(备战中考精华题)考点36动态综合型问题

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中考数学专题复习之动态问题

中考数学专题复习之动态问题1动态问题的类型及例题动态几何题已成为中考试题的一大热点题型。

在近几年各地的中考试卷中，以动点问题、平面图形的平移、翻折、旋转、剪拼问题等为代表的动态几何题频频出现在填空、选择、解答等各种题型中，考查同学们对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力。

解决动态几何题的策略是：把握运动规律，寻求运动中的特殊位置；在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”的一般规律。

通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动过程中是否保留或具有某种性质。

下面就动点型、动线型、动面型等几何题作一简要分析。

一. 动点型 1. 单动点型例1. 如图1，在矩形ABCD 中，AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E ，F 分别是垂足，求PE+PF 的长。

分析与略解：P 是AD 边上任意一点，不妨考虑特殊点的情况，即在“动”中求“静”。

当P 点在D （或A ）处时，过D 作DG ⊥AC ，垂足为G ，则PE=0，PF=DG ，故PE+PF=DG ，在Rt △ADC 中，13512DC AD AC 2222=+=+= 由面积公式有：1360AC DC AD DG =⋅=，再有“静”寻求“动”的一般规律，得到PE+PF=DG=1360。

图12. 双动点型例2. （2003年吉林省）如图2，在矩形ABCD 中，AB=10cm ，BC=8cm ，点P 从A 出发，沿A →B →C →D 路线运动，到D 点停止；点Q 从D 点出发，沿D →C →B →A 路线运动，到A 停止。

若点P 、Q 同时出发，点P 的速度为每秒1cm ，点Q 的速度为每秒2cm ，a 秒时点P 、点Q 同时改变速度，点P 的速度变为每秒bcm ，点Q 的速度为每秒dcm 。

图3是点P 出发x 秒后△APD 的面积)cm (S 21与x （秒）的函数关系图象，图4是点Q 出发x 秒后△AQD 的面积)cm (S 22与x （秒）的函数关系图象。

专题36 几何最值之将军饮马问题【热点专题】-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习(全

得 MN⊥l1，且 AM＋MN＋NB 连接 AM.点 M、N 即为所求．
最小．
【例 10】在平面直角坐标系中，矩形 OABC 如图所示，点 A 在 x 轴正半轴上，点 C 在 y 轴正半轴上，且 OA＝6，OC＝4，D 为 OC 中点，点 E、F 在线段 OA 上，点 E 在点 F 左侧，EF＝2.当四边形 BDEF 的周长最小时，求点 E 的坐标．
10 3
【例 9】如图，已知直线 l1∥l2，l1、l2 之间的距离为 8，点 P 到直线 l1 的距离为 6，点 Q 到直线 l2 的距离为 4，PQ= 4 30 ，在直线 l1 上有一动点 A，直线 l2 上有一动点 B，满
足 AB⊥l2，且 PA+AB+BQ 最小，此时 PA+BQ=__1_6___．
题型四：两定点一定长
模型
作法
结论
A
B
d
A A′ B
AM ＋MN ＋
l
MN
l
如图，在直线 l 上找 M、N 两点
A"
(M 在左)，使得 AM＋MN＋NB 将 A 向右平移 d 个单位到 A′，作 A′
最
关于 l 的对称点 A" ，连接 A" B 与直线 l
NB 的最小值为 A" B＋d
小，且 MN＝d.
A
A
B'
l
P
l
B
B
PA PB 的最大
当两定点 A、B 在直线 l 异侧时，作点 B 关于直线 I 的对称点 B'，值为 AB'
在直线 l 上找一点 P，使得 PA PB 连接 AB' 并延长交直线 l 于点 P，
最大．

中考数学复习专题--动态型问题

1）当点P沿A-D-A运动时，求AP的长（用含 t的代数式表示）．
解：（1）当点P沿A-D运动时，AP=8（t-1）=8t-8．当点P沿D-A运动时，AP=50×2-8（t-1）=108-8t．
（2）连结AQ，在点P沿B-A-D运动过程中，当点P 与点B、点A不重合时，记△APQ的面积为S．求S
时t的值
当点P与点R重合时， AP=BQ，8t-8=5t，t=
8
．
当0＜t≤1时，如图③． 3
∵S△BPM=S△BQM， ∴PM=QM．
∵AB∥QR，
∴∠PBM=∠QRM，
∠BPM=∠MQR
在△BPM和△RQM中
PBM QRM
B
P
M
MQR
PM Q M
∴△BPM≌△RQM． ∴BP=RQ， ∵RQ=AB， ∴BP=AB ∴13t=13，解得：t=1
(2)S=-7t2+16t；
(3)S=-14t+32．；
（3）试求（2）中当t为何值时，考区查间了上指的定函 S的值最大，并求出S的最大值；数极值
①当0＜t≤1时， (1)S=-5t2+14t；
②当1＜t≤2时， (2)S=-7t2+16t；
③当2＜t＜ 1 6
7
时，(3)S=-14t+32．；
(1)当t=1时，S有最大值，最大值为9；
(2)当t= 8 时，S有最大值，最大值为 6 4 ；
7
7
(3)0＜S＜4
（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段 DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰
三角形？请直接写出t的值
如答图4所示，点M在线段 CD上，与Q相遇前时， MQ=CD-DM-CQ=7-（2t4）-（5t-5）=16-7t， MN=DM=2t-4，由MN=MQ，得16-7t=2t-4，解得t= 2 0

中考数学重点难点全解析!必考的“动态型试题”,你会做了吗？

动态型问题一般是指以几何知识和图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题，常见的运动对象有点动、线动和面动；其运动形式而言就是平移、旋转、翻折和滚动等。

动态型试题其特点是集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性，题目灵活，多变，动中有静，动静结合，能够在运动变化中发展同学们的空间想象能力。

解答动态型试题的策略是：（1）动中求静，即在运动变化中探索问题中的不变性；（2）动静互化，抓住静的瞬间。

找到导致图形或者变化规律发生改变的特殊时刻，同时在运动变化的过程中寻找不变性及其变化规律。

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠ABE=∠DCF，在△ADG和△CDG中，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠DAG=∠DCF，∴∠ABE=∠DAG，∵∠DAG+∠BAH=90°，∴∠BAE+∠BAH=90°，∴∠AHB=90°，∴AG⊥BE，故③正确，同法可证：△AGB≌△CGB，∵DF∥CB，∴△CBG∽△FDG，∴△ABG∽△FDG，故①正确，∵S△HDG：S△HBG=DG：BG=DF：BC=DF：CD=tan∠FCD，又∵∠DAG=∠FCD，∴S△HDG：S△HBG=tan∠FCD，tan∠DAG，故④正确取AB的中点O，连接OD、OH，∵正方形的边长为4，∴AO=OH=1/2×4=2，由勾股定理得，OD=2·根号5，由三角形的三边关系得，O、D、H三点共线时，DH最小，DH最小=2·根号5﹣2．无法证明DH平分∠EHG，故②错误，故①③④⑤正确，故选C．【考点解析】考点一：相似三角形的判定与性质；考点二：全等三角形的判定与性质；考点三：正方形的性质；考点四：解直角三角形．【解题思路】首先证明△ABE≌△DCF，△ADG≌△CDG（SAS），△AGB≌△CGB，利用全等三角形的性质，等高模型、三边关系一一判断即可．【考点点评】此题考察的是点动引起的线动问题，考察的并不难，主要抓住运动中的不动，即无论E、F怎么动，△ABE和△DCF，△AGB和△CGB，△ADG和△CDG永远是全等的，在利用全等性质结论显而易见。

中考专题复习之动态综合性问题

动态综合型问题一、知识梳理：动态型问题是指随着图形的某一元素的运动变化，导致与图形相关的量（如角度、线段长，周长、面积及相互关系等等）或者改变或者保持不变的几何题。

这类题能把三角、平几、函数、方程等集于一身，题型灵活性强、难度较大。

解决这类动态型问题，关键是不管点在运动，线在运动，还是图形在运动。

解题时都要化动为静，从相对静止的瞬间，即某些特殊的位置，清晰地发现量与量之间的关系，从而找到解决问题的途径。

同时要善于利用相似三角形，勾股定理，圆的知识，方程思想。

一、典例学习：（一）点的运动型例1 如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD 上滑动，且E、F不与B、C、D重合．（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．（二）线的运动型例2．如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y＝－12x＋b交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形1111CBAO，试探究1111CBAO与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.（三）面的运动型例3.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）二、巩固练习1.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）.⑴△EFG的边长是____（用含有x的代数式表示），当x＝2时，点G的位置在_______；⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式；②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式；⑶探求⑵中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值.D图①DC图②D图③2.如下图，在⊙O 中，点P 在直径AB 上运动，但与A 、B 两点不重合，过点P 作弦CE ⊥AB ，在AB 上任取一点D ，直线CD 与直线AB 交于点F ，弦DE 交直线AB 于点M ，连接CM .（1）如图10，当点P 运动到与O 点重合时，求∠FDM 的度数.（2）如图11、图12，当点P 运动到与O 点不重合时，求证：FM ·OB =DF ·MC .图 10图 11图12C AB(P EO M F DC A BPE OFD MOCA BPE F D M。

中考数学压轴专题训练——动态(动点)几何问题的解题技巧(含答案)

（1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；
（2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？
（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形．
答案：
1、解：1）PD=PE。以图②为例，连接PC
∵△ABC是等腰直角三角形，P为斜边AB的中点，
∴PC=PB，CP⊥AB，∠DCP=∠B=45°，
(3)如图3，BD是正方形ABCD的对角线,L在BD上，且BL=BC,连结CL，点E是CL上任一点,EF⊥BD于点F，EG⊥BC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；
3.在中，AC=BC，，点D为AC的中点．
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明．
动态几何问题的解题技巧
解这类问题的基本策略是：
1．动中觅静：这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性．
2．动静互化：“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系．
3．以动制动：以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系．
又∵∠DPC+∠CPE=90°，∠CPE+∠EPB=90°
∴∠DPC=∠EPB
∴△DPC≌△EPB（AAS）
∴PD=PE
2）能，①当EP=EB时，CE= BC=1
②当EP=PB时，点E在BC上，则点E和C重合，CE=0
③当BE=BP时，若点E在BC上，则CE=

中考数学复习动态综合型问题

中考数学复习动态综合型问题动态综合型问题一、选择题1、(2021・曲阜市实验中学中考模拟)如图，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周， P为弧AD上任意一点，若AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是（）A． 15 B． 20 C．15+52 D．15+55 答案：C2、(2021年深圳育才二中一摸)如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE?ED?DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点2C时停止，它们运动的速度都是cm/秒．设P、Q同时出发秒时，△BPQ的面积为ycm．已知y与的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD?BE?5；②cos?ABE?2293；③当0?t?5时，y?t2；④当t?秒时，545△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（）．A．①②③ B.②③ C. ①③④ D.②④ 答案：C3、 (2021年河北三摸)如图，在正方形ABCD中，AB＝3�M．动点M自A点出发沿AB方向以每秒1�M的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD―DC―CB以每秒3�M的速度运动，到达B点时运动同时停止．设△AMN的面积为y（�M），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是 D N AMB Cy 2 1 O -1 1 y 2 1 y 2 1 1 2 3 x y 2 1 1 2A． 2 3 x O -1 B． O -1 C． 2 3 x O -1 1 2 3 x D．答案：B 二、解答题11、（2021吉林镇赉县一模）如图，在梯形ABCD中，BC∥AD，∠A+∠D=90°，tanA=2，过点B作BH⊥AD于H，BC=BH=2，动点F从点D出发，以每秒1个单位的速度沿DH运动到点H停止，在运动过程中，过点F作EF⊥AD交折线D C B于点E，将纸片沿直线EF折叠，点C、D的对应点分别是点C1、D1，设运动时间是x秒（x＞0）. （1）当点E和点C重合时，求运动时间x的值；（2）当x为何值时，△BCD1是等腰三角形；（3）在整个运动过程中，设△FED1或四边形EFD1C1与梯形ABCD重叠部分的面积为S，求S与x的函数关系式.BCEBCAHD126题图FDAH备用图D答案：2、（2021江苏东台实中）已知Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=BC=4,点O是AB中点，点P、Q分别从点A、C出发，沿AC、CB以每秒1个单位的速度运动，到达点C、B后停止。

中考动态综合型问题集二

11．如图，∠C ＝90°，点A 、B 在∠C 的两边上，CA ＝30，CB ＝20，连结AB ．点P 从点B 出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC 方向运动，到点C 停止．当点P 与B 、C 两点不重合时，作PD ⊥BC 交AB 于D ，作DE ⊥AC 于E ．F 为射线CB 上一点，且∠CEF ＝∠ABC ．设点P 的运动时间为x （秒）．（1）用含有x 的代数式表示CE 的长；（2）求点F 与点B 重合时x 的值；（3）当点F 在线段CB 上时，设四边形DECP 与四边形DEFB 重叠部分图形的面积为y （平方单位），求y 与x 之间的函数关系式；（4）当x 为某个值时，沿PD 将以D 、E 、F 、B 为顶点的四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，请直接写出所有符合上述条件的x 值．12．如图，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上OA ＝10cm ，OC ＝6cm ．动点P 、Q 分别从O 、A 同时出发，点P 在线段OA 上沿OA 方向作匀速运动；点Q 在线段AB 上沿AB 方向作匀速运动，已知点P 的运动速度为1cm /s ．（1）设点Q 的运动速度为 12cm /s ，运动时间为t 秒．①当△CPQ 的面积最小时，求点Q 的坐标； ②当△COP 与△P AQ 相似时，求点Q 的坐标．（2）设点Q 的运动速度为a cm /s ，是否存有a 的值，使得△OCP 与△P AQ 和△CBQ 都相似？若存有，求出a 的值，并写出此时点Q 的坐标；若不存有，请说明理由．13．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝20cm ，AD ＝10cm ，现有两个动点P 、Q 分别从B 、D 两点同时出发，点P 以每秒2cm 的速度沿BC 向终点C 移动，点Q 以每秒1cm 的速度沿DA 向终点A 移动，线段PQ 与BD 相交于点E ，过E 作EF ∥BC 交CD 于点F ，射线QF 交BC 的延长线于点H ，设动点P 、Q 移动的时间为t （单位：秒，0＜t ＜10）．（1）当t 为何值时，四边形PCDQ 为平行四边形？（2）在P 、Q 移动的过程中，线段PH 的长是否发生改变？如果不变，求出线段PH 的长；如果改变，请说明理由．C Q B A E P HF D14．如图所示，Rt △ABC 是一张放在平面直角坐标系中的纸片，点C 与原点O 重合，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在y 轴的正半轴上，已知OA ＝3，OB ＝4．将纸片的直角部分翻折，使点C 落在AB 边上，记为D 点，AE 为折痕，E 在y 轴上．（1）求点E 的坐标及AE 的长；（2）线段．．AD 上有一动点P （不与A 、D 重合）自A 点沿AD 方向以每秒1个单位长度向D 点作匀速运动，设运动时间为t 秒（0＜t＜3），过P 点作PM ∥DE 交AE 于M 点，过点M 作MN ∥AD 交DE 于N 点，求四边形PMND 的面积S 与时间t 之间的函数关系式，当t 取何值时，S 有最大值？最大值是多少？（3）当t （0＜t＜3）为何值时，A 、D 、M 三点构成等腰三角形？并求出点M 的坐标．15．如图所示，正方形OABC 的边长为2cm ，点A 、C 分别在y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 经过点A 、B 和D （4，－23）．（1）求抛物线的表达式；（2）如果点P 由点A 出发，沿AB 边以2cm /s 的速度向点B 运动，同时点Q 由点B 出发，沿BC 边以1cm /s 的速度向点C 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S ＝PQ2（cm 2）．①试求出S 与运动时间t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；②当S 取54时，在抛物线上是否存有点R ，使得以点P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形？如果存有，求出R 点的坐标；如果不存有，请说明理由；（3）在抛物线的对称轴上求点M ，使得M 到D 、A 的距离之差最大，求出点M 的坐标．16．在梯形OABC 中，CB ∥OA ，∠AOC ＝60°，∠OAB ＝90°，OC ＝2，BC ＝4，以O 点为原点，OA 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，另有一边长为2的等边△DEF ，DE 在x 轴上（如图1），如果让△DEF 以每秒1个单位的速度向左作匀速直线运动，开始时点D 与点A 重合，当点D 到达坐标原点时运动停止．（1）设△DEF 运动时间为t ，△DEF 与梯形OABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函A x yP 1 O D E 2 12 3MN B (C ) O A B x yC QD P数关系式；（2）探究：在△DEF 运动过程中，如果射线DF 交经过O 、C 、B 三点的抛物线于点G ，是否存有这样的时刻t ，使得△OAG 的面积与梯形OABC 的面积相等？若存有，求出t 的值；若不存有，请说明理由．17．已知直线y ＝3x ＋43与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，∠ABC ＝60°，BC 与x 轴交于点C ．（1）试确定直线BC 的解析式；（2）若动点P 从A 点出发沿AC 向点C 运动（不与A 、C 重合），同时动点Q 从C 点出发沿CBA 向点A 运动（不与C 、A 重合），动点P 的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q 的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ 的面积为S ，P 点的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）在（2）的条件下，当△APQ 的面积最大时，y 轴上有一点M ，平面内是否存有一点N ，使以A 、Q 、M 、N 为顶点的四边形为菱形？若存有，请直接写出N 点的坐标；若不存有，请说明理由． 18．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10cm ，BD ⊥AC 于D ，且BD ＝8cm ．点M 从点A 出发，沿AC 的方向匀速运动，速度为2cm /s ；同时直线PQ 由点B 出发沿BA 方向匀速运动，速度为1cm /s ，运动过程中始终保持PQ ∥AC ，直线PQ 交AB 于P ，交BC 于Q ，交BD 于F ，连接PM ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜5）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，四边形PQCM 是平行四边形？（2）设四边形PQCM 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存有某一时刻t ，使S四边形PQCM＝916S △ABC？若存有，求出t 的值；若不存有，说明理由；（4）连接PC ，是否存有某一时刻t ，使点M 在线段PC 的垂直平分线上？若存有，求出此时t 的值；若不存有，说明理由．图1图2C19．如图，在直角坐标系中，梯形ABCD 的底边AB 在x 轴上，底边CD 的端点D 在y 轴上，直线CB 的表达式为y ＝－4 3 x ＋ 163，点A ，D 的坐标分别为（－4，0），（0，4）．动点P 自A点出发，在AB 上匀速运行，动点Q 自点B 出发，在折线BCD 上匀速运行，速度均为每秒1个单位，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动．设点P 运动t （秒）时，△OPQ 的面积为S （不能构成△OPQ 的动点除外）．（1）求出点B ，C 的坐标；（2）求S 随t 变化的函数关系式（注明t 的取值范围）；（3）当t 为何值时S 有最大值？并求出最大值．20．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝12cm ，BC ＝8cm ，点E 、F 、G 分别从A 、B 、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E 、G 的速度为2cm /s ，点F 的速度为4cm /s ，当点F 追上点G （即点F 与点G 重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t 秒时，△EFG 的面积为S （cm 2）．（1）当t ＝1秒时，S 的值是多少？（2）写出S 和t 之间的函数解析式，并指出自变量t 的取值范围；（3）若点F 在矩形的边BC 上移动，当t 为何值时，以点E 、B 、F 为顶点的三角形与以点F 、C 、G 为顶点的三角形相似？请说明理由．21．如图，已知O （0，0）、A （4，0）、B （4，3）．动点P 从O 点出发，以每秒3个单位的速度，沿△OAB 的边OA 、AB 、BO 作匀速运动；动直线l 从AB 位置出发，以每秒1个单位的速度向x 轴负方向作匀速平移运动．若它们同时出发，运动的时间为t 秒，当点P 运动到O 时，它们都停止运动．（1）当P 在线段OA 上运动时，求直线l 与以P 为圆心、1为半径的圆相交时t 的取值范围；（2）当P 在线段AB 上运动时，设直线l 分别与OA 、OB 交于C 、D ．试问：四边形CPBD 是否可能为菱形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直线l 的出发时间，使得四边形CPBD（备用图1）（备用图2）22．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝34x ＋3的图象是直线l 1，l 1与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，直线l 2过点C （a ，0）（a ＞0）且与l 1垂直．点P 、Q 同时从A 点出发，其中点P 沿射线AB 运动，速度为每秒4个单位；点Q 沿射线AO 运动，速度为每秒5个单位．（1）写出A 点的坐标和AB 的长；（2）当点P 、Q 运动了t 秒时，以点Q 为圆心，PQ 为半径的⊙Q 与直线l 2、y 轴都相切，求此时a 的值．23．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＜AC ，M 是BC 边的中点，MN ⊥BC 交AC 于点N ．动点P 从点B 出发沿射线BA 以每秒 3 厘米的速度运动．同时，动点Q 从点N 出发沿射线NC 运动，且始终保持MQ ⊥MP ．设运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）△PBM 与△QNM 相似吗？以图1为例说明理由；（2）若∠ABC ＝60°，AB ＝43厘米． ①求动点Q 的运动速度；②设△APQ 的面积为S （平方厘米），求S 与t 的函数关系式；（3）探求BP 2、PQ 2、CQ 2三者之间的数量关系，以图1为例说明理由．24．在平面直角坐标系xO y 中，边长为a （a 为大于0的常数）的正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点P ，顶点A 在x 轴正半轴上运动，顶点B 在y 轴正半轴上运动（x 轴的正半轴、y 轴的正半轴都不包含原点O ），顶点C 、D 都在第一象限．（1）当∠BAO ＝45°时，求点P 的坐标；（2）求证：无论点A 在x 轴正半轴上、点B 在y 轴正半轴上怎样运动，点P 都在∠AOB 的平分线上；（3）设点P 到x 轴的距离为h ，试确定h 的取值范围，并说明理由．A B M C P Q图1 N A B M C 图2（备用图）N25．如图，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数y ＝43x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l ∥y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O －C －A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒． ①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存有以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存有，求t 的值；若不存有，请说明理由．26．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 在AB 上，AP ＝2．点E 、F 同时从点P 出发，分别沿P A 、PB 以每秒1个单位长度的速度向点A 、B 匀速运动，点E 到达点A 后立刻以原速度沿AB 向点B 运动，点F 运动到点B 时停止，点E 也随之停止．在点E 、F 运动过程中，以EF 为边作正方形EFGH ，使它与△ABC 在线段AB 的同侧．设E 、F 运动的时间为t 秒（t ＞0），正方形EFGH 与△ABC 重叠部分面积为S ．（1）当t ＝1时，正方形EFGH 的边长是_________，当t ＝3时，正方形EFGH 的边长是_________；（2）当0＜t ≤2时，求S 与t 的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中．．．．．．．，当t 为何值时，S 最大？最大面积是多少？（备用图）27．如图，在平面直角坐标系中，等腰梯形OABC 的底角为60°，下底OA 在x 轴的正半轴上，O 为坐标原点，点A 的坐标为（m ，0），对角线AC 平分∠OAB ，动点P 在AC 上以每秒一个单位长度的速度由点A 向点C 运动（点P 不与A 、C 重合）．过P 作AC 的垂线，交OA 于点D ，交折线A －B －C 于点E ．（1）线段OC 的长为_________；（用含m 的代数式表示）（2）当直线DE 经过点B 时，它的解析式为y ＝3x －23，求m 的值；（3）在（2）的条件下，设动点P 运动了t 秒时，△ODE 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式；当t 为何值时，S 取得最大值，最大值是多少？28．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝2x ＋b 与x 轴交于点A （－4，0），与y 轴交于点B ．点P 是y 轴上的一个动点，以P 为圆心，3为半径作⊙P ．（1）若P A ＝PB ，试判断⊙P 与直线l 的位置关系，并说明理由；（2）当⊙P 与直线l 相切时，求点P 与原点O 间的距离；（3）如果以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是等边三角形，求点P 的坐标．29．如图1，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x ＋5与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，将△AOB 绕原点O 顺时针旋转得到△A ′OB ′，并使OA ′⊥AB ，垂足为D ，直线AB 与线段A ′B ′ 相交于点G ．动点E 从原点O 出发，以1个单位/秒的速度沿x 轴正方向运动，设动点E运动B（备用图）的时间为t 秒．（1）求点D 的坐标；（2）连接DE ，当DE 与线段OB ′ 相交，交点为F ，且四边形DFB ′G 是平行四边形时（如图2），求此时线段DE 所在直线的解析式；（3）若以动点为E 圆心，以25为半径作⊙E ，连接A ′E ，当t 为何值时，tan ∠EA ′B ′＝1 8？并判断此时直线A ′O 与⊙E 的位置关系，请说明理由．30．如图，在四边形ABCD 中，∠BAC ＝∠ACD ＝90º，∠B ＝∠D ．（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形；（2）若AB ＝3厘米，BC ＝5厘米，AE ＝13AB ，点P 从B 点出发，以1厘米/秒的速度沿BC →CD →DA 运动至A 点停止．从运动开始，经过多少时间，以点E 、B 、P 为顶点的三角形成为等腰三角形？31．如图，直线y ＝x －6与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点E 从B 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BO 向O 点移动（与点B 、O 不重合），过E 作EF ∥AB ，交x 轴于F 点．将四边形ABEF 沿EF 折叠，得到四边形DCEF ，设点E 的运动时间为t 秒．（1）①直线y ＝x －6与坐标轴交点坐标是A （____，____），B （____，____）；②画出t ＝2时，四边形ABEF 沿EF 折叠后的图形（不写画法）；（2）若CD 交y 轴于H 点，求证：四边形DHEF 为平行四边形；并求t 为何值时，四边形DHEF 为菱形；（3）设四边形DCEF 落在第一象限内的图形面积为S ，求S 关于t 的函数表达式，并求出S 的最大值．图1图2备用图D32．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，点A （－15，0），AB ＝25，AC ＝15，点C 在第二象限，点P 是y 轴上的一个动点，连接AP ，将△AOP 绕点A 逆时针方向旋转，使边AO 与AC 重合，得到△ACD ．（1）求直线AC 的解析式；（2）当点P 运动到点（0，5）时，求此时点D 的坐标及DP 的长；（3）是否存有点P ，使△OPD 的面积等于5，若存有，请求出符合条件的点P 的坐标；若33．已知直线y ＝3x－6 3与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，点C 在射线BA上以每秒3个单位的速度运动，以C 点为圆心，半径为1作⊙C ．点P 以每秒2个单位的速度在线段OA 上来回运动，过点P 作直线l ⊥x 轴．（1）填空：A 点坐标为（____，____），B 点坐标为（____，____）；（2）若点C 与点P 同时从点B 、点O 开始运动，求直线l 与⊙C 第二次相切时点P 的坐标；（3）在整个运动过程中，直线l 与⊙C 有交点的时间共有多少秒？34．已知二次函数y ＝ax2＋bx －2的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为（4，0），且当x ＝－2和x ＝5时二次函数的函数值y 相等．（备用图）（备用图）（1）求实数a 、b 的值；（2）如图1，动点E 、F 同时从A 点出发，其中点E 以每秒2个单位长度的速度沿AB 边向终点B 运动，点F 以每秒 5个单位长度的速度沿射线AC 方向运动．当点E 停止运动时，点F 随之停止运动．设运动时间为t 秒．连接EF ，将△AEF 沿EF 翻折，使点A 落在点D 处，得到△DEF ．①当t 为何值时，线段DF 平分△ABC 的面积？②是否存有某一时刻t ，使得△DCF 为直角三角形？若存有，求出t 的值；若不存有，请说明理由．③设△DEF 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式；（3）如图2，点P 在二次函数图象上运动，点Q 在二次函数图象的对称轴上运动，四边形PQBC 能否成为以PQ 为底的等腰梯形？如果能，直接写出P 、Q 两点的坐标；如果不能，请说明理由．35．如图，等边三角形ABC 的边长为4cm ，AD ⊥BC 于D ．点E 、F 分别从B 、C 两点同时出发，其中点E 以1cm /s 的速度沿BC 向终点C 运动；点F 以2cm /s 的速度沿CA 、AB 向终点B 运动，设运动时间为t （s ）．（1）当t 为何值时，EF ⊥AC ？当t 为何值时，EF ⊥AB ？（2）设△DEF 的面积为S （cm 2），求S 与t 之间的函数关系式；（3）探索以EF 为直径的圆与AC 的位置关系，并写出相对应位置关系的t 的取值范围．36．如图，梯形OABC 的顶点C 在x 轴的正半轴上，A 、B 两点在第一象限，且AB ∥OC ，AO ＝BC ＝2，AB ＝3，OC ＝5．动点P 从点（－2，0）出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴的正方向运动，过点P 作直线l ，使l 与x 轴正方向的夹角为30°．设点P 运动了t 秒，直线l 扫过梯形OABC 的面积为S ．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）当t ＝2秒时，求S 的值；图2 E D AB C F（3）求S 与t 的函数关系式，并求直线l 扫过梯形OABC 面积的 34时点P 的坐标．37．在平面直角坐标系中，Rt △AOB 的直角顶点O 在坐标原点，直角边OA 、OB 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上，且OA ＝4，OB ＝3．动点P 、Q 分别从O 、A 同时出发，其中点P 以每秒1个单位长度的速度沿OA 方向向A 点匀速运动，到达A 点后立即以原速沿AO 返回；点Q 以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 点匀速运动．当Q 到达B 时，P 、Q 两点同时停止运动．设运动时间为t （秒）．（1）求△APQ 的面积S 与t 之间的函数关系式；（2）如图1，在某一时刻将△APQ 沿PQ 翻折，使点A 恰好落在AB 边的点C 处，求此时△APQ 的面积；（3）在点P 从O 向A 运动的过程中，在y 轴上是否存有点D ，使四边形PQBD 为等腰梯形？若存有，求点D 的坐标；若不存有，请说明理由；（4）如图2，在P 、Q 两点运动过程中，线段PQ 的垂直平分线EF 交PQ 于点E ，交折线QB －BO －OP 于点F ．问：是否存有某一时刻t ，使EF 恰好经过原点O ，若存有，求相对应的t 值；若不存有，请说明理由．备用图备用图备用图38．如图，直线y＝34x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，圆心在坐标原点、半径为1的动圆以每秒0.4个单位的速度向x轴正方向运动，动点P从B点同时出发，以每秒0.5个单位的速度沿BA方向运动．设运动时间为t（秒）．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）当t为何值时，动圆与直线AB相切？（3）问在整个运动过程中，点P在动圆的圆面（圆上和圆的内部）上一共运动了多长时间？39．已知直线l：y＝34x＋8与x轴、y轴分别交于点A、B，P是x轴上一点，以P为圆心的⊙P与直线l相切于B点．（1）求点P的坐标和⊙P的半径；（2）若⊙P以每秒103个单位向x轴负方向运动，同时⊙P的半径以每秒32个单位变小，设⊙P的运动时间为t秒，且⊙P始终与直线l有公共点，试求t的取值范围；（3）在（2）中，设⊙P被直线l截得的弦长为a，问是否存有t的值，使a最大？若存有，求出t的值；若不存有，请说明理由；（4）在（2）中，设⊙P与直线l的一个公共点为Q，若以A、P、Q为顶点的三角形与△ABO相似，请直接写出此时t的值．40．如图，直线y＝－43x＋4与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数的图象经过A（－1，0）、B、C三点．（1）求二次函数的表达式；（2）设二次函数图象的顶点为D，求四边形OCDB的面积；（3）若动点E、F同时从O点出发，其中点E以每秒32个单位长度的速度沿折线OBC按O→B→C的路线运动，点F以每秒4个单位长度的速度沿折线OCB按O→C→B的路线运动，当E、F两点相遇时，整个运动随之结束．设运动时间为t（秒），△OEF的面积为S（平方单位）．①在E、F两点运动过程中，是否存有EF∥OC？若存有，求出此时t的值；若不存有，请说明理由；②求S关于t的函数关系式，并求S的最大值．。

动态综合型专题

动态综合型专题齐洪胜动态问题是指图形问题中除了固定不变的元素外，还渗透了点、线、形的动态元素，给静态的问题赋予了新的活力，使题意变得更加新颖、更加灵活.中考试题常以三角形、四边形、圆、函数等图形为载体设计动态变化问题，需要经过综合分析、发散思考、计算论证等过程挖掘解题突破口，进一步解决问题.类型1 点、线运动型问题例1 如图1，已知点A(36,0),B(0,6),经过A,B 的直线l 以每秒1个单位的速度向下做匀速平移运动，与此同时，点P 从点B 出发，在直线l 上以每秒1单位的速度沿直线l 向右下方向做匀速运动，设它们运动的时间为t 秒.(1)用含t 的代数式表示点P 的坐标；(2)过O 作O C ⊥AB 于C,过C 作CD ⊥x 轴于D,问：当t 为何值时，以P 为圆心，1为半径的圆与直线OC 相切？并说明此时⊙P 与直线CD 的位置关系.解析：（1）作P F ⊥y 轴于F.因为点A(36,0),点B(0,6),所以∠BAO=30°. 在直角三角形PF B '中，P B '=t, ∠B 'PF=30°,则B 'F=2t,PF=23t.又B B '=t,所以OF=OB-B B '-B 'F=6-t-2t =6-t 23,则P 点的坐标为（)236,23t t -. (2)此题应分为两种情况：①当⊙P 和OC 第一次相切时，设直线B 'P 与OC 的交点是M.根据题意，知∠BOC=∠BAO=30°，则B 'M=21O B '=3-2t ,故PM=3-2t -t=3-t 23.根据直线和圆相切，得圆心到直线的距离等于圆的半径，所以3-t 23=1，t=34,此时⊙P 与直线CD 显然相离.②当⊙P 与OC 第二次相切时，则有1323=-t ,t=38.此时⊙P 与直线CD 显然相交.所以当t=34或38时，⊙P 和OC 相切，t=34时，⊙P 和直线CD 相离，当t=38时，⊙P 和直线CD 相交.点评：本题是“双动”问题，动点在动直线上运动，解题时应分析“主动”与“被动”，并探索“变”中的“不变”.例2如图3，在坐标系xoy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC = 90°，A (1,0)，B (0，2)，抛物线2212-+=bx x y 的图象过C 点. (1)求抛物线的解析式;(2)平移该抛物线的对称轴所在直线l ，当l 移动到何处时，恰好将△ABC 的面积分为相等的两部分? (3)点P 是抛物线上一动点，是否存在点P ，使四边形P ACB 为平行四边形?若存在，求出P 点坐标，若不存在，说明理由.解析：（1）如图3，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，则∠BOA = ∠ADC = 90°. 因为∠BAC = 90°，所以∠CAD ＋∠BAO = 90°，∠CAD ＋∠ACD = 90°.所以∠BAO =∠ACD .因为AB =AC ,所以△BAO ≌△ACD ，所以CD =AO =1，AD =BO =2，所以C （3,1）,将点（3,1）代入2122y x bx =+-中，得213321,2b ⨯+-=所以12b =-.所以抛物线的解析式为211222y x x =--.（2）当直线l 在点A 左侧时，△ABC 在直线l 左侧的面积显然小于直线l 右侧的面积，所以直线l 应在点A 右侧，如图4，设直线l 交BC 于点E ，交AC 于点F ，设直线AC 的解析式为b kx y +=，则⎩⎨⎧=+=+130b k b k ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2121b k ，所以2121-=x y . 同理，直线BC 的解析式为231+-=x y . 设直线l 的解析式为x =m ，则点E 的坐标为（m ，231+-m ），点F 的坐标为（m ，2121-m ），所以EF =（231+-m ）－（2121-m ）=2565+-m .假设直线l 恰好将△ABC 的面积分为相等的两部分，则2)5(2121⨯⨯=∆CEF S =45，所以21×（2565+-m ）×（3－m ）=45，所以123),3m m ==-舍去图4图3所以直线l 的解析式为33-=x .（3）如图5，过点C 作CK ⊥y 轴于点K ，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，连接BP,AP,交x 轴于M.则∠PHA = ∠BKC = 90°，PH ∥BO .因为四边形P ACB 为平行四边形，所以P A =BC ，P A ∥BC ，所以∠AMO =∠CBK .因为PH ∥BO ，所以∠AMO =∠APH ，所以∠APH=∠CBK ，所以△P AH ≌△BCK ，所以AH =CK =3，PH =BK =1.因为A (1,0)，所以P （－2,1）. 当x =－2时，12)2(21)2(212=--⨯--⨯=y ，所以抛物线存在点P ，使四边形P ACB 为平行四边形，此时P 点坐标为（－2，1）.点评：本题是以二次函数为背景的动线问题，细心研究直线运动时得到解析式是解决运动类问题的关键.跟踪训练：1.(2014·广东)如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于点D ，BC=10cm ，AD=8cm ，点P 从点B 出发，在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动，与此同时，垂直于AD 的直线m 从底边BC 出发，以每秒2cm 的速度沿DA 方向匀速平移，分别交AB ，AC ，AD 于E ，F ，H ，当点P 到达点C 时，点P 与直线m 同时停止运动，设运动时间为t s （t ＞0）.（1）当t=2时，连接DE 、DF ，求证：四边形AEDF 为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF 的面积存在最大值，当△PEF 的面积最大时，求线段BP 的长；（3）是否存在某一时刻t ，使△PEF 为直角三角形？若存在，请求出此时刻t 的值，若不存在，请说明理由.类型2 图形运动型问题例3 如图6-①，在平面直角坐标系中，点A(0，－6)，点B(6，0).Rt △CDE 中，∠CDE=90°，图5B第1题图备用图当点C 运动到点O 时停止运动，解答下列问题：(1)如图6-②，当Rt △CDE 运动到点D 与点O 重合时，设CE 交AB 于点M ，求∠BME 的度数；(2)如图6-③，在Rt △CDE 的运动过程中，当CE 经过点B 时，求BC 的长；(3)在Rt △CDE 运动过程中，设AC=h ，△OAB 与△CDE 重叠部分的面积为S ，请写出S 与h 之间的函数关系式，并求出面积S 的最大值.解析：(1)如图6-②，因为A(0，－6)，点B(6，0)，∠AOB=90°，所以OA=OB ，所以∠OAB=∠OBA=45°.∠BME=15°.∴NA =NM ，NC =NA -AC =MN -h ． ∵MN ∥DE ，∴△CMN ∽△CED．∴MN CN DE CD =4MN h -=，∴MN =．① 当02h ≤≤时，如图6-④，设DE 与AB 相交于点G ，则DG =DA =4+h.∴211113(4)22222AGD AMC y S S AD DG ACMN h h ∆∆=-=⋅⋅-⋅⋅=+-⋅⋅. 即248y h =++,S 最大②当26h <≤-6-⑤．2111133622222ABO AMC y S S OB AC MN h ∆∆+=-=⋅-⋅⋅=⨯-⋅. 即2318,4y h S =-+最大③当6h 6-≤时，如图6-⑥ 设OB 与C E 交于点H .因为OC =6-h ，∠O HC =∠E =30°，所以).h =-所以21(6))),2OCH y S h h h S ==--=- 最大点评：本题关键在于抓住运动图形的特殊位置、临界位置，其基本方法是把握图形运动与变化的全过程，以不变应万变，解答过程中常需分类讨论，以防漏解.例4 如图7，在△ABC 中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上，E ，F 分别在AB ，AC 上，AD 交EF 于点H ．（1）求证：；（2）设EF=x ，当x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大？并求出最大面积；（3）当矩形EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线DA 匀速向上运动（当矩形的边PQ 到达A 点时停止运动），设运动时间为t 秒，矩形EFPQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围．（1）证明：因为矩形EFPQ ，所以EF ∥BC ，所以△AEF ∽△ABC ，所以．（2）解：因为∠B=45°，所以BD=AD=4，所以CD=BC ﹣BD=5﹣4=1．因为EF ∥BC ，所以△AEH ∽△ABD ，所以. 因为EF ∥BC ，所以△AFH ∽△ACD ，所以，所以，即，所以EH=4HF. 已知EF=x ，则EH=54x ．因为∠B=45°，所以EQ=BQ=BD ﹣QD=BD ﹣EH=4﹣54x ． S 矩形EFPQ =EF •EQ=x •（4﹣54x ）=﹣54x 2+4x=﹣54（x ﹣25）2+5.所以当x=25时，矩形EFPQ 的面积最大，最大面积为5．（3）由（2）可知，当矩形EFPQ 的面积最大时，矩形的长为，宽为.在矩形EFPQ 沿射线AD 的运动过程中： ①当0≤t≤2时，如图8所示，设矩形与AB 、AC 分别交于点K 、N ，与AD 分别交于点H 1，D 1，此时DD 1=t ，H 1D 1=2，所以HD 1=HD ﹣DD 1=2﹣t ，HH 1=H 1D 1﹣HD 1=t ，AH 1=AH ﹣HH 1=2﹣t.因为KN∥EF，所以，即.解得.所以.②当2＜t≤4时，如图9所示，设矩形与AB 、AC 分别交于点K 、N ，与AD 交于点D 2．此时DD 2=t ，AD 2=AD ﹣DD 2=4﹣t.因为KN∥EF，所以，即.解得.所以综上所述，S与t的函数关系式为：.点评：本题关键是分清矩形EFPQ运动时与△ABC重叠部分的形状，从而转化为函数模型来解决问题.跟踪训练2.如图，直线AB过点A（m，0），B（0，n），且m＋n＝20（其中m＞0，n＞0）．（1）m为何值时，△OAB面积最大？最大值是多少？（2）如图2，在（1）的条件下，函数y＝kx（k＞0）的图象与直线AB相交于C，D两点，若S△OCA＝18S△OCD，求k的值．（3）在（2）的条件下，将△OCD以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向平移，如图3，设它与△OAB 的重叠部分面积为S，请求出S与运动时间t（秒）的函数关系式（0＜t＜10）．动态综合型专题参考答案1.解：（1）如图（1），连接DE ，DF. 因为AB=AC ，AD ⊥BC ，所以BD=DC. 因为EF ∥BC ，所以EF ⊥AD ，EH=FH 因为2t =，所以DH=4. 又AD=8，则AH=DH=4. 所以四边形AEDF 是菱形.（2）显然，BP=3t ，DH=2t ，则AH=82t -. 因为EF ∥BC ，所以EF AH BC AD =，即82108EF t-=.所以EF=5102t -. 设△PEF 的面积为y ，则1510222y t t ⎛⎫=⨯-⨯ ⎪⎝⎭，即()252102y t =--+.所以当2t =时，y 取得最大值，最大值为10，此时BP=6. （3）存在满足条件的t ，理由如下：如果△PEF 是直角三角形，应分三种情况讨论： ①如图③，当∠PEF=90°时，则PE ∥AD ，所以PE BPAD BD=.此时，PE=DH=2t ，BP=3t . 所以2385t t=，解得0t =（舍去）. ②如图④，当∠EPF=90°时，连接HP ，则HP=12EF=554t -，PD=53t -. 由勾股定理，得()()222553254t t t ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，解得280183t =.③如图⑤，当∠EFP=90°时，则FP ∥AD.所以FP CP AD CD =.即210385t t-=，解得4017t =. 综上所述，当280183t =s 或4017t =s 时，△PEF 是直角三角形.2.解：（1）S △OAB ＝12OA ·OB ＝12mn ＝12m (20－m )＝－12(m 2－20m )＝－12(m －10)2＋50. 由于0＜m ＜20，易知当m ＝10时，S △OAB 最大且为S △OAB ＝50.（2）由（1）知m ＝10，所以n=20-m=10.直线AB ：y ＝－x ＋10.由对称性S△OCA＝S△OBD＝18S△OCD.因此S△OCA＝110S△OAB＝5,S△OCA＝12OA·y c＝5.∴y c＝1，易得x c＝9，k＝x c y c＝9.（3）由C（9，1），得D（1，9）.移动后的重叠部分为△O′C′D′（如图），时间t秒后点O′坐标为（t，0）.S△OCD＝810S△OAB＝40.∵C′D′∥CD,∴△O′C′D′∽△OCD，O DO D'''＝O AO E''＝1010t-.∴S O C DS O CD''''＝(O DO D''')2＝(O AO E'')2＝(1010t-)2.∴S＝40·(1010t-)2＝25t2－8t＋40．。

中考数学复习动态综合专题

动态综合专题动态综合型试题是近年来各级各类考试命题的热点和焦点，她集多个知识点于一体，综合性高，探究型强. 解决这类问题的主要思路是：在动中取静，在静中探动，也就是用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，特别关注一些不变量、不变关系和特殊位置关系. 点动型例1菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图1所示，顶点B （2，0），∠DOB ＝60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E （0，－1），当EP ＋BP 最短时，点P 的坐标为______.图1分析：点B 的对称点是点D ，如图2，连接ED 交OC 于点P ，易知ED 的长度即为EP ＋BP 的最短值.图2解：如图2，连接ED ，因为点B 的对称点是D ，所以DP ＝BP ，所以ED 的值即为EP ＋BP 的最短值.因为四边形ABCD 是菱形，顶点B （2，0），∠DOB ＝60°，所以点D 的坐标为（1，3），所以点C 的坐标为（3，3），所以可得直线OC 的解析式为x y 33=. 因为点E 的坐标为（0，－1），所以可得直线ED 的解析式为()131-+=x y .因为点P 事直线OC 和直线ED 的交点，所以点P 的坐标为方程组()⎪⎩⎪⎨⎧-+==13133x y xy 的解，解方程组可得⎩⎨⎧-=-=32332y x ，所以点P 的坐标为（32-3,2-3），故填（32-3,2-3）.评注：本题中的变量是EP ＋BP 的值，不变量是点B 与点D 的位置关系，借助菱形的对称性将EP ＋BP 的值转化为ED 的值，由“两点间线段最短”即可知道此时EP ＋BP 的值最短，将变量转化为不变量是解决运动型问题常用的解题思路.跟踪训练：1.（2015·贵港）如图，已知P 是⊙O 外一点，Q 是⊙O 上的动点，线段PQ 的中点为M ，连接OP 、OM. 若⊙O 的半径为2，OP ＝4，则线段OM 的最小值是（）A.0B.1C.2D.3第1题图第2题图2.如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P 是CD 上一动点，分别以AP 、PB 为边向上、向下作正方形APEF 和PHKB ，设正方形对角线的交点分别为O 1、O 2，当点P 从点C 运动到点D 时，线段O 1O 2中点G 的运动路径的长是______. 线动型例2 如图3，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（4，3）.平行于对角线AC 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m 与矩形OABC 的两边分别交于点M 、N ，直线m 运动的时间为t （秒）. （1）点A 的坐标是______,点C 的坐标是_____；（2）当t=_____秒或____秒时，MN=21AC ；（3）设△OMN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；（4）在（3）中得到的函数S 有没有最大值？若有求出最大值；若没有，要说明理由.图3分析：（1）根据B 点的坐标即可求出A 、C 点的坐标；（2）当MN=21AC 时，有两种情况：①Mn 是△OAC 的中位线，此时OM ＝21OA ＝2，因此t ＝2；②当MN 是△ABC 的中位线时，OM ＝23OA ＝6，因此t ＝6；（3）本题要分类讨论：①大直线m 在AC 下方或与AC 重合时，即当0＜t ≤4时，可根据△OMN ∽△OAC ，用两三角形的相似比求出面积比，即可得出S 与t 之间的函数关系式；②当直线m 在AC 上方时，即当4＜t ＜8时，可用矩形OABC 的面积-△BMN 的面积-△OCN 的面积-△OAM 的面积求得；（4）根据（3）得出的函数的性质和自变量的取值范围即可求出面积S 的最大值及对应的t 的值.解：（1）A （4，0），C （0，3）；（2）当MN=21AC 时，有两种情况：①Mn 是△OAC 的中位线，此时OM ＝21OA ＝2，因此t ＝2；②当MN 是△ABC 的中位线时，AM ＝21AB ＝23，OA ＝4，AD ＝4323tan =∠EDO AM＝2，所以OD ＝OA ＋AD ＝4＋2＝6，故t ＝6；（3）当0＜t ≤4时，OM ＝t ，因为△OMN ∽△OAC ，所以OC ON OA OM =，所以ON ＝43t ，S ＝283t .当4＜t ＜8时，如图4，因为OD ＝t ，所以AD ＝t-4，由△DAM ∽△AOC ，可得AM ＝()443-t ，所以BM ＝6-t 43；由△BMN ∽△BAC ，可得BN ＝34BM ＝8-t ，所以CN ＝t-4，所以S ＝矩形OABC 的面积-Rt △BMN 的面积-Rt △OCN 的面积-Rt △OAM 的面积＝12-23（t-4）-21（8-t ）（6-t 43）-23（t-4）＝-283t ＋3t ；图4（4）有最大值，当0＜t ≤4时，因为抛物线S ＝283t 的开口向上，在对称轴t ＝0的右边，S 随t 的增大而增大，所以当t ＝4时，S 可取到最大值83×42＝6；当4＜t ＜8时，因为抛物线S ＝-283t ＋3t 的开口向下，顶点是（4，6），所以S ≤6. 综上所述，当t ＝4时，S 有最大值6.评论：相对于点的运动来讲，线的运动在中考中相对要少点儿，解答这类问题时要用运动与变化的观点去观察和研究图形，把握直线运动与变化的全过程，抓住等量关系和变量关系，特别注意一些不变量、不变关系或特殊关系.跟踪训练：1.如图所示，已知等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，若动直线l 垂直于BC ，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S ，BP 为x ，则S 关于x 的函数图象大致是（）AA B C D第1题图2.如图，在平面直角坐标系xoy 中，二次函数32-+=bx ax y （a ，b 是常数）的图像与x 轴交于点A （-3.0）和点B （1，0），与y 轴交于点C. 动直线y ＝t （t 为常数）与抛物线交于不同的两点P 、Q.（1）求a 和b 的值；（2）求t 的取值范围；（3）若∠PCQ ＝90°，求t 的值.第2题图面动型例3 已知：把Rt △ABC 和Rt △ABC 按如图1摆放（点C 与点E 重合），点B 、C(E)、F 在同一直线上，∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm ，BC=6cm,EF=9cm. 如图2，△DEF 从图1的位置出发，以1cm/s 的速度沿CB 向△ABC 匀速移动，在△DEF 移动的同时，点P 从△ABC 的顶点B 出发，以2cm/s 的速度沿BA 向点A 匀速移动，当△DEF 的顶点D 移动到AC 边上时，△DEF 停止移动，点P 也随之停止运动. DE 与AC 相交于点Q ，连接PQ ，设移动时间为t(s)(0＜t ＜4.5)，解答下列问题：①当t 为何值时，点A 在线段PQ 的垂直平分线上？②连接PE ，设四边形APEC 的面积为y(cm 2),求y 与t 之间的函数关系式；是否存在某一时刻t ，使得面积y 最小？若存在，求出y 的最小值，若不存在，请说明理由.③是否存在某一时刻t ，使得P 、Q 、F 三点在同一条直线上？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由.解析:①因为点A 在线段PQ 的垂直平分线上，所以AP=AQ. 因为∠DEF=45°,∠ACB=90°，∠DEF+∠ACB+∠EQC=180°，所以∠EQC=45°，所以∠DEF=∠EQC ，所以CE=CQ. 又由题意得CE=t, BP=2t ，所以CQ=t ，所以AQ=8-t ，解得t=2；②过点P 作PM ⊥BE ，交BE 与点M ，所以∠BMP=90°，在Rt △ABC 和Rt △BPM 中，sinB=ACAB=PM BP ,代入，解得PM=85 t.因为BC=6cm,CE=t,所以BE=6-t ，所以y=S △ABC-S △BPE =12 (BC ·AC-BE ·PM) 化简得y=45 (t-3)2+845 ，所以当t=3时，y 最小=845；③假设存在某一时刻t ，使得点P 、Q 、F 三点在同一条直线上，过P 点作PN ⊥AC ，交A C 于点N ，所以∠ANP=∠ACB=∠PNQ=90°. 因为∠PAN=∠BAC 所以△PAN ∽△BAC ，所以PN6=10-2t10=AN 8 ，所以PN=6- 65 t, AN=8- 85 t. 因为NQ=AQ-AN ，所以NQ=8-t-(8- 85 t)=35 t. 因为∠ACB=90°,B 、C(E)、F 在同一条直线上，所以∠QCF=90°∠QCF=∠PNQ. 因为∠FQC=∠PQN ，所以△QCF ∽△QNP ，所以PN FC =NQ CQ ，所以6-1.2t 9-t =35 ，因为0＜t ＜4.5，所以t=1.解后反思：面的运动相对来说比较复杂，但也是中考的热点之一，许多创新题、探究题都源于此，解决此类型问题的关键：一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性，充分利用不变量来解决问题；二是要运用特殊与一般的数学思想方法，探究图形运动变化过程中的不同阶段；三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质，这种方法能够使得问题解决的过程更加简捷，结论更加明确.跟踪训练：已知，在矩形ABCD 中，E 为BC 边上一点，DE AE ⊥,AB=12,BE=16,F 为线段BE 上一点，EF=7，连接AF.如图1，现有一张硬质纸片GMN ∆,090=∠NGM ,NG=6,MG=8,斜边MN 与边BC 在同一直线上，点N 与点E 重合，点G 在线段DE 上.如图2，GMN ∆从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB 向点B 匀速移动，同时，点P 从A 点出发，以每秒1个单位的速度沿AD 向点D 匀速移动，点Q 为直线GN 与线段AE 的交点，连接PQ.当点N 到达终点B 时，GMN ∆和点P 同时停止运动.设运动时间为t 秒，解答下列问题：（1）在整个运动过程中，当点G 在线段AE 上时，求t 的值；（2）在整个运动过程中，是否存在点P ，使APQ ∆是等腰三角形，若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由；（3）在整个运动过程中，设GMN ∆与AEF ∆重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式以及自变量t 的取值范围.动态综合型专题点动型： 1.B 2.23 线动型： 1.A2.解：（1）将点A 、点B 的坐标代入可得⎩⎨⎧=--=-+033903b a b a ，解得⎩⎨⎧==21b a ；（2）抛物线的解析式为322-+=x x y ，直线y ＝t ，联立两解析式可得t x x =-+322，即()0322=+-+t x x . 因为动直线y ＝t （t 为常数）与抛物线交于不同的两点，所以△＝4＋4×（3＋t ）＞0，解得t ＞-4；（3）因为()413222-+=-+=x x x y ，所以抛物线的对称轴为直线x ＝1. 当x ＝0时，y＝-3，所以C （0.-3). 设点Q 的坐标为（m ，t ），则P （-2-m ，t ）. 如图，设PQ 与y 轴交于点D ，则CD ＝t ＋3，DQ ＝m ，DP ＝m ＋2. 因为∠PCQ ＝∠PCD ＋∠QCD ＝90°，∠DPC ＋∠PCD ＝90°，所以∠QCD ＝∠DPC. 因为∠PDC ＝∠QDC ＝90°，所以△QCD ∽△CDP ，所以PD DC DC DQ =，即3+t m ＝23++m t ，整理得m m t t 29622+=+=. 因为Q （m ，t ）在抛物线上，所以t ＝322-=m m ，即322+=+t m m ，所以3962+=++t t t ，化简得0652=++t t ，解得21-=t ，32-=t .当t ＝-3时，动直线y ＝t 经过点C ，故不合题意，舍去，所以t ＝-2.面动型：解：（1）在Rt △GMN 中，GN ＝6，GM ＝8，所以MN ＝10. 由题意，易知点G 的运动线路平行于BC. 由题意易知点G 的运动线路平行于BC. 如答图1所示，过点G 作BC 的平行线，分别交AE 、AF 于点Q 、R. 因为∠AED ＝∠EGM ＝90°，所以AE ∥GM ，所以四边形QEMG 为平行四边形，所以QG ＝EM ＝10，所以t ＝110＝10秒；答图1（2）存在符合条件的点P ，在Rt △ABE 中，AB ＝12，BE ＝16，由勾股定理得AE ＝20. 设∠AEB ＝θ，则sin θ＝53，cos θ＝54. 因为NE ＝t ，所以QE ＝NE•cos θ＝t 54，AQ ＝AE-QE ＝20－t 54. △APQ 是等腰三角形，有三种可能的情形：①AP ＝PQ ，如答图2所示，过点P 作PK ⊥AE 于点K ，则AK ＝AP•cos θ＝t 54. 因为AQ ＝2AK ，所以20－t 54＝2×t 54，解得t ＝325； ②AP ＝AQ ，如答图3所示，有t ＝20－t 54，解得t ＝9100；③AQ ＝PQ ，如答图4所示，过点Q 作QK ⊥AP 于点K ，则AK ＝AQ•cos θ＝（20－t 54）×54＝16－t 2516. 因为AP ＝2AK ，所以t ＝2×（16－t 2516），解得t ＝57800. 综上所述，当t ＝325，9100或57800秒时，存在点P ，使△APQ 是等腰三角形.（3）如答图1所示，点N 到达点F 的时间为t ＝7；由（1）知，点G 到达点Q 的时间为t＝10；QE ＝10×54＝8，AQ ＝20－8＝12，因为GR ∥BC ，所以AE AQ EF QR =，即20127=QR ，所以QR ＝521，所以点G 到达点R 的时间为t ＝10＋521＝571；点N 到达终点B 的时间为t ＝16. 在△GMN 运动的过程中：①当0≤t ＜7时，如答图5所示：QE ＝NE•cos θ＝t 54，QN ＝NE•sin θ＝t 53，S ＝21QE•QN ＝21•t 54•t 53＝2256t ；②当7≤t ＜10时，如答图6所示：设QN 与AF 交于点I ，因为tan ∠INF ＝34=GN GM ，tan ∠IFN ＝34=BF AB ，所以∠INF ＝∠IFN ，△IFN 为等腰三角形. 底边NF 上的高h ＝21NF•tan∠INF ＝21×（t －7）×34＝32（t －7）. S △INF ＝21（t －7）×32（t －7）＝()2731-t ，所以S ＝S △QNE －S △INF ＝2256t －()2731-t ＝3493147572-+-t t ；③当10≤t ＜571时，如答图7所示：由②得S △INF ＝()2731-t ，所以S ＝S △GMN －S △INF ＝24－()2731-t ＝323314312++-t t ； ④当571＜t ≤16时，如答图8所示：FM ＝FE －ME ＝FE －（NE －MN ）＝17－t. 设GM 与AF 交于点I ，过点I 作IK ⊥MN 于点K. 因为tan ∠IFK ＝34=BF AB ，所以可设IK ＝4x ，FK ＝3k ，则KM ＝3x ＋17－t.因为tan ∠IMF ＝431734=-+=t x x KM IK ，解得x ＝73(17－t ），所以IK ＝4x ＝712（17－x)，所以S ＝21FM•IK＝()21776-t .综上所述，S 与t 之间的函数关系式为：S＝()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛≤≤-⎪⎭⎫⎝⎛<≤++-<≤-+-<≤165711776571103233143110734931475772562222tttttttttt.。

中考专题复习动态问题

中考专题复习：动态问题一、专题分析图形中的点、线的运动，构成了数学中的一个新问题——动态问题。

它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。

此类问题常集代数、几何知识于一体，数形结合，有很强的综合性。

动点问题是近年来在中考试卷压轴题中出现频率较高的一类问题，以函数与三角形和四边形结合的题目为主。

二、学情分析1、这类问题无论教师做了多大的努力,对学生来说都比较困难,所以一部分学生放弃作答。

2、一部分学生对动点问题从根本上不理解,勉强照猫画虎,写了不少但不得分。

3、一部分学生对动点问题有一定认识,对分类能进行简单尝试, 但不完整。

三、教法分析1、教师在教学时引导学生把动态问题变为静态问题来解,抓住变化中的“不变量”。

并从特殊位置点着手确定自变量取值范围, 对基本图形进行充分的分析,画出符合条件的各种草图分散难点、降低难度，将复杂问题简单化。

2、专题化，少而精。

如动点问题有等腰三角形分类、直角三角形分类、三角形相似分类、四边形存在性等问题，分小专题复习效果更好。

四、复习设计本节课重点来探究动态几何中的第一类型----动点问题（等腰三角形分类讨论问题）。

（一）自主解决1、在平面直角坐标系中，已知点P（－2，－1）.点T（t，0）是x轴上的一个动点。

当t 取何值时，△TOP是等腰三角形？P情况一:OP=OT情况二:PO=PT T3(-4,0)情况三:TO=TP（设计意图：引导学生总结以已知线段为边作等腰三角形时，通常要分三种情况讨论：以已知线段为腰或为底。

且以已知线段为腰时，以该腰不同顶点为顶角顶点有两种情况。

）2、如图：已知ABCD 中，AB=7，BC=4，∠A=30°(1)点P 从点A 沿AB 边向点B 运动，速度为1cm/s 。

若设运动时间为t(s)，连接PC,当t 为何值时，△PBC 为等腰三角形？)0,5();0,5(21T T -)0,45(4-TDCBA解：若△PBC 为等腰三角形则PB=BC ∴t=3（设计意图：此题起抛砖引玉的作用，体现了从特殊到一般的数学思想。