第十一章 概率
第十一章 基础概率
(2). 事件的相等
, ▲ 若 A B 且 A B 同 时 成立 则 称 事件 A 与 B 相等, 记作 A B . 即 A 的出现必然导 U 致 B 的出现, 而B 的 B A 出现也必然导致 A 的出现.
(1) A1 A2 A3 ; ( 3) A1 A2 A3 ; (5) A3 ; (6) A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 . ( 2) A1 A2 A3 ; (4) A1 A2 ;
解 : (1) A1 A2 A3 : 三次抽取中至少有 一次红球;
(2) A1 A2 A3 : 三次都取到红球 ;
什么是古典概型？
若一个随机试验满足以下两个特点: 有限性 基本事件总数有限 等可能性 每一个基本事件发 生的可能性相等
这样的试验模型称为古典概型
如何计算古典概型中的事件的概率？
概率的古典定义 在古典概型中, 若基本事 件总数为 n, 事件 A 包含的基本事件数为 m, 则事件 A 的概率为
事 件A包含的基本事件数 P ( A) 基本事件总数
2 00
该数值表达了 “每人得到三等奖 ” 这个随 机事件发生可能性的大小. 数值 2% 称为这个事件发生的概率.
古典概型的概率
知道了什么是事件的概率是远远不够的, 还必需掌握计算概率的方法. 首先要掌握在 概率计算中一个最简单的随机试验模型－－
的概率计算公式, 它是很多概率计算的基础, 而且有不少实际应用．
互斥不一定互逆
互逆一定互斥
例3 甲、乙两炮手同时向一架敌机炮击, 各打 一发炮弹, 设 A1 =｛甲击中敌机｝, A2 =｛乙击 中敌机｝,试用事件A1 、A2 及它们的运算表示 下列各事件:
第五节 条件概率与全概率公式、相互独立事件
1
A.
5
)
13
B.
30
17
C.
30
13
D.
25
答案 (1)C
(2)B
解析 (1)根据全概率公式,可得他们参观党史博物馆的当天下雨的概率为
0.3×0.4+0.4×0.2+0.3×0.5=0.35,所以不下雨的概率为1-0.35=0.65.
(2)设事件 A 表示从甲箱中随机取出一红球放入乙箱中,事件 B 表示从甲箱中
记 C 表示事件:开始第 5 次发球时,甲、乙比分为 3∶1;
记 D 表示事件:开始第 5 次发球时,甲得分领先.
2
P(E)=P(A1A2A3A4)=
3
2
3
2
5
2
5
× × × =
16
,
225
2
P(C)=P(A1A2A3B4)+P(A1A2B3A4)+P(A1B2A3A4)+P(B1A2A3A4)=
员工,则该员工为男性的概率为(
)
3
A.
100
3
C.
5
9
B.
200
3
D.
4
答案 D
解析
3
设公司男、
女员工的人数分别为 2n 和 n,则男员工中,肥胖者有 2n×100
3
2
人,女员工中,肥胖者有 n×100
50
=
人,设任选一名员工为肥胖者为事件 A,肥
50
3
50
胖者为男性为事件 B,则 P(AB)= 3 =
3.P(B|A)表示在事件A发生的条件下,事件B发生的概率,P(AB)表示事件A,B
第十一章 第三节 相互独立事件同时发生的概率
解析：前两次取出的是螺口灯泡，有
取得卡口灯泡，有
种取法，第三次
种取法，根据分步计数原理，共有
种取法，所以所求概率为＝ 答案： D
3.在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率 不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中 发生的概率p的取值范围是 A.[0.4,1] B.(0,0.4] ( )
∴P(Ai)＝0.4，P(Bi)＝0.5，P(Ci)＝0.1(i＝1,2).
∵两个月中，一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次的
概率为P(A1C2＋A2C1)，
一、二月份均被投诉1次的概率为P(B1B2)，
∴P(D)＝P(A1C2＋A2C1)＋P(B1B2)＝P(A1C2)＋P(A2C1)＋ P(B1B2)，由事件的独立性得 P(D)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.5×0.5＝0.33.
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中
目标3次的概率；
(3)[理]假设某人连续2次未击中目标，则终止射击．问： 乙恰好射击5次后，被终止射击的概率是多少？
(1)利用对立事件求解， (2)是相互独立事件， (3)第五次乙一定未击中.
【解】
(1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事
(2)假设此项专业技能测试对该小组的学生而言，每个女生 通过的概率均为 每个男生通过的概率均为 现对该
小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，求这3人
中通过测试的人数不少于2人的概率.
解：(1)设该小组中有n个女生.根据题意，得＝ 解得n＝6，n＝4(舍去). ∴该小组中有6个女生.
(2)由题意，甲、乙、丙3人中通过测试的人数不少于2 人即通过测试的人数为3人或2人. 记甲、乙、丙通过测试分别为事件A、B、C.则 P＝P( · C)＋P(A· B· · C)＋P(A· B· )＋P(A· C). B·
数学第十一章
图 11-5
一、随机事件
学习提示
一、随机事件
由定义可知,对立事件必为互不相容；反之,互不相容 的两个事件未必为对立事件.
事件的运算与集合的运算类似，满足下面的规律: 设A，B，C为事件, 交换律:A∪B=B∪A； A∩B=B∩A. 结合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪C； A∩(B∩C)= (A∩ B)∩C. 分配律:A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)； A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C).
一、随机事件
【例1】
观察下列各种现象，哪些是确定性现象，哪些是随机 现象.
（1）三角形内角和等于180 ； （2）掷一颗骰子，出现的点数大于7; （3）某人射击一次，中靶； （4）从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张， 得到4号签； （5）某电话机在一分钟内收到2次呼叫； （6）掷一枚硬币，出现正面.
图 11-3
一、随机事件
类似地,可列个事件A1，A2，A3，…的积可 ∩∞i=1Ai,n个事件A1，A2，A3，…，An
的积可记为∩ni=1Ai. 事件A发生而事件B不发生的事件，称为事
件A与事件B的差,记为A-B.事件A与B的差是由 属于A而不属于B的样本点所构成的事件.
一、随机事件
（3)事件的互不相容 (互斥).
图 11-1
一、随机事件
（2)事件的和、积差. 事件A与事件B中至少有一 个发生的事件,称为事件A与事件 B的和(或并),记为A∪B.事件A与 B的和是由A与B的样本点合并而 成的事件,如图11-2所示.
图 11-2
一、随机事件
事件A与事件B同时发生 的事件，称为事件A与事件B 的积(或交),记为A∩B,也可简 写为AB.事件A与B的积是由A 与B的公共的样本点所构成的 事件,如图11-3所示.
第十一章概率
第十一章 概 率 主编人:王宇红 郑青松 上课时间____________课时________知识目标：了解各种概率的意义，理解随机事件，必然事件，不可能事件，等可能性事件，互斥事件，对立事件，相互独立事件，n 次独立重复试验的概念能力目标：①理解随机概率的意义②能用排列组合知识解决等可能性事件的概率③会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率④会计算事件在n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率情感目标：培养学生科学的.严谨的学习态度，辨证的认识事物，用理性的数学知识解决生 活中的实际问题，培养学生的实践能力和学习数学的兴趣与动力，懂得正难则反的道理。
教学重点：四种概率的求法教学难点：四种概型的区别，用各种概型解决实际问题一 看教材：P136----P165二 知识回顾与梳理（一)随机事件的概率1.基本概念：随机事件，必然事件，不可能事件，事件的概率，等可能性事件2.概率的求法：①随机事件的求法:0≤P(A)≤1 ②等可能性事件的概率P(A)=nm （二）互斥事件和对立事件的概念与加法公式（1）互斥事件： 对立事件：（2）互斥事件有一个发生的概率的公式推广：（3）对立事件的概率公式：（三)相互对立事件同时发生的概率（1）相互独立事件：（2）相互独立事件同时发生的概率公式及推广（四）独立重复试验（1）独立重复试验的特点（2）n 次试验恰好发生k 次的概率公式三 基础自测1.设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，其中恰有6个红球的概率( )A 、 10100610480C C CB 、10100410680C C C C 、10100620480C C CD 、10100420680C C C 2.我校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参加，一班有3位，二班有2位，其他班有 5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班3位恰好排在一起而二班2位没有排在一起的概率为 （ ）A 、101 B 、201 C 、401 D 、1201 3.将5本不同的书全发给4名同学，每人至少一本的概率为（ ） A 、6415 B 、12815 C 、12524 D 、12548 4.甲：2.1A A 是互斥事件；乙：1A .2A 是对立事件，那么( )A 、甲是乙的充分不必要条件B 、甲是乙的必要不充分条件C 、甲是乙的充要条件D 、甲既不是乙的充分条件也不是必要条件5 从甲袋里摸出一个红球的概率为31，从乙袋里摸出一个红球的概率是21，从两袋里各摸出一个球，则32等于( ) A 、2个球不都是红球的概率 B 、2个球都是红球的概率C 、至少有一个红球的概率D 、2个球中恰好有一个红球的概率6 某人射击一次的概率为0.6，经过三次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（ )A 、12581B 、12554C 、12536D 、12527 四 例题讲解例1（1）甲.乙两个盒子里各放有5个不同的电子元件,已知:甲盒子里有2个次品;乙盒子 里有1个次品,其余的均为正品.若将2个盒子的元件放在一起,然后逐个取出检查,直到次品全部被检出为至,求所有次品恰好在第4次检验时被检出的概率（2）某班星期一要上数学.物理.历史.技术.体育各一节共五节课,求体育课不排第一节且技术课与体育课不相邻的概率例2 袋中有4个白球，6个红球，在抽取这些球的时候也无法看到这些球的颜色，现先由甲取出3个球，并且取出的球不放回，再由乙取出4个球，若规定取得白球多者获胜，试求甲获胜的概率例3 甲.乙.丙三人分别独立解一道题,甲做对的概率是21,甲.乙.丙三人都做对的概率是241,甲.乙.丙三个全做错的概率是41 (1)分别求乙.丙两人各自做对的概率(2)求甲.乙.丙三人中恰有一人做对这道题的概率例4 某减肥中心对第一期60人进行训练减肥，结果有40人达到减肥目的，按此比率，现有5人参加减肥训练，求：①恰有4人没有达到减肥目的的概率②至少有4人 没有 达到减肥目的的概率③恰有甲.乙.丙.丁4人没有达到减肥目的的概率五 巩固练习1 某班共有40个学生，其中只有一对双胞胎，若随机抽查3个学生的作业，这对双胞胎的作业同时被抽中的概率2.曲线C 的方程为1x 2222=+ny m ，其中m.n ∈{}654321，，，，，,事件A=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+轴上的椭圆表示焦点在方程x n y m 1x 2222，那幺P （A)= A 、61 B 、41 C 、31 D 、21 3.甲.乙.丙.丁4个足球队参加比赛,假设每场比赛各队取胜的概率相等,现任意将这4个队平均分成两个小组进行比赛,胜者再赛，则甲.乙相遇的概率为_______4.A 甲.乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为"3局2胜",即先赢2局者为胜,根据经验,每局比赛中甲获胜的概率为0.6,则本次比赛甲获胜的概率是（ ）A 、0.216B 、0.36C 、0.432D 、0.6485甲.乙.丙三位大学毕业生,同时应聘一个用人单位 ,其能被选中的概率分别为:P(A)=52;乙 : P(B)=43;P(C)=31,且各自能否被选中是无关的 (1)求3人都被选中的概率 （2）求只有2人被选中的概率 （3）三人中有几个人被选中的事件最易发生6.某公司的“咨询热线”电话共有6条，经长期统计发现，每天在电话高峰期，外线同时大入的概率如下表（记电话同时大入数为n) n0 1 2 3 4 5 6 P 0.13 0.35 0.27 0.14 0.08 0.02 0.01 如果公司只安排2位接线员（一位接线员一次只能接一个电话） （1）求每天电话高峰期内至少有一个电话不能一次接通的概率（2）公司董事会决定，把“一周五个工作日中至少有四天在高峰期内电话都能一次接通”的概率视作公司的“美誉度”，如果“美誉度”低于0.8，就增派接线员，请你帮助计算一下，该公司是否需要增派接线员？7在等差数列{}n a 中，4a =2，4a 7-=，现从{}n a 的前十项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这3次取数中，求取出的数恰好是2个正数和1个负数的概率8两个相互独立事件A 和B ，若事件A 发生的概率为P ，事件B 发生的概率为1-P ，求A 和B 同时发生的概率的最大值9.某人连续做同样的试验，每次试验只有成功和失败两种结果，已知第k 次试验成功时，第k+1次试验成功的概率为21；第k 次试验失败时，第k+1次试验成功的概率为43，且第三次试验成功的概率为3219 （1）求第一次试验成功的概率；（2）求第n 次试验成功的概率n P 关于n 的表达式（3）假设若试验成功，则停止试验，否则继续做试验直至成功，求停止试验时恰好做了4次试验的概率六课后反思。
第十一章 概率与统计
第十一章 概率与统计两个计数原理1．分类计数原理： 。
分步计数原理： 。
2．王云同学有参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读，若他从这些参考书中带一本去图书馆，有 种不同的方法；若带外语，数学，物理各一本，有 种不同的带法；若从这些参书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有种不同的带法。
3．设*,x y N ∈，且4x y +≤，则点(,)x y 共有 个.、4．设{1,2,3},{4,5}A B ==，从集合A 到集合B 共可建立不同的函数个数为 . 5．一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成 个四位数字号码。
6．11n mi ji j a b==⋅∑∑展开后共有 项.例1．（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生争夺数学、物理、化学竞赛的冠军（无并列），有多少种不同的结果？ （3）某人要将4封不同的信投入3个不同信箱中，不同的投寄方法有多少种？（4）将3个不贩小球放入4个不同编号的盒子中（一个盒子只放一个小球），不同的放法有多少种？例2．在一次综艺节目的演出中，热心观众坐成四个方阵（如下图），现有4种不同颜色的T 恤衫，要求相邻方阵着不同颜色的T 恤，有多少种不同的着衣方法？例3．（1）用数字0，1，2，3，4可组成多少个不同的三位数？（2）甲、乙、丙3人互相传1只篮球，开始球在甲手中，经过5次传球后，球在甲手中，问共有多少种不同的传球方式？例4．（备选题）设整数4,(,)n P a b ≥是平面直角坐标系xOy 中的点，其中,{1,2,3,,}a b n ∈L ，a b >.（1）记n A 为满足3a b -=的点P 的个数，求n A ； （2）记n B 为满足1()3a b -是整数的点P 的个数，求n B .排列、组合的概念和运算1．排列的定义： ，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.2．排列数的定义： ，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号 表示.3．排列数公式：mn A = = ；m n A = = ；0!=4．组合的定义： ，叫做从n 个不同元素中取出n 个元素的一个组合.5．组合数的定义： ，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的给合数，用符号 表示.6．组合数公式：mn C = = = ；0n C = 7．组合数的两个性质：（1） （2）例1．（1）若17161554mn A =⨯⨯⨯⨯⨯L ，则n = ，m = .（2）若*n N ∈，则(55)(56)(57)(68)n n n n ----L 用排列数符号表示为（3）若33210n n A A =，则n =（4）若75589n nnA A A -=，则n = 例2．（1）若*x N ∈，求123231x x x x C A ---++的所有可能值.（2）求11224n nn n A A -++的值.例3．（1）化学：1!22!33!!n n +⋅+⋅++⋅L （2）化简：12312!3!4!!n n -++++L （3）化简：122nn n n C C nC +++L例4．（备选题）已知(2)p p ≥是给定的某个正整数，数列{}n a 满足：111,(1)()k k a k a p k p a +=+=-，其中1,2,3,,1k p =-L .（1）设4,p =求234,,a a a ； （2）求123p a a a a ++++L .二项式定理及通项公式的应用1．二项式定理：对于*n N ∈，()na b += ，二项式展开式的通项公式为 ，二项式展开式中第r 项的二项式系数为 ，要分清展开式中第一项的系数与该项的二项式系数.2．6(23)a b +的展开式的第3项是 ；6(32)b a +的展开式的第3项是 . 3．15(12)x -的展开式的第1r +项为 .4．37(2)x x +展开式的第4项的二项式系数是 ，第4项的系数是 .5．*n N ∈，式子01122(1)2(1)n n k k n k n n n n n C C C C ---++-++-L L = .例1．求10的展开式中，求：（1）第3项的二项式系数及系数；（2）含2x 的项及系数；（3）常数项、有理项.例2．（1）已知9a x ⎛- ⎝的展开式中3x 的系数为94，求常数a 的值 （2）求2521(2)x x++的展开式中2x 项 （3）求64(1)(1)x x -+展开式中3x 的系数例3．（1）求100.998的近似值（精确到0.01） （2）当n 为正奇数时，求112215555n n n n n n n C C C ---++++L 被7除所得的余数.（3）当*3,n n N ≥∈，求证：221nn >+例4．（备选题）是否存在等比数列{}n a ，使12121(1)2nn nnn na C a C a C --+++=L 对一切*n N ∈都成立？如存在，求出n a ；如不存在，请说明理由.二项式系数的性质及应用1．二项式系数的性质（1）对称性：在()na b +展开式中， 的两项的二项式系数相等.（2）增减性与最大值；当12n k +<时，二项式系数是逐渐 的，由对称性知它的后半部分是逐渐的，且在中间取得最大值，当n 是偶数时，中间的一项 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项 相等，且同时取得最大值.（3）二项式系数的和：012nn n n n C C C C ++++L = ；022135n n n n n n C C C C C C +++=+++L L = .2．在()nx y +的展开式中，若第7项的系数最大，则n 等于 .3．若29323636012,(2),n n n n n C C x a a x a x a x ++=-=++++L 则011n a a a -+++L = ；12323n a a a na ++++L = .4．函数1010()(1cos )(1cos )(0)f x x x x π=++-≤≤的最大值为 .5．若1)nx的展开式中各项系数和为P ，所有二项式系数和为2,272,r n S P S C +=最大，则r .例1．（1）求7(2)x y +展开式中系数最大的项；（2）求7(2)x y -展开工中系数最大的项.例2．求12(13)x -的展开式中 （1）各项二项式系数之和； （2）奇数项二项式系数和； （3）各项系数和； （4）各项系数绝对值的和.例3．已知数列{}n a 的首项为1，011222111231()(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n p x a C x a xC x a x C x a C x x a C x ----+=-+-+-++-+L .（1）若数列{}n a 是公比为2的等比数列，求(1)p -的值；（2）若数列{}n a 是公差为2的等差数列，求证：()p x 是关于x 的一次多项式.例4．（备选题）（1）当*k N ∈时，求证：(1(1k k ++-是正整数；（2）试证明大于2(1n +的最小整数能被12n +整除*()n N ∈ .排列、组合的应用题（1）1．特殊元素、特殊位置的“优先安排法” 2．正难则反：排除法（去杂法）3．相邻问题：捆绑法4．不相邻问题：插空法5．顺序一定问题：除法6．至多、至少问题：正面与反面的选择7．染色问题：“树型图法”、恰当的分类与准确的分步8．相同元素问题：隔板法例1．4男3女坐成一排，下列各小题分别有多少种排法？（1）某人必须在中间（2）某两人只能在两端（3）某人不在中间和两端（4）甲、乙两人必须相邻（5）甲、乙两人不相邻（5）甲、乙两人必须相隔1人（7）4男必须相邻（8）4男必须相邻，3女也必须相邻（9）3女不相邻（10）4男不相邻（11）4男不在两端（12）甲在乙左边（13）3男不等高，按高矮自左向右顺序排列例2．用0、1、2、3、4、5六个数字分别可以组成多少个符合下列条件的没有重复数字的自然数？（1）四位偶数（2）四位奇数（3）是25的倍数的六位数（4）比240135大的六位数（5）个位数字比十位数字小的五位数例3．某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，2人只会日语，其余4人既会英语又会日语，现要从中选6人，其中3人做英语导游，另外3人做日语导游，则不同的选择方法有多少种？例4．（备选题）将4个编号1、2、3、4的小球放入4个编号为1、2、3、4的盒子中，（1）每盒子至多一球，有多少种放法？（2）恰好有一个空盒，有多少种放法？（3）每个盒子放一球，并且恰好有一球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？（4）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒子，有多少种放法？（5）把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒子内的球数不少于它的编号数，有多少种放法？排列、组合的应用题（2）1．某天某班的课程表要排语文、数学、外语、物理、化学、体育六门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有种不同的排法。
2022数学第十一章概率11.2古典概型学案文含解析新人教A版
11。
2古典概型必备知识预案自诊知识梳理1.基本事件在一次试验中，我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果,它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘,这样的事件称为。
2.基本事件的特点（1)任何两个基本事件是的.(2)任何事件(除不可能事件）都可以表示成的和.3。
古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。
(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件.(2）等可能性:每个基本事件出现的可能性。
4。
古典概型的概率公式.P（A）=A包含的基本事件的个数基本事件的总数1。
任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和。
2。
求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法。
考点自诊1.判断下列结论是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”。
(1）在一次古典概型试验中,其基本事件的发生一定是等可能的.(）（2）基本事件的概率都是1n。
若某个事件A包含的结果有m个,则P(A)=mn.(）（3）掷一枚质地均匀的硬币两次，出现“两个正面”“一正一反"“两个反面”,这三个结果是等可能事件.()(4）在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A,所有的基本事件构成集合I,那么事件A的概率为card(A)card(I)。
()(5)从1,2，3,4,5中任取出两个不同的数,其和为5的概率是0。
2.()2.某同学打算编织一条毛线围巾送给妈妈,决定从妈妈喜欢的白色、黄色和紫色中随机选择两种颜色的毛线编织，那么这条围巾是由白色、紫色两种颜色的毛线编织的概率是（)A.14B.13C。
12D.343.(2019全国3,3）两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是(）A。
16B。
14C。
13D.124.从集合A={1，3，5,7,9｝和集合B=｛2,4，6,8｝中各取一个数,那么这两个数之和除以3余1的概率是()A。
第十一章 概率(历年高考题分类)
第十一章概率第一节随机事件的概率知识点讲解题型1——随机事件及其概率讲例1 盒中仅有4只白球、5只黑球，从中任意取出1只球。
（1）“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？（2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？（3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？变式演练1 （1）指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件。
①长度为3、4、5的三条线段可以构成一个三角形；②长度为2、3、4的三条线段可以构成一个直角三角形；③在乒乓球比赛中，某运动员取胜。
（2）某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：射击次数n 10 20 50 100 200 5008 19 44 92 178 455击中靶中心次数m击中靶心频率mn①计算表中击中靶心的各个频率；②这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？题型2——等可能事件的概率讲例2（天津高考题）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛。
（1）求所选3人都是男生的概率；（2）求所选3人中至少有1名女生的概率。
变式演练2 （2007年北京）某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站）.在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个站下车是等可能的.求：（1）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率；（2）这6位乘客中恰有3人在终点下车的概率。
题型3——等可能事件概率的应用讲例 3 （湖北高考题）为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后突发事件不发生的概率（记为p）和所需费用如下表：预防措施甲乙丙丁p 0.9 0.8 0.7 0.6费用（万元）90 60 30 10预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.变式演练3 从高一年级和高二年级共18名学生代表中，随机抽取2人到学生会担任干部，如每个年级恰好抽1人的概率是80153，而且知道高一年级的学生代表多于高二年级，求这两个年级各自的学生代表.巩固练习一、选择题1、（2007年辽宁）一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（）A．122B．111C．322D．2112、（2008年重庆）从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为(A)184(B)121(C)25(D)353、（2008年辽宁）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．344、（2007年重庆）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为（A ）41 （B ）12079 （C ）43 （D ）2423 5、（2008年江西）电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为 A ．1180 B ．1288 C ．1360D ．1480 6、（2007年山东）设集合{12}{123}A B ==，，，，，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点()P a b ，，记“点()P a b ，落在直线x y n +=上”为事件(25)n C n n ∈N ≤≤，，若事件n C 的概率最大，则n 的所有可能值为（ ）A ．3B ．4C ．2和5D ．3和47、连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量()m n ，a =与向量(11)=-，b 的夹角为θ，则0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，的概率是（ ）A ．512B ．12C ．712D ．56二、填空题1、（2007年广东）甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同.其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球. 现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为 .（答案用分数表示）2、（2007全国1）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．（用数字作答）三、解答题1、100件产品中，有95件合格品，5件次品.从中任取3件，求：（1）3件都是合格品的概率；（2）3件都是次品的概率；（3）2件是合格品、1件是次品的概率；2、在一次口试中，要从20道题中随机抽出6道题进行回答，答对了其中的5道就获得优秀，答对其中的4道就获得及格，某考生回答20道题中的8道题。
高中数学第十一章知识点复习总结(精华版)——概率
高中数学第十一章-概率考试内容：随机事件的概率．等可能性事件的概率．互斥事件有一个发生的概率．相互独立事件同时发生的概率．独立重复试验． 考试要求：（1）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．（2）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。
（3）了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．（4）会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生κ次的概率．§11. 概率 知识要点1. 概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n 个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是n1，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率nm P(A)=. 3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A 、B 互斥，那么事件A+B 发生(即A 、B 中有一个发生)的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21+++=+++ .②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件．．．．．．．．．．．．．．．叫对立事件. 例如：从1～52张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件，因为其中一个必发生.注意：i.对立事件的概率和等于1：1)A P(A )A P(P(A)=+=+.ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P （AB ）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如：从一副扑克牌（52张）中任抽一张设A ：“抽到老K”；B ：“抽到红牌”则 A 应与B 互为独立事件[看上去A 与B 有关系很有可能不是独立事件，但261P(B)P(A),215226P(B),131524P(A)=⋅====.又事件AB 表示“既抽到老K 对抽到红牌”即“抽到红桃老K 或方块老K”有261522B)P(A ==⋅，因此有)B P(A P(B)P(A)⋅=⋅.推广：若事件n 21,A ,,A A 相互独立，则)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21 ⋅=⋅.注意：i. 一般地，如果事件A 与B 相互独立，那么A 与A B ,与B ，A 与B 也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.互斥对立iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件. ④独立重复试验：若n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n 次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：kn k k n n P)(1P C (k)P --=. 4. 对任何两个事件都有)()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+第十二章-概率与统计考试内容：抽样方法.总体分布的估计． 总体期望值和方差的估计． 考试要求：（1）了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样． （2）会用样本频率分布估计总体分布． （3）会用样本估计总体期望值和方差．§12. 概率与统计 知识要点一、随机变量.1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.设离散型随机变量ξ可能取的值为： ,,,,21i x x xξ取每一个值),2,1(1 =i x 的概率i i p x P ==)(ξ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的121i 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是：kn k k n qp C k)P(ξ-==[其中p q n k -==1,,,1,0 ] 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B（n·p ），其中n ，p 为参数，并记p)n b(k;qp C k n k k n ⋅=-. ⑵二项分布的判断与应用.①二项分布，实际是对n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n 次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.4. 几何分布：“k =ξ”表示在第k 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k 次试验时事件A 发生记为k A ，事A 不发生记为q )P(A ,A k k =，那么)A A A A P(k)P(ξk 1k 21-== .根据相互独立事件的概率乘法分式：))P(A A P()A )P(A P(k)P(ξk 1k 21-== ),3,2,1(1 ==-k p q k 于是得我们称ξ服从几何分布，并记p q p)g(k,1k -=，其中 3,2,1.1=-=k p q5. ⑴超几何分布：一批产品共有N 件，其中有M （M ＜N ）件次品，今抽取)N n n(1≤≤件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为)M N k n M,0k (0CC C k)P(ξnNkn MN k M -≤-≤≤≤⋅⋅==--.〔分子是从M 件次品中取k 件，从N-M 件正品中取n-k 件的取法数，如果规定m ＜r 时0C rm=，则k 的范围可以写为k=0，1，…，n.〕 ⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，今抽取n 件（1≤n≤a+b ），则次品数ξ的分布列为n.,0,1,k CC C k)P(ξnba kn bk a =⋅==+-.⑶超几何分布与二项分布的关系.设一批产品由a 件次品、b 件正品组成，不放回抽取n 件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数η的分布列可如下求得：把b a +个产品编号，则抽取n 次共有nb a )(+个可能结果，等可能：k)(η=含kn k k n b a C -个结果，故n ,0,1,2,k ,)ba a (1)b a a (C b)(a ba C k)P(ηkn k k n nk n k k n =+-+=+==--，即η～)(b a a n B +⋅.[我们先为k 个次品选定位置，共k n C 种选法；然后每个次品位置有a 种选法，每个正品位置有b 种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，k)P(ηk)P(ξ=≈=，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.二、数学期望与方差.n n 2211期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2. ⑴随机变量b a +=ξη的数学期望：b aE b a E E +=+=ξξη)( ①当0=a 时，b b E =)(，即常数的数学期望就是这个常数本身.②当1=a 时，b E b E +=+ξξ)(，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.③当0=b 时，ξξaE a E =)(，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.⑵单点分布：c c E =⨯=1ξ其分布列为：c P ==)1(ξ. ⑶两点分布：p p q E =⨯+⨯=10ξ，其分布列为：（p + q = 1）⑷二项分布：∑=⋅-⋅=-np q p k n k n k E k n k )!(!!ξ 其分布列为ξ～),(p n B .（P 为发生ξ的概率）⑸几何分布：pE 1=ξ 其分布列为ξ～),(p k q .（P 为发生ξ的概率） 3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为),2,1()( ===k p x P k k ξ时，则称+-++-+-=n n p E x p E x p E x D 2222121)()()(ξξξξ为ξ的方差. 显然0≥ξD ，故σξξσξ.D =为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.ξD 越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.． 4.方差的性质.⑴随机变量b a +=ξη的方差ξξηD a b a D D 2)()(=+=.（a 、b 均为常数） ⑵单点分布：0=ξD 其分布列为p P ==)1(ξ⑶两点分布：pq D =ξ 其分布列为：（p + q = 1）⑷二项分布：npq D =ξ ⑸几何分布：2p q D =ξ5. 期望与方差的关系.⑴如果ξE 和ηE 都存在，则ηξηξE E E ±=±)(⑵设ξ和η是互相独立的两个随机变量，则ηξηξηξξηD D D E E E +=+⋅=)(,)(⑶期望与方差的转化：22)(ξξξE E D -= ⑷)()()(ξξξξE E E E E -=-（因为ξE 为一常数）0=-=ξξE E .三、正态分布.（基本不列入考试范围）1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x 轴上方，ξ落在任一区间),[b a 内的概率等于它与x 轴.直线a x =与直线b x =（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为 图像的函数)(x f 叫做ξ的密度函数，由于“),(+∞-∞∈x ”是必然事件，故密度曲线与x 轴所夹部分面积等于1.2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：2221)(σσπ-=ex f . （σμ,,R x ∈为常数，且0 σ），称ξ服从参数为σμ,的正态分布，用ξ～),(2σμN 表示.)(x f 的表达式可简记为),(2σμN ，它的密度曲线简称为正态曲线.⑵正态分布的期望与方差：若ξ～),(2σμN ，则ξ的期望与方差分别为：2,σξμξ==D E . ⑶正态曲线的性质.①曲线在x 轴上方，与x 轴不相交. ②曲线关于直线μ=x 对称.③当μ=x 时曲线处于最高点，当x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.④当x ＜μ时，曲线上升；当x ＞μ时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向x 轴无限的靠近.⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为)(21)(22+∞-∞=- x ex x πϕ，则称ξ服从标准正态分布. 即ξ～)1,0(N 有)()(x P x ≤=ξϕ，)(1)(x x --=ϕϕ求出，而P （a ＜ξ≤b ）的计算则是)()()(a b b a P ϕϕξ-=≤ .注意：当标准正态分布的)(x Φ的X 取0时，有5.0)(=Φx 当)(x Φ的X 取大于0的数时，有5.0)( x Φ.比如5.00793.0)5.0(=-Φσμ则σμ-5.0必然小于0，如图.⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若ξ～),(2σμN 则ξ的分布函数通 常用)(x F 表示，且有)σμx (F(x)x)P(ξ-==≤ϕ.4.⑴“3σ”原则.假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布),(2σμN .②确定一次试验中的取值a 是否落入范围)3,3(σμσμ+-.③做出判断：如果)3,3(σμσμ+-∈a ，接受统计假设. 如果)3,3(σμσμ+-∉a ，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.⑵“3σ”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN 则 ξ落在)3,3(σμσμ+-内的概率为99.7％ 亦即落在)3,3(σμσμ+-之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.S 阴=0.5S a =0.5+S。
人教版高中总复习一轮数学精品课件 第11章 概率 11.2 古典概型、条件概率与全概率公式
P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件 B⊆Ω,有 P(B)= ∑ P(Ai)P(B|Ai).
=1
5.贝叶斯公式
设 A1,A2,…,An 是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且 P(Ai)>0,
P(A|B)= ()
=
0.3×0.5
0.8
=
3
16
.
3
.
16
5.某公司在某地区对商品A进行调查,随机调查了100位购买商品A的顾客
的性别,其中男性顾客18位.已知该地区商品A的购买率为10%,该地区女性
人口占该地区总人口的46%.从该地区中任选一人,若此人是男性,则此人购
买商品A的概率为
1
30
.
10
故所求概率 P=
25
=
2
.
5
(2)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为( C )
1
A.3
2
B.5
2
C.3
4
D.5
将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行的总的排法有C62 =15(种),
其中 2 个 0 不相邻的排法有C52 =10(种),
所以 2 个 0
10
不相邻的概率为
( B )
3
A.8
3
B.10
3
C.11
3
D.5
设事件A表示“有1名主任医师被选派”,事件B表示“2名主任医师都被选
派”,则在有1名主任医师被选派的条件下,2名主任医师都被选派的概率为
()
P(B|A)= ()
第十一章 概率论初步
概率论在以下几个方面与其它数学课程不 同：
研究的现象更加接近日常生活 推理方法更加接近人类的真实思维模式 根据概率统计得出的结论：一个是告诉你将要发生的结果，再一 个是告诉你这个结果发生的可能性。实际上，它能够告诉你多种 可能的结果以及各种结果出现的可能性
第十一章 概率论初步
数据、模型与决策 (第二版)
数据、模型与决策 (第二版)
第十一章 概率论初步
写出例1、例2中各个随机试验的样本空间，并 用其相应的基本事件表示事件：“取得的球的 号数大于2”；“接到的电话查询次数大于 40”。 解：例1中，每次取得的球的号数是1，2，3， 4，5中的一个数，所以共有5个样本点，取得 的球的号数为i这一样本点，记为ωi（i=1，2， 3，4，5），因此样本空间为Ω={ω1，ω2， 第十一章 概率论初步 数据、模型与决策 (第二版) ω3，ω4，ω5}。
设事件A为“任取的一数是偶数”，求P（A）
设事件B为“任取的一数是5的倍数”求P（B）
第十一章 概率论初步
数据、模型与决策 (第二版)
袋内装有5个白球和5个黑球，从中任取两球 设事件A为“取到的都是白球”，求P（A）。
设事件B为“恰取到一只黑球”，求P（B）。
第十一章 概率论初步
数据、模型与决策 (第二版)
(AB)C=A(BC)
分配律：
(A B)C=AC BC
(AB) C=(A C)(B C)
对偶律：
=
AB
=
A B
第十一章 概率论初步
AB
AB 数据、模型与决策 (第二版)
第十一章 概率论初步
人教版高中总复习一轮数学精品课件 第11章 概率 11.6 正态分布
本 课 结 束
C.μ1<μ2
D.σ1>σ2
因为甲的图象关于直线x=0.4对称,乙的图象关于直线x=0.8对称,所以
μ1=0.4,μ2=0.8,故A正确,C正确.
因为甲的图象比乙的图象更“瘦高”,
所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量左右,σ1<σ2,
故B正确,D错误.
4.若随机变量X~N(μ,σ2),且P(X>5)=P(X<-1)=0.2,则P(-1<X<2)=
示正态分布的均值和方差.( √ )
(2)正态曲线是单峰的,其与x轴围成的面积随参数μ,σ的变化而变化.( × )
(3)正态曲线可以关于y轴对称.( √ )
2.某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),下列结论中不正确的是
( D )
A.σ越小,该物理量在一次测量中在区间(9.9,10.1)的概率越大
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
对点训练2
已知随机变量X~N(1,σ2),若P(-1<X<1)=a,则P(X>3)=( A )
1
A. -a
2
C.a
B.1-a
1
D.2+a
因为 X~N(1,σ2),所以 μ=1,
所以
所以
1
P(X>1)=2,P(1<X<3)=P(-1<X<1)=a,
1
P(X>3)=P(X>1)-P(1<X<3)= -a.
5-0.682 7)=0.135 9.
(3)因为 P(X>5)=P(X<-3),
所以
1
1
P(X>5)=2[1-P(-3≤X≤5)]≈ 2 ×(1-0.954
11.1.1随机事件的概率
从上例可以看出:当抛掷硬币的次数很多时, 出现正面的频率值是稳定的,接近于常数0.5, 在它左右摆动. 例2,表2:某批乒乓球产品质量检查结果表: 抽取球数 优等品数
m
50 45
100 92
200 194 0.97
二,随机事件的概率
1,举例 2,频率的定义 3,概率的定义
例1,掷硬币试验: 将一枚硬币抛掷 5 次,50 次, 掷硬币试验: 500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率 观察正面出现的次数及频率. 试验 序号
1 2 3 4 5 6 7
n=5 nH
2 3 1 5 1 2 4
n = 50
导入: 导入:
我们来看下面一些事件: 1,"导体通电时,发热"; 导体通电时,发热" 2,"抛一块石头,下落"; 抛一块石头,下落" 3,"在标准大气压下且温度低于00C时,冰 在标准大气压下且温度低于0 融化" 融化"; 4,"在常温下,焊锡熔化"; 在常温下,焊锡熔化" 5,"某人射击一次,中靶"; 某人射击一次,中靶" 6,"掷一枚硬币,出现正面". 掷一枚硬币,出现正面"
例1,指出下列事件是必然事件,不可能事 指出下列事件是必然事件, 还是随机事件: 件,还是随机事件: (1)"某地1月1日刮西北风"; (1)"某地1 日刮西北风" (2)"当x是实数时,x2≥0"; (2)" 是实数时, ≥0" (3)"手电筒的电池没电,灯泡发亮"; (3)"手电筒的电池没电,灯泡发亮" (4)"一个电影院某天的上座率超过50%". (4)"一个电影院某天的上座率超过50%"
高中数学 第十一章11.3 几何概型
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型二 与面积有关的几何概型
思维启迪 解析 探究提高
【例 2】 设有关于 x 的一元二次方 程 x2＋2ax＋b2＝0. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取 的一个数，b 是从 0,1,2 三个数中 任取的一个数， 求上述方程有实根 的概率； (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个 数，b 是从区间[0,2]任取的一个 数，求上述方程有实根的概率．
由 lg m 有意义知 m>0， 即使 lg m 有意义的范围是(0,4)，
4－0 4 故所求概率为 P＝ ＝ . 4－－1 5
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一 与长度有关的几何概型
【例 1】 在集合 A＝{m|关于 x 的 思维启迪 解析 答案 探究提高 3 2 方程 x ＋mx＋ m＋1＝0 无实 由 Δ＝m2－43m＋1<0 得－1<m<4. 4 4
题型一 与长度有关的几何概型
【例 1】 在集合 A＝{m|关于 x 的 思维启迪 解析 答案 探究提高 3 解答几何概型问题的关键在于弄 2 方程 x ＋mx＋ m＋1＝0 无实 4 清题中的考察对象和对象的活动 根}中随机地取一元素 m，恰使 范围．当考察对象为点，点的活 4 5 式子 lg m 有意义的概率为___． 动范围在线段上时，用线段长度 比计算；当考察对象为线时，一
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型三 与角度、体积有关的几何概型
思维启迪 解析
高等数学第11章 概率论
解法二 利用概率的加法公式
由于A1，A2，A3两两互斥
P (A ) P (A 1 ) P (A 2 ) P (A 3 )
CC 31C 230127
CC 32C 230117
CC 33C 230107
23 57
解法三 利用互逆事件的概率公式
A的逆事件表示没有取到白球，故
P(A)1P(A)1C30C13723 C2 30 57
定理11.1 如果事件A与B互斥，即 AB，
则 P (A B ) P (A ) P (B )。
推论1 若 A1,A2,,An两两互斥，则
P ( A 1 A 2 A n ) P ( A 1 ) P ( A 2 ) P ( A n )
推论2 P(A)1P(A)
（1）P(A) 70 7 100 10
（2）P(B) 25 1 100 4
（3）P(AB) 20 1 100 5
11.2 事件的独立性
由于甲厂产品有70件，其中次品有20件，故
P(B| A)202 70 7
类似地 P(A| B)204
25 5
从上例可引出求条件概率的计算方法，即
P ( C ) 0 .0 3 ， P (A |B ) 0 .4 5
P (A ) P (A ) B P ( B ) P (A |B )
[ 1 P ( C ) ] P ( A |B ) ( 1 0 . 0 3 ) 0 . 4 5 0 . 4 3 6 5
11.2 事件的独立性
11.1 随机事件的概率
例4 袋中有20个球, 其中有3个白球、17个 黑球，从中任取3个，求至少有一个白球的概率。
分析 用Ai表示取到i个白球，用A表示至 少有一个白球。
高中数学高考65第十一章 概率 11 2 几何概型
3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有_无__限__多__个_； (2)等可能性：每个结果的发生具有_等__可__能__性__. 4.随机模拟方法 (1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机 事件的概率的近似值的方法就是模拟方法. (2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法.这个方法的基本步骤 是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的 意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频 率fn(A)＝MN 作为所求概率的近似值.
跟踪训练3 在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动， 则此点落在正方体内部的概率为
A.6π
B.32π
C.π3
√D.23π3
解析 由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V1＝1，球 的直径是正方体的体对角线长，
故球的半径 R＝ 23，球的体积 V2＝43π× 233＝ 23π， 则此点落在正方体内部的概率 P＝VV12＝23π3.
√4－π
D. 4
123456
题组三 易错自纠 5.在区间[－2,4]上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|≤m 的概率为56，则 m＝_3__. 解析 由|x|≤m，得－m≤x≤m. 当 0<m≤2 时，由题意得26m＝65，解得 m＝2.5，矛盾，舍去. 当 2<m<4 时，由题意得m－6－2＝56，解得 m＝3.故 m＝3.
件 A＝“y0<2x0”，那么事件 A 发生的概率是
人教版高考总复习一轮数学精品课件 第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布-第七节 正态分布
02
研考点 题型突破
题型一 正态密度曲线的运用
典例1（多选题）某工厂加工一种零件，有两种不同
的工艺选择，用这两种工艺加工一个零件所需时间
（单位：h）均近似服从正态分布，用工艺1加工一个
零件所用时间～ 1, 12 ，用工艺2加工一个零件所
B.40
C.228
D.455
[解析]由正态分布 , 可知 = ， = ，∴ + = ， + = ，
∴ ≤ ≤ ≈
. −.
= . ， ≥ ≈
−.
= . ，
直径高于22的个数大约为 ÷ . × . = .故选D.
,
，无法比较
[对点训练1]已知随机变量服从正态分布 , 2 ，若函数 = ≤ ≤ + 1
为偶函数，则 =() C
1
2
1
2
A.− B.0C. D.1
[解析]因为函数 为偶函数，所以 − = ，即
− ≤ ≤ − + = ≤ ≤ + ，所以 =
B.曲线关于直线 = 对称
C.曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形状
D.曲线与轴之间的面积为1
[解析]由正态曲线的特点，易知B，C，D说法正确；对于A，曲线与轴不相交，故
A错误.故选.
2.已知随机变量服从正态分布 1, 2 ，若 > 2 = 0.15，则 0 ≤ ≤ 1 =
知，当 > 时，的密度曲线与轴所围成的面积大于的密度曲线与轴所围成的面
积，即 > > > ，所以 ≤ < ≤ ，所以应选择工艺2，所以C
第十一章第三节概率与统计的综合问题课件共51张PPT
(2)设受访者购买 A 款饮料的可能性高于购买 B 款饮料的可能性为事件 C.
记购买 A 款饮料的可能性是 20%为事件 A1；购买 A 款饮料的可能性是 60%为事件 A2；购买 A 款饮料的可能性是 90%为事件 A3；购买 B 款饮料的可 能是 20%为事件 B1；购买 B 款饮料的可能性是 60%为事件 B2；购买 B 款饮 料的可能性是 90%为事件 B3.
所以 P(X＝65)＝C33
1 (3
)3＝217
，
P(X＝70)＝C23 (13 )2(23 )1＝29 ，
P(X＝75)＝C13
1 (3
)1(23
)2＝49
，
P(X＝80)＝C03
2 (3
)3＝287
.
X 的分布列为
X
65
70
75
80
P
1
2
4
27
9
9
8 27
所以 E(X)＝65×217 ＋70×29 ＋75×49 ＋80×287 ＝75.
(1)求所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 x(同一组中 的数据用该组区间的中点值作代表).
(2)①由频率分布直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值 Z 服从正
态分布 N(μ，σ2)，利用该正态分布，求 Z 落在(14.55，38.45]内的概率；
②将频率视为概率，若某人从该市某超市购买了 4 包这种品牌的速冻水 饺，记这 4 包速冻水饺中该项质量指标值位于(10，30]内的包数为 X，求 X 的分布列和数学期望．
年龄大于 50 岁
12
40
52
年龄不大于 50 岁
18
20
38
总计
概率统计和随机过程课件第十一章：随机过程引论
随机过程的概率分布函数
定义
概率分布函数是描述随机过程取值范 围的函数，它给出了随机过程在任意 时刻取值小于或等于某个值的概率。
性质
计算方法
通过积分计算随机过程取某个区间的 概率，即概率分布函数的积分。
概率分布函数具有非负性、规范性和 单调不减性。
随机过程的数字特征
01
02
03
04
均值
描述随机过程的平均水平或中 心趋势的量。
独立性
如果两个随机过程在时间上互不相关，即它们的统计特性相互独立，则称这两个随机过程 为独立的。独立性是描述两个随机过程之间关系的重要性质。
遍历性
如果一个随机过程的统计特性在时间上趋于稳定，即随着时间的推移，该随机过程的概率 分布或均值等统计量趋于某个常数，则称该随机过程具有遍历性。遍历性是描述一个随机 过程长时间行为的重要性质。
04
随机过程的高频性质
随机过程的频谱分析
频谱分析
频谱分析是研究随机过程频率域特性的方法，通过将时间 域的随机过程转换为频率域进行分析，可以揭示随机过程 的频率结构和特征。
离散频谱与连续频谱
根据随机过程的时间离散程度，频谱可以分为离散频谱和 连续频谱。离散频谱对应于离散时间随机过程，连续频谱 对应于连续时间随机过程。
概率统计和随机过程课件 第十一章：随机过程引论
• 随机过程引论 • 随机过程的概率分布 • 随机过程的变换与运算 • 随机过程的高频性质 • 随机过程的应用
01
随机过程引论
随机过程的定义与分类
定义
随机过程是随机变量在时间或空间中的变化。它描述了一个随机现象在连续时间或离散时间下的变化规律。
分类
随机过程在信号处理中的应用
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第十一章 第四节 随机事件的概率与古典概型
∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择L1.
同理,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0+0.1+0.4+0.4=0.9.
∵P(B1)<P(B2),∴乙应选择L2.
规律方法 计算简单随机事件的频率或概率的解题步骤
对点训练某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为
P(A)+P(B)
性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=
P(A)=
1
1-P(B)
1-P(A)
;
,
;
性质5:如果A⊆B,那么
P(A)≤P(B)
,由该性质可得,对于任意事件A,因为
⌀⊆A⊆Ω,所以0≤P(A)≤1;
性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,有
P(A∪B)= P(A)+P(B)-P(A∩B) .
选择L1的人数 6
12
18
12
12
选择L2的人数 0
4
16
16
4
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;
(2)分别求通过路径L1和乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大
可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的
(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的
160%”,求P(B)的估计值;
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
解 (1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2.
由所给数据知,一年内出险次数小于 2
60+50
的频率为 200 =0.55,故
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第十一章 概率1、从编号分别为1，2，…，9的9张卡片中任意抽取3张，将它们的编号从小到大依次记为x ，y ，z ，则y - x ≥2，z - y ≥2的概率为（ ）A 、13B 、512C 、14D 、5281、B【思路分析】法一：（1）当x = 1，y 分别取3 , 4 ,5 , 6 , 7时，对应的取法分别有5 , 4 , 3 , 2 , 1种； （2）当x =2，y 分别取4 , 5 , 6 , 7时，对应的取法分别有4 , 3 , 2 , 1种；……共有5种情况，故适合y – x ≥2，z – y ≥ 2的取法共有 (5+4+3+2+1) + (4+3+2+1) + (3+2+1) + (2+1) + 1 = 35种.故31035512p C ==为所求. 法二（插空法）：实质是“从1 , 2 ,…,9中任取三数，求这三个数不相邻的概率”，故所求概率为37310512C p C ==.【命题分析】考查两个计数基本原理，排列、组合以及古典概型，枚举法等基础知识与方法，转化化归的数学思想.2、俊、杰兄弟俩分别在P 、Q 两篮球队效力，P 队、Q 队分别有14和15名球员，且每个队员在各自队中被安排首发上场的机会是均等的，则P 、Q 两队交战时，俊、杰兄弟俩同为首发上场交战的概率是（首发上场各队五名队员）（ ）A ．2101 B ．425 C ．4225 D ．412、解：P （俊首发）=145 P （杰首发）=155=31P （俊、杰同首发）=42531145=⨯ 选B 评析：考察考生等可能事件的概率与相互独立事件的概率问题。
3、一块电路板上有16个焊点，其中有2个不合格的虚焊点，但不知是哪两个，现要逐一检查，直到查出所有虚焊点为止，设K 是检查出两个虚焊点时已查焊点的个数，现有人工和机械两种方式，设人工检查时K=15的概率为1P ，机械检查时K=15的概率为2P ，则有( )A.21P P =B.21P P <C.21P P >D.不能确定 3、C 人工检查时k 的最大值为15，，当检查完前面15个焊点时就可以断定最一 个焊点的虚实情况，最后一个不需要检查，此时，当k=15时 120282142161=⨯=C P ；机械检查时，在未检查出所有虚焊点均必须继续检查，此时k =15时， 12014142162==C P ， ∴ 21P P >.4、(文)一个班共有学生50人，其中男生30人，女生20人，为了了解这50名学生的身体状况有关的某项指标，今决定采用分层抽样的方法，抽取的一个容量为20的样本，则男生张某被抽取的概率是_________ . 4、 (文)52 每个人抽取的机会均等525020= . 5．如图是一个正方体的纸盒纸盒的展开图，若把1，2，3，4，5，6分别填入小正方形后，按虚线折成正方体，则所得到的正方体相对面上的两个数的和都相等的概率是A 、16B 、115C 、160D 、11205、B【思路分析】：由题易知1,6；2,5；3,4、分别填入M 、N 、P 中，有32223222A A A A ，不考虑其它条件有66A 种，则概率为3222322266115A A A A A = 【命题分析】：本题考察排列组合与概率的应用6、两位同学一起去一家单位应聘，面试前单位负责人对他们说：“我们要从面试的人中招聘3人，你们俩同时被招聘进来的概率是701”，根据这位负责人的话可以推断出参加面试的人数为 （ ）A 、21B 、35C 、42D 、706、（分析：设参加面试的有n 人，则他们同时被招聘的概率为701)1(6312=-=-n n C C nn ∴21=n 故选A 项）（文）一班级有学生50人，其中男生30人，女生20人，为了了解50名学生与身体状况有关的某项指标，今决定采用分层抽样的方法，抽取一个容量为20的样本，则其中某男生恰被抽中的概率是（文）（在抽样中每一个个体入样概率是相等的，所以525020==P ） 7．袋中装有4个红球和3个白球，从中一次摸出2个球，颜色恰好不同的概率为 。
7．74[思路分析]：从7个球中摸出2球的总的可能结果有27C 种，一红一白的结果数为1314C C 种，∴概率为74271314=C C C 。
[命题分析]：考查随机事件发生的概率。
8．有红、黄、蓝、绿4种颜色的纸牌各9张，每一种颜色的纸牌都顺次编号1，2，3，4，5，6，7，8，9.现将36张纸牌混合后从中任意抽取4张，则4张牌的颜色相同的概率是_________.4张牌的颜色相同且数字相连的概率_________. 8.9358 ,196358 9．(本题满分12分)从10个元件中（其中4个相同的甲品牌元件和6个相同的乙品牌元件）随机选出3个参加某种性能测试. 每个甲品牌元件能通过测试的概率均为54，每个乙品牌元件能通过测试的概率均为53.试求： （I ）选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件的概率；（II ）若选出的三个元件均为乙品牌元件，现对它们进行性能测试，求至少有两个乙品牌元件同时通过测试的概率. 9、【思路分析】：（Ⅰ）随机选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件的概率为1－3631056C C =；………………6分（Ⅱ）至少有两个乙品牌元件同时通过测试的概率为22333()(1)55C 鬃-+3333()5C ×=12581；………………12分 【命题分析】：考察随机事件的概率10.（12分）（文科）甲乙两支足球经过加时赛比分仍为0：0，现决定各派5名队员，每人射一个点球决定胜负，假设两支球队派出的队员每人的点球命中率为0.5（相互独立）。
（1）如果不考虑乙队，那么甲队5名队员中有连续三名队员射中而另两名队员未射中的概率是多少？（2）甲、乙两队各射完5个点球后，再次出现平局的概率是多少？（12分） 10．（文科）（1）设A ：甲队5名队员有连续三人射中，其余2人未中，则P （A ）＝3×0.53（1－0.5）2＝323（2）共有六种情形P ＝［C 05（1－0.5）5］2＋［C 150.5（1－0.5）4］2＋…＋［C 550.55］2 ＝1021 （12＋52＋102＋102＋52＋1）＝25663＝2566311．“国庆七日乐”猜谜大赛，A 、B 两队参赛，第一轮每队必猜三题，第二轮抢猜七道题，恰好A 队多抢猜一题，第三轮以游戏来决定各队的猜题数，若规定猜对一题得100分，猜错一题或不猜不得分，且A 、B 两队猜对每一题的概率分别是0.7、0.8，试求前两轮下来（1）B 队得分ξ的分布列；（2）A 、B 两队哪个队领先的可能性大，并写出理由。
11．解析：121，η2~B(6,0.8)∴E（η1）=7×0.7 E(η2) = 6×0.8E(η1)＞E （η2）即A 队领先的可能性大。
评析：考察考生解答应用题的能力，理解前两轮实质是一轮是关键，二项分布的期望的求法，意义理解。
12、（文）九国参加女排大奖赛，先抽签均分成A 、B 、C 三个小组进行循环赛 ，各组前二名进入第二轮淘汰赛 ，中国、古巴、巴西为上届前三名。
（1）求上届前三名都不同组的概率； （2）求上届前三名抽在同一小组的概率。
12、（文）解答：（1）P 1=3639332426C C A C C ⋅⋅⋅=289 答：上届前三名都不同组的概率为289。
（2）P 2=281C C C C 36393613=⋅⋅ 答：上届前三名抽在同一组的概率是281。
评析：考察考生解答等可能事件概率问题的能力，基本事件结果数与所研事件的个数关系，两种均分问题的理解能力。
13、[文]如图是一个方格迷宫，甲、乙两人分别位于迷宫的A 、B 两处，现以每分钟一格的速度同时出发，在每个路口只能向东、西、南、北四个方向之一行走。
若甲向东、向西行走的概率均为41，向南、向北行走的概率分别为31和p ，乙向东、南、西、北四个方向行走的概率均为q.（Ⅰ）求p 和q 的值；（Ⅱ）设至少经过t 分钟，甲、乙两人能首次相遇，试确 定t 的值，并求t 分钟时，甲、乙两人相遇的概率. 13、[文]、【思路分析】（Ⅰ）111114436p p +++=∴=41q = ，14q ∴= ………………………………………4分（Ⅱ）t=2，甲、乙两人可相遇（如图，在C 、D 、E 三处相遇） ……………………6分设在C 、D 、E 三处相遇的概率分别为P C 、P D 、P E ，则：P C =5761)4141()6161(=⨯⨯⨯P D =961)4141(2)4161(2=⨯⨯⨯P E =2561)4141()4141(=⨯⨯⨯ ……………………10分 故所求的概率为P C +P D +P E =230437……………… 12分【命题分析】主要考查互斥事件，相互独立事件的概率计算，以及运用概率知识解决实际问题的能力.东 南。