第1课时 切线的性质定理与判定定理
圆的切线的性质及判定定理
A
O
B
D
练习3 若Rt△ABC内接于⊙O,∠A=30°. 延长斜边AB到D，使BD等于⊙O的半径, 求证：DC是⊙O的切线.
分析:如图
C
300600
. A
300 1200 600 600
O
B
D
练习1.如图A是⊙O外的一点，AO的延长线交 ⊙O于C，直线AB经过⊙O上一点B，且AB＝BC， ∠C＝30°. 求证：直线AB是⊙O的切线.
证明：连结OB,
∵OB=OC,AB=BC,∠C=30°
B
∴∠OBC=∠C=∠A=30° ∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°
C O
A
∴∠ABO=180°－(∠AOB+∠A)
O
l
根据作图,直线l是⊙O切线满足两个条件： A B
1.经过半O的半径 OA⊥l于A
l是⊙O的切线.
定理说明：在此定理中，题设是“经过半径的外端” 和“垂直于这条半径”，结论为“直线是圆的切 线”， 两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线. 下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的切线：
例２ 如图，AB是⊙O的直径, C为⊙O上一点， AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D. 求证： AC平分∠DAB．
证明：连接OC．
∵CD 是⊙O的切线， ∴OC⊥CD.
D C
又∵AD⊥CD , ∴OC//AD. A
∴∠ACO＝ ∠CAD .
O
B
又∵OC=OD, ∴∠CAO＝ ∠ACO
∴∠CAD＝ ∠CAO , 故AC平分∠DAB．
O.
A
l
O.
A
l
B
３．应用：
例１ 如图，AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D，
诏安县第五中学九年级数学下册 第27章 圆27.2 与圆有关的位置关系 3 切线第1课时 切线的性质
3．切线第1课时切线的性质定理与判定定理1．理解切线的性质定理．2．通过学生动手实践，使学生理解切线的判定定理．重点理解切线的判定定理．难点切线的性质定理、判定定理的综合应用．一、创设情境，引入新课当你在下雨天快速转动雨伞(圆)时雨水飞出，让你感受到直线与圆的哪种位置关系？上节课我们学习了直线与圆的三种位置关系．这节课我们来学习切线的判定定理和性质定理．二、探究问题，形成概念探究1：切线的判定定理(1)已知圆O上一点A，怎样根据圆切线的定义，过点A作圆O的切线l？(请你自己动手完成)(2)观察：①圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么数量关系？②二者位置有什么关系？为什么？(3)由此你发现了什么？归纳结论：切线的判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．探究2：切线的性质定理：如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l 是不是一定垂直呢？归纳结论：切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．例1 如图，直线AB经过⊙O上的点A，且AB＝OA，∠OBA＝45°，直线AB是⊙O的切线吗？为什么？例2 如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，∠BAD＝∠B＝30°，边BD交圆于点D，BD是⊙O的切线吗？为什么？分析欲证BD是⊙O的切线，由于BD过圆上点D，若连结OD，则BD过半径OD的外端，因此只需证明BD⊥OD，因OA＝OD，∠BAD＝∠B，易证BD⊥OD.教师板演，给出解答过程及格式．三、练习巩固1．见教材P52例2.2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为( )A．2 cm B．2.4 cmC．3 cm D．4 cm3．如图，Rt△ABC的斜边AB＝8 cm，AC＝4 cm，以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？4．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB＝∠A.(1)CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由；(2)若CD与⊙O相切，且∠D＝30°，BD＝10，求⊙O的半径．四、小结与作业小结1．切线的判定定理是什么？2．切线的性质定理是什么？作业1．布置作业：教材P52“练习”．2．完成同步练习册中本课时的练习．本节课是让学生由图形观察直线与圆的位置关系，从而直观形象地得出直线与圆相切时切线的判定定理和切线的性质定理，教学效果较好．检测内容：5.1～5.2一、选择题(每小题4分，共28分)1．如图所示属于物体在太阳光下形成的影子的图形是( A )2．(2018·眉山)下列立体图形中，主视图是三角形的是(B)3．如图是某物体的三视图，则这个物体的形状是( B )A．四面体 B．直三棱柱C．直四棱柱 D．直五棱柱,第3题图) ,第4题图)4．(2018·本溪)如图是由6个大小相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是(B)5．如图的几何体的俯视图是(B),第5题图) ,第6题图)6．如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗框AB在地面上的影长DE＝1.8 m，窗户下檐到地面的距离BC＝1 m，EC＝1.2 m，那么窗框AB的高为(B)A．1 mB．1.5 mC．3 mD．2.5 m7．(2018·恩施州)由若干个完全相同的小正方体组成一个立体图形，它的左视图和俯视图如图所示，则小正方体的个数不可能是(A)A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题(每小题5分，共20分)8．下图是小红在某天四个时刻看到一根木棒及其影子的情况，那么她看到的先后顺序是__④③①②__．(填序号)9．如图，一根直立于水平地面的木杆AB在灯光下形成影子AC(AC>AB)，当木杆绕点A 按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知AE＝5 m，在旋转过程中，影长的最大值为5 m，最小值为3 m，且影长最大时，木杆与光线垂直，则路灯EF的高度为__7.5__m.10．平面直角坐标系内，一点光源位于A(0，5)处，线段CD⊥x轴，D为垂足，C(4，1)，则CD在x轴上的影长为__1__，点C的影子的坐标为__(5，0)__．11．如图是由若干个棱长为1的小正方体组合而成的一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是__22__.三、解答题(共52分)12．(12分)如图是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，图中的数字表示该位置上小正方体的个数，请画出它的主视图和左视图．解：画图略13．(12分)如图①②分别是两棵树及其在太阳光或路灯下影子的情形． (1)哪个图反映了阳光下的情形，哪个图反映了路灯下的情形？ (2)你是用什么方法判断的？(3)请画出图中表示小丽影长的线段．解：(1)图①反映了阳光下的情形，图②反映了路灯下的情形 (2)太阳光是平行线，物高与影长成正比 (3)如图所示：14．(14分)如图是一个工件的三视图，图中标有尺寸． (1)该工件是怎样的几何体？ (2)该工件的体积是多少？解：(1)该工件是两个圆柱体的组合体(2)17πcm 315．(14分)如图，公路旁有两个高度相等的路灯AB ，CD.数学老师杨柳上午去学校时发现路灯AB 在太阳光下的影子恰好落到里程碑E 处，她自己的影子恰好落在路灯CD 的底部C 处．晚上回家时，站在上午同一个地方，她发现在路灯CD 的灯光下自己的影子恰好落在里程碑E 处．(1)在图中画出杨老师的位置(用线段FG 表示)，并画出光线，标明太阳光、灯光； (2)若杨老师上午去学校时高 1 m 的木棒在太阳光下的影长为 2 m ，杨老师的身高为1.5 m ，她离里程碑E 恰为5 m ，求路灯的高．解：(1)如图(2)∵杨老师上午去学校时高 1 m 的木棒在太阳光下的影长为 2 m ，杨老师的身高为1.5 m ，∴12＝1.5CF，∴CF ＝3 m ，∴杨老师的影长CF 为 3 m ．∵GF ⊥AC ，DC ⊥AC ，∴GF ∥CD ，∴△EGF ∽△EDC ，∴GF CD ＝EF EC ，即1.5CD ＝55＋3，解得CD ＝2.4 m ．故路灯的高为2.4 m第2课时二次函数y=a（x-h）2的图象和性质平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线a值。
圆的切线的性质及判定定理 课件
【典例训练】
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3 cB的关系为( )
(A)相切
(B)相离
(C)相交
(D)无法判断
2.如图所示，CB为⊙O的直径，P是CB的延
长线上一点，且OB=BP，∠AOC=120°，
则PA与⊙O的位置关系是_____.
圆的切线的性质
圆的切线的性质 (1)已知一条直线是圆的切线时,常作出过切点的半径,则该半 径垂直于切线,从而出现了直角. (2)从圆外一点引圆的两条切线,这点与圆心的连线平分这两条 切线的夹角,这点到切点的切线长相等. (3)连接圆的两条平行切线的切点的线段是圆的直径.
【典例训练】 1.如图所示，DB，DC是⊙O的两条切线，A是圆上一点，已知 ∠D=46°，则∠A=_____.
DO AD
AD
2.如图，已知EB是半圆O的直径，A是BE延长线上的一点，AC是 半圆O的切线，D为切点，BC⊥AC于C，若BC=6，AC=8，则 AE=_______.
【解析】1.如图所示，连接OB，OC，
则OB⊥BD，OC⊥CD，
则∠DBO+∠DCO=90°+90°=180°，
则四边形OBDC内接于一个圆，
则有∠BOC=180°-∠D=180°-46°=134°，
【解析】连接OC，∵OA=OB,AC=CB,OC=OC, ∴△OAC≌△OBC, ∴∠OCA=∠OCB=90°, ∴直线AB与⊙O相切. 答案：相切
1.圆的切线的其他相关性质 (1)切线和圆只有一个公共点; (2)切线和圆心的距离等于圆的半径; (3)过圆心且过切点的直线与过该点的切线垂直.
2.切线的判定定理 在切线的判定定理中要分清定理的题设和结论，“经过半径外 端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是 圆的切线，如图①②中的例子就不同时满足这两个条件，所以 都不是圆的切线.
切线的性质定理和判定定理
直线与圆有唯一公共点时，直线与圆 相切。通过证明直线与圆的交点唯一 ，可以判定直线与圆相切。
判定定理2
圆心到直线的距离等于半径时，直线 与圆相切。利用点到直线的距离公式 ，可以计算出圆心到直线的距离，进 而判定直线与圆的位置关系。
结合多种方法解决复杂问题
在解决复杂问题时，可以结合切线性质定理和判定定理，以及其他数学知识如三角函数、相似三角形等，建立方程或不等式 组，逐步求解。
VS
利用直线与圆的公共点的个数来判断。 若直线与圆只有一个公共点，则该直 线为切线；若有两个公共点，则为割 线。
04 判定定理三：切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线
切线的定义
从圆外一点引到圆上的线段 ，如果它的端点在圆上，则 这条线段叫做圆的切线。
切线的性质
圆的切线垂直于过切点的半 径。
切线长的定义
从圆外一点引圆的两条切线 ，它们的切线长分别是从该 点到切点的线段的长度。
它们的切线长相等
切线长定理的表述
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
切线长定理的证明
由于两条切线都垂直于过切点的半径，因此它们与半径构成的直角三角形全等，从而得出切线长相等。
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
01
公共点的存在表明割线与圆有交点， 是判定割线与圆位置关系的重要依据。
割线长度大于切线长度
从圆外一点引两条线，一条是切线，一条是割线，则切线长小于割线长。
切线长是指从圆外一点引到圆上的切线段的长度，而割线长则是指从同一点引到圆上的割线段的长度 。
割线与圆相切判定方法
利用圆心到直线的距离等于半径来判 断。若圆心到直线的距离等于半径， 则该直线为切线；若距离大于半径， 则为割线。
切线性质定理证明过程,证明圆的切线的几种方法
切线性质定理证明过程，证明圆的切线的几种方法切线长度定理:从圆外的一点引向圆的两条切线长度相等，圆心与此点的连线平分两条切线的夹角。
证明圆的切线的性质定理我们大多数情况下用反证法来证明切线的性质定理：假设圆O的切线l与OA不垂直，作OM垂直于l于M，因“垂线段短”，故OA＞OM，即圆心到切线的距离小于半径，这与“切线到圆心的距离等于半径”矛盾，故直线l与圆O一定垂直。
圆的切线的性质切线的主要性质有以下几点：1、切线和圆唯有一个公共点；2、切线和圆心的距离等于圆的半径；3、切线垂直于经过切点的半径；4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心；6、从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项以上内容是圆的切线的性质定理及其证明方法。
掌握和熟悉这一重要内容和核心考点，对考生处理数学几何问题很有帮助。
为此，考生必须努力学习。
连接圆心和切点，按照直线与圆相切的定义，可证切线与过切点的半经垂直证明圆的切线的迅速方式？1、已知条件中直线与圆若有公共点，且存在连接公共点的半径，可直接按照“经过直径的一端,还垂直于这条直径的直线是圆的切线”来证明。
口诀是“见半径，证垂直”。
2、条件中若给出了直线和圆的公共点，但没有给出过这个点的半径，则连结公共点和圆心，然后按照“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这个定理来证明，口诀是“连半径，证垂直”。
3、已知条件若没有给出了直线和圆的公共点，则过圆心向这条直线引垂线，然后按照“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”这个定理来证明，口诀是“作垂直，证半径”。
如何证明圆的切线？切线的判定定理:通过半径外端并垂直于该半径的直线是圆的切线。
切线的性质定理:圆的切线垂直于通过切点的半径。
根据这两个定理，我们可以得到证明圆的切线在大多数情况下的思路。
1、连半径，证垂直2、作垂线，证半径圆如何正切线？相切圆有四种方法:1。
切线的判定与性质
切线的判定与性质【知识要点】1．直线与圆的三种位置关系在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l 和⊙O 是什么关系?2.切线的判定定理：切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．对定理的理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径．注意：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．（如图）3.切线的判定方法判定一条直线是圆的切线的三种方法：(1)定义：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
(2)数量关系：即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线．(3)图形位置关系（判定定理）：．经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同．解题时，灵活选用其中之一。
4.切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
注意：对于切线性质定理的两个推论：①垂直于切线；②经过切点；③经过圆心，知道任意二个就可以推出第三个【典型例题】例1．下列说法正确的是（ ）（1）与直径垂直的直线是圆的切线；（2）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）经过半径外端点的直线是圆的切线；（4）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；（5）经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线．A 、（1）（2）（3）B 、（2）（3）（5）C 、（2）（4）（5）D 、（3）（4）（5）例2．如图所示，PBC 是⊙O 的割线，A 点是⊙O 上一点，且PC PB PA ⋅=2．求证：PA 是⊙O 的切线．例3．如图所示，已知：梯形ABCD 中AB ∥CD ，∠A=︒90，腰BC 是⊙O 的直径，且BC=CD+AB ．求证：AD 和⊙O 相切．例4．如图所示，已知：两个同心圆O 中，大圆的弦AB 、CD 相等，且AB 与小圆相切于点E ．求证：CD 是小圆O 的切线．例5．如图所示，AB 是⊙O 的直径，BC 为弦，C 为弧AD 的中点，过C 作BD 的垂线交BD 的延长线于E 点．求证：CE 与⊙O 相切．例6． 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，AB=8，BC=5，若以AB 为直径为⊙O 与DC 相切于点E ，则DC= 。
切线的判定和性质
（打印3份）圆----切线的性质和判定（11月12）A、知识点、方法归纳总结知能点1：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的识别方法有三种：（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。
（2）和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线辅助线的作法：证明一条直线是圆的切线的常用方法：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来,则得到半径，然后证明直线垂直于这条半径，记为“连半径，证垂直。
”知能点2：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
辅助线的作法：有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径。
记为“见切线，连半径，得垂直。
”中考考点点击：切线的判定和性质在中考中是重点内容，试题题型灵活多样，填空、选择、作图、解答题较多。
B、证明圆的切线方法及例题一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F.求证：EF 与⊙O 相切. 证明：连结OE ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC. 又∵AB=BC ， ∴∠3=∠4.∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE ，OF=OF ， ∴△BOF ≌△EOF （SAS ）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB ⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF 与⊙O 相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD.求证：PA 与⊙O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD ， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB ， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E ， ∴∠1=∠E∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900.⌒ ⌒即OA ⊥PA.∴PA 与⊙O 相切.说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 变式练习： 如图，AB=AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于D ，DM ⊥AC 于M 求证：DM 与⊙O 相切.例3 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上.求证：DC 是⊙O 的切线 证明：连结OC 、BC. ∵OA=OC ， ∴∠A=∠1=∠300. ∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又∵OC=OB ，∴△OBC 是等边三角形. ∴∠CBO=600. OB=BC. ∵OB=BD ， ∴BC=BD.∴∠CDO=300∴∠OCD=180°-300-600=900. ∴OC ⊥CD.∴DC 是⊙O 的切线.变式练习：如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例4 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线变式练习： 已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD ，若∠COD=900. 求证：CD 是⊙O 的切线.C 、作业部分1、如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且CO=CD ，则∠PCA=（ ）A ．30° B ．45° C ．60° D ．67.5°2、O ，并使较长边与O 相切于点C .假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点B ，较短边8cm AB .若读得BC 长为cm a ，则用含a 的代数式表示r 为 .3、如图，已知AB 是⊙O 的一条直径，延长AB 至C 点，使得AC=3BC ，CD 与⊙O 相切，切点为D.若CD=3，则线段BC 的长度等于__________.4、如图，已知AB是⊙O的直径，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E．（1）求证：直线CD为⊙O的切线；（2）当AB＝2BE，且CE＝3时，求AD的长．5如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分别为AB、BC上的点．经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F，且D为弧EF的中点．求证：BC与⊙O相切；6、如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，BC ＝OB ，CE 是⊙O 的切线，切点为D ，过点A 作AE ⊥CE ，垂足为E ，求CD ：DE 的值7、如图，AB 是半圆O 的直径，点C 是⊙O 上一点（不与A ，B 重合），连接AC ，BC ，过点O 作OD ∥AC 交BC 于点D ，在OD 的延长线上取一点E ，连接EB ，使∠OEB=∠ABC ． ⑴求证：BE 是⊙O 的切线；⑵若OA=10，BC=16，求BE 的长．EB8、如图，⊙ O经过点B、D、E，BD是⊙ O的直径，∠C＝90°，BE 平分∠ABC. (1)试说明直线AC是⊙ O的切线；(2)当AE＝4，AD＝2时，求⊙ O的半径及BC的长．9、如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦，过点C作CD⊥AB 与点D，将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处，AE交⊙O于点F ,连接OC、(1）求证：CE是⊙O的切线。
切线长定理—知识讲解(提高)
切线长定理—知识讲解（提高）责编：康红梅【学习目标】1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线的判定定理和性质定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.要点诠释：切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.要点二、切线长定理1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.要点三、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：名称 确定方法 图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC ；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA 、OB 、OC 分别平分 ∠BAC 、∠ABC 、∠ACB ； (3)内心在三角形内部.【典型例题】类型一、切线长定理1. 如图，等腰三角形ABC 中，6AC BC ==，8AB =．以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF AC ⊥，垂足为F ，交CB 的延长线于点E ．求证：直线EF 是⊙O 的切线.DFGCO B E A【答案与解析】如图，连结OD 、CD ，则90BDC ∠=︒．∴CD AB ⊥． ∵ AC BC =，∴AD BD =． ∴D 是AB 的中点． ∵O 是BC 的中点， ∴DO AC ∥． ∵EF AC ⊥于F ． ∴EF DO ⊥．∴EF 是⊙O 的切线． 【总结升华】连半径，证垂直.举一反三：【变式】已知：如图，在梯形 ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD是⊙O的直径．求证：BC和⊙O相切．【答案】作OE⊥BC，垂足为E，∵ AB∥DC，∠B=90°，∴ OE∥AB∥DC，∵ OA=OD，∴ EB=EC，∴ BC是⊙O的切线．2.已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线．【答案与解析】连接OD．∵ OA=OD，∴∠1=∠2．∵ AD∥OC，∴∠1=∠3，∠2=∠4．因此∠3=∠4．又∵ OB=OD，OC=OC，∴△OBC≌△ODC．∴∠OBC=∠ODC．∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，∴ DC是⊙O的切线．【总结升华】因为AB是直径，BC切⊙O于B，所以BC⊥AB．要证明DC是⊙O的切线，而DC和⊙O 有公共点D，所以可连接OD，只要证明DC⊥OD．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC和△OBC的内角，所以只要证△ODC≌△OBC．这是不难证明的．举一反三：【高清ID号：356967 关联的位置名称（播放点名称）：练习题精讲】【变式】已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作⊙O，交AN于D、E两点，设AD=x，⑴如图⑴当x取何值时，⊙O与AM相切；⑵如图⑵当x为何值时，⊙O与AM相交于B、C两点，且∠BOC=90°．【答案】（1）设AM与⊙O相切于点B，并连接OB，则OB⊥AB；在△AOB中，∠A=30°，则AO=2OB=4，所以AD=AO-OD，即AD=2．x=AD=2.（2）过O点作OG⊥AM于G∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴BC=222，2∴OA=22∴x=AD=22 2类型二、三角形的内切圆3.（2015•西青区二模）已知四边形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．（Ⅰ）如图1，求∠AOD的度数；（Ⅱ）如图1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的长；（Ⅲ）如图2，若F是AD的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO的长．【答案与解析】解：（Ⅰ）∵⊙O为四边形ABCD的内切圆，∴AD、AB、CD为⊙O的切线，∴OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，即∠ODA=∠ADC，∠OAD=∠BAC，∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAC=180°，∴∠ODA+∠OAD=90°，∴∠AOD=90°；（Ⅱ）在Rt△AOD中，∵AO=8cm，DO=6cm，∴AD==10（cm），∵AD切⊙O于E，∴OE⊥AD，∴OE•AD=OD•OA，∴OE==（cm）；（Ⅲ）∵F是AD的中点，∴FO=AD=×10=5（cm）．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理．类型三、与相切有关的计算与证明4.（2016•三明）如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB 于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．【思路点拨】（1）直线DE与圆O相切，理由如下：连接OD，由OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠ODE为直角，即可得证；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，在直角三角形OCE中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的得到x的值，即可确定出DE的长．【答案与解析】解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OD，∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°﹣90°=90°，∴直线DE与⊙O相切；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，∴42+（8﹣x）2=22+x2，解得：x=4.75，则DE=4.75．【总结升华】此题考查了直线与圆的位置关系，以及线段垂直平分线定理，熟练掌握直线与圆相切的性质是解本题的关键．。
切线的性质
切线必须同时满足两条：①经过半径 外端；②垂直于这条半径．
如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A， 那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？
∵ l是⊙O的切线，切点为A
O
l A
∴ l ⊥OA
切线的性质定理：圆的
切线垂直于过切点的半径。
数学语言：
O l A
∵ l是⊙O的切线，切点为A
∴ l ⊥OA
A P
C B
O
如图，已知：在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一 点，以O为圆心，OB为半径的圆交AB于点E，切AC 与点D。求证：DE∥OC
C 证明：连接ＢＤ． ∵∠ＡＢＣ＝９０°，ＯＢ为⊙Ｏ的半径 ∴ＣＢ是⊙Ｏ的切线 ∵ＡC是⊙Ｏ的切线，Ｄ是切点 ∴ＣＤ＝ＣＢ，∠１＝∠２ ∴ＯＣ⊥ＢＤ ∵ＢＥ是⊙Ｏ的直径 ∴∠ＢＤＥ＝９０°，即ＤＥ⊥ＢＤ ∴ＤＥ∥ＯＣ A E D O
勾股（逆）定理 切 线 判 定
∴C(-2,0), P(0,-4) 数据“放入”图中。猜想直线 又∵ D(0,1) OC=2, OP=4 ,OD=1, DP=5 PC 与⊙ D∴ 相切。怎么证？联 又∵在Rt△COD中, CD2=OC2+OD2=4+1=5 想证明切线的两种方法。点 在Rt△COP中, CP2=OC2+OP2=4+16=20 C 在圆上，即证：∠ DCP=90° 在△ CPD中, CD2+CP2=5+20=25, DP2=25 2 2 2 ∴ CD +CP =DP 利用勾股及逆定理可得。
即：△CDP为直角三角形,且∠DCP=90° ∴PC为⊙D的切线.
已知,如图,D(0,1),⊙D交y轴于A、B两点,交x轴负 半轴于C点,过C点的直线:y=－2x－4与y轴交于P. ⑵判断在直线PC上是否存在点E，使得S△EOC= 4S△CDO,若存在，求出点E的坐标；若不存在， 请说明理由.
初中数学切线的性质和判定
图29－3
线的性质和判定
解 析 (1)由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角 定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小； (2)由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得 PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长．
┃ 切线的性质和判定
切线的性质和判定
中考预测
如图 29－6，△ABC 内接于⊙O，∠B＝60°，
CD 是⊙O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点，
且 AP＝AC.
(1)求证：PA 是⊙O 的切线；
(2)若 PD＝ 3，求⊙O 的直径．
图29－6
切线的性质和判定
解
(1)证明：连接 OA, ∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°.
切线的性质和判定
[方法点析] 解三角形内切圆问题，主要是切线长定理的运 用．解决此类问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理或 直角三角形的性质及三角函数等解决．
┃ 切线的性质和判定
回归教材
切线问题中必需的半径
教材母题
如图 29－5，设 AB 是⊙O 的直径，如 果圆上点 D 恰使∠ADC＝∠B，那么直线 CD 与⊙O 相切吗？若相切，请给出证明．
∴S△AOB＝12×AB×OD＝12×10 3×5＝25 3(cm2)．
切线的性质和判定
[方法点析] (1)利用过圆外一点作圆的两条切线，这两条切 线的长相等，是解题的基本方法．(2)利用方程思想求切线长常 与勾股定理，切线长定理，圆的半径相等紧密相连．
切线的性质和判定
探究四 三角形的内切圆
命题角度： 1. 三角形的内切圆的定义； 2. 求三角形的内切圆的半径．
《切线的性质和判定》PPT课件
连接圆心和切点
垂直于
切点
圆心
惟一
半径
垂直于
┃考点聚焦
考点2 切线长及切线长定理
切线长
在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长________，圆心和这一点的连线________两条切线的夹角
基本图形
如图所示，点P是⊙O外一点，PA、PB切⊙O于点A、B，AB交PO于点C，则有如下结论：(1)PA＝PB；(2)∠APO＝∠BPO＝∠OAC＝∠OBC，∠AOP＝∠BOP＝∠CAP＝∠CBP
切线的性质和判定
- .
考点1 圆的切线
切线的性质
圆的切线________过切点的半径
推论
(1)经过圆心且垂直于切线的直线必过________；(2)经过切点且垂直于切线的直线必过________
切线的判定
(1)和圆有________公共点的直线是圆的切线；(2)如果圆心到一条直线的距离等于圆的________，那么这条直线是圆的切线；(3)经过半径的外端并且________这条半径的直线是圆的切线
探究一、圆的切线的性质
┃归类探究
┃归类探究
┃归类探究
命题角度：1．利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条直线是圆的切线；2．利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，判定这条直线是圆的切线．
探究二、圆的切线的判定方法
┃归类探究
┃归类探究
┃归类探究
┃归类探究
命题角度：1．利用切线长定理计算；2．利用切线长定理证明．
相等
平分
┃考点聚焦
考点3 三角形的内切圆
切线的性质及判定
一、切线的性质及判定1．切线的性质2．切线的判定3． 切线长和切线长定理切线的性质及判定（）定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（）注意：这个定理共有三个条件，即一条直线满足：①垂直于切线②过切点③过圆心过圆心，过切点垂直于切线．过圆心，过切点，则．②过圆心，垂直于切线过切点．过圆心，，则过切点．③过切点，垂直于切线过圆心．，过切点，则过圆心．（）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（）距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（）定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注意：定理的题设是①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可；定理的结论是“直线是圆的切线”．因此，证明一条直线是圆的切线有两个思路：①连接半径，证直线与此半径垂直；②作垂直，证垂直在圆上．（）切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．（）证明圆切线辅助线的方法：①若给出直线与圆有公共点：连半径、证垂直；②若没给直线与圆的交点：做垂直、证半径；（）圆中证明角相等的方法：①同角（或等角）余角相等；爱智康2018/06/121122⇒AB AB M AB ⊥l ⇒AB AB ⊥l AB M ⇒AB ⊥l AB M AB 1231212②圆周角定理；③半径相等出等腰三角形；④平行线出同位角或内错角相等；⑤全等或相似三角形中的对应角相等；⑥在同圆或等圆中，等弧或等弦所对的圆周角相等（常见于弧的等分点）。
（）给出圆的切线，作辅助线，连接过切点的半径，则半径垂直于切线．爱智康 2018/06/123。
切线的判定和性质定理_课件
提示：连接AO，DO，作 OE⊥AC 于点E．
E
总结：看到切线，就要连接切点和圆心，利用切线性质．
AB 是 ⊙O 的直径，AE 平分∠BAC 交 ⊙O 于点E，过点 E 作⊙O 的切线交AC 于点D，试判断△AED 的形状，并说明理 由提．示：连接OE．
答案：△AED是直角三角形． 总结：看到切线，就要连接切点和圆心，利用切线性质．
判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法? 有以下三种方法： 1．定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线． 2．数量法（d=r）：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆 的切线． 3．判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的 切线．
生活中的切线
1．当你在下雨天快速转
2．砂轮打磨零件时
知识回顾 直线和圆的位置关系
相交
图形
公共点个数 公共点名称 直线名称 距离d与半径r的关系
2个 交点 割线 d＜r
相切
相离
1个 切点 切线 d=r
0个 —— —— d＞r
思考
如图，在 ⊙O 中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线 l⊥OA， 则圆心 O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 和 ⊙O 有什么位置关 系？
圆的切线垂直于过切点的半径．
切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径．
几何表述： ∵ l 与 ⊙O 相切于点 A ∴ OA⊥l
切线的性质定理的证明
证明切线性质定理需要用到反证法：
假设OA与 l 不垂直，
过点O 作OM⊥l，垂足为M．
M
根据垂线段最短的性质，有OM＜OA，
这说明圆心 O 到直线l的距离小于半径OA．
提示：连接OD，证明三角形全等.
补充题
切线的判定与性质课件
1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作 圆的切线. 2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.（重点） 3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题. （难点）
切线的判定与性质
1
导入新课
情境引入
生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是 否为切线呢？学完这节课，你就都会明白.
可以通过解直角三角形求出半径OA的长.
切线的判定与性质
19
(1)求证：△ACB≌△APO；
(1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点， A
∴∠OAP＝90°.
又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，C
O
又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．
B
P
∴AB＝AO，∠ABO＝60°.
又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°. 在△ACB和△APO中，
则PA与☉O的位置关系是相切 .
A
D C
P
O
PA O
B
第2题
第3题
3.如图，在☉O的内接四边形ABCD中，AB是直径，
∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，
则∠ADP的度数为（ C ）
A．40° B．35° C．30° D．45°
切线的判定与性质
23
4.如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？
证明：连接OC(如图).
∵ OA＝OB,CA＝CB,
A
∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.
∴ AB⊥OC.
∵ OC是⊙O的半径,
∴ AB是⊙O的切线.
切线的判定与性质
O
C
B
8
例3 如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点， ⊙O 与AB 相切于E.求证：AC 是⊙O 的切线．
圆的切线的性质及判定定理 课件
[解题过程] (1)证明：依据题意，得 a＋b＝c＋4，ab＝4(c＋2)， 则 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab ＝(c＋4)2－2×4(c＋2)＝c2， 所以△ABC 是直角三角形．
(2)∵∠C＝90°，tan A＝ab＝34， ∴不妨设 a＝3k，b＝4k，则 c＝5k(k>0)， 代入 a＋b＝c＋4，得 k＝2. ∴a＝6，b＝8，c＝10. 连接 OE，得 BC∥OE. ∴OBCE＝AAOB，即O6E＝10－10OE.解得 OE＝145. 在 Rt△AOE 中，tan A＝OAEE＝34，∴AE＝5.
[规律方法] 用切线的性质定理求解线段的长度时，应注 意哪些问题？
(1)如果已知三边的一元二次方程，可利用韦达定理建立起 三角形的三边之间的关系；
(2)在应用切线的性质定理及其推论进行几何证明和求解 时，如果已知切点，则连接圆心和切点构成垂直是一种常用的 方法．
(江苏高考)AB是圆O的直径，D为圆O上一点， 过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA＝DC，求证：AB
[思路点拨]
[解题过程] 如图所示，连接OA、OB、OC．
∵PA和PB分别切⊙O于点A和B， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°. ∴∠AOB＋∠APB＝180°. ∴∠AOB＝180°－∠APB＝140°. ∵DC切⊙O于点C，∴∠OCD＝90°.
又∵∠PAO＝90°， 在 Rt△CDO 与 Rt△ADO 中， 有 OD＝DO，CO＝AO， ∴△CDO≌△ADO.
∴∠COD＝∠AOD＝12∠COA． 同理可证，∠COE＝∠BOE＝12∠COB．
∴∠DOE＝12(∠COA＋∠COB)＝12×140°＝70°.
[规律方法] (1)如何利用切线性质定理及推论求解有关角 的问题？
切线的概念、切线的判定和性质-人教版九年级数学上册教案
切线的概念、切线的判定和性质-人教版九年级数学上册教案一、切线的概念1. 切线的定义在圆上取一点P，连接P与圆心O，若通过点P的直线与圆相交于点P，则这条直线称为该圆在点P处的切线。
2. 切线的性质切线只与圆相交于切点，且垂直于半径。
二、切线的判定1. 判定方法1在圆上任取一点P，连接P与圆心O。
若连接P与圆心O的线段与已知直线L 垂直，则L与圆的交点就是切点，而L即为此点处的切线。
2. 判定方法2在圆上任取一点P，连接P与圆心O。
作过点P并与已知直线L平行的直线，与圆相交于点Q。
再连接点Q与圆心O，则Q与L的交点即为圆在点P处的切点，L即为点P处的切线。
三、切线性质的应用1. 切线定理若一条直线与圆相交于点A、B，则与这条直线垂直的切线分别过点A、B。
2. 判定定理在圆上任取两点P、Q，以这两点为端点连一条线段，若该线段平分圆周角，则它的延长线必过圆的圆心。
3. 弦割定理两条互相垂直的弦互相垂直。
4. 弦长定理两条互相垂直的弦所对圆周的两段弧相等。
5. 弧上点角定理圆周上一点的任意两个角所对的弧长相等。
四、练习题1.已知圆O，半径为3.4cm，P为圆上一点，PA为一条直线，且PA=8.1cm。
求PA的垂线与OP的夹角。
2.已知圆的直径是20cm，D,E,F,G均在圆上。
若DE⊥FG，DE=12cm，FG=9cm，求DG的长。
3.已知圆心角ACB的弧度是20度，线段AB上一点D是圆上的一点，求角ADC的角度。
五、课堂小结1.切线的定义和性质。
2.切线判定方法和定理。
3.切线性质的应用。
4.练习题的解答。
六、作业1.完成课堂练习题。
2.独立思考，将切线定理、判定定理、弦割定理、弦长定理和弧上点角定理的证明写出来。
切线的性质和判定定理
D
解：BD是⊙O的切线
连接OD
A
∵ OD=OA
O
C
B ∴∠ODA=∠BAD=∠B
=300
∴∠ BOD=600
∴∠ODB=900
即： OD⊥DB
∴BD是⊙O的切线
变式练习 练习3,△ABC中，以AB为直径的⊙O，
交边BC于P，BP=PC, PE⊥AC于E。
求证:PE是⊙O的切线。 证明：连结OP。
∵ AB为直径
思∵考直线L是
⊙如O图的：切如果线直，线L
是A⊙是O的切切点线。,切点为
AL是,∴ 点那不么L是⊥半一径O定AO垂于A与直A直呢线?
.O
一定垂直(可用反证法来证）
切线的性质定理:
L A
圆的切线垂直于过切点的半径
简记为：“知切线，连半径，得垂直”
切线的性质定理反证法
假设切线l不垂直于过切点的半 径OA，
想一想
过圆0内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？过 半径OA上一点（A除外）能作圆O的切线吗？过点A呢？
O
r
A
l
圆的切线判定定理：
经过半径的外端且垂于这条半径
的直线是圆的切线。
条件：(1)经过半径的外端；(2)垂直于过该点半径；
符
号 语
∵l⊥OA，A点是⊙O上一点
言
表
达 ∴直线l是⊙O的切线
为什么?
解：AC与⊙O相切
连接OD,作OE⊥AC
E
∴∠OEC=900
∵ AB是⊙O的切线
∴OD⊥AB,
∴∠ODB=900=∠OEC
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵O是BC的中点
∴OB=OC
∴△OBD≌△OCE
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第1课时 切线的性质定理与判定定理
华东师大版 九年级下册
新课导入
当你在下雨天快速转动雨伞 (圆)时雨水飞出，让你感受到直线 与圆的哪种位置关系？ 上节课我们学习了直线与的三 种关系、切线的性质定理。这节课 我们来学习切线的判定定理和性质 定理。
获取新知
探究1：切线的判定定理
1、已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定 义过点A作圆O的切线l？（请你自己动手完成） 2、观察 （1） 圆心O到直线l的距离和圆的半径有什 么数量关系? （2） 二者位置有什么关系？为什么？ 3、由此你发现了什么？
2、已知Rt△ABC的斜边AB＝8cm，AC＝ 4cm以点C为圆心作圆，当半径为多长时， AB与⊙C相切?
解：由勾股定理可知：BC=2 3 (cm)
1 S△ABC= 2AC•BFra bibliotek=1 2
AB•CD；
∴CD=2 3 (cm) 因此，当半径长为2 3 cm时， AB与⊙C相切。
3、如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上 一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A ． （1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请 你加以证明，如果不相切，请说明理由． （2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°， BD=10，求⊙O的半径．
切线的判定定理： 经过圆的半径的外端且垂直于 这条半径的直线是圆的切线。
探究2：切线的性质定理:
如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那 么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？
切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径。
运用新知
1、Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm， BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若 圆C与直线AB相切，则r的值为（ ） A.2cm B. 2.4cm C. 3cm D. 4cm
C A O B D
分析：（1）要说明CD是否是⊙O 的切线，只要说明OC是否垂直于 CD，垂足为C，• 因为C点已在圆 上． 由已知易得：∠A=30°，又由 ∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10
解：（1）CD与⊙O相切
理由：①C点在⊙O上（已知） ②∵AB是直径 ∴∠ACB=90°， 即∠ACO+∠OCB=90° ∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A ∴∠OCA=∠DCB ∴∠OCD=90° 综上：CD是⊙O的切线． （2）在Rt△OCD中，∠D=30° ∴∠COD=60° ∴∠A=30° ∴∠BCD=30° ∴BC=BD=10 ∴AB=20，∴r=10
课堂小结 1、切线的判定定理是什么？ 2、切线的性质定理是什么？
课后作业 1.从教材练习中选取。 2.完成练习册中本课时的习题.
我们愈是学习，愈觉得自己的贫乏。 —— 雪莱
解析： r的长即为斜边AB上的高，由勾股定理 易求得AB的长，根据直角三角形面积的不同表 示方法，即可求出r的值.
解：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，
BC=4cm； 由勾股定理，得：AB2=32+42=25， ∴AB=5； 又∵AB是⊙C的切线， ∴CD⊥AB， ∴CD=R； ∵S△ABC=AC•BC=AB•r； ∴r=2.4cm， 故选B