[推荐学习]高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.3两个向量的数量积课后训练

3.1.3 两个向量的数量积

课后训练

1．|a ＋b|＝|a －b |的充要条件是( )

A ．a ＝0或b ＝0

B ．a∥b

C ．a·b ＝0

D ．|a|＝|b|

2．下列式子中正确的是( )

A ．|a|·a ＝a

B ．(a·b )2＝a 2·b 2

C ．(a·b )c ＝a (b·c )

D ．|a·b|≤|a|·|b|

3．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3

，则cos 〈OA ，BC 〉＝( )

A ．12

B ．2

C ．12

D ．0 4．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB ·AC ＝0，AC ·AD ＝0，AB ·AD ＝0，则△BCD 是( )

A ．钝角三角形

B ．锐角三角形

C ．直角三角形

D ．不确定

5．若|a|＝1，|b|＝2，c ＝a ＋b 且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角是( )

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

6．|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，则a ＋b ＋c 的模等于__________．

7．a≠c ，b≠0，a·b ＝b·c 且d ＝a －c ，则〈b ，d 〉＝__________.

8．向量a ，b 之间的夹角为30°，|a|＝3，|b|＝4，求a·b ，a 2，b 2，(a ＋2b )·(a －

b )．

9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A 1B 与AC 所成的角．

参考答案

1. 答案：C

2. 答案：D

3. 答案：D ∵BC ＝OC －OB ，∴OA ·BC ＝OA ·OC －OA ·OB →＝0，

∴〈OA ，BC 〉＝90°，故cos 〈OA ，BC 〉＝0.

4. 答案：B BC ＝AC －AB ，BD ＝AD －AB ，BC ·BD ＝2AB ＞0，∠DBC 为锐角，同理可得∠BCD ，∠BDC 均为锐角．

5. 答案：C ∵c ⊥a ，∴c·a ＝(a ＋b )·a ＝0，可得a·b ＝－1，cos 〈a ，b 〉＝1||||2

=-·a b a b ，故向量a 与b 的夹角是120°.

6. 因|a ＋b ＋c|2＝(a ＋b ＋c )2

＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2(a·b ＋b·c ＋a·c )＝3，

故|a ＋b ＋c|

7. 答案：90° ∵a ·b ＝b ·c ，∴(a －c )·b ＝0，∴b ⊥d .

8. 答案：分析：利用向量数量积的定义、性质及运算律．

解：a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉＝3×4×cos 30°＝ a 2＝a·a ＝|a|2＝9，

b 2＝b·b ＝|b|2＝16，

(a ＋2b )·(a －b )＝a 2＋a·b －2b 2＝9＋32＝23

9. 答案：分析：选择{AB ，AD ，1AA }为基底，先求1A B ·AC ，再利用公式cos 〈a ，b 〉＝||||

·a b a b 求cos 〈1A B ，AC 〉，最后确定〈1A B ，AC 〉． 解：不妨设正方体棱长为1，AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，则|a|＝|b|＝|c |＝1， a·b ＝b·c ＝c·a ＝0.

∵1A B ＝a －c ，AC ＝a ＋b ，

∴1A B ·AC ＝(a －c )·(a ＋b )＝|a|2

＋a·b －a·c －b·c ＝1. 而|1A B |＝|AC |＝2，∴cos 〈1A B ，AC 〉＝

12

. 又〈1A B ，AC 〉∈[0，π]，∴〈1A B ，AC 〉＝π3.

π3.

∴异面直线A1B与AC所成的角为