1422第1课时完全平方公式
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人教版八年级数学上册14.22完全平方公式
人教版八年级数学上册第十四章14.2.2完全平方公式（第1课时）教学目标：１、完全平方公式的推导及其应用；２、完全平方公式的几何背景；３、体会公式中字母的广泛含义，它可以是数，也可以是整式．教学重点：（1）完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释；（2）完全平方公式的应用．教学难点：完全平方公式的推导、其几何解释、公式结构特点及其应用．教学过程：一、回顾旧知1、多项式乘多项式法则：2、(x+p)(x+q)=3、平方差公式：(a+b)(a-b)=二、课前小测1、速度大比拼•(x-2)(x+2)-(x+1)(x-3)•(a-b) (a-b)-(a+b) (a+b)•(-3x+4y) (-3x+4y)2、智力大比拼一个正方形的边长为acm,若边长增加 2cm，则新正方形的面积增加了多少？三、激发学生兴趣，例题引出本节内容例题：(x+3)² - x²除了平方差公式计算，你还有别的方法吗？活动1 探究，计算下列各式，你能发现什么规律？（1）（p＋1）2=（p＋1）（p＋1）＝_________；（2）（m＋2）2=（m＋2）（m＋2）＝_________；（3）（p－1）2=（p－1）（p－1）＝_________；（4）（m－2）2=（m－2）（m－2）＝_________．答案：（1）p2+2p+1；（2）m2+4m+4；（3）p2－2p+1；（4）m2－4m+4．活动2 在上述活动中我们发现（a＋b）2＝；（a-b）2＝a2-2ab+b2，是否对任意的a、b，上述式子都成立呢？学生利用多项式与多项式相乘的法则进行计算，观察计算结果，寻找一般性的结论，并进行归纳，用多项式乘法法则可得（a+b）2=（a+b）（a+b）=a（a+b）+b（a+b）=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b 2（a－b）2=（a－b）（a－b）=a（a－b）－b（a－b）=a2－ab－ab+b2=a2－2ab+b2．二.问题引申，总结归纳完全平方公式两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍，即（a+ b）2=a2+2ab+b2，（a－b）2=a2－2ab+b2．记忆口诀：首平方，尾平方,积的2倍放中央.在交流中让学生归纳完全平方公式的特征：（1）左边为两个数的和或差的平方。
14.2.2 第1课时 完全平方公式
①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab
(a－b)2＝a2ຫໍສະໝຸດ 2ab＋b2②2ab＝(a2＋b2)－(a－b)2 ③(a－b)2＝(a＋b)2－4ab
④(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab
总结反思
知识点 完全平方公式 公式：(1)(a＋b)2＝__a_2＋__2a_b_＋_b_2___； (2)(a－b)2＝__a_2－__2a_b_＋_b_2___． 文字表述：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上 (或减去)它们的积的____2____倍．
图14－2－2 (1)大正方形的边长是__a＋__b__，大正方形的面积是 (a＋b)2 ________．
例4 教材补充例题 如图14－2－2，
(2)阴影部分的正方形的边长是____a____，它的面积是 a2
________；另一个小正方形的b 边长是________，它b的2 面积是
________；另外两个小长方形a 的长都是_______b _，宽都是
(2)9.82.
解：(2)9.82 ＝(10－0.2)2 ＝102－2×10×0.2＋0.22 ＝100－4＋0.04 ＝96.04.
【归纳总结】利用完全平方公式计算一些数的平方时，关键是 把底数拆成两数和或两数差的形式．
目标三 理解完全平方公式的几何背景
例4 教材补充例题 如图14－2－2，
例 3 教材例 4 针对训练 计算：
(1)(60610)2；
(2)9.82.
[解析] (1)中 60610可写成 60＋610；(2)中 9.8 可写成 10－0.2.
(1)(60610)2；
解：(1)606102 ＝60＋6102 ＝602＋2×60×610＋6102 ＝3600＋2＋36100 ＝360236100.
1422完全平方公式
新课导入
一块边长为a米的正方形田地，因需要将其边长 增加 b 米．形成四块田地，以种植不同的作物，
用不同的形式表示田地
的总面积， 并进行比较．
法一 直接求
b
总面积=(a+b)2
法二 间接求
a
总面积= a2+ ab+ ab+b2．
等式：(a+b)2= a2+2ab + b2．
a
b
14.2.2完全平方公式
（C）．
A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知 x2+y2-2x+2y+2=0，则x2002 + y2003的值为
（A ）
A．0 B．1 C．2 D．4
a
b
ab
a
(a−b)2 = a2− ab − b(a−b) 即 (a−b)2 = a2−2ab+b2
例1 运用完全平方公式计算 （1）（2a＋b）2 （2）（y－2）2 解：（1）（2a＋b）2
=(2a)2＋2×2ab＋b2 =4a2＋4ab＋b2 （2）（y－2）2 =y2－2×2y＋4 =y2－4y＋4
A．4 B．-4 C．0 D．4或-4
（2）如果a +
1 a
=4，则
a2 +
1 a2 =( A
)
A．14 B．9 C．10 D．11
（3）若2a2-2ab+b2-2a+1=0则a、b分别为（ B ）
A．1，-1 B．1，1 C．-1，1 D． 0，0
（4）已知x=a+2b，y=a-2b，求：x2 +xy+y2． 解： x2 +xy+y2 =(a+2b)2＋（a＋2b）（a-2b）＋(a-2b)2 =(a2＋4ab＋4b2) +(a2－4b2) +(a2－4ab＋4b2) =3a2＋ 4b2
一块边长为a米的正方形田地，因需要将其边长 增加 b 米．形成四块田地，以种植不同的作物，
用不同的形式表示田地
的总面积， 并进行比较．
法一 直接求
b
总面积=(a+b)2
法二 间接求
a
总面积= a2+ ab+ ab+b2．
等式：(a+b)2= a2+2ab + b2．
a
b
14.2.2完全平方公式
（C）．
A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知 x2+y2-2x+2y+2=0，则x2002 + y2003的值为
（A ）
A．0 B．1 C．2 D．4
a
b
ab
a
(a−b)2 = a2− ab − b(a−b) 即 (a−b)2 = a2−2ab+b2
例1 运用完全平方公式计算 （1）（2a＋b）2 （2）（y－2）2 解：（1）（2a＋b）2
=(2a)2＋2×2ab＋b2 =4a2＋4ab＋b2 （2）（y－2）2 =y2－2×2y＋4 =y2－4y＋4
A．4 B．-4 C．0 D．4或-4
（2）如果a +
1 a
=4，则
a2 +
1 a2 =( A
)
A．14 B．9 C．10 D．11
（3）若2a2-2ab+b2-2a+1=0则a、b分别为（ B ）
A．1，-1 B．1，1 C．-1，1 D． 0，0
（4）已知x=a+2b，y=a-2b，求：x2 +xy+y2． 解： x2 +xy+y2 =(a+2b)2＋（a＋2b）（a-2b）＋(a-2b)2 =(a2＋4ab＋4b2) +(a2－4b2) +(a2－4ab＋4b2) =3a2＋ 4b2
1422完全平方公式教学设计
完全平方公式的符号表示和语言表述揭示了公式的结构特征.公式（a±b）2 中的 a,b 可以是具体的数、单项式、多项式乃至任何的代数式.完全平方公式的得 出，以多项式乘法与合并同类项的知识为基础，从一般形式的整式乘法运算到对 特殊形式的乘法运算概括出乘法公式，体现了从一般到特殊的思想方法，探索完 全平方公式的过程，从具体的具有特殊形式的几组多项式乘法的运算结果中，通 过观察、比较，抽象概括出一般的形式，并通过符号推理获得公式的符号表示及 语言表述，体现了从具体到抽象地研究问题的方法.
设计意图 让学生熟悉公式的结 构特征，运用公式进 行计算.
让学生进一步巩固公 式.数字计算题使学 生体会公式的用途， 激发学生的兴趣.
检测
一、必答题
1.下列计算中正确的是（ ） (A)(-b+a)2=a2+2ab+b2 (B) (-a-b)2=a2+2ab+b2 (C)(a-b)2=a2+b2 (D) (-a+b)2=-a2+2ab+b2 2.运用完全平方公式计算： (1) (x-1)2 (2) (-2a-5)2
问题 6 你会用完全平方 公式计算(a+b+c)2 吗？
学生思考并回答，教师 点拨.
通过小明做的题目引出(-a+b)2 =(a-b)2 和 (-a-b)2 =（a-b）2，让学生知道当计算 (-a+b)2 和 (-a-b)2 形式的完全平方时，要 先用这两个等式进行简化符号的变形，
这样会使得完全平方计算更简单.
（2x+3y)2-(2x+y)(2x-y)
14.2.2 完全平方公式习题（第 1 课时）
(3) 982
二、选答题 3.填空（逆向思维） x2+2xy+y2=( )2
设计意图 让学生熟悉公式的结 构特征，运用公式进 行计算.
让学生进一步巩固公 式.数字计算题使学 生体会公式的用途， 激发学生的兴趣.
检测
一、必答题
1.下列计算中正确的是（ ） (A)(-b+a)2=a2+2ab+b2 (B) (-a-b)2=a2+2ab+b2 (C)(a-b)2=a2+b2 (D) (-a+b)2=-a2+2ab+b2 2.运用完全平方公式计算： (1) (x-1)2 (2) (-2a-5)2
问题 6 你会用完全平方 公式计算(a+b+c)2 吗？
学生思考并回答，教师 点拨.
通过小明做的题目引出(-a+b)2 =(a-b)2 和 (-a-b)2 =（a-b）2，让学生知道当计算 (-a+b)2 和 (-a-b)2 形式的完全平方时，要 先用这两个等式进行简化符号的变形，
这样会使得完全平方计算更简单.
（2x+3y)2-(2x+y)(2x-y)
14.2.2 完全平方公式习题（第 1 课时）
(3) 982
二、选答题 3.填空（逆向思维） x2+2xy+y2=( )2
1422乘法公式完全平方公式1课件2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2 的图形理解
完全平方差公式：
b ab b²
a
a² ab
(a-b)²
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
a2 2ab b2
【例题】
【例1】运用完全平方公式计算： (x+2y)2
【解析】(x + 2y)2 = x2 +2•x •2y +(2y)2
1. 下列等式是否成立? 说明理由． (1) (4a+1)2=(1−4a)2； 成立 (2) (4a−1)2=(4a+1)2； 成立
(3) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2； (4) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a+1). 不成立．
不成立．
提高1
(1)已知(a+b)2=11,ab=1, 求(a-b)2的值.
(4)(m-2)²=(m-2 )(m-2)
=m2-2×m×2+22 =m2-4m+4
首平方，尾平方， 首尾两倍中间放
再来计算(a + b)2, (a – b)2.
算一算：
(a+b)2=(a+b) (a+b) = a2 +ab +ab +b2 = a2 +2ab+b2
(a-b)2 =(a-b) (a-b) = a2 - ab - ab +b2 = a2 - 2ab+b2
(2),已知(a+b)2=11 (a - b)2=7 则 ab=__
(3) 已知 :a+b=8,ab=15, 求下列各式的值:
(1)a2+b2 (2) (a-b)2
1422完全平方公式课件
完全平方公式的数学表达式：
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
完全平方公式的文字叙述：
两数和（或差）的平方，等于 它们的平方和，加（或减）它们的 积的2倍。
讨论
你能根据图15.2 -2和图15.2 -3 中的面积 说明完全平方公式吗?
b
a
a
b
图 15.2-2
b a
为什么？
学一学
例题解析 例2 运用完全平方公式计算： (1)1022；
(2) 992
拓展思维
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
更上一层
(1) (3a+__ )2=9a2－ ___ +16
（2）代数式2xy-x2-y2= ( D)
A.(x-y)2 B.(-x-y)2 C.(y-x)2 D.-(x-y)2
b ab b²a b)2 a2+2ab+b2
完全平方公式 的几何意义
差的完全平方公式：
b ab b²
a
a² ab
(a-b)²
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
a2 2ab b2
纠 错练习
指出下列各式中的错误， 并加以改正：
(1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (a−1)2＝a2−2a−1.
（7）已知 x+y=4，xy =-13， 求: x2 3xy y 2 的值.
拓展延伸
若(x y)2 12 , (x y)2 16 , 求xy的值。
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
完全平方公式的文字叙述：
两数和（或差）的平方，等于 它们的平方和，加（或减）它们的 积的2倍。
讨论
你能根据图15.2 -2和图15.2 -3 中的面积 说明完全平方公式吗?
b
a
a
b
图 15.2-2
b a
为什么？
学一学
例题解析 例2 运用完全平方公式计算： (1)1022；
(2) 992
拓展思维
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
更上一层
(1) (3a+__ )2=9a2－ ___ +16
（2）代数式2xy-x2-y2= ( D)
A.(x-y)2 B.(-x-y)2 C.(y-x)2 D.-(x-y)2
b ab b²a b)2 a2+2ab+b2
完全平方公式 的几何意义
差的完全平方公式：
b ab b²
a
a² ab
(a-b)²
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
a2 2ab b2
纠 错练习
指出下列各式中的错误， 并加以改正：
(1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (a−1)2＝a2−2a−1.
（7）已知 x+y=4，xy =-13， 求: x2 3xy y 2 的值.
拓展延伸
若(x y)2 12 , (x y)2 16 , 求xy的值。
八年级数学上册 14.2.2 完全平方公式(1)课件
完全平方(píngfāng) 公式
2021/12/13
第一页，共三十页。
自学(zìxué)目 标
1、经历探索完全平方公式的过程，会推导完全平方公 式，能说出公式的结构特征，并能运用公式进行简单 计算． 2、进一步领会由特殊到一般以及(yǐjí)数形结合的思想。
2021/12/13
第二页，共三十页。
第1课时
(3)16x224xy9y2
2021/12/13
第十二页，共三十页。
完成(wán chéng)报纸P14.2.2 时
第1课
3. x24x10,则 x21 x2
2021/12/13
第十三页，共三十页。
实战 演练1 (shízhàn) (3)(2x )
2
2
1
解：原式＝ ( 2 x ) 2 2 4x2 2x
b
a
(a b)2
2021/12/13
b
a
第六页，共三十页。
(a+b)² =a²+2ab+b² (a-b)² =a²-2ab+b²
首平方 ，尾平方 ，2倍首尾 (píngfāng)
(píngfāng)
放中央。
2021/12/13
第七页，共三十页。
效果(xiàoguǒ)
检例测1、运用完全(wánquán)平方公式计算：
第十页，共三十页。
效果(xiàoguǒ) 检测
例3、运用完全平方公式计算：
(1)102²； (2)992 (1 0 0 -1) 2 (1 0 0 + 2 ) 2
2021/12/13
第十一页，共三十页。
完成报纸(bàozhǐ)P14.2.2
1.D
2.(1)x2 x 1 4
2021/12/13
第一页，共三十页。
自学(zìxué)目 标
1、经历探索完全平方公式的过程，会推导完全平方公 式，能说出公式的结构特征，并能运用公式进行简单 计算． 2、进一步领会由特殊到一般以及(yǐjí)数形结合的思想。
2021/12/13
第二页，共三十页。
第1课时
(3)16x224xy9y2
2021/12/13
第十二页，共三十页。
完成(wán chéng)报纸P14.2.2 时
第1课
3. x24x10,则 x21 x2
2021/12/13
第十三页，共三十页。
实战 演练1 (shízhàn) (3)(2x )
2
2
1
解：原式＝ ( 2 x ) 2 2 4x2 2x
b
a
(a b)2
2021/12/13
b
a
第六页，共三十页。
(a+b)² =a²+2ab+b² (a-b)² =a²-2ab+b²
首平方 ，尾平方 ，2倍首尾 (píngfāng)
(píngfāng)
放中央。
2021/12/13
第七页，共三十页。
效果(xiàoguǒ)
检例测1、运用完全(wánquán)平方公式计算：
第十页，共三十页。
效果(xiàoguǒ) 检测
例3、运用完全平方公式计算：
(1)102²； (2)992 (1 0 0 -1) 2 (1 0 0 + 2 ) 2
2021/12/13
第十一页，共三十页。
完成报纸(bàozhǐ)P14.2.2
1.D
2.(1)x2 x 1 4
八年级上册1422完全平方公式1课件.ppt
(4) ( 3 x - 2 y)2
4
3
(5) (-a-2b)2
2、计算：
⑴ (x-y)2-(x+y)2
⑵ (x+2)(x-2)(x2-4)
三、通过本节课的学习你收获了什么？
祝同学们学习愉快！
(1)a2 (2)b2 (3)(a+b)2 (4)(a+b)2-(a2+b2)
在上面问题中遇到了两个数和的平方的运算，如何进 行这样的运算呢？
能不能将(a+b)2转化为我们学过的知识去解决呢？
探究： 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=_p_2_+_2_p_+_1_; (2)(m+2)2=_m_2+_2_m_+_4_; (3)(p-1)2=_p_2_-_2_p_+_1_; (4)(m-2)2=_m_2_-_4_m_+_4_.
14.2乘法公式
人教新课标
教学目标
1、完全平方公式的推导及应用； 2、培养学生多方位思考问题的能力， 提高学生合作交流意识。
请同学们探究下列问题：一位老人非常喜欢孩子．每当 有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们．来 一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老 人就给每个孩子两块塘，…（1）第一天有a个男孩去 了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？（2）第 二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多 少块糖？（3）第三天这（a+b）个孩子一起去看老人， 老人一共给了这些孩子多少块糖？（4）这些孩子第三 天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？ 多多少？为什么？
例3、运用乘法公式计算:
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