(版)2018年高考数学一轮复习专题9.4直线与圆圆与圆的位置关系(讲)

专题9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系【考纲解读】重点：【知识清单】1.直线与圆相切1.直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点；=；2.几何法：圆心到直线的距离等于半径，即d r∆=，方程组有一组不同的解.3.代数法：0对点练习：【2017届浙江省温州市二模】若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题设圆心到直线的距离，解之得，应选答案D.2.直线与圆相交及弦长1.直线与圆相交：直线与圆有两个公共点；<；2.几何法：圆心到直线的距离小于半径，即d r∆>，方程组有两组不同的解.3.代数法：0对点练习：【2016高考新课标1文数】设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ,B 两点,若,则圆C的面积为 . 【答案】4π3.圆与圆的位置关系设两圆的圆心分别为1C 、2C ，圆心距为12d C C =，半径分别为R 、r (R r >). (1)两圆相离：无公共点；d R r >+，方程组无解.(2)两圆外切：有一个公共点；d R r =+，方程组有一组不同的解. (3)两圆相交：有两个公共点；R r d R r -<<+，方程组有两组不同的解. (4)两圆内切：有一公共点；d R r =-，方程组有一组不同的解.(5)两圆内含：无公共点；0d R r ≤<-，方程组无解.特别地，0d =时，为两个同心圆. 对点练习：【2016高考山东文数】已知圆M ：2220(0)x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是则圆M 与圆N ：22(1)1x y +-=（-1）的位置关系是（ ） （A ）内切（B ）相交（C ）外切（D ）相离 【答案】B 【解析】 试题分析：【考点深度剖析】高考对圆的方程的考查，一般是以小题的形式出现，也有与向量、圆锥曲线等相结合的问题．纵观近几年的高考试题，主要考查以下几个方面：一是考查圆的方程，要求利用待定系数法求出圆的方程，并结合圆的几何性质解决相关问题；二是考查直线与圆的位置关系，高考要求能熟练地解决圆的切线问题，弦长问题是高考热点，其中利用由圆心距、半径与半弦长构成的直角三角形，是求弦长问题的关键．三是判断圆与圆的位置关系，确定公共弦所在的直线方程.近几年多与圆锥曲线问题综合考查.【重点难点突破】考点1 直线与圆相切【1-1】【2018届广东省深圳市南山区高三上入学】过点，且倾斜角为的直线与圆相切于点，且，则的面积是( )A. B. C. 1 D. 2【答案】B【解析】在直角三角形AOB 中 ，选B.【1-2】过点()3,2M 作圆22:4240O x y x y ++-+=的切线方程是 ． 【答案】2y =或51290x y -+=【解析】将圆的方程配方得：22(2)(1)1x y ++-=.若直线的斜率不存在，则直线方程为3x =易知与圆不相切.设直线的方程为：2(3)y k x -=-，即230kx y k -+-=.因为直线与圆相切，所以1=，解之得0k =或512k =.所以切线的方程为：2y =或51290x y -+=. 【领悟技法】设圆的圆心为00(,)C x y 半径分别为r ，直线的方程为0Ax By C ++=.若直线与圆相切，则圆心到直线r =，直线与圆相切的问题，往往用这个结论解题.【触类旁通】【变式一】设已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为________. 【答案】a 8=或18-.1=，解之得a 8=或18-.【变式二】已知直线:l 22(1)440mx m y m +---=，若对任意m ∈R ，直线l 与一定圆相切，则该定圆方程为 ．【答案】()()22224x y -+-=【综合点评】1.求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．2.利用直线与圆相切，确定参数的值（范围），往往利用几何法较为简单. 考点2 直线与圆相交及弦长【2-1】【2018届湖北省华师一附中高三9月调研】已知圆C ： ()()2224x a y -+-=（0a >）及直线l ：30x y -+=，当直线l 被C 截得的弦长为a = （ ）21 D. 1 【答案】C【解析】由题意，得224+=，解得1a =，又因为0a >，所以1a =；故选C.【2-2】直线l 经过点(5,5)P ，且与圆22:25C x y +=相交，截得弦长为l 的方程． 【答案】250x y --=或250x y -+==解得2k =或12k =．代入所设l 的方程化简为：250x y --=或250x y -+=． 【领悟技法】1. 如下图所示，涉及直线与圆相交及弦长的题，都在Rt AOB ∆中，利用勾股定理，得半径弦长及弦心距之间的关系式.2.弦长的计算：方法一、设圆的半径为R ，圆心到直线的距离为d ，则弦长l =方法二、设直线的斜率为k ，直线与圆的交点坐标为1122(,),(,)P x y Q x y ，则弦长11PQ x x y y =-=-【触类旁通】【变式一】【2016高考新课标Ⅲ文数】已知直线l ：60x +=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD =_____________.【答案】4【解析】由60x +=，得6x -，代入圆的方程，并整理，得260y -+=，解得12y y ==120,3x x ==-，所以||AB ==l 的倾斜角为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，||||4cos30AB CD ==︒．【变式二】已知{(,)|0}M x y y y ==≠，{(,)|}N x y y x b ==+，若M N ϕ⋂≠，则b 的取值范围是 ．【答案】3b -<≤【综合点评】1.确定直线方程，往往依据斜率是否存在进行分类讨论，利用圆心到直线的距离求直线的斜率；2.利用圆心到直线的距离可列方程求解；3.利用几何法将弦长转化为圆心到直线的距离，是解答此类问题的常用方法．4.利用数形结合思想，将问题灵活加以转化，往往能起到事半功倍的效果. 考点3 圆与圆的位置关系【3-1】【2018届黑龙江省海林市朝鲜中学高考综合卷（一）】已知两点(),0A a ， (),0B a -（0a >），若曲线22230x y y +--+=上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则正实数a 的取值范围为（ ） A. (]0,3 B. []1,3 C. []2,3 D. []1,2 【答案】B【解析】把圆的方程22230x y y +--+=化为(()2211x y +-=，以AB 为直径的圆的方程为222x y a +=，若曲线22230x y y +--+=上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则两圆有交点，所以121a a -≤≤+，解得13a ≤≤ ，选B.【3-2】已知圆221:2610C x y x y ++-+=，圆222:42110C x y x y +-+-=，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长． 【答案】3460x y -+=,245. 【解析】将两圆方程相减得相交弦的方程为：3460x y -+=.将221:2610C x y x y ++-+=配方得： 22(1)(3)9x y ++-=，圆心到公共弦的距离为95d ==.所以弦长为1224255=⨯=. 【领悟技法】1.两圆公共弦的直线方程即为联立两圆方程消去二次项所得的二元一次方程；2.求两圆的公共弦长，往往在一个圆中，应用勾股定理求解. 【触类旁通】【变式一】若圆222x y m +=与圆2268x y x y ++-110-=相切，求实数m 的值． 【答案】1m =±或11m =±【解析】将2268x y x y ++-110-=配方得：22(3)(4)36x y ++-=.由于两圆相切，故d R r =-或d R r =+.圆心间的距离5d =，所以56m =-或56m =+，解之得1m =±或11m =±.【变式二】已知圆1C ：222210x y kx k +-+-=和圆2C ：2222(1)20x y k y k k +-+++=，则当它们圆心之间的距离最短时，两圆的位置关系如何? 【答案】两圆相交【综合点评】1. 比较两圆半径的和、差与两圆圆心距的大小可得两圆的位置关系；2. 两圆方程相减即得公共弦方程；3. 公共弦长要通过解直角三角形获得． 考点4 直线、圆的位置关系的综合应用【4-1】【2017届浙江省湖州、衢州、丽水三市高三4月联考】已知O 是ABC 的外心， 45C ∠=，则(),OC mOA nOB m n R =+∈，则m n +的取值范围是( )A. ⎡⎣B. ⎡⎤⎣⎦C. 1⎡⎤-⎣⎦D. (【答案】B【解析】【4-2】设圆222(3)(5)(0)x y r r -++=>上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则圆半径r 的取值范围是 ． 【答案】46r <<【解析】圆心(3,5)C -到已知直线4320x y --=5=，xy4x-3y-2=0411CO结合图形可知有两个极端情形：其一是如图所示的小圆，半径为4，该圆上只有一个点到直线4320x y --=的距离为1；其二是如图所示的大圆，其半径为6，该圆上有三个点到直线的距离为1.当46r <<时，圆上就有且仅有两个点到直线的距离等于1.所以46r <<.【4-3】已知点(2,0)P 及圆C ：226440x y x y +-++=. ①若直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1，求直线l 的方程；②设过点P 的直线1l 与圆C 交于M 、N 两点，当4MN =时，求以线段MN 为直径的圆Q 的方程； ③设直线10ax y -+=与圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点(2,0)P 的直线2l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】①3460x y +-=或2x =；②22(2)4x y -+=；③不存在实数a ，使得过点(2, 0)P 的直线2l 垂直平分弦AB .所以直线方程为3(2)4y x =--， 即 3460x y +-=. 当l 的斜率不存在时，l 的方程为2x =，经验证2x =也满足条件②由于CP =d == 所以d =CP =所以P 恰为MN 的中点.故以MN 为直径的圆Q 的方程为22(2)4x y -+=. ③把直线1y ax =+．代入圆C 的方程， 消去y ，整理得22(1)6(1)90a x a x ++-+=．由于直线10ax y --=交圆C 于,A B 两点， 故2236(1)36(1)0a a ∆=--+>， 即20a ->，解得0a <．则实数a 的取值范围是(,0)-∞.设符合条件的实数a 存在，由于2l 垂直平分弦AB ，故圆心(3, 2)C -必在2l 上． 所以2l 的斜率2PC k =-，而1AB PCk a k ==-，所以12a =．由于1(, 0)2∉-∞，故不存在实数a ，使得过点(2, 0)P 的直线2l 垂直平分弦AB ． 【领悟技法】1.两圆公共弦的直线方程即为联立两圆方程消去二次项所得的二元一次方程；2.求两圆的公共弦长，往往在一个圆中，应用勾股定理求解. 【触类旁通】【变式一】【广西南宁三中、柳铁一中、玉林高中联考】在平面直角坐标系xOy 中，已知()221125x y -+=，22240x y -+=，则()()221212x x y y -+-的最小值为（ ）15 C. 1215【答案】B【变式二】过点()2,1作圆()()22124x y -+-=的弦，其中最短的弦长为 .【答案】【解析】如下图所示，圆的圆心坐标为()1,2A ，点()2,1P ，过点P 作圆的弦BC ，过点A 作AD BC ⊥，垂足为点D ，则BC ==AD AP ≤，当点D 与点P 重合时，AD 取最大值，此时BC 取最小值，且max AD AP ===min BC ==【综合点评】 数形结合思想的应用，是解析几何的重要特征，解题过程中要通过分析题目的条件和结论，灵活的加以转化.【易错试题常警惕】易错典例：求过点()3,1M 的圆22(1)(2)4C x y ：－＋－＝的切线方程易错分析：易忽视切线斜率不存在的情况而失解．温馨提醒：求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质. 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.在解答三视图、直观图问题中，主要是通过图形的恰当转化，明确几何元素的数量关系，进行准确的计算．如：【典例】【2017届贵州省贵阳市第一中学、凯里市第一中学高考适应性卷（七）】已知直线()():21440l m x m y m ++-+-=上总存在点M ，使得过M 点作的圆C ： 222430x y x y ++-+=的两条切线互相垂直，则实数m 的取值范围是（ ）A. 1m ≤或2m ≥B. 28m ≤≤C. 210m -≤≤D. 2m ≤-或8m ≥【答案】C 【解析】。