充要条件习题课

∴实数m的取值范围是［9，+∞)
设命题p:|4x-3|≤1；命题 2；命题q:x 设命题 变式 (2a+1)x+a(a+1)≤0.若非 是非 的必 若非p是非 ¬ 若非 是非q的必 要而不充分条件，求实数a的取值 要而不充分条件 ， 求实数 的取值 范围. 范围
¬
1 由|4x-3|≤1得-1≤4x-3≤1,故 ≤x≤1. 得 故
例题解析
解：由题意知： 命题：若⌐p是⌐q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为
p是q的充分不必要条件.
p : 1− x −1 ≤2 3
⇒
x −1 −2 ≤ 1 − ≤2 3
⇒
x −1 −1 ≤ ≤3 3
⇒－2≤x≤10
q : x − 2 x + 1 − m ≤ 0 ⇒ x − (1 + m ) x − (1 − m ) ≤ 0
个是条件， 哪个是结论， 由 “ 条件” 个是条件 ， 哪个是结论 ， 条件 ” 结论” 是证明命题的充分性， “ 结论 ” 是证明命题的充分性 ， 由 “ 结 条件” 是证明命题的必要性.证 论 ” “ 条件 ” 是证明命题的必要性 证 明分为两个环节： 一是充分性； 明分为两个环节 ： 一是充分性 ； 二是必 要性， 证明时， 要性 ， 证明时 ， 不要认为它是推理过程 双向书写” “ 双向书写 ” ， 而应该施行由条件到结 由结论到条件的两次证明. 论，由结论到条件的两次证明
2 2
∵p是q的充分不必要条件，
∴不等式 1 −
x −1 ≤ 2 的解集是 x 2 − 2 x + 1 − m 2 ≤ 0 ( m > 0 ) 3
解集的子集
又∵m>0
. ∴不等式*的解集为1－m≤x≤1+m
∴
1 − m ≤ −2 1 − m < −2 1 + m < 10 或1 + m ≥ 10，∴m≥9， m > 0 m > 0

练习（文）
1 x 已知A = x ∈ R < 2 < 8 , B = x ∈ R −1 < x < m + 1} 2
{
若x ∈ B成立的一个充分不必要条件是x ∈ A, 试求实数m的取值范围
充要条件的证明问题， 点评充要条件的证明问题 ， 要分清哪
走进高考
福建卷)设 福建卷 是平面 学例1 (2009·福建卷 设 m,n是平面 α内的两条不同直线 ； l1,l2 是平面 内的两条不同直线； 是平面β 内的两条不同直线 内的两条相交直线，则α∥β的一个 内的两条相交直线， α∥β的一个 充分而不必要条件是( 充分而不必要条件是 ) B A. m∥β且l1∥α B. m∥l1且n∥l2 ∥ 且 ∥ ∥ C. m∥β且n∥β D. m∥β且n∥l2 ∥ 且 ∥ ∥ 且 ∥
1 故所求的a的取值范围是 0， 2
充要条件的证明与探索
∈ 例2 设 x,y∈R ， 求 证 ： |x+y|=|x|+|y| 的充要条件是xy≥0. 的充要条件是 充分性即证：xy≥0|x+y|=|x|+|y|, 充分性即证： 必要性即证： 必要性即证：|x+y|=|x|+|y|xy≥0. (1)充分性： 充分性： 充分性 若xy=0，则有 ，则有x=0或y=0，或x=0且y=0. 或 ， 且 此时显然|x+y|=|x|+|y|. 此时显然
1 1 ，也有 但当sinα=- 时 也有cos2α= ，故选 故选A. 但当 2 2
11 = ， 42
练习（理）
已知： x − 2 ≥ 0
p : x q : x 1 − m ≤ x ≤ 1 + m, m ≥ 0 x − 10 ≤ 0
{
}
若非p是非q的必要不充分条件，求实数m的取值范围
由x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0， ， 得(x-a)(x-a-1)≤0, 故a≤x≤a+1.
2
因为非p是非q的必要不充分条件 所以p是q的充分不必要条件
1 即 ， ⊆ [ a, a + 1] 1 2
所以
a≤ 1 2 或 a +1>1 a< 1 2 a +1≥1
［例1］
x − 1 已 知 p : 1 − ≤ 2 3
q : x − 2x +1− m
2 2
≤ 0(m > 0)
若⌐p是⌐q的必要而不充分条件，求实 数m的取值范围.
• 命题意图：本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的 解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中 等价命题的应用，强调了知识点的灵活性. • 知识依托：本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文 字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变得简 单明了. • 错解分析：对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清 晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言理解 上的困难. • 技巧与方法：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清 晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的 包含关系，进而使问题解决.
1 湖北卷)“sinα= ”是 湖北卷 是 学例2 (2009·湖北卷 2 1 “cos2α= ”的( A ) 的 2
A.充分而不必要条件 充分而不必要条件 B.B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 若sinα=
1 ,则cos2α=1-2sin2α=1-2× 则 × 2
显然,如果 是 的充要条件 那么q也是 的充要条件,那么 也是p的充要条件 显然 如果p是q的充要条件 那么 也是 的充要条件 如果 (也可以说成”p与q等价”) p与q互为充要条件 与 互为充要条件
各种条件的可能情况 1、充分且必要条件 、 2、充分非必要条件 、 3、必要非充分条件 、 4、既不充分也不必要条件 、
复习 1、充分条件，必要条件的定义: 、充分条件，必要条件的定义 若
充分 p ⇒q 则p是q成立的＿＿＿＿条件 成立的＿＿＿＿ ， 是 成立的＿＿＿＿条件 必要 q是p成立的＿＿＿＿条件 是 成立的＿＿＿＿条件 成立的＿＿＿＿
定义: 如果既有p ⇒ q，又有q ⇒ p就记做p ⇔ q
简称充要条件 称:p是q的充分必要条件 简称充要条件 是 的充分必要条件,简称
同号, 若xy＞0，则x,y同号 ＞ ， 同号 当x＞0且y＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|; ＞ 且 ＞ 时 当x＜0且y＜0时， ＜ 且 ＜ 时 |x+y|=-x-y=(-x)+(-y)=|x|+|y|. 综上所述， 可知|x+y|=|x|+|y|. 综上所述，由xy≥0可知 可知
(2)必要性： 必要性： 必要性 因为|x+y|=|x|+|y|，且x,y∈R， ， 因为 ∈ ， 所以(x+y)2=(|x|+|y|)2, 所以 即x2+2xy+y2=x2+2|x||y|+y2, 可得xy=|xy|，可得xy≥0. ，可得 可得 故|x+y|=|x|+|y|xy≥0. 综合(1)(2)知命题成立 知命题成立. 综合 知命题成立
课前热身
1.已知p是q的必要而不充分条件，那么┐p是┐q的___ 2.若A是B的必要而不充分条件，C是B的充要条件，D是C的 充分而不必要条件，那么D是A的________
3.a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a－1)y=a－7平行 且不重合的_________.
答案： 答案： (1)充分不必要条件 (2)充分不必要条件 (3)充要条件