解析几何-2016年高考数学备考策略：抛物线的几何性质

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高中抛物线知识点总结

高中抛物线知识点总结抛物线是高中数学中的一个重要概念，它有着广泛的应用和深厚的理论基础。

在高中数学中，我们学习了抛物线的方程、性质、图像以及与二次函数、解析几何等知识的关联。

本文将对高中抛物线的相关知识进行总结和梳理，以帮助我们更好地理解和应用这一概念。

一、抛物线的定义和基本性质抛物线是指平面上到定点距离与到定直线距离相等的动点所形成的轨迹。

其方程通常表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。

抛物线具有以下基本性质：1. 它的对称轴是与x轴垂直的直线，过顶点。

2. 它的顶点是抛物线的最低点或最高点。

3. 它开口的方向取决于a的值，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

4. 它的图像关于对称轴对称。

二、抛物线的图像与方程通过对抛物线的方程进行分析，我们可以得到一些关于抛物线图像的信息。

1. 抛物线的顶点坐标可以通过求解方程y=ax^2+bx+c的极值点（即导数为0的点）得到。

顶点的横坐标为x=-b/(2a)，纵坐标为y=f(x)。

2. 当a>0时，抛物线的图像开口向上，极值点是最低点；当a<0时，抛物线的图像开口向下，极值点是最高点。

3. 当抛物线的方程为y=ax^2+bx+c时，通过对y的值进行分析我们可以得到抛物线的开口大小和位置信息。

三、抛物线与二次函数的关系抛物线是二次函数的特殊图像，二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c。

通过对比抛物线与二次函数的方程，我们可以得到它们之间的关系。

1. 抛物线与二次函数的图像形状相同，二次函数可以表示抛物线的图像；2. 二次函数告诉我们抛物线的方程形式，可以通过方程的系数判断抛物线打开的方向和大小，掌握二次函数的性质有助于理解和研究抛物线。

四、抛物线与解析几何的关系抛物线在解析几何中有重要的应用和意义，特别是在平面直角坐标系中。

抛物线的方程可以表示平面上的曲线，通过解析几何的相关知识我们可以分析抛物线的性质和特点。

新高考数学抛物线知识点

新高考数学抛物线知识点抛物线作为数学中的重要概念之一，广泛应用于物理、工程等领域。

在新高考数学考试中，抛物线也是一个重要的知识点。

本文将以新高考数学为背景，探讨抛物线的相关概念、性质和应用。

1. 抛物线的定义与基本方程抛物线是在平面上以某一点为焦点，与一条与焦点不重合的直线相切的点的轨迹。

在直角坐标系中，抛物线的方程是$y=ax^2+bx+c$，其中$(a\neq 0)$。

2. 抛物线的几何性质（1）焦点与准线：抛物线上的每一点到焦点的距离与该点到准线的距离相等。

准线是抛物线对称轴上的一条水平直线。

（2）对称性：抛物线关于准线对称。

（3）定点：抛物线上的顶点是准线与抛物线的交点，也是抛物线的最值点。

（4）开口方向：抛物线开口的方向取决于二次项系数$a$的正负。

当$a>0$时，抛物线开口向上；当$a<0$时，抛物线开口向下。

3. 抛物线的相关公式（1）焦距公式：焦距$f=\dfrac{1}{4|a|}$。

焦点到准线的距离等于焦点到抛物线顶点的距离。

（2）焦点坐标：焦点的坐标为$(0, \dfrac{1}{4|a|})$。

（3）顶点坐标：抛物线的顶点坐标为$(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$。

（4）准线方程：准线的方程为$y=-\dfrac{1}{4a}$。

4. 抛物线的应用抛物线作为一种强大的数学工具，在实际生活中有着广泛的应用。

（1）物理学中的应用：抛物线可以用来描述自由落体和抛体运动的轨迹。

例如，投掷物体的运动轨迹可以近似为一个抛物线。

（2）工程学中的应用：抛物线在工程设计中有着重要的应用，如天桥的设计、悬索桥的设计等。

通过抛物线的性质和公式，工程师可以合理地设计结构，使得建筑物的受力分布更加均匀并且美观。

（3）经济学中的应用：抛物线可以用来描述成本和利润之间的关系。

例如，在经济学中，经济学家经常使用抛物线来分析成本与产量之间的关系，并确定生产的最佳产量。

抛物线的概念性质几何意义

抛物线的概念性质几何意义抛物线是数学中重要的曲线之一，具有许多独特的概念性质和几何意义。

在本文中，我们将探讨抛物线的这些性质，并详细解释其几何意义。

首先，抛物线可以通过以下的数学定义来描述：抛物线是一个平面曲线，其点到焦点的距离等于点到准线的距离。

这个定义可以形式化为抛物线的标准方程：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是实数，并且a不等于0。

几何意义上，抛物线具有以下性质：1.对称性：抛物线是关于焦点所在的直线（称为对称轴）对称的。

这意味着，如果我们选择抛物线上的一个点P，并且通过对称轴绘制一条垂直于对称轴的线，那么这条线将穿过抛物线的两个点，其中一个是P的镜像。

这种对称性使得抛物线在几何和物理问题中具有重要的应用。

2.焦点和准线：抛物线的焦点是其特殊的点，它位于对称轴上。

焦点的几何意义是，对于通过焦点的任意直线，该直线与抛物线的两个切点之间距离相等。

这个性质被广泛应用于抛物物镜、卫星天线和汽车大灯等设计中。

3.方程的系数：抛物线方程的系数a、b和c对其形状产生影响。

如果a的值大于0，抛物线将开口向上；如果a的值小于0，抛物线将开口向下。

同时，a的绝对值决定了抛物线的曲率程度，绝对值越大，曲线越陡峭。

通过调整这些系数，我们可以调整抛物线的形状和位置。

4.最值点：抛物线的最值点是其曲线上的最高点（顶点）和最低点（谷底）。

顶点的x坐标可以通过抛物线方程的关键点公式计算，即x=-b/(2a)。

这个点对应于抛物线的对称轴上的点，同时也是其焦点的位置。

5.切线和法线：抛物线上的任意一点P处的切线是通过该点的抛物线曲线的切线，其斜率等于该点处的导数。

法线则是与切线垂直的线。

抛物线具有特殊的性质，即通过顶点的切线和准线平行，通过焦点的切线和准线垂直。

这些性质在物理学中的运动学问题中非常有用。

6.面积和弧长：抛物线上的面积可以通过定积分计算，其具体形式可以根据抛物线方程来确定。

同样，抛物线的弧长也可以通过定积分来计算，其结果是一个复杂的参数方程。

抛物线的几何性质

抛物线的几何性质一、知识点:抛物线的几何性质(以px y 22=为例) 1．范围因为p ＞0，由方程()022>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 2．对称性以－y 代y ，方程()022>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． 3．顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中，当y=0时，x=0，因此抛物线()022>=p px y 的顶点就是坐标原点．4．离心率抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1．注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也就是说接近于和对称轴所在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线的斜率结论一：若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2124px x =，212y y p =-。

证明：因为焦点坐标为F(2p ,0),当AB 不垂直于x 轴时，可设直线AB 的方程为：()2p y k x =-，由2()22p y k x y p x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得: 2220ky py kp --= ∴212y y p=-，2242121222244y y ppx x p p p =⋅==。

当AB ⊥x 轴时，直线AB 方程为2p x =，则1y p =，2y p =-，∴212y y p =-，同上也有：2124px x =。

高二数学抛物线的简单几何性质2

点的轨迹方程.
； / 配资公司；
想到老疯子震动而出の八卦图/再联想到神宫中见到の/总觉得老疯子和神宫有着极深の渊源/睡古沉默咯壹会儿/摇咯摇头道/我跟着它最久/但不透它/也不知道它の来历/只确定听说它曾经招惹过不少人/连妖宫这样统御圣地の绝世势力都曾经闹过/或许/它确定壹位活着の至尊也说不定/想到老疯子和血屠至尊交手还完好/又打退不落圣兵/睡古觉得老疯子就算不到至尊/也相距至尊不远咯/"或许确定壹佫至尊/马开重复咯壹句/心中却不能平静/在这佫圣者都不出の年代/还有至尊能游荡在滴地间?而且/老疯子除去这几滴癫狂表现出来の恐怖/什么时候又有至尊の气势?马开深吸咯壹口气/想咯想还确定对着睡古说道/我の混沌青气确定在禁地神宫得到の/此时神宫の两方/镇压着两具尸身/尸身和老疯子壹模壹样/你要确定想咯解/可以远远の离着神宫上壹眼/或许能到那两具壹模壹样の尸身/""什么/睡古倒吸咯壹口凉气/这佫消息让它难以平静/瞳孔猛然の收缩/ 眼中光芒爆射直直の盯着马开/"你说の确定真の/马开耸耸肩/当初误入其中/侥幸逃の壹命/也算好运气/居然得到咯混沌青气/"睡古没有想到马开の混沌青气确定这样得来の/它深吸咯壹口气/着马开说道/这么说来/老头子の来历更不简单咯/很旧很慢比较/)说不定/真の如同它说の那样/它活の比无心峰存在还久/"///情域这数滴发生の事/让壹域震动/尽管此刻情域恢复平静/但世人都在议论纷纷/不管确定圣地还确定普通修行者/都心中涌起咯惊涛骇浪/当然/正如睡古说の那样/不落山尽管毁の差不多咯/但活下来の修行者依旧有不少/这些人侥幸逃过壹劫/对睡古马开等人自然恨之入骨/这些人在老疯子走后/就追逐而出/前来追杀睡古和马开两人/睡古の实力自然不确定它们能追上の/但在睡古走后/马开却不轻松/知道身后有追杀而来の人/它小心の行走/前去找寻欧奕

抛物线的简单几何性质

抛物线的简单几何性质抛物线是数学中一个经典的曲线，由于其独特的形状和广泛的应用，它被广泛研究和使用。

本文将介绍抛物线的一些简单的几何性质。

1. 抛物线的定义抛物线是指平面上的一类曲线，其定义为平面上离定点（焦点）距离与定直线（准线）距离相等的点的集合。

这个定义可以用数学表达式来描述，即：y = ax^2 + bx + c其中 a、b 和 c 是常数，a 不等于 0。

这个方程描述了平面上所有满足以上条件的点的集合，即抛物线。

2. 抛物线的对称性抛物线具有轴对称性，即它关于某一直线对称。

这条直线称为抛物线的对称轴。

对称轴与抛物线的顶点有关，顶点是抛物线的最高点或最低点。

对于抛物线的标准方程y = ax^2 + bx + c，对称轴的公式为x = -b/(2a)。

3. 抛物线的顶点抛物线的顶点是曲线的最高点或最低点，位于抛物线的对称轴上。

对于标准方程y = ax^2 + bx + c，顶点的 x 坐标可以通过-b/(2a)计算得出。

将其代入方程中得到对应的 y坐标。

4. 抛物线的焦点和准线在抛物线的定义中提到了焦点和准线。

焦点是一个点，位于抛物线的对称轴上，与抛物线上的所有点到准线的距离相等。

准线是一个直线，与抛物线不相交，且与焦点的距离相等。

焦点的计算可以使用以下公式：F(x, y) = (x, y)，其中 x = -b/(2a)，y = (1 - (b^2 - 4ac))/(4a)准线的方程为y = (1 - (b^2 - 4ac))/(4a)。

5. 抛物线的焦距和方向焦距是指焦点到准线的距离，也可以视为焦点到对称轴的垂直距离。

焦距的计算公式为f = 1/(4a)。

由此可见，焦点到对称轴的距离与 a 的值有关。

当 a 的值越小，焦距越大，抛物线会变得扁平；当 a 的值越大，焦距越小，抛物线会变得尖锐。

根据 a 的正负，抛物线的方向也会有所不同。

当 a 大于 0 时，抛物线开口朝上；当 a 小于 0 时，抛物线开口朝下。

抛物线知识点高考

抛物线知识点高考高中数学中的抛物线知识点在高考中占据了重要的位置。

抛物线是数学中的一种曲线，具有很多有趣的性质和应用。

在本文中，我们将深入探讨抛物线的定义、性质以及高考中常见的相关考点。

首先，我们来介绍一下抛物线的定义。

抛物线是由一个定点（焦点）和一条直线（准线）确定的曲线。

对于抛物线上的任意一点P，它到焦点的距离等于它到准线的距离。

这个定义能够很好地解释抛物线的形状，以及抛物线上各个点的位置关系。

接下来，我们来探讨抛物线的性质。

首先是对称性。

抛物线具有对称轴，对称轴是通过焦点垂直于准线的直线。

抛物线的形状在对称轴两侧完全相同，即左右对称。

其次是焦点与准线之间的距离关系。

抛物线上任意一点到焦点与准线的距离之差保持不变。

这个性质在物理学中有广泛的应用，例如反射和聚焦。

最后是切线和法线。

抛物线上每一点处都有唯一的切线和法线，切线与法线相互垂直。

在高考中，抛物线相关的知识点主要包括方程求解、性质应用以及相关的解析几何问题。

首先是方程求解，即给定一个抛物线的方程，要求求解其焦点、准线以及对称轴等相关的信息。

其次是性质应用，例如给定一个抛物线上的一点，要求计算它到焦点和准线的距离之差。

另外，还会出现一些解析几何的问题，例如给定一个抛物线和一条直线，要求求解它们的交点等等。

在解决这些问题的过程中，我们可以运用一些有效的方法和技巧。

其中，最重要的是熟练掌握抛物线的标准方程和一般方程。

标准方程是y^2=4ax，其中a是抛物线的参数。

一般方程是y=ax^2+bx+c。

通过这两个方程，我们可以很方便地确定抛物线的性质和解析几何问题的解。

另外，还要注意抛物线的对称性质和距离关系，这些特性对于解题至关重要。

总之，抛物线是高中数学中一个重要的知识点，也是高考中经常出现的考点之一。

通过深入了解抛物线的定义、性质以及运用方法，我们可以更好地应对高考中的相关题目。

希望本文的介绍和解析能够帮助到同学们更好地掌握抛物线知识，取得优异的成绩。

抛物线几何性质(抛物线几何性质总结)

思考: “一条直线和抛物线 y2 2 px( p 0) 相交, 两个交点的纵坐标为 y1 、y2 ,且 y1 y2 p2 .则这条直线过焦点.”成立吗?
例2. 求证: 以抛物线的焦点弦为直径的圆与
抛物线的准线相切.
证明：取AB的中点M, 过A、B、C点作准线的
垂线, 垂足为A1、B1、M1, 则
x＋5＝0的距离小1,求点M的轨迹方程．
分析：如图可知原条件等价于M点到F(4, 0)和到
x＝－4距离相等，由抛物线的定义，
点M的轨迹是以F(4, 0)为焦点,x＝－4为准
线的抛物线．
y
因为p/2=4, 所以p=8,
M(x , y)
所求方程是 y2＝16x．
-5 -4
F(4,0) x
例2. M是抛物线y2 = 2px (p＞0)上一点, 若点M的
2
∴直线 AB 的方程为 x
y cot
p
由
x
y cot
p 2
消去
x
并整理
2
y2 2 px
得 y2 2 py cot p2 0
∴ y1 y2 2 p cot , y1 y2 p2
( x1 , y1 )
( x2 , y2 )
与直线的倾斜角无关!
AB ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 = (1 cot2 )( y1 y2很)2奇怪!
三角形，那么∠CFD的大小如何？
yA C
90°
OF
x
D
B
形成结论
过抛物线y2=2px的焦点F作直线交抛物线于A、 B两点，焦点弦AB具有如下性质.
1
AB
x1
x2
p
2p

高中抛物线性质总结

高中抛物线性质总结高中数学中，抛物线是一种重要的二次曲线，具有许多重要的性质。

在学习和理解抛物线的过程中，我们需要研究和掌握这些性质。

本文将总结和介绍高中抛物线的一些重要性质。

首先，抛物线的定义对于理解它的性质至关重要。

抛物线是由一系列平面上满足特定关系的点组成的图形。

它的定义方程可以写成y=ax^2+bx+c的形式，其中a、b和c是实数，且a不等于零。

根据a的正负和b的零或非零，抛物线可以有不同的形状。

第一个要介绍的性质是抛物线的焦点和准线。

抛物线上的所有点到焦点的距离与到准线的距离相等。

这个性质被称为焦准性质，是抛物线最重要的性质之一。

焦点和准线的位置可以通过抛物线的定义方程来确定，其中焦点的坐标可以用a和b表示，准线的方程是x=-b/2a。

第二个要介绍的性质是抛物线的对称性。

抛物线的定点坐标是它的开口朝上或者朝下的端点，被称为顶点。

抛物线以顶点为中轴线对称，也就是说，如果点P(x, y)在抛物线上，那么点P'(-x, y)也在抛物线上。

这个性质可以用定义方程来证明。

第三个要介绍的性质是抛物线的切线和法线。

抛物线上的任意一点P(x, y)处的切线是过点P且与抛物线相切的直线。

切线的斜率等于抛物线在该点的导数。

法线是与切线垂直的直线，它的斜率等于切线的斜率的负倒数。

第四个要介绍的性质是抛物线的拐点。

抛物线在顶点处有一个拐点，也就是说，抛物线在开口朝上或者朝下端点处的切线是水平的。

第五个要介绍的性质是抛物线的焦直径性质。

对于抛物线上的任意一点P(x, y)，它到焦点的距离等于它到准线的距离的二倍。

这个性质可以用定义方程和几何性质来证明。

第六个要介绍的性质是抛物线的判别式。

通过判别式可以判断给定的二次方程是否表示一条抛物线，并且可以确定抛物线的开口朝上还是朝下。

判别式的符号取决于二次方程的系数。

如果判别式大于零，那么抛物线开口朝上；如果判别式小于零，那么抛物线开口朝下；如果判别式等于零，那么二次方程表示一条抛物线。

认识抛物线及其性质

认识抛物线及其性质抛物线是数学中一种重要的曲线形状，它在物理学、工程学以及其他领域中都有广泛的应用。

本文将介绍抛物线的定义和性质，以及它在现实生活中的应用。

一、抛物线的定义抛物线可以通过以下的定义来描述：任意平面上给定一个定点F及一条直线L，不经过定点F，定点到直线上每一点的距离与点到直线的距离之比是一个常数。

这个比值称为离开定点F的距离与到直线L的距离之比的平方根，用e表示。

抛物线上的点P到定点F的距离与点P 到直线L的距离之比也等于e。

二、抛物线的性质1. 焦点和准线：在抛物线上，定点F称为焦点，直线L称为准线。

焦点是抛物线的重要属性之一，它与离开定点F的距离与到直线L的距离的关系密切相关。

2. 对称性：抛物线具有关于准线的对称性，即抛物线上的任意一点P到准线L的距离等于点P关于准线L的对称点P'到准线L的距离。

这一性质使得抛物线具有很好的对称美。

3. 焦半径：抛物线上任意一点P到焦点F的距离称为焦半径，记为r。

焦半径的值与点P在抛物线上的位置有关，它随着点P在抛物线上的移动而变化。

4. 焦直径：抛物线上两个焦点之间的距离称为焦直径，记为d。

焦直径的长度也是与焦半径相关的，它总是等于4倍的焦半径。

三、抛物线的应用抛物线在现实生活中有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用领域：1. 抛物线的光学应用：抛物面是抛物线绕其准线旋转一周形成的曲面，它具有将入射光线聚焦到一个点的特性，因此广泛应用于望远镜、反射望远镜和抛物线反射器等光学仪器中。

2. 抛物线的物理应用：抛物线是自由落体运动的轨迹，因此在物理学中，抛物线被用来描述自由落体物体的运动轨迹。

3. 抛物线的工程应用：抛物线的特性使其在工程学中得到广泛应用。

比如，在桥梁设计中，抛物线的形状使得桥梁能够承受更大的重量。

4. 抛物线的图像应用：抛物线因其美观和对称性，经常在艺术和设计中被使用。

比如，建筑物的设计、家具的造型等都可以运用抛物线的形状。

几何中的抛物线性质

几何中的抛物线性质抛物线是数学中的一种特殊曲线，它在几何学和物理学等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍抛物线的定义及其基本性质，包括焦点、准线、顶点、对称轴等重要概念。

同时，还将探讨抛物线的相关公式和实际应用，帮助读者更好地理解并应用这一几何形状。

一、抛物线的定义抛物线是一种二次曲线，由焦点到准线的距离始终相等构成。

其数学表达式为：y = ax² + bx + c其中a、b、c为常数且a≠0。

抛物线是一个平滑的U形曲线，向上或向下开口，具有许多独特的性质。

二、抛物线的基本性质1. 焦点和准线：焦点是指离抛物线上任意一点的距离与该点到准线的距离相等的点。

准线是平行于对称轴，并与抛物线不相交的一条直线。

2. 顶点和对称轴：顶点是指抛物线的最高点或最低点，即曲线的拐点。

对称轴是通过焦点和顶点的直线，也是抛物线的对称轴线。

3. 焦距公式：焦距是指焦点到对称轴的距离。

在一般的抛物线方程中，焦距的计算公式为：f = 1 / (4a)4. 切线和法线：切线是抛物线某一点处切于曲线的直线，而法线则与切线垂直。

5. 弧长和曲率：抛物线的弧长可使用积分计算。

曲率是抛物线某一点处曲线的弯曲程度，由相应的导数或偏导数表示。

三、抛物线的相关公式1. 标准形式：y = ax²2. 顶点坐标：(-b/2a, f(-b/2a))3. 焦点的坐标：(p, a/p)，其中p为焦距4. 准线方程：y = -p5. 切线方程：y = mx + c，其中m是抛物线某一点处的导数，c为相应的截距四、抛物线的实际应用抛物线不仅在数学领域中具有重要意义，还广泛应用于各行各业。

以下是一些抛物线在实际中的应用示例：1. 抛物线反射器：抛物线形状的反射器可以将平行光线聚焦到一个点上，常用于望远镜、卫星天线等设备中。

2. 炮弹的轨迹：抛物线方程可用于计算炮弹射程和最大高度等参数，有助于炮弹的轨迹预测和射击控制。

3. 桥梁设计：在桥梁的设计过程中，抛物线形状能够提供足够的结构安全性和荷载分布均匀性。

高二数学抛物线的几何性质3

抛物线的简单几何性质
一、抛物线的范围: y2=2px
Y
•X 0
X
•y取全体实数
二、抛物线的对称性
Y
y2=2px
关于X轴对称没有对称中心
X
三、抛物线的顶点
Y
y2=2px
X
定义：抛物线与对称轴的交点，叫做抛物线的顶点只有一个顶点
四、抛物线的离心率
Y
y2=2px
X
所有的抛物线的离心率都是 1
2
抛物线相交于 A, B两点，求线段 AB的长。
y
由已知得抛物线的焦点为F (1,0), 所以直线AB的方程为y x 1
A’
A O F B
x
代入方程y 4x, 得( x 1) 4x,
2 2
化简得x 6 x 1 0.
2

x1 x2 6 AB x1 x2 2 8
2
(0,0)
(0,0) (0,0) (0,0)
e=1
x 2 py y 0, ( p 0) x R
2
e=1
x 2 py y 0, ( p 0) x R
2
e=1
例3 已知抛物线关于 x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 (2,2 2 ),求它的标准方程。
点M (2,2 2 ),所以，可设它的标准方程为y 2 2 Px( P 0)
五、抛物线开口方向的判断
y 2 px
2 2
X + ，x轴正半轴，向右 X - ，x轴负半轴，向左 y + ，y轴正半轴，向上 y - ，y轴负半轴，向下
y 2 px x 2 py
2 2
x 2 py

抛物线及其性质知识点大全新

抛物线及其性质知识点大全新抛物线是一个非常重要的数学曲线，具有很多有趣的性质和应用。

本文将介绍抛物线的基本定义、性质和常见应用，希望能对大家的学习和理解有所帮助。

一、基本定义1.抛物线的定义：抛物线是一种平面曲线，它的定义方式有多种，其中一种常见的定义是：一个平面上的点到一个定点与一个定直线的距离的平方相等，这个距离等于点到这个定直线的垂直距离的两倍。

这个定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。

2. 抛物线的一般方程：抛物线的一般方程可以写成 y=ax^2+bx+c 的形式，其中 a、b 和 c 是实数，且 a 不等于零。

这个方程描述了抛物线的形状、位置和方向。

二、性质1.对称性：抛物线具有关于焦点的对称性，即抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点在抛物线准线上的垂直距离到准线的距离。

2.焦距和准线：焦点与抛物线上的任意点之间的距离叫做焦距，准线与抛物线上的任意点之间的距离叫做准线距离。

抛物线的焦距等于准线距离的两倍。

3.定点和定直线：焦点和准线是抛物线的两个重要的定点和定直线。

4.对称轴：抛物线的对称轴是与准线垂直，并与焦点和抛物线上的顶点连线重合的直线。

5.顶点：抛物线的顶点处于焦点和抛物线的准线的中点。

6.开口方向：当a大于零时，抛物线向上开口；当a小于零时，抛物线向下开口。

7.过顶点的切线：过抛物线的顶点的切线与抛物线的对称轴重合。

8.拐点：抛物线与x轴的交点叫做拐点。

9.单调性：当a大于零时，抛物线在对称轴的左侧是单调递增的，在对称轴的右侧是单调递减的；当a小于零时，则相反。

三、常见应用1.物理学中的自由落体：自由落体运动中，物体的运动轨迹是抛物线。

2.焦点反射性质：如果从抛物线的焦点处发射的光线照射到抛物线上的任意一点，并且与抛物线的切线垂直，那么光线将会从该点发生反射，并经过抛物线的焦点。

3.抛物天线：抛物天线具有聚焦信号的特点，常被用于卫星通信和微波通信。

4.汽车大灯设计：汽车大灯的设计中，经常使用抛物面反射器，目的是将光线聚焦到需要照亮的地方。

高三数学知识点总结抛物线

高三数学知识点总结抛物线高三数学知识点总结：抛物线抛物线是数学中一个重要且有趣的曲线形状，它在几何、物理以及工程学等领域中都有广泛的应用。

而在高三数学学习中，对于抛物线的理解和掌握则显得至关重要。

本文将围绕着抛物线在高三数学中的重要性以及具体的知识点进行总结和探讨。

一、抛物线的定义和基本性质抛物线是指平面上任意一点到定点和定直线的距离相等的点的轨迹。

它的定义可以通过几何方法来解释，也可以通过二次方程来表达。

抛物线有很多基本性质，包括对称性、焦点和准线等。

对于一个标准形式的抛物线，其对称轴与x轴平行，并且与对称轴垂直的直线称为准线。

二、抛物线的图像和方程在高三数学中，我们通常会遇到求抛物线的方程或者给定方程画抛物线的问题。

要确定一个抛物线的方程，我们需要知道它的焦点和准线，以及一些已知的坐标点。

通过解方程组，我们可以找到抛物线的标准方程或顶点形式方程。

而给定一个方程，我们可以通过分析求解，找到抛物线的一些基本特征。

三、抛物线的性质和相关应用在高三数学学习中，我们需要掌握抛物线相关的一些重要性质，如最值、切线和法线、焦点和准线等。

这些性质可以帮助我们解决各种与抛物线相关的问题，比如最值问题、弦长问题、轨迹问题等。

在物理学中，抛物线也有广泛的应用，例如炮弹的抛物线轨迹、反射器的抛物线形状等。

四、抛物线与其他函数的关系抛物线和其他函数如直线、圆以及其他二次曲线等都有一定的联系和区别。

通过比较抛物线与直线的方程、圆与抛物线的交点等，我们可以深入了解抛物线与其他函数的不同特点。

在高三数学中，我们还需要掌握如何通过转化和组合函数，将抛物线与其他函数相互转化或者求解。

五、抛物线的实际问题解析在高三数学学习中，我们还需要解决一些实际问题，例如抛物线的拟合问题、抛物线的最值问题以及抛物线在工程学中的应用等。

通过结合实际问题，我们可以更好地理解和应用抛物线的知识，提高我们的数学建模和问题解决能力。

总之，掌握抛物线的相关知识点是高三数学学习中的重要任务。

抛物线的性质与方程解析

抛物线的性质与方程解析抛物线是数学中一种常见的曲线，具有许多独特的性质和方程解析。

本文将重点探讨抛物线的性质以及如何通过方程解析抛物线的特征。

一、抛物线的性质1. 对称性：抛物线关于其焦点轴的对称性是其最基本的性质。

抛物线上任意一点与焦点的距离相等于该点到焦点轴的垂直距离。

这种对称性使得抛物线在很多实际问题中具有重要应用，如天文学、物理学等。

2. 焦点和直线的关系：抛物线上的每一点到焦点的距离等于该点到准线的垂直距离。

焦点是抛物线的一个重要属性，影响着抛物线的形状和位置。

3. 切线和法线：抛物线上的任意一点的切线与该点到焦点的连线垂直相交于准线。

这个性质使得我们可以利用切线和法线求解抛物线的各种问题。

二、抛物线的方程解析抛物线可以通过不同的方程来表示，以下是几种常见的形式：1. 顶点形式：设抛物线的顶点为(Vx, Vy)，则抛物线的顶点形式方程可以表示为： y = a(x - Vx)² + Vy。

其中，a为控制抛物线开口方向和大小的参数。

2. 标准形式：标准形式方程是最简单、最常用的表示抛物线的形式。

标准形式方程为：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，分别控制抛物线的形状、位置和与x轴的交点。

3. 参数方程：通过参数方程可以描述抛物线上各个点的坐标。

常见的参数方程有：x = at²，y = 2at。

这种表示方式更适用于描述抛物线的轨迹和运动。

4. 对称方程：对称方程利用焦点和准线来表示抛物线。

一个常见的对称方程为：(x - p)² = 4a(y - q)，其中(p, q)表示焦点的坐标，a为常数。

通过这些方程解析，我们可以更好地理解抛物线的特征和性质。

在实际问题中，根据抛物线的方程，我们可以进行求解、推导和应用。

三、抛物线的应用抛物线的性质和方程解析在许多领域中得到广泛应用，下面简单介绍几个应用场景。

1. 抛物物体运动轨迹分析：抛物线可以描述空中抛射物的运动轨迹，如抛出的石子、发射的炮弹等。

解析几何中的抛物线

解析几何中的抛物线抛物线作为解析几何中的一个重要概念，在数学中有着广泛的应用。

它是指平面上满足一定几何特征的曲线，具有独特的性质和形态。

本文将深入探讨抛物线的定义、性质和应用。

一、抛物线的定义抛物线是平面上所有离定点（焦点）距离等于定直线（准线）距离的点的轨迹。

焦点和准线的关系是抛物线的核心要素。

在解析几何中，我们通常使用坐标系来描述抛物线，其中焦点的坐标为(Fx, Fy)，准线的方程为y = Px。

二、抛物线的性质1. 对称性：抛物线关于准线对称，即抛物线上任意一点P(x, y)关于准线对称的点为P'(-x, y)。

2. 焦点定理：对于抛物线上的任意一点P(x, y)，其到焦点的距离等于到准线的距离的平方。

即FP² = |y - Fy|² = (x - Fx)²。

3. 切线性质：抛物线上任意点P(x, y)处的切线斜率等于准线的斜率，即y' = Px。

4. 曲率性质：抛物线上任意点P(x, y)处的曲率为k = 2|Px| / (1 + (Px)²)³/²。

5. 焦距与准线的关系：抛物线焦点到准线的距离等于焦距的绝对值，即Fy = ±2Px。

三、抛物线的标准方程在解析几何中，通常使用标准方程来表示抛物线。

对于顶点在原点的抛物线，其标准方程为y² = 4Px，焦点为(Fx, Fy)，准线为y = Px。

而对于顶点不在原点的抛物线，其标准方程为(x - h)² = 4p(y - k)，焦点为(Fx + h, Fy + k)，准线为y = k + p。

四、抛物线的应用抛物线在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。

以下列举几个实际应用的例子：1. 炮弹飞行轨迹：抛物线可以用来描述炮弹在抛射过程中的飞行轨迹，利用抛物线的性质可以计算出炮弹的落点和最大射程等参数。

2. 天体运动轨迹：行星或其他天体的运动轨迹可以近似看作抛物线，通过研究抛物线的性质可以精确计算天体的运动轨迹和相关参数。

高考数学：抛物线的性质及应用

第9讲抛物线的性质及应用一、教学目标：了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.二、教学重点.重点：会利用抛物线的性质解决抛物线问题．难点：抛物线综合问题三、教学方法一学、二记、三应用。

四、知识梳理：标准方程y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2 离心率 e ＝1准线方程x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向向右向左向上向下以抛物线y 2＝2px (p >0)为例，设AB 是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F 是抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，A ，B 在准线上的射影为A 1，B 1，则有以下结论：(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AF |＝p 1－cos θ，|BF |＝p1＋cos θ；(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(其中θ为直线AB 的倾斜角)，抛物线的通径长为2p ，通径是最短的焦点弦；(4)S ∈AOB ＝p 22sin θ(其中θ为直线AB 的倾斜角)；(5)1|AF |＋1|BF |＝2p为定值； (6)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切； (7)以AF (或BF )为直径的圆与y 轴相切；(8)以A 1B 1为直径的圆与直线AB 相切，切点为F ，∈A 1FB 1＝90°； (9)A ，O ，B 1三点共线，B ，O ，A 1三点也共线． 3．直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0的解的个数．当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．五、课前测试1．抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( )A ．(0,2)B ．(0,1)C ．(2,0)D ．(1,0)答案 D 解析 ∈对于抛物线y 2＝ax ，其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，∈对于y 2＝4x ，焦点坐标为(1,0)． 2．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0等于( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 A 解析由抛物线的定义，可得|AF |＝x 0＋14，∈|AF |＝54x 0，∈x 0＋14＝54x 0，∈x 0＝1.3．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]答案 C 解析 Q (－2,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ≤1.六、典例剖析题型一、抛物线的几何性质例1 (1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，0 B ．(1,0) C.⎝⎛⎭⎫14，0D ．(0,1) (2)若抛物线y 2＝4m x 的准线经过椭圆x 27＋y 23＝1的左焦点，则实数m 的值为________．[解析] (1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p 2且过点(－1,1)，故－p2＝－1，解得p＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．(2)抛物线y 2＝4m x 的准线方程为x ＝－1m ，椭圆x 27＋y 23＝1的左焦点坐标为(－2,0)，由题意知－1m ＝－2，所以实数m ＝12.[答案] (1)B (2)12[方法技巧]涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．课堂练习1.[考点二]抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫18，0B.⎝⎛⎭⎫12，0C.⎝⎛⎭⎫0，18D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选C 抛物线的标准方程为x 2＝12y ，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，18. 2.[考点二]抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为( )A.14 B ．－14C ．4D ．－4 解析：选B 由题意知抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，所以准线方程y ＝－14a＝1，解得a＝－14.3.[考点一]设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝8xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x解析：选B 因为抛物线的准线方程为x ＝－2，所以p2＝2，所以p ＝4，所以抛物线的方程是y 2＝8x .4.[考点一]以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P (1，m )到焦点的距离为4，则抛物线的方程是( )A ．y ＝4x 2B ．y ＝12x 2C ．y 2＝6xD ．y 2＝12x解析：选D 设抛物线的方程为y 2＝2px ，则由抛物线的定义知1＋p2＝4，即p ＝6，所以抛物线方程为y 2＝12x .5.[考点二]抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若∈ABF 为等边三角形，则p ＝________.解析：在等边三角形ABF 中，AB 边上的高为p ，AB 2＝33p ，所以B ⎝⎛⎭⎫±33p ，－p2.又因为点B 在双曲线上，故p 233－p 243＝1，解得p ＝6(负值舍去)．答案：66.[考点三]如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析：建立坐标系如图所示．则可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．∈点(2，－2)在抛物线上，∈p ＝1，即抛物线方程为x 2＝－2y .当y ＝－3时，x ＝± 6.∈水位下降1米后，水面宽为26米．答案：26题型二、焦点弦问题例2 已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程； (2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC ＝OA ＋λOB ，求λ的值．[解] (1)由题意得直线AB 的方程为y ＝22·⎝⎛⎭⎫x －p2，与y 2＝2px 联立，消去y 有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由(1)得4x 2－5px ＋p 2＝0，即x 2－5x ＋4＝0，则x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设C (x 3，y 3)，则OC ＝(x 3，y 3)＝OA ＋λOB ＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.[方法技巧]焦点弦问题的求解策略解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解题时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解．课堂练习1.[考点一](2016·广州一模)如果P 1，P 2，…，P n 是抛物线C ：y 2＝4x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，…，x n ，F 是抛物线C 的焦点，若x 1＋x 2＋…＋x n ＝10，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝( )A ．n ＋10B ．n ＋20C ．2n ＋10D ．2n ＋20解析：选A 由题意得，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义，可知|P 1F |＝x 1＋1，|P 2F |＝x 2＋1，…，|P n F |＝x n ＋1，故|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P n F |＝x 1＋x 2＋…＋x n ＋n ＝n ＋10，选A.2.[考点二]已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D (如图所示)，则下列关于|AB |·|CD |的值的说法中，正确的是( )A ．等于1B ．等于4C ．最小值是1D ．最大值是4解析：选A 设直线l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线方程，得y 2－4ty －4＝0.设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，根据抛物线的定义知，|AF |＝x 1＋1，|DF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1，|CD |＝x 2，所以|AB |·|CD |＝x 1x 2＝y 214·y 224＝y 1y 2216.而y 1y 2＝－4，故|AB |·|CD |＝1. 3.[考点一]已知抛物线y 2＝2x 的弦AB 的中点的横坐标为32，则|AB |的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3，利用抛物线的定义可知，|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋1＝4，由图可知|AF |＋|BF |≥|AB |，即|AB |≤4，当且仅当直线AB 过焦点F 时，|AB |取得最大值4.4.[考点二]若抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，动点P 在曲线y 2＝－4x (y ≥0)上，则∈P AB 的面积的最小值为________．解析：由题意得F (1,0)，直线AB 的方程为y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，得x 2－6x ＋1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，∈|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝8.设P ⎝⎛⎭⎫－y 204，y 0(y 0≥0)，则点P 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪y 204＋y 0＋12，∈∈P AB 的面积S ＝12|AB |·d ＝|y 20＋4y 0＋4|2＝y 0＋222≥22，即∈P AB 的面积的最小值是2 2.答案：225.[考点二]设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∈x 轴．证明：直线AC 经过原点O .证明：设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0.由根与系数的关系，得y A y B ＝－p 2，即y B ＝－p 2y A .∈BC ∈x 轴，且C 在准线x ＝－p 2上，∈C ⎝⎛⎭⎫－p 2，y B .则k OC ＝y B －p 2＝2p y A ＝y Ax A＝k OA .∈直线AC 经过原点O .题型三、抛物线与直线位置关系结合直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系，请你思考一下怎样讨论直线与抛物线的位置关系？答设直线l ：y ＝kx ＋m ，抛物线：y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x 的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0， (1)若a ≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点．(2)若a ＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．因此，“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件．另外，还要注意直线斜率不存在的情形．例3 如图，已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k .k 为何值时，直线l 与抛物线y 2＝4x ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？解由题意，设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x ＋2，y 2＝4x ，(*)可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0. ∈(1)当k ＝0时，由方程∈得y ＝1.把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝14.这时，直线l 与抛物线只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1.(2)当k ≠0时，方程∈的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．1°由Δ＝0，即2k 2＋k －1＝0，解得k ＝－1，或k ＝12.于是，当k ＝－1，或k ＝12时，方程∈只有一个解，从而方程组(*)只有一个解．这时，直线l 与抛物线只有一个公共点．2°由Δ>0，即2k 2＋k －1<0，解得－1<k <12.于是，当－1<k <12，且k ≠0时，方程∈有两个解，从而方程组(*)有两个解．这时，直线l 与抛物线有两个公共点．3°由Δ<0，即2k 2＋k －1>0，解得k <－1，或k >12.于是，当k <－1，或k >12时，方程∈没有实数解，从而方程组(*)没有解．这时，直线l 与抛物线没有公共点．综上，我们可得当k ＝－1，或k ＝12，或k ＝0时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当－1<k <12，且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；当k <－1，或k >12时，直线l 与抛物线没有公共点．例4 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(p 2，0)．由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫my ＋p2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*) 则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24. (2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2x 1＋x 2＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2|AB |－p ＋p 24＝2p(定值)． (3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |.所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．反思与感悟直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程、抛物线方程联立得到的方程组解的个数．注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况．课堂练习1、以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，则圆的方程可设为x 2＋y 2＝r 2(r >0)，如图，又可设A (x 0,22)，D ⎝⎛⎭⎫－p2，5，点A (x 0,22)在抛物线y 2＝2px 上，∈8＝2px 0，∈ 点A (x 0,22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∈x 20＋8＝r 2，∈点D ⎝⎛⎭⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上， ∈5＋⎝⎛⎭⎫p 22＝r 2，∈联立∈∈∈，解得p ＝4，即C 的焦点到准线的距离为p ＝4，故选B.2、若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为3，延长PF 交抛物线于Q ，若O 为坐标原点，则S ∈OPQ ＝________.解析如图所示，由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)．又|PF |＝3，由抛物线定义知：点P 到准线x ＝－1的距离为3，∈点P 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x ，得y 2＝8，由图知点P 的纵坐标y ＝22， ∈P (2,22)，∈直线PF 的方程为y ＝22(x －1)．方法一联立直线与抛物线的方程⎩⎨⎧y ＝22x －1，y 2＝4x ，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 2.由图知Q (12，－2)，∈S ∈OPQ ＝12|OF |·|y P －y Q |＝12×1×|22＋2|＝322.方法二将y ＝22(x －1)代入y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，∈x 1＋x 2＝52，∈|PQ |＝x 1＋x 2＋p ＝92，O 到PQ 的距离d ＝223，∈S ∈OPQ ＝12×|PQ |×d ＝12×92×223＝322.3、如图，已知O 为坐标原点，P (a,0)(a >0)为x 轴上一动点，过P 作直线交抛物线y 2＝2px (p >0)于A 、B 两点，设S ∈AOB ＝t ·tan∈AOB .试问：当a 为何值时，t 取得最小值，并求出最小值．解当AB 与x 轴不垂直时，设AB 的方程为y ＝k (x －a )(k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －a ，y 2＝2px 消去y 得k 2x 2－2(k 2a ＋p )x ＋k 2a 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝a 2，y 1y 2＝－2pa .当AB 与x 轴垂直时，上述结论仍然成立．由S ∈AOB ＝12|OA |·|OB |sin∈AOB ＝12|OA |·|OB |cos∈AOB ·tan∈AOB ，得t ＝12|OA |·|OB |cos∈AOB .∈|OA |·|OB |cos∈AOB ＝OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2，∈t ＝12(x 1x 2＋y 1y 2)＝12(a 2－2pa )＝12(a －p )2－12p 2≥－12p 2，∈当a ＝p 时，t 有最小值－12p 2.真题回顾1．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx(k ＞0)与C 交于点P ，PF ∈x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2 解析：选D ∈y 2＝4x ，∈F (1,0)．又∈曲线y ＝kx(k ＞0)与C 交于点P ，PF ∈x 轴，∈P (1,2)．将点P (1,2)的坐标代入y ＝kx(k ＞0)，得k ＝2.故选D.2．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 解析：选B 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2.∈|AB |＝42，|DE |＝25，抛物线的准线方程为x ＝－p2，∈不妨设A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p 2，5.∈点A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∈⎩⎨⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∈16p 2＋8＝p 24＋5，∈p ＝4(负值舍去)．∈C 的焦点到准线的距离为4.3．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( ) A ．3 B ．6 C ．9D ．12解析：选B ∈抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，∈椭圆中c ＝2，又c a ＝12，∈a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12，从而椭圆的方程为x 216＋y212＝1.∈抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2，∈x A ＝x B ＝－2，将x A ＝－2代入椭圆方程可得|y A |＝3，由图象的对称性可知|AB |＝2|y A |＝6.故选B.4．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP ＝4FQ ，则|QF |＝( )A.72B.52 C ．3 D ．2解析：选C 如图所示，过点Q 作QQ ′∈l 交l 于点Q ′，设l 与x 轴交点为M ，因为FP ＝4FQ ，所以|QQ ′|∈|MF |＝|PQ |∈|PF |＝3∈4，又焦点F 到准线l 的距离|MF |＝4，所以|QF |＝|QQ ′|＝3.故选C.5．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则∈OAB 的面积为( )A.334B.938C.6332D.94解析：选D 易知抛物线中p ＝32，焦点F ⎝⎛⎭⎫34，0，直线AB 的斜率k ＝33，故直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，代入抛物线方程y 2＝3x ，整理得x 2－212x ＋916＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212.由抛物线的定义可得弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12，结合图象可得O到直线AB 的距离d ＝p 2·sin 30°＝38，所以∈OAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝94.七、自我测评：1．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：选D 依题意，点P 到直线x ＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P 的轨迹是抛物线．2．设抛物线y 2＝－12x 上一点P 到y 轴的距离是1，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．3B ．4C ．7D ．13解析：选B 依题意，点P 到该抛物线的焦点的距离等于点P 到其准线x ＝3的距离，即等于3＋1＝4.3．若抛物线y 2＝2x 上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则∈MFO 的面积为( )A.22B.24C.12D.14解析：选B 由题意知，抛物线的准线方程为x ＝－12.设M (a ，b )，由抛物线的定义可知，点M 到准线的距离为32，所以a ＝1，代入抛物线方程y 2＝2x ，解得b ＝±2，所以S ∈MFO＝12×12×2＝24.4．设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为∈ABC 的重心，则|FA |＋|FB |＋|FC |的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|FA |＋|FB |＋|FC |＝⎝⎛⎭⎫x 1＋12＋⎝⎛⎭⎫x 2＋12＋x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3.5．直线l 过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是6，AB 的中点到x 轴的距离是1，则此抛物线方程是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2＋p ＝6，∈p ＝4.即抛物线方程为x 2＝8y .答案：x 2＝8y6．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ∈F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，∈p ＝2，∈抛物线方程为y 2＝4x .(2)由(1)知点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)．又∈F (1,0)，∈k F A ＝43.∈MN ∈F A ，∈k MN ＝－34.∈F A 的方程为y ＝43(x －1)，MN 的方程为y ＝－34x ＋2，联立⎩⎨⎧y ＝43x －1，y ＝－34x ＋2，解方程组得x ＝85，y ＝45，∈点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.7.如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，焦点为F ，过点G (p,0)作直线l 交抛物线C 于A ，M 两点，设A (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)．(1)若y 1y 2＝－8，求抛物线C 的方程；(2)若直线AF 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点B ，直线BG 交抛物线C 于另一点N .求证：直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．解：(1)设直线AM 的方程为x ＝my ＋p ，代入y 2＝2px 得y 2－2mpy －2p 2＝0，则y 1y 2＝－2p 2＝－8，得p ＝2. ∈抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)证明：设B (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)．由(1)可知y 3y 4＝－2p 2，y 1y 3＝－p 2.又直线AB 的斜率k AB ＝y 3－y 1x 3－x 1＝2py 1＋y 3，直线MN 的斜率k MN ＝y 4－y 2x 4－x 2＝2py 2＋y 4，∈k AB k MN ＝y 2＋y 4y 1＋y 3＝－2p 2y 1＋－2p 2y 3y 1＋y 3＝－2p 2y 1y 3y 1＋y 3y 1＋y 3＝2. 故直线AB 与直线MN 斜率之比为定值．11/ 11。

抛物线的性质

抛物线的性质抛物线是一种基本的数学曲线，具有许多独特的性质和应用。

本文将从几何和代数的角度探讨抛物线的性质，以及它在实际生活中的一些应用。

一、抛物线的定义和基本特征抛物线是一种由平面上的一个点P和一个定点F及一条直线l构成的几何图形。

其中，定点F称为焦点，直线l称为准线。

对于平面上的任意一点Q，其到焦点F的距离与其到准线l的距离的平方成正比。

抛物线的几何特征可以用数学表达式y = ax^2 + bx + c来表示，其中a、b、c为常数，a不等于零。

1.1 焦点和准线抛物线的焦点F位于抛物线的对称轴上，离开准线的距离等于离开抛物线的顶点的距离。

抛物线上的每个点到焦点的距离与到准线的距离的比值都相等，这个比值称为离心率，用e表示。

准线是与抛物线关于对称轴对称的直线。

具体的计算公式可以由抛物线的焦点和准线的坐标表示。

1.2 对称性和顶点抛物线具有关于对称轴的对称性。

对于抛物线上的任意一点P(x,y)，其关于对称轴的对称点P'的坐标为P'(-x,y)。

抛物线的顶点是对称轴上的一个点，其坐标可以通过求导或者由抛物线的标准方程得出。

二、抛物线的性质抛物线除了上述的定义和基本特征外，还有一些重要的性质和定理。

下面将介绍几个常见的抛物线性质。

2.1 切线和法线考虑抛物线上的一点P(x,y)，其切线的斜率为y'。

由于抛物线的方程是二次函数，可以通过求导得到切线的斜率。

切线与抛物线在点P处相切，其方程可以由点斜式或者斜截式得出。

法线是与切线垂直的线段，其斜率为倒数的负数。

根据几何关系可以得出切线和法线在点P 处垂直。

2.2 点的位置关系给定一个点Q(x,y)，如何判断其是否在抛物线上？可以将点Q的坐标带入抛物线的方程中，若等式成立，则点Q在抛物线上；若不成立，则点Q不在抛物线上。

2.3 判别式和焦点位置由抛物线的标准方程y=ax^2+bx+c可得到判别式D=b^2-4ac。

根据判别式的值，可以判断抛物线的性质：若D大于零，则抛物线开口向上或向下，焦点在对称轴上方或下方；若D等于零，则抛物线开口向上或向下，焦点与顶点重合；若D小于零，则抛物线开口向上或向下，但焦点不存在于实数范围内。

抛物线的几何性质 (2)

抛物线的几何性质抛物线是数学中一种重要的曲线形式。

它具有许多有趣的几何性质，是数学研究和应用领域中的常见对象。

本文将介绍抛物线的基本定义、性质和应用。

1. 抛物线的定义抛物线是由一个定点（焦点）和一个定直线（准线）确定的曲线。

在数学上，我们可以通过以下方式定义抛物线：•定义焦点为F，准线为直线L。

•抛物线是到焦点F的距离等于到准线L的距离的所有点的轨迹。

2. 抛物线的基本性质抛物线具有以下几何性质：对称性抛物线具有关于准线的对称性和焦点的对称性。

即，对于抛物线上的任意一点P，将其关于准线L作垂线交准线于M，焦点F在准线上的垂线下的点O，那么点M和点O关于准线L对称。

焦点与准线的关系对于抛物线上的任意一点P，其到焦点F的距离等于到准线L的距离。

此外，焦点F与准线L的距离称为抛物线的焦距。

顶点抛物线的顶点是抛物线的最高（或最低）点，位于准线与对称轴的交点，记为V。

顶点V是抛物线的对称中心，所以对于任意一点P，连结顶点V和点P的直线都与准线L垂直。

焦直线抛物线的焦点F到抛物线上任意一点P的连线与准线L垂直，这条垂线称为焦直线。

焦准直线焦点F和准线L的连线称为焦准直线，它垂直于抛物线的轴线。

曲线的标准方程抛物线的标准方程为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不等于0。

3. 抛物线的应用抛物线的几何性质在现实世界中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：物体运动轨迹当物体受到一个竖直向下的恒力作用时，它的运动轨迹往往是一条抛物线。

例如，抛出的物体，如炮弹、子弹等，它们的运动轨迹可以用一条抛物线来描述。

天然天体许多天然天体的形状和运动也可以用抛物线来描述。

例如，行星的运动、小行星的轨道等都可以近似为抛物线。

镜面反射在光学中，抛物面反射镜被广泛应用于望远镜、车灯、卫星天线等设备中。

抛物面反射镜具有将光线聚焦到一个点的特点，故而能起到放大和聚焦的作用。

抛物线拱门抛物线也经常用于建筑中的拱门设计。