第二章 流体动力学理论基础--续

3-8
三维流动的连续性方程
由质量守恒：控制体总净流出质量，必等于控制体内由于 密度变化而减少的质量，即
u v w dxdydz dxdydz dxdydz dxdydz x y z t
u v w 0 t x y z
u v w u 0 x y z
3-11
四、流体微团的运动
流体质点间的相对运动
流体微团的线变形运动
流体微团的角变形运动 流体微团的旋转运动 流体微团运动的合成
3-13
流体微团
流体微团：
流体微团是指体积微小，随流体一起运动的 一团流体物质。 包含无数个流体质点。 各流体质点间存在相对位置变化。 能够体现膨胀、变形、转动等尺度变化。
dt时间内流体微团的体积变化量
d dV dx xxdxdtdy yydydtdz zz dzdt dxdydz xx yy zz dxdydzdt
3-26
流体微团的线变形运动
体积变形速率：
1 d dV 1 xx yy zz dxdydzdt dV dt dxdydz dt
平移、线变形、角变形、转动
3-23
流体微团的线变形运动
x方向上流体微团的线变形量为
u u u x dxdt udt x dxdt
同理y方向上流体微团的线变形量为
v v v y dy dt vdt y dydt
Ωxi Ωy j Ωz k 2 xi 2 y j 2 z k
3-20
亥姆霍兹速度分解定理
u u u u0 dx dy x y
在u的表达式中加入
1 v 1 v dy dy 2 x 2 x
得
u 1 u v 1 v u u u0 dx ＋ dy dy x 2 y x 2 x y
3-31
流体微团的旋转运动
旋转角速度：单位时间内流体微团的旋转角度。
d 1 v u z dt 2 x y
同理
1 w v x 2 y z
1 u w y 2 z x
'
同理：M y
( u y )
y ( u z ) M z dxdydzdt z
dxdydzdt
dt时间内，控制体总净流出质量：
( u x ) ( u y ) ( u z ) M M x M y M z dxdydzdt y z x u dxdydzdt div( u )dxdydzdt
矢量形式：
u u0 dr dr
3-38
涡量及无旋运动
涡量：流速场的旋度称为涡量。 Ω u 2 i j k Ω u x y z u v w
w v u w v u y z i z x j x y k
存在各质点在连线方向的速度梯度是产生线变形的原因
3-24
流体微团的线变形运动
线变形速率： 单位时间内流体线的相对伸长。
u dxdt u x xx dxdt x
同理
yy
v y
w zz z
3-25
流体微团的线变形运动
体积变形速率： 单位时间内流体微团体积的相对变化。
3-19
亥姆霍兹速度分解定理
对M点的运动速度采用泰勒级数展开
u u u u( x dx, y dy, t ) u0 dx dy x y v v( x dx, y dy, t ) v0 v dx v dy x y
u u0 xxdx xydy z dy v v0 yydy yxdx z dx
平移、线变形、角变形、转动
3-37
流体微团运动的合成
三维情况：
u u0 xxdx xydy xzdz z dy y dz v v0 yydy yzdz yxdx x dz z dx w w dz dx dy dx dy 0 zz zx zy y x
dr
M 0 ( x, y )
O
x
z
3-18
亥姆霍兹速度分解定理
M0点的运动速度
u0 u0 ( x , y , t ) v0 v0 ( x , y , t )
M点的运动速度
u u( x dx, y dy, t ) v v( x dx, y dy, t )
v dxdt v x d1 tand1 dt dx x
u dydt u y d 2 tand 2 dt dy y
1 1 v u - dt 旋转角度：d d1 - d2 2 2 x y
1 1 v u dt 角变形： d d1 d2 2 2 x y
3-35
流体微团的角变形运动
角变形速率： 单位时间内流体微团的角度变化。
d 1 v u xy yx dt 2 x y
3-32
流体微团的旋转运动
旋转角速度的矢量表达式：
xi y j zk
1 w v 1 u w 1 v u i k j 2 y z 2 z x 2 x y i j k 1 1 u 2 x y z 2 u v w
充满所占据的空间，彼此间不会出现空隙。流体
的这种性质称为连续性，用数学形式表达出来就
是连续性方程，它是物质不灭定律在流体力学中
的具体体现，实质上是质量守恒方程。
3-4
控制体
控制体：
被流体所流过的，相对于某个坐标系来说，固 定不变的任何体积称之为控制体。 控制体的边界面，称之为控制面。 控制面总是封闭表面。
占据控制体的诸流体质点随着时间而改变
。
3-5
控制体
控制体边界（控制面）的特点：
控制面相对于座标系是固定的。
在控制面上可以有质量交换。
在控制面上，受到控制体以外物体加在控
制体之内物体上的力。
在控制面上可以有能量交换。
3-6
三维流动的连续性方程
连续性方程的微分形式
z y o
实质：质量守恒
3-14
流动质点间的相对运动
刚体的运动特点
平移、转动
3-15
流动质点间的相对运动
流体质点的运动特点
3-16
流动质点间的相对运动
一般情况下，任一流体微元的运动可以 分解为三个运动：随同任意极点的平移，对 于通过这个极点的瞬时轴的旋转运动以及变 形运动。
3-17
亥姆霍兹速度分解定理
y
M ( x dx, y dy)
3-33
流体微团的角变形运动
u dy y
u dydt y
B
u
C
d 2
B
C
dy
v
dy
u
O
dx
A
v v dx x
A
d1
O
dx
v dxdt x
3-34
流体微团的角变形运动
变形角：
v dxdt v x d1 tand1 dt dx x u dydt u y d 2 tand 2 dt dy y
xx yy zz
u v w x y z
体积变形速率等于三个方向线变形速率之和。
3-27
流体微团的角变形与旋转运动
B d2
B d2
d x
O
d 1 A
O
d 1 A
只有角变形
只有旋转
d1 d2 d x
3-28
流体微团的角变形与旋转运动
3-21
亥姆霍兹速度分解定理
v v v v0 dx dy x y
在v的表达式中加入
1 u 1 u dx dx 2 y 2 y
得
v 1 v u 1 v u v v0 dy dx dx y 2 x y 2 x y
流体动力学理论基础
流体运动学
本章内容
流体运动的描述方法
流场的基本概念
流体运动的质量守恒方程
流体微团的运动
3-2
三、流体运动的质量守恒方程
连续性、系统和控制体
一维恒定总流的连续性方程
三维流动的连续性方程
3-3
连续性
在流体力学的研究中，把流体看作是连续介
质，即使是在运动流体内部，流体质点也是连续
dmx x
dmx’ dz dy
dx
dt时间内x方向： 流入质量 流出质量 净流出质量
3-7
dmx ux dydzdt
( u x ) dmx u x dx dydzdt x ( u x ) ' M x dm x dm x dxdydzdt x
B d2
d x
既有角变形又有旋转
O
d 1 A
存在不在质点连线方向的速度梯 度是产生旋转和角变形的原因
3-29
流体微团的旋转运动
u dy y
u dydt y
B
u
C
d 2
B
C
dy
v
dy
u
O
dx
A
v v dx x
A
d1பைடு நூலகம்
O
dx
v dxdt x
3-30
流体微团的旋转运动
3-22
亥姆霍兹速度分解定理
M点速度与M0点速度和速度空间变化率
u 1 u v 1 v u dy dy u u0 dx x 2 y x 2 x y v u 1 v u v v v dy 1 dx dx 0 y 2 x y 2 x y
同理
1 w v yz zy 2 y z
1 u w zx xz 2 z x
3-36
流体微团运动的合成
u 1 u v 1 v u dy dy u u0 dx x 2 y x 2 x y v u 1 v u v v v dy 1 dx dx 0 y 2 x y 2 x y
u 0 t
3-9
三维流动的连续性方程
恒定流
u 0 t 0 t
u v w u 0 x y z
3-10
三维流动的连续性方程
不可压缩流体
D u 0 Dt D 0 Dt