(优选)第二节二重积分的计算

D
1 1 x3 dx 02
1
x
4
1
8 0
1 8
o x 1x
例1 计算 xydxdy, 其中 D由 y x , x 1 及
D
x 轴所围.
y 1
解 将 D 看作 y — 型区域, 则 y y x
D={(x , y)| y x 1 ，0 y 1 } ,
1
1
o
1x
xydxdy 0 dy y xydx
的矩形，其面积为
xkyj，其中
xkyj
计算二重积分 f ( x, y)d 的一般方法
D
(其中 f C(D) )
先将二重积分化为二次积分，然后先后 计算两次定积分求得二重积分的值.
一、利用直角坐标系计算二重积分
1、x－型区域
如果积分区域 D 可表示为：
D {( x, y) |1( x) y 2( x), a x b} 其中函数1( x) 、2( x) 在区间 [a,b]上连续.
则 D 称为 x－型 区域 .
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
x－型区域的特点：
穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域 边界相交不多于两
个交点.
曲顶柱体体积的计算
设曲顶柱的底为
z y 2(x)
D ( x, y) 1( x) y 2( x),a x b y
2
y2
xy
dxdy
1
dy y2
xy dx
D
2 [1 y3 2y2 2y 1 y5]dy
1 2
2
例4
计算
D
x y
2 2
d
.
其中
D
由
y
x,
y
1, x
x
2
围成．
解 将 D 看作 x — 型区域, 则
D {( x, y) | 1 y x, 1 x 2} , x
用若干个小平
顶柱体体积之
和近似表示曲
o
顶柱体的体积，x
D
•
n
i
曲顶柱体的体积 V lim 0
f (i ,i ) i .
i 1
y
(i ,i )
2。直角坐标系下的积分微元
我们利用直角坐
标网分割D
让分割充分细，取D
yj yj 1
x x k 1 k
的被坐标网割出的
一个典型子区域
Δσ，设它是如图
原式
1
dy
1 y2 sin xy
dx
0
y
o
1x
1
[
y cos
y2
y cos
y]dy
0
1 sin 2
y2
y
sin
y
cos
y
1
0
1
cos 1
1 2
sin
1
.
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练习：计算
D
sin y
y dxdy,
其中
D由
y2
x,
y
x
所围.
3、一般情形
如果积分区域 D 不是 x－型 区域也不是 y－型 区
域 ，可用平行坐标轴的直线段分割，把D 分割为
（优选）第二节二重积分的计 算
１．曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积×高 特点：平顶.
z f (x, y) D
柱体体积=？ 特点：曲顶.
求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法，如下动画演示．
演示文稿1.ppt播放
步骤如下：
先分割曲顶柱体的底，z
并取典型小区域，
z f (x, y)
x 2( y) 边界相交不多于两
个交点.
同样, 曲顶柱的底为
D ( x, y) 1( y) x 2( y), c y d
则其体积可按如下两次积分计算 y
V f ( x, y)d
D
d
[
2( y) f ( x, y)dx ]d y
c 1( y)
d
x y
1
(
y)
c o
x 2(y)
x
任取
平面
截柱体的
D
截面积为
故曲顶柱体体积为 V D f ( x, y)d
o a x0 b x y 1(x)
b
b
A( x)d x [
2( x) f ( x,y)d y]d x
a
a 1( x)
f ( x, y)d
b
dx
2( x) f ( x, y)dy.
D
a
1 ( x)
2、y－型区域
c
1( y)
为计算方便,可选择积分次序,采用哪一种次序积分 通常取决于被积函数的结构.
必要时还可以交换积分次序.
例2 计算 y2 sin xydx dy , 其中 D 由 y 0,
D
y x , x 1 所围.
y
解 将 D 看作 y — 型区域 , 则 1
D={(x , y)| y x 1 ，0 y 1 } , y y x
f ( x, y)d
d
dy
2( y) f ( x, y)dx.
D
c
1( y)
例1 计算 xydxdy, 其中 D由 y x , x 1 及
D
x 轴所围.
y 解 将 D 看作 x — 型区域, 则 1
D={(x , y)| 0 y x ，0 x 1 } , y x
1
x
xydxdy 0 dx0 xydy
若干个x－型或y－型区域，在每个小区域上计算
二重积分，在各个小区域上的积分之和就是D 上
的二重积分.
若区域如图， 则必须分割.
在分割后的三个区域上分别 使用积分公式
.
D
D1
D2
D3
y D2
D1 D3
o
x
计算二重积分的几点说明：
1) 化二重积分为二次积分的关键是：确定二次积 分的上、下限，而二次积分中的上、下限又是由 区域 D 的几何形状确定的，因此计算二重积分应 先画出积分区域 D 的图形. 2) 第一次积分的上、下限是函数或常数，而第二 次积分中的上、下限一定是常数，且下限要小于 上限. 3) 积分次序选择的原则是两次积分都能够积出来， 且区域的划分要尽量地简单.
例 3 求 xydxdy，其中 D 是由抛物线 y2 x 和
D
直线 y x 2所围平面闭区域.
y
解
两曲线 的交点
y2 x
y
x
2
(1,1)
, (4,2),
2
y
o
将 D 看作 y — 型区域, 则
1
y2 x
D
4
y x2
x
D {(x, y) | y2 x y 2 , 1 y 2} ,
D
1 1 ( y y3 )dy 02
1
1
y2
1
y4
1
2 2 4 0
1 8
如果积分区域 D 可表示为 x－型 区域又可表示为 y－型 区域 ，且 f(x,y)在D 上连续，则有：
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
D
a
1 ( x )
d dy 2( y) f ( x, y)dx.
如果积分区域 D 可表示为：
D {( x, y) |1( y) x 2( y), c y d }
其中函数 1( y) 、 2( y) 在区间 [c,d] 上连续. 则 D 称为 y－型 区域 .
y－型区域的特点：
d
d
穿过区域且平行于
x 1( y)
c
D
x 1( y) x 2( y)
c
D
x 轴的直线与区域