2.2垂径定理及推论--上课课件(12.1)
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《垂径定理推论》课件
04
答案4
圆上一点P(a,b)到圆心的距离公 式为sqrt((a - h)^2 + (b - k)^2) 。解析：利用两点之间的距离公 式，我们知道点P到圆心的距离 等于点P的横坐标与圆心横坐标 之差的平方和加上点P的纵坐标 与圆心纵坐标之差的平方和的平 方根。
06
总结与展望
本节课的总结
知识要点回顾 垂径定理推论的基本概念和定理表述。
能力目标
能够运用垂径定理及其推 论解决实际问题，提高数 学应用能力。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和 热爱，增强数学学习的自 信心和成就感。
02
垂径定理推论的基本概念
定义与性质
定义
垂径定理推论是关于圆的定理， 它描述了从圆心到圆上任一点的 连线（即半径）与通过该点的圆 的切线之间的关系。
性质
对定理的深入理解
定理的证明过程
深入理解垂径定理推论的证明过程，可以帮助我们更好地掌握其内涵和应用。通 过逐步推导和解析，可以更清晰地理解定理的逻辑和严密性。
定理的几何意义
垂径定理推论不仅是一个数学定理，还具有深刻的几何意义。通过图形演示和实 例分析，可以更直观地理解其在解决实际问题中的应用。
对定理的推广与改进
05
习题与解答
习题
题目1
题目2
若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r， 则直线被圆所截得的弦长为多少？
已知圆的方程为x^2 + y^2 = r^2，求圆 上一点P(a,b)到直线x=h的距离公式。
题目3
题目4
若直线l与圆相切于点A，且直线l的方程为 Ax + By + C = 0，求点A到直线l的距离公 式。
垂径定理推论在几何问题解决中的应用实例。
《垂径定理公开课》课件
《垂径定理公开课》PPT 课件
这是一场关于《垂径定理》的公开课，旨在通过清晰的PPT展示，向大家介绍 垂径定理的定义、推导过程、应用以及拓展内容，让大家深入了解这一重要 的几何概念。
课程介绍
这门课程将为大家详细介绍垂径定理的内容。我们将从基础知识开始，逐步 引入更深入的概念和应用。希望通过本课程的学习，大家能够对垂径定理有 一个全面的了解。
垂径定理的应用
垂径定理不仅仅是一种几何概念，还具有广泛的应用价值。在多种几何问题 中，都可以利用垂径定理来解决具体问题，例如确定直径、垂径的位置，计 算相关角度和长度等。
垂径定理的例题分析
通过一些具体的例Βιβλιοθήκη 分析，我们将进一步探究垂径定理的应用。我们将结合实际问题，通过解题的方式，帮助 大家更好地理解和掌握垂径定理，并培养灵活运用的能力。
垂径定理的拓展
垂径定理作为一个基础定理，还有许多有趣的拓展内容。这些拓展内容可以进一步丰富和拓宽我们的几何知识， 使我们在解决更复杂的几何问题时能够更加游刃有余。
结论和总结
通过这门课程，我们已经全面地学习了垂径定理的相关内容。希望大家通过 这次学习，对垂径定理有了更深入的理解，并且能够在实际问题中灵活运用。 谢谢大家的参与！
垂径定理的定义
垂径定理是几何学中的一个基本定理，它描述了直径与垂直线的关系。通过垂径定理，我们可以从直径推导出 垂直线，以及从垂直线推导出直径，从而建立了直径与垂直线的重要联系。
垂径定理的推导过程
通过推导过程，我们将深入探讨垂径定理的原理和推理。我们将通过几何推导和逻辑推理，引导大家逐步理解 垂径定理的推导过程，并梳理其中的关键步骤和思路。
垂径定理及其推论ppt课件
B
于点C．
3． 作AC、BC的 垂直平分线．
4． 三条垂直平分
线交于一点O．
O
点最新O版就整理是pptA⌒B的圆心．
28
最新版整理ppt
29
你
能
破
镜 重
A
圆
吗？
m
n
C
B O
作法：
作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n，
交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆．
依据：
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦
且平分弦所对的两条弧
已知：如图：AB是⊙O的一条弦.
C
求证CD：是A直M径=B,且MCDA⊥⌒CA=BB⌒,C垂, 足A⌒为DM=B.⌒D.
A
M└
●O
B
证明：连接OA,OB
∵OA=OB,OM⊥AB
符号语言： D
∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称.
如图∵ CD是直径,
∵⊙O关于直径CD对称,
CD⊥AB,
B
圆中一个重
CD⊥AB,
要的结论,三
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
种语言要相
互转化,形成 整体,才能运 用自如.
最新版整理ppt
6
看下列图形，能否使用垂径定理?为什么?
zxxkw
学科网
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E
E
E
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7
典例精析
例1 如图，已知在⊙O中，弦
AB的长为8厘米，圆心O到AB的 A 距离为3厘米，求⊙O的半径。
解：过点O作OE⊥AB，垂足为E，
E
B
.O
连结OA。则OE＝3 ∵AB＝8，
《垂径定理》课件
答案：3cm
解析：根据垂径定理，圆心到弦的垂线段就是圆心到弦中点的距离，再根据勾股定 理求解。
习题二
题目：已知圆O的半径为5cm，弦AB的长为6cm，则圆心O到弦AB的距 离为 _______．
答案：4cm
解析：根据垂径定理，圆心到弦的垂线段就是圆心到弦中点的距离，再 根据勾股定理求解。
习题三
01
02
CATALOGUE
垂径定理的表述
定理的文字表述
垂径定理
垂直于弦的直径平分该弦，并且 平分弦所对的两条弧。
解释
如果一条直径垂直于一条弦，那 么这条直径会平分这条弦，并且 平分弦所对的两条弧。
定理的图形表述
图形示例
可以画出一个圆和经过圆心的一条弦 ，然后画一条垂直于该弦的直径，用 以展示垂径定理。
03
这种方法需要学生掌握相似三角形的 性质和判定方法，适合数学基础较好 的学生理解和掌握。
04
CATALOGUE
垂径定理的应用
在几何作图中的应用
确定圆的中心
利用垂径定理，我们可以确定一个圆 的中心，只需在圆上任取两点，然后 通过这两点作垂直平分线，两条垂直 平分线的交点即为圆心。
作圆的切线
利用垂径定理，我们可以找到一个圆 的切线。在圆上任取一点，然后通过 这一点作圆的切线，切线与过圆心的 垂线交于一点，该点即为切点。
《垂径定理》ppt课 件
目录
• 引言 • 垂径定理的表述 • 垂径定理的证明 • 垂径定理的应用 • 垂径定理的变式 • 习题与解答
01
CATALOGUE
引言
什么是垂径定理
垂径定理
垂径定理是平面几何中一个重要的定理，它描述了垂直于弦的直径与弦之间的 关系。具体来说，如果一条直径垂直于一条弦，则这条直径将该弦平分，并且 平分该弦所对的弧。
2024版《垂径定理》优秀ppt课件
《垂径定理》优秀ppt课件目录•垂径定理基本概念与性质•垂径定理证明方法•垂径定理在几何问题中应用•垂径定理在代数问题中应用•垂径定理拓展与延伸•总结回顾与课堂互动环节垂径定理基本概念与性质垂径定义及性质垂径定义从圆上一点向直径作垂线，垂足将直径分成的两条线段相等，且垂线段等于半径与直径之差的平方根。
垂径性质垂径所在的直线是圆的切线，且垂径平分过切点的半径。
垂线与直径关系垂线与直径垂直垂线垂直于直径，且垂足在直径上。
垂线与直径平分垂线平分直径，即垂足将直径分为两段相等的线段。
03垂径长度与直径关系垂径长度等于直径的一半减去半径，即垂径长度与直径成线性关系。
01垂径长度公式垂径长度= 半径-直径/2。
02垂径长度与半径关系垂径长度等于半径与直径之差的平方根，即垂径长度与半径成比例关系。
垂径长度计算垂径定理证明方法通过圆的性质，如弦的中垂线过圆心等，结合已知条件进行推导。
利用圆的性质利用相似三角形利用勾股定理构造与垂径相关的相似三角形，通过相似比和已知条件进行证明。
在直角三角形中，利用勾股定理和已知条件进行推导和证明。
030201建立坐标系以圆心为原点建立平面直角坐标系，将圆的方程表示为$x^2+y^2=r^2$。
垂径表示设垂径的两个端点分别为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，则垂径的方程可表示为$y-y_1=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$。
求解交点联立垂径方程和圆的方程，求解交点坐标，进而证明垂径定理。
1 2 3设圆心为$O$，垂径的一个端点为$A$，另一个端点为$B$，则向量$vec{OA}$和$vec{OB}$可分别表示为垂径的两个向量。
向量表示利用向量的点积运算和模长运算，结合已知条件进行推导和证明。
向量运算通过向量运算，可得垂径定理的向量形式为$(vec{OA}+vec{OB})cdot vec{AB}=0$。
垂径定理的向量形式垂径定理在几何问题中应用求解三角形问题利用垂径定理求解直角三角形01通过垂径将直角三角形划分为两个较小的直角三角形，便于求解边长和角度。
人教版九年级上册数学垂径垂径定理PPT精品课件
A
AE
BE
1 2
AB
4,
OE
3
连结OA,在RtAOE中，根据勾股定理:
E
B
.O
OA AE 2 OE 2
32 42 5
人教版九年级上册数学课件：24.1.2 垂径垂径定理
∴⊙O的半径为5厘米。
人教版九年级上册数学课件：24.1.2 垂径垂径定理
2.在半径为30㎜的⊙O中，弦AB=36㎜，求O 到AB的距离。
温固而知新
一、圆的定义：
平面上到定点的距离等于定 长的所有点组成的图形叫做圆.
二、圆的相关概念
B
1、连接圆上任意两点间 直径
的线段叫做弦(如弦AB).
O.
经过圆心的弦叫做直径
C
(如直径AC).
A
弦
2.圆弧:连接圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A、B为端点的弧记作 AB ，
读作：“圆弧AB”或“弧AB”C
解：过O点作OP⊥AB，连OA.
AP
BP
1 AB 2
18,
A
在Rt⊿AOP中，根据勾股定理：
OP AO 2 AP 2
302 182 24
∴O到AB的距离为24mm。
PB
O
人教版九年级上册数学课件：24.1.2 垂径垂径定理
人教版九年级上册数学课件：24.1.2 垂径垂径定理
3.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大 圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有 什么关系？为什么？
解： AC＝BD，
理由是：
过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE.
∴ AE－CE＝BE－DE 即 AC＝BD
O.
垂径定理优秀课件
思考：当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系 时，弦AB有可能被直径CD平分？
（（对C如D2称1⊥））图轴A你这，B垂 平是，能个A什B垂分径发图是么足弦定现形⊙？为所图是O理的E对中轴：一.有对的条垂哪称两弦直些图条，于相形弧作等吗弦直．的？的径线如直C段果D径，和是使平，分它弦的，并
弧？为什么？
A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
双基训练
4. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C )
A.2cm B. 3cm C. 2 3cm D. 2 5cm
5.已知点P是半径为5的⊙O内
O
的一定点，且OP=4，则过P
点的所有弦中，弦长可能取 A
B
的整数值为（ C ）
(4)平分弦所对的优弧
D
(5)平分弦所对的劣弧
注意:当具备了(2）(3)时,应对另一
条弦增加”不是直径”的限制.
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
C
D
B
O
A
C
O
C
B
判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
A
O E
B
D C
A
O E
B
( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分
弦所对的两条弧.
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
在直径是20cm的⊙O中，A⌒B的度数是60˙，
（（对C如D2称1⊥））图轴A你这，B垂 平是，能个A什B垂分径发图是么足弦定现形⊙？为所图是O理的E对中轴：一.有对的条垂哪称两弦直些图条，于相形弧作等吗弦直．的？的径线如直C段果D径，和是使平，分它弦的，并
弧？为什么？
A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
双基训练
4. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C )
A.2cm B. 3cm C. 2 3cm D. 2 5cm
5.已知点P是半径为5的⊙O内
O
的一定点，且OP=4，则过P
点的所有弦中，弦长可能取 A
B
的整数值为（ C ）
(4)平分弦所对的优弧
D
(5)平分弦所对的劣弧
注意:当具备了(2）(3)时,应对另一
条弦增加”不是直径”的限制.
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
C
D
B
O
A
C
O
C
B
判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
A
O E
B
D C
A
O E
B
( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分
弦所对的两条弧.
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
在直径是20cm的⊙O中，A⌒B的度数是60˙，
垂径定理ppt
设OC=OD，AC、BD有什么关 A C
DB
系？为什么？
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形， AE 1 AC，AD 1 AB
已知：⊙O中弦 AB∥CD。
求证：A⌒C＝B⌒D
D B
.O
N
证∴M明N：⊥作C直D径。M则NA⊥MA⌒＝BB。M∵⌒，ACBM∥＝C⌒DDM，（⌒垂 直平分弦的直径平分弦所对的弦）
AM⌒ －CM⌒
＝
⌒
BM
－D⌒M
∴A⌒C＝BD⌒ 圆的两条平行弦所夹的弧相等
试一试P93 12
挑战自我填一填
1、判断：
。 O
C
D
B
在直径是20cm的⊙O中，A⌒B的度数是60˙，
那么弦AB的弦心距是_____ 5 3cm
O
D
A
B
弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则
这弓形所在的圆的半径为 13 cm . 4
C
A
D
B
O
已知P为⊙O内一点,且OP=2cm,如果⊙O 的半径是3cm,那么过P点的最短的弦等
于_2___5_c_m_
O
E
B
双基训练
判断：
( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分
弦所对的两条弧.
( )(2)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.
√( )(3)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.
例：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,
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③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ③⑤ ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
例1．⊙O中，OD⊥AB于C，AB=6，CD=1，求半径
例2．⊙O中，C是的AB弧中点，∠AOC=35°,AD=16cm， 求（1）∠OAB的度数 （2）AB的长
垂径定理：垂直于弦的直径 平分这条弦,并且平分这条弦 所对的两条弧。
推论一: 平分弦(不是直径)的直径 垂直与这条弦,并且 平分这条弦所对的两条弧。 推论二: 弦的垂直平分线 经过圆心,并且平分这条弦所 对的弧。 推论三: 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分这条弦, 并且平分这条弦所对的另一条弧。
（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦。
（4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行。 （5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧。
例5．如图，⊙O中的弦AB、CD满足AB=CD， E、F分别为AB、CD的中点， 求证：∠AEF=∠CFE
例6．如图，⊙O中过圆上一点A作弦AB和AD，且 AB=AD，M和N分别为弦AB及AD的中点，连结MN并向 两边延长，交圆于P、Q两点。求证：PM=NQ
垂径定理的推论
• 如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相 等吗? 1.两条弦在圆心的同侧
O
2.两条弦在圆心的两侧
A O B D
A C
●
B D C
●
M
M
垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.
例4．⊙O的直径为10，弦AB∥CD，AB=8，CD=6， 求AB与CD间的距离
垂径定理：垂直于弦的直径 平分这条弦,并且平分这条弦 所对的两条弧。
C
不是直径
B
A
┗M ●O
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC,
②CD⊥AB,
⌒ ⑤AD=BD.
⌒
D
垂径定理及推论的应用：在下列5条
中只要具备其中任意两条作为条件，就 可以推出其他三条结论：
①经过圆心
②垂直于弦
③平分弦（不是直径） ④平分弦所对的劣弧 ⑤平分弦所对的优弧
垂径定理及逆定理
推论一: 平分弦(不是直径)的直径 垂直与这条弦,并且 平分这条弦所对的两条弧。 推论二: 弦的垂直平分线 经过圆心,并且平分这条弦所 对的弧。 推论三: 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分这条弦, 并且平分这条弦所对的另一条弧。 推论四: 在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等
判断
（1）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对 的两条弧。 （2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所 对的另一条弧。
① CD是直径 ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ⌒ ⌒ , ⌒ ⌒ ⑤ AD=BD. ④AC=BC,
条件 结论 命 题
C
A
M└
●
B
O
①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
D . ①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ①⑤ ②③④ 另一条弧. ②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. ②④ ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ②⑤ ①③④ 平分弦和所对的另一条弧.
2.2垂径定理及推论
垂径定理
• 定理: 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦 所对的两条弧.
C
A
M└
●
B
O
题设
D 由
结论
可推得
① CD是直径 ② CD⊥AB
③AM=BM,
⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⑤AD=BD. ⌒
垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径 ． 垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.