压杆稳定性--工程力学

FN
1 1.732 10 3 AB为大柔度杆 108 P i 2 16 EI F 118 n cr 4.42 [n ] 3 Fcr 118 kN 2 FN 26 .6 st l AB杆满足稳定性要求22
l
10.4.2 提高压杆稳定性的措施
l
气缸 A 活塞 B 活塞杆
十字头
l1
不能减小长度时，也可在中间加支座。
管坯
顶杆
抱辊
24
10.4.2 提高压杆稳定性的措施
1.尽量减小压杆的长度
P 若杆为细长杆
P
l
Fcr
Fcr
2 EI
l2
2 EI
l2
若杆仍为细长杆
2 EI
l/2
l/2
l 2
2
4
2.加强约束的牢固性
杆端约束越强，值越小，临界载荷越大。
两端铰支 一端铰支 一端固定 两端固定
一端固定、一 端可移动不可 转动
挠 曲 线 图 形
长度系数
Fcr
l
Fcr
Fcr
Fcr
Fcr
l
l
l
l
2
1
0.7
0.5
1
1、Fcr∝EI
2、杆端约束越强，Fcr越大。
9
利用欧拉公式计算放入实验 架中的两端铰接的钢板尺的临 界压力
长600mm 横截面 32mm×1mm
Fcr cr A 234

4
452 372 KN
17
例： 一矩形截面杆，两端为柱铰。材料为Q235 ，E=210GPa，截面边长
b=40mm ，h=60mm，。求临界载荷。
y F 2000
z
F x b z h y x
F
F
解： （1）在xy面，两端铰支=1，若失稳弯曲，z为中性轴。
式为过渡状态。
临界状态
F>Fcr压杆失稳 丧失稳定
Fcr临界载荷
6
由上述讨论得：
1、临界载荷是压杆保持稳定平衡的最大力，也是使压杆 失稳的最小力。
2、要保证压杆的稳定性，必须使压杆所受的轴向压力小 于临界载荷。
压杆的稳定问题转化为求临界载荷的问题。
7
10.2 细长压杆的临界载荷欧拉公式
10.2.1两端铰支、细长压杆的临界载荷
1l
i1

2l
i2
11
1.欧拉公式的适用范围大柔度杆（细长杆）
欧拉公式 所以： 由此可见：
M EI
M EI
1
弹性范围： P
E
2E cr 2 P
从而：
2E P P
当 大于P时才可用欧拉公式计算临界载荷。 称 大于P的压杆为细长杆或大柔度压杆。
i
I d A 4

l
l
i

1 l 4 703 62.5 d 45 4
对于A3钢： s =61.6 < <P=102，属于中柔度杆。 （2）由杆的类型选用公式 用直线公式 临界载荷为
A3钢 cr 304 1.12 304 1.12 62.5 234 MPa
25
10.4.2 提高压杆稳定性的措施 3.选择合理截面
（1）压杆在各纵向平面约束相同时 a、各方向惯性矩I相等：采用正方形、圆形截面。 采用空心截面。 b、增大惯性矩I： 角钢
缀条
（2）压杆在各纵向平面约束不同时： 采用两个主惯性矩不同的截面，如矩形、工字形等。
尽量使杆在两纵向平面内稳定性相同或接近。即使 y=z。
第10章 压杆稳定
塑性材料 lim＝ s，过大塑性变形 脆性材料 lim ＝ b，断裂 相应的强度条件
轴向拉压杆的强度失效
lim FN A n
只适用于拉杆和“粗短”的压杆。
F
对于“细长”的压杆，失效的形式与上述强度失效不同。 直杆受压变弯的现象，称为失稳。
——压杆的一种失效形式。
a s s b
材料常数
因此，当 S ≤≤ P 时可以用直线公式。 对于A3钢（Q235） cr 304 1.12 σs＝235MPa。
a s 304 235 s 61.6 b 1.12
称 s ≤≤ P 的杆为中柔度杆。
14
3.短粗杆（小柔度杆）
27
I max I min 1 323 mm4 12 32 13 mm4 12
10
10.3 欧拉公式适用范围经验公式 一、临界应力及长细比（柔度）
临界应力：临界状态时压杆横截面上的应力。 Fcr 2 EI 2 E 2 惯性半径 i cr 2 2 A l A l
对于A3钢（Q235）
E＝210GPa，σP＝200MPa。
2E 102 P
对于用A3钢（Q235）制成的压杆，当 大于102 时才可用欧拉公式计算临界载荷。
12
2.中长杆（中柔度杆）
实际中的压杆，往往小于P。 当< P ， cr>P，欧拉公 式不成立。材料进入弹塑性阶段，此时的稳定问题属于弹塑性 稳定。临界应力常常采用经验公式：
稳定 条件
常见压杆的稳定安全系数nst在设计手册中给出。
20
10.4 千斤顶丝杠长度l=375mm，内径d=40mm，材料为Q235。最大起重
量F=80kN，规定的稳定安全系数nst=3。试校核丝杠的稳定性。
解 （1）判断杆的类型 Q235 : P 102
＝2 I
64 d
4
s 61.6
连杆在xy 面属于细长杆，在xz 面不属于细长杆。
18
（3）z>y，连杆在xy面容易失稳 例： 一矩形截面杆，两端为柱铰。材料为Q235 ，E=210GPa，截面边
计算临界载荷应以z计算。 长 b=40mm ，h=60mm，。求临界载荷。
y F 2000
z
＝115>102，属于细长杆。F F xz 用欧拉公式。 b 2 E 3.142 210 103 MPa z h cr 2 1152 F y 156 MPa x Fcr A cr 40 60 156 374kN
Fcr 277 n 3.46 F 80
4
>nst
满足稳定性要求。
21
P托Βιβλιοθήκη 解： CD梁PM
C
0
P 2000 FN sin30 1500
FN FN
得 FN 26.6kN
P
AB杆
1.5 cos30


l
i
1
i I A
2 2
FN l
1.732m
D 4 d 4 4 D d 2 16 mm 64 D d 2 4
cr a b
a、b为材料常数，单位MPa.
l 为实际压杆的柔度，仍由 计算。 i
对于Q235
cr 304 1.12
由 cr a b 知， 越小， cr越大。当小于某值时，
cr s
压杆的强度不允许。
13
所以，直线公式当 cr a b s 成立。 即
小球原有的平衡不 具有稳定性。
平衡是不稳定的
随遇平衡
5
压杆的稳定性：
指压杆受轴向压力后，其直线平衡状态的稳定性。 （1）F<Fcr （2）F>Fcr （3）F=Fcr Fcr
F
F F
压杆原有的直线平 衡形式是稳定的。 压杆具有稳定性
压杆原有的直线平衡 形式不是稳定的。 压杆不具有稳定性
压杆的直线平衡形
临界应力：
2E cr 2
i I A
l 长细比（柔度） i
关于长细比（柔度）：
1、无量纲。综合反映了杆长、约束、截面形状与几何尺寸对Fcr的影响。 2、相同材料制成的压杆，稳定性取决于。 大，稳定性差。 3、在不同的纵向平面内约束、惯性矩不相同， 则不同，计算临界 载荷（应力）时，取较大的值。 4、若要使压杆在不同的纵向平面内稳定性相同，应使

F
利用挠曲线微分方程求临界载荷。
A x

B
F x
1 剪切变形的影响可以忽略不计
2 不考虑杆的轴向(拉压)变形
两端铰支、细长压杆的临界载荷
Fcr
2 EI
l2
8
10.2.2其他约束情况下细长压杆的临界载荷
2 EI Fcr ( l )2
杆端支 承情况 一端固定 一端自由
细长压杆的临界载荷公式。（欧拉公式） 为长度因数，l为相当长度。
1
工程实例
轴向受压
单向偏心受压
2
压杆的稳定性试验
3
图示一600mm长的钢板尺两端铰接放入实验架中受轴向压 力，其横截面积为32mm×1mm。按强度条件求钢板尺能承受的 荷载,已知[σ]=215MPa.
F
1mm
32 mm
实验结果
15N
4
稳定平衡、不稳定平衡、临界载荷的概念
平衡状态的稳定性
小球原有的平衡 具有稳定性。 平衡是稳定的
由于压杆的临界载荷是压杆保持稳定的最大力（稳定极限 载荷），临界载荷越大，压杆的稳定性越好。因此，提高压杆 的稳定性措施应从影响临界载荷的因素入手。
2 EI Fcr ( l )2
cr a b
影响临界载荷的因素：
（约束）
l（杆长）
I（截面形状与尺寸）
材料
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10.4.2 提高压杆稳定性的措施 1.尽量减小压杆的长度
bh3 Iz 12
iz