基本不等式完整版(非常全面)

基本不等式专题辅导
一、知识点总结
1、基本不等式原始形式
（1）若R b a ∈,，则ab b a 22
2
≥+
（2）若R b a ∈,，则2
2
2b a ab +≤
2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*
,R b a ∈，则ab b a 2≥+
3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*
,R b a ∈，则
ab b
a ≥+2
（2）若*,R b a ∈，则2
2⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab
总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；
特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=”
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”
5、常用结论 （1）若0x >，则1
2x x
+≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1
2x x
+
≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a
b b a (当且仅当b a =时取“=”）
（4）若R b a ∈,，则2)2(2
22b a b a ab +≤
+≤ （5）若*
,R b a ∈，则
22111
22b a b a ab b a +≤+≤≤+
特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式
（1）若,,,a b c d R ∈，则2
2
2
2
2
()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：
22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++
（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有 2222222二、题型分析
题型一：利用基本不等式证明不等式
1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥
b
a 112+
2、已知
c
b a ,,为两两不相等的实数，求证：
ca bc ab c b a ++>++222
3、已知1a b c ++=，求证：222
13
a b c ++≥ 4、已知,,a b c R
+
∈，且1a b c ++=，求证：
abc c b a 8)1)(1)(1(≥---
5、已知,,a b c R
+
∈，且1a b c ++=，求证：
1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:
(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222
1a b c b c a
++≥.
7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 2
2
3
3
22-≥-
题型二：利用不等式求函数值域
1、求下列函数的值域 （1）22
21
3x
x y += （2）)4(x x y -=
（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1
<+=x x
x y
题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）
1、已知2>x ，求函数4
24
42-+-=x x y 的最小值；
变式1：已知2>x ，求函数4
24
2-+=x x y 的最小值；
变式2：已知2<x ，求函数4
24
2-+=x x y 的最大值；
练习：1、已知54x >，求函数14245
y x x =-+-的最小值；
2、已知5
4x <，求函数14245
y x x =-+-的最大值；
题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）
1、当时，求(82)y x x =-的最大值；
变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；
变式2：设2
3
0<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

2、若02<<x ，求y x x =-()63的最大值；
变式：若40<<x ，求)28(x x y -=的最大值；
3、求函数)2
5
21(2512<<-+-=x x x y 的最大值；
（提示：平方，利用基本不等式）
变式：求函数)4
1143(41134<<-+-=x x x y 的最大值；
题型五：巧用“1”的代换求最值问题
1、已知12,0,=+>b a b a ，求t a b
=+11
的最小值；
法一：
法二：
变式1：已知22,0,=+>b a b a ，求t a b
=+11
的最小值；
变式2：已知28
,0,1x y x y
>+=，求xy 的最小值；
变式3：已知0,>y x ，且11
9x y
+=，
求x y +的最小值。

变式4：已知0,>y x ，且19
4x y
+=，求x y +的最小值；
变式5： （1）若0,>y x 且12=+y x ，求11
x y
+的最小值；
（2）若+
∈R y x b a ,,,且1=+y
b x a ，求y x +
的最小值；
变式6：已知正项等比数列{}n a 满足：5672a a a +=，若存在两项n m a a ,，使得14a a a n m =，求n
m 4
1+的最小值；
题型六：分离换元法求最值（了解）
1、求函数)1(1
10
72-≠+++=
x x x x y 的值域；
变式：求函数)1(1
8
2>-+=
x x x y 的值域；
2、求函数5
22
++=x x y 的最大值；（提示：换元法）
变式：求函数9
41
++=x x y 的最大值；
题型七：基本不等式的综合应用
1、已知1log log 22≥+b a ，求b
a
93+的最小值
2、（2009天津）已知0,>b a ，求ab b a 211++的最小值；
变式1：（2010四川）如果0>>b a ，求关于b a ,的表达式)
(112
b a a ab a -++的最小值；
变式2：（2012湖北武汉诊断）已知，当1,0≠>a a 时，函数1)1(log +-=x y a 的图像恒过定点A ，若点A 在直线0=+-n y mx 上，求n
m
24+的最小值；
3、已知0,>y x ，822=++xy y x ，求y x 2+最小值；
变式1：已知0,>b a ，满足3++=b a ab ，求ab 范围；
变式2：（2010山东）已知0,>y x ，
3
1
2121=+++y x ，求xy 最大值；（提示：通分或三角换元）
变式3：（2011浙江）已知0,>y x ，12
2
=++xy y x ，求xy 最大值；
4、（2013年山东（理））设正实数z y x ,,满足
04322=-+-z y xy x ,则当
z
xy
取得最大值时,
z
y x 2
12-+的最大值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．
4
9
D ．3 （提示：代入换元,利用基本不等式以及函数求最值）
变式：设z y x ,,是正数，满足032=+-z y x ，求xz
y 2
的
最小值；
题型八：利用基本不等式求参数范围
1、（2012沈阳检测）已知0,>y x ，且9
)1)((≥++y
a
x y x 恒成立，求正实数a 的最小值；
2、已知0>>>z y x 且
z
x n z y y x -≥-+-11恒成立，如果+
∈N n ，求n 的最大值；（参考：4） （提示：分离参数，换元法）
变式：已知0,>b a 满则24
1=+b
a ，若c
b a ≥+恒成立，求
c 的取值范围；
题型九：利用柯西不等式求最值
1、二维柯西不等式
),,,,(时等号成立；即当且仅当bc ad d
b
c a R
d c b a ==∈2
2
2
2
2
2、二维形式的柯西不等式的变式
bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1(
),,,,(时等号成立；即当且仅当bc ad d
b
c a R
d c b a ==∈
bd
ac d c b a +≥+⋅+2222)2(
),,,,(时等号成立；即当且仅当bc ad d
b
c a R
d c b a ==∈
2)())()(3(bd ac d c b a +≥++
),0,,,(时等号成立；即当且仅当bc ad d
b
c a
d c b a ==≥
3、二维形式的柯西不等式的向量形式
βαβα≤
),,,0(等号成立时使或存在实数当且仅当→
→
→
→
==ββk a k
4、三维柯西不等式
若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：
22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++
),,(3
32211时等号成立当且仅当b a b a
b a R b a i i ==∈
5、一般n 维柯西不等式
设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有: 22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)22212)n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+
),,(22
11时等号成立当且仅当
n
n i i b a b a b a R b a ΛΛ==∈
题型分析
题型一：利用柯西不等式一般形式求最值
1、设,,x y z R ∈，若2
2
2
4x y z ++=，则z y x 22+-的析：]2)2(1)[()22(2
222222+-+++≤+-z y x z y x
3694=⨯=
∴z y x 22+-最小值为6-
此时
3
22)2(16221222-=+-+-==-=z y x ∴ 32-=x ，34=y ，3
4-=z
2、设,,x y z R ∈，226x y z --=，求2
2
2
x y z ++的最小值m ，并求此时,,x y z 之值。

Ans ：)3
4
,32,34(),,(;4--==z y x m
3、设,,x y z R ∈，332=+-z y x ，求2
2
2
)1(z y x +-+之最小值为 ，此时=y （析：0)1(32332=+--⇔=+-z y x z y x ）
4、（2013年湖南卷（理））已知,,,236,a b c a b c ∈++= 则2
2
2
49a b c ++的最小值是 (12:Ans )
5、（2013年湖北卷（理））设
,,x y z R ∈,且满
足:2221x y z ++=,2314x y z ++=,求z y x ++的值；
6、求φθφθθcos cos sin cos 3sin 2-+ 的最大值与最小值。

（Ans ：最大值为22，最小值为 -22） 析：令→a = (2sin θ，3cos θ，- cos θ)，→
b = (1，sin φ，cos φ)。