邱关源电路第五版_第8章 相量法

1 T 2 2 I= ∫0 Im cos ( ωt +Ψ ) dt T T T 1+ cos2 ωt +Ψ ) ( 2 dt Q ∫ cos ( ωt +Ψ ) dt = ∫ 0 0
2 1 1 = t = T 2 0 2
T
Im = 2I
1 2 T Im ∴ I= Im ⋅ = = 0.707Im T 2 2
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模相除 角相减
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例1
解
5∠ +10∠−25 =? 47
o o
式 原 = (3.41+ j3.657) +(9.063− j4.226) o =12.47 − j0.569 =12.48∠−2.61
o
(17 + j9) (4 + j6) 220 ∠ + 35 =? 例2 20+ 20 + j5 o o 27 56 解 原 =180.2+ j .2 +19.24∠ .9 ×7.211∠ .3 126 式 20.62∠ .04o 14 =180.2+ j .2+6.728∠ .16o 126 70
F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 F1±F2=(a1±a2)+j(b1±b2) F1+F2
Im
F1+F2
F2
F1 o 图解法 Re o
F1 Re
-F2 F1-F2
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②乘除运算 —— 采用极坐标式 若 则:
F1=|F1| θ 1 ，F2=|F2| θ 2
F ⋅F = F e ⋅ F e = F F e 1 2 1 2 1 2
=180.2+ j .2+ 2.238 + j6.329 126
=182.5+ j .5 = 225.5∠ 132 36
o
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③旋转因子 复数
ejθ =cosθ +jsinθ =1∠θ
Im F• ejθ
F• ejθ
旋转因子 0
θ
F Re
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特殊旋转因子 特殊旋转因子
+ jF
ψu
ωt ψi ϕ
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特殊相位关系
ϕ =±π (±180 ) ，反相
o
ϕ ＝ 0， 同相
u i o o
u i ωt u
ωt
ϕ= π/2：u 领先 i π/2
i o
ωt
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。 同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
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例
解
计算下列两正弦量的相位差。 计算下列两正弦量的相位差。
工程上说的正弦电压、 电流一般指有效值， ① 工程上说的正弦电压 、 电流一般指有效值 ， 如 设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、 设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、 耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐 耐压值指的是最大值。因此， 压水平时应按最大值考虑。 压水平时应按最大值考虑。
规定： |ϕ | ≤π (180°) 规定：
等于初相位之差
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ϕ >0， u超前 ϕ 角，或i 滞后 u ϕ 角, (u 比 i 先 超前i ， 超前
到达最大值) 到达最大值)；
ϕ <0， i 超前 u ϕ 角，或u 滞后 i ϕ 角, i 比 u 先 ，
到达最大值）。 到达最大值）。 u, i u i o
W0
2
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T
均方根值
I =
def
def
1 T
∫
T
0
i (t )d t
2
定义电压有效值： 定义电压有效值：
1 U= T
设
∫
T
0
u (t ) d t
2
正弦电流、 正弦电流、电压的有效值
i(t)=Imcos(ω t+Ψ )
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优 ①正弦函数是周期函数，其加、减、求导、 正弦函数是周期函数，其加、 求导、 点 积分运算后仍是同频率的正弦函数； 积分运算后仍是同频率的正弦函数；
②正弦信号容易产生、传送和使用。 正弦信号容易产生、传送和使用。
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2.正弦信号是一种基本信号， 2.正弦信号是一种基本信号，任何非正弦周期信 正弦信号是一种基本信号 号可以分解为按正弦规律变化的分量。 号可以分解为按正弦规律变化的分量。
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iu, i 1
角频率 有效值 初相位
i2
i1 i2 ω I2
i1+i2 →i3
ω
I1 o
ω
ωI t
3
i3
Ψ1
Ψ2
Ψ3
同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量， 结论 同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量， 所以，只需确定初相位和有效值。因此采用 所以，只需确定初相位和有效值。 正弦量 复数 变换的思想
是一个正弦量 有物理意义
j(ω t+ ) Ψ
i = 2Icos(ωt +Ψ ) ↔ F(t) = 2Ie
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F(t) 还可以写成
复常数
jψ
F(t) 包含了三要素：I、 Ψ 、ω， 正弦量对 复常数包含了两个要素： 复常数包含了两个要素：Ι , Ψ 。 应的相量
1
i2 (t) = −3cos( π t +300 ) 100
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周期性电流、 4. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变， 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为 了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。 了衡量其平均效果工程上采用有效值来表示。 周期电流、 周期电流、电压有效值定义 物 理 意 义 直流I 直流 R 交流 i R
(3) 初相位ψ
ω = 2π f = 2πT
单位： 弧度/ 单位： rad/s ，弧度/秒
反映正弦量的计时起点，常用角度表示。 反映正弦量的计时起点，常用角度表示。
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同一个正弦量， 计时起点不同， 注意 同一个正弦量 ， 计时起点不同 ， 初相 位不同。 位不同。
i
ψ =0
一般规定：|ψ |≤π 。
jθ
(j = −1 为 数 位 虚 单 )
指数式 o
θ
a 三角函数式 Re
F = F | e = F | (cosθ + j sinθ) = a + jb | |
jθ
F =| F | ejθ =| F | ∠ θ
极坐标式
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几种表示法的关系： 几种表示法的关系：
Im b |F| F
jθ1 jθ2
j(θ1+θ2 )
= F F ∠ 1 +θ2 θ 1 2
jθ1
1
模相乘 角相加
2
F | F | ∠θ1 | F | e | F | j(θ −θ ) 1 1 1 = = = 1 e F | F | ∠θ2 | F | ejθ2 | F | 2 2 2 2 |F| = 1 θ1 −θ2 |F| 2
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3. 正弦量的相量表示
造一个复函数
无物理意义
j(ωt + ) Ψ
F(t) = 2Ie
= 2Icos(ωt +Ψ ) + j 2Isin(ωt +Ψ )
e[ 对 F(t) 取实部 R F(t)] = 2Icos(ω t +Ψ ) = i(t)
结论 任意一个正弦时间函数都
有唯一与其对应的复数函数。 有唯一与其对应的复数函数。
3
100 50 o
i
ψ = ±π 3
π ψ =− 3
3
t t1
由于最大值发生在计时起点右侧
π 10 i(t) =100cos( t − ) 3
当 10 t1 = π 3 有 大 最 值
3
π3 t1 ＝ 3 ＝.047m 1 s 10
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3. 同频率正弦量的相位差
设 u(t)=Umcos(ω t+ψ u), i(t)=Imcos(ω t+ψ i) 相位差 ：ϕ = (ω t+ψ u)- (ω t+ψ i)= ψ u-ψ i
o
ψ ψ =π/2
ωt
ψ =－π/2
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例
解
已知正弦电流波形如图， 已知正弦电流波形如图，ω＝103rad/s， ， 1.写出 表达式；2.求最大值发生的时间 1.写出 i(t) 表达式；2.求最大值发生的时间t1
i(t) =100cos( t +ψ) 10 t = 0→50 =100cos ψ
(1 i1(t) =10cos( πt +3π 4) ) 100 i2(t) =10cos( πt − π 2) 100
结论
两个正弦量 进行相位比 0 (2) iϕt= 3π 4cos(π 2π= +30 > 0 ( ) =10 −(− ) t 5π 4 ) 100 1 较时应满足 0 ϕ =5π 4 − 2t = −3) i2(t) =10sin(100ππ−15 π 4 同频率、 同频率、同 0 (3)i (ti2t(t==cos(100πtt−1050) 函数、同符 u1) =) 10cos(100π +300 ) ) 函数、 ω ( ) 103cos( πt −150 ω ≠ 100 0 2 0 1 2 ϕ =10cos(200π t ) =1200 号，且在主 = −30 −(−150 + 450) u2 (t) ϕ =300 −(−1050) =1350 不能比较相位差 值范围比较。 值范围比较。 (4) i (t) =5cos( π t −300) 100