2020届高三寒假学情检测(二)数学试题(160分-文理艺体通用)

合集下载

吉林省长春市2020高三理科数学二模试题含答案

理科数学试题第1页（共4页）长春市普通高中2020届高三质量监测（二）理科数学本试卷共4页。

考试结束后，将答题卡交回。

注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{|(2)0}A x x x =−≤，{1,0,1,2,3}B =−，则A B = A. {1,3}− B. {0,1,2} C. {1,2} D. {0,1,23}，2. 若1(1)i z a =+−（a ∈R ），||2z =，则a =A. 0或2B. 0C. 1或2D. 13. 下列与函数1y x=定义域和单调性都相同的函数是A.2log 2xy = B.21log ()2x y = C. 21log y x=D.14y x =4. 已知等差数列{}n a 中，5732a a =，则此数列中一定为0的是 A.1aB. 3aC. 8aD. 10a5. 若单位向量1e ，2e 夹角为60︒，12λ=−a e e ，且||3=a ，则实数λ= A. 1− B. 2 C. 0或1− D. 2或1−6. 《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养. 为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是 A. 甲的数据分析素养高于乙 B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养 C. 乙的六大素养中逻辑推理最差 D. 乙的六大素养整体平均水平优于甲理科数学试题第2页（共4页）7. 命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得0sin()sin x x x +=−恒成立；:q 0a ∀>，()lna xf x a x+=−为奇函数，则下列命题是真命题的是 A.p q ∧ B. ()()p q ⌝∨⌝ C. ()p q ∧⌝ D. ()p q ⌝∧8. 在ABC △中，30C =，2cos 3A =−，2AC =，则AC 边上的高为A.2B. 2C.D. 29. 2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有 A. 6种 B. 12种 C. 24种 D. 36种10. 在正方体1111-ABCD A B C D 中，点,,E F G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π. 正确命题的个数是 A. 0B. 1C. 2D. 311. 已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，01(,)2M y 为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为 A. 22y x = B. 24y x = C. 26y x = D. 28y x =12. 已知11()x x f x e e x −−=−+，则不等式()(32)2f x f x +−≤的解集是 A. [1,)+∞ B. [0,)+∞ C. (,0]−∞ D. (,1]−∞理科数学试题第3页（共4页）ACBA 1C 1B 1M NG二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若,x y 满足约束条件222022x y y x y +⎧⎪−⎨⎪−⎩≥≤≤，则z x y =+的最大值为____________.14. 若1205()3a x dx −=⎰，则a =____________. 15. 已知函数()sin()6f x x πω=+（0ω>）在区间[,2)ππ上的值小于0恒成立，则ω的取值范围是________________.16. 三棱锥A BCD −的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且BD =，则三棱锥A BCD −体积的最大值为__________；三棱锥A BCD −体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为_____________. （本题第一空2分，第二空3分.）三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22~23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17. （12分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼. 现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列22⨯列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上(2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d −=++++，其中n a b c d =+++)18. （12分）如图，直三棱柱111ABC A B C −中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，124AA AB ==，M ，N 分别为1CC ， 1BB 的中点，G 为棱1AA 上一点，若1A B ⊥平面MNG .（Ⅰ）求线段AG 的长；（Ⅱ）求二面角B MG N −−的余弦值.)理科数学试题第4页（共4页）19. （12分）已知数列{}n a 满足，11a =，24a =，且21430n n n a a a ++−+=（*n ∈N ）. （Ⅰ）求证：数列1{}n n a a +−为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .20. （12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，点P为椭圆上异于A 、B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为34−.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作//OM AP 交椭圆于点M ，试探究2||||||AP AQ OM ⋅是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 21. （12分）已知函数()x f x e =.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的m ∈R ，当0x >时，都有21(2())1m f x x+>−恒成立，求最大的整数k .（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22. [选修4-4 坐标系与参数方程]（10分）已知曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），曲线2C 的参数方程为38cos 43sin 4x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）. （Ⅰ）求1C 和2C 的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点M （M 异于O ），交曲线2C 于点N ，求||||ON OM 的最小值.23. [选修4-5 不等式选讲]（10分）已知函数()|1||1|f x ax x =++−. （Ⅰ）若2a =，解关于x 的不等式()9f x <；（Ⅱ）若当0x >时，()1f x >恒成立，求实数a 的取值范围.数学（理科）试题参考答案及评分标准第1页（共4页）长春市普通高中2020届高三质量监测（二）数学（理科）试题参考答案及评分参考一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. A3. C4. A5. D6. D7. A8. C9. B 10. C 11. C 12. A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，16题第一空2分，第二空3分，共20分）13. 414. 215. 511(,]61216. 43π，三、解答题17. (本小题满分12分) 【参考答案与评分细则】解：（Ⅰ）由题意0.025m =.（4分）（Ⅱ） 222()100(800300) 4.762()()()()50503070n ad bc K a b c d a c b d −⨯−==≈++++⨯⨯⨯.对照表格可知，4.762 6.635<，不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系. （12分） 18. (本小题满分12分)【参考答案与评分细则】解：（Ⅰ）由题意，11A B MNG A B GN GN MNG ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭平面平面，设1A B 与GN 交于点E ，在BNE △中，可求得BE =，则1A E = 可求得13AG =，则1AG =.（6分）（Ⅱ）以1B 为原点，1B B 方向为x 轴，1B C 方向为y 轴，11B A 方向为z 轴，建立空间直角坐标系.(4,0,0)B ，(2,2,0)M ，(3,0,2)G ，(2,0,0)N(2,2,0)BM =−，(1,0,2)BG =−，1(2,2,1)n =(0,2,0)NM =，(1,0,2)NG =，2(2,0,1)n =−1212||3|cos |5||||3n n n n θ⋅===⋅⋅即二面角B MG N −−的余弦值为5. （12分）19. (本小题满分12分) 【参考答案与评分细则】（Ⅰ）已知21430n n n a a a ++−+=，则2113()n n n n a a a a +++−=−，数学（理科）试题参考答案及评分标准第2页（共4页）且213a a −=，则1{}n n a a +−为以3为首相，3为公比的等比数列，所以13nn n a a +−=，11221131()()......()2n n n n n n a a a a a a a a −−−−=−+−++−+=..（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得：3nn b n n =⋅−，121323......3n n T n =⨯+⨯++⨯， ①23131323......(1)33n n n T n n +=⨯+⨯++−⨯+⨯， ②①-②可得1121133233 (3332)n nn n n T n n +++−−=+++−⨯=−⨯，则111333(21)33424n n n n n n T +++−⨯−⨯+=−+=即1(21)33(1)42n n n n n S +−⨯++=−. （12分）20. (本小题满分12分) 【参考答案与评分细则】解：（Ⅰ）已知点P 在椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上，可设00(,)P x y ，即2200221x y a b +=，又2200022200034AP BP y y y b k k x a x a x a a ⋅=⋅==−=−+−−，且22c =，可得椭圆C 的方程为22143x y +=.（4分）（Ⅱ）设直线AP 的方程为：(2)y k x =+，则直线OM 的方程为y kx =. 联立直线AP 与椭圆C 的方程可得：2222(34)1616120k x k x k +++−=，由2A x =−，可得226834p k x k −=+，联立直线OM 与椭圆C 的方程可得：22(34)120k x +−=，即221234M x k=+，即222|||||||||2||02|2||||||P A Q A P M M x x x x AP AQ x OM x x −⋅−⋅+⋅+===. 即2||||||AP AQ OM ⋅为定值，且定值为2. （12分）21. (本小题满分12分) 【参考答案与评分细则】（Ⅰ）已知函数()xf x e =，则(1,(1))f 处即为(1,)e ，又()xf x e '=，(1)k f e '==，可知函数()xf x e =过点(1,(1))f 的切线为(1)y e e x −=−，即y ex =. （4分）数学（理科）试题参考答案及评分标准第3页（共4页）（Ⅱ）不等式21(2())1m f x x+>−中，当0m =时，显然成立；当0m ≠时，不等式可化为12()f x x +> 令11()2()2x h x f x e x x =+=+，则21()2x h x e x'=−，令00201()20xh x e x '=−=，解得0123x <<（此处可由验证得到）.即()h x 的最小值为002000111()2xh x e x x x =+=+，令01t x =∈，则220011(3t t x x +=+∈+，将()h x 的最小值设为a，则(3a ∈，因此原式需满足a >210am −+>在m ∈R 上恒成立，又0a >，可知判别式840k a =−<即可，即2ak <，且(3a ∈k 可以取到的最大整数为2. （12分）22. (本小题满分10分) 【参考答案与评分细则】（Ⅰ）曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y −+=；曲线2C 的普通方程为：80x y +−=.（5分）（Ⅱ）设过原点的直线为tan y x θ=（34πθ≠）；在曲线1C 中，||4|cos |OM θ=.而O 到直线与曲线2C 的交点N 的距离为8||sin cos ON θθ=+，因此28||24sin cos ||4|cos ||sin cos cos |)1|4ON OM θθπθθθθθ+===+++，即||||ON OM1)=.（10分）23. (本小题满分10分)【参考答案与评分细则】数学（理科）试题参考答案及评分标准第4页（共4页）（Ⅰ）当2a =时，3,11()|21||1|2,1213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪ >⎪⎪=++−=+ −⎨⎪⎪− <−⎪⎩≤≤，由此可知，()9f x <的解集为{|33}x x −<< （5分）（Ⅱ）当0a >时，()f x 的最小值为(1)1f >；当0a =时，()f x 的最小值为(1)1f =；当0a <时，()f x 的最小值不恒大于1. 综上，(0,)a ∈+∞.（10分）。

2020年广东高三二模理科数学试卷(详解)

2020年广东高三二模理科数学试卷(详解)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.A. B.C.D.【答案】【解析】已知集合，，则（）．C ∵集合．集合，∴．故选．2.A.B.C.D.【答案】【解析】已知复数（为虚数单位，），若，则的取值范围为（）．A ，∴，又∵，则，∴ ．故选．3.《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测A.尺B.尺C.尺D.尺【答案】【解析】算，这九个节气的所有晷长之和为尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为尺，则立秋的晷长为（）．D不妨设夏至到寒露依次为，，，∴数列为为等差数列，由题可知，，∴，∵，则，∴，故立秋的晷长为尺．故选．4.A.B.C.D.【答案】【解析】在中，已知，，且边上的高为，则（）．B 在中，面积，∴，由余弦定理可知，，∴，由正弦定理，得．故选．5.A.B.C.D.一个底面半径为的圆锥，其内部有一个底面半径为的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为，则该圆锥的体积为（）．【答案】【解析】D作出该几何体的轴截面图如图，，，设内接圆柱的高为，由，得，∵，∴，即，得，∴该圆锥的体积为．故选．6.A. B.C.D.【答案】【解析】已知函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为（）．B根据题意，函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，则在上递减，又由，则，则函数的草图如图：若，则有，解可得，即不等式的解集为，故选．7.A.B.C.D.【答案】【解析】已知双曲线的右焦点为，过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为，．若，则该双曲线的离心率为（）．D 由得，又∵在四边形中，，且，则四边形为正方形，∴，即，∴双曲线渐近线方程为，∴，即，∴，∴离心率．故选．8.A.B.C. D.【答案】【解析】已知四边形中，，，，，在的延长线上，且，则（）．A ABDCE在中，由余弦定理可知，，∴，由可知，，∴，在中，由正弦定理可知，，得，∴．故选．9.A.B.C.D.【答案】【解析】的展开式中，的系数为（）．C把的展开式看成个因式的乘积形式，从中任意选个因式，这个因式取，再取个因式，这个因式都取，剩余个因式取，相乘即得含的项；故含项的系数为：．故选：．10.A.B.C.D.【答案】【解析】把函数的图象向右平移个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到函数的图象，关于的说法有：①函数的图象关于点对称；②函数的图象的一条对称轴是；③函数在上的最小值为；④函数在上单调递增．则以上说法正确的个数是（）．C 把函数的图象向右平移个单位长度，可得的函数图象，由横坐标缩短到原来的可得．①中，∵，，则不是的对称中心，故①错误；②中，当时，，故是的对称轴，故②正确；③中，当时，，，∴，则在内的最小值为，故③正确；④∵函数的周期，又因为正弦函数不会在一个周期内为单调增函数，故④错误；故选．11.A. B. C. D.如图，在矩形中，已知，是的中点，将沿直线翻折成，连接．若当三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥外接球的体积为，则（）．【答案】【解析】B 在矩形中，已知，是的中点，所以：为等腰直角三角形；斜边上的高为：；要想三棱锥的体积最大；需高最大，则当面时体积最大，此时三棱锥的高等于：，取的中点，过作下底面的垂线，此时三棱锥的外接球球心在上，∵三棱锥外接球的体积为，所以球半径，如图：，①，②即：，③，④联立③④可得．故选．12.A. B.C.D.【答案】【解析】已知函数，若函数有唯一零点，则的取值范围为（）．D 因为．令，则，所以当时，，即在上单调递增，又，所以，，当，，所以在上为增函数，在上为减函数，又，所以当，，当，对恒成立，即当时，，且当且仅当，，故当时，有唯一的零点；排除，当时，，令，可得，有无数解，所以，不成立，排除，故选．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.【答案】【解析】若，满足约束条件，则的最大值是．由不等式组可画出可行域如图，目标函数可化为，经平移可知直线过点时，在轴截距最大，由，得：，即，∴．故答案为：．14.【答案】【解析】已知，则．∵，∴，即，∴．故答案为：．15.【答案】【解析】从正方体的个面的对角线中，任取条组成对，则所成角是的有对．根据题意，如图，在正方体中，与平面中一条对角线成的直线有，，，，，，，，共条直线，则包含在内的符合题意的对角线有对；又由正方体个面，每个面有条对角线，共有条对角线，则共有对面对角线所成角为，而其中有一半是重复的；则从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有对，故答案为：．16.【答案】【解析】如图，直线过抛物线的焦点且交抛物线于，两点，直线与圆交于，两点，若，设直线的斜率为，则= ．∵，同理可得，∴．设，联立可得，∴，．∴，即，解．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17.（1）（2）（1）【答案】已知数列和满足，且，，设．求数列的通项公式．若是等比数列，且，求数列的前项和．．（2）（1）（2）【解析】．由，得，∴，∵，∴，∴是以为公差的等差数列．又∵，∴．设的公比为，则，∴由（）知，又，∴∴，①，②①②得：∴．．18.为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在以内，规定质量指标值大于的产品为优质品，质量指标值在的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示．频率组距质量指标值质量指标值频数（1）（2）（3）（1）（2）（3）【答案】合计请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率．优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有的把握认为“产品质量高与新设备有关”．非优质品优质品合计新设备产品旧设备产品合计附：，其中．用频率代替概率，从新设备所生产的产品中随机抽取件产品，其中优质品数为件，求的分布列及数学期望．，．非优质品优质品合计新设备产品旧设备产品合计有的把握认为产品质量高与新设备有关．的分布列为．（1）（2）（3）【解析】估计新设备所生产的产品的优质品率为：，估计旧设备所生产的产品的优质品率为：．非优质品优质品合计新设备产品旧设备产品合计由列联表可得，，∴有的把握认为产品质量高与新设备有关．的所有可能取值为，，，．∵由知新设备所生产的优质品率为，∴，，，．∴的分布列为∴的数学期望为．19.（1）（2）（1）【答案】如图，四棱锥中，四边形是菱形，，．是上一点，且．设．证明：平面．若，，求二面角的余弦值．证明见解析．（2）（1）（2）【解析】．∵四边形是菱形，∴是的中点，，∵，，∴平面，∵平面，∴，∵，是的中点，∴，∵平面，平面，，∴平面．由知平面，．∴，，两两互相垂直，∴以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，，设四边形的边长为，，∵四边形是菱形，，∴和都是等边三角形，∴，∴，，，，∴，，，∵，∴，∴，即，∴，，设平面的法向量为，则，令，得，，∴，设平面的法向量为，则，令，得，，∴，设二面角的平面角为，结合图象可知，，∴二面角的余弦值为．20.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】已知椭圆：的焦点为，，是椭圆上一点．若椭圆的离心率为，且，的面积为．求椭圆的方程．已知是坐标原点，向量，过点的直线与椭圆交于，两点．若点满足，，求的最小值．．．依据题意得，所以，所以，（2）因为，故设，代入椭圆方程得，所以的面积为：，联立，解得，，所以椭圆的方程为：．由题意可知直线的斜率显然存在，故设直线的方程为：，联立，消去并整理得，所以，设，，所以，，因为，所以，当时，，当时，，，因为，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，且满足，所以，综上．21.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】已知函数（），其中为自然对数的底数．若函数的极小值为，求的值．若，证明：当时，成立．．证明见解析．函数的定义域为，，当时，对于恒成立，∴在上单调递减，∴在上无极值．当时，令，得．∴当时，，当时，．∴在上单调递减，在上单调递增．∴当时，，∴取得极小值，即．令（），则．∵，∴，∴在上单调递增．又∵，∴．∵，∴，∴，令（），∴．令（），∴，令，得，∴当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增．∴当时，取得极小值．又∵，，∴存在使得．∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．又∵，∴，∴当时，，即．令（），则对于恒成立．∴在上单调递增．∴，即当时，，∴当时，．∴当时，．∴当时，成立．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】在直角坐标系中，曲线的方程为，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求直线的直角坐标方程．已知是曲线上的一动点，过点作直线交直线于点，且直线与直线的夹角为，若的最大值为，求的值．．．由，（2）得，∴，∵，．∴直线的直角坐标方程为，即．依题意可知曲线的参数方程为：（为参数），设，则点到直线的距离为：，，∵，∴当时，，依题意得，∴的最大值为，即，∵，∴解得．选修4-5：不等式选讲23.（1）（2）（1）（2）【答案】（1）【解析】已知函数．解不等式：．若，，均为正数，且，证明：．．证明见解析．，当时，，即，解得：；（2）当时，，满足题意；当时，，即，解得：．综上，不等式的解集为．由知，∴，∴，∴，∴，当且仅当时等号成立，∴．。

陕西省2020届高三第二次检测考试数学(含答案)

陕西省2020届高三第二次检测考试文科数学本试卷共23题，共150分，共4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{4,5,7,9}M =，{3,4,7,8,9}N =，全集U M N =⋃，则集合()U M N ⋂ð中的元素共有（） A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．在复平面内，复数21(1)ii +-对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若0a b <<，则下列不等式中不成立的是（） A ．||||a b >B ．22ab >C ．11a b> D ．11a b a>- 4．总体由编号为01，02，…19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A ．5．已知函数()cos 221f x x x =++，则下列判断错误的是（） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的值域为[1,3]-C ．()f x 的图象关于直线6x π=对称 D ．()f x 的图象关于点,04π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 6．已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．设2,(10)()[(6)],(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩则(5)f 的值为（）A ．10B ．11C ．12D ．138．在直角ABC △中，2C π∠=，4AB =，2AC =，若32AD AB =u u u r u u u r，则CD CB ⋅=u u u r u u u r （）A ．18-B ．63-C ．18D ．639．如图是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由该圆的四条四分之一圆弧围成）的概率是（） A ．12B ．13C ．41π-D ．42π-10．函数||()2sin 2x f x x =⋅的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．11．若直线220(0,0)ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的圆周，则12a b+的最小值为（） A ．322+B ．323+C ．4D ．512．对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式24[]36[]450x x -+<成立的x 的范围是（） A ．315,22⎛⎫⎪⎝⎭ B ．[2,8] C ．[2,8) D ．[2,7]第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知双曲线2221(0)3x y a a -=>的离心率为2，则a =_____． 14．在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A =____．15．三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，22PA =ABC △中4BAC π∠=，边2BC =，则三棱锥P ABC -外接球的体积等于______．16．已知函数2()ln f x ax x x =-在1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，则实数a 的取值范围是______．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．设等差数列{}n a 满足39a =-，105a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最小的n 的值． 18．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，点E 在线段AD 上，且CE AB P ．（Ⅰ）求证：CE ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若1PA AB ==，3AD =，2CD =，45CDA ∠=︒，求四棱锥P ABCD -的正弦值．19．眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的．某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图．（1）若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以上的人数；（2）为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查，得到下表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P k k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k2.7063.8415.0246.6357.87920．如图，椭圆221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4，点,,A B C 为椭圆上的三个点，A 为椭圆的右端点，BC 过中心O ，且||2||BC AB =，3ABC S =△．（1）求椭圆的标准方程；（2）设,P Q 是椭圆上位于直线AC 同侧的两个动点（异于,A C ），且满足PBC QBA ∠=∠，试讨论直线BP 与直线BQ 斜率之间的关系，并求证直是否做操是否近视不做操做操近视 44 32 不近视618线PQ 的斜率为定值． 21．已知函数3211()(,)32a f x x x bx a ab +=-++∈R ，且其导函数()f x '的图像过原点．（1）若存在0x <，使得()9f x '=-，求a 的最大值；（2）当0a >时，求函数()f x 的零点个数．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l的参数方程为1212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（2）已知点(1,0)M ，直线l 与曲线C 交于A B 、两点，求||MA MB -‖‖． 23．[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|2|f x x a a =-+（1）当2a =时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()|21|g x x =-．当x R ∈时，()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．参考答案一、选择题：13．1 14．6π 15．323π 16．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭三、解答题17解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由1(1)n a a n d =+-及39a =-，105a =得112995a d a d +=-⎧⎨+=⎩ 解得1132a d =-⎧⎨=⎩数列{}n a 的通项公式为215n a n =- （2）由（1）知214n S n n =- 因为2(7)49n S n =-- 所以7n =时，n S 取得最小值．18解：（1）证明因为PA ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，所以PA CE ⊥．因为AB AD ⊥，CE AB P ，所以CE AD ⊥．又PA AD A ⋂=，所以CE ⊥平面PAD ．（2）解：由（1）可知CE AD ⊥在Rt CDE △中，cos451DE CD =⋅︒=，sin451CE CD =⋅︒=所以2AE AD ED =-=．又因为1AB CE ==，CE AB P ，所以四边形ABCE 为矩形．所以12ECD ABCE ABCD S S S AB AE CE DE =+=⋅+⋅△矩形四变形 15121122=⨯+⨯⨯=又PA ⊥平面ABCD ，1PA =，115513326ABCD P ABCD V S PA -=⋅=⨯⨯=四边形四棱锥19．解：（1）由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，因为后三组的频数成等差数列，共有100(3727)63-++=（人）所以后三组频数依次为24，21，18，所以视力在5．0以上的频率为0．18，故全年级视力在5．0以上的人数约为8000.18144⨯=人（2）22100(4418326)50507624k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯1507.8957.87919=≈> 因此能在犯错误的概率不超过0．005的前提下认为视力与眼保健操有关系．21．解：3211()32a f x x x bx a +=-++，2()(1)f x x a x b '=-++ 由(0)0f '=得0b =，()(1)f x x x a '=--．（1）存在0x <，使得()(1)9f x x x a '=--=-，991()6a x x x x ⎛⎫--=--=-+-≥= ⎪⎝⎭，7a ≤-，当且仅当3x =-时，7a =-．所以a 的最大值为7-．（2）当1a >时，()f x 的极大值(0)0f a =>，()f x 的极小值2331111(1)(1)306624f a a a a a ⎡⎤⎛⎫+=-+=-+-+<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦又14(2)03f a -=--<，213()(1)32f x x x a a ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦， 3(1)02f a a ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭．所以函数()f x 在区间(2,0)-，(0,1)a +，31,(1)2a a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭内各有一个零点，故函数()f x 共有三个零点．22．解：（1）对于曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，可得24cos ρρθ=，又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得224x y x +=，即22(2)4x y -+=，所以曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=．由直线l 的参数方程为112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数可得，直线l的普通方程为1)3y x =-，即33y x =-．（2）设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，将直线l的参数方程1212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线22:40C x y x +-=中，可得2211410242t t t ⎛⎫⎛⎫++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．化简得230t --=，设点,A B 所对应的参数分别是12,t t故12t t +=12t t ⋅=所以1212||||||||||MA MB t t t t -=-=+=‖ 23．解：（1）当2a =时，()|22|2f x x =-+．解不等式|22|26x -+„得13x -剟．因此()6f x „的解集为{|13}x x -剟．（Ⅱ）当x R ∈时，()()|2||12||212||1|f x g x x a a x x a x a a a +=-++--+-+=-+…，所以当x R ∈时，()()3f x g x +…等价于|1|3a a -+≥．①当1a „时，①等价于13a a -+…，无解．当1a >时，①等价于13a a -+…，解得2a …．所以a 的取值范围是[2,)+∞．。

湖南省岳阳市2020届高三教学质量检测(二)数学(文)试题 (练习版)

2020年高考数学二模试卷（文科）一、选择题1．已知复数z＝（1+i）（3﹣i）（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．2B．2i C．4D．4i2．已知集合A＝{x|x+1≤0}，B＝{x|x≥a}，若A∪B＝R，则实数a的值可以为（）A．2B．1C．0D．﹣23．命题p：m＝2，命题q：直线（m﹣1）x﹣y+m﹣12＝0与直线mx+2y﹣3m＝0垂直，则p是命题q 成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若a＝log23，b＝log47，c＝0.74，则实数a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a5．已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a6+a3﹣a5＝3，则S7＝（）A．42B．21C．7D．36．已知向量，，若，则实数m的值为（）A．B．C．D．7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC1的中点，则异面直线DE与A1B1所成角的正切值为（）A．B．C．D．8．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．5B．4C．3D．29．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若++＝，则||+||+||为（）A．9B．6C．4D．310．三国时期吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股+（股﹣勾）2＝4×朱实+黄实＝弦实，化简，得勾2+股2＝弦2，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉颗数大约为（）（参考数据≈1.732，≈1.414）A．130B．134C．138D．14211．已知函数f（x）＝x3﹣x，则曲线y＝f（x）过点（1，0）的切线的条数为（）A．3B．2C．1D．012．关于函数f（x）＝cos|x|+|sin x|有下述四个结论：①f（x）的图象关于y轴对称；②f（x）在[﹣π，π]有3个零点；③f（x）的最小值为；④f（x）在区间单调递减．其中所有正确结论的编号是（）A．①②B．①③C．①④D．③④二、填空题13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝60°，a2＝bc，则sin B sin C＝．14．已知实数x，y满足，则目标函数z＝3x+y﹣1的最大值为．15．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝2，AA1＝3，∠BAC＝90°，则此球的表面积等于．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点O（0，0），M（﹣4，0），N（4，0），P（0，﹣2），Q（0，2），H（4，2）．线段OM上的动点A满足；线段HN上的动点B满足．直线PA与直线QB交于点L，设直线PA的斜率记为k，直线QB的斜率记为k'，则k•k'的值为；当λ变化时，动点L一定在（填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个）上．三、解答题：共70分．解答题应该写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～19为必考题，每个试卷考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAC为正三角形，M为棱PA的中点，AB⊥AC，AC＝BC，平面PAB⊥平面PAC．（1）求证：AB⊥平面PAC；（2）若AC＝2，求三棱锥P﹣BMC的体积．18．等差数列{a n}的公差为2，a2，a4，a8分别等于等比数列{b n}的第2项，第3项，第4项．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足，求数列{c n}的前2020项的和．19．新型冠状病毒肺炎疫情爆发以来，疫情防控牵挂着所有人的心．某市积极响应上级部门的号召，通过沿街电子屏、微信公众号等各种渠道对此战“疫”进行了持续、深入的悬窗，帮助全体市民深入了解新冠状病毒，增强战胜疫情的信心．为了检验大家对新冠状病毒及防控知识的了解程度，该市推出了相关的知识问卷，随机抽取了年龄在15～75岁之间的200人进行调查，并按年龄绘制频率分布直方图如图所示，把年龄落在区间[15，35）和[35，75]内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”．经统计“青少年人”和“中老年人”的人数比为19：21．其中“青少年人”中有40人对防控的相关知识了解全面，“中老年人”中对防控的相关知识了解全面和不够全面的人数之比是2：1．（1）求图中a，b的值；（2）现采取分层抽样在[25，35）和[45，55）中随机抽取8名市民，从8人中任选2人，求2人中至少有1人是“中老年人”的概率是多少？（3）根据已知条件，完成下面的2×2列联表，并根据统计结果判断：能否有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加了解防控的相关知识？了解全面了解不全面合计青少年人中老年人合计附表及公式：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82820．已知椭圆C ：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆上的一点，I为△PF1F2的内切圆圆心，S＝2S﹣S，且△PF1F2的周长为6．（1）求椭圆C的方程．（2）已知过点（0，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，若2＝3（+），求四边形OAPB 面积的最大值．21．已知函数f（x）＝x﹣lnx﹣．（1）求f（x）的最大值；（2）若﹣bx≥1恒成立，求实数b的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情．在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线．如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为ρ＝1﹣sinθ（p＝1﹣sinθ，ρ＞0），M为该曲线上的任意一点．（1）当时，求M点的极坐标；（2）将射线OM绕原点O逆时针旋转与该曲线相交于点N，求|MN|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．函数f（x）＝（x+1）2．（1）证明：f（x）+|f（x）﹣2|≥2；（2）若存在x∈R，且x≠﹣1，使得+f（x）≤|m2﹣m﹣1|成立，求m取值范围．。

2020学年青浦区高三二模数学试卷含答案

青浦区2020学年高三年级第二次学业质量调研测试数学学科试卷（时间120分钟，满分150分）Q2021.04一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．已知集合(2,3)A =-，[]1,4B =-，则集合A B =____________．2．已知i 为虚数单位，复数z =则z z ⋅=____________．3．已知三阶行列式12414139x -的值为0，则=x ____________．4．已知△ABC 中，30,45,A B BC ===，则AC =____________．5．已知函数()331xxa f x =++最小值为53，则a =____________．6．92)21(xx -的展开式中9x 系数是____________．7．若从一副52张的扑克牌中随机抽取1张，放回后再抽取1张，则两张牌都是K 的概率为____________．（结果用最简分数表示）．8．已知正三角形ABC 的边长为1，点D 在边BC 上，且13BD =，则AB AD = ____________．9．已知中心在原点的双曲线的一个焦点坐标为F ，直线1y x =-与该双曲线交于M 、N两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是____________．10．已知函数()y f x =是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且0)2(=f ，则方程()0f x =在区间)6,0(内零点的个数的最小值是____________个．11．已知直线1l y x =-+：与x 轴交于点A ，将线段OA 的n 等分点从左至右依次记为121,,,n P P P - ，过这些分点分别作x 轴的垂线，与直线l 的交点依次为121,,,n Q Q Q - ，从而得到1n -个直角三角形△11Q OP ，△212Q PP ，，△112n n n Q P P ---，若这些三角形的面积之和为n S ，则lim n n S →∞=____________．12．已知函数()2,24161(),22x a x x x f x x -⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎩，若对任意的[)12,x ∈+∞，都存在唯一的()2,2x ∈-∞，满足()()12f x f x =，则实数a 的取值范围为____________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．已知,a b ∈R ，则“0a >且0b >”是“a b +>”的………………………………（）．（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件14．下列点不在直线1222x y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)上的是……………………………………（）．（A ）(1,2)-（B ）(3,2)-（C ）(2,1)-（D ）(3,2)-15．点P 在直线1l y x =-：上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于A 、B 两点，且PA AB =，则称点P 为“友善点”，那么下列结论中正确的是…………………………………（）．（A ）直线上的所有点都是“友善点”（B ）直线上仅有有限个点是“友善点”（C ）直线上的所有点都不是“友善点”（D ）直线上有无穷多个点（不是所有的点）是“友善点”16．已知函数()y f x =的定义域为R ，给出以下两个结论：①若函数()y f x =的图像是轴对称图形，则函数(())y f f x =的图像是轴对称图形；②若函数()y f x =的图像是中心对称图形，则函数(())y f f x =的图像是中心对称图形．它们的成立情况是…………………………………………………………………………（）．（A ）①成立，②不成立（B ）①不成立，②成立（C ）①②均不成立（D ）①②均成立三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，已知圆锥的体积为π，底面半径OA 与OB 的夹角2π3AOB ∠=，且OA =P 是母线BS 的中点．（1）求圆锥的表面积；（2）求异面直线SO 与PA 所成角的大小（结果用反三角函数表示）．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数2()cos 222x x xf x =+-.（1）求函数()f x 在区间[]0,π上的值域；（2）若方程(0)f x ωω>在区间[]0,π上至少有两个不同的解，求ω的取值范围.19.(本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.由于新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A 公司扩大生产提供([0,10])∈x x (万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服．A 公司在收到政府x (万元)补贴后，防护服产量将增加到1264t k x ⎛⎫=⋅-⎪+⎝⎭(万件)，其中k 为工厂工人的复工率（[0.5,1]k ∈）.A 公司生产t 万件防护服还需投入成本(20950)x t ++(万元)．（1）将A 公司生产防护服的利润y (万元)表示为补贴x (万元)的函数(政府补贴x 万元计入公司收入)；（2）对任意的[0,10]x ∈(万元)，当复工率k 达到多少时，A 公司才能不产生亏损？（精确到0.01）．20.(本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知A 、B 分别是椭圆2222:+1(0)x y C a b a b=>>的左右顶点，O 为坐标原点，6AB =，点52,3⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上．过点()0,3P -的直线l 交椭圆C 于M 、N 两个不同的点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 落在以线段MN 为直径的圆的外部，求直线l 的倾斜角θ的取值范围；（3）当直线l 的倾斜角θ为锐角时，设直线AM 、AN 分别交y 轴于点S 、T ，记PS PO λ=，PT PO μ=，求λμ+的取值范围．21.(本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列{}n a 为等差数列，且25a =，823a =．数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，12b =，且对任意正整数,s t 都有s t s t b b b +=⋅成立．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）求证：数列{}n b 中有无穷多项在数列{}n a 中；（3）是否存在二次函数()f x 和实数a ，使得,(),(()),((()))a f a f f a f f f a 为数列{}n b 中连续4项？若存在，请写出一个满足条件的()f x 的解析式和对应的实数a 的值；若不存在，说明理由．青浦区2020学年第二学期高三年级第二次学业质量调研测试数学参考答案2021.04一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1．[)1,3-；2．13；3．2；4．5．169；6．221-；7．1169；8．56；9.15222=-y x ；10.7；11．14；12.[)2,6-.二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13.D ；14.B ；15．A ；16.C .三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.解：（1）13,1,23V Sh S SO SB π==∴== ，，()2π2π3πS =+⋅=表（2）取BO 中点H ，连接,PH AH SO ，与PA 所成角为APH ∠(或其补角)，122AH PH ==，an t APH ∠=，所以异面直线SO与PA 所成角的大小为．18．（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.解:（1）2()cos 2222sin()4x x x f x x x x π==+=++，令4U x π=+，[]0,x π∈ ，5,44U ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦由sin y U =的图像知，sin ,12U ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即2sin ,142x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，2sin 24x π⎛⎫⎡⎤∴+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，所以函数()f x 的值域为2⎡⎤⎣⎦.（2）()2sin()(0)4f x x πωωω=+>(f x ωQ 2sin(4x πω∴+=，即3sin(42x πω+[]0,x π∈ ，444x πππωωπ⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦,，且=2()43x k k ππωπ++∈Z 或2=2()43x k k ππωπ++∈Z由于方程(0)f x ωω>在区间[]0,π上至少有两个不同的解，所以243ππωπ+≥，解得512ω≥，所以ω的取值范围为5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.解：（1）由题意，80(20950)y x t x t =+-++30820t x =--123068204k x x ⎛⎫=⋅--- ⎪+⎝⎭3601808204kk x x =---+，即3601808204ky k x x =---+，[0,10]x ∈，[0.5,1]k ∈.（2）对任意的[0,10]x ∈(万元)，A 公司都不产生亏损，则36018082004kk x x ---≥+在[0,10]x ∈上恒成立，不等式整理得，()()20841802x x k x ++≥+，令2m x =+，则[]2,12m ∈，则()()()()208484288202x x m m m x mm++++==+++，由函数()8820h m m m=++在[]2,12上单调递增，可得()()max 821281220116123h m h ==⨯++=+，所以21801163k ≥+，即211630.65180k +≥≈.所以当复工率k 达到0.65时，对任意的[0,10]x ∈(万元)，A 公司都不产生亏损．20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.解：（1）因为6AB =，所以3a =；又点52,3⎛⎫ ⎪⎝⎭在图像C 上即()22252319b ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，所以b =所以椭圆C 的方程为22195x y +=；（2）由（1）可得()3,0B ①当直线l的斜率不存在时，MN =，以线段MN 为直径的圆交x轴于点()3,0B 在以线段MN 为直径的圆的外部，符合，此时90θ=︒，②当直线l 的斜率存在时，设直线3l y kx =-：，设11(,)M x y 、22(,)N x y ，由223195y kx x y +=-⎧⎪⎨=⎪⎩得22(59)54360k x kx +-+=，22(54)436(59)0k k ∆=-⨯⨯+>解得23k >或23k <-（i）∵点()3,0B 在以线段MN 为直径的圆的外部，则0QM QN ⋅>，又12212254593659k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩211221212(3,)(3,)(1)3(1)()180QM QN x y x y k x x k x x ⋅=--=+-+++>解得1k <或72k >（ii）由（i）、（ii）得实数k 的范围是213k <<或72k >，由①、②得直线l 的倾斜角的范围是2π72(tan ,)(tan ,πtan )3423arc arc arc θ∈- ；（3）设直线3l y kx =-：，又直线l 的倾斜角θ为锐角，由（2）可知23k >，记11(,)M x y 、22(,)N x y ，所以直线AM 的方程是：()1133y y x x =++，直线AN 的方程是：()2233yy x x =++.令0x =，解得113+3y y x =，所以点S 为1130,+3y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；同理点T 为2230,+3y x ⎛⎫⎪⎝⎭.所以1130,3+3y PS x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，2230,3+3y PT x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()0,3PO = .由PS PO λ= ，PT PO μ=，可得：11333+3y x λ+=，22333+3y x μ+=，所以1212233y y x x λμ+=++++，由（2）得1225495k x x k +=+，1223695x k x =+，所以()()()1212121212122311333338229kx x k x x kx kx x x x x x x λμ--++-+-+=++=+++++()222254231189595254936369595k k k k k k k k ⎛⎫⋅+-- ⎪++⎝⎭=+⎛⎫++ ⎪++⎝⎭21012921k k k +=-⨯+++()()2110291k k +=-⨯++10142,291323k k ⎛⎫⎛⎫=-⨯+∈> ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭ 综上所以λμ+的范围是4,23⎛⎫⎪⎝⎭.21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.解：（1）设数列{}n a 公差为d ，则82382a a d -==-，122a a d =-=，所以31n a n =-．设数列{}n b 公比为q ，由条件得1112(2)(2)s t s t qq q +---=⋅，解得2q =，从而2n n b =．（2）令k n b a =得231kn =-，所以213k n +=，取21()k m m =+∈*N ，则2121212(31)1k m m ++=+=⨯++1112(3331)1m m m m m C C --=⨯+⨯++⨯++ 1112(333)3m m m m m C C --=⨯+⨯++⨯+ 所以21k+能够被3整除，所以此时n ∈*N ，即21()k m m =+∈*N 时，k b 是数列{}n a 中的项，从而数列{}n b 中有无穷多项在数列{}n a 中．（3）设2()(0)f x rx sx t r =++≠，若,(),(()),((()))a f a f f a f f f a 为数列{}n b 中连续4项，设2()n a n =∈*N ，则1()2n f a +=，2(())2n f f a +=，3((()))2n f f f a +=，所以11+12+2+23422422422n n n n n n n n n r s t r s t r s t ++++⎧⋅+⋅+=⎪⋅+⋅+=⎨⎪⋅+⋅+=⎩于是11+1234223422n n n n n n r s r s +++⎧⋅+⋅=⎨⋅+⋅=⎩于是34=0nr ⋅，所以0r =，矛盾．所以不存在二次函数()f x 和实数a ，使得,(),(()),((()))a f a f f a f f f a 为数列{}n b 中连续4项．。

2020届深圳市高三上学期第二次教学质量检测数学（理）试题（解析版）

2020届广东省深圳市高三上学期第二次教学质量检测数学(理)试题一、单选题1.已知集合M={x|(x+2)(x—5)<0},N={y|y=2，},则M N=()A.(0,5]B.(0,2]C.[2,5]D.[2,+oo)【答案】A【解析】解出不等式，求出值域，分别得到集合M,N,即可求解.【详解】依题意，M={x|(x+2)(x-5)<0}={x|-2<x<5},7V=^|j=2x|={y|y>0},故M N=(0,5].故选:A.【点睛】此题考查解不等式和求函数的值域，并求不等式解集与函数值域的交集.I72I2.已知向量m=(1,-2),n=(4,2),其中2e R.若机_1_"，则----=()\m\A.V?B.V2C.2a/5D.2【答案】D【解析】根据向量垂直，求出2=2,即可得到模长之比.【详解】依题意，(1,—2)・(4,人)=0,即4-22=0,解得2=2,故n=(4,2),则|n|=J16+4=2a/5,-—-=2.\m\故选：D.【点睛】此题考查根据向量垂直求参数值，并求模长比值关系.l+4z3.设2=——+i,则歹=()2-i214.A.-----155【答案】D214.B.----1---155214.C.------155D.214.-------155-214【解析】根据复数的运算法则得z=—+—i,即可得到其共辄复数.【详解】Z=1+4, 2-i+iJI+40(2+0!.—(2-z)(2+z)'-2+9i.=---------i5-214.=---1---1,552 14故5=-------i.55故选：D.【点睛】此题考查复数的基本运算和求共貌复数.4.曲线j=(x3-3x)-lnx在点(1,0)处的切线方程为()A.2x+y-2=0B.x+2y-l=0C.x+y-l=0D.4jr+y-4=0【答案】A【解析】求导得到7=(3x2-3)-lnx+--(x3-3x),代入数据计算斜率得到答案.JC【详解】y=(3工2—3)•Inx —(J—3尤)，故切线斜率k=,'，_]=—2x故所求切线方程为y=—2(x—1),即2x+y—2—0故选：A.【点睛】本题考查了曲线的切线方程，意在考查学生的计算能力.5.2019年10月18日-27日，第七届世界军人运动会在湖北武汉举办，中国代表团共获得133金64银42铜，共239枚奖牌.为了调查各国参赛人员对主办方的满意程度，研究人员随机抽取了500名参赛运动员进行调查，所得数据如下所示，现有如下说法：①在参与调查的500名运动员中任取1人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为4;②在犯错误的概率不超过1%的前提下可以认为“是否对主办方表示满意与运动2员的性别有关”；③没有99.9%的把握认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；则正确命题的个数为()附：K~=--------n(ad-bc)------(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)男性运动员女性运动员对主办方表示满意200220对主办方表示不满意5030P(K2>k)0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.828A.0B.1C. 2D.3【答案】B2【解析】依次判断每个选项：计算概率为；得到①错误；计算5.952得到②错，③对得到答案.【详解】2002任取1名参赛人员，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为——=一,故①错5005误；K2=(2°°*3°-5°x220〈x000*5952,故②错，③对250x250x420x80故选：B.【点睛】本题考查了概率的计算和独立性检验，意在考查学生的综合应用能力.226.记双曲线C:—-^-=l(m>0)的左、右焦点分别为旦，离心率为2,点M16m在C上，点N满足F1N=^F l M,若|屿|=10,。

2020年湖北省高三二模理科数学试卷(含答案和解析)

2020年湖北高三二模理科数学试卷注意事项:1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2. 请将答案正确填写在答题卡上。

一、标题1.设集合，，则（）．A. B. C. D.2.复数满足，则（）．A. B. C. D.3.若实数，满足，则的最大值是（）．A.B.C.D.4.非零向量，满足，．则，的夹角为（）．A.B.C.D.5.在魅力江城武汉举行的第七届世界军人运动会开幕式上，最激动人心的时刻是“升国旗、唱国歌”环节．中华人民共和国国歌有个字，小节，奏唱需要秒，如图所示，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米，旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（）(米/秒)．第一排最后一排旗杆看台A.B.C.D.6.《孙子算经》中曾经记载，中国古代诸侯的等级从高到低分为：公，侯，伯，子，男，共有五级．若给有巨大贡献的甲、乙两人进行封爵，则甲比乙获封等级高的概率为（）．A.B.C.D.7.已知，则实数的取值范围是（）．A.B.C.D.8.已知，则（）．A.B.C.D.9.已知函数，那么的大致图象是（）．A.B.C.D.10.已知，为椭圆上的两个动点，，且满足，则的取值范围为（）．A.B.C.D.11.设数列的前项和为，且，，则的最小值是（）．A.B.C.D.12.如图，已知四面体的各条棱长均等于，，分别是棱，的中点．若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（）．A.B.C.D.13.设为所在平面内一点，，若，则．14.若的展开式中项的系数为，则．15.已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作圆的切线交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为．16.为响应国家号召，打赢脱贫致富攻坚战，武汉大学团队带领湖北省大悟县新城镇熊湾村村民建立有机、健康、高端，绿色的蔬菜基地，并策划“生产，运输、销售”一体化的直销供应模式，据统计，当地村民两年时间成功脱贫，蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装，以每份元的价格销售到生鲜超市，每份元的价格卖给顾客，如果当天前小时卖不完，则超市通过促销以每份元的价格卖给顾客（根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货）．该生鲜超市统计了天有机蔬菜在每天的前个小时内的销售量（单位：份），制成如下表格（注：，且），若以天记录的频率做为每日前小时销售销售量发生的概率，该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望值为决策依据，若购进份比购进份的利润的期望值大，则的最小值是．前小时内销售量频数（1）（2）17.已知数列的前项和为，且满足．求证：数列为等比数列．求数列的前项和．（1）（2）18.如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为上一点，当为的中点时，平行于平面．求证：平面；求二面角的余弦值．（1）（2）19.已知椭圆：的离心率为．求椭圆的方程．设直线过点且与椭圆相交于，两点．过点作直线的垂线，垂足为．证明：直线过轴上的定点．（1）（2）20.已知函数．求的极值．若，，，求证：．21.（1）（2）三棱锥中,、均为边长为的正三角形，在平面内，侧棱．现对其四个顶点随机贴上写有数字至的个标签中的个，并记对应的标号为，（取值为），为侧棱上一点．求事件“为偶数”的概率；若；求二面角的平面角大于的概率．（1）（2）22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程．设Р为曲线上的点，，垂足为，若的最小值为，求的值．（1）（2）23.已知函数，．若，求的取值范围．若，对，，都有不等式恒成立，求的取值范围．2020年湖北高三二模理科数学试卷答案注意事项:1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2. 请将答案正确填写在答题卡上。

2020年湖北高三二模数学试卷(理科)

2020年湖北高三二模数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 设集合 A.
， B.
，则 C.
（）． D.
2. 复数满足
，则（）．
A.
B.
C.
D.
3. 若实数，满足
，则
的最大值是（）．
A.
B.
C.
D.
4. 非零向量，满足
，
．则，的夹角为（）．
A. B. C. D.
， ②购进份，当前销量为时，利润：
，
13
当前销量为时，利润：
，当前销量为时，利润：
，当前销量为时，利润：
，当前销量为，，时，利润：， ∴期望为：
，
又∵购进份比购进份利润的期望值大，
∴
，
∴
，
，
故
．
故答案为：．
17.（ 1 ）证明见解析．
（2）
．
解析:
证明：直线过轴上的定点．
的垂线，垂足为．
20. 已知函数
．
（ 1 ）求的极值．
（2）若
，，
，求证：
．
21. 三棱锥
中,
、
均为边长为的正三角形，
在平面内，侧棱
．现对其四个顶点随机贴上写有数字至的个标签中的个，并记对应的标号为，（
取值为
），为侧棱上一点．
5
（ 1 ）求事件“ （2）若
（1）
，
当
时，
，
两式相减，得
，即
．
∴
，
14

2020年深圳市普通高中高三年级第二次在线统一测试数学(理科)参考答案

x +1 所以函数 f (x) 的图象上一点 A(x0 , y0 ) 处的切线 l 的方程可表示为
2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案第 5 页共 10页
y−
y0
=
1 (x − x0 +1
x0 ) ，
设直线 l 与曲线 y = g(x) 相切于点 B(x1, ex1 ) ，
又 (e
−1)
=
−
e
1 −1
0
， (e2
−1)
=
e2 e2
−2 −1
0
，
所以函数(x) 在 (e −1, e2 −1) 上有唯一的零点，又因为(x) 在 (0, +) 单调递增，
所以方程 ln(x0
+ 1)
−
x0 +1 x0
=
0
在
(0, +) 上存在唯一的根，
故在区间 (0, +) 上存在唯一的 x0 ，使得直线 l 与曲线 y = g(x) 相切．………………12 分
因为 g(x) = ex ，
……………………9 分
所以
e x1
y0
= =
1 ,
x0 +1 ln(x0 +
1),
e x1
−
y0
=
1 x0 +1 (x1
−
x0 ),
消去 x1 并整理，得
ln( x0
+ 1)
−
x0 +1 x0
=
0
,
……………11 分
由（1）可知，当 a = 1时，函数(x) = ln(x +1) − x +1（x −1) 在 (0, +) 单调递增， x

2020年5月广东省佛山市普通高中2020届高三下学期质量监测(二)(二模)数学(理)试题(解析版)

绝密★启用前广东省佛山市普通高中2020届高三毕业班下学期教学质量监测(二)(二模)数学(理)试题(解析版)2020年5月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目旨定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|2A x x x =>，{}|13B x x =≤≤，则A B =（） A. {}|01x x ≤< B. {0x x <或}1x ≥ C. {}|23x x <≤ D. {1x x ≤或}3x >【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式得到集合A ,根据并集的概念即可得出结果.【详解】∵{}{222A x x x x x ==>或}0x <,{}|13B x x =≤≤, ∴A B ={0x x <或}1x ≥,故选：B .【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法,集合间并集的运算,属于基础题.2.复数z 满足()()21i 3i z ++=+,则z =（）A. 1 D. 2 【答案】A【解析】【分析】把已知等式变形,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数求模公式计算得答案.【详解】因为复数z 满足()()213z i i ++=+, ∴()()()()313422221112i i i i z i i i i +-+-=-=-=-=-++-, 则1z =,故选：A .【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,属于基础题.3.(101-的二项展开式中,x 的系数与4x 的系数之差为（）A. 220-B. 90-C. 90D. 0 【答案】D【解析】【分析】由题意利用二项展开式的通项公式,求出x 的系数与4x 的系数,再求其差即可.【详解】∵(101-的二项展开式中,通项公式为()21101r r rr T C x +=⋅-,。

2020年6月广东省深圳市普通高中2020届高三下学期调研考试(二)(二模)数学(理)试题(解析版)

绝密★启用前广东省深圳市普通高中2020届高三毕业班下学期第二次调研考试(二模)理科数学试题(解析版)2020年6月一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设z 21(1)i i +=-,则|z |＝（）A. 12 C. 1【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形,再由商的模等于模的商求解即可.【详解】解：∵z 211(1)2i i i i++==--,∴|z |＝|12i i+-|122i i +==-. 故选：B.【点睛】本题考查复数模的求法,考查数学转化思想方法,是基础题.2.已知集合{}|2x A y y ==,{}2|320B x x x =-+≤则（） A. A B =∅B. A B R =C. A B ⊆D. B A ⊆【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的值域化简集合A 的表示,解一元二次不等式化简集合B 的表示,最后根据集合的交集和并集的定义、子集的定义进行判断即可.【详解】因为{}{}|2|0x A y y y y ===>,{}{}2|320|12B x x x x x =-+≤=≤≤, 所以{}|12A B x x =≤≤≠∅,故选项A 不正确；{}|0y y A B R =>≠,故选项B 不正确；根据子集的定义有B A ⊆.故选：D【点睛】本题考查了集合交集、并集的运算,考查了子集的定义,考查了指数函数的值域,考查了解一元二次不等式,考查了数学运算能力.3.设α为平面,m ,n 为两条直线,若m α⊥,则“m n ⊥”是“n ⊂α”的（）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分性和必要性的定义,结合线面垂直的性质进行判断即可.【详解】当m α⊥时,如果m n ⊥,不一定能推出n ⊂α,因为直线n 可以在平面α外,当m α⊥时,如果n ⊂α,根据线面垂直的性质一定能推出m n ⊥,所以若m α⊥,则“m n ⊥”是“n ⊂α”的必要不充分条件.故选：C【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断,考查了线面垂直的性质,考查了推理论证能力.4.已知双曲线C ：22221y x a b -=（0a >,0b >）的两条渐近线互相垂直,则C 的离心率为（）B. 2 D. 3。

2020年黑龙江高三二模数学试卷(理科)

2020年黑龙江高三二模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，，则（）．A. B. C. D.2.已知复数的实部为，其中为虚数单位，则复数的虚部为（）．A. B. C. D.3.已知双曲线则此双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）．A. B. C. D.4.风雨桥是侗族最具特色的建筑之一．风雨桥由桥、塔、亭组成，其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．下图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影，其正六边形的边长计算方法如下：，，，，，其中，．根据每层边长间的规律，建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭．塔共层，若，，则这五层正六边形的周长总和为（）．A.B.C.D.5.对于直线，和平面，，，有如下四个命题：（）若，，则；（）若，，，则；（）若，，，则；（）若，，则．其中真命题的个数是A.B.C.D.6.已知正方体，为底面的中心，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）．A.B.C.D.7.函数，若要得到奇函数的图象，可以将函数的图象（）．A.向左平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向右平移个单位8.一项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究，表为各个学段每个内容主题所包含的条目数，图是将表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图．由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是：学段内容主题第一学段（年级）第二学段（年级）第三学段（年级）合计数与代数图形与几何统计与概率综合与实践合计表第一学段第二学段第三学段综合与实践统计与概率图形与几何数与代数图A.除了"综合与实践"外，其他三个内容领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其"图形与几何"在第三学段急剧增加，约是第二学段的倍．B.在所有内容领域中，"图形与几何"内容最多，占，"综合与实践"内容最少，约占．C.第一、二学段"数与代数"内容最多，第三学段"图形与几何"内容最多．D."数与代数"内容条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少，"图形与几何"内容条目数，百分比都随学段的增长而增长．9.定义在上的偶函数满足：对任意的，（），有，则（）．A.B.C.D.10.给定两个长度为的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点在以为圆心为半径的圆弧上运动，则的最小值为（）．A.B.C.D.11.若数列满足，且，若使不等式成立的有且只有三项，则的取值范围为（）．A.B.C.D.12.设椭圆的两焦点为，，焦距为，过点的直线与椭圆交于，两点．若，且，则椭圆的离心率为（）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若，满足约束条件，则的最大值是．14.甲、乙、丙三人的投篮命中率分别为，，，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为．15.数列是等差数列，前项和为，，，且，则实数．16.在四棱锥中，底面为正方形，，为等边三角形，线段的中点为，若，则此四棱锥的外接球的表面积为．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.在中，角，，所对的边分别为，，，且．求的值．若为锐角三角形，求的最小值．（1）（2）18.随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注．一些高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果．下表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取名学生的统计数据．成绩优秀成绩不够优秀总计选修生涯规划课不选修生涯规划课总计根据列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关”，并说明理由．如果从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽取名学生，求抽到成绩不够优秀的学生人数的分布列和数学期望（将频率当作概率计算）．参考附表：参考公式，其中．19.四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，为的中点，为的中点，平面底面．（1）（2）证明：平面平面．若与底面所成的角为，求二面角的余弦值．（1）（2）20.已知点，为抛物线上任意一点，且为的中点．设动点的轨迹为曲线．求曲线的方程．关于的对称点为．是否存在斜率为的直线交曲线于，两点，使得为以为底边的等腰三角形？若存在，请求出的面积；若不存在，请说明理由．（1）（2）21.已知函数，．讨论函数在上的单调性．判断当时，与的图象公切线的条数，并说明理由．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数）．求曲线的参数方程与直线的普通方程．设点为曲线上的动点，点和点为直线上的点，且，求面积的取值范围．（1）（2）23.已知函数，，．当时，有，求实数的取值范围．若不等式的解集为，正数，满足，求的最小值．【答案】解析:集合，集合，∴．故选项．解析:∵ 复数，∵ 实数部为，即，∴ 复数，故复数的虚部为．故选．解析:由题意得：，，∴，故双曲线的焦点坐标为和，令，则，即双曲线的渐近线方程为：，∴双曲线焦点到其渐近线的距离为：．故选．解析:五层：，，，，，∴周长和．故选．D 1.A 2.B 3.C 4.解析:（）∵，∴（设面），又∵，∴，又∵，∴，（）∵，又∵，∴，又∵，∴，（）∵，，∴，又∵，∴，（）时，不平行于，∴（）（）（）正确，∴选．解析:C 5.C 6.以正方体，为坐标原点，边为轴，为轴，为轴作空间坐标系，设，则，，，，，，，，则，，，，则异面直线与所成角的余弦值为．故选．解析:∵函数，要得到有函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位．故正确．故选．D 7.解析:∵，时，，∴在单调递减，∵为偶函数，∴在单调递增，∵，∴，∵，∵，，∴，∴．故选．解析:，∵设，则，且，∴，∵，即，∴，∴．故选：．D 8.D 9.B 10.解析:由题意知，即，则，，逐项累加得：，又∵，∴，∴，则，，，，若使不等式成立的有且只有三项，则的取值范围为．故选．解析:如图所示：由椭圆定义知，，∵，∴．∵，A 11.C 12.∴，∴．在，由余弦定理知：，在，由余弦定理知：．∵，∴，∴，即，∴，∴，故选．13.解析:如图所示阴影部分为约束条件表示的可行域，目标函数可化为，其中表示直线的纵截距，平移直线至点时，纵截距最大，即最大．∵,∴．14.解析:由题意可知：三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为：,故答案为：．15.解析:，则，∵，∴，，，∴，．16.解析:，交于点，过点作面，四棱锥球心在直线上，（1）设球心为，过点作面的垂线，交面于点，取中点为，连接，，，∵为等边三角形，，∴，设，，在中，，在中，，即，解得，∴，，过点作交于点，，设，在中，，即①，在中，，即②，①②联立可得，∴四棱锥外接球表面积为．解析:在中，，由正弦定理，得，故，（1）．（2）．17.（2）（1）（2）∴，，则．由得，，∵，由均值不等式得，，当且仅当时，等号成立，解得，∴的最小值为．解析:由题意知，的观测值，所以有的把握认为“学生的成绩优秀与是否选修生涯规划课有关”．由题意知在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取名学生成绩优秀的概率为，成绩不优秀的概率为，可取值为，，，，，，，，所以的分布列为：∵，（1）有的把握认为“学生的成绩优秀与是否选修生涯规划课有关”，证明见解析．（2）．18.（1）（2）∴．解析:∵，∴四边形是平行四边形，∴．又∵，∴．又∵面面，面面，面，∴面，且面，∴平面平面．连结，∵，为中点，∴又平面，平面平面，平面平面，∴底面，又，以，，分别为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，，取平面的法向量，，，∴，，∴，（1）证明见解析．（2）．19.（1）（2）∴，，设平面的法向量，∴，令，∴，，设二面角的平面角为，∴，又为钝角，∴，即二面角的余弦值为．解析:设，，∵是的中点，则，∵在上，∴，∴，∴，故曲线的方程为．由题意得，设，，，将代入得，∴，∴的中点，∵，∴，∴符合，∴存在，∴化为，∴，，∴．（1）．（2）存在，．20.（1）（2）解析:，，当时，，所以函数在上单调递减，当时，由得：，由得：，所以，函数在上单调递减，函数在上单调递增．函数在点处的切线方程为，即，函数在点处的切线方程为，即，若与的图象有公切线，则，由①得代入②整理得：，③由题意只需判断关于的方程在上解的个数，令，，令，解得，单调递减极小值单调递增∴，∵，，∴，（1）函数在上单调递减，函数在上单调递增．（2）与的图象有两条公切线，证明见解析．21.①②（1）（2）（1），且图象在不连续不断，∴方程在及上各有一个根，即与的图象有两条公切线．解析:由题意：，∴，∴，∴，∴曲线的参数方程为（为参数），由直线的参数方程得代入，得，∴，∴直线的普通方程为．设到直线的距离为，，，∴，∴面积的取值范围是．解析:∵在上恒成立，∴，∴，又∵，（1）（为参数）；．（2）．22.（1）．（2）．23.（2）当且仅当，即时等号成立，∴，即．令，∴，①若时，∴解集为，不符合题意，②若时，解集为，不符合题意，③若时，∴，∴，又∵，∴，综上所述，∴，∴，∵，∴，∴，∴，当且仅当，即时等号成立，此时，∴当，时，．。

2020届高三上学期第二次学情检测(答案)(1)

2020届高三上学期第二次学情检测数学试卷（160分卷）参考答案总分：160分考试时间：120分 2019-09-27一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1、 2、[2,)+∞ 3、6 4、125、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,45 6、0 7、)1,1( 8、8 9、3410、sin(12x ＋5π12) 11、-1 12、[)7,1-- 13、8-、 (43，2)二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15、（本小题满分14分）解（1）2()sin )2f x x x x =+-223cos cos sin 2x x x x x =++-3(1cos2)1cos2222x xx +-=+ ····································································· 2分cos 222x x =+2cos(2)23x π=++． ························································· 4分当223x k π+=π+π，即()3x k k π=π+∈Z 时，()f x 取得最小值0．此时，()f x 取得最小值时自变量x 的取值集合为,3x x k k π⎧⎫=π+∈⎨⎬⎩⎭Z ．····································································································································· 7分（注：结果不写集合形式扣1分）（2）因为()2cos(2)23f x x π=++，令2222()3k x k k ππ+π+π+π∈Z ≤≤， ······························································ 8分解得()36k x k k π5π+π+π∈Z ≤≤， ······································································ 10分又[,]22x ππ∈-，令1k =-，,26x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，令0k =，,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以函数在[,]22ππ-的单调增区间是,26ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ······························· 14分（注：如果写成两区间的并集，扣1分，其中写对一个区间给2分） 16.(本小题满分14分)解：（1）ab 23=⋅Θ,cos sinB sin cos ,ab A ab A B ∴+=sin C =-----4分()0,C π∈Q 3C π∴=或23π-----7分（2）//Θ，sin sinB cos cos ab A ab A B ∴=,则cos(A B)0+=，2C π=， - ----10分sin sin )4A B A π∴+=+，又30,2444A A ππππ<<<+<则, ----12分所以sin sin A B +的取值范围为(1． -----14分17.（本小题满分14分）解：（1）由题意得，, ………………2分因为∥，所以，即. …………………………………6分（2）由题意，，因为，所以，即. ………………………………10分由（1）（2）得,或，当时，，，，……12分当时，，，．所以四边形的面积为16. …………………………………14分18．（本小题满分16分）【解】（1）在Rt △AQR 中，∠RQA ＝90°，AR ＝1，∠RAQ ＝θ，所以RQ ＝sin θ，AQ ＝cos θ．故BQ ＝AB －AQ ＝1－cos θ，且AP ＝1－cos θ．所以PQ ＝AQ －AP ＝cos θ－(1－cos θ)＝2cos θ－1．所以y ＝PQ ·RQ ＝(2cos θ－1)sin θ． …… 5分依题意，0sin 10cos 1θθ<<⎧⎨<2-<1⎩，，，解得锐角π03θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，．所以y ＝(2cos θ－1)sin θ，定义域为π03⎛⎫⎪⎝⎭，． …… 7分（2）由（1）知，()2cos 1sin y θθ=-，π03θ<<，故()222sin sin 2cos 1cos 2cos 2sin cos y θθθθθθθ'=-⋅+-=--()2222cos 21cos cos 4cos cos 2θθθθθ=---=--，令0y '=，解得cos θ=（负舍），设锐角0π03θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，且0cos θ= 10分{}2(4,2)AD AB BC CD x y =++=+-u u u r u u u r u u u r u u u r (,)BC x y =u u u rAD u u u r BC uuur (4)(2)0x y y x +--=20x y +=(6,1)AC AB BC x y =+=++u u u r u u u r u u u r (2,3)BD BC CD x y =+=--u u u r u u u r u u u rAC BD ⊥u u u r u u u r(6)(2)(1)(3)0x x y y +-++-=2242150x y x y ++--=21x y =⎧⎨=-⎩63x y =-⎧⎨=⎩21x y =⎧⎨=-⎩(8,0)AC =u u u r (0,4)BD =-u u u r 1||||162ABCD S AC BD ==四边形63x y =-⎧⎨=⎩(0,4)AC =u u u r (-8,0)BD =u u u r 1||||162ABCD S AC BD ==四边形ABCD SRQP ABCD（第18题图）故当0θθ=时，y 取最大值．列表答：面积y 取最大值时，cos θ的值为…… 14分19、（本小题满分16分）解：（1）34ln ()xf x x-'=，令()0f x '=得1x =， -----2分 ()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减．综上， ()f x 单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞．-----4分（2）222(1)()2ax g x ax x x-'=-=- ----6分①当0a ≤时，()0g x '<，单调递减，故不可能有两个根，舍去 -----7分②当0a >时，x ⎛∈ ⎝时，()0f x '<，()f x 单调递减， x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增．因为1)(=x g ，所以1g <得01a <<．且1)2(,1)1(>>ag e g 所以，此时1)(=x g 在（a 1e 1，）和)2a 1(a，内各有一个根，符合条件综上，01a << -----10分（3）不妨设121x x >>，由(1)知()1,x ∈+∞时，()f x 单调递减．1212()()ln ln f x f x k x x --≥，等价于2112()()(ln ln )f x f x k x x --≥即2211()ln ()ln f x k x f x k x ++≥存在()12,1,x x ∈+∞且12x x ≠，使2211()ln ()ln f x k x f x k x +≥+成立-----12分令(x)()ln h f x k x =+，()h x 在()1,+∞存在减区间234ln ()kx x h x x -'=<0有解，即24ln x k x <有解，即max24ln ()xk x <-----14分令24ln ()x t x x =，34(12ln )()x t x x-'=，(x ∈时， ()0f x '>，()f x 单调递增， )x ∈+∞时， ()0f x '<，()f x 单调递减，max 24ln 2()x x e =，2k e ∴<．-----16分 20．（本小题满分16分）解：（1），所以在x=0处的切线为即：ex y = …………………4分（2）①当时，在上单调递增，且当10<<xe x 时，时此时,1)(ax xf +< 存在010<-=ax ，有01)(00=+<ax x f ，故不恒成立，所以不合题意；………………6分 ②当时，对恒成立，所以符合题意；③当时令，得，当时，，当时，，故在上是单调递减，在上是单调递增, 所以又，，综上：. ………………………………10分 (3)当时，由（2）知，设，则，假设存在实数，使曲线在点处的切线斜率与在上的最小值相等，即为方程的解，………………………………13分令得：，因为，所以. 令，则，当是，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，,故方程有唯一解为1，所以存在符合条件的，且仅有一个. ………………………16分'() '(1)xf x e a f e a =+=+，'()xf x e a =+0a >'()0, ()f x f x >R ()0f x >0a >0a =()0xf x e =>x R ∈0a =0a <'()0xf x e a =+=ln()x a =-(,,ln())x a ∈-∞-'()0f x <(ln(),)x a ∈-+∞'()0f x >()f x (,ln())a -∞-(ln(),)a -+∞min [()](ln())ln()0,,f x f a a a a a e =-=-+->∴>-0a <(,0)a e ∴∈-(,0]a e ∈-1a =-min [()](ln())ln()1f x f a a a a =-=-+-=()()()ln xxh x g x f x e x e x =-=-+/11()ln 1(ln 1)1x xx x h x e x e e e x x x=+⋅-+=+-+0(0,)x ∈+∞:()()C y g x f x =-0x x =()f x R 0x '()1h x =1(ln 1)0xe x x +-=0x e >1ln 10x x+-=1()ln 1x x x ϕ=+-22111'()x x x x xϕ-=-=01x <<'()0x ϕ<1x >'()0x ϕ>1()ln 1x x xϕ=+-(0,1)(1,)+∞()(1)0x ϕϕ∴>=1(ln 1)0xe x x+-=0x 01x =。

四川省成都市2020届高三第二次诊断性检测数学试题(理)(解析版)

四川省成都市2020届高三第二次诊断性检测数学试题（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足()12(i i z +=为虚数单位)，则z 的虚部为（） A. iB. i -C.1- D. 1『答案』C『解析』由已知，22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-，故z 的虚部为1-. 故选：C.2. 设全集,U R =集合{}{}1,||2M x x N x x =<=>，则()UM N ⋂=（）A. {}|2x x >B. {}|1x x ≥C. {}|12x x <<D. {}|2x x ≥『答案』A 『解析』由已知，{|1}UM x x =≥，又{}|2N x x =>，所以{|2}U M N x x ⋂=>.故选：A.3. 某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为n 的样本.若样本中高中生恰有30人，则n 的值为（） A. 20B. 50C. 40D. 60『答案』B『解析』由题意，30=150015001000n⨯+，解得50n =.故选：B.4. 曲线3y x x =-在点()1,0处的切线方程为（） A. 20x y -=B. 220x y +-=C. 220x y ++=D. 220x y --=『答案』D『解析』由已知，'231y x =-，故切线的斜率为12x y ='=，所以切线方程为2(1)y x =-，即220x y --=. 故选：D.5. 已知锐角α满足2sin21cos2 ,αα=-则tan α=（） A.12B. 1C.2D.4『答案』C『解析』由已知，24sin cos 2sin ααα=，因α为锐角，所以sin 0α≠，2cos sin αα=，即tan α=2. 故选：C.6. 函数())cos lnf x x x =⋅在[1,1]-的图象大致为（）A. B.C. D.『答案』B『解析』因为())cos()lnf x x x =-=-⋅)cos lnx x ⋅+cos cos )()x x x f x =⋅=-=-，故()f x 为奇函数，排除C 、D ；又(1)cos11)0f =⋅<，排除A. 故选：B.7. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（）A. 16B. 48C. 96D. 128『答案』B『解析』第一次循环：12(11)4,2S i =+==；第二次循环：242(12)16,3S i =++==；第三次循环：3162(13)48,4S i =++==，退出循环，输出的S 为48. 故选：B.8. 已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为（） A. ,4x k k Z ππ=-∈B. +,4x k k Z ππ=∈C. 1,2x k k Z π=∈ D. 1+,24x k k Z ππ=∈ 『答案』C『解析』由已知，()cos2f x x =，令2,π=∈x k k Z ，得1,2x k k Z π=∈. 故选：C.9. 如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别是()()12,0,,0,F c F c -直线2bc y a =与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,A B 两点.若12,3BF F π∠=则双曲线C 的离心率为（）A.2B.3C.D.『答案』A『解析』由已知，得(,)22c bc B a -，过B 作x 轴的垂线，垂足为T ，故12cFT =，又12,3BF F π∠=所以1tan 3BT FT π==，即22bcb ac a == 所以双曲线C的离心率2e ==.故选：A.10. 在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 、Q 分别为AB 、AD 的中点，过点D 作平面α使1//B P 平面α，1//A Q 平面α若直线11B D ⋂平面M α=，则11MD MB 的值为（） A.14B.13C.12D.23『答案』B『解析』如下图所示：设平面α分别交11A D 、11C D 于点E 、F ，连接DE 、DF 、EF ，取CD 的中点G ，连接PG 、1C G ，连接11A C 交11B D 于点N ，四边形ABCD 为正方形，P 、G 分别为AB 、CD 的中点，则//BP CG 且BP CG =，∴四边形BCGP 为平行四边形，//PG BC ∴且PG BC =，11//B C BC 且11B C BC =，11//PG B C ∴且11PG B C =，则四边形11B C GP 为平行四边形， 11//B P C G ∴，1//B P 平面α，则存在直线a ⊂平面α，使得1//B P a ，若1C G ⊂平面α，则G ∈平面α，又D ∈平面α，则CD ⊂平面α，此时，平面α为平面11CDD C ，直线1A Q 不可能与平面α平行，所以，1C G ⊄平面α，1//C G a ∴，1//C G ∴平面α，1C G ⊂平面11CDD C ，平面11CDD C 平面DF α=，1//DF C G ∴，1//C F DG ，所以，四边形1C GDF 为平行四边形，可得1111122C E DG CD C D ===，F ∴为11C D 的中点，同理可证E 为11A D 的中点，11B D EF M =，11111124MD D N B D ∴==，因此，1113MD MB =. 故选：B.11. 已知EF 为圆()()22111x y -++=的一条直径，点(),M x y 的坐标满足不等式组10,230,1.x y x y y -+≤⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩则ME MF ⋅的取值范围为（）A. 9,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. []4,13C. []4,12D. 7,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦『答案』D『解析』作出可行域如图所示设圆心为(1,1)T -，则()()ME MF MT TE MT TF ⋅=+⋅+=22()()MT TE MT TE MT TE +⋅-=-21MT =-,过T 作直线10x y -+=的垂线，垂足为B ，显然TB MT TA ≤≤，又易得(2,1)A -，所以MA ==TB ==故ME MF ⋅271[,12]2MT =-∈. 故选：D.12. 已知函数()ln x f x x=，()xg x xe -=.若存在()10,x ∈+∞，2x R ∈使得()()()120f x g x k k ==<成立，则221k x e x ⎛⎫⎪⎝⎭的最大值为（）A. 2eB. eC24e D.21e 『答案』C.『解析』()ln x f x x =，()()ln xx x x x e g x f e e e===，由于()111ln 0x f x k x ==<，则11ln 001x x <⇒<<，同理可知，20x <，函数()y f x =的定义域为()0,∞+，()21ln 0xf x x -'=>对()0,1x ∀∈恒成立，所以，函数()y f x =在区间()0,1上单调递增，同理可知，函数()y g x =在区间(),0-∞上单调递增，()()()212x f x g x f e ∴==，则21x x e =，()22221x x x g x k x e ∴===，则2221k k x e k e x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，构造函数()2kh k k e =，其中k 0<，则()()()222kkh k k k e k k e '=+=+.当2k <-时，()0h k '>，此时函数()y h k =单调递增；当20k -<<时，()0h k '<，此时函数()y h k =单调递减. 所以，()()2max 42h k h e=-=. 故选：C.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分）13. ()41+x 的展开式中2x 的系数为________________．『答案』6『解析』()41+x 的展开式的通项为414r rr T C x -+=⋅，令422r r -=⇒=，因此，()41+x 的展开式中2x 的系数为246C =. 故答案为：6.14. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,2,3B a b π===则ABC的面积为___________．『解析』由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即2342c c =+-，解得1c =，故ABC ∆的面积1sin 2S ac B ==.15. 已知各棱长都相等的直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)所有顶点都在球O 的表面上.若球O 的表面积为28,π则该三棱柱的侧面积为___________．『答案』36『解析』由已知，2428R ππ=，解得R =，如图所示，设底面等边三角形中心为1O ，直三棱柱的棱长为x ，则1O A x =，112O O x =，故2222117O A O O OA R +===，即22734x x +=，解得x =2336x =.故答案为：36.16. 经过椭圆2212x y +=中心的直线与椭圆相交于M 、N 两点（点M 在第一象限），过点M 作x 轴的垂线，垂足为点E .设直线NE 与椭圆的另一个交点为P .则cos NMP ∠的值是________________．『答案』0『解析』设点()()0000,0,0M x y x y >>，则()00,N x y --、()0,0E x ，设点()11,P x y ，则220022111212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()2222101002x x y y -+-=，即2210221012y y x x -=--，即221010102210101012MP NPy y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅==--+-，由斜率公式得000011222NP NE MN y y k k k x x ===⋅=，111222MP NP MP MN MN MP k k k k k k ⎛⎫∴-==⋅= ⎪⎝⎭，1MN MP k k ∴=-，故MN MP ⊥，因此，cos 0NMP ∠=. 故答案为：0.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知{}n a 是递增的等比数列，11a =，且22a 、332a 、4a 成等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设21231log log n n n b a a ++=⋅，n *∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n S .解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由题意及11a =，知1q >.22a 、332a 、4a 成等差数列成等差数列，34232a a a ∴=+，2332q q q ∴=+，即2320-+=q q ，解得2q或1q =（舍去），2q ∴=.∴数列{}n a 的通项公式为1112n n n a a q --==；（Ⅱ）()212311111log log 222n n n b a a n n n n ++⎛⎫===- ⎪⋅++⎝⎭，11111111111232435112n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()13113232212442123111212n n n n n n n ⎛⎫=-=⎭+⎛-+ +⎫-=- ⎪+++⎝⎭⎝++⎪. 18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，PO ⊥平面ABCD ，E 为BC 的中点.（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若3PE =，求二面角D PE B --的余弦值. （Ⅰ）证明：ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥，PO ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，.PO AC ∴⊥OP 、BD ⊂平面PBD ，且OP BD O ⋂=，AC ∴⊥平面 PBD ，又AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）解：取AB 的中点M ，连接OM 、OE ，ABCD 是正方形，易知OM 、OE 、OP 两两垂直，以点O 为坐标原点，以OM 、OE 、OP所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，在Rt POE ∆中，2OE =，3PE=，PO ∴=()2,2,0B ∴、()2,2,0D --、(P 、()0,2,0E ，设平面PBE 的一个法向量()111,,m x y z =，()2,0,0BE =-，(0,2,PE =，由00m BE m PE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得111020x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，令1y =10x =，12z =，()0,5,2m ∴=.设平面PDE 的一个法向量()222,,n x y z =，()2,4,0DE =，(0,2,PE =，由00n DE n PE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得222224020x y y +=⎧⎪⎨=⎪⎩，取2y =，得22z =，2x =-，得()25,5,2n =-. 329cos ,m n m n m n⋅∴<>==⋅，二面角D PE B --为钝二面角，∴二面角D PE B --的余弦值为19. 某动漫影视制作公司长期坚持文化自信，不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材，创作出一批又一批的优秀动漫影视作品，获得市场和广大观众的一致好评，同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司2013年至2019年的年利润y 关于年份代号x 的统计数据如下表（已知该公司的年利润与年份代号线性相关）.（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2020年（年份代号记为8）的年利润；（Ⅱ）当统计表中某年年利润的实际值大于由（Ⅰ）中线性回归方程计算出该年利润的估计值时，称该年为A 级利润年，否则称为B 级利润年.将（Ⅰ）中预测的该公司2020年的年利润视作该年利润的实际值，现从2013年至2020年这8年中随机抽取2年，求恰有1年为A 级利润年的概率.参考公式：()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-.解：（Ⅰ）根据表中数据，计算可得4x =，43y =，()()71140iii x x y y =--=∑，又()21728ii x x =-=∑，()()()717215iii ii x x y y b x x ==--∴==-∑∑，435423a y bx =-=-⨯=，y ∴关于x 的线性回归方程为523y x =+.将8x =代入回归方程得582363y =⨯+=（亿元），∴该公司2020年的年利润的预测值为63亿元.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2013年至2020年的年利润的估计值分别为28、33、38、43、48、53、58、63（单位：亿元），其中实际利润大于相应估计值的有3年. 故这8年中被评为A 级利润年的有3年，评为B 级利润年的有5年.记“从2013年至2020年这8年的年利润中随机抽取2年，恰有1年为A 级利润年”的概率为P ，1153281528C C P C ∴==. 20. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，点P 在椭圆E 上，212PF F F ⊥且213PF PF =. （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设直线():1l x my m R =+∈与椭圆E 相交于A 、B 两点，与圆222x y a +=相交于C 、D 两点，求2AB CD ⋅的取值范围.解：（Ⅰ）P 在椭圆上， 122PF PF a +=∴，123PF PF =，22a PF ∴=，132aPF =， 212PF F F ⊥，2212212PF F F PF ∴+=，又12 2F F =，22a ∴=，1c =，1b ∴==，∴椭圆E 的标准方程为2212x y +=；（Ⅱ）设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立22122x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x ，得()222210m y my ++-=，2880m ∴∆=+>，则12222m y y m +=-+，12212y y m =-+，)212212m AB y m +=-=+∴ 设圆222x y +=的圆心O 到直线l 的距离为d ，则d =CD ∴==))22222222121213422122m m m AB CD m m m m +++⎫∴⋅=⋅⋅==-⎪++++⎭，233022m <≤+，2132222m ∴≤-<+，2AB CD ∴⋅<2AB CD ∴⋅的取值范围为⎡⎣.21. 已知函数()()22ln 1f x x x m x =+-+，其中m R ∈.（Ⅰ）若0m >，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()()1xg x f x e=+.若()11g x x >+在()0,∞+上恒成立，求实数m 的最大值. 解：（Ⅰ）函数()()22ln 1f x x x m x =+-+的定义域为()1,-+∞.当0m >时，()()2212211x m m f x x x x +-'=+-=++.令()0f x '=，解得111x =-<-（舍去），211x =>-.当1,12x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝-⎭∈-时，()0f x '<，所以，函数()y f x =在1,12⎛⎫⎪ -⎝⎭-⎪上单调递减；当1,2x ∈-+∞⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以，函数()y f x =在1,2⎛⎫⎪ ⎝-+⎭∞⎪上单调递增.因此，函数()y f x =的单调递减区间为1,12⎛⎫⎪ -⎝⎭-⎪，单调递增区间为1,2⎛⎫ ⎪ ⎝-+⎭∞⎪；（Ⅱ）由题意，可知()2112ln 11x x x m x x e+-+>-+在()0,∞+上恒成立. （i ）若0m ≤，()ln 10x +>，()ln 10m x -+≥∴，()2211112ln 1211x x x x m x x x x e x e∴+-+-+≥+-+++，构造函数()21121x G x x x x e=+-++，0x >，则()()211221x G x x e x '=++-+，0x ，101xe ∴<<，110x e ∴-<-<. 又()21222221x x x ++>+>+，()'0G x ∴>在()0,∞+上恒成立.所以，函数()y G x =在()0,∞+上单调递增，()()00.G x G =∴> ∴当0m ≤时，()2112ln 101x x x m x x e∴+-+-+>+在()0,∞+上恒成立. （ii ）若0m >，构造函数()1xH x e x =--，0x >.()10x H x e '=->，所以，函数()y H x =在()0,∞+上单调递增.()()00H x H ∴>=恒成立，即10x e x >+>，111x x e ∴>+，即1101x x e->+. 由题意，知()111x f x x e>-+在()0,∞+上恒成立. ()()2210f x x x mln x ∴=+-+>在()0,∞+上恒成立.由（Ⅰ）可知()()min12f x f x f ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭极小值，又()00f =10->，即2m >时，函数()y f x =在10,2⎛-⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，()1002f f ⎛⎫ ⎪ ⎪<⎭-=⎝，不合题意，102-≤，即02m <≤. 此时()()()22111112ln 122ln 1111x x g x x x m x x x x x e x e x -=+-++-≥+-++-+++ 构造函数()()21122ln 11xP x x x x e x =+-++-+，0x >. ()()22112211x P x x x e x '∴=+--+++， 111x e x ->-+，11x +>， ()()()222113122221111x P x x x x e x x x '∴=+--+>+-+++++ ()()()()()()()()322222131121311210111x x x x x x x x x +-+++-+++=>=>+++，()'0P x ∴>恒成立，所以，函数()y P x =在(0,)+∞上单调递增，()()00P x P ∴>=恒成立.综上，实数m 的最大值为2.请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22x m y m⎧=⎨=⎩(m 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin cos 10ρθρθ-+=. （Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（Ⅱ）已知点()2,1,P 设直线l 与曲线C 相交于,M N 两点，求11PM PN+的值. 解：()I 由cos ,sin ,x y ρθρθ==可得直线l 的直角坐标方程为10.x y --= 由曲线C 的参数方程，消去参数,m 可得曲线C 的普通方程为24y x =.()II 易知点()2,1P 在直线l 上，直线l的参数方程为2212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数). 将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程，并整理得2140t --=. 设12,t t是方程2140t --=的两根，则有121214t t t t +==-.21222121111111t t t PM PN t t t t t t t +∴+=+===-47==23. 已知函数()13f x x x =-++. （Ⅰ）解不等式()6f x ≥；（Ⅱ）设()22,g x x ax =-+其中a 为常数.若方程()()f x g x =在(0,)+∞上恰有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围.解：()I 原不等式即136x x -++≥.①当1≥x 时，化简得226x +≥.解得2x ≥；②当31x -<<时，化简得46≥此时无解；③当3x ≤-时，化简得226x --≥解得4x ≤-.综上，原不等式的解集为(,4][2,)-∞-+∞()II 由题意()22,14,01x x f x x +≥⎧=⎨<<⎩，设方程()()f x g x =两根为()1212,x x x x <..①当211x x >≥时，方程2222x ax x -+=+等价于方程222a x x=++.易知当51,2a ⎤⎥⎦∈，方程222a x x =++在(1,)+∞上有两个不相等的实数根.此时方程224x ax -+=在()0,1上无解.51,2a ⎤∴⎥⎦∈满足条件.②当1201x x 时，方程224x ax -+=等价于方程42a x x=+，此时方程42a x x=+在()0,1上显然没有两个不相等的实数根. ③当1201x x <<≤时，易知当5,2a ⎛⎫+∞ ⎝∈⎪⎭，方程42a x x=+在()0,1上有且只有一个实数根. 此时方程2222x ax x -+=+在[1,)+∞上也有一个实数根.5,2a ⎛⎫∴+∞ ⎝∈⎪⎭满足条件.综上，实数a 的取值范围为1,)+∞.。