第五章 代数结构

x=e*x =θ*x =θ= e
于是A中所有的元素都是相同的。这与A
中含有多个元素相矛盾。
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逆元
定义5-2.9 设代数系统<A，*>，* 是定义在集合A
上的一个二元运算，且e是A中关于运算 * 的幺元。
如果对于A中的任一元素a，存在着A中的某个元素
b，使得b*a=e，那么称b为a的左逆元； 如果a*b=e成立，那么称b为a的右逆元； 如果一个元素b，它既是a的左逆元又是a的右逆元， 那么就称b是a的一个逆元。
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例题 设Q是有理数集合，作笛卡尔积S=Q×Q，*是
S上的二元运算。<a，b>*<x，y>=<ax，b+y>。
求 * 运算的幺元和逆元。 对于任意元素<x，y> 解： <1，0>*<x，y>=<1*x，0+y>=<x，y>
<x，y>*<1，0>=<x*1，y+0>=<x，y>
因此，元素<1，0>为该运算的幺元。
一个二元运算*如表所示，指出各个元素的
左右逆元的情况。 * α α α β β γ γ δ δ ξ ξ
β
γ δ ξ
β
γ δ ξ
δ
α α δ
α
β γ α
γ
α δ γ
δ
β γ ξ
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解：
α是幺元； β的左逆元和右逆元都是γ；即β和γ互为逆 元； δ的左逆元是γ而右逆元是β ；
β有两个左逆元γ和δ；
δ的右逆元是γ，但δ没有左逆元。
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说明：
如果b是a的逆元，那么a也是b的逆元，简称为a与
b互为逆元。今后，一个元素x的逆元记为 x-1 。
一般来说一个元素的左逆元不一定等于右逆元， 而且一个元素可以有左逆元而没有右逆元，甚至 一个元素的左（右）逆元可以不是唯一的。
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例题9： 设集合S＝{α，β，γ，δ，ξ}，定义在S上的
39
定理5-2.4 设代数系统<A，*>，这里*是定义在A
上的一个二元运算，A中存在幺元e，且每一
个元素都有左逆元。如果*是可结合的运算， 那么，这个代数系统中任何一个元素的左逆 元必定也是该元素的右逆元，且每个元素的 逆元是唯一的。
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证明： 设任意a∈A，b是a的左逆元。 设c是b的左逆元。 因为：(b*a)*b＝e*b＝b
而 (β*α)△(β*β) ＝β△α＝α
21
定义5-2.5 设*，#是定义在集合A上的两个 可交换二元运算，如果对于任意的a， b∈A，都有 a*(a#b)=a a#(a*b)=a 则称运算*和运算#满足吸收律。
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例题5 设集合N为自然数的全体,在N上定义两个二
元运算*和★,对于任意x, y ∈N,有：
5
注意：



当n＝1时，称f为一元运算，n＝2时为二 元运算。 运算通俗的说，它是一个“工具”或 “机器”，这个机器对S中的元素进行加 工变成S中的另外元素。例如2*3＝5， “*”运算将“2”和“3”加工成了“5”。 这个定义具有一定的广泛性和抽象性。
6
代数系统的引入
定义5-1.1 对于集合A，一个从An到B的映 射，称为集合A上的一个n元运算。如 果B⊆A，则称该n元运算是封闭的。
26
例： <I,+>表示整数集上的加法运算组成的代 数系统，那么左幺元和右幺元均为0。
<I,*>表示整数集上的乘法运算组成的代 数系统，那么左幺元和右幺元均为1。
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例题7：设集合S={α，β，γ，δ}，在S上定义的两个 二元运算*和Δ，试指出左幺元和右幺元。
* α β γ δ α δ α α α β α β β β γ β γ γ γ δ γ δ γ δ Δ α β γ δ α α β γ δ β β α γ γ γ δ γ α β δ γ δ β γ
3
1 2
二元运算及其性质 代数系统
3
4 5 7 8 9
半群和独异点
群与子群 阿贝尔群和循环群 陪集和拉格朗日定理 同态与同构 环与域
4
6* 置换群与伯恩赛德定理
第一节
代数系统的引入
n元运算：设S是一个非空集合，n 是正整数，f是从Sn到S的一个函数， f：Sn→S，则称f是一个集合S上的 n元运算。
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定理5-2.2 设 * 是定义在集合A上的一个二元 运算，且在A中存在关于运算 * 的左零 元和右零元。那么，左右零元相等，且 A中的零元是唯一的。
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定理5-2.3 设<A，*>是一个代数系统，且集合A中 元素的个数大于1。如果该代数系统中存在幺元e
和零元θ。则它们必然不相等。
证明: 反证法 假设θ = e 那么对于任意的x∈A，必有：
（4） 阿贝尔群和循环群的概念和性质 （5）置换群和陪集的概念相关定理 （6）同态与同构的概念及其判定
2
前言
代数系统又称代数结构，抽象代数。19世 纪的数学家认识到，对许多不相联系的代数抽 象出它们的共同的内容进行研究，可以发现它 们具有统一的形式：它们都是由一些元素或者 对象组成的集合；服从一种或者几种运算，最 主要的是该元素运算的结果仍然是该集合的元 素。在研究的时候可以不理会具体的元素，只 研究抽象的元素和抽象结构的性质，因此称为 抽象代数。
7
定义5-1.2 一个非空集合A连同若干个定 义在该集合上的运算f1, f2 , ……, fk所组 成的系统就称为一个代数系统，记做 <A , f1, f2, ……, fk>。
8
例如
正整数集合I+以及在该集合上的普通加法运算 “＋”组成一个代数系统<I+ ,+>。
一个有限集S，由S的幂集以及幂集上的集合运
法运算，具有以下三个运算规律，即对于任意的x，
y，z∈I，有： (1) x+y∈I (2) x+y＝y+x (封闭性) (交换律)
(3) (x+y)+z＝x+(y+z) (结合律)
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容易找到与<I，+>具有相同运算规律的一些代数系 统，如下表所示。
<I,.> 集合 运算 封闭性 I:整数集合 .普通乘法 x.y∈I <R,+> R:实数集合 +普通加法 x+y∈R <P(S),∪> P(S):S的幂集 ∪集合的并 A∪B∈P(S) <P(S), ∩> P(S):S的幂集 ∩集合的交 A∩B∈P(S)
则称运算 * 对于运算△是可分配的。
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例题4
设集合A={α, β}，在A上定义两个二元运算*和△，如 表所示。运算△对运算*可分配吗?运算*对△呢? * α β △ α β α α α β α β
α β
α β
β α
解 容易验证运算△对于运算*是可分配的。但是运 算*对于运算△是不可分配的，因为
β*(α△β) ＝β*α＝β
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例题3 设A是一个非空集合,★是A上的二元运 算,对于任意的a,b∈A,有a★b=b,证明★ 是可结合的。
证明： 对于任意的a，b，c∈A。 (a★b)★c＝b★c＝c 而 a★(b★c) ＝a★c＝c
所以 (a★b)★c＝aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(b★c)
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说明： 如果运算满足交换律，则在计算时可以按元 素任意次序运算，如果某运算既有结合律又 有交换律，则在运算时会带来很多方便。例： 自然数加法。 矩阵的乘法，函数的合成运算不具有交换律。
第五章
代数系统
1
在计算机科学里，很多的知识和代数结构的理论有关系，比 如：加法器、纠正码、形式语言和推理机等等，因此，学好该部 分内容，为学习其他计算机课程打下了基础。通过本章学习，应 该掌握以下内容： （1） 二元运算的相关概念和性质 （2） 半群和独异点的概念及其判定
（3） 群和子群的概念及其性质
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例题1 设A＝{x|x=2n,n∈N},问乘法运算是否封闭？
加法运算呢？ 解： 对于任意的2r，2s∈A，r，s∈N； 因为， 2r•2s ＝ 2r+s∈A； 所以，乘法运算是封闭的。 对于加法运算是不封闭的； 因为，至少有2+22＝6∉A。
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定义5-2.2 设*是定义在集合A上的二元运算， 如果对于任意的x，y∈A，都有x*y=y*x,则
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对于任意元素<x，y>；
当x≠0时：
<1/x,-y>*<x,y> = <(1/x)*x，-y+y> = <1,0>
<x,y> * <1/x,-y> = <x*(1/x)，y+(-y)> = <1,0> 故，当x≠0时，<1/x,-y>为元素<x,y>的逆元。 当x=0时： 任何元素和0相乘都等于0，因此，没有逆元。
所以
e＝c*b ＝c*((b*a)*b) ＝(c*(b*a))*b ＝((c*b)*a)*b
如果有一个元素el∈A，对于任意的元素x∈A，都
有el*x=x，则称el为A中关于运算 * 的左幺元； 如果有一个元素er∈A，对于任意的元素x∈A都有 x*er=x，则称er为A中关于运算 * 的右幺元； 如果A中的某一个元素e，它既是左幺元又是右幺元，
则称e为A中关于运算*的幺元。
显然，对于任意元素x∈A，有e*x=x*e=x。
果对于任意的x∈A,都有 x*x=x , 则运算*是等幂的。 例题6 设P(S)是集合S的幂集,在P(S)上定义两个二