2007年全国高中数学联合竞赛一试试题及参考答案

2007年全国高中数学联合竞赛一试试卷

（考试时间：上午8：00—9：40）

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C

的平面角的余弦值为（ ） A. 71 B. 71- C. 21 D. 21- 2. 设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数x 恒成立，则满

足条件的a 所组成的集合是（ ） A. ]31

,31[- B. ]21,21[- C. ]31,41[- D. [−3，3]

3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。则使不等式a −2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ ） A. 8152 B. 8159 C. 8160 D. 81

61 4. 设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x −c )=1对任意实数x 恒成立，则a

c b cos 的值等于（ ） A. 21- B. 21 C. −1 D. 1

5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（ ）

6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且

为A ∩B 空集。若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ）

A. 62

B. 66

C. 68

D. 74

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，3)，D (−1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。

8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，

33=CA ，若2=⋅+⋅AF AC AE AB ，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于________。

9. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A 为球心，3

32为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。

10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。若a 1=d ，

b 1=d 2，且3

21232221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________。 11. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-=x x πx πx x f ，则f (x )的最小值为________。

12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小

方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法

共有________种（用数字作答）。 D A B

C P

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

13. 设∑=-+=

n

k n k n k a 1)

1(1，求证：当正整数n ≥2时，a n +1+=x x x y 交于两个不同点M 和N 。求曲线C 在点M 、N 处切线的交点轨迹。

15. 设函数f (x )对所有的实数x 都满足f (x+2π)=f (x )，求证：存在4个函数f i (x )(i =1，2，3，

4)满足：（1）对i =1，2，3，4，f i (x )是偶函数，且对任意的实数x ，有f i (x+π)=f i (x )；（2）对任意的实数x ，有f (x )=f 1(x )+f 2(x )cos x+f 3(x )sin x+f 4(x )sin2x 。

2007年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C

的平面角的余弦值为（ B ） A. 71 B. 71- C. 21 D. 21- 解：如图，在侧面PAB 内，作AM ⊥PB ，垂足为M 。连结CM 、AC ，则∠AMC 为二面角A −PB −C 的平面角。不妨设AB =2，则22==AC PA ，斜高为7，故2272⋅=⨯AM ，由此得

27==AM CM 。在△AMC 中，由余弦定理得7

12cos 222-=⋅⋅-+=∠CM AM AC CM AM AMC 。 2. 设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ A ） A. ]3

1,31[- B. ]21,21[-

C. ]3

1,41[- D. [−3，3] 解：令a x 32=，则有3

1||≤a ，排除B 、D 。由对称性排除C ，从而只有A 正确。 一般地，对k ∈R ，令ka x 21=，则原不等式为2|||3

4|||23|1|||a k a k a ≥-⋅+-⋅，由此易知原不等式等价于|3

4|23|1|||-+-≤k k a ，对任意的k ∈R 成立。由于 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<≤-≥-=-+-12

533

4121134325|34|23|1|k k k k k k k k ， 所以31|}34|23|1{|min R =-+-∈k k k ，从而上述不等式等价于31||≤a 。 3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。则使不等式a −2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ D ） A. 8152 B. 8159 C. 8160 D. 81

61 解：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个。由不D A

B C

P M