解：所需比赛场数X 是随机变量,其取值为4,5,6,7,｛X=k ｝,k=4,5,6,7,表示比赛最终获胜队在第k 场获胜后结束比赛,显然在前面k-1场中获胜3场,从而 P(X=k)=C 31-k (21)k-1,k=4,5,6,7. (1)分布列为:X4567P81 41 165 165 (2)所需比赛场数的数学期望为 EX=4×81+5×41+6×165+7×165=1693≈6,组织者收益的数学期望为1693×2 000=11 625万美元.【例3】如图,A 、B 两点之间有6条网线并联,它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4,现从中任取三条线且使每条网线通过最大信息量.(1)设选取的三条网线由A 到B 可通过的信息总量为X,当X≥6时,则保证信息畅通,求线路信息畅通的概率.(2)求选取的三条网线可通过信息总量的期望是多少.分析：先分析X 的所有可能取值,然后求出X 取每一个值的概率,进而列出分布列.解：X 的所有可能取值为4,5,6,7,8,9. 当X=4时，有1+1+2=4,∴P(X=4)=.101361222=C C C 当X=5时，有1+1+3=1+2+2=5,∴P(X=5)=2033622121122=+C C C C C . 当X=6时，有1+1+4=1+2+3=6,∴P(X=6)=41361112121122=+C C C C C C . 当X=7时，有1+2+4=2+2+3=7,∴P(X=7)=41361122111212=+C C C C C C . 当X=8时，有1+3+4=2+2+4=8,∴P(X=8)=203361122111112=+C C C C C C . 当X=9时，有2+3+4=9,∴P（X=9）=10136111112=C C C C . X 4 5 6 7 8 9P101 203 41 41 203 101(1)P(X≥6)=P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)=41+41+203+101=43.(2)线路通过信息量的数学期望EX=4×101+5×203+6×41+7×41+8×203+9×101=6.5.绿色通道:本题求X 的分布列是关键，而求X 取每一个值时的概率综合了排列组合的有关知识.变式训练4.一次考试共有12道选择题,每道选择题有4个选项,其中有且只有一个是正确的.评分标准规定：“每题只选一个选项,答对得5分,不答或答错得零分.”某考生已确定有8道题的答案是正确的,其余题中:有两道题都可判断两个选项是错误的,有一道题可判断一个选项是错误的,还有一道题因不理解题意只好乱猜.请求该考生: (1)得60分的概率;(2)得多少分的可能性最大? (3)所得分数X 的数学期望.解：(1)设“有两道题可判断两个选项是错误的”选对的为事件A ，“有一道题可判断一个选项是错误”选对的为事件B ，“有一道题不理解题意”选对的为事件C ，∴P(A)=21,P(B)=31,P(C)= 41. 所以得60分的概率为p=21×21×31×41=481.（2）得40分的概率为p=21×21×32×43=486;得45分的概率为p=C 12·21×21×32×43+21×21×31×43+21×21×32×41=4817;得50分的概率为 p=21×21×32×43+C 12·21×21×31×43+C 12·21×21×32×41+21×21×31×41=4817;得55分的概率为p=C 12·21×21×31×41+21×21×32×41+21×21×31×43=487. 得45分或50分的可能性最大. (3)EX=486×40+4817×(45+50)+487×55+481×60=12575. 【例4】某广场上空有一排成直线型的4盏装饰灯,晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯,每盏灯出现红灯的概率都是32,出现绿灯的概率都是31.现将这4盏灯依次记为A 1,A 2,A 3,A 4,并令a i =⎩⎨⎧==).4,3,2,1,(0),4,3,2,1,(1i A i A i i 出现绿灯灯出现红灯灯（1）求X=2时的概率；（2）求X 的概率分布列及X 的数学期望EX.分析：因为对于每一个a i (i=1,2,3,4)的值只有两个结果0或1，且每一个a i (i=1,2,3,4)出现1的概率都是32.故随机变量X —B （4，32）. 解:(1)由题意得P(X=2)=C 24(32)2(31)2=278.(2)X 的可能取值为0,1,2,3,4,而P(X=k)=C k4(32)k (31)4-k (k=0,1,2,3,4),∴X 的概率分布列为:X 01234P 811818 278 8132 8116 显然X —B(4,32),∴EX=4×32=38. 绿色通道:当随机变量X 服从二项分布时,其期望可直接利用公式EX=np 求解.变式训练5.某公园有甲、乙两个相邻景点，原拟定甲景点内有2个A 班的同学和2个B 班的同学；乙景点内有2个A 班同学和3个B 班同学，后由于某种原因甲、乙两景点各有一个同学交换景点观光.(1)求甲景点恰有2个A 班同学的概率;(2)求甲景点A 班同学数X 的分布列及期望.解：(1)甲、乙两景点各有一个同学交换后,甲景点恰有2个A 班同学有下面几种情况:①互换的A 班同学,则此时甲景点恰好有2个A 班同学的事件记为A 1,则P(A 1)=5115141212=•C C C C . ②互换的是B 班同学，则此时甲景点恰有2个A 班同学的事件记为A 2，则P(A 2)=10315141312=•C C C C .故P=P(A 1)+P(A 2)=51+103=21. (2)设甲景点内A 班同学数为X ，则X 的分布列为：X 123P10321 51 EX=103×1+21×2+51×3=1019. 教材链接［P 59思考交流］投掷一枚均匀的骰子，只可能出现1点，2点，…,6点,怎样解释这个均值3.5呢?答：当大量重复做投掷骰子试验时,出现点数的算术平均数(均值)应该是3.5.［P 60思考交流］如果采取方案2,或者损失60 000元,或者损失2 000元,怎样解释平均损失2 600元呢?如果采取方案3,有可能一分钱不花,而方案2至少需要花2 000元,如何理解选择方案2平均损失最小呢?答:对于一次试验而言,方案2或者损失60 000元或者损失2 000元,但如果重复这类试验,从平均意义上说,方案2的平均损失为2 600元.对于一次试验而言,方案3有可能一分钱不花,而方案2至少要花费2 000元,但如果此类事件多次重复发生,则方案2的平均损失为2 600元,方案3的平均损失为3 100元,故从这个角度上说,选择方案2的平均损失最小.。

高中数学第2章概率5离散型随机变量的均值与方差(第2课时)离散型随机变量的方差学案北师大版选修2_3

第2课时离散型随机变量的方差1．离散型随机变量的方差和标准差 (1)方差DX ＝E (X －EX )2. (2)2．方差的性质D (aX ＋b )＝a 2DX .3．方差的意义方差可用来衡量X 与EX 的平均偏离程度，方差越小，则随机变量的取值就越集中在其均值周围；方差越大，则随机变量的取值就越分散．1．若随机变量X 服从两点分布，且在一次试验中事件A 发生的概率P ＝0.5，则EX 和DX 分别为( )A ．0.25,0.5B ．0.5,0.75C ．0.5,0.25D ．1,0.75 C [EX ＝0.5，DX ＝0.5×(1－0.5)＝0.25.]2．已知随机变量ξ，D ξ＝19，则ξ的标准差为________．13[ξ的标准差D ξ ＝19＝13.] 3．已知随机变量ξ的分布列如下表：则－13 59 [均值E ξ＝x 1p 1＋x 2p 2＋x 3p 3＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13；方差D ξ＝(x 1－E ξ)2·p 1＋(x 2－E ξ)2·p 2＋(x 3－E ξ)2·p 3＝59.]规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X 的均值和方差．[解] X 可能取值为1,2,3,4,5.P (X ＝1)＝15， P (X ＝2)＝45×14＝15， P (X ＝3)＝45×34×13＝15， P (X ＝4)＝45×34×23×12＝15， P (X ＝5)＝45×34×23×12×1＝15.∴X 的分布列为由定义知，EX DX ＝0.2×(22＋12＋02＋12＋22)＝2.1．求离散型随机变量X 的均值和方差的基本步骤： (1)理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； (2)求X 取每个值时的概率； (3)写X 的分布列； (4)求EX ，DX .2．若随机变量X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )，则EX ＝np ，DX ＝np (1－p )．1．某网站针对某歌唱比赛的歌手A ，B ，C 三人进行网上投票，结果如下：值；(2)若在参加活动的20岁以下的人中，用分层抽样的方法抽取7人作为一个样本，从7人中任意抽取3人，用随机变量X 表示抽取出3人中支持B 的人数，写出X 的分布列，并计算EX ，DX .[解] (1)因为利用分层抽样的方法抽取n 个人时，从“支持A ”的人中抽取了6人，所以6100＋200＝n200＋400＋800＋100＋100＋400，解得n ＝40.(2)X 的所有可能取值为0,1,2，则分布列为所以EX ＝0×7＋1×7＋2×7＝7，DX ＝7×⎝ ⎛⎭⎪⎫0－7＋7×⎝⎛⎭⎪⎫1－7＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－672＝2049.1．A ，B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A 机床12[提示] EX 1＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.EX 2＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.2．在探究1中，由EX 1＝EX 2的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？ [提示] 不能．因为EX 1＝EX 2.3．在探究1中，试想利用什么指标可以比较A，B两台机床加工质量？[提示] 利用样本的方差．方差越小，加工的质量越稳定．【例2】甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．[解] (1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分别为(2)由(1)得：Eξ＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；Eη＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；Dξ＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；Dη＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于Eξ>Eη，Dξ<Dη，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好．利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤(1)比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高.(2)在均值相等的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定.(3)下结论.依据方差的几何意义做出结论.2．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：[解] 甲保护区的违规次数X 的数学期望和方差分别为：EX ＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；DX ＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区的违规次数Y 的数学期望和方差分别为：EY ＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；DY ＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为EX ＝EY ，DX >DY ，所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高．1．随机变量的方差反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度．方差越小，则随机变量的取值越集中在其均值周围；反之，方差越大，则随机变量的取值就越分散．2．随机变量的方差与样本方差的区别：样本方差是随着样本的不同而变化的，因此，它是一个变量，而随机变量的方差是一个常量.1.设随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8， 12，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X 的值等于( ) A ．1 B ．2 C ．12D ．4C [随机变量X 服从二项分布，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X ＝14DX ＝14×8×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12.]2．已知X 的分布列为则DX 等于( ) A ．0.7 B ．0.61 C ．－0.3D ．0B [EX ＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，DX ＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61.]3．已知随机变量X ，D (10X )＝1009，则X 的方差为________．19 [D (10X )＝100DX ＝1009，∴DX ＝19.] 4．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X 1，X 2，已知EX 1＝EX 2，DX 1>DX 2，则自动包装机________的质量较好．乙 [因为EX 1＝EX 2，DX 1>DX 2，故乙包装机的质量稳定．]5．为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设X 为成活沙柳的株数，已知EX ＝4，DX ＝43，求n ，p 的值．[解] 由题意知，X 服从二项分布B (n ，p )，由EX ＝np ＝4，DX ＝np (1－p )＝43，得1－p ＝13，∴p ＝23，n ＝6.。

高中数学第二章概率2.5离散型随机变量的均值与方差课件北师大版选修23

离散型随机变量的方差
【例2】袋中有20个大小、形状、质地相同的球,其中记上0号的有10
个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,ξ表示所取球的标号.
求ξ的分布列、均值和方差.
分析先列出随机变量的分布列,然后根据方差的计算公式进行计算.
第十五页，共36页。
探究(tànjiū)
一
二
探究
(tànjiū)三
思维辨析
反思感悟求离散型随机变量的方差的一般步骤
(1)理解X的意义,写出X可能取的全部值;
(2)求X取每个值的概率;
(3)写出X的分布列(有时题中已给出,有时可以省略);
(4)由均值的定义求EX;
(5)由方差的定义求DX.
第十七页，共36页。
探究
(tànjiū)一
探究
(tànjiū)二
X 2 的分布列为
X2
P
80
60
40
2
3
1
6
1
6
1
2
6
3
1
2
1
DX 2 =(40-60)2 × +(60-60)2 × +(80-60)2 ×
6
3
6
1
6
X 2 的均值为 EX 2 =40× +60× +80× =60,
X 2 的方差为
=
400
.
3
因为两种方案的奖励额的均值都符合要求,但方案 2 奖励额的
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一
二
名师点拨随机变量的分布相同,则它们(tā men)的均值一定相同;有相
同均值的两个分布未必相同;两个不同的分布也可以有相同的均值.从上

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