【数学】3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式2
第三章 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式 (二)答案
2019-2020学年高一数学必修四校本作业课题：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (二)班级_______姓名________座号________一、选择题1．若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6考点 利用二倍角公式化简求值题点 利用正弦的二倍角公式化简求值答案 D解析 因为tan α＝3，则sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝6.故选D. 2．对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，π2上是递增的B ．f (x )的图象关于原点对称C ．f (x )的最小正周期为2πD ．f (x )的最大值为2解析：显然，函数f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x 是奇函数，所以f (x )的图象关于原点对称． 答案：B3．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，则tan 2α等于( )A.35 B ．－35 C.34 D ．－34考点 和、差角公式的综合应用题点 和、差角公式与其他知识的综合应用答案 D解析 因为a ∥b ，所以3cos α－1×sin α＝0，所以tan α＝3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×31－32＝－34，故选D. 4．函数f (x )＝tan x 1＋tan 2x的最小正周期为( ) A.π4B.π2 C ．πD ．2π解析：f (x )＝tan x 1＋tan 2x ＝sin xcos x 1＋sin 2x cos 2x＝sin x cos x cos 2x ＋sin 2x ＝sin x cos x ＝12sin2x ， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.故选C. 答案：C5．若cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( ) A ．－72 B ．－12 C.12 D.72解析：∵cos2αsin （α－π4）＝cos 2α－sin 2α22sin α－22cos α ＝－2(cos α＋sin α)＝－22， ∴cos α＋sin α＝12. 答案：C6．已知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，若a ＝f (lg 5)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫lg 15，则( ) A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝1考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 利用降幂公式化简求值答案 C解析 f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝1＋sin 2x 2， ∵a ＝f (lg 5)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫lg 15＝f (－lg 5)， ∴a ＋b ＝1＋sin (2lg 5)2＋1－sin (2lg 5)2＝1，a －b ＝1＋sin (2lg 5)2－1－sin (2lg 5)2＝sin(2lg 5)．7．若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是( )A.π4B.π2C.3π4D ．π 考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 辅助角公式与三角函数的综合应用答案 A解析 f (x )＝cos x －sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x ·22－cos x ·22＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，即x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递增， f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递减． ∵函数f (x )在[－a ，a ]上是减函数，∴[－a ，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， ∴0<a ≤π4，∴a 的最大值为π4. 故选A.二、填空题8．已知关于x 的方程3sin x ＋cos x ＝4－m 有解，则实数m 的取值范围是________． 答案 [2,6]解析 ∵3sin x ＋cos x ＝4－m ，∴32sin x ＋12cos x ＝4－m 2， ∴sin π3sin x ＋cos π3cos x ＝4－m 2，∴cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝4－m 2. ∵⎪⎪⎪⎪cos ⎝⎛⎭⎫x －π3≤1，∴⎪⎪⎪⎪4－m 2≤1，∴2≤m ≤6. 9．在△ABC 中，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝513，则cos 2A ＝________. 考点 应用二倍角公式化简求值题点 综合应用二倍角公式化简求值答案 12016910．若f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f (π12)＝________.答案：8解析：f (x )＝2tan x ＋1－2sin 2x 212sin x ＝2tan x ＋2cot x ＝2(sin x cos x ＋cos x sin x) ＝2sin 2x ＋cos 2x sin x cos x＝2sin x cos x ＝4sin2x， ∴f (π12)＝4sin π6＝8. 11．若3π2<α<2π，则12＋1212＋12cos2α的值为________． 答案 －cos α2 解析 12＋1212×2cos 2α＝12＋12|cosα|，因为32π<α<2π，所以|cosα|＝cosα. 所以原式＝12＋12cosα＝cos 2α2. 又因为34π<α2<π，所以原式＝－cos α2. 三、解答题12．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝12.(1)求tan α的值；(2)求sin 2α－cos 2α1＋cos 2α的值． 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 利用简单的三角恒等变换化简求值解 (1)因为tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝12，所以tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－π4 ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－tan π41＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·tan π4＝12－11＋12＝－13. (2)由(1)知，原式＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12 ＝－13－12＝－56. 13．已知函数f (x )＝2sin x ·cos x ＋1－2sin 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值与最小值． 考点 简单的三角恒等变换的应用题点 辅助角公式与三角函数的综合应用解 (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π3≤x ≤π4，所以－5π12≤2x ＋π4≤3π4. 当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取得最大值2； 当2x ＋π4＝－5π12，即x ＝－π3时， f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π3＋cos ⎝⎛⎭⎫－2π3＝－3＋12， 即f (x )的最小值为－3＋12.14．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①f (x )＝2sin x cos x ＋1；②f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4；③f (x )＝sin x ＋3cos x ；④f (x )＝2sin 2x ＋1. 其中是“同簇函数”的有( )A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用答案 C15．在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图3)，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于________．图3解析：由题意有5cos θ－5sin θ＝1，即cos θ－sin θ＝15， ∴sin2θ＝2425，∵0<θ<π4，∴0<2θ<π2， ∴cos2θ＝1－sin 22θ＝725. 答案：725。
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
1 cos2 2 cos2 1 cos 2 2 si n2
(2)原式 = Nhomakorabea sin 20 cos 20
0
0 2
sin 200 cos 200 sin 200 cos 200 ,
0 (3)原式= 2cos2 100 2 cos10 2 cos100
cos 2 2 cos 2 1 1 2 sin 2
1 sin 2 (sin cos ) 2 2 升幂公式： 1 ＋ cos 2 2 cos 1 cos 2 2sin 2 sin 2 sin cos 2 1＋cos 2 2 降幂公式： cos ＝ 2 1－cos 2 2 sin ＝ 2
2 tan tan 2 2 1 tan
( S 2 ) (C 2 ) (T2 )
思考：公式的适用范围是什么？ 注：公式S 2 与C2中 取任意值都成立; k 公式T2中 k 和 , k Z 时才
2 2 4 成立.
二倍角的余弦公式的补充
4 2 2
12 5 cos 2 1 sin 2 1 13 13
2 2
13
5 12 120 sin 4 sin 2 2 2sin 2 cos 2 2 13 13 169 ;
(4)原式 = 2 sin 10
2
0
2 sin100
2 sin100
sin 300 1 (6)原式=1+cos =1+ 2 (5)原式= = 2 4 2 4
总结 1、二倍角正弦、余弦、正切公式的推导 sin 2 2 sin cos R cos 2 cos 2 sin 2 R 2 tan k ,且 k ， tan 2 k Z 2 1 tan 2 2 4 2、注意正 用 、逆用、变形用
用3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式的逆用：
2.倍角公式的拓展
2.倍角公式的拓展
练 习
y A sin( x ) b y A cos( x ) b y A tan( x ) b
这三个式子称为三角函数的标准式。 研究三角函数的性质，需先化为标准式. 三角函数的性质包括： 定义域、值域、单调性、奇偶性、周期、对 称性，等.
已知 tan ＝2，求： 2
练 习
3 12 1.(1)已知 cos α＝－ ，α∈ π， π ， 求sin 2α,cos 2α,tan 2α之值. 13 2 π tan x (2)(2014年江苏卷)已知 tan x＋4 ＝2，则 的值为________． tan 2x 3 12 解析：(1)∵cos α＝－ ，α∈ π，2π ， 13 ∴sin α＝－ 1－cos2α 122 5 ＝－ 1－ －13 ＝－ ， 13 5 12 120 ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2× －13 × －13 ＝ ， 169 5 2 119 2 cos 2α＝1－2sin α＝1－2× －13 ＝ ， 169 sin 2α 120 tan 2α＝ ＝ . cos 2α 119 4 (2) 9
练 习
π 55 3 ．(2011 年全国卷Ⅱ)已知 α∈ 2，π ，sin α＝ ， 4. 55
4 － 则 tan 2α＝________. 3
sin 20° cos 20° 5. 4. 2 的值是( 2 cos 155° －sin 155° 1 A. 2
)
1 3 3 B．－ C. D．－ 2 2 2 1 sin 40° 2 sin 40° 解析：原式＝ ＝ cos 310° 2cos(270° ＋40° )
3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式
π 12 5 又－2＜β＜0 且 sin β ＝－13，∴cos β＝13， ∴cos 2α＝cos[(2α－β)＋β] ＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β 4 5 3 12 56 ＝5×13－5×－13＝65. 9 又 cos 2α＝1－2sin α，∴sin α＝130.
升、降幂公式
1、升幂公式： 2 2 1 sin 2 sin cos 2 sin cos
2 =（sin cos ）
1 cos 2 2 cos 2 1 cos 2 2 sin 2
升幂缩角
2、降幂公式：
1 cos 2 cos 2 1 cos 2 2 sin 2
3.1.3 二倍角的正弦、 余弦、正切公式
平罗中学 石占军
复习两角和（差）的三角公式
C(α β)
cos cos cos sin sin
S(αβ)
sin sin cos cos sin
tan tan tan 1 tan tan
2
降幂扩角
例4.化简
(1) 1 sin 40 ; (2) 1 sin 40 ; (3) 1 cos 20 ; (4) 1 cos 20
变式：如何化简 2 sin 2 cos4呢？
2
变式2.化简 1 sin 1 sin， （0，）.
当 （0， ）时，原式=2sin 2 2 当 （ ，）时，原式=2cos 2 2
2
π 3 12 2．已知 sin(2α－β)＝5，sin β＝－13，且 α∈2，π，β∈ π － ，0，求 sin α 的值． 2 π 解：∵2＜α＜π，∴π＜2α＜2π.
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式(2)
D.
7 9
求 sin 4x 的值． 的最小值,
3.求函数 并求其单调区间.
7π π f ( x ) = 5 3 cos 2 x + 3 sin 2 x − 4sin x cos x ≤ x ≤ 24 4
倍角公式的逆向变换及有关变形:
1.完全平方公式:
1 ± sin 2α = ( sin α ± cos α )2
1 − cos 2α = 2sin 2 α 2 1 + cos 2α = 2 cos α
2.升幂公式:
sin α cos α = 1 s i n 2 α
3.降幂公式:
2
sin 2 α = 1 (1 − cos 2α )
π y = 2 cos 2 x − − 1 4
(2008广东文 5.已知函数 f ( x) = (1 + cos 2 x) sin 2 x, x ∈ R, 广东文) 广东文 已知函数 则 f ( x ) 是( ) A.最小正周期为 π 的奇函数 最小正周期为 π B.最小正周期为 2 的奇函数 最小正周期为 C.最小正周期为 π 的偶函数 最小正周期为 π D.最小正周期为 2 的偶函数 最小正周期为 解析】 【解析】f ( x) = (1 + cos 2 x) sin 2 x = 2 cos 2 x sin 2 x = 1 sin 2 2 x = 1 (1 − cos 4 x ) , 4 2 选D.
2
cos α =
2
1 (1 + cos 2α ) 2
例 填空:
co s150 4 = ______; (1) tan150 + 0 sin15
3,1,3二倍角的正弦,余弦,正切公式
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式[知识探究]二倍角公式S(α+β)S2αC(α+β)C2α利用sin2α+cos2α=1T(α+β)T2α题型一化简求值【例1】求下列各式的值:(1)cosπ12cos5π12;(2)2cos2π12-1;(3)22tan1501tan150-.解:(1)原式=cosπ12sinπ12=12×2cosπ12sinπ12=12sinπ6=14.(2)原式=cos(2×π12)=cosπ6.(3)原式=tan 300°=tan(360°-60°)=-tan 60°题后反思 (1)同角三角函数关系式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等都可应用于三角函数式的化简.在应用时,应找到化简思路后再动手化简.(2)注意观察式子的特点及角之间的特殊关系,灵活运用二倍角公式解题,通过观察角度的关系,发现其特征(二倍角形式),创造条件正用或者逆用二倍角公式,使得问题得以解决.跟踪训练11:(2014公安一中、宜昌一中、沙市一中期末)在直角坐标系xOy 中,若角α的始边为x 轴的非负半轴,终边为射线l:y=2x(x≤0). (1)求tan 2α的值;(2)求22cos 2sin(π)127π)4ααα----的值.解:(1)在终边l 上取一点P(-1,-2),则tan α=21--=2, ∴tan 2α=22tan 1tan αα-=22212⨯-=-43.(2)22cos 2sin(π)127π)4ααα----=cos 2sin π)4ααα++ =cos 2sin cos sin αααα+-=12tan 1tan αα+-=51-=-5. 题型二 条件求值【例2】 (1)设α为锐角,若cos （α+π6）=45,则sin （2α+π12）的值为 .(2)已知sin （π4-x ）=513,0<x<π4,则cos 2πcos()4xx +的值为 . 解析:(1)∵α为锐角, ∴α+π6∈（π6,2π3）.又∵cos（α+π6）=45,∴sin（α+π6）=35,∴sin（2α+π3）=2sin（α+π6）cos（α+π6）=2425,cos（2α+π3）=2cos2（α+π6）-1=725∴α∈（0,π2）,∴sin（2α+π12）=sin[（2α+π3）-π4]=sin（2α+π3）cos π4-cos（2α+π3）sin π4=2425-725.(2)∵0<x<π4,∴0<π4-x<π4.又∵sin（π4-x）=513,∴cos（π4-x）=1213.∵cos 2x=sin（π2-2x）=2sin（π4-x）cos（π4-x）=2cos[π2-（π4-x）]cos（π4-x）=2cos（π4+x）cos（π4-x）,∴cos2πcos()4xx=2cos（π4-x）=2413.答案:(1)(2)2413题后反思 (1)解决给值求值问题的关键是找到已知角与未知角之间的关系并选择恰当的公式求解.(2)遇到角π4±x时可借助诱导公式进行转化求解.如①cos 2x=sin（π2-2x）=2sin（π4-x）cos（π4-x）;②cos 2x=sin （π2+2x ）=2sin （π4+x ）cos （π4+x ）; ③sin 2x=cos （π2-2x ）=2cos 2（π4-x ）-1; ④cos （π4-x ）=sin[π2-（π4-x ）]=sin （π4+x ）;⑤sin （π4-x ）=cos[π2-（π4-x ）]=cos （π4+x ）等. 跟踪训练21:(2014石家庄第一中学期末)已知tan （α+π4）=12,且-π2<α<0,则22sin sin 2πcos()4ααα+-= . 解析:tan （α+π4）=tan 11tan αα+-=12解得tan α=-13, ∵-π2<α<0,∴sin α=∴22sin sin 2πcos()4ααα+-2sin sin cos ααα+.答案 题型三 给值求角【例3】 已知tan(α-β)=12,tan β=-17,且α,β∈(0,π),求2α-β. 解:∵tan α=tan[(α-β)+β] =tan()tan 1tan()tan αββαββ-+--=112711127-⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=13>0,且α∈(0,π),且tan 2α=22tan 1tan αα-=2123113⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭=34. ∵tan β=-17<0,且β∈(0,π), ∴β∈（π2,π）,∴-π<α-β<0.∵tan(α-β)=12>0, ∴-π<α-β<-π2, ∴2α-β=α+(α-β)∈(-π,0). ∵tan(2α-β)=tan 2tan 1tan 2tan αβαβ-+=314731147⎛⎫-- ⎪⎝⎭⎛⎫+⨯- ⎪⎝⎭=1,∴2α-β=-3π4. 题后反思 解决给值求角问题的关键:根据角的取值范围及题目条件中函数名称选择求解一个适当的三角函数值.跟踪训练31:已知A 、B 均为钝角,且sin A=55,sin B=1010求A+B 的值. 解:∵A 、B 均为钝角且sin A=, ∴, , ∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B ×（）, ① 又∵π2<A<π,π2<B<π, ∴π<A+B<2π, ② 由①②得,A+B=7π4. 【自主练习】1. 已知sin 22α+sin 2αcos α-cos 2α=1,α∈（0,π2）.求sin α,tan α的值.解:由倍角公式,得sin 2α=2sin αcos α,cos2α=2cos2α-1,由原式得4sin 2αcos 2α+2sin αcos 2α-2cos2α=0,即2cos 2α(2sin 2α+sin α-1)=0⇔2cos 2α(2sin α-1)(sin α+1)=0.因为α∈（0,π2）,所以sin α+1≠0,cos 2α≠0.所以2sin α-1=0,即sin α=12.所以α=π6.所以2.已知α,β为锐角,且3sin2α+2sin2β=1,3sin 2α-2sin 2β=0.求证α+2β=π2 .证明:由已知得3sin2α=cos 2β,①3sin 2α=2sin 2β.②①②,得tan α=cos2sin2ββ=πsin22πcos22ββ⎛⎫-⎪⎝⎭⎛⎫-⎪⎝⎭=tan（π2-2β）因为α,β为锐角,所以0<β<π2,则0<2β<π,则-π<-2β<0,所以-π2<π2-2β<π2,所以α=π2-2β,即α+2β=π2.3∈(0,π)).解:原式=︱sin2θ+cos2θ︱-︱sin2θ-cos2θ︱.∵θ∈(0,π),∴2θ∈（0,π2）. (1)当2θ∈（0,π4]时,cos 2θ≥sin 2θ>0,此时原式=sin2θ+cos2θ-cos2θ+sin2θ=2sin2θ.(2)当2θ∈（π4,π2）时,cos 2θ<sin 2θ, 此时原式=sin2θ+cos2θ-sin2θ+cos2θ=2cos2θ.4.已知sin α-∈(0,π),则sin 2α等于( A )(A)-1 (D) 1解析:∵sin α-∴(sin α-cos α)2=2, ∴sin 2α=-1,故选A.5.若cos （π4-θ）cos （π4+θ）（0<θ<π2）,则 sin 2θ的值为( B )(A)解析:cos （π4-θ）cos[π2-（π4-θ）]=,即cos （π4-θ）sin （π4-θ）,即12sin （π2-2θ）,∴cos 2θ=3. 又∵0<θ<π2, ∴0<2θ<π,∴sin 2θ. 故选B. 6.已知sin x=14,则cos 2x= . 解析:cos 2x=1-2sin 2x=1-2×（14）2=78. 答案:78课堂小结1.二倍角公式是两角和公式的特例.公式中的“倍角”是相对的.如“α是2的2倍,2α是α的2倍”. 2.二倍角的余弦公式有三个cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α,要注意根据条件选取合适的公式.。
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
将公式变形运用.
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01 课前 自主预习 02 课堂 合作探究 03 课后 讨论探究 04 课时 跟踪训练
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[基础认识] 知识点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 阅读教材 P132～133，思考并完成以下问题 能利用 S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)推导出 sin 2α，cos 2α，tan 2α 的公式吗？
法二：原式＝（ （ssiinn
θ＋cos θ＋cos
θ）2－（cos2θ－sin2θ） θ）2＋（cos2θ－sin2θ）
＝（（ssiinn
θ＋cos θ＋cos
θ）[（sin θ）[（sin
θ＋cos θ＋cos
θ）－（cos θ）＋（cos
θ－sin θ－sin
θ）] θ）]
＝22csions θθ＝tan θ.
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[解析] (1)cos1π2－sin1π2cos1π2＋sin1π2
＝cos21π2－sin21π2＝cosπ6＝
3 2.
(2)2cos 105°cos 15°＝2cos(90°＋15°)cos 15°
＝2(－sin 15°)cos 15°＝－2sin 15°cos 15°
80°
＝sin
40°cos 40°cos 4sin 20°
80°＝sin
80°cos 80° 8sin 20°
＝116·ssiinn12600°°＝116.
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[课后小结] 1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如： 8α 是 4α 的二倍；6α 是 3α 的二倍；4α 是 2α 的二倍；3α 是32α 的二倍；α2是α4的二 倍；α3是α6的二倍；2αn是2nα＋1的二倍(n∈N*)．
3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式2
o
2sin 40 = cos 40 ⋅ o cos10
o
o
sin 80 = =1 o cos10
2011年5月3日星期二
o
1 3 1 、 − o sin 10 cos10o
=4
3、 tan70°cos10°( 3tan20°−1) = −1
2011年5月3日星期二
例3、函数 、
y = (sin x + cos x) + 2 cos x
2011年5月3日星期二
1+ sin2θ − cos2θ 例4 求证： = tanθ 1+ sin2θ + cos2θ
1 + 2 sin θ cos θ − (1 − 2 sin θ ) 证明： 证明：左边 = 2 1 + 2 sin θ cos θ + ( 2 cos θ − 1)
2
2 sin θ (cos θ + sin θ ) sin θ = = 2 cos θ (cos θ + sin θ ) cos θ
2
1 − cos 2α sin α = 2
2
}
降幂升角公式
2011年5月3日星期二
例１
化简
(1) 1−sin40°; (2) 1+ sin40°; (3) 1+ cos20°; (4) 1− cos20°
= cos 20 − sin 20
o
o
= cos 20 + sin 20
o
o
= 2 cos10
cos 2α = 2cos α −1
2பைடு நூலகம்
cos 2α =1− 2sin α
2
课件11：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
所以原式成立．
归纳升华 三角函数式的化简与证明 1．化简三角函数式的要求：(1)能求出值的尽量求出； (2)使三角函数的种类与项数尽量少；(3)次数尽量低．
2．证明三角恒等式的方法：(2)从复杂的一边入手，证明一边 等于另一边；(2)比较法，左边—右边＝0，左 右边 边＝1；(3)分析 法，即从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．
(1)【解析】cos4 α2－sin4 α2＝
cos2
α2－sin2
α2cos2
α2＋sin2
α2＝cos α.
【答案】cos α
(2)解：原式＝cos 20°cos 40°cos 80°＝
2sin
20°cos 20°cos 40°cos 2sin 20°
80°＝
2sin
40°cos 4sin
40°cos 20°
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标 1.能由两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正 弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系(重点)． 2.灵活运用二倍角公式及其不同变形，能正用、逆用公 式，进一步体会化归思想的应用(重点、难点)．
知识提炼·梳理
三角函数
公式
简记
二倍角的正弦 sin 2α＝2sin αcos α S2α cos 2α＝cos2 α－sin2α＝
类型 3 化简与证明 典例 3 求证：(1)cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2A·cos 2B； (2)cos2θ(1－tan2θ)＝cos 2θ.
证明：(1)左边＝1＋cos（22A＋2B）＝1－cos（22A－2B）＝
cos（2A＋2B）＋2 cos（2A－2B）＝
1 2(cos°80°＝
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式【知识导航】1.会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.灵活应用二倍角的正弦、余弦、正切公式解决有关的求值、化简、证明等问题.【知识梳理】【做一做1】已知sin α=3,cos α=4,则sin 2α等于 ()A.7B.12C.12D.24解析:sin2α=2sinαcosα=2425.答案:D【做一做2】已知cos α=13,则cos 2α等于()A.13B.23C.−79D.79解析:cos2α=2cos2α-1=2−1=−7.答案:C【做一做3】已知tan α=3,则tan 2α等于()A.6B.−34C.−38D.98解析:tan2α=2tanα1-tanα=2×31-32=−3.答案:B二倍角公式的变形公式剖析:(1)公式的逆用:2sinαcosα=sin2α;sinαcosα=1sin2α; cosα=sin2α;cos2α-sin2α=cos2α;2tanα1-tan2α=tan2α.(2)公式的有关变形:1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2;1+cos2α=2cos2α;1-cos2α=2sin2α.(3)升幂和降幂公式:升幂公式:1+sinα=sinα2+cosα22;1-sinα=sinα2-cosα22;1+cosα=2cos2α2;1−cosα=2sin2α2.降幂公式:cos2α=1+cos2α2;sin2α=1-cos2α2.【典例分析】题型一利用二倍角公式求值【例1】求下列各式的值:(1)co sπcos2π;(2)12−cos2π8;(3)ta nπ−1tanπ12.分析:第(1)题可根据2π5是π5的2倍构造二倍角的公式求值;第(2)(3)题需将所求的式子变形,逆用二倍角公式化简求值.解:(1)原式=2sinπ5cosπ5cos2π52sinπ5=sin2π5cos2π52sinπ5=sin4π54sinπ=sinπ54sinπ=14.(2)原式=1-2cos2π8=−2cos2π8-1=−12cosπ4=−24.(3)原式=tan2π12-1tanπ12=−2×1-tan2π122tanπ12=-2×1tanπ6=33=-2 3.【变式训练1】求下列各式的值:(1)si nπ12cos π12; (2)1-2sin 2750°; (3)1sin10°− 3cos10°. 解:(1)原式=2sin π12cos π122=sin π62=14.(2)原式=cos(2×750°)=cos1500° =cos(4×360°+60°)=cos60°=1.(3)原式=cos10°- 3sin10°=2 12cos10°- 32sin10°=4(sin30°cos10°-cos30°sin10°)=4sin20°=4.题型二知值求值【例2】已知si n π4-x =513,0<x <π4,求cos2xcos π4+x的值. 分析:注意角的关系 π4+x + π4-x =π2,注意诱导公式的应用cos2x=si n π2+2x ,利用倍角公式解题.解:原式=sin π2+2x cos π4+x=2sin π4+x cos π4+xcos π4+x=2si n π+x .∵si n π-x =cos π+x =5,且0<x <π,∴π+x ∈ π,π,sin π+x = 1-cos 2 π+x =12,∴原式=2×12=24.反思已知某角的三角函数值求值,要认真观察已知角与所求的和或差是特殊角或二倍角等,用诱导公式变形后,利用有关公式求值.【变式训练2】(1)已知si n α-π6 =35,且α是锐角,则sin 2α-π3 =__________,cos 2α-π3 =__________,tan 2α-π=__________;(2)若si n π+θ =30<θ<π,则cos 2θ=__________. 解析:(1)由题意知co s α-π6 =45,∴si n 2α-π3 =2sin α-π6 cos α-π6 =2425,cos 2α-π3 =725,tan 2α-π3 =247. (2)∵si n π4+θ =35,0<θ<π4,∴co s π4+θ =45.∴cos2θ=si n π+2θ =sin2 π+θ=2si n π+θ cos π+θ =2×3×4=24. 答案:(1)24724(2)24题型三化简与证明【例3】化简:(1 3tan10cos70° 1+cos40°(2)2cos 2α-12tan π4-α sin π4+α. 分析:先把切化弦,再结合三角函数公式求解。
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
π，3π， (2)因为 x∈ 2 4
故 cos x＝－ 1－sin x＝－
2
42＝－3. 1－ 5 5
24 7 2 sin 2x＝2sin xcos x＝－ ，cos 2x＝2cos x－1＝－ . 25 25
2x＋π＝sin 2xcosπ＋cos 2xsinπ 所以 sin 3 3 3
二倍角公式与其他知识的综合问题 已知α，β∈ 程x2＋3
－π，π ，tan α与tan β是方 2 2
基础梳理
一、二倍角的正弦、余弦、正切公式 在公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β 中，令 β＝α， 得到 sin 2α＝________，这就是二倍角的正弦公式； 在公式 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β 中，令 β＝α， 得到 cos 2α＝________，这就是二倍角的余弦公式， 其变形形式有：cos 2α＝________＝________；
解法二：
(sin x＋cos x－1)(sin x－cos x＋1)
sin 2x
(sin x＋cos x－1)(sin x－cos x＋1) ＝ (sin x＋cos x)2－1 (sin x＋cos x－1)(sin x－cos x＋1) ＝ (sin x＋cos x＋1)(sin x＋cos x－1)
π tan α＋tan 4 π α＋ ＝ 所以 tan π 4 1－tan αtan 4 4 － ＋1 3 tan α＋1 1 ＝ ＝ ＝－ ； 4 7 1－tan α 1＋ 3 4 (2)由(1), tan α＝－ ， 3 6sin α＋cos α 6tan α＋1 所以 ＝ 3sin α－2cos α 3tan α－2 －4＋1 6 3 7 ＝ ＝ . 4 － －2 6 3 3
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
1－2sin α ； ___________
2
2tan α 1－tan2α (3)T2α：tan 2α＝ ___________.
填一填·知识要点、记下疑难点
3.1.3
本 讲 栏 目 开 关
2．倍角公式常用变形 sin 2α sin 2α sin α ； cos α ， (1) ＝ _______ ＝ ______ 2sin α 2cos α 1± sin 2α ； (2)(sin α± cos α)2＝ _____________ 1－cos 2α 1＋cos 2α 2 2 (3)sin2α＝ ___________ ， cos2α＝ ____________ ； 2α 2α 2sin 2 2cos 2 (4)1－ cos α＝ __________,1＋ cos α＝ ________.
2sin αcos α； cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin α sin α＝cos2α－sin2α； 2tan α tan 2α＝tan(α＋α)＝ . 1－tan2α
研一研·问题探究、课堂更高效
3.1.3
本 讲 栏 目 开 关
问题2 根据同角三角函数的基本关系式 sin2α＋cos2α＝1， 你能否只用 sin α或cos α表示cos 2α？
3.1.3
本 讲 栏 目 开 关
π π 5 π ∵sin －x＝ cos ＋x＝ ，且0<x< ， 4 4 4 13 π π π ∴ ＋x∈ ， ， 4 4 2 π 12 2π ∴sin ＋x＝ 1－cos ＋x＝ ， 4 4 13
本 讲 栏 目 开 关
研一研·问题探究、课堂更高效
3.1.3
本 讲 栏 目 开 关
3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式
3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教学目标1.知识与技能：会以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、 余弦和正切公式；理解推导过程，了解它们的内在联系，并能运用上述公式进行简单的恒等变换。
2.过程与方法：引导学生积极参与到推导过程当中。
3.情感态度价值观：树立辩证思维的能力，培养学生创新能力。
二、教学重点难点重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式。
难点：二倍角的理解及其灵活运用。
三、教学方法1.自主性学习法：通过自学掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式。
2.探究式学习法：通过分析、探索、掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式的过程。
3.反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。
四、设计思路本节课以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程,掌握其应用.运用二倍角公式，首先要准确把握“二倍角”这个概念，明确“倍角”的相对性，它指的是两个角的一个“倍数”关系，不仅仅指2α是α的二倍角，还可以是任意角的二倍角等等。
余弦的二倍角公式有三个，解题时应根据题目条件和需要选取恰当的形式。
本节我们在运用二倍角的正弦、余弦和正切公式时，除了要学生熟记公式外，还要在解题过程中引导学生善于发现规律，学会灵活运用。
五、教学过程 （一）新课导入回忆两角和的正弦、余弦、正切公式：Cos()Cos Cos Sin Sin αβαβαβ+=- Sin()Sin Cos Cos Sin αβαβαβ+=+tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-（二）新课讲授Sin 2?α=Sin()Sin Cos Cos Sin αβαβαβ+=+ 令αβ=，则：Sin()Sin Cos Cos Sin αααααα+=+ 即Sin 22Sin Cos ααβ=Cos2?α=Cos()Cos Cos Sin Sin αβαβαβ+=- 令αβ=，则：Cos()Cos Cos Sin Sin αααααα+=- 即22Cos 2Cos Sin ααβ=-tan 2?α=tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=- 令αβ=，则：tan tan tan()1tan tan αααααα++=- 即22tan tan 21tan ααα=- 二倍角公式：Sin 22Sin Cos ααβ= R α∈ 22Cos 2Cos Sin ααβ=- R α∈22tan tan 21tan ααα=- 24k ππα≠±，且,()2k k Z παπ≠+∈ 对于2C α能否有其它表示形式？ 2Cos 22Cos1αα=-或2Cos 212Sin αβ=-公式理解：1.二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出来，记忆时可联想相应角公式。
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 4 2sin 2 cos 2 5 12 120 2 ( ) ; 13 13 169
cos 4 1 2sin 2 2 5 2 119 1 2 ( ) ; 13 169
tan 4 sin 4 120 169 120 ( ) . cos 4 169 119 119
2 4 , 5
8 D. 25
8 : 5得， cos
7 cos 2 cos 1 . 2 25
2.已知 cos
4 ,8 12, 求 sin , cos , tan 的值. 8 5 4 4 4 3 4 3 解：由 ， cos , 得sin = ， 8 2 8 5 8 5 3 4 24 sin =2sin cos =2 ）（ ） （ = , 4 8 8 5 5 25
2.公式的逆用 例3.求下列各式的值：
(1)sin15 cos15 ;(2) cos
2
8
sin
2
8
;
tan 22.5° (3) ;(4)2 cos 2 22.5° 1. 1 tan 2 22.5°
1 1 1 解：(1)sin15°cos15°= 2sin15°cos15°= sin 30° ; 2 2 4 2 (2) cos 2 sin 2 = cos(2 ) cos ; 8 8 8 4 2 1 2 tan 22.5° tan 22.5° 1 1 2 (3) tan 45° ; 1 tan 2 22.5° 1 tan 2 22.5° 2 2
tan B 2, 2 tan B 2 2 4 tan 2B . 2 2 1 tan B 1 2 3 tan 2A tan 2B tan(2A 2B) 1 tan 2A tan 2B 24 4 44 7 3 . 24 4 还可以把 2A 2B 1 ( ) 117 7 3
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.(重点)2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.(难点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.(易错点)[基础·初探]教材整理 二倍角的正弦、余弦、正切公式 阅读教材P 132～P 133例5以上内容，完成下列问题. 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式2.3.正弦的二倍角公式的变形(1)sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α.(2)1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.( ) (2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立.( ) (3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立.( )【解析】 (1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠π2＋k π(k ∈Z )且α≠±π4＋k π(k ∈Z )，故此说法错误.(2)√.当α＝k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α. (3)×.当cos α＝1－32时，cos 2α＝2cos α.【答案】 (1)× (2)√ (3)×2.已知cos α＝13，则cos 2α等于________.【解析】 由cos α＝13，得cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫132－1＝－79. 【答案】 －79[小组合作型]利用二倍角公式化简三角函数式化简求值. (1)cos 4 α2－sin 4 α2；(2)sinπ24·cos π24·cos π12； (3)1－2sin 2 750°； (4)tan 150°＋1－3tan 2 150°2tan 150°.【精彩点拨】 灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得. 【自主解答】 (1)cos 4 α2－sin 4 α2＝⎝⎛⎭⎫cos 2 α2－sin 2 α2⎝⎛⎭⎫cos 2 α2＋sin 2 α2 ＝cos α.(2)原式＝12⎝⎛⎭⎫2sin π24cos π24·cos π12 ＝12sin π12·cos π12＝14⎝⎛⎭⎫2sin π12·cos π12 ＝14sin π6＝18.∴原式＝18.(3)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12.∴原式＝12.(4)原式＝2tan 2150°＋1－3tan 2 150°2tan 150°＝1－tan 2 150°2tan 150°＝1tan (2×150°)＝1tan 300°＝1tan (360°－60°)＝－1tan 60°＝－33.∴原式＝－33.二倍角公式的灵活运用：(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现.主要形式有： 2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2 α－sin 2 α＝cos 2α，2tan α1－tan 2 α＝tan 2α.(2)公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式.主要形式有：1±sin 2α＝sin 2 α＋cos 2 α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos 2 α，cos 2 α＝1＋cos 2α2，sin 2 α＝1－cos 2α2.[再练一题]1.求下列各式的值： (1)sinπ12cos π12； (2)2tan 150°1－tan 2150°； (3)1sin 10°－3cos 10°； (4)cos 20°cos 40°cos 80°.【解】 (1)原式＝2sin π12cos π122＝sinπ62＝14.(2)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－ 3.(3)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4(sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°)2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.(4)原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°8sin 20°＝sin 160°8sin 20°＝18.利用二倍角公式解决求值问题(1)已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为( ) A.2 B.－2 C.34D.－34(2)已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α的值等于( ) A.79 B.13 C.－79D.－13(3)已知cos α＝－34，sin β＝23，α是第三象限角，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π. ①求sin 2α的值；②求cos(2α＋β)的值. 【精彩点拨】 (1)可先求tan α，再求tan 2α； (2)可利用23π－2α＝2⎝⎛⎭⎫π3－α及π3－α＝π2－⎝⎛⎭⎫π6＋α求值； (3)可先求sin 2α，cos 2α，cos β，再利用两角和的余弦公式求cos(2α＋β). 【自主解答】 (1)因为sin α＝3cos α， 所以tan α＝3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×31－32＝－34. (2)因为cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝13，所以cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π3－α－1 ＝2×⎝⎛⎭⎫132－1＝－79. 【答案】 (1)D (2)C(3)①因为α是第三象限角，cos α＝－34，所以sin α＝－1－cos 2 α＝－74， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－74×⎝⎛⎭⎫－34＝378.②因为β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin β＝23， 所以cos β＝－1－sin 2 β＝－53， cos 2α＝2cos 2 α－1＝2×916－1＝18，所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝18×⎝⎛⎭⎫－53－378×23＝－5＋6724.直接应用二倍角公式求值的三种类型 (1)sin α(或cos α)――→同角三角函数的关系cos α(或sin α)――→二倍角公式sin 2α(或cos 2α).(2)sin α(或cos α)――→二倍角公式cos 2α＝1－2sin 2 α(或2cos 2 α－1). (3)sin α(或cos α)――→同角三角函数的关系⎩⎨⎧cos α(或sin α)，tan α――→二倍角公式tan 2α.[再练一题]2.(1)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，则sin 2α＝______，cos 2α＝________，tan 2α＝________. (2)已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求tan 4α的值. 【导学号：70512043】【解析】 (1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－255，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝⎛⎭⎫－255＝－45，cos 2α＝1－2sin 2 α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35，tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－43. 【答案】 －45 35 －43(2)因为sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α，则已知条件可化为sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝16， 即12sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝16， 所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝13， 所以cos 2α＝13.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以2α∈(π，2π)， 从而sin 2α＝－1－cos 22α＝－223，所以tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－22，故tan 4α＝2tan 2α1－tan 22α＝－421－(－22)2＝427.利用二倍角公式证明求证：(1)cos 2(A ＋B )－sin 2(A －B )＝cos 2A cos 2B ； (2)cos 2θ(1－tan 2θ)＝cos 2θ.【精彩点拨】 (1)可考虑从左向右证的思路：先把左边降幂扩角，再用余弦的和、差角公式转化为右边形式.(2)证法一：从左向右：切化弦降幂扩角化为右边形式；证法二：从右向左：利用余弦二倍角公式升幂后向左边形式转化. 【自主解答】(1)左边＝1＋cos (2A ＋2B )2－1－cos (2A －2B )2＝cos (2A ＋2B )＋cos (2A －2B )2＝12(cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＋cos 2A cos 2B ＋sin 2A sin 2B ) ＝cos 2A cos 2B ＝右边，∴等式成立.(2)法一：左边＝cos 2θ⎝⎛⎭⎫1－sin 2θcos 2θ ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ＝右边. 法二：右边＝cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ ＝cos 2θ⎝⎛⎭⎫1－sin 2θcos 2θ＝cos 2θ(1－tan 2θ)＝左边.证明问题的原则及一般步骤：(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.[再练一题]3.证明：1＋sin 2α2cos 2 α＋sin 2α＝12tan α＋12. 【导学号：00680072】【证明】 左边＝sin 2 α＋cos 2 α＋2sin αcos α2cos 2 α＋2sin αcos α＝(sin α＋cos α)22cos α(sin α＋cos α)＝sin α＋cos α2cos α＝12tan α＋12＝右边.所以1＋sin 2α2cos 2 α＋sin 2α＝12tan α＋12成立. [探究共研型]倍角公式的灵活运用探究1 请利用倍角公式化简：2＋2＋2cos α(2π<α<3π). 【提示】 ∵2π<α<3π， ∴π<α2<3π2，π2<α4<3π4，∴2＋2＋2cos α＝2＋4cos 2α2＝2－2cos α2＝4sin 2α4＝2sin α4.探究2 如何求函数f (x )＝2cos 2x －1－23·sin x cos x (x ∈R )的最小正周期？【提示】 求函数f (x )的最小正周期，可由f (x )＝(2cos 2x －1)－3×(2sin x cos x )＝cos 2x－3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ，知其最小正周期为π.求函数f (x )＝53cos 2x ＋3sin 2x －4sin x cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，7π24的最小值，并求其单调减区间.【精彩点拨】 化简f (x )的解析式→f (x )＝A sin (ωx ＋φ)＋B →ωx ＋φ的范围→求最小值，单调减区间【自主解答】 f (x )＝53·1＋cos 2x 2＋3·1－cos 2x 2－2sin 2x＝33＋23cos 2x －2sin 2x ＝33＋4⎝⎛⎭⎫32cos 2x －12sin 2x＝33＋4⎝⎛⎭⎫sin π3cos 2x －cos π3sin 2x ＝33＋4sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝33－4sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. ∵π4≤x ≤7π24，∴π6≤2x －π3≤π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈⎣⎡⎦⎤12，22， ∴当2x －π3＝π4，即x ＝7π24时，f (x )取最小值为33－2 2.∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在⎣⎡⎦⎤π4，7π24上单调递增， ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，7π24上单调递减.本题考查二倍角公式，辅助角公式及三角函数的性质.解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如y ＝A sin (ωx ＋φ)的形式，再利用函数图象解决问题.[再练一题]4.求函数y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4 x 的最小正周期和最小值，并写出该函数在[0，π]上的单调递减区间.【解】 y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＋23sin x cos x ＝－cos 2x ＋3sin 2x ＝2⎝⎛⎭⎫32sin 2x －12cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 所以T ＝2π2＝π，y min ＝－2.由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z ，又x ∈[0，π]，所以令k ＝0，得函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π3，5π6.1.sin 22°30′·cos 22°30′的值为( ) A.22 B.24C.－22D.12【解析】 原式＝12sin 45°＝24.【答案】 B2.已知sin x ＝14，则cos 2x 的值为( )A.78B.18C.12D.22【解析】 因为sin x ＝14，所以cos 2x ＝1－2sin 2 x ＝1－2×⎝⎛⎭⎫142＝78. 【答案】 A3.⎝⎛⎭⎫cos π12－sin π12⎝⎛⎭⎫cos π12＋sin π12的值为( ) 【导学号：00680073】 A.－32B.－12C.12D.32【解析】 原式＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32.【答案】 D4.已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________.【解析】 sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56. 【答案】 －565.求下列各式的值： (1)cos π5cos 2π5；(2)12－cos 2π8. 【解】 (1)原式＝2sin π5cos π5cos2π52sinπ5＝sin 2π5cos 2π52sin π5＝sin 4π54sin π5＝sin π54sinπ5＝14. (2)原式＝1－2cos 2π82＝－2cos 2π8－12＝－12cos π4＝－24.学业分层测评(二十三) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若sin α＝3cos α，则sin 2αcos 2α＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6【解析】sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝6cos αcos α＝6.【答案】 D2．已知sin α＝23，则cos(π－2α)＝( )A ．－53B ．－19C ．19D ．53【解析】 因为sin α＝23，所以cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2 α)＝－1＋2×⎝⎛⎭⎫232＝－19. 【答案】 B3．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )A ．－34B ．34C ．－43D ．43【解析】 因为sin α＋cos αsin α－cos α＝12，整理得tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×(－3)1－(－3)2＝34.【答案】 B4．若sin x ·tan x <0，则1＋cos 2x 等于( ) A ．2cos x B ．－2cos x C ．2sin xD ．－2sin x【解析】 因为sin x ·tan x <0，所以x 为第二、三象限角，所以cos x <0， 所以1＋cos 2x ＝2cos 2 x ＝2|cos x | ＝－2cos x . 【答案】 B 5．已知cos 2x2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝15，则sin 2x ＝( ) A ．－2425B ．－45C ．2425D ．255【解析】 ∵cos 2x2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝15， ∴cos 2x －sin 2x cos x －sin x ＝15， ∴cos x ＋sin x ＝15，∴1＋sin 2x ＝125，∴sin 2x ＝－2425.【答案】 A 二、填空题6．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值等于___________________________．【导学号：00680074】【解析】 法一：∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725， ∴sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝725. 法二：由sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，得22(sin x －cos x )＝－35，∴sin x －cos x ＝－325，两边平方得 1－sin 2x ＝1825，∴sin 2x ＝725.【答案】7257．已知sin 2α＝14，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，则cos α－sin α＝________. 【解析】 因为α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，所以sin α>cos α，即cos α－sin α<0，又sin 2α＝14，则有 cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2 ＝－1－sin 2α＝－1－14＝－32. 【答案】 －32三、解答题8．化简：tan 70°cos 10°(3tan 20°－1)． 【解】 原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝⎛⎭⎫3sin 20°cos 20°－1＝sin 70°cos 70°·cos 10°·3sin 20°－cos 20°cos 20° ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·2sin (－10°)cos 20°＝－sin 70°cos 70°·sin 20°cos 20°＝－1. 9．已知cos x ＝1010，且x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin 2x 的值． 【解】 ∵cos x ＝1010，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， ∴sin x ＝－1－cos 2x ＝－31010，∴sin 2x ＝2sin x cos x ＝－35，∴22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin 2x ＝22⎝⎛⎭⎫cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－cos 2x 2＝12－12sin 2x ＝12－12×⎝⎛⎭⎫－35＝45. [能力提升]1．已知α，β均为锐角，且3sin α＝2sin β，3cos α＋2cos β＝3，则α＋2β的值为( ) A ．π3B ．π2C ．2π3D ．π【解析】 由题意得⎩⎨⎧sin α＝23sin β， ①cos α＝1－23cos β， ②①2＋②2得cos β＝13，cos α＝79，由α，β均为锐角知，sin β＝223，sin α＝429， ∴tan β＝22，tan α＝427，∴tan 2β＝－427，∴tan(α＋2β)＝0.又α＋2β∈⎝⎛⎭⎫0，32π， ∴α＋2β＝π.故选D ． 【答案】 D2．已知函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12.(1)求函数f (x )的最小正周期和值域； (2)若f (α)＝3210，求sin 2α的值．【解】 (1)因为f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12＝12(1＋cos x )－12sin x －12＝22cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 所以函数f (x )的最小正周期为2π，值域为⎣⎡⎦⎤－22，22. (2)由(1)知，f (α)＝22cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝3210， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35， 所以sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－1825＝725.。
课件8：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
θ 2>0.
∴原式＝sin
θ2＋cos
θ2－cos
θ2－sin
2θ＝2sin
θ 2.
归纳点评 (1)三角函数中常用的解题技巧——“变次”．
本题用到了二倍角正弦和余弦的两个重要的变形：
1±sin α＝(sin
α 2±cos
α2)2，
1＋cos α＝2cos2α2，1－cos α＝2sin2α2.
(2)含有根号的式子化简，脱掉根号时要注意符号问题．
－cos π6＝－ 23.故选 C.
3．设 sin 2α＝－sin α，α∈2π，π，则 tan 2α 的值是_____． 【解析】∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，α∈2π，π， ∴cos α＝－12，sin α＝ 23.∴tan α＝－ 3，则 tan 2α＝ 12－tatannα2α＝ 3. 【答案】 3
17－15sin 2β≤4 2. 又当 β＝－π4时，等号成立，所以|b＋c|的最大值为 4 2.
(3)证明：由 tan αtan β＝16，得4scionsβα＝4scionsαβ， 所以 a∥b.
归纳点评 对向量的垂直，平等，模概念要清楚，记 忆防止混乱而出错．对三角函数的基本关系式应熟悉 掌握．
4．已知 sin π4＋xsin π4－x＝61，x∈π2，π，求 sin 4x， cos 4x，tan 4x 的值． 解：sin π4－x＝sin[π2－π4＋x]＝cos π4＋x， ∴2sin π4＋xcos π4＋x＝13， 即 sin 2π4＋x＝31，sin π2＋2x＝13，
∴cos 2x＝13.又 x∈π2，π，∴2x∈(π，2π)，
2α，sin2α＝1－c2os
2α .
【数学】3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式2
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。 谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试 成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的 成绩一直稳定在年级前5名左右。
思考4：如何推导sin3α ，cos3α 与α 的 三角函数关系？
探究（二）：二倍角公式的变通
思考1：1＋sin2α 可化为什么？
1＋sin2α ＝(sinα ＋cosα )2
思考2：根据二倍角的余弦公式，sinα ， cosα 与cos2α 的关系分别如何？ 1 - cos 2a 2 sin a = 2 1 + cos 2a 2 cos a = 2
sin2α ＝2sinα cosα ；
.
cos2α ＝cos2α －sin2α ；
2 tan tan 2 2 1 tan
思考2：上述公式称为倍角公式，分别记 作S2α ，C2α ，T2α ，利用平方关系，二倍 角的余弦公式还可作哪些变形？ cos2α ＝2cos2α －1＝1－2sin2α 思考3：在二倍角的正弦、余弦和正切 公式中，角α 的取值范围分别如何？
上海 2006 高考 理科 状元-武亦 文
武亦文 格致中学理科班学生 班级职务：学习委员 高考志愿：复旦经济 高考成绩：语文127分 数学142分 英语144分 物理145分 综合27分 总分585分
“一分也不能少”
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式(2)
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式整体设计一、教学分析"二倍角的正弦、余弦、正切公式〞是在研究了两角和与差的三角函数的根底上,进一步研究具有"二倍角〞关系的正弦、余弦、正切公式的,它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化,又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具、通过对二倍角的推导知道,二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律、通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想、因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容,对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α =β时的简化,让学生在探究中既感到自然、易于接受,还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系,同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想.这一切教师要引导学生自己去做,因为,<数学课程标准>提出："要让学生在参与特定的数学活动,在具体情境中初步认识对象的特征,获得一些体验〞.在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习,更不要再补充一些较为复杂的积化和差或和差化积的恒等变换,否那么就违背了新课标在这一章的编写意图和新课改精神.1．知识与技能：通过让学生探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解,培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.2．过程与方法：通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用,会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一根本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用.使学生进一步掌握联系变化的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.3．情感态度与价值观：通过本节学习,引导学生领悟寻找数学规律的方法,培养学生的创新意识,以及善于发现和勇于探索的科学精神.三、重点难点教学重点：二倍角公式推导及其应用.教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式.四、课时安排1课时五、教学设想(一)导入新课思路1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式,并回忆这组公式的来龙去脉,然后让学生默写这六个公式.教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?今天,我们进一步探讨一下二倍角的问题,请同学们思考一下,应解决哪些问题呢?由此展开新课.(二)推进新课、新知探究、提出问题①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗?(请学生默写出来,并由一名学生到黑板默写)②你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α =β吗?此时公式变成什么形式?④细心观察二倍角公式结构,有什么特征呢?⑤能看出公式中角的含义吗?思考过公式成立的条件吗?⑥让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角,学生答复等号另一边括号内的角,稍后两人为一组,做填数游戏：sin( ) =2sin( )cos( ) ,cos( ) =cos2( ) -sin2( ).⑦思考过公式的逆用吗?想一想C2α还有哪些变形?⑧请思考以下问题：sin2α =2sinα吗?cos2α =2cosα吗?tan2α =2tanα ?活动：问题①,学生默写完后 ,教师打出课件 ,然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式 ,提醒学生注意公式中的α,β ,既然可以是任意角 ,怎么任意的 ?你会有些什么样的奇妙想法呢 ?并鼓励学生大胆试一试.如果学生想到α,β会有相等这个特殊情况 ,教师就此进入下一个问题 ,如果学生没想到这种特殊情况 ,教师适当点拨进入问题② ,然后找一名学生到黑板进行简化 ,其他学生在自己的座位上简化、教师再与学生一起集体订正黑板的书写 ,最|后学生都不难得出以下式子 ,鼓励学生尝试一下 ,对得出的结论给出解释.这个过程教师要舍得花时间 ,充分地让学生去思考、去探究 ,并初步地感受二倍角的意义.同时开拓学生的思维空间 ,为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉. sin(α +β) =sinαcosβ +cosαsinβsin2α =2sinαcosα (S 2α ); tan(α +β) =)(tan 1tan 22tan tan tan 1tan tan 22ααααβαβαT -=⇒-+ 这时教师适时地向学生指出 ,我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦 ,余弦 ,正切公式 ,并指导学生阅读教科书 ,确切明了二倍角的含义 ,以后的 "倍角〞专指 "二倍角〞、教师适时提出问题③ ,点拨学生结合sin 2α +cos 2α =1思考,因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式.这时教师点出 ,这些公式都叫做倍角公式 (用多媒体演示 ).倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.问题④,教师指导学生 ,这组公式用途很广 ,并与学生一起观察公式的特征与记忆 ,首|先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式 ,右边是α的三角函数的二次式 ,即左到右→升幂缩角 ,右到左→降幂扩角、二倍角的正弦是单项式 ,余弦是多项式 ,正切是分式.问题⑤,因为还没有应用 ,对公式中的含义学生可能还理解不到位 ,教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这里的 "倍角〞专指 "二倍角〞,遇到 "三倍角〞等名词时, "三〞字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S 2α),(C 2α)中的角α没有限制 ,都是α∈R .但公式(T 2α)需在α≠21kπ +4π和α≠kπ +2π(k ∈Z )时才成立 ,这一条件限制要引起学生的注意.但是当α =kπ +2π,k ∈Z 时,虽然tanα不存在,此时不能用此公式 ,但tan2α是存在的,故可改用诱导公式.问题⑥,填空是为了让学生明了二倍角的相对性 ,即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其他如4α是2α的二倍,2a 是4a 的二倍,3α是23a 的二倍,3a 是6a 的二倍 ,2π -α是4π -2a 的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式.例如:sin 2a =2sin 4a cos 4a ,cos 3a =cos 26a -sin 26a 等等. 问题⑦,本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用 ,这点教师更要提醒学生引起足够的注意.如:sin3αcos3α =21sin6α ,4sin 4a cos 4a =2(2sin 4a cos 4a ) =2sin 2a ,40tan 140tan 22- =tan80° ,cos 22α -sin 22α =cos4α ,tan2α =2tanα(1 -tan 2α)等等. 问题⑧,一般情况下:sin2α≠2sinα,cos2α≠2cosα,tan2α≠2tanα.假设sin2α =2sinα,那么2sinαcosα =2sinα,即sinα =0或cosα =1,此时α =kπ(k ∈Z ).假设c os2α =2cosα,那么2cos 2α -2cosα -1 =0,即cosα =231-(cosα =231+舍去). 假设tan2α =2tanα,那么aa 2tan 1tan 2- =2tanα,∴tanα =0,即α =kπ(k ∈Z ).解答：① -⑧ (略 )(三 )应用例如思路1例1 sin2α =135,4π<α<2π,求sin4α,cos4α,tan4α的值. 活动：教师引导学生分析题目中角的关系 ,观察所给条件与结论的结构 ,注意二倍角公式的选用 ,领悟 "倍角〞是相对的这一换元思想.让学生体会 "倍〞的深刻含义 ,它是描述两个数量之间关系的.此题中的条件给出了2α的正弦值.由于4α是2α的二倍角,因此可以考虑用倍角公式.本例是直接应用二倍角公式解题 ,目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用 ,理解二倍角的相对性 ,教师大胆放手 ,可让学生自己独立探究完成.解:由4π<α<2π,得2π<2α<π. 又∵sin2α =135, ∴cos2α =a 2sin 12-- =1312)135(12-=--. 于是sin4α =sin[2×(2α)] =2sin2αcos2α =2×135×(1312-) =169120-; cos4α =cos[2×(2α)] =1 -2sin 22α =1 -2×(135)2 =129119; tan4α =a a 4cos 4sin =( -169120)×119169 =119120-. 点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法 ,但要提醒学生注意,在解题时注意优化问题的解答过程 ,使问题的解答简捷、巧妙、标准 ,并到达熟练掌握的程度.本节公式的根本应用是（高|考）的热点.变式训练1.不查表,求值:sin15° +cos15°.解:原式 =2615cos 15sin 215sin )15cos 15(sin 222=++=+ 点评：此题在两角和与差的学习中已经解决过 ,现用二倍角公式给出另外的解法 ,让学生体会它们之间的联系 ,体会数学变化的魅力.2.(2007年（高|考）海南卷,9) 假设22)4sin(2cos -=-πa a,那么cosα +sinα的值为……( ) A.27- B.21- C.21 D.27 答案:C3.(2007年（高|考）重庆卷,6) 以下各式中,值为23的是( ) A.2sin15° -cos15°B.cos 215° -sin 215°C.2sin 215° -1D.sin 215° +cos 215°答案:B例2 证明θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+ =tanθ. 活动：先让学生思考一会 ,鼓励学生充分发挥聪明才智 ,战胜它 ,并力争一题多解.教师可点拨学生想一想 ,到现在为止 ,所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简 ,中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决 ,有时几种方法会同时使用等.对找不到思考方向的学生 ,教师点出：可否再添加一种 ,化倍角为单角 ?这可否成为证明三角恒等式的一种方法 ?再适时引导 ,前面学习同角三角函数的根本关系时曾用到 "1〞的代换 ,对 "1〞的妙用大家深有体会 ,这里可否在 "1〞上做做文章 ? 待学生探究解决方法后 ,可找几个学生到黑板书写解答过程 ,以便对照点评及给学生以启发.点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓励.强调 "1〞的妙用很妙 ,妙在它在三角恒等式中一旦出现 ,在证明过程中就会起到至|关重要的作用 ,在今后的证题中 ,万万不要无视它.证明:方法一:左 =)1cos 21(cos sin 2)cos 211(cos sin 2)2cos 1(2sin )2cos 1(2sin 22-++-++=+-+θθθθθθθθθθ =θθθθθθ22cos cos sin cos 1cos sin +-+ =θθθθθθ22cos cos sin sin cos sin ++ )cos (sin cos )sin (cos sin θθθθθθ++ =tanθ =右. 所以,原式成立.方法二:左 =θθθθθθθθθθθθθθ22222222222cos 22sin sin 22sin sin cos 2sin cos sin cos sin sin cos sin ++=-+++-+++ =)cos (sin cos 2)cos (sin sin 2θθθθθθ++ =tanθ =右. 方法三:左 =)sin (cos )cos sin 2cos (sin )sin (cos )cos sin 2cos (sin 2cos )2sin 1(2cos )2sin 1(22222222θθθθθθθθθθθθθθθθ-+•++--•++=++-+ =)sin )(cos sin (cos )cos (sin )sin )(cos sin (cos )cos (sin 22θθθθθθθθθθθθ-+++-+-+ =)sin cos cos )(sin cos (sin )cos sin cos )(sin cos (sin θθθθθθθθθθθθ-+++-+++ =θθθθθθcos 2)cos (sin sin 2)cos (sin •+•+ =tanθ =右. 点评：以上几种方法大致遵循以下规律：首|先从复杂端化向简单端；第二 ,化倍角为单角 ,这是我们今天刚刚学习的；第三 ,证题中注意对数字的处理 ,尤其 "1〞的代换的妙用 ,请同学们在探究中仔细体会这点.在这道题中通常用的几种方法都用到了 ,不管用哪一种方法 ,都要思路清晰 ,书写标准才是.思路2例1 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.活动：本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题 ,有一定难度 ,但也是训练学生思维能力的一道好题.此题需要公式的逆用 ,逆用公式的先决条件是认识公式的本质 ,要善于把表象的东西拿开 ,正确捕捉公式的本质属性 ,以便合理运用公式.教学中教师可让学生充分进行讨论探究 ,不要轻易告诉学生解法 ,可适时点拨学生需要做怎样的变化 ,又需怎样应用二倍角公式.并点拨学生结合诱导公式思考.学生经过探索发现 ,如果用诱导公式把10° ,30° ,50° ,70°正弦的积化为20°,40°,60°,80°余弦的积,其中60°是特殊角,很容易发现40°是20°的2倍,80°是40°的2倍,故可考虑逆用二倍角公式.解:原式 =cos80°cos60°cos40°cos20°= 20sin 2280cos 40cos 20cos 20sin 233•• =.16120sin 1620sin 20sin 16160sin == 点评：二倍角公式是中学数学中的重要知识点之一 ,又是解答许多数学问题的重要模型和工具 ,具有灵活多变 ,技巧性强的特点 ,要注意在训练中细心体会其变化规律.例2 在△ABC 中,cosA =54,tanB =2,求tan(2A +2B)的值. 活动：这是本节课本上最|后一个例题 ,结合三角形 ,具有一定的综合性,同时也是和与差公式的应用问题.教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题,会带来一些隐含的条件,如 A +B +C =π,0<A<π,0<B<π,0<C<π,就是其中的一个隐含条件.可先让学生讨论探究 ,教师适时点拨.学生探究解法时教师进一步启发学生思考由条件到结果的函数及角的联系.由于对2A +2B 与A,B 之间关系的看法不同会产生不同的解题思路,所以学生会产生不同的解法 ,不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合运用 ,本质上没有区别.不管学生的解答正确与否 ,教师都不要直接干预.在学生自己尝试解决问题后,教师可与学生一起比拟各种不同的解法 ,并引导学生进行解题方法的归纳总结.根底较好的班级|还可以把求tan(2A +2B)的值改为求tan2C 的值.解：方法一:在△ABC 中,由cosA =54,0<A<π,得 sinA =.53)54(1cos 122=-=-A 所以tanA =A A cos sin =53×45 =43, tan2A =724)43(1432tan 1tan 222=-⨯=-A A 又tanB =2,所以tan2B =.342122tan 1tan 222-=-⨯=-B B于是tan(2A +2B) =.17744)34(7241347242tan 2tan 12tan 2tan =-⨯--=-+B A B A 方法二:在△ABC 中,由cosA =54,0<A<π,得 sinA =.53)54(1cos 122=-=-A 所以tanA ==A A cos sin 53×45 =43.又tanB =2, 所以tan(A +B) =2112431243tan tan 1tan tan -=⨯-+=-+B A B A 于是tan(2A +2B) =tan[2(A +B)]=.11744)211(1)211(2)(tan 1)tan(222=---⨯=+-+B A B A 点评：以上两种方法都是对倍角公式、和角公式的联合运用,本质上没有区别,其目的是为了鼓励学生用不同的思路去思考,以拓展学生的视野.变式训练解：原式＝aa a a a a 2cos 2sin 22sin 22cos 2sin 22cos 222++ =)2cos 2(sin 2sin 2)2sin 2(cos 2cos 2a a a a a a ++ =cot2α.(四 )知能训练(2007年（高|考）四川卷,17) cosα =71,cos(α -β) =1413,且0<β<α<2π, (1)求tan2α的值;(2)求β.解:(1)由cosα =71,0<α<2π,得sinα =a 2cos 1- =.734)71(12=- ∴tanα =a a cos sin =17734⨯ =43.于是tan2α =.4738tan 1342tan 1tan 222-=-⨯--aa a (2)由0<α<β<2π,得0<α -β<2π. 又∵cos(α -β) =1413,∴sin(α -β) =.1433)1413(1)(cos 122=-=--βa由β =α -(α -β),得cosβ =cos ［α -(α -β)］ =cosαcos(α -β) +sinαsin(α -β) =71×1413 +1433734⨯ =21. ∴β =3π. 点评:此题主要考查三角恒等变形的主要根本公式、三角函数值的符号,三角函数值求角以及计算能力. (五 )课题小结1.先由学生回忆本节课都学到了什么 ?有哪些收获 ?对前面学过的两角和公式有什么新的认识 ?对三角函数式子的变化有什么新的认识 ?怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.2.教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导 ,明白从一般到特殊的思想 ,并要正确熟练地运用二倍角公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系 ,一个题目能给出多种解法 ,从中比拟最|正确解决问题的途径 ,以到达优化解题过程 ,标准解题步骤 ,领悟变换思路 ,强化数学思想方法之目的.。
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2.二倍角公式及其变形各有不同的特点 和作用，解题时要注意公式的灵活运用， 在求值问题中，要注意寻找已知与未知 的联结点.
3.二倍角公式有许多变形，不要求都记 忆，需要时可直接推导.
例3 化简 (sin 2x + cos 2x - 1)(sin 2x - cos 2x + 1)
sin 4x
tanx
1 例4 已知 sin a + cos a = ，且α ∈(0， 3
π )，求cos2α 的值.
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小结作业
1.角的倍半关系是相对而言的, 2 α 是 α 的两倍, 4α 是2α 的两倍, 2 是 4 的两 倍等等，这里蕴含着换元的思想.
问题提出
1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 分别是什么？
2. 4 是特殊角，4 与 8 是倍半关系，利 用上述公式可以求 8 的三角函数值.如果 能推导一组反映倍半关系的三角函数公 式，将是很有实际意义的.
探究（一）：二倍角基本公式
思考1：两角和的正弦、余弦和正切公式 都是恒等式，特别地，当β ＝α 时，这 三个公式分别变为什么？
思考4：如何推导sin3α ，cos3α 与α 的 三角函数关系？
探究（二）：二倍角公式的变通
思考1：1＋sin2α 可化为什么？
1＋sin2α ＝(sinα ＋cosα )2
思考2：根据二倍角的余弦公式，sinα ， cosα 与cos2α 的关系分别如何？ 1 - cos 2a 2 sin a = 2 1 + cos 2a 2 cos a = 2
思考3：tanα 与sin2α ，cos2α 之间是 否存在某种关系？
1 - cos 2a t an a = 1 + cos 2a
2
sin 2 1 cos 2 tan 1 cos 2 sin 2
思考4：sin2α ，cos2α 能否分别用 tanα 表示？
1 - t an a cos 2a = 2 1 + t an a
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2
2 t an a sin 2a = 2 1 + t an a
理论迁移
，4 2 求 sin 4， cos 4， tan 4 的值. 例1 已知
4 例2 在△ABC中,cos A = , t an B = 2, 55 sin 2 13
求 t an 2C 的值.
44 117
sin2α ＝2sinα cosα ；
.
cos2α ＝cos2α －sin2α ；
2 tan tan 2 2 1 tan
思考2：上述公式称为倍角公式，分别记 作S2α ，C2α ，T2α ，利用平方关系，二倍 角的余弦公式还可作哪些变形？ cos2α ＝2cos2α －1＝1－2sin2α 思考3：在二倍角的正弦、余弦和正切 公式中，角α 的取值范围分别如何？