课题：§5.5直线与圆的位置关系(4)
5.5直线与圆的位置关系(四)
九年级数学§5.5直线与圆的位置关系（四）班级 姓名 学号学习目标1．了解切线长的概念2．经历探索切线长性质的过程，并运用这个性质解决问题.学习重点：掌握切线长的性质.学习难点：运用切线长的性质解决问题.教学过程一、情境创设1、如图，点P 在⊙O 上，如何过点P 作⊙O 的切线？2、如图，直角三角板的直角顶点A在⊙O 上，一条直角边经过圆心O ，`另一条直角边经过⊙O 外一点P ，PA 是⊙O 的切线吗？为什么？二、探究学习 1．尝试（1）P 为⊙O 外一点，如何用直角三角板 经过点P 作⊙O 的切线？这样的切线能作几条？（2）如图PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别是A 、B ，沿直线OP 将图形对折，你发现了哪些等量关系？你能通过证明验证这些关系吗？2．概括定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长性质：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
3.典型例题例1．如图，已知⊙O 的半径为3cm ，点P 和圆心O的距离为 6cm ，经过点P 有⊙O 的两条切线PA 、PB ，则切线长为_____cm ，这两条切线的夹角为____，∠AOB =______.• P O A• • O A • B O A P例2．如图1，PA、PB是，切点分别是A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为P，交PA、PB为E、F点，已知12∠=︒，P=，70PA cm（1）求△PEF的周长；（2）求EOF∠的度数。
例3．数学课上，数学老师把一个乒乓球放在一个V形架中，如图是它的平面示意图，CA、CB是⊙O的切线，切点分别是A、B，某同学通过测量，量得AB=4cm，∠ACB=600，如何求出乒乓球的直径？4.练习（1）如图AB是⊙O的直径，C为圆上任意一点，过C的切线分别与过A、B两点的切线交于P、Q，求证：PO⊥OQ（2）如图AB是⊙O的直径，C为圆上任意一点，过C的切线分别与过A、B两点的切线交于P、Q，已知AP=1cm，BQ=9cm，求⊙O的半径.三、归纳总结1、理解了切线长的定义、性质；2、熟悉常见的基本图形（例6图形）和常用辅助线（作过切点的半径）.【课后作业】班级姓名学号1. 如图，三个半径为1的圆两两外切，且等边三角形的每一条边都与其中的两个圆相切，则△ABC 的周长为。
初中数学_直线和圆的位置关系教学设计学情分析教材分析课后反思
直线和圆的位置关系教学设计教学目标：1．经历探索直线和圆位置关系的过程．2．理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系．3．了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系．4．通过数形结合、分类、类比、化归等数学思想，培养学生思维的严谨性和深刻性．教学重点：理解直线与圆的三种位置关系的定义，并能准确的判定．教学难点：（1）利用d与r的大小关系判断直线与圆的位置关系．（2）运用切线的性质定理解决问题．教学过程：回顾旧知；1、复习：我们已经学过了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有哪几种？（1）,rd=点在圆上（3）,rd<点在圆内．d>点在圆外（2）,r利用类比的方法学习本节课的内容，板书：直线和圆的位置关系2、动手操作动手画一个圆与一条直线，观察他们的公共点的个数。
3、观察三幅太阳日出的动画,地平线与太阳的位置关系是怎样的?这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种?从直线与圆交点个数这一角度，如何对对直线与圆的位置关系进行分类？ （1）直线和圆有两个交点（2）直线和圆有一个交点（3）直线和圆没有交点．当直线与圆有唯一公共点时，这时直线与圆相切；当直线与圆有两个公共点时，这时直线与圆相交；当直线与圆没有公共点时，这时直线与圆相离．（2）直线和圆有惟一公共点(即直线和圆相切)时,这条直线叫做圆的切线,这个惟一的公共点叫做切点.尝试练习：●O ●O●O如果，公共点的个数不好判断，该怎么办？有没有其他的办法来判断“直线与圆的位置关系”呢？“直线和圆的位置关系”能否像“点和圆的位置关系”一样进行数量分析？（学生合作探究，讨论生成）2.数量关系d表示圆心O到直线L的距离，r表示⊙O的半径当d>r时，直线L与⊙O相离当d=r时，直线L与⊙O相切当d<r时，直线L与⊙O相交对应练习：归纳概括：如果⊙O的半径为r ，圆心O到直线l的距离为d，那么(1)直线l和⊙O相交 d<r；(2)直线l和⊙O相切 d=r；(3)直线l和⊙O相离 d>r．应用：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r 为半径的圆与AB有何种位置关系？为什么？（1）r=2cm；（2）r=2.4cm；（3）r=3cm．学生自主完成，老师指导学生规范解题过程．解：（图形略）过C点作CD⊥AB于D，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，∵，∴AB·CD=AC·BC，∴（cm），（1）当r =2cm时 CD＞r，∴圆C与AB相离；（2）当r=2.4cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；（3）当r=3cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交．拓展练习：思考: 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆。
《直线与圆的位置关系》教学设计
《直线与圆的位置关系》教学设计一、教学内容解析《直线与圆的位置关系》是圆与方程这一章的重要内容，它是学生在初中平面几何中已学过直线与圆的三种位置关系，以及在前面几节学习了直线与圆的方程的基础上，从代数角度，运用坐标法进一步研究直线与圆的位置关系，体会数形结合思想，初步形成代数法解决几何问题的能力，并逐渐内化为学生的习惯和基本素质，为以后学习直线与圆锥曲线的知识打下基础．本节课内容共一个课时．教学过程中，让学生利用已有的知识，自主探索用坐标法去研究直线与圆的位置关系的方法，体验有关的数学思想，培养学生“用数学”以及合作学习的意识．二、教学目标设置由于本节课在初中已有涉及，教师准备“学案”先让学生提前思考，归纳出直线与圆的三种位置关系以及代数与几何的两种判定方法．通过学生的观察、分析、概括，促使学生把解析几何中用方程研究曲线的思想与初中已掌握的圆的几何性质相结合，从而把传授知识和培养能力融为一体，完成本节课的教学目标．三、学生学情分析在经历直线、圆的方程学习后，学生已经具备了一定的用方程研究几何对象的能力，因此，我在教学中通过提供的丰富的数学学习环境，创设便于观察和思考的情境，给他们提供自主探究的空间，使学生经历完整的数学学习过程，引导学生在已有数学认知结构的基础上，通过积极主动的思维而将新知识内化到自己的认知结构中去．同时为他们施展创造才华搭建一个合理的平台，使他们感知学习数学的快乐．高中数学教学的重要目标之一是提高学生的数学思维能力，通过不同形式的探究活动，让学生亲身经历知识的发生和发展过程，从中领悟解决问题的思想方法，不断提高分析和解决问题的能力，使数学学习变成一种愉快的探究活动，从中体验成功的喜悦，不断增强探究知识的欲望和热情，养成一种良好的思维品质和习惯．根据本节课的教学内容和我所教学生的实际，本节课的教学目标确定为以下三个方面：知识与技能目标：（1）理解直线与圆三种位置关系．（2）掌握用圆心到直线的距离d与圆的半径r比较，以及通过方程组解的个数判断直线与圆位置关系的方法．过程与方法目标：（1）通过对直线与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、动手实践、合作交流的学习方式．（2）强化学生用坐标法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力．情感、态度与价值观目标：通过对本节课知识的探究活动，加深学生对坐标法解决几何问题的认识，从而领悟其中所蕴涵的数学思想，体验探索中成功的喜悦，激发学习热情，养成良好的学习习惯和品质，培养学生的创新意识和科学精神．四、教学策略分析本节课以问题为载体，学生活动为主线，让学生利用已有的知识，自主探究，培养学生主动学习的习惯．通过建立数学模型、数形结合，提高学生分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生的数学素质；通过对直线与圆的位置关系判断方法的探究，进一步提高学生的思维能力和归纳能力．在教学方法的选择上，采用教师组织引导，学生自主探究、动手实践、小组合作交流的学习方式，力求体现教师的设计者、组织者、引导者、合作者的作用，突出学生的主体地位．五、课前准备：直线与圆的位置关系学案（附后）例如图，已知直线直线与圆已知过点，求直线的方程．（课件）六、教学评价设计新课程强调学习过程的评价，因此，在对学生学习结果评价的同时，更应高度重视学生学习过程中的参与度、自信心、合作意识、独立思考的能力及学习的兴趣等．根据本节课的特点，我从以下几个方面进行教学评价：通过问题情境，激发学生的学习兴趣，使学生找到要学的与以学知识之间的联系；问题串的设置可让学生主动参与到学习中来；在判断方法的形成与应用的探究中，师生的相互沟通调动学生的积极性，培养团队精神；知识的生成和问题的解决，培养学生独立思考的能力，激发学生的创新思维；通过练习检测学生对知识的掌握情况；根据学生在课堂小结中的表现和课后作业情况，查缺补漏，以便调控教学．。
《直线与圆的位置关系》优秀课件
掌握直线与圆的位置关系的定义 、分类和判定方法，理解其几何 意义和实际应用。
直线与圆的位置关系的重要性
基础概念
直线与圆的位置关系是解析几何中的 基础概念，是后续学习曲线与方程、 极坐标等知识的基础。
实际应用
在几何作图、工程绘图、物理学等领 域中，直线与圆的位置关系有着广泛 的应用。
教学方法与手段
相切线的定义
直线与圆只有一个公共点 ，即直线与圆相切。
相切线的性质
相切线与圆心的距离等于 圆的半径。
相切线的应用
在几何图形中，相切线可 以用于求解与圆相关的最 值问题，如圆的面积、周 长等。
相交线的性质及应用
相交线的定义
直线与圆有两个公共点，即直线与圆相交。
相交线的性质
相交线与圆心的距离小于圆的半径。
03
直线与圆的位置关系的判定方 法
代数法
定义
通过解直线与圆方程组成的方程 组，利用解的情况判断直线与圆
的位置关系。
步骤
将直线方程代入圆方程，消去一 个变量后得到一个关于另一个变 量的二次方程。根据二次方程的 判别式判断直线与圆的位置关系
。
结论
若判别式小于0，则直线与圆相 离；若判别式等于0，则直线与 圆相切；若判别式大于0，则直
线与圆相交。
几何法
定义
通过观察直线与圆心的距离和圆 的半径，判断直线与圆的位置关
系。
步骤
计算直线到圆心的距离d，比较d 与圆的半径r的大小。若d小于r， 则直线与圆相交；若d等于r，则直 线与圆相切；若d大于r，则直线与 圆相离。
结论
几何法适用于判断直线与圆的位置 关系，但需要一定的观察和计算能 力。
本节内容通过具体例题的解析，让学生掌握直线与圆位置关系的判定方法，同时培养了学 生的分析问题和解决问题的能力。
第5讲 (学生4份) -直线和圆的位置关系
第5讲 直线与圆的位置关系【基础知识精讲】一．直线和圆的位置关系：设⊙O 半径为R ，点O 到直线l 的距离为d ．① 直线和圆没有公共点⇔直线和圆相离⇔d>R ．② 直线和⊙O 有唯一公共点⇔直线l 和⊙O 相切⇔d ＝R ． ③ 直线l 和⊙O 有两个公共点⇔直线l 和⊙O 相交⇔d<R ．二．圆的切线：1、切线的判定：① 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． ② 到圆心的距离d 等于圆的半径的直线是圆的切线． 2、切线的性质： ① 切线和圆有且只有一个公共点；② 切线和圆心的距离等于该圆的半径； ③ 圆的切线垂直于过切点的半径；④ 经过圆心垂直于切线的直线必过切点； ⑤ 经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
3、 常常需要添加辅助线的一般规律为：① 已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置一般是确定的，辅助线常常是连 结圆心和切点的半径。
② 证明某直线是圆的切线时，若已知直线过圆上某一点，则可以作出这一点的半径，证明直线垂直于半径；③ 如果直线与圆的公共点没有确定，常常过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径。
4、切线长定理：①切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．②切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．5、弦切角度数定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角。
三、三角形的内切圆：1. 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
这个三角形叫做圆的外切三角形.2. 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.3. ①若三角形的面积为ABC S ∆，周长为a+b+c,则内切圆半径为:cb a S r ABC++=∆2，②若⊿ABC 为Rt △，c 为斜边时，内切圆半径c b a ab r ++=或2cb a r -+=.四．圆内接四边形和外切四边形①圆内接四边形对角互补，外角等于内对角．②圆外切四边形对边之和相等．圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．五、相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的四条线段的积相等. 如图，PD PC PB PA ∙=∙D.BA CP六、切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项. 如图，PB PA PT ∙=2七、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线,这点到割线与圆交点的两条线段长的积相等.如图：PA ·PB=PC ·PD【例题巧解点拨】例1、① 一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形一定是( ) A 、直角三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰三角形②I 是ABC ∆的内心，则下列式子正确的是（ ）A 、∠BIC=︒180-2∠AB 、∠BIC=2∠AC 、∠BIC=︒90+2A ∠ D 、∠BIC=︒90-2A∠③ ABC ∆外切于⊙O ，E 、F 、G 分别是⊙O 与各边的切点，则EFG ∆的外心是ABC ∆ 的 。
人教版初三数学上册课题：直线和圆的位置关系
教学设计课题：直线和圆的位置关系太和县第十一中学于桂萍一学习目标1】知识与技能目标：掌握直线与圆的三种位置关系的定义，性质和判定方法，并灵活应用性质和判定方法进行判定直线与圆的位置关系。
2】过程与方法目标：在动手操作、合作交流的过程中，探索得到判定直线与圆的位置关系以及解决问题的方法。
3】情感与价值观目标: 学生通过用数量关系来刻画直线与圆的位置关系逐步形成了数形结合的思想方法。
二重点和难点1】重点：掌握直线与圆的三种位置关系的定义，性质及判定方法。
2】难点：用数量关系来刻画直线与圆的位置关系和灵活应用判定方法。
三教学方法 1. 情境教学法 2.导学发现法 3. 数形结合法 4. 观察归纳法四学习方法 1. 实验法 2.类比法 3. 合作学习法五教学流程【一】温故而知新1.（1）点和圆的位置关系有哪几种？（2）如何判定点和圆的位置关系？举例说明。
〈二〉探究新知1】情境导入：“大漠孤烟直，长河落日圆” 是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象。
如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线,那你能根据直线与圆的公共点的个数想象一下，直线和圆的位置关系有几种？2】画一个圆，把直尺的边沿看做一直线，在纸上移动尺子，在移动的过程中，你发现直线与圆公共点的个数有什么变化？与同伴交流你的发现。
3】猜想直线与圆有哪几种位置关系？试着说一说。
4】通过学生的观察、探讨，师生共同归纳总结得到直线与圆的三种位置关系的定义，以及切线、切点、割线和交点的概念。
5】举出生活中直线与圆不同关系的实例。
导学求思：刚才我们已经根据公共点的个数来判定直线与圆的位置关系，还有其它的判定方法吗？小组讨论，教师巡视。
（引导：点与圆的位置关系我们用这个点与圆心的距离和圆的半径相比较来判断，能用类似的方法判断直线与圆的位置关系吗？什么是点到直线的距离，垂线段有何性质？6】直线与圆的位置关系量化你能根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系吗？d:圆心0到直线的距离为d 过圆心作直线的垂线段把你的猜想通过图形直观地表示出来，并与同学分享你的成果。
直线与圆的位置关系 完整教案
4.2.1 直线与圆的位置关系一、教学目标:1、知识与技能:（1）理解直线与圆的位置关系的种类；（2）会利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．2、过程与方法:通过学习直线与圆的位置关系，掌握解决问题的方法――几何法、代数法。
3、情感态度与价值观:让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．二、教学重、难点:重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．难点：用坐标法判断直线与圆的位置关系．三、教学方法与手段：1、教学方法：讲解法、讨论法、探究法、演示法2、教学手段：多媒体、几何画板四、教学过程：1、提出问题，情境导入教师利用多媒体展示如下问题：问题1：一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛的中心为圆心，半径为30km的圆形区域，已知小岛中心位于轮船正西70km处，港口位于小岛中心正北40km处。
如果轮船沿直线返港，那么它是否会触礁危险？设计意图：让学生感受暗礁这个实际问题中所蕴含的直线与圆的位置关系，思考解决问题的方案。
通过实际问题引入，让学生体会生活中的数学，突出研究直线与圆的位置关系的重要意义。
师生活动：让学生进行讨论、交流，启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课．师：你怎么判断轮船会不会触礁？利用初中所学的平面几何知识，你能解决这个问题吗？请同学们动手试一下。
生：暗礁所在的圆与轮船航线所在直线是否相交。
师：（板书标题）这个问题，其实可以归结为直线与圆的位置关系。
2、回顾旧知、揭示课题——直线与圆的位置关系问题2：在初中，我们学习过直线与圆的位置关系，即直线与圆相交，有两个公共点，直线与圆相切，有一个公共点；直线与圆相离，没有公共点。
设计意图：从已有的知识经验出发，建立新旧知识之间的联系，构建学生学习的最近发展区，不断加深对问题的理解。
师生活动：引导学生回忆义务教育阶段判断直线与圆的位置关系的思想过程，可以展示下面的表格，使问题直观形象。
4 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交d<r Δ>0相切d＝r Δ＝0相离d>r Δ<0设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)．方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．()(2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切．()(3)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．()(4)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√(教材习题改编)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，－1] B ．[－1，3] C ．[－3，1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：选C.由题意可得，圆的圆心为(a ，0)，半径为2，所以|a －0＋1|12＋（－1）2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1，故选C.圆Q ：x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝0解析：选D.因点P 在圆上，且圆心Q 的坐标为(2，0)， 所以k PQ ＝－32－1＝－3，所以切线斜率k ＝33，所以切线方程为y －3＝33(x －1)， 即x －3y ＋2＝0.若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则实数m ＝________． 解析：圆C 1的圆心是原点(0，0)，半径r 1＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，圆心C 2(3，4)，半径r 2＝25－m ，由两圆外切，得|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝1＋25－m ＝5，所以m ＝9. 答案：9直线x －2y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，则|AB |＝________．解析：如图，取AB 中点C ，连接OC ，OA ，则OC ⊥AB ， |OA |＝22，|OC |＝|0－2×0＋5|12＋（－2）2＝5，所以|AC |＝8－5＝3， 所以|AB |＝2|AC |＝2 3. 答案：2 3直线与圆的位置关系[典例引领](1)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外， 则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定(2)圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点的充要条件是________． 【解析】 (1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2＞1，从而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2＜1，所以直线与圆相交．(2)法一：将直线方程代入圆方程，得(k 2＋1)x 2＋4kx ＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k 2－12(k 2＋1)<0，解得k ∈(－3，3)． 法二：圆心(0，0)到直线y ＝kx ＋2的距离d ＝2k 2＋1，直线与圆没有公共点的充要条件是d >1，即2k 2＋1>1，解得k ∈(－3，3)． 【答案】 (1)B (2)k ∈(－3，3)若将本例(1)的条件改为“点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1上”，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系如何？解：由点M 在圆上，得a 2＋b 2＝1，所以圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝1a 2＋b 2＝1，则直线与圆O 相切．判断直线与圆的位置关系常用的方法[提醒] 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．[通关练习]1．直线x sin θ＋y cos θ＝1＋cos θ与圆x 2＋(y －1)2＝12的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能解析：选A.因为圆心到直线的距离d ＝|cos θ－1－cos θ|sin 2θ＋cos 2θ＝1>22，所以直线与圆相离．2．(2018·聊城模拟)圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C.因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．圆的切线与弦长问题(高频考点)圆的切线与弦长问题，是近年来高考的一个热点，多以选择题、填空题的形式呈现，多为中、低档题目．高考对圆的切线及弦长问题的考查主要有以下三个命题角度： (1)求圆的切线方程； (2)求弦长及切线长； (3)由弦长及切线问题求参数．[典例引领]角度一 求圆的切线方程过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0【解析】 因为过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条， 所以点(3，1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上， 因为圆心与切点连线的斜率k ＝1－03－1＝12，所以切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0.故选B. 【答案】 B角度二 求弦长及切线长(1)若a ，b ，c 是△ABC 三个内角的对边，且c sin C ＝3a sin A ＋3b sin B ，则直线l ：ax －by ＋c ＝0被圆O ：x 2＋y 2＝12所截得的弦长为( ) A ．4 6 B ．2 6 C ．6D ．5(2)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝________．【解析】(1)因为asin A＝bsin B＝c sin C.故由c sin C＝3a sin A＋3b sin B可得c2＝3(a2＋b2)．圆O：x2＋y2＝12的圆心为O(0，0)，半径为r＝23，圆心O到直线l的距离d＝|c|a2＋b2＝3，所以直线l被圆O所截得的弦长为2r2－d2＝2（23）2－（3）2＝6，故选C. (2)由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，所以圆心C(2，1)在直线x＋ay－1＝0上，所以2＋a－1＝0，所以a＝－1，所以A(－4，－1)．所以|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，所以|AB|2＝40－4＝36.所以|AB|＝6.【答案】(1)C(2)6角度三由弦长及切线问题求参数(2016·高考全国卷Ⅰ)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝23，则圆C的面积为________．【解析】圆C的方程可化为x2＋(y－a)2＝a2＋2，可得圆心的坐标为C(0，a)，半径r＝a2＋2，所以圆心到直线x－y＋2a＝0的距离为|－a＋2a|2＝|a|2，所以⎝⎛⎭⎫|a|22＋(3)2＝(a2＋2)2，解得a2＝2，所以圆C的半径为2，所以圆C的面积为4π.【答案】4π(1)求直线被圆截得的弦长的常用方法①几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2r2－d2.②代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB|＝1＋k2|x1－x2|.(2)圆的切线方程的求法①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.[通关练习]1．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是()A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0解析：选A.设直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，由直线与圆相切，得d ＝|c |5＝5，c ＝±5，所以所求方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.2．(2018·洛阳市第一次统一考试)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.依题意，注意到|AB |＝2＝|OA |2＋|OB |2等价于圆心O 到直线l 的距离等于22，即有1k 2＋1＝22，k ＝±1.因此，“k ＝1”是“|AB |＝2”的充分不必要条件，选A. 3．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________． 解析：设圆心到直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0的距离为d ，则弦长|AB |＝212－d 2＝23，得d ＝3，即||3m －3m 2＋1＝3，解得m ＝－33，则直线l ：x －3y ＋6＝0，数形结合可得|CD |＝|AB |cos 30°＝4. 答案：4圆与圆的位置关系[典例引领](1)已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1相外切，则ab 的最大值为( ) A.62B. 32C. 94D ．2 3(2)两圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋y ＋1＝0，C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0相交于A 、B 两点，则|AB |＝________．【解析】 (1)由圆C 1与圆C 2相外切，可得（a ＋b ）2＋（－2＋2）2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2＝9，根据基本不等式可知9＝a 2＋2ab ＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4ab ，即ab ≤94，当且仅当a ＝b 时，等号成立．故选C.(2)由(x 2＋y 2＋4x ＋y ＋1)－(x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1)＝0得弦AB 所在直线方程为2x －y ＝0. 圆C 2的方程即为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1，圆心C 2(－1，－1)，半径r 2＝1. 圆心C 2到直线AB 的距离 d ＝|2×（－1）－（－1）|5＝15.所以|AB |＝2r 22－d 2＝21－15＝455. 【答案】 (1)C (2)455若本例(1)条件中“外切”变为“内切”，求ab 的最大值． 解：由C 1与C 2内切， 得（a ＋b ）2＋（－2＋2）2＝1.即(a ＋b )2＝1, 又ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b 时等号成立，故ab 的最大值为14.(1)几何法判断圆与圆的位置关系的步骤 ①确定两圆的圆心坐标和半径；②利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，并求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； ③比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，然后写出结论． (2)两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d ，半弦长l2，半径r 所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．[通关练习]1．圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9与圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4外切，则m 的值为( ) A ．2 B ．－5 C ．2或－5D ．不确定解析：选C.由C 1(m ，－2)，r 1＝3；C 2(－1，m )，r 2＝2；则两圆心之间的距离为|C 1C 2|＝（m ＋1）2＋（－2－m ）2＝2＋3＝5， 解得m ＝2或－5.故选C.2．(2018·河南郑州模拟)若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．解析：⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，所以O 1A ⊥OA .又因为|OA |＝5，|O 1A |＝25，所以|OO 1|＝5.又A ，B 关于OO 1所在直线对称， 所以AB 长为Rt △OAO 1斜边上的高的2倍． 所以|AB |＝2 ×5×255＝4. 答案：4解决有关弦长问题的两种方法(1)几何法：直线被圆截得的半弦长l 2、弦心距d 和圆的半径r 构成直角三角形，且r 2＝⎝⎛⎭⎫l 22＋d 2；(2)代数法：联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x 的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝1＋1k2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2(k ≠0)． 求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程．注意：斜率不存在的情形． 易错防范(1)求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．(2)过圆上一点作圆的切线有且只有一条：过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．1．(2018·安徽江南十校联考)直线l ：x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0恒有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．[－2，2] B ．[－22，22] C ．[－2－1，2－1]D ．[－22－1，22－1]解析：选D.圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线的距离d ＝|2－1＋m |2＝|m ＋1|2，若直线l 与圆C 恒有公共点，则|m ＋1|2≤2，解得－22－1≤m ≤22－1，故选D.2．若直线l ：y ＝kx ＋1(k <0)与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－2y ＋3＝0相切，则直线l 与圆D ：(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．不确定解析：选A.因为圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝2，所以其圆心坐标为(－2，1)，半径为2，因为直线l 与圆C 相切．所以|－2k －1＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝±1，因为k <0，所以k ＝－1，所以直线l 的方程为x ＋y －1＝0.圆心D (2，0)到直线l 的距离d ＝|2＋0－1|2＝22<3，所以直线l 与圆D 相交．3．已知圆O 1的方程为x 2＋y 2＝4，圆O 2的方程为(x －a )2＋y 2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a 的所有取值构成的集合是( ) A ．{1，－1} B ．{3，－3}C ．{1，－1，3，－3}D ．{5，－5，3，－3}解析：选C.因为两圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，内切时，|a |＝1，外切时，|a |＝3，所以实数a 的取值集合是{1，－1，3，－3}．4．圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0的公切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选D.圆C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4， 所以圆心C 1(－1，－1)，半径长r 1＝2； 圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1， 所以圆心C 2(2，1)，半径长r 2＝1.所以d ＝（－1－2）2＋（－1－1）2＝13，r 1＋r 2＝3， 所以d ＞r 1＋r 2，所以两圆外离，所以两圆有4条公切线．5．(2018·兰州市诊断考试)已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1和两点A (－t ，0)，B (t ，0)，(t >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则当t 取得最大值时，点P 的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫32，322 B.⎝⎛⎭⎫322，32C.⎝⎛⎭⎫32，332 D.⎝⎛⎭⎫332，32解析：选D.设P (a ，b )为圆上一点，由题意知，AP →·BP →＝0，即(a ＋t )(a －t )＋b 2＝0，a 2－t 2＋b 2＝0，所以t 2＝a 2＋b 2＝|OP |2，|OP |max ＝2＋1＝3，即t 的最大值为3，此时k OP ＝33，OP 所在直线的倾斜角为30°，所以点P 的纵坐标为32，横坐标为3×32＝332，即P ⎝⎛⎭⎫332，32.6．过原点且与直线6x －3y ＋1＝0平行的直线l 被圆x 2＋(y －3)2＝7所截得的弦长为________．解析：由题意可得l 的方程为2x －y ＝0，因为圆心(0，3)到l 的距离d ＝33＝1，所以所求弦长＝2r 2－d 2＝27－1＝2 6. 答案：2 67．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为________．解析：因为∠AOB ＝90°，所以点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，所以点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上，所以当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |.又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45，所以圆C 的最小半径为25，所以圆C 面积的最小值为π⎝⎛⎭⎫252＝45π. 答案：45π8.如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.则圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________．解析：如图，先求出点B 的坐标，进而求出圆C 在点B 处的切线方程，再求切线在x 轴上的截距．令(x －1)2＋(y －2)2＝2中的x ＝0，解得y ＝2±1，故B (0，2＋1)．直线BC 的斜率为2＋1－20－1＝－1，故切线的斜率为1，切线方程为y ＝x＋2＋1.令y ＝0，解得x ＝－2－1，故所求截距为－2－1. 答案：－2－19．已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． (1)过切点A (4，－1)；(2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直．解：(1)因为k AC ＝－2＋11－4＝13，所以过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，所以过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)，即3x ＋y －11＝0.(2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0，则|2－2＋m |5＝10，所以m ＝±52，所以切线方程为2x ＋y ±52＝0.10．圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心坐标为(2，1)．(1)若圆O 1与圆O 2外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 1与圆O 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．解：(1)因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，所以圆心O 1(0，－1)，半径r 1＝2.设圆O 2的半径为r 2，由两圆外切知|O 1O 2|＝r 1＋r 2.又|O 1O 2|＝（2－0）2＋（1＋1）2＝22，所以r 2＝|O 1O 2|－r 1＝22－2.所以圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝12－8 2.(2)设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22，又圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，相减得AB 所在的直线方程为4x ＋4y ＋r 22－8＝0.设线段AB 的中点为H ，因为r 1＝2，所以|O 1H |＝r 21－|AH |2＝ 2.又|O 1H |＝|4×0＋4×（－1）＋r 22－8|42＋42＝|r 22－12|42， 所以|r 22－12|42＝2，解得r 22＝4或r 22＝20. 所以圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.1．(2018·安徽芜湖六校联考)在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，125 B ．[0，1] C.⎣⎡⎦⎤1，125 D.⎝⎛⎭⎫0，125 解析：选A.因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋（2a －3）2≤3. 由a 2＋（2a －3）2≥1得5a 2－12a ＋8≥0，解得a ∈R ； 由a 2＋（2a －3）2≤3得5a 2－12a ≤0，解得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，125.故选A. 2．(2018·广东省五校协作体第一次诊断考试)两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b 2的最小值为________． 解析：两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0配方得，(x ＋a )2＋y 2＝4，x 2＋(y －2b )2＝1，依题意得两圆相外切，故a 2＋4b 2＝1＋2＝3，即a 2＋4b 2＝9，1a 2＋1b 2＝⎝⎛⎭⎫a 29＋4b 29⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＝19＋a 29b 2＋4b 29a 2＋49≥59＋2a 29b 2×4b 29a 2＝1，当且仅当a 29b 2＝4b 29a2，即a 2＝2b 2时等号成立，故1a 2＋1b2的最小值为1. 答案：13．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2，0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程．解：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x 可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4. 又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝（y 1y 2）24＝4. 因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1，所以OA ⊥OB .故坐标原点O 在圆M 上．(2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4.故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )，圆M 的半径r ＝（m 2＋2）2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0，故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0，即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0.由(1)可得y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4.所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12. 当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3，1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝⎛⎭⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －942＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝8516. 4．(2018·湖南东部六校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心C (a ，0)(a >－52)，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C ：x 2＋y 2＝4. (2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB ，此时N 点的横坐标恒大于0即可．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t ，0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4y ＝k （x －1）得，(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0⇒k （x 1－1）x 1－t ＋k （x 2－1）x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2（k 2－4）k 2＋1－2k 2（t ＋1）k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4，0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．。
《直线与圆的位置关系》优质课件
汇报人：日期:CATALOGUE目录•教学目标与重点难点•教学内容与过程•教学方法与手段•教学资源与反思•作业布置与反馈•教学案例与拓展•总结与展望教学目标与重点难点使学生掌握直线与圆的位置关系的判断方法，理解点到直线的距离公式，并能够进行简单的应用。
知识与技能通过实例演示和探究活动，培养学生的数学思维能力和自主学习能力。
过程与方法让学生感受到数学与生活的紧密联系，培养学生对数学的兴趣和自信心。
情感态度与价值观教学目标重点难点直线与圆的位置关系的判断方法，点到直线的距离公式。
难点如何应用点到直线的距离公式解决实际问题。
教学内容与过程回顾初中已学过的直线与圆的位置关系引出高中阶段需要进一步学习的直线与圆的位置关系展示生活中的直线与圆的实例，激发学生对该主题的兴趣复习导入介绍直线与圆位置关系的种类：相交、相切、相离引导学生通过实验和推理，理解直线与圆位置关系的判定方法和性质通过观察和操作，让学生感受直线与圆的位置关系探索新知设计不同难度的练习题，让学生动手操作，加深对直线与圆位置关系的理解通过小组合作、讨论，引导学生自主解决问题，培养学生的合作精神和解决问题的能力巩固练习归纳小结回顾本节课学习的重点内容，引导学生总结直线与圆位置关系的判定方法和性质强调本节课学习的意义和作用，激发学生对数学的兴趣和热情教学方法与手段通过展示直线和圆的模型和图像，帮助学生理解直线与圆的位置关系。
直观演示法探究式教学法归纳总结法引导学生通过观察、思考和实践，自主探究直线与圆的位置关系的特点和规律。
将学生探究的结果进行归纳和总结，形成系统化的知识结构。
030201使用PPT等多媒体手段，展示直线与圆的图像和动画，帮助学生更好地理解。
多媒体辅助展示直线和圆的模型，让学生更直观地感受直线与圆的位置关系。
实物展示组织学生进行小组讨论和交流，鼓励学生互相学习和分享经验。
互动交流教学资源与反思深入剖析教材，理解教材的编排思路和用意，挖掘教材中的重点和难点。
5.5 直线与圆的位置关系(4)
5.5 直线与圆的位置关系（4）备课时间：年 月 日 主备人： 课时计划：第11课时 学习目标1、认识过圆外一点可画出圆的两条切线，能过圆外一点画圆的切线2、认识切线长以及与切线长有关的性质与应用3、进一步发展推理能力，会用有条理的语言表述自己的观点 学习重、难点重点：切线长定理 难点：切线长定理的应用 学习过程：一、情境创设如图，P 是⊙O 外一点，A 是⊙O 上一点，图中的P 是⊙O 的切线吗？为什么？二、探索活动活动一 过圆外一点作圆的切线1、利用三角尺中的直角“找”切点（从情境中的图形可以看出，点A 在⊙O 上，且∠OAP=90°，即PA ⊥OA ，因此PA 是⊙O 的切线。
）2、尺规作图法“找”切点如何过⊙O 外一点P 作⊙O 的切线？这样的切线能作几条？ （利用直径所对的圆周角是直角来找切点，即以OP 为 直径作一个圆与⊙O 相交，交点为切点）活动二 操作、思考1、在上图中，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B 。
沿直线OP 将图形对折，你发现了什么？观察图形，通过猜想证明可得：PA=PB ，∠APO=∠BPO 。
（证明过程略）在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
2、切线与切线长由操作思考中可得切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的边线平分两条切线的夹角。
注：切线长是指从圆外一点向圆引切线，这点与切点之间线段的长，而切线是一条直线。
三、例题教学例如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于点C。
⑴ AD与BD是否相等？为什么？⑵ OP与AB有怎样的位置关系？为什么？分析：第一问可转化为证明它们所对的圆心角相等，而两角相等可证明两三角形全等；第二问可由切线条定理结合三线合一定理解决。
注：本题的图形为基本图形，其中包含着以下几个方面的性质：①此图是轴对称图形，OP是它的对称轴；②切线的性质包含在图形中；③连接两个切点可得到等腰三角形，体现出三线合一定理与垂径定理；④连接两个切点和过切点的两条半径，可以得到直角三角形及其斜边上的高，等等。
《直线和圆的位置关系》教学设计
《直线和圆的位置关系》教学设计《直线和圆的位置关系》教学设计（精选5篇）教学设计是把教学原理转化为教学材料和教学活动的计划。
教学设计要遵循教学过程的基本规律，选择教学目标，以解决教什么的问题。
今天应届毕业生店铺为大家编辑整理了《直线和圆的位置关系》教学设计，希望对大家有所帮助。
《直线和圆的位置关系》教学设计篇1一、素质教育目标㈠知识教学点⒈使学生理解直线和圆的位置关系。
⒉初步掌握直线和圆的位置关系的数量关系定理及其运用。
㈡能力训练点⒈通过对直线和圆的三种位置关系的直观演示，培养学生能从直观演示中归纳出几何性质的能力。
⒉在7.1节我们曾学习了“点和圆”的位置关系。
⑴点P在⊙O上OP＝r⑵点P在⊙O内OP＜r⑶点P在⊙O外OP＞r初步培养学生能将这个点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系互相对应的理论迁移到直线和圆的位置关系上来。
㈢德育渗透点在用运动的观点揭示直线和圆的位置关系的过程中向学生渗透，世界上的一切事物都是变化着的，并且在变化的过程中在一定的条件下是可以相互转化的。
二、教学重点、难点和疑点⒈重点：使学生正确理解直线和圆的位置关系，特别是直线和圆相切的关系，是以后学习中经常用到的一种关系。
⒉难点：直线和圆的位置关系与圆心到直线的距离和圆的关径大小关系的对应，它既可做为各种位置关系的判定，又可作为性质，学生不太容易理解。
⒊疑点：为什么能用圆心到直线的距离九圆的关径大小关系判断直线和圆的位置关系？为解决这一疑点，必须通过图形的演示，使学生理解直线和圆的位置关系必转化成圆心到直线的距离和圆的关径的大小关系来实现的。
三、教学过程㈠情境感知⒈欣赏网页flash动画，《海上日出》提问：动画给你形成了怎样的几何图形的印象？⒉演示z＋z超级画板制作《日出》的简易动画，给学生形成直线和圆的位置关系的印象，像这样平面上给定一条定直线和一个运动着的圆，它们之间虽然存在着若干种不同的位置关系，如果从数学角度，它的若干位置关系能分为几大类？请同学们打开练习本，画一画互相研究一下。
《直线和圆的位置关系(4)》参考课件_最新修正版
9
如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC 的外接圆于点D，在AC延长线上有一点E，满
足AD2 AB AE .求证：DE是⊙O的切线.
A
PO B
C
D
E
最新修正版
10
A 证明：连接OD
∵点P为△ABC的内心 ∴⌒∠1⌒=∠2 ∴BD=CD ∴OD⊥BC
21
P
O4
B3
C
D
E
∵ AD2 AB AE
2.过点O作OD⊥BC,垂足为D.
3.以O为圆心、以OD为半径
作⊙O.
F
E O
⊙O就是所求的圆.
D
最新修正版
3
和三角形三边都相切的圆叫做三 角形的内切圆，内切圆的圆心是 三角形三条角平分线的交点，叫 做三角形的内心.
最新修正版
4
1.选择正确的答案填入括号内.
(1).三角形的内心是（ D ）
A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条边垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点
数形结合思想
最新修正版
14
∵点P是内心
P
∴∠1=
1∠ABC, 2
∠2=
1 2∠ACB
B1
2 C∴∠1+∠2=56° ∴∠BPC=124°
最新修正版
7
解2.以：边32长为423,42,55的52
A
∴ 且三△ ∠角AC形B=C9的是0°三直个角顶三点角形， 3
∴为A圆C⊥心B，C 分别作圆
∵与⊙对A边与相BC切相，切则这
∴ AD AE AB AD
∴∠E=∠3 ∵∠3=∠4 ∴∠E=∠4
∵∠1=∠2
∴DE∥BC ∴OD⊥DE
【教学设计】 直线和圆的位置关系(4)
直线和圆的位置关系教学目标：知识目标：经历探索直线与圆的位置关系的过程。
能力目标：理解直线与圆的三种位置关系——相交、相切、相离；能利用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间的数量关系判别直线与圆的位置关系。
情感目标：让学生在探索知识的过程中体会“数学美”，提高其数学素养。
重点和难点： 重点：利用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间的数量关系判别直线与圆的位置关系。
难点：圆心到直线的距离d 与圆的半径之间r 的数量关系和对应位置关系联系的探索。
教具准备：圆规、直尺 学习过程：一、学前准备——温故知新： 1、如图1⊙O 的半径为r ， 若A 点在 ，则 r 若B 点在圆上，则 r 若C 点在圆外，则 r2、如图，O 是直线l 外一点， A 、B 、C 、D 是直线l 上的点，且⊥l 线段 的长度是点O 到直线l 的距离， 线段也叫3、在下图画出点P 到直线的垂线段。
PBA二、读一读，要仔细观察呦，看谁的脑瓜快：（1）欣赏巴金的文章《海上日出》的有关日出的片段以及相应图片。
（2）从图片中你看到哪些图形？他们之间有几种位置关系？图1lODCBA请同学分组发言，教师给予适当的点评与肯定。
三、谁是操作小能手：在纸上画一个圆，上下移动直尺。
在移动过程中直线与圆的位置关系发生了怎样的变化？你能描述这种变化吗？概括：1、直线与圆的位置关系（用公共点的个数来区分）①如图2（1）所示，如果一条直线与一个圆 公共点，那么就说这条直线与这圆 ，②如图2（2）所示，如果一条直线与一个圆只有 个公共点，那么就说这条直线与这个圆 ，此时这条直线叫做圆的 ，这个公共点叫做 ． ③如图2（3）所示，如果一条直线与一个圆有 个公共点，那么就说这条直线与这个圆 ，此时这条直线叫做圆的 ．直线与圆的位置关系只有 、 和 三种． 如果公共点的个数不好判断，该怎么办？ 2、直线与圆的位置关系的性质和判定（用圆心与直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系来区分） 直线和圆相离⇔d ＿＿r 直线和圆相切⇔d ＿＿r直线和圆相交⇔d ＿＿r 老师相信同学们能战胜自我，得出正确结论。
直线与圆有关位置关系.
1、点与圆的位置关系是怎样的？ 2、猜测直线与圆的位置关系
1、理解直线和圆的三种位置关系——相 交，相离，相切。
2、掌握判断直线与圆的位置关系的两种 方法：
通过公共点的个数的变化判断直线与圆 的位置关系
通过圆心到直线的距离d与圆的半径r之 间大小的比较，来判断直线与圆的位置关 系
(3)直线和圆没有公共点时, 叫做直线和圆相离。
二、直线和圆的位置关系（用圆心o到直线l的距离d与圆的半径r 的关系来区分）
dr r
d
直线和圆相交
精 d< r 讲
点
直线和圆相切
d= r 拨
∟ ∟
r
d
直线和圆相离
d> r
位置关系
数量关系
图形
直线与圆的 位置关系
公共点的个数
圆心到直线的距离 d 与半径 r的关系
观看日出：你认为直线与圆有哪些源自置关系?●●O
O
(地平线)
●
O
a(地平线)
一、直线与圆的位置关系（用 公共点的个数来区分）
(1)直线和圆有两个公共点, 叫做直线和圆相交， 这条直线叫圆的割线， 这两个公共点叫交点。
(2)直线和圆有唯一个公共点, 叫做直线和圆相切, 这条直线叫圆的切线， 这个公共点叫切点。
公共点的名称 直线名称
．Ｏ r d┐ l
相离
0
d>r
．ｏ
．O
d .┐r l
A
. r ┐d .
B
lC
相切 相交
1
2
d=r 切点 切线
d<r 交点 割线
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P 课题：§5.5直线与圆的位置关系（4）
主备：罗永亮 课型：新授 审核：九年级数学组 班级： 姓名： 学号：
【学习目标】
1．了解切线长的概念，经历探索切线长性质过程。
2．掌握切线长定理，并能应用定理解决相关的证明与计算。
【重点难点】
重点：理解并掌握切线长定理。
难点：能熟练应用切线长定理进行有关的计算和证明。
【新知探究】
读一读：阅读欣赏课本P 133—P 135
想一想：1．什么叫切线长？ 2．如果从圆外一点引圆的两条切线，则这两条切线有什么特殊的性质？
练一练：
1．如图，过⊙O 外一点P 画⊙O 的切线，这样的切线能做几条？试一试！
2. 如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，沿射线PO 将图形折叠，你发现了什么？请证明你的发现。
3.切线长定理： 符号语言：
P
E
P
【例题教学】
例1. 如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，直线OP 交⊙O 于点D 、E ，交AB 于C
（1） AD 与 BD
是否相等？为什么？ （2）OP 与AB 有怎样的位置关系？为什么？
例2. 如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，AB=c ，AC=b ，BC=a.
探究：ABC 的内切圆O 的半径r 与a 、b 、c 的数量关系.
例3. 已知，如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，直线DE 切⊙O 于点C ，分别交PA 、PB 于点D 、E ，若∠APB ＝60°，⊙O 的半径为1，试求△PDE 的周长。
P
【课堂检测】
1. 如图1，AB切⊙O于P，AC切⊙O于C，BD切⊙O于D，若AB=5cm，AC=3cm，则BD＝ cm。
图1 图2
2．Rt△ABC中，9068
C AC BC
∠===
°，，．则△ABC的内切圆半径r=______．
3．如图2，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∠APB＝90°，⊙O的半径为2cm，则（1）∠APO＝°，∠BOP＝°，
（2）OP＝ cm，AP＝ cm ，BP＝ cm，
（3）△ABP的周长＝ cm。
4．已知，如图，AB//CD，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G。
（1）求证：∠BOC＝90°；
（2）若BE=4，CG=9，试求⊙O的半径。
G
D C
【课后巩固】
1．一个钢管放在V 形架内，右图是其截面图，O 为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm ， ∠MPN = 60︒，则OP =( ) A ．50 cm B ．253cm C ．3
3
50cm D ．503cm
2．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，∠OAB ＝30°．∠APB= ； 当OA ＝3时，AP= 。
3. 如图， Rt ABC △中，90ABC ∠=°，以AB 为直径的O ⊙交AC 于点D ，过点D 的切线交BC 于E ．求证：1
2
DE BC =；
﹡4.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，以AB 为直径的⊙O 与DC 相切于E ．已知AB=8，边BC 比AD 大6． （1）求边AD 、BC 的长；
（2）在直径AB 上是否存在一动点P ，使以A 、D 、P 为顶点的三角形与△BCP 相似？若存在，求出AP 的长；若不存在，请说明理由． 课后反思。