高数2-3

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人教版高数选修2-3第一章1.3二项式定理(教师版)-精选学习文档

二项式定理____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.熟练掌握二项式定理的有关概念.2.利用二项式定理解决三项以上的展开式问题.3.理解二项式系数与展开式系数的区别.4.利用二项式定理证明不等式. 1.二项式定理的概念:011*();n n r n r rn nn n n n C a C a b C a b C b n --+++++∈N 这个公式就叫做二项式定理,右边的多项式叫做()na b +的二项展开式；它一共有n +1项，其中r n rr n C ab -叫做二项展开式的通项.注意:(1)展开式共有n+1项.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n.(3)字母a 的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到为0，字母b 的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n.2.展开式中二项式系数的性质:(1)m n mn n C C -=(2)11mm m n n n C C C -++=(3)当12n r -<时，1;r r n n C C +<当12n r ->时，1r r n n C C +< (4)01nn n n C C C +++2n =类型一.二项式定理的有关概念例1：有二项式102)3x-. (1)求展开式第4项的二项式系数； (2)求展开式第4项的系数； (3)求第4项.[解析] 102)3x 的展开式的通项是10110r r r T C -+=⋅2()(0,1,,10).3r r x-=(1)展开式的第4项的二项式系数为(2)310120.C =(2)展开式的第4项的系数为3731023()3C ⋅⋅-=77760.-(3)展开式的第4项为：731()x -⋅=-练习1：在24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( ) A.3项 B.4项C.5项D.6项[答案] C[解析] 72524612424.rr rr rr T C C x --+=⋅⋅=⋅所以7256r -为正整数,而r ∈[0，24]，所以r=0，6，12，18，24共5项，类型二.二项式系数的特点及性质例2：已知1(2)2na +的展开式中第五、六、七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项.[解析] 因为4652,n n n C C C +=所以!!4!(4)!6!(6)!n n n n +--2!.5!(5)!n n =-即221980,n n -+=解得n =14或7.当n =14时，第8项的二项式系数最大，778141().2T C =⋅77(2)3432.a a =当n =7时，第4项与第5项的二项式系数最大. 练习1：282()x x+的展开式中x 4的系数是( ) A .16B .70C .560D .1120[答案] D[解析] 设含x 4的为第281821,()()rrr r r T C x x-++==416382,1634,r r C x r --=所以r=4,故系数为4482C =1120.类型三.二项式定理的基本应用例3：求二项式210(x 展开式中的常数项.[解析] 210(x +的第r +1项为5202102110101()()(0,2rr rr rr r T C x C xr --+=⋅=⋅=1,,10).令5200,2r -=得r =8.所以88910145().2256T C =⋅=所以第9项为常数项，为45.256练习1：在二项式251()x x-的展开式中,含x 4的项的系数是( )A .-10B .10C .-5D .5[答案] B[解析] 对于25151()()(1)r rr r r T C x x-+=-=-⨯1035r r C x -,对于10-3r=4,r=2,则x 4的项的系数是225(1)10.C -=类型四.二项式定理的综合应用例4：利用二项式定理证明对一切*,n ∈N 都有12(1) 3.nn≤+<[解析] 因为01223111(1)()n n n n n C C C C n n n +=+⋅+⋅+⋅2111()()112!nn n C nn ++⋅=++⋅11()3!n n -+⋅121121()()()()().!n n n n n n n n n n----+⋅ 所以111112(1)222!3!!12n n n ≤+<++++<++⋅．．．仅当n=1时，1(1)2;n n +=当n ≥2时，12(1)nn<+ 3.<练习1：(12)nx +的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.[解析] 556667(2),(2)n n T C x T C x ==，依题意，有556622,n n C C =解得n =8.所以8(12)x +的展开式中，二项式系数最大的项为5T 4448(2)1120.C x x =⋅=设第r +1项系数最大，因为各项系数大于零，所以有1188118822,22,r r r r r r r r C C C C --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩解得5≤r ≤6.所以r =5或r =6(因为r ∈{0，1，2，…，8}).所以系数最大的项为6T =5671792,1792.x T x =1.在()nx y +展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( ) A.第6项 B.第5项 C.第5、6项 D.第6、7项[答案] Ａ2.11(1)x -展开式中偶数项的系数和为( ) A.102 B.102-C.112D.1121-[答案] Ｂ３.若n的展开式中存在常数项，则n 的值可以是( ) A.8B.9C.10D.12[答案] Ｃ４.234(1)x x x +++的展开式中奇次项系数的和是( ) A.64B.120C.128D.256[答案] Ｃ５.6(2)x +的展开式中x 3的系数是( ) A .20B .40C . 80D .160[答案] Ｄ６.921()x x-的展开式中的常数项是( ) A.39C B.39C -C.29CD.29C -[答案] Ｂ7.10()x y -的展开式中,73x y 的系数与37x y 系数之和等于______. [答案] －240 8.在323(1)(1(1x +++++的展开式中,x 的系数为______.(用数字作答)[答案] 7__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________基础巩固1.若4(1a =+(a ,b 为有理数),则a +b =( ) A .53B .29C .23D .19[答案] Ｂ 2.3821()2a b-的展开式中所有项系数总和是( ) A .28B.812 C .0 D .1[答案] Ｂ3.21()nx x-的展开式中,常数项为15,则n =( ). A .3B .4C .5D .6[答案] Ｄ4.若31(2)na a+的展开式的常数项是第7项,则正整数n 的值为( ) A .7B .8C .9D .10[答案] Ｂ5.若32(4)na b +的展开式中有一项是128.ma b 则m ，n 的值分别为________.[答案] 17920,86. 在()52x +的展开式中，3x 的系数为_______．（用数字作答） [答案] 40 7.的展开式中，的系数等于_______．（用数字作答）[答案] 80()52x +2x8.已知n 的展开式中偶数项的二项式系数的和比2()na b +的展开式中奇数项的二项式系数的和小120，求第一个展开式中的第三项.[答案] 2()na b +的展开式中奇数项的二项式系数的和为212,n-n+的展开式中偶数项的二项式系数的和为12.n -依题意，有12122120,n n --=-即2(2)22400.n n --=解得216n=或215n=-(舍去).所以n =4.于是，第一个展开式中的第三项为22234T C=6= 能力提升１. 的展开式中，的系数为( ) A ．10 B.20 C.30 D.60[答案] C２. 的展开式中的系数是__________.（用数字填写答案） [答案] 353.若(31)nx +的展开式中各项系数的和是256，则展开式中2x 的系数为________. [答案] 54 4.若32(1)1,n nx x ax bx nx +=+++++且a ：b =3：1，那么n =________.[答案] 11５. 二项式的展开式中的系数为15，则（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】 C6.若22012(1)nx x a a x a x ++=++++220242,n n n a x a a a a ++++则等于（）A .2nB.312n -C.12n +D.312n +[答案] Ｄ7.29928(3281)(572)x x x x +--+的展开式的常数项是( ). A .0B .2C .-2D .-28[答案] Ｄ8.(1)求7(12)x +展开式中系数最大的项; (2)求(1-2x )7展开式中系数最大的项.25()x x y ++52x y 371()x x+5x (1)()nx n N ++∈2x n =[答案] 利用展开式的通项公式,得到系数的表达式,进而求出其最大值, (1)设第r +1项系数最大,则有1177117722,22,r r r r r r r r C C C C --++⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩①②即117!7!22,!(7)!(1)!(71)!7!7!22,!(7)!(1)!(71)!r r r r r r r r r r r r -+⎧⋅≥⋅⎪---+⎪⎨⎪⋅≥⋅⎪-+--⎩ 即21,812,71r r r r ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩解得16,313.3r r ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩又07,,5r r N r ≤≤∈∴=.∴系数最大的项为555565172672.T T C x x +==⋅⋅=(2)展开式共有8项,系数最大项必为正项,即在第1,3,5,7这4项中取得,又因(1-2x )7括号内的两项中,后项系数绝对值大于前项系数绝对值,故系数最大项必在中间或偏右,故只须比较T 5和T 7两项系数的大小即可.∴系数最大的项是第五项,44457(2)560.T x x C =-=。

人教版高数选修2-3第4讲：随机变量及其概率分布(学生版)

随机变量及其概率分布__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.理解随机变量的概念.2.熟练掌握随机变量的概率分布及其性质.3.能熟练应用两点分布.4.能熟练运用超几何分布.1.随机变量: 一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做______________，通常用大写拉丁字母X ，Y ，Z (或小写希腊字母,,ξηζ)等表示，而用小写拉丁字母x ，y ，z (加上适当下标)等表示随机变量取的可能值.注意:(1)一般地，一个试验如果满足下列条件：i)试验可以在相同的情形下重复进行；ii)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；iii)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.这种试验就是个随机试验，为了方便起见，也简称试验.(2)所谓随机变量，即是随机试验的试验结果与实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的.这与函数概念的本质是一样的，只不过在函数概念中，函数f (x )的自变量是实数，而在随机变量的概念中，随机变量的自变量是试验结果.(3)一般情况下，我们所说的随机变量有以下两种：如果随机变量所有可能的取值都能一一列举出来，这样的随机变量叫做离散型随机变量.如果随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.(4)离散型随机变量和连续型随机变量的区别：离散型随机变量和连续型随机变量都用来刻画随机试验所出现的结果，但二者之间又有着根本的区别：对于离散型随机变量来说，它所可能取的值为有限个或至多可列个，或者说能将它的可能取值，按一定次序一一列出，而连续型随机变量可取某一区间内的一切值，我们无法将其中的值一一列举.2.随机变量的概率分布一般地，假定随机变量X 有n 个不同的取值，它们分别是12,,,,n x x x L 且()i P X x ==,1,2,3,,i p i n =L ①，则称①为随机变量X 的概率分布列.3.随机变量概率分布的性质(1)对于随机变量的研究，我们不仅要知道随机变量取哪些值，随机变量所取的值表示的随机试验的结果，而且需要进一步了解随机变量：取这些值的概率.(2)随机事件A 的概率满足0≤P (A )≤1，必然事件U 的概率P (U )=1.若离散型随机变量X 所有可能取的值为12,,,.n x x x L X 取每一个值i x (i =1，2，…，n )的概率为(),i i P X x p ==○1_______________○2________________________.不满足上述两条性质的分布列一定是错误的，即分布列满足上述两条性质是该分布列正确的必要不充分条件.(3)由离散型随机变量分布列的概念可知，离散型随机变量各个可能的取值表示的事件是互斥的.因此，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.4.两点分布其中0<p <1，q =1-p ，则称随机变量X 服从参数为p 的两点分布.(1两点分布又称0-1分布.(2)两点分布的应用非常广泛，如抽取的彩券是否中奖、买回的一件产品是否为正品、新生婴儿的性别、投篮是否命中等等，都可用两点分布来研究.5.超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC n N，k ＝0，1，2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，称随机变量X 服从超几何分布.类型一.随机变量及其概率分布例1：下面给出四个随机变量：①一高速公路上某收费站在1小时内经过的车辆数ξ；②一个沿直线y =x 进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η；③某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数ξ；④1天内的温度.η其中是离散型随机变量的是( ) A.①② B.③④ C ①③ D.②④例2：(1)从一个装有编号为1到10的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X ； (2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X ；练习1：写出下列随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果：抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和为X .练习2：一袋中装有5个球，编号分别为1，2，3，4，5，从袋中同时取3个球，用ξ表示取出的3个球中的最大号码，写出随机变量ξ的概率分布.类型二.随机概率分布的性质例3：判断下列表格是否是随机变量的概率分布.类型三.两点分布例4：设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的成功次数，则(0)P ξ=等于( )A.0B.12C.13D.23练习1：在抛掷一枚硬币的随机试验中，令1,0,X ⎧=⎨⎩正面向上正面向下；.如果正面向上的概率为p ；试写出随机变量X 的概率分布表.类型四.随机变量的概率分布性质的应用例5：设随机变量ξ的概率分布为()5kp ξ==ak (k =1，2，3，4，5). (1)求常数a 的值； (2)求3();5P ξ≥(3)求17().1010P ξ<<练习1：袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止.求取球次数X 的概率分布表.类型五.超几何分布例6：设有产品100件，其中有次品5件，正品95件，现从中随机抽取20件，求抽到次品件数ξ的分布表.练习1：在20件产品中，有15件是一级品，5件是二级品，从中任取3件，其中至少有1件为二级品的概率是多少？1.抛掷2颗骰子,如果将所得点数之和记为,ξ那么ξ=4表示的随机试验结果是( ) A .2颗都是4点 B .1颗是1点,另1颗是3点C .2颗都是2点D .1颗是1点,另1颗是3点,或者2颗都是2点2.随机变量1ξ是1个无线寻呼台1min 内接到的寻呼次数;随机变量2ξ是某工厂加工的某种钢管的外径与规定的外径间的尺寸误差;随机变量3ξ是测量1名学生身高所得的数值(精确到1cm );随机变量4ξ是1个沿数轴进行随机运动的质点的坐标,那么这4个随机变量中,离散型随机变量的个数是( )A .1B .2C .3D .4３.命题p :离散型随机变量只能取有限个值;命题q :只能取有限个值的随机变量是离散型随机变量;命题r :连续型随机变量可以取某一区间内的一切值;命题s :可以取某一区间内的一切值的随机变量是连续型随机变量,这四个命题中真命题的个数是( )A .1B .2C .3D .4４.已知随机变量ξ的分布列为1(),2k P k k ξ===1,2,3,,,(24)n P ξ<≤L 则=( ) A.316B.14C.116 D.516５.下列变量中，不是随机变量的是( ) A.某人投篮6次投中的次数 B.某日上证收盘指数 C.标准大气压下，水沸腾时的温度 D.某人早晨在车站等出租车的时间 6.有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任取3 个，那么至少有一个是一等品的概率是( )A.12164320C C C B.22164320C C C C.21316416320C C C C ⋅+ D.以上均不对 7.在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选10个村庄，用ξ表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率中等于46781015C C C 的是( )A.(2)P ξ=B.(2)P ξ≤C.(4)P ξ=D.(4)P ξ≤8.如果随机变量ξ的分布列(),1,10k P k k ξ===2,3,4,那么15()22P ξ≤≤=______.__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________基础巩固1.如果ξ是一个离散型随机变量，那么下列命题中不正确的是( ) A.ξ取每个可能值的概率都是非负实数 B.ξ取所有可能值的概率之和为1C.ξ取在某一范围内的值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和D.ξ取在某一范围内的值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和2.袋中有完全相同的5个钢球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为ξ，则ξ所有可能取值的个数是()A.25B.10C.7D.63.盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么310等于()A.恰有1个是坏的的概率B.恰有2个是好的的概率C.4个全是好的的概率D.至多有2个是坏的的概率4.在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以710为概率的事件是()A.都不是一等品B.恰有1件一等品C.至少有1件一等品D.至多有1件一等品5.设X是一个离散型随机变量，其分布列为：则q等于()A．1 B．1±22C．1－22D．1＋22６.抛掷两枚骰子，所得点数之和记为,ξ那么5ξ=表示的随机试验的结果是() A.2枚都是5点 B.1枚是1点，另一枚是4点C.1枚是2点，另一枚是3点D.1权是1点，另一枚是4点，或者1枚是2点，另一枚是3点7.设随机变量ξ的分布列2()(),3kP k mξ==⋅k=1,2,3,则m的值为______.8.从有3个果球，5个白球的盒中取出2个球，其中恰有一个是白球的概率是________.能力提升1.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率________.2.一个筒中放有标号分别为0，1，2，…，9的十根竹签，从中任取一根，记所取出的竹签上的号数为X.(1)写出X的概率分布；(2)分别求“25(,)32X∈”；“X>7”，“3.5≤X≤6”的概率.3.（2014陕西卷节选）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：5000.5设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列.4.（2014福建卷节选）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：(1)顾客所获的奖励额为60元的概率；(2)顾客所获的奖励额的分布列．5.(2014天津卷节选)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列．6.一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列．。

人教版高数选修2-3第7讲：独立性检验与回归分析(学生版)

独立性检验与回归分析__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.了解变量间的相关关系,能根据给出的线性回归方程系数建立线性回归方程.2.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用.3.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．1.独立性检验(1)概念：用2χ统计量研究独立性问题的检验的方法称为独立性检验.(2)m×n列联表指有m行n列的列联表(3)必备公式2χ=2()()()()()n ad bca cb d a bc d-++++2.2χ统计量中的四个临界值经过对2χ统计量分布的研究，已经得到了四个经常用到的临界值：2.706、3.841、6.635、10.828.由2×2列联表计算出2χ，然后与相应的临界值进行比较，当2χ>2.706时，有______的把握说事件A与B有关.当2χ>3.841时，有______的把握说事件A与B有关.当2χ>6.635时，有______的把握说事件A与B有关.当2χ>10.828时，有______的把握说事件A与B有关.当2χ≤2.706时，认为事件A与B是无关的.3.回归分析(1)线性回归模型是指方程y a bxε=++，其中________称为确定性函数，____称为随机误差.(2)线性回归方程是指直线方程ˆˆˆya bx =+，其中回归截距ˆa 、回归系数ˆb 公式如下： ˆb=_______________________ˆa =_____________. (3)参数r 检验线性相关的程度，计算公式为r()()niix x yy --∑即ni ix ynx y-∑化简后r =x yxy x yS S -，其中y S 表示数据i y (i =1，2，…，n )的标准差，这个r 称为y 与x 的样本相关系数，简称相关系数，其中-1≤r ≤1.若r >0，则x 与y 是正相关，若r <0，则x 与y 是负相关，若r =0，则x 与y 不相关，r =1或r =-1时，x 与y 为完全线性相关.类型一.独立性检验例1：为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下列联表：判断性别与是否喜欢数学课程有关吗？用独立性检验方法判断父母吸烟对子女是否吸烟有影响.类型二.变量间的相关关系及线性回归方程例2：下列关系中,是带有随机性相关关系的是______. ①正方形的边长与面积之间的关系; ②水稻产量与施肥量之间的关系;③人的身高与年龄之间的关系;④降雪量与交通事故的发生率之间的关系.例3：某工业部门进行一项研究,分析该部门的产量与生产费用的关系,从这个工业部门内随机抽选了10个企业作样本,资料如下表:练习1：下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系( ) (A)角度和它的余弦值 (B)正方形边长和面积(C)正n 边形的边数和顶点角度之和 (D)人的年龄和身高类型三.相关检验与回归分析例3：某工业部门进行一项研究，分析该部门的产量与生产费用之间的关系.从这个工业部门内完成下列问题：(1)计算x 与y 的相关系数；(2)对这两个变量之间是否线性相关进行相关性检验；(3)设线性回归方程为ˆˆˆ,ybx a =+求系数ˆˆ,.a b试预测该运动员训练47次以及55次的成绩.1.在调查中学生近视情况中，某校男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力( )A.期望与方差B.排列与组合C.独立性检验D.概率2.通过对2χ统计量的研究，得到了若干临界值，当2χ≤2.706时，我们认为事件A 与B ( ) A.有90%的把握认为A 与B 有关系 B.有95%的把握认为A 与B 有关系C.没有充分理由说明事件A 与B 有关系D.不能确定3.下列关于2χ的说法中正确的是( )A.2χ在任何相互独立问题中都可以用来检验有关还是无关 B.2χ的值越大，两个事件的相关性就越大C.2χ是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，只对于两个分类变量适合D.2χ的观测值2χ的计算公式为2()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++4.下列两个变量之间的关系是相关关系的是( ) A.角度和它的余弦值 B.正方形边长和面积 C.正n 边形的边数和顶点数 D.人的年龄和身高5.由一组样本数据1122(,),(,),,(,n x y x y x )n y 得到的回归方程为ˆˆˆ,ybx a =+下面说法不正确的是( )A.直线ˆˆˆybx a =+必经过点(,)x y B.直线ˆˆˆybx a =+至少经过点1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y 中的一个点C.直线ˆˆˆybx a =+的斜率为1221()ni ii nii x y nxyxn x ==--∑∑D.直线ˆˆˆybx a =+和各点1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y 的偏差平方和21ˆˆ[()]ni ii y bx a =-+∑是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差平方和中最小的直线6.有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是( )A ．列联表中c 的值为30，b 的值为35B ．列联表中c 的值为15，b 的值为50C ．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”D ．根据列联表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”7.为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：已知P (K 2≥3.841)≈0.05根据表中数据，得到K 2＝50×（13×20－10×7）223×27×20×30≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________．8.某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.(2014重庆卷)已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数x＝3，y＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A．y^＝0.4x＋2.3 B．y^＝2x－2.4C．y^＝－2x＋9.5 D．y^＝－0.3x＋4.42.(2014湖北卷）根据如下样本数据：得到的回归方程为y＝bx＋a，则()A.a>0，b>0B.a>0，b<0C.a<0，b>0D.a<0，b<03.(2014江西卷）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是()及格2032A.成绩B.视力C.智商D.阅读量4.下列两个变量之间的关系是相关关系的是()A.正方体的棱长和体积B.角的弧度数和它的正弦值C.单产为常数时，土地面积和总产量D.日照时间与水稻的亩产量5.(2015福建)为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元6.“回归”一词是在研究子女的身高与父母的身高之间的遗传关系时，由高尔顿提出的.他的研究结果是子代的平均身高向中心回归.根据他的结论，在儿子的身高y 与父亲的身高x 的回归方程ˆˆˆya bx =+中，ˆb ( ) A.在(-1，0)内B.等于0C.在(0，1)内D.在[1，+∞)7.线性回归方程ˆˆˆya bx =+中，回归系数ˆb 的含义是________________. 8.在一项打鼾与患心脏病是否有关的调查中，共调查了1978人，经过计算2χ=28.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的.(填“有关”、“无关”)能力提升1.下列说法：①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；②设有一个线性回归方程y ^＝3－5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均增加5个单位；③设具有相关关系的两个变量x ，y 的相关系数为r ，则|r |越接近于0，x 和y 之间的线性相关程度越强；④在一个2×2列联表中，由计算得K 2的值，则K 2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大．其中错误的个数是( ) A.0B.1C.2D.32.已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程y ＝b x ＋a ，若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b ^>b ′,a ^>a ′B.b ^>b ′，a ^<a ′ C.b ^<b ′，a ^>a ′D.b ^<b ′，a ^<a ′3.对相关系数r ，下列说法正确的是( ) A.||r 越大，相关程度越小B.||r 越小，相关程度越大C.||r 越大，相关程度越小，||r 越小，相关程度越大D.||r≤1且||r越接近1，相关程度越大，||r越接近0，相关程度越小4.若由资料知，y对x呈线性相关关系，试求：(1)线性回归方程；(2)估计设备的使用年限为10年时，维修费用约是多少？5.若由资料可知y对x呈线性相关关系，试求：(1)线性回归直线方程；(2)根据回归直线方程，估计使用年限为12年时，维修费用是多少？6.在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为思心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶，利用独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？课程顾问签字：教学主管签字：。

高数1-2-3无穷小量与无穷大量

x
( f ( x) M ) , 若在定义中将 ①式改为 ( lim f ( x) ) 则记作
x x0 ( x )
高等数学
x x0
Higher mathematics
lim f ( x)
x
M 0, 0,当0 | x x0 | 时, X 0 | x | X 有 | f ( x) | M
3.无穷大量的运算性质
(1)有限个正无穷大量之和为正无穷大量；有限穷大量之和或差不一定为无穷大量。
x x
如 x 0时， f ( x) 1 , g ( x) 1 均为无穷大量，但f ( x) g ( x) 0不是无穷大量。 (2)有限个无穷大量之积为无穷大量。 (3)非0常量C与无穷大量之积为无穷大量。
0
又设是当x x0时的无穷小 ,
0, 2 0, 使得当 0 x x0 2时, 恒有

M
.
取 min{ 1 , 2 }, 则当 0 x x 0 时, 恒有 u u M , M 当x x0时, u 为无穷小.
而 lim
x 1
4( x 1) 2 0, x 1
所以 lim
x 1
4x2 4 8。 x 1
高等数学
Higher mathematics
3. 无穷小的运算性质: 定理2 有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 证设及是当x 时的两个无穷小 ,
0, X 1 0, X 2 0, 使得当 x X 1时恒有 ; 当 x X 2时恒有 ; 2 2 取X max{X 1 , X 2 }, 当 x X时, 恒有 , 0 ( x ) 2 2 注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.

高数2-排列组合概率论

例10 从5个男生3个女生中选出3个学生组团参加合唱比赛，要求选出的学生中至多有1个女生，有多少种不同的组团方式？解：分两种情况考虑：一是没有1个女生；二是恰有1个女生．
5 43 5 4 3 40 C C C C 3 2 1 2 1 1
3 5 0 3 2 5 1 3
概率论初步
• • • • 随机事件事件的概率条件概率、乘法公式、独立性一维随机变量及其数字特征
• 确定性现象 • 随机现象
随机试验
在一定条件下必然发生某种结果的现象；在一定条件下不能确定发生某种结果的现象．
• 随机试验
对随机现象进行观察或实验称为(随机)试验： ① 相同条件下可以重复进行； ② 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果； ③ 每次试验在其最终结果揭晓之前，无法预知会发生哪一个可能的结果．
历年试题——概率论初步之1110
随机事件A与B为互不相容事件，则 P(AB) = ( D ) A．P(A) + P(B) B．P(A)P(B) C．1 D．0 解：因为随机事件A与B为互不相容事件；所以 P(A + B) = P(A) + P(B) 因为 P(A + B) = P(A) + P(B) P(A)P(B) 所以 P(AB) = 0
5 P5 5! 5 4 3 2 1 120
例5 数字1、2、3、4、5可以排成多少个不同的3位偶数？解：按先排个位，再排百位和十位的顺序排列，根据乘法原理进行计算
P P 2 4 3 24
1 2 2 4
组合
从 n 个不同元素里，任取 m (1 m n )个元素组成一组，叫做从 n 个不同元素里取出 m 个元素的一个组合．从 n 个不同元素取出 m (1 m n )个元素的所有组合的个数，叫做 n 个不同元素取出 m 个元素的组合数， m 记作 C n ．

人教版高数选修2-3第5讲：二项分布(学生版)

二项分布__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解n 次独立重复试验的模型.3.熟练掌握二项分布及其公式.4.能利用二项分布解决简单的实际问题.1.条件概率(1)条件概率的定义：一般地，若有两个事件A 和B ，在已知事件____发生的条件下考虑事件____发生的概率，则称此概率为B 已发生的条件下A 的条件概率，记为P (A |B ).(2)条件概率的公式：P (A |B )=_________P (B )>0(有时P (AB )也记作P (A B )，表示事件A 、B 同时发生的概率).2.两个事件的相互独立性(1)相互独立事件的概率乘法公式，对于等可能性事件的情形可以一般地给予证明.设甲试验共有1N 种等可能的不同结果，其中属于A 发生的结果有1m 种，乙试验共有2N 种等可能的不同结果，其中属于B 发生的结果有2m 种.由于事件A 与B 相互独立，这里的种数11,N m 与22,N m 之间互相没有影响.那么，甲、乙两试验的结果搭配在一起，总共有12N N ⋅种不同的搭配，显然，这些搭配都是具有等可能性的.现在考察属于事件AB 的试验结果.显然，凡属于A 的任何一种甲试验的结果同属于B 的任何一种乙试验的结果的搭配，都表示A 与B 同时发生，即属于事件AB ，这种结果总共有1m ⋅2m 种，因此得12121212(),m m m m P AB N N N N ⋅==⋅⋅所以P (AB )=P (A )·P (B ).(2)一般地，可以证明，事件A 与B (不一定互斥)中至少有一个发生的概率可按下式计算：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).特别地，当事件A 与B 互斥时，P(AB)=0，于是上式变为P(A+B)=P(A)+P(B).(3)如果事件A 与B 相互独立，则事件A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立.3.n 次独立重复试验一般地，由n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种______的状态，即A 与A ，每次试验中P (A )=p >0，我们将这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验.4.二项分布若随机变量X 的分布列为P (X =k )=__________________其中0<p <1，p +q =1，k =0，1，2，…，n ，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作X ~_________.5.二项分布公式在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k (0≤k ≤n )次的概率为_________________________,k =0，1，2，…，n ，它恰好是()np q 的二项展开式中的第k +1项.其中每次试验事件A 发生的概率为p (0<p <1)，即P (A )=p ，P (A )=1-p =q .类型一.条件概率例1：抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过3，则出现的点数是奇数的概率为________.练习1：从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张.已知第1次抽到A ，求第2次也抽到A 的概率.类型二.两个事件的相互独立性例2：制造一种零件，甲机床的正品率是0.96，乙机床的正品率是0.95，从它们制造的产品中各任抽一件.(1)两件都是正品的概率是多少？(2)恰有一件正品的概率是多少？练习1：袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A 表示“第一次摸得白球”，用B 表示“第二次摸得白球”，则A 与B 是( )A.互斥事件B.相互独立事件C.对立事件D.不相互独立事件若上题中的“不放回”改为“有放回”，则A 与B 是( ) 类型三.n 个事件相互独立例3：有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，从中各抽取一件进行检验. (1)求恰有一件不合格的概率；(2)求至少有两件不合格的概率(结果都精确到0.001).练习1：甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是0.6，计算：(1)两人都投中的概率；(2)其中恰有一人投中的概率； (3)至少有一人投中的概率.类型四.n 次独立重复试验及二项分布例4：某一种玉米种子，如果每一粒发芽的，概率为0.9.播下五粒种子，则其中恰有两粒末发芽的概率约是( )A.0.07B.0.27C.0.30D.0.33 练习1：某射击手每次射击击中目标的概率是0.8，现在连续射击4次，求击中目标次数X 的概率分布表.类型五. 独立重复试验和二项分布的应用例5：某排球队参加比赛，每场比赛取胜的概率均为80%，计算： (1)5场比赛中恰有4场胜出的概率； (2)5场比赛中至少有4场胜出的概率.练习1：某人射击5次，每次中靶的概率均为0.9.求他至少有2次中靶的概率.1.甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( )A.34B.23C.45D.7102.面几种概率是条件概率的是( )A.甲、乙两人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率B.甲、乙两人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投篮一次投中的条件下乙投篮一次命中的概率C.有10件产品其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率D.小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是2,5则小明在一次上学中遇到红灯的概率3.下列说法正确的是( ) A.P (A |B )=P (B |A ) B.0<P (B |A )<1 C.P (AB )=P (A )·P (B |A ) D.P (A B |A )=P (B )4.独立重复试验应满足的条件是： ①每次试验之间是相互独立的；②每次试验只有发生与不发生两种结果； ③每次试验中发生的机会是均等的；④每次试验发生的事件是互斥的.其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.①②③ D.①②④5.某一试验中事件A 发生的概率为p ，则在n 次试验中A 发生k 次的概率为( ) A.1kp -B.(1)k n kp p--C.(1)kp -D.(1)k k n kn C p p--6.4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )A.13B.12C.23D.347.从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为( )A.929 B.1029C.1929 D.2029 8.篮球运动员在三分线投球的命中率是1,2他投球10次，恰好投进3个球的概率为________.(用数值作答)_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.（2014新课标全国卷Ⅱ）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.452.设随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则P (X ＝3)等于( )A.516B.316C.58D.383.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________．4.有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．5.设随机变量X ～B 1(6,),2则P (X =3)为( ) A.516B.316C.58D.7166.某人参加一次考试，4道题中解对3道则为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率是( )A.0.18B.0.28C.0.37D.0.487.把10枚骰子全部投出，记出现6点的骰子个数为,ξ则P (ξ≤2)等于( )A.2281015()()66C ⨯B.1910228101015515()()()()()66666C C ⨯++⨯ C.1922810101515()()()()6666C C ⨯+⨯D.以上都不对8.有5粒种子，每粒种子发芽的概率均是98%，在这5粒种子中恰有4粒发芽的概率是( ) A.40.980.02⨯B.40.980.02⨯ C.4450.980.02C ⨯⨯D.4450.980.02C ⨯⨯ 能力提升1.设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥2)的值为( )A.3281B.1127C.6581D.16812.口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，第n 次摸取红球，1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )A.57C ⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫235B.27C ⎝⎛⎭⎫232·⎝⎛⎭⎫135C.57C ⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫135D.37C ⎝⎛⎭⎫132·⎝⎛⎭⎫2353.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种了该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为________.(精确到0.01)4.三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为111,534、、假设他们破译密码彼此是独立的，则此密码被破译的概率为( )A.35B.25C.160D.不能确定5.某射手每次击中目标的概率是23，各次射击互不影响，若规定：其若连续两次射击不中，则停止射击，则其恰好在射击完第5次后停止射击的概率为________．6.（2015安徽卷节选）已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；7.（2014山东卷节选）乒乓球台面被网分隔成甲、乙两部分，如图1-4所示，甲上有两个不相交的区域A ，B ，乙被划分为两个不相交的区域C ，D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其他情况记0分．对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ，B 上各一次，小明的两次回球互不影响．求：小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；8.（2014四川卷节选）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得分）.设每次击鼓200出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立. （1）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？12X X 课程顾问签字：教学主管签字：。

人教版高数选修2-3第6讲：数学期望与方差及正态分布(学生版)

数学期望与方差及正态分布__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.理解离散型变量的数学期望与方差的概念.2.熟练掌握离散型变量的数学期望与方差的公式.3.熟练掌握离散型变量的数学期望与方差的性质.4.能利用数学期望与方差解决简单的实际问题.5.理解概率密度曲线和正态分布的概念.1.离散型随机变量X 的数学期望一般地，若离散型随机变量X 的概率分布如下表所示，则称______________________为离散型随机变量X 的数学期望，记为______，其中0i p ≥，i =1，2，…，n ，12p p + 1.n p ++=L2.离散型随机变量X 的方差一般地，若离散型随机变量X 的概率分布如下表所示，则称____________________________________为离散型随机变量X 的方差，记为_________，即2;σi p ≥0，i =1，2，…，n ，121,n p p p +++=L ()E X μ=3.离散型随机变量X 的标准差随机变量X 的方差也称为X 的概率分布的方差，X 的方差V (X )的算术平方根称为X 的标准差，即σ=_____________4.必备公式(1)离散型随机变量：X 的数学期望（均值）公式、方差公式、标准差公式 E(X)=____________________________；V (X )=_____________________________________________； σ=______________.(2)二项分布的数学期望、方差的计算公式当X ～B (n ，p )时，E (X )=np ；V (X )=np(1-p). 5.离散型随机变量方差的性质设ξ是离散型随机变量，则其方差具有如下性质： (1)V (k )=_____(k 为常数)； (2)()_________;V k ξ= (3)()V k ξ+=___________;(4)()___________(,).V a b a b ξ+=∈R6.概率密度曲线(1)若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直方图的顶边无限缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线.(2)正态密度曲线的函数表达式为22()2()e,,0,x P x x μσσμ--=∈>∈R R7.正态分布(1)若X 是一个随机变量，对任给区间(a ，b ]，P (a <X ≤b )恰好是正态密度曲线下方和X 轴上(a ，b ]上方所围成的图形的面积；我们就称随机变量X 服从参数为μ和2σ的正态分布，简记为X ～N (2,μσ).(2)我们将正态分布N (0，1)称为标准正态分布，通过查标准正态分布表可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率.8.正态密度曲线图象的特征(1)当x <μ时，曲线上升；当x >μ时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸以____为渐近线. (2)正态曲线关于直线x =μ对称；(3)σ越大，正态曲线越________；σ越小，正态曲线越________. (4)在正态曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为_____.类型一.离散型随机变量X 的数学期望则E (X )等于( ) A.0B.-1C.13-D.12-练习1：某学校要从5名男生和2名女生中选出2人做上海世博会志愿者,若用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望E ξ______.(结果用最简分数表示) 类型二.离散型随机变量的方差、标准差例2：已知随机变量X 的分布表为：求V (X ).练习1：甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布表如下：射手甲：射手乙：类型三.二项分布的数学期望与方差例3：已知随机变量ξ～B (n ，p )，且 2.4, 1.44,E V ξξ==则n ，p 的值为( ) A.8，0.3B.6，0.4C.2，0.2D.5，0.6练习3：设随机变量ξ服从二项分布,即ξ~(,)B n P ,且13,,7E P ξ==则n =______,D ξ=______. 类型四.离散型随机变量方差的性质例4：一次测试有25道选择题，每题选对得4分，选错或不选得0分，满分为100分，某生选对每道题的概率为0.8，则这名考生在这次考试中成绩的数学期望与标准差为( )A.80，8B.80，64C.70，4D.70，3练习4：已知ξ的分布列如下表,设23,ηξ=+则E η=()A .3B .4C .-1D .1类型五.数学期望与方差的计算与应用例5：一个人每天开车上班，从他家到上班的地方有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件互相独立，并且概率都是1.3假定他只在遇到红灯或到达上班地点时才停止前进.(1)设ξ为这个人的首次停止前经过的路口数.求ξ的分布表；(2)设η为这个人的途中遇到红灯的次数，求η的期望和方差；(3)求这个人首次停止前已经过两个交通岗的概率.练习5：有一名运动员投篮的命中率为0.6，现在他进行投篮训练，若没有投进则继续投篮，若投进则停止，但最多投篮5次，求他投篮次数的数学期望.类型六.正态密度曲线的特征例6：下面给出了关于正态曲线的四个叙述：①曲线在x 轴上方且与x 轴不相交；②当x >μ时，曲线下降；当x <μ时，曲线上升；③当μ一定时，σ越小，总体分布越分散；σ越大，总体分布越集中；④曲线关于直线x =μ对称，且当x =μ时，位于最高点.其中正确的是（）A.1个B.2个C.3个D.4个练习6：若2(1)2(),x f x x R --=∈,则下列判断正确的是( )A .f (x )有最大值,也有最小值B .f (x )有最大值,无最小值C .f (x )无最大值,有最小值D .f (x )无最大值,也无最小值类型七.正态分布例7：已知正态总体的数据落在区间(-3，-1)内的概率和落在(3，5)内的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________.练习7：设随机变量ξ服从标准正态分布N (0,1),已知( 1.96)0.025Φ-=,那么(|| 1.96)P ξ<=( )A .0.025B .0.050C .0.950D .0.9751.若某篮球运动员投篮命中率P =0.6,则其两次投篮命中次数η的数学期望为( ) A .0.6B .1.2C .1.3D .0.82.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量ξ描述1次试验的成功次数,则(0)P ξ==( )A .0B.12C.13D.233.已知连续型随机变量ξ的概率密度函数f (x )=()()01,1(14),504,x x x <-⎧⎪⎪-≤≤⎨⎪⎪>⎩则P (ξ=3)的值为( )A.15B .0C .3D .不确定4.如果随机变量ξ服从(,0)N μ,而且()P C ξ≤=()P C ξ>=P ,那么P 等于( ) A .0 B .0.5 C .1 D .不确定5.若从1,2,4,6,9这5个数字之中任取2个,则这2个数之积的数学期望是( ) A .8 B .17.3 C .9 D .9.56.两封信随机投入A ,B ,C 三个空邮箱,则A 邮箱的信件数ξ的教学期望E ξ=______.7.某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有5名工人,其中有3名女工人,现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核.(1)求从甲、乙两组各抽取的人数;(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;(3)记ξ表示抽取的3名工人中男工人数,求ξ的分布列及数学期望.8.设篮球队A 与B 进行比赛,每场比赛均有一球队获胜,若一球队胜4场,则比赛结束,假定A ,B 两队在每场比赛中获胜的概率都是12,试求需要比赛场数ξ的分布列及数学期望._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.如果两名士兵在一次射击比赛中,士兵甲得1分,2分,3分的概率分别为0.4,0.1,0.5;士兵乙得1分,2分,3分的概率分别为0.1,0.6,0.3,那么两名士兵得胜希望较大的是( )A .甲B .乙C .甲与乙相同D .无法确定2.同时抛掷2枚相同的均匀硬币,随机变量ξ=1表示结果中有正面向上的,ξ=0表示结果中没有正面向上的,则E ξ=( )A .0.6B .0.75C .0.85D .0.953.如果ξ是离散型随机变量,32,ηξ=+那么( ) A.32,9E E D D ηξηξ=+= B.3,32E E D D ηξηξ==+ C.32,94E E D E ηξηξ=+=+D.34,32E E D D ηξηξ=+=+4.某地有A ,B ,C ,D 四人先后感染了甲型H1N1流感,其中只有A 到过疫区,B 肯定是受A 感染的,对于C ,因为难以断定他是受A 还是受B 感染,于是假定他受A 和受B 感染的概率都是12,同样也假定D 受A ,B 和C 感染的概率都是13,在这种假定之下,B ,C ,D 中直接受A 感染的人数X 就是一个随机变量,X 的均值(即数学期望)=( )A.125 B.116 C.87D.23 5.设随机变量ξ服从二项分布,即ξ~(,)B n P ,且13,,7E P ξ==则n =______,D ξ=______.6.在某次测量中,测量结果ξ服从正态分布N (1,2σ)(σ>0),若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为______.7.(2014浙江卷)随机变量X 的取值为0，1，2.若P (X ＝0)＝15，E (X )＝1，则D (X )＝________．8.(2015东城二模)某校高一年级开设A ，B ，C ，D ，E 五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A 课程，不选B 课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．(1)求甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率；(2)用X 表示甲、乙、丙选中C 课程的人数之和，求X 的分布列和数学期望．能力提升1.如果~(5,0.1)B ξ,那么P (ξ≤2)=( )A .0.0729B .0.00856C .0.91854D .0.991442.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．4003.1盒产品中有9件正品和3件废品,若每次取1件产品,取出后不再放回,则在取得正品前已取出的废品数ξ的数学期望E ξ=______.4.某射击选手每次射击击中目标的概率为0.8,现在他连续向一个目标射击,直到第一次击中目标为止,则射击次数ξ这一随机变量的数学期望为______.5.从分别标有数字1,2,3,…,n 的n 张卡片中任取一张,若卡片上数字ξ是随机变量,则ξ的数学期望为______.6.(2014湖南卷)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．7.(2015湖南)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.8.(2014天津)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.。

高数字母符号读法

高数字母符号读法0 - 零1 - 一2 - 二3 - 三4 - 四5 - 五6 - 六7 - 七8 - 八9 - 九10 - 十11 - 十一（1和1，即十一）12 - 十二（1和2，即十二）13 - 十三（1和3，即十三）14 - 十四（1和4，即十四）15 - 十五（1和5，即十五）16 - 十六（1和6，即十六）17 - 十七（1和7，即十七）18 - 十八（1和8，即十八）19 - 十九（1和9，即十九）20 - 二十（2和0，即二十）22 - 二十二（2和2，即二十二）23 - 二十三（2和3，即二十三）24 - 二十四（2和4，即二十四）25 - 二十五（2和5，即二十五）26 - 二十六（2和6，即二十六）27 - 二十七（2和7，即二十七）28 - 二十八（2和8，即二十八）29 - 二十九（2和9，即二十九）30 - 三十（3和0，即三十）31 - 三十一（3和1，即三十一）32 - 三十二（3和2，即三十二）33 - 三十三（3和3，即三十三）34 - 三十四（3和4，即三十四）35 - 三十五（3和5，即三十五）36 - 三十六（3和6，即三十六）37 - 三十七（3和7，即三十七）38 - 三十八（3和8，即三十八）39 - 三十九（3和9，即三十九）40 - 四十（4和0，即四十）41 - 四十一（4和1，即四十一）42 - 四十二（4和2，即四十二）44 - 四十四（4和4，即四十四）45 - 四十五（4和5，即四十五）46 - 四十六（4和6，即四十六）47 - 四十七（4和7，即四十七）48 - 四十八（4和8，即四十八）49 - 四十九（4和9，即四十九）50 - 五十（5和0，即五十）。

人教版高数选修2-3第一章1.2排列组合(教师版)

人教版高数选修2-3第一章1.2排列组合（教师版）排列组合_________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________1.理解排列组合的概念.2.能利用计数原理推导排列公式、组合公式.3.熟练掌握排列、组合的性质.4.能解决简单的实际问题.1.排列与组合的概念:(1)排列:一般地，从n个不同的元素中取出m(m ≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列.注意：○1如无特别说明，取出的m个元素都是不重复的.○2排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”.○3从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列.○4在定义中规定m≤n，如果m=n，称作全排列.○5在定义中“一定顺序”就是说与位置有关.(2)组合数的定义:从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m nC 表示.3.排列数公式与组合数公式： (1)排列数公式：(1)(2)(1),m n A n n n n m =--⋅⋅⋅-+其中m ，n *∈N ，且m ≤n .(2)全排列、阶乘、排列数公式的阶乘表示. ○1全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列.○2阶乘：自然数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用n !表示，即!.nnAn =○3由此排列数公式(1)(2)(1)m nA n n n n m =---+所以!.()!m nn An m =-(3)组合数公式:!.!()!m nn Cm n m =-(4)组合数的两个性质: 性质1：.m n m nn CC -= 性质2：11.m m m n n n CC C -+=+类型一.排列的定义例1：判断下列问题是不是排列，为什么？ (1)从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加上午的活动，另一名同学参加下午的活动.(2)从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动.[解析] (1)是排列问题，因为选出的两名同学参加的活动与顺序有关.(2)不是排列问题，因为选出的两名同学参加的活动与顺序无关.练习1：判断下列问题是不是排列，为什么？ (1)从2、3、4这三个数字中取出两个，一个为幂底数，一个为幂指数.(2)集合M ={1，2，…，9}中，任取相异的两个元素作为a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程22221x y a b +=和多少个焦点在x 轴上的双曲线方程2222 1.x y a b-=[解析] (1)是排列问题，一个为幂底数，一个为幂指数，两个数字一旦交换顺序，产生的结果不同，即与顺序有关.(2)第一问不是第二问是.若方程22221x y a b+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，a ，b 的大小一定；在双曲线22221x y a b-=中，不管a >b 还是a <b ，方程22221x y a b-=均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故这是排列.类型二.组合的定义例2：判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)设集合A={a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？[解析] (1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题.(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题.练习1：判断下列问题是组合问题还是排列问题.(1)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(2)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？[解析] (1)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题.(2)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题.类型三.排列数与组合数例3：计算下列各式. (1)57;A(2)212;A(3)77.A[解析] [答案] (1)57A =7×6×5×4×3=2520； (2)213A =13×12=156；(3)77A =7×6×5×4×3×2×1=5040.练习1：乘积m (m +1)(m +2)…(m +20)可表示为( ) A.2mAB.21m AC.2020m A +D.2120m A +[答案] D[解析] 排列的顺序为由小到大，故n =m +20，而项数是21故可表示为2120.m A+例4：计算98100C[答案]98100982100100100100994950.21C C C -⨯====⨯练习2：计算972959898982C C C ++ [答案]原式1231223298989898989898992()()C C C C C C C C =++=+++=3399100161700.C C +== 类型四.排列问题例５：3个女生和5个男生排成一排. (1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？[解析] (1)(捆绑法)因为3个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同5个男生合在一起共有6个元素，排成一排有66A 种不同排法.对于其中的每一种排法，3个女生之间又都有33A 种不同的排法，因此共有63634320A A⋅=种不同的排法.(2)(插空法)要保证女生全分开，可先把5个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档，这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把3个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于5个男生排成一排有55A 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让3个女生插入都有36A 种不同排法，因此共有535614400A A⋅=种不同的排法.练习1：3个女生和5个男生排成一排. (1)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？(2)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？[解析] (1)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有25A 种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有66A 种排法，所以共有2656A A ⋅=14400种不同的排法.(2)3个女生和5个男生排成一排有88A 种排法，从中减去两端都是女生的排法2636A A ⋅种，就能得到两端不都是女生的排法种数，因此共有82683636000A A A-⋅=种不同的排法.类型五.组合问题例６：高中一年级8个班协商组成年级篮球队，共需10名队员，每个班至少要出1名，不同的组队方式有多少种？[解析] 本题实质上可以看作把2件相同的礼品分到8个小组去，共有1288C C+36=种方案.练习1：有、甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这，三项任务，不同的选法共有多少种？[解析] 共分三步完成，第一步满足甲任务，有210C 种选法，第二步满足乙任务有18C 种选法，第三步满足丙任务，有17C 种选法，故共有21110872520C C C =种不同选法.类型六.排列与组合综合问题例７：某校乒乓球队有男运动员10人和女运动员9人，选出男女运动员各3名参加三场混合双打比赛(每名运动员只限参加一场比赛)，共有多少种不同参赛方法？[答案] 362880[解析] 从10名男运动员中选3名有310C 种，从9名女运动员中选3名有39C 种；选出的6名运动员去配对，这里不妨设选出的男运动员为A ，B ，C ；先让A 选择女运动员，有3种不同选法；B 选择女运动员的方法有2种；C 只有1种选法了，共有选法3×2×1=6种；最后这3对男女混合选手的出场顺序为33A ，根据分步计数原理，共有33310936362880CC A ⨯⨯=种不同参赛方法.练习1：在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有( )A.36个B.24个C.18个D.6个 [答案] Ａ[解析] 由各位数字之和为偶数，可知所求三位数由2个奇数和1个偶数组成，由乘法原理，各位数字之和为偶数的数共有21332336CC A ⋅⋅=个．1.89×90×91×…×100可表示为( )A.10100A B.11100AC.12100AD.13100A[答案] C 2.已知123934,n n A A --=则n 等于( ) A.5B.6C.7D.8[答案] C３.将6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数有( )A.36B.120C.720D.140[答案] C４.6名同学排成一排，其中甲、乙两人排在一起的不同排法有( )A.720种B.360种C.240种D.120种 [答案] C ５.若266,x C C =则x 的值是( )A.2B.4C.4或2D.0[答案] C６.1171010r r CC +-+可能的值的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.无数个 [答案] B7.某校一年级有5个班，二年级有7个班，三年级有4个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，共需进行比赛的场数是( ) A.222574CC C ++ B.222574C C CC.222574AA A ++D.216C[答案] A8.有3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法有( )A.90种 B .180种 C.270种 D.540种 [答案] D_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.某乒乓球队共有男女队员18人，现从中选出男、女队员各1人组成一对双打组合，由于在男队员中有2人主攻单打项目，不参与双打组合，这样一共有64种组合方式，则乒乓球队中男队员的人数为( )A.10人B.8人C.6人D.12人 [答案] Ａ2.将4个不同的小球随意放入3个不同的盒子，使每个盒子都不空的放法种数是( ) A.1334A AB.2343C AC.3242C AD.132442C C C[答案] Ｂ3.有3名男生和5名女生照相，如果男生不排在是左边且不相邻，则不同的排法种数为( ) A.3538A AB.5354A AC.5355A AD.5356A A[答案] Ｃ4.8位同学，每位相互赠照片一张，则总共要赠________张照片. [答案] 565.5名学生和5名老师站一排，其中学生不相邻的站法有________种.[答案]864006.由0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于百位数字的数共有________个.[答案]3007.有10个三好学生的名额，分配给高三年级6个班，每班至少一个名额，共有________种不同的分配方案.[答案]1268.从10名学生中选出5人参加一个会议，其中甲、乙两人有且仅有1人参加，则选法种数为________.[答案]140能力提升1.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）A.144个B.120个C.96个D.72个[答案]B2.方程22a b c∈--，且,,a b c互不相ay b x c=+中的,,{3,2,0,1,2,3}同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A.60条B.62条C.71条D.80条[答案]B3. 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144 B．120 C．72 D．24[答案] D4.在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有( )A.56个B.57个C.58个D.60个[答案]Ｃ5.某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种.(用数字作答)【答案】９６6. 把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有__________种.[答案]３６7. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为_________（结果用数值表示）．[答案] 1208.从数字0，1，3，5，7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax 2+bx +c =0？其中有实根的方程有多少个？[答案] 先考虑组成一元二次方程的问题：首先确定a ，只能从1，3，5，7中选一个，有14A 种，然后从余下的4个数中任选两个作b 、c ，有24A 种.所以由分步计数原理，共组成一元二次方程：124448A A⋅=个.方程更有实根，必须满足240.bac -≥分类讨论如下：当c =0时，a ，b 可在1，3，5，7中任取两个排列，有24A 个；当c ≠0时，分析判别式知b 只能取5，7.当b 取5时，a ，c 只能取1，3这两个数，有22A 个；当b 取7时a ，c 可取1，3或1，5这两组数，有222A 个，此时共有22222AA +个.由分类计数原理知，有实根的一元二次方程共有：2224222AA A ++=18个.。

南邮高数 2-3高阶导数及相关变化率

x(3) y
2x 1 x2 x
2
解 (1) y(n) ( x2 sin 3x)(n) (sin 3x x2 )(n)
vu
莱布尼兹公式
(sin 3x)(n) x2 n(sin 3x)(n1) ( x2 )
n(n 1) (sin 3x)(n2) ( x2 ) 2!
3n sin(3x n ) x2 n3n1(sin 3x (n 1) ) 2x
3)分段函数、隐函数以及参数方程表达的函数的高阶导数
例5
设f
(
x)
ex ax 2
bx
c
x 0,问a, b, c为 x0
何值时f ( x)在x 0处具有二阶导数.
解 ex , ax2 bx c处处均连续且有各阶导数
要使f (x)在x 0处有二阶导数,必须且只需
f (0 0) f (0 0) ( f (x)在x 0处连续)
解：方程两边对x求导，注意到 y是 x函数，有
1 y 1 cos y y 0
(1)
2
y
1
1 1 cos
y
2
2 cos
y
( 2)
2
(2) 式继续对x求导, 得
y
2 sin y y (2 cos y)2
4sin (2 cos
y y)3
或者 (1) 式继续对x求导, 得
y 1 sin y ( y)2 1 cos y y 0
即
ex x lim
x0
0 (2ax b) x0
ex 1 lim 2ax
x
x0
b x
b
1c
1
b
1 2a
当a 1 , b 1, c 1时, f ( x)在x 0处有二阶导数. 2

大学高数2-3极限的运算法则

03
复合函数的极限运算法则
函数的极限与复合函数的极限
函数的极限
当函数在某点的自变量趋于某值时，函数值的极限。
复合函数的极限
对于复合函数$f(g(x))$，当$x$趋于某值时，$g(x)$趋于某值，则$f(g(x))$的极限存在。
复合函数的极限运算法则
乘法法则
若$f(x)$和$g(x)$在某点的极限都存在，则$f(x) cdot g(x)$ 在该点的极限也存在，且$f(x) cdot g(x) = f(x) cdot g(x)$。
01
02
03
04
加法运算性质
两个无穷小量的和仍为无穷小量。
减法运算性质
两个无穷小量的差仍为无穷小量。
乘法运算性质
有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。
除法运算性质
有限个无穷小量的商仍为无穷小量，但除数不能为无穷大量。
05
极限的运算技巧
利用等价无穷小替换求极限
等价无穷小替换是求极限的一种常用方法，通过将复杂的表达式替换为简单的无穷小量，可以简化计算过程。
在等价无穷小替换中，常用的等价无穷小量包括：当x趋近于0时，sin x ≈ x，tan x ≈ x，e^x - 1 ≈ x，ln(1 + x) ≈ x等。
使用等价无穷小替换求极限时，需要注意替换的准确性和适用范围，以确保结果的正确性。
利用洛必达法则求极限
01
02
03
洛必达法则是求极限的一种重要法则，适用于0/0型和∞/∞型的极限问题。
利用反常函数求极限
总结词
反常函数包括无界函数和无穷大量，求极限时需要注意函数的定义域和性质。
详细描述
对于无界函数和无穷大量，需要分别讨论其类型和性质，利用等价无穷小替换、夹逼准则等方法求极限。在处理反常函数时，需要注意函数的定义域和性质，以及无穷小与无穷大的关系。

高数1-2-3极限

小的概念: 定义5 如果 lim f x 0, 则称当x x0时，f x 为无穷小. P-20 如果
x
x x0
lim f x 0
则称当
x 时， f x 为无穷小。
同样可以定义:
当x x0 0, x x0 0, x , x ，n 时的无穷小 .
( x 3 7 x 6) x 2 2 x 3 ( x 2)
16

3x 6 3x 6 0

(4）两个都是无穷大的有理分式函数之差的极限
例7
2 x 求 lim 2 x 1 x 1 x 1
2 ( x 1)( x 2) 3 x 解： lim 2 lim x 1 x 1 x 1 x 1 ( x 1)( x 1) 2
) 大，则称当 → x0 ( x → ∞时，f ( x )为无穷大 x .
记为
x → x0 x →∞
lim f ( x ) = ∞
注意：
（1）在某个极限过程中，变量f（x）为无穷大时，f( x ) 的极限不存在，但是允许使用极限的符号来记。即:
x 时f ( x )为无穷大，记作 lim f ( x )

注：① 无穷小是以 0 为极限的函数. ②绝对值很小的数不是无穷小，无穷小是变量. ０是作为
无穷小的唯一常数．
③说一个函数是无穷小，必须与自变量的变化过程相联系。 1 如：函数当x 时为无穷小但当 x 1 时， . x 1 的极限为1.不是无穷小。 x
2
（二）无穷大定义6
) 如果当x → x0 (或x → ∞时,函数f ( x )的绝对值无限增

高数习题2-3的答案

高数习题2-3的答案高数习题2-3的答案高等数学作为大学数学系列课程的重要组成部分，对于培养学生的数学思维、分析问题的能力以及解决实际问题的能力具有重要意义。

习题是高等数学学习中的重要环节，通过解答习题可以帮助学生巩固所学的知识点，提高解决问题的能力。

本文将针对高数习题2-3进行详细的解答和分析。

习题2-3的题目如下：已知函数f(x) = x^2 + 3x + 2，求f(2)的值。

解答：题目要求我们求函数f(x)在x=2处的取值，即求f(2)的值。

我们可以根据函数的定义，将x代入函数f(x)中进行计算。

将x=2代入函数f(x)中，得到：f(2) = 2^2 + 3*2 + 2= 4 + 6 + 2= 12因此，函数f(x)在x=2处的取值为12。

通过这个简单的习题，我们可以看到，函数的定义是解决问题的关键。

在解答习题时，我们需要根据题目给出的函数定义，将变量代入函数中进行计算，从而得出最终的结果。

除了这道习题，高等数学中还有许多涉及函数的习题，例如求函数的极限、导数、积分等。

这些习题需要我们熟练掌握函数的性质和计算方法，才能正确解答。

在解答习题时，我们还可以运用一些数学方法和技巧，例如利用函数的对称性、利用函数的性质进行化简等。

这些方法和技巧可以帮助我们更快地解答习题，提高解题效率。

此外，解答习题还需要我们具备一定的逻辑思维能力和数学推理能力。

有些习题可能需要我们进行推导和证明，通过逻辑推理得出结论。

这对于培养学生的思维能力和分析问题的能力具有重要意义。

总之，高等数学习题是培养学生数学思维和解决问题能力的重要手段。

通过解答习题，我们可以巩固所学的知识，提高解题能力。

在解答习题时，我们需要熟练掌握函数的性质和计算方法，灵活运用数学方法和技巧，具备一定的逻辑思维和数学推理能力。

只有通过不断地练习和思考，我们才能在高等数学学习中取得好的成绩。

2-3初等解析函数

(3) f (z)在复平面内处处解析; f (z) f (z); (4) ez为周期函数，ez2ni ez;
即e z是以2ni为周期的周期函数。 (5) ez 1 的充分必要条件是z 2ni. (其中n是整数)
4
ez e xiy e x (cos y i sin y)
(1) 证明加法定理 ez1 ez2 e(z1 z2 )
§2.3 初等函数
一、指数函数二、对数函数三、幂函数四Δ、三角函数和双曲函数五、反三角函数和反双曲函数
1
高数里我们学了基本初等函数：指数函数，对数函数，幂函数，三角和反三角函数。初等函数有求导公式。
2
1. 指数函数
定义：设 z x iy，则复变数 z 的指数函数定义为 e x (cos y i sin y)
将两式相加与相减, 得
cos y eiy eiy , 2
sin y eiy eiy . 2i
下面把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况.
27
定义：对任意z,
余弦函数: cos z eiz eiz , 2
正弦函数 :
sin z
e iz
e iz 2i
,
正切函数:
tan z sin z , cos z
(2)
Ln z1 z2
Lnz1
Lnz2
(z2 0),
(3) 在除去负实轴(包括原点)的复平面内，主值支
和其它各分支处处连续, 处处可导, 且
(ln z) 1 , z
对于某一固定分支，有 (Lnz) 1 z
14
注意：(1) Ln(z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 , 上式要理解为无穷多个值组成的集合相等。
证设 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 , z1 z2 （x1 x2） i（y1 y2）,

人教版高数选修2-3第1讲：计数原理(学生版)

计数原理__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.掌握分类计数原理，分布计数原理的概念.2.掌握分类计数原理与分布计数原理的区别.3.能解决分类计数原理与分步计数原理的综合题.1.分类计数原理与分步计数原理(1)分类计数原理：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有___________________种不同的方法注意：○1分类计数原理又称为加法原理；○2弄清楚完成“一件事”的含义，即知道做“一件事”或完成一个“事件”在题目中具体所指的内容；○3解决“分类”问题，用分类计数原理，即完成事件通过途径A，就不必再通过途径B，可以单独完成；○4每个题中，标准不同，分类也不同，分类的基本要求是：每一种方法必属于某一类(不漏)，任意不同类的两种方法是不同的方法(不重).(2)分步计数原理: 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有____________________种不同的方法.注意：○1分步计数原理又称为乘法原理；○2弄清楚完成“一件事”的含义，即知道完成一个“事件”在每个题中需要经过哪几个步骤；○3解决“分步”问题，用分步计数原理，需要分成若干个步骤，每个步骤都完成了，才算完成一个事件，注意各步骤间的连续性；○4每个题中，标准不同，分步也不同，分步的基本要求：一是完成一件事，必须且只需连续做完几步，既不漏步也不重步；二是每个步骤之间的方法是无关的，不能相互替代.2.分类计数原理和分步计数原理的区别辨别运用分类计数原理还是分步计数原理的关键是“分类”还是“分步”，也就是说“分类”时，各类办法中的每一种方法都是__________的，都能直接完成这件事，而“分步”时，各步中的方法是___________的，缺一不可，当且仅当做完个步骤时，才能完成这件事。

高数D2-3高阶导数09

代入莱布尼兹公式 , 得
y(20) 220 e2x x2 20 219 e2x 2x 20 19 218 e2x 2 2!
220 e2x (x2 20x 95)
例8. 设 y arctan x , 求 y(n) (0).
解:
y
1
1 x
2
,
即
(1 x2 ) y 1
用莱布尼兹公式求 n 阶导数
x0
6
x2 x
0
f
(0)
lim
x0
12x x
2
0
f
(
x)
24x 12x
, ,
x0 x0
但是 f(0) 12 , f(0) 24 , f (0) 不存在 .
二、高阶导数旳运算法则
设函数 u u(x) 及 v v(x) 都有 n 阶导数 , 则
1. (u v)(n) u(n) v(n)
sin(
x
2
2
)
y
cos(x
2
2
)
sin( x
3
2
)
一般地 ,
(sin
x)(n)
sin( x
n
2
)
类似可证:
(cos
x)(n)
cos(x
n
2
)
例5 . 设 y eax sin bx (a ,b为常数) , 求 y(n).
解: y aeax sin bx beax cos bx eax (a sin bx b cosbx)
a
1
x
(n)
(a
n! x)n1
(4) 利用莱布尼兹公式
思索与练习
1. 怎样求下列函数旳 n 阶导数?

专升本高数一、二、三有什么区别2024

引言：专升本高数是许多考生在职业发展中选择的一种途径。

在专升本高数中，高数一、二、三是必修课程，这三门课程有着一定的区别。

本文将从课程设置、知识点难度、应用方向、教学方法、考试形式等方面进行阐述，以帮助考生更好地理解三门课程的区别并为自己的学习做出合理的安排。

概述：专升本高数一、二、三分别是专升本阶段的数学基础课程，这三门课程在课程设置、知识点难度、应用方向、教学方法、考试形式等方面都存在一定的差异。

深入了解这些差异对于考生们合理安排学习、提高学习效果非常重要。

正文内容：1. 课程设置1.1 高数一：高数一是专升本高数的第一门课程，主要包括数列与极限、函数与连续、导数与微分等内容。

1.2 高数二：高数二是专升本高数的第二门课程，主要包括定积分及其应用、不定积分及其应用、微分方程等内容。

1.3 高数三：高数三是专升本高数的第三门课程，主要包括级数与幂级数、多元函数微分学、重积分及其应用等内容。

2. 知识点难度2.1 高数一：高数一的知识点难度相对较低，主要是基础概念与基本运算的学习与掌握。

2.2 高数二：高数二的知识点难度比高数一有所提高，需要对定积分、不定积分等概念进行深入理解与应用。

2.3 高数三：高数三的知识点难度相对较高，涉及到多元函数、重积分等概念的理解与应用。

3. 应用方向3.1 高数一：高数一主要是作为后续课程的基础，为进一步学习数学专业课程打下坚实基础。

3.2 高数二：高数二的应用方向主要是与实际问题的建模及求解相关，如物理、经济等领域。

3.3 高数三：高数三主要是为一些应用数学课程，如数学物理方法、概率论与数理统计等提供支持。

4. 教学方法4.1 高数一：高数一注重基础概念与基本运算的讲解与掌握，常采用理论与实践相结合的教学方法。

4.2 高数二：高数二在教学中注重实际问题的演示与解决，常采用案例分析与讨论的教学方法。

4.3 高数三：高数三在教学中注重知识与应用的结合，常运用实例讲解与练习的教学方法。

高数上基础班1-2-3-极限

能看懂就看看不懂就算主要的心得还是自己通过做题得到的多总结多理解少刷题多想题
基础数学素养
1.概念定理公式
2.基本数学思维方法例如数形结合正难则反
数无形时少直觉形无数时难入微数形结合百般好3.计算能力
记会算
1极限
极限与此点无关表示的是附近的概念
2牛顿错了极限运算的过程性
趋向过程中处处有定义否则不存在一票否决
答案是不存在不是1
牛顿错了
极限运算的过程性
这是错的
这个东西没有资格当狗因为能取到0
只能这样写
极限定义的提出者
对于任意.....存在.......
后面的是尺度
1只要可以无穷小就可以
2小于号可以变成等于号都可带上等号
后面那个是存在性
太复杂了不指望理解只求记住
包含两种情况等于0和趋于0都是无穷小
即使你给我整个世界我也只在你的身边保号性
再小的数也远远大于任何无穷小量
他师傅伯努利
欧拉是伯努利的学生伯努利是莱布尼兹的学生
有一句话容易忘
后验逻辑
能不能用用了再说
这两个例子很好的说了洛必达法则的局限性
对于零*无穷型化成0/0型或者无穷/无穷型然后具体选择哪个倒三角
正三角形（头轻脚重，也就是分母难分子简单）很稳定不容易破
搞成倒三角容易破
头重脚轻根底浅
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。