北师大八下一元一次不等式与一次函数的应用
北师大版八年级下册数学各章知识要点总结
北师大版八年级下册数学各章知识要点总结北师大版八年级下册数学各章学问要点总结北师大版八年级数学下册各章学问要点总结第一章一元一次不等式和一元一次不等式组一、一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。
1、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2、不等式的解不唯一，把全部满意不等式的解集合在一起，构成不等式的解集.3、求不等式解集的过程叫解不等式.4、由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组5、不等式组的解集:一元一次不等式组各个不等式的解集的公共局部。
6、等式根本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式.根本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，所得的结果仍是等式.二、不等式的根本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.（注：移项要变号，但不等号不变。
）性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向转变.不等式的根本性质、若a>b,则ac>bc；、若a>b,c>0则ac>bc，若cc,则a>c四、一元一次不等式与一次函数五、一元一次不等式组※1.定义：由含有一个一样未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组.※2.一元一次不等式组中各个不等式解集的公共局部叫做不等式组的解集.假如这些不等式的解集无公共局部，就说这个不等式组无解.几个不等式解集的公共局部，通常是利用数轴来确定.※3.解一元一次不等式组的步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；（2）利用数轴求出这些解集的公共局部，（3）写出这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种状况（a、b为实数，且a找公因式的一般步骤：（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；（2）取一样的字母，字母的指数取较低的；（3）取一样的多项式，多项式的指数取较低的.（4）全部这些因式的乘积即为公因式.四、分解因式的一般步骤为:（1）若有“-”先提取“-”，若多项式各项有公因式,则再提取公因式.（2）若多项式各项没有公因式,则依据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.五、形如a+2ab+b或a-2ab+b的式子称为完全平方式.六、分解因式的方法：1、提公因式法。
一次函数与一元一次不等式的关系
一次函数与一元一次不等式的关系一次函数和一元一次不等式是初中数学中比较基础的知识点，两者之间也有着密切的联系。
本文将从定义、性质、图像等方面探讨一次函数和一元一次不等式之间的关系。
一、一次函数的定义一次函数是指形如 $y=kx+b$ 的函数，其中 $k$ 和 $b$ 都是常数，$x$ 和 $y$ 是变量。
其中，$k$ 称为斜率，表示函数图像的倾斜程度；$b$ 称为截距，表示函数图像与 $y$ 轴的交点。
二、一元一次不等式的定义一元一次不等式是指形如 $ax+b>0$ 或 $ax+b<0$ 的不等式，其中 $a$ 和 $b$ 都是实数，$x$ 是变量。
其中，$a$ 表示不等式左侧的系数，$b$ 表示不等式右侧的常数。
三、一次函数的性质1. 斜率为正，则函数是单调递增的；斜率为负，则函数是单调递减的。
2. 截距表示函数与 $y$ 轴的交点，当 $x=0$ 时，$y=b$。
3. 一次函数的图像是一条直线，可以通过两个点来确定。
四、一元一次不等式的性质1. 当 $a>0$ 时，不等式的解集为 $x>-b/a$；当 $a<0$ 时，不等式的解集为 $x<-b/a$。
2. 如果不等式中的 $<$ 变成了 $leq$ 或 $geq$，则解集不变。
3. 如果不等式中的 $>$ 和 $<$ 交换，不等式的解集也随之交换。
五、一次函数和一元一次不等式的关系1. 一次函数的图像可以用来表示一元一次不等式的解集。
例如，不等式 $2x+3>0$ 的解集可以表示成一次函数 $y=2x+3$ 在$y>0$ 区域的图像。
2. 一元一次不等式的解集也可以用来表示一次函数的定义域或值域。
例如，不等式 $3x-1<5$ 的解集为 $x<2$，则一次函数$y=3x-1$ 的定义域为 $(-infty, 2)$。
3. 一次函数的斜率和截距也可以用来确定一元一次不等式的形式。
第6讲 一元一次不等式的应用八年级数学下册同步讲义(北师大版)
第6讲一元一次不等式的应用目标导航2．能够利用观察一次函数图象直接求出不等式的解.3．有关一元一次不等式与一次函数的实际应用方案问题，必须熟练掌握.知识精讲知识点01 由实际问题抽象出一元一次不等式用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．【知识拓展1】（2020秋•海曙区期末）海曙区禁毒知识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣2分，小明得分要超过80分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为20﹣x，根据题意得（）A．5x﹣2（20﹣x）≥80B．5x﹣2（20﹣x）≤80C．5x﹣2（20﹣x）＞80D．5x﹣2（20﹣x）＜80【即学即练1】（2021春•高新区期末）一次环保知识竞赛共有20道选择题，答对一题得5分；答错或不答，每题扣1分．要使总得分不少于88分，则至少要答对几道题？若设答对x道题，可列出的不等式为（）A．5x﹣（20﹣x）＞88B．5x﹣（20﹣x）＜88C．5x﹣x≥88D．5x﹣（20﹣x）≥88【即学即练2】（2021春•宜州区期末）在“建党百年”知识抢答赛中，共有20道题，对于每一题，答对得10分，答错或不答扣5分，则至少答对多少题，得分才不低于95分？设答对x题，则可列不等式为（）A．10x﹣5（20﹣x）≥95B．10x+5（20﹣x）≥95C．10x﹣5（20﹣x）＞95D．10x+5（20﹣x）＞95【即学即练3】（2021•桂林模拟）某次数学竞赛共有16道题，评分办法是：每答对一道题得6分，每答错一道题扣2分，不答的题不扣分也不得分．已知某同学参加了这次竞赛，成绩超过了60分，且只有一道题未作答．设该同学答对了x道题，根据题意，下面列出的不等式正确的是（）A．6x﹣2（16﹣1﹣x）≥60B．6x﹣2（16﹣1﹣x）＞60C．6x﹣2（16﹣x）≥60D．6x﹣2（16﹣x）＞60知识点02 一元一次不等式的应用（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．【知识拓展1】（2021秋•西湖区校级期中）为鼓励居民使用天然气，某市天然气公司采用一种收费办法．若整个小区每户都安装，收整体初装费10000元，再对每户收费500元，某小区住户按这种收费方法全部安装天然气后，每户平均支付不足1000元，则这个小区的住户数（）A．至少20户B．至多20户C．至少21户D．至多21户【即学即练1】（2021•梁园区校级一模）某学校为响应政府号召，需要购买一批分类垃圾桶，分为蓝色（可回收），绿色（易腐），红色（有害垃圾）和黑色（其他）四类，学校打算买其中蓝色和黑色共100个（两种都得有），黑色的50元/个，蓝色的60元/个，总费用不超过5060元，则不同的购买方式有（）A．6种B．7种C．8种D．9种【即学即练2】（2021秋•虎林市期末）某次知识竞赛共有20道题，答对一题得10分，答错或不答均扣5分，小玉得分超过95分，他至少要答对（）道题．A．12B．13C．14D．15【即学即练3】（2021秋•永定区期末）某商店为了促销一种定价为3元的商品，采取下列方式优惠销售：若一次性购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分按原价八折付款．如果小明有30元钱，那么他最多可以购买该商品（）A．9件B．10件C．11件D．12件【知识拓展2】（2021秋•盐田区校级期末）超市要到厂家采购甲、乙两种工艺品共100个，付款总额不超（1）最多可采购甲种工艺品多少个？（2）若把100个工艺品全部以零售价售出，为使利润不低于2580元，则最少采购甲种工艺品多少个？【即学即练1】（2021秋•道里区期末）某班班主任对在某次考试中取得优异成绩的同学进行表彰．到商场购买了甲、乙两种文具作为奖品，若购买甲种文具12个，乙种文具18个，共花费420元；若购买甲种文具16个，乙种文具14个，共花费460元；（1）求购买一个甲种、一个乙种文具各需多少元？（2）班主任决定购买甲、乙两种文具共30个，如果班主任此次购买甲、乙两种文具的总费用不超过500元，求至多需要购买多少个甲种文具？【即学即练2】（2021秋•澧县期末）2021年冬季即将来临，德强学校准备组织七年级学生参观冰雪大世界．参观门票学生票价为160元，冰雪大世界经营方为学校推出两种优惠方案，方案一：“所有学生门票一律九折”；方案二：“如果学生人数超过100人，则超出的部分打八折”．（1）求参观学生为多少人时，两种方案费用一样．（2）学校准备租车送学生去冰雪大世界，如果单独租用45座的客车若干辆，则有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆，且其余客车恰好坐满，求我校七年级共有多少学生参观冰雪大世界？（司机不占用客车座位数）（3）在（2）的条件下，学校采用哪种优惠方案购买门票更省钱？【知识拓展3】（2021秋•上城区校级期中）我市某初中举行“八荣八耻”知识抢答赛，总共50道抢答题，抢答规定，抢答对1题得3分，抢答错1题扣1分，不抢答得0分，小军参加了抢答比赛，只抢答了其中的20道题，要使最后得分不少于50分，那么小军至少要答对（）道题？A．17B．18C．19D．20【即学即练1】（2021秋•滨江区校级期中）某种商品进价为700元，标价1100元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于10%，则至多可以打（）折．A．9B．8C．7D．6【即学即练2】（2021•嵊州市模拟）随看科技的进步，我们可以通过手机APP实时查看公交车到站情况．小明想乘公交车，可又不想静静地等在A站．他从A站往B站走了一段路，拿出手机查看了公交车到站情况，发现他与公交车的距离为720m（如图），此时有两种选择：（1）与公交车相向而行，到A公交站去乘车；（2）与公交车同向而行，到B公交站去乘车．假设小明的速度是公交车速度的，若要保证小明不会错过这辆公交车，则A，B两公交站之间的距离最大为（）A．240m B．300m C．320m D．360m知识点03 一次函数与一元一次不等式（1）一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜；当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞．【知识拓展1】（2021秋•瑶海区期末）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣3，2），则关于x的不等式kx+b＜2解集为（）A．x＞﹣3B．x＜﹣3C．x＞2D．x＜2【即学即练1】（2021秋•蜀山区期末）一次函数y＝kx+b（k，b为常数且k≠0）的图象如图所示，且经过点（﹣2，0），则关于x的不等式kx+b＞0的解集为．【即学即练2】（2021秋•槐荫区期末）如图，一次函数y＝2x+8的图象经过点A（﹣2，4），则不等式2x+8＞4的解集是（）A．x＜﹣2B．x＞﹣2C．x＜0D．x＞0【即学即练3】（2021秋•龙凤区期末）一次函数y＝mx﹣n（m，n为常数）的图象如图所示，则不等式mx ﹣n≥0的解集是（）A．x≥2B．x≤2C．x≥3D．x≤3【即学即练4】直线y＝kx+b交坐标轴于A（﹣2，0），B（0，3）两点，则关于x的不等式kx+b＜0的解集是．【知识拓展2】（2021•滨江区校级三模）一次函数y1＝ax﹣a+1（a为常数，且a≠0）．（1）若点（﹣1，3）在一次函数y1＝ax﹣a+1的图象上，求a的值；（2）若a＞0，当﹣1≤x≤2时，函数有最大值5，求出此时一次函数y1的表达式；（3）对于一次函数y2＝kx+2k﹣4（k≠0），若对任意实数x，y1＞y2都成立，求k的取值范围．【即学即练1】（2021•龙岩模拟）对于平面直角坐标系xOy中第一象限内的点P（x，y）和图形W，给出如下定义：过点P作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M，N，若图形W中的任意一点Q（a，b）满足a≤x 且b≤y，则称四边形PMON是图形W的一个覆盖，点P为这个覆盖的一个特征点．例：若M（1，3），N（4，3），则点P（5，4）为线段MN的一个覆盖的特征点．已知A（1，4），B（4，1），C（2，4），求解下列问题：（1）在P1（2，4），P2（4，4），P3（5，5）中，是△ABC的覆盖特征点的有P2，P3；（2）若在一次函数y＝mx+6（m≠0）的图象上存在△ABC的覆盖的特征点，求m的取值范围．【即学即练2】（2020秋•丰都县期末）问题：探究函数y＝|x+1|﹣2的图象和性质．小华根据学习函数的方法和经验，进行了如下探究，下面是小华的探究过程，请补充完整：（1）下表是y与x的几组对应值，请将表格补充完整：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10123…y…21m n﹣2﹣1012…表格中m的值为，n的值为．（2）如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象；（提示：先用铅笔画图，确定后用签字笔画图）（3）进一步探究：观察函数的图象，可以得出此函数的如下结论：①当自变量时，函数y随x的增大而增大；②当自变量x的值为时，y＝3；③解不等式|x+1|﹣2＜0的结果为．能力拓展例1．（2020·黑龙江哈尔滨市·九年级一模）2020年初武汉爆发新冠肺炎疫情，使得口罩成为人们生活的必需品．爱民药店库存一批N95和普通医用两种类型口罩，N95口罩进价是普通医用口罩进价的5倍，药店把N95口罩和普通医用口罩在进价基础上分别加价40%、50%做为零售价．某人在爱民药店用84元购买一种口罩，发现买普通医用口罩的数量恰好比买N95口罩的数量4倍还多4个．（1）求两种口罩的进价分别是多少元?（2）随着疫情的进一步恶化，爱民药店的口罩很快被抢购一空．该药店再去厂家进货时发现，由于原材料上涨，N95口罩进价上涨20%，普通医用口罩进价上涨了30%．爱民药店购进这两种口罩共1500个，在零售时，N95口罩保持原售价不变，而普通医用口罩在原售价基础上上调20%，该药店要想在这批口罩全部售出后的利润不少于2000元（不考虑其它因素），则这次至少购进N95口罩多少个?例2．（2020·黑龙江哈尔滨市·九年级三模）某加工厂甲、乙二人制造同一种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙作60个所用的时间相等．（1）求甲、乙每小时各做多少个机械零件．（2）该加工厂急需甲、乙二人制造该种机械零件228个，由于乙另有其它任务，所以先由甲工作若干小时后再由甲、乙共同完成剩余的任务，工厂要求必须不超过10小时完成任务，请你求出乙至少工作多少小时？【变式1】（2020·长沙市雅礼实验中学八年级月考）“四书五经”是中国的“圣经”，“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》和《孟子》（四书）及《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》（五经）的总称，这是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙．某学校计划分阶段引导学生读这些书，先购买《论语》和《孟子》供学生阅读．已知购进《孟子》和《论语》，已知一本《孟子》的进价与一本《论语》的进价的和为40元，用90元购进《孟子》的本数与用150元购进《论语》的本数相同．（1）求每本《孟子》、每本《论语》的进价分别是多少元？（2）今年《孟子》和《论语》的单价和去年相比保持不变，该学校计划购进《孟子》和《论语》共100本，但花费总额不超过1800元，求最少购进《孟子》多少本？【变式2】（2020·沙坪坝区·重庆八中八年级月考）受疫情影响，口罩价格不断走高.3月20日当天口罩的价格是年初的1.5倍；3月20日当天，王老师购买4盒口罩比年初多花了48元.（1）那么3月20日当天口罩的价格为每盒多少元？（2）3月20日，按照（1）中的口罩价格，某售卖点共卖出1000盒口罩.3月21日，政府决定投入储备口罩并规定其销售价在3月20日的基础上下调0.7%a出售.该售卖点按规定价出售一批储备口罩和非储备口罩，该售卖点的非储备口罩仍按3月20日的价格出售，3月21日当天的两种口罩总销量比3月20日增加了20%，且储备口罩的销量占总销量的56，两种口罩销售的总金额比3月20日至少提高了1%10a，求a的最大值.【变式3】（2020·和平县实验初级中学七年级月考）某班为了开展乒乓球比赛活动，准备购买一些乒乓球和乒乓球拍，通过去商店了解情况，甲乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价48元，乒乓球每盒定价12元，经商谈，甲乙两家商店给出了如下优惠措施：甲店每买一副乒乓球拍赠送一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠．现该班急需乒乓球拍5副，乒乓球x盒（不少于5盒）．（1）请用含x的代数式表示：去甲店购买所需的费用；去乙店购买所需的费用．（结果要求化简）（2）当需要购买40盒乒乓球时，通过计算，说明此时去哪家商店购买较为合算；（3）试探究，当购买乒乓球的盒数x取什么值时，去哪家商店购买更划算？【变式4】（2020·浙江省杭州市萧山区高桥初级中学八年级期中）某商场计划经销A、B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、售价如表所示：（2）在每种台灯销售利润不变的情况下，若该商场销售这批台灯的总利润不少于1400元，问至少购进B 种台灯多少盏？【变式5】（2020·舟山市第一初级中学八年级期中）在抗击新冠肺炎疫情期间，我校购买酒精和消毒液两种消毒物资，供师生使用．第一次购买酒精和消毒液若干，酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花费了350元；第二次又购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于恰逢商城打折，酒精和消毒液每瓶价格分别打7折和8折，此次只花费了260元．（1）求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？（2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的2倍，现有购买资金200元，则最多能购买消毒液多少瓶？【变式6】（2019·山西八年级期末）山西民间的雕刻艺术源远流长，主要以古代传统吉祥纹样为素材，以石雕、木雕砖雕等形式，来体现主人的高尚情操和文化修养以及人们的美好愿望.某木雕经销商购进“木象”和“木马”两种雕刻艺术品，购“木象”艺术品共用了2000元，“木马”艺术品共用了2400元已知“木马”每件的进价比“木象”每件的进价贵8元，且购进“木象”“木马”的数量相同.()1求每件“木象”、“木马”艺术品的进价；()2该经销商将购进的两种艺术品进行销售，“木象”的销售单价为60元，“木马”的销售单价为88元，销售过程中发现“木象”的销量不好，经销商决定:“木象”销售一定数量后，将剩余的“木象”按原销售单价的七折销售；“木马”的销售单价保持不变要使两种艺术品全部售完后共获利不少于2460元，问“木象”按原销售单价应至少销售多少件？题组A 基础过关练1．如图，一次函数y ＝kx+b （k ，b 为常数，且k ≠0）的图象过点A （0，﹣1），B （1，1），则不等式kx+b ＞1的解集为（ ）A ．x ＞0B ．x ＜0C ．x ＞1D ．x ＜12．如图，直线y ＝kx+b 与直线y ＝3x ﹣2相交于点（12，﹣12），则不等式3x ﹣2＜kx+b 的解为（ ）A ．x ＞12B ．x ＜12C ．x ＞﹣12D ．x ＜﹣123．如图，一次函数y kx b =+（,k b 为常数，且0k ≠）的图像经过点(3,2)-，则关于x 的不等式2kx b +<的解集为（ ）A ．3x >-B ．3x <-C ．2x >D ．2x <分层提分4.如图，射线1l反映了某棉业有限公司的加工销售收入与销售量的之间的函数关系，射线2l反映了该公司的加工成本与销售量之间的关系，当该公司盈利时，销售量应为（）A．大于3t B．等于4t C．小于6t D．大于6t5．（2021秋•澧县期末）目前新冠变异毒株“奥密克戎”肆虐全球，疫情防控形势严峻．体温T超过37.3℃的必须如实报告，并主动到发热门诊就诊．体温“超过37.3℃”用不等式表示为（）A．T＞37.3℃B．T＜37.3℃C．T≤37.3℃D．T≤﹣37.3℃6．（2020秋•海曙区期末）海曙区禁毒知识竞赛共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣2分，小明得分要超过80分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，则他答错或不答的题数为20﹣x，根据题意得（）A．5x﹣2（20﹣x）≥80B．5x﹣2（20﹣x）≤80C．5x﹣2（20﹣x）＞80D．5x﹣2（20﹣x）＜807．（2021春•龙华区期末）某校拟用不超过2600元的资金在新华书店购买党史和改革开放史书籍共40套来供学生借阅，其中党史每套72元，改革开放史每套60元，那么学校最多可以购买党史书籍多少套？设学校可以购买党史书籍x套，根据题意得（）A．72x+60（40﹣x）≤2600B．72x+60（40﹣x）＜2600C．72x+60（40﹣x）≥2600D．72x+60（40﹣x）＝26008．（2021秋•西湖区校级期中）为鼓励居民使用天然气，某市天然气公司采用一种收费办法．若整个小区每户都安装，收整体初装费10000元，再对每户收费500元，某小区住户按这种收费方法全部安装天然气后，每户平均支付不足1000元，则这个小区的住户数（）A．至少20户B．至多20户C．至少21户D．至多21户9．（2021•梁园区校级一模）某学校为响应政府号召，需要购买一批分类垃圾桶，分为蓝色（可回收），绿色（易腐），红色（有害垃圾）和黑色（其他）四类，学校打算买其中蓝色和黑色共100个（两种都得有），黑色的50元/个，蓝色的60元/个，总费用不超过5060元，则不同的购买方式有（ ）A ．6种B ．7种C ．8种D ．9种．10.（2021•集美区模拟）小军到水果店买水果，他身上带的钱恰好可以购买15个苹果或21个橙子，若小军先买了9个苹果，则他身上剩下的钱最多可买橙子（ ）A ．7个B ．8个C ．9个D ．10个11．（2021春•无棣县期末）某种商品的进价为40元，出售时标价为60元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（ ）折．A ．7B ．6C ．8D ．512.已知一次函数y kx b =+的图像如图所示，则关于x 的不等式320kx b ->的解集为_____．13．（2021秋•温州期中）全国文明城市创建期间，某校组织开展“垃圾分类”知识竞赛，共有25道题．答对一题记4分，答错（或不答）一题记﹣2分．小明参加本次竞赛得分要超过60分，他至少要答对 道题．14．（2021春•老河口市期末）某种商品的进价为1000元，出售时标价为1500元，由于该商品积压，商店决定打折出售，但要保证利润率不低于20%，则至多可打 折．15．（2021春•平罗县期末）在某次篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场扣1分，某队预计在2019﹣2020赛季全部32场比赛中最少得到48分，才有希望进入季后赛，则这个队至少胜 场才有希望进入季后赛．16．（2021春•榆阳区期末）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购A 、B 两种型号的一体机共1100套，已知去年每套A 型一体机1.2万元每套、B 型一体机1.8万元，经过调查发现，今年每套A 型一体机的价格比去年上涨25%，每套B 型一体机的价格不变，若购买B 型一体机的总费用不低于购买A 型一体机的总费用，则该市最多可以购买 套A 型一体机．17．某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如表．（1）若工厂计划获利14万元，则A，B两种产品应分别生产多少件？（2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且生产A产品x件，请列出不等式．18．（2021•福建模拟）疫情期间为了满足测温的需求，某学校决定购进一批额温枪．经了解市场，购买A 种品牌的额温枪每支300元，B种品牌的额温枪每支350元．经与商家协商，A种品牌的额温枪降价15%，B种品牌的额温枪打八折销售．若购买两种品牌的额温枪共50支且总费用不超过13000元，则至少要购买A种品牌的额温枪多少支？19．（2021春•淮阳区校级期末）某市要创建“全国文明城市”．其小区为了响应号召，计划购进A，B两种树苗共23棵．已知A种树苗每棵100元，B种树苗每棵80元．（1）若购进A，B两种树苗共花费了2100元，问购进A，B两种树苗各多少棵？（2）若购进A种树苗的数量不少于B种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．题组B 能力提升练1．如图，一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象经过点A(－2，4)，则不等式kx ＋b ＞4的解集是( )A ．x ＜－2B ．x ＞－2C ．x ＜0D ．x ＞02．如图，若一次函数y ＝－2x ＋b 的图象与两坐标轴分别交于A ，B 两点，点A 的坐标为(0，3)，则不等式－2x ＋b ＞0的解集为( )A ．x ＞32B ．x ＜32C ．x ＞3D ．x ＜33.若一次函数y ＝kx ＋b(k ，b 为常数，且k ≠0)的图象经过点A(0，－1)，B(1，1)，则不等式kx ＋b ＞1的解集为( )A ．x ＜0B ．x ＞0C ．x ＜1D ．x ＞14．如图，直线y ＝kx ＋b(k ≠0)经过点(－1，3)，则不等式kx ＋b ≥3的解集为( )A ．x ＞－1B ．x ＜－1C ．x ≥3D ．x ≥－15.如图，直线y＝kx－b与横轴、纵轴的交点分别是(m，0)，(0，n)，则关于x的不等式kx－b≥0的解集为( )A．x≥m B．x≤mC．x≥n D．x≤n6.如图，直线y＝kx＋b(k、b是常数k≠0)与直线y＝2交于点A(4，2)，则关于x的不等式kx＋b＜2的解集为___．7.如图，直线y＝x＋2与直线y＝ax＋c相交于点P(m，3)，则关于x的不等式x＋2≤ax＋c的解集为____.8.一次函数y＝ax＋b与正比例函数y＝kx在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则关于x的不等式ax ＋b≥kx的解集为___．9．已知一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图所示，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③b＜0；④关于x的方程kx＋b＝x＋a的解为x＝3；⑤x＞3时，y1＜y2.其中正确的结论是____．(只填序号)10．在坐标系中作出函数y ＝2x ＋6的图象，利用图象解答下列问题：(1)求方程2x ＋6＝0的解；(2)求不等式2x ＋6＞－2的解集；(3)若2≤y ≤6，求x 的取值范围．11.如图，一次函数1: 22l y x =-的图像与x 轴交于点D ；一次函数2: l y kx b =+的图像与x 轴交于点A ，且经过点()3,1B ，两函数图像交于点(),2C m ．（1）求m ，k ，b 的值；（2）根据图象，直接写出122kx b x <+<-的解集．12.某单位要制作一批宣传材料，甲公司提出：每份材料收费25元，另收2 000的设计费；乙公司提出：每份材料收费35，不收设计费．(1)请用含x 代数式分别表示甲乙两家公司制作宣传材料的费用；(2)试比较哪家公司更优惠？说明理由．13.为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A ，B 两种树苗共17棵，已知A 种树苗每棵80元，B 种树苗每棵60元．(1)若购进A ，B 两种树苗刚好用去1 220元，问购进A ，B 两种树苗各多少棵？(2)若购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．14.如图，一次函数y kx b =+的图象经过点()1,5A -，与x 轴交于点B ，与正比例函数3y x =的图象交于点C ，点C 的横坐标为1（1）求AB 的函数表达式；（2）若点D 在y 轴负半轴，且满足13COD BOC S S =△△，求点D 的坐标； （3）若3kx b x +<，请直接写出x 的取值范围．题组C 培优拔尖练一．填空题（共6小题）1．一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成任务，请列出以后几天平均每天至少要完成的土方数x 应满足的不等式为 ． 2．（2021秋•江北区校级期中）据了解，受国庆节期间火爆上映的六部影片的影响，而其相关著作也受到广大书迷朋友的追捧．已知某网上书店《长津湖》的销售单价与《我和我的父辈》相同，《铁道英雄》的销售单价是《五个扑水的少年》单价的3倍，《长津湖》与《五个扑水的少年》的单价和大于50元且不超过60元；若自电影上映以来，《长津湖》与《五个扑水的少年》的日销售量相同，《我和我的父辈》的日销售量为《铁道英雄》日销售量的3倍，《长津湖》与《铁道英雄》的日销售量和为450本，且《长津湖》的日销售量不低于《铁道英雄》的日销售量的且小于230本，《长津湖》与《铁道英雄》的日销售额之和比《我和我的父辈》、《五个扑水的少年》的日销售额之和多2205元，则当《长津湖》、《铁道英雄》这两部小说日销售额之和最多时，《长津湖》的单价为 元．3．（2021春•许昌期末）为了提高学校的就餐效率，巫溪中学实践小组对食堂就餐情况进行调研后发现：在单位时间内，每个窗口买走午餐的人数和因不愿长久等待而到小卖部的人数各是一个固定值，并且发现若开一个窗口，45分钟可使等待的人都能买到午餐，若同时开2个窗口，则需30分钟．还发现，若能在15分钟内买到午餐，那么在单位时间内，去小卖部就餐的人就会减少80%．在学校总人数一定且人人都要就餐的情况下，为方便学生就餐，总务处要求食堂在10分钟内卖完午餐，至少要同时开多少 个窗口．4．（2019春•沙坪坝区校级期末）为迎接建国70周年，某商店购进A，B，C三种纪念品共若干件，且A，B，C三种纪念品的数量之比为8：7：9．一段时间后，根据销售情况，补充三种纪念品后，库存总数量比第一次多200件，且A，B，C三种纪念品的比例为9：10：10．又一段时间后，根据销售情况，再次补充三种纪念品，库存总数量比第二次多170件，且A，B，C三种纪念品的比例为7：6：6．已知第一次三种纪念品总数量不超过1000件，则第一次购进A种纪念品件．5．（2019•沙坪坝区校级二模）临近端午，某超市准备购进某品牌的白粽、豆沙粽、蛋黄粽，三种品种的粽子共1000袋（每袋均为同一品种的粽子），其中白粽每袋12个，豆沙粽每袋8个，蛋黄粽每袋6个．为了推广，超市还计划将三个品种的粽子各取出来，拆开后重新组合包装，制成A、B两种套装进行特价销售：A套装为每袋白粽4个，豆沙粽4个；B套装为每袋白粽4个，蛋黄粽2个，取出的袋数和套装的袋数均为正整数．若蛋黄粽的进货袋数不低于总进货袋数的，则豆沙粽最多购进袋．6．（2020秋•东阳市期末）已知直线y＝x+2与函数y＝图象交于A，B两点（点A在点B 的左边）．（1）点A的坐标是；（2）已知O是坐标原点，现把两个函数图象水平向右平移m个单位，点A，B平移后的对应点分别为A′，B′，连接OA′，OB′．当m＝时，|OA'﹣OB'|取最大值．二．解答题（共7小题）7．一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一题得4分，答错或不答倒扣1分，在这次竞赛中，小明获得80分以上，则小明至少答对多少道题？设小明答对x道题，用不等式表示题目中的不等关系．8．若一件商品的进价为500元，标价为750元，商店要求以利润率不低于5%的售价打折出售，问售货员最低打几折出售此商品设打x折，用不等式表示题目中的不等关系．。
一元一次不等式与一次函数(第2课时)(课件)八年级数学下册(北师大版)
探究新知
解：设该单位参加这次旅游的人数是 x 人，选择甲旅行 社时，所需的费用为 y 1 元，选择乙旅行社时，所需的费 用为 y 2 元，则 y 1 = 200 × 0.75 x， 即 y 1 = 150 x； y 2 = 200 × 0.8（x - 1），即 y 2 = 160 x - 160.
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例 3 ： 为绿 化 校园 ， 某校 计 划购 进 A， B两 种 树苗 ， 共 21 棵．已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买B种 树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元． (1)y与x的函数关系式为________； (2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种
千米收取的费用比乙租赁公司多 D．除去月固定租赁费，甲租赁公司平均每
千米收取的费用比乙租赁公司少
随堂练习
4.某电信公司有甲、乙两种手机收费业务.甲种业务规定 月租费10元，每通话1 min收费0.3元；乙种业务不收月 租费，但每通话1 min收费0.4元.你认为何时选择甲种业 务对顾客更合算？何时选择乙种业务对顾客更合算？
情境导入
一次函数与一元一次不等式的关系是什么？ 一次函数与一元一次不等式的关系： 任何一元一次不等式都可以化为ax＋b＞0或ax＋b＜0(a，b为 常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式就可以看成当一次 函数的值大于或小于0时，求相应的自变量的取值范围． 从 图 象 上 看 ， ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0 的 解 集 是 使 直 线 y ＝ ax ＋ b(a≠0)位于x轴的上方或下方的部分对应的x的取值范围．
探究新知
核心知识点一： 一元一次不等式与一次函数的综合应用
例1：某电信公司有甲、乙两种手机收费业务.甲种业务规 定月租费10元，每通话1min收费0.3 元；乙种业务不收月租 费，但每通话1min收费0.4 元. 你认为何时选择甲种业务对 顾客更合算？何时选择乙种业务对顾客更合算？
北师大版2019-2020八年级数学下册第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组章末复习课件(共60张)
章末复习
解 解不等式组, 得xx≤≥b4，.5. 由题意知原不等式组有解, 所以原不等式 组的解集为4.5≤x≤b, 如图2-Z-2所示, 将x≥4.5表示在数轴上. 由整数解 有3个, 可知整数解为5, 6, 7.结合图形可知7≤b＜8.
章末复习
链接1 [南宁中考]若m＞n, 则下列不等式正确的是( ).
解析 ①分别求出两个不等式的解集；②求两个不等式解集的公共部分； ③在两个不等式解集的公共部分中确定整数解．
章末复习
解：解不等式 3x－1＜x＋5，得 x＜3. 解不等式x－2 3＜x－1，得 x＞－1. ∴不等式组的解集为－1＜x＜3，它的整数解为 0，1，2.
章末复习
专题三 根据不等式(组)的解集确定字母的值(取值范围)
分析 由题意可得不等关系：购买乒乓球的花费+购买球拍的花≤200元, 由此可列不等式解决问题.
章末复习
解 设购买 x个球拍. 根据题意, 得1.5×20+22x≤200.
解这个不等式,
得x≤
8 711
. 因为x取整数,
所以x的最大值为7.
故孔明应该买7个球拍.
章末复习
相关题4 为加强中小学生安全和禁毒教育, 某校组织了“防溺水、 交通安全、禁毒”知识竞赛, 为奖励在竞赛中表现优异的班级, 学校准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球(每个足 球的价格相同, 每个篮球的价格相同). 已知购买1个足球和1个篮 球共需159元；1个足球的价格比1个篮球的价格的2倍少9元. (1)足球和篮球的单价各是多少？ (2)根据学校实际情况, 需一次性购买足球和篮球共20个, 但要求 购买足球和篮球的总费用不超过1550元, 学校最多可以购买多少 个足球？
初二下册数学知识点归纳北师大版
初二下册数学知识点归纳北师大版一、内容概要在数与代数方面，学生将深入学习实数、代数式的性质及其运算，掌握二次根式、分式等概念，并对一元一次方程和不等式进行深入探讨。
函数概念的进一步学习也是本阶段的重要内容，特别是与实际问题结合的函数应用。
几何图形部分，学生将继续学习平面几何的基础知识，如三角形、四边形等图形的性质与判定。
同时通过丰富的实例引入坐标法，帮助学生理解坐标系与几何图形之间的关系，为日后的解析几何学习打下基础。
在统计与概率方面，学生将加强对数据的收集、整理和分析能力，学习绘制图表、计算概率等基本技能，并应用这些技能解决实际问题。
此外概率的初步应用以及数据分析和推断也是本阶段的重要内容。
此外还将介绍一些拓展性的知识，如视图与投影、图形的变换等，以帮助学生从多个角度理解数学，拓宽数学视野。
通过对这些内容的深入学习，学生将更好地理解和掌握数学知识，为将来的学习和生活打下坚实的基础。
二、代数式与方程在初二下册的数学学习中，我们将继续深化对代数式的学习。
代数式是由数字、字母通过加、减、乘、除、乘方等运算所构成的数学表达式。
这一阶段学生需要熟练掌握代数式的性质，如交换律、结合律和分配律等。
此外学生还需要理解代数式的值，即当给代数式中的字母赋予具体数值时，代数式的计算结果。
方程是含有未知数的等式，在初二下册，我们将学习如何解一元一次方程和二元一次方程。
解方程的过程中，需要掌握等式的性质，如等式两边同时加减、乘除一个数，等式依然成立。
此外还需掌握如何移项、合并同类项等解方程的基本技巧。
对于二元一次方程，还需要学习代入法和消元法等方法来求解。
同时学生应理解方程的应用，如日常生活中的行程问题、工程问题、浓度问题等，都可以通过设立方程来解决。
在解决应用问题时，学生需要具备从实际问题中抽象出数学模型的能力，这是数学学习的关键技能之一。
1. 代数式的概念与运算代数式基础概念：代数式是由数字、字母（代表未知数）以及数学运算符号（如加、减、乘、除等）构成的数学表达式。
一元一次不等式与一次函数(2
“一元一次不等式与一次函数（2）”教学设计设计者：深圳实验学校初中部詹欣豪老师一、教材分析本节课是北师大版初中数学八年级下册第二章第五节第二课时的内容，承接第一课时，旨在进一步研究一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关联性，并综合运用一次函数与一元一次不等式解决实际问题．本节课既是对前面所学知识的丰富与应用，也是为后续学习反比例函数、二次函数与方程、不等式的知识奠定了重要基础．二、学情分析1．认知基础：学生已经学习了一次函数、一元一次方程、一元一次不等式等内容，具备进一步探索三者联系和解决实际问题的学习经验和心理需求；2．认知障碍：八年级学生处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段，对于从“数”与“形”两方面理解这三者关系存在一些困难．三、教学目标1．通过具体实例，进一步体会一次函数、一元一次方程、一元一次不等式的内在联系及解决实际问题中的作用；2．经历“代数法”和“图象法”解决实际问题的过程，感受数形结合、数学建模、分类讨论等思想，培养问题解决能力，积累活动经验；3．通过较优方案选择，体会数学源于生活又服务于生活，感受数学知识和数学方法的辩证统一，发展数学核心素养．四、教学重难点1．教学重点：探究一次函数、一元一次方程、一元一次不等式的内在联系，会用“代数法”和“图象法”解决实际问题；2．教学难点：分段函数图象的绘制及“图象法”思路的形成．五、教学过程（一）回顾思考，藤蔓之美回顾：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式有什么联系呢？教师引导学生共同得出：当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值；当已知一次函数中的一个变量的取值范围时，可以用一元一次不等式确定另一个变量的取值范围．设计意图：复习第一课时的内容，从“数”的角度建立了一次函数与一元一次不等式、一元一次方程的内在联系．教师顺势总结：我们所学习的代数内容沿着从“数→式”的脉络，进而发展出方程与不等式，最后以函数的视角统领全局，如同一条渐次生长的藤蔓．设计意图：藤蔓之美，让三个“一次”串珠成线，使得学生不仅拥有了整体观，而且对不同知识的整体一致与和谐美妙有了更深的理解．（二）函数统领，高屋建瓴例1 已知一次函数y =kx +b 的图象经过（0, 4），（3, 0）两点，求不等式kx +b >0的解集．问题1：可以通过待定系数法求出k ，b ，再解一元一次不等式吗？问题2：可以从函数图象来解决问题吗？教师引导：从一次函数的图象上看，y >0表示图象在x 轴上方的部分，这部分上的点的横坐标的范围是x <3，即不等式kx +b >0的解集是x <3．并总结：一次函数y =kx +b kx +b =c （一元一次方程） kx +b <c 或kx +b >c （一元一次不等式）对于直线y =kx +b ：① 图象在x 轴的上方部分，表示y >0，即kx +b >0；② 图象与x 轴相交于（x , 0），表示y =0，即kx +b =0；③ 图象在x 轴的下方部分，表示y <0，即kx +b <0．设计意图：以一次函数的图象特点及不等式解集的意义为生长点，以数形结合思想为生长路径，构建了一次函数与一元一次不等式的联系．变式1 如图，直线y =kx +b 的图象经过A （3, 1），B （6, 0）两点，求：（1）直线OA 的解析式；（2）不等式13kx b x +<的解集．有了例1的铺垫，容易联想到从函数图象的视角来看待不等式．这是一个“双函数”的问题，需确定当x 取何值时，直线13y x =的图象在直线y =kx +b 的图象上方．当x >3时，13y x =对应的函数值要比y =kx +b 对应的函数值大．变式2 如图，已知直线1123y x =-+，213y x =，若无论x 取何值，y 都取y 1，y 2中的较小值，求y 的最大值．实际上，这是一个“三函数”的问题，y 是由y 1，y 2产生的新函数，理解题意、数形结合，描绘出y 的函数图象，确定何处取得最值为关键．由图得：y max =1．设计意图：在例1学习的基础上，通过变式及问题串，实现“垂直数学化”，帮助学生进一步强化理解“利用函数图象解不等式”的威力．（三）生活情境，学以致用例 2 某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10至25人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元．经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠．该单位选择哪家旅行社支付的费用较少？请大家先猜想一下，你选哪家旅行社？再通过计算验证．教师引导学生分析：首先要根据题意，分别表示出两家旅行社关于人数的费用，然后才能比较．而且比较情况有三种：等于、大于、小于．解：设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时, 所需的费用为y1元；选择乙旅行社时，所需的费用为y2元，则：y1=200×0.75x=150x，y2=200×0.8（x–1）=160x–160由y1=y2，得150x=160x–160，解得：x=16；由y1>y2，得150x>160x–160，解得：x<16；由y1<y2，得150x<160x–160，解得：x>16．因为参加旅游的人数为10至25人，所以：当x=16时，甲、乙两家旅行社的收费相同；当17≤x≤25时，选择甲旅行社费用较少；当10≤x≤15时，选择乙旅行社费用较少．设计意图：让学生经历运用一元一次不等式解决一次函数问题的过程，师生共同梳理解决决策型应用题的步骤及格式规范，起到示范作用．（四）推陈出新，深化理解例 3 小明买了部手机准备入网，咨询了电信公司后，得到了以下两种计费套餐，他该如何选择？解法1：设每月通话时间为x分钟，A套餐每月话费为y A元，B套餐每月话费为y B元，则：y A=0.4x+50，y B=0.6x由y A=y B，得0.4x+50=0.6x，解得：x=250；由y A>y B，得0.4x+50>0.6x，解得：x<250；由y A<y B，得0.4x+50<0.6x，解得：x>250．答：当x=250时，A套餐与B套餐相同；当0≤x<250时，选择B套餐较为省钱；当x>250时，选择A套餐较为省钱．教师整理：在解决这一问题时我们采用了分类讨论的思想．这种利用方程和不等式的思想来解决较优方案问题的方法我们称之为代数法．解法2：由解法1得：y A =0.4x +50，y B =0.6x ，在同一平面直角坐标系中画出函数图象，得：当x =250时，A 套餐与B 套餐相同；当0≤x <250时，选择B 套餐较为省钱；当x >250时，选择A 套餐较为省钱．教师整理：这种利用函数图象来解决较优方案问题的方法我们称之为图象法． 设计意图：对同一问题多种解法的思考，意在激发学生的学习兴趣，开拓学生思路，培养学生发散性思维能力以及勇于创新的精神．变式 小颖也买了部手机准备入网，咨询了电信公司后，得到了两种新的计费套餐，她该如何选择？C 套餐D 套餐 月租费30元 50元 每月免费通话时间50分钟 150分钟 超出后每分钟收费 0.4元 0.4元头脑风暴：结合该背景，思考如下问题：1．服务质量相同，选择套餐的依据是什么？2．每月付费金额与什么有关？3．涉及哪些量？哪些已知？哪些未知？4．怎样用式子来表示每月话费与通话时间的关系？5．怎样求这个数学问题的解？6．解法是否具有多样性？7．用数学知识解决实际问题一般要经历哪几个环节？设计意图：套餐的变更既是知识的巩固又是知识的拓展，它激发了学生思考的欲望，头脑风暴则引导着学生对新问题的自主思考．解法1：设每月通话时间为x 分钟，C 套餐每月话费为y C 元，D 套餐每月话费为y D 元，则：30(050)0.410(50)C x y x x ≤≤⎧=⎨+>⎩， 50(0150)0.410(150)D x y x x ≤≤⎧=⎨->⎩这两个函数均为分段函数，在同一平面直角坐标系中画出函数图象：结合图象得：当x =100时，C 套餐与D 套餐相同；当0≤x <100时，选择C 套餐较为省钱；当x >100时，选择D 套餐较为省钱．解法2：由解法1得：30(050)0.410(50)C x y x x ≤≤⎧=⎨+>⎩， 50(0150)0.410(150)D x y x x ≤≤⎧=⎨->⎩ ① 当0≤x ≤50时，y C <y D ；② 当50<x ≤150时， 由0.4x +10<50，解得：x <100；由0.4x +10=50，解得：x =100；由0.4x +10>50，解得：x >100；③ 当x >150时，由0.4x －10<0.4x +10，得：y D <y C ．综上所述：当x =100时，C 套餐与D 套餐相同；当0≤x <100时，选择C 套餐较为省钱；当x >100时，选择D 套餐较为省钱．教师总结：代数法的优点是准确严密，缺点是分类要求高且运算量大；图象法的优点是直观形象，缺点是画图要求高．就本题而言，图象法更为简便，选择较优方法能让我们节省时间，少犯错．设计意图：本题的两种解法，既是对前面知识的巩固和拓展，又可以检查学生知识的掌握情况，而对解法优劣的判断又可以帮助学生选择较优解法．教师带领学生共同整理问题解决的一般环节：实际问题 理想化问题 寻找变量关系 建立数学模型 纯数学问题 求解数学模型 解释数学结果 反思发散、评价、引申设计意图：本例意在培养学生的“识图”和“释图”能力，将提取的有效信息进行分析、整合、数学化的能力，以及数学建模、数学抽象、数学运算等核心素养．（五）小结反思，布置作业小结清单：1．你在学习过程中获得了哪些知识？感受到了哪些思想方法？2．你在学习过程中碰到哪些困难？有哪些收获？教师与学生共同整理，这节课我们解决了一个问题：怎样选择较优方案；得出了两种方法：代数法和图象法；渗透了多种思想：数形结合思想、函数思想、转化化归思想、分类讨论思想、数学建模思想等．布置作业：1．（基础练习）课本53页习题2.7第1-3题；2．（拓展练习）如果将例3中的A，B，C，D四个套餐共同纳入考虑，又应该如何选择？3．（课题研究）任选一个生活中的选择性问题，以研究报告的形式上交研究成果．要求：①问题是有意义的且自己想解决的；②提供尽可能多的数学方法；③有研究后的思考与体会．设计意图：学生总结收获，有利于学生理清思路、整理经验；教师在学生总结的基础上进一步小结内容，可提纲挈领、升华主题．由浅入深的分层作业，能够强化本节课所学知识，也能尊重个体差异，满足不同程度学生的需求．六、教学反思1．本节课的要让学生体会：刻画运到变化的规律需要用函数模型；刻画变化过程中同类量之间的大小，需要用不等式模型；刻画运动变化过程中的某一瞬间需要用方程模型．解决实际问题时，要合理选择这三种数学模型；2．教学过程中，要让学生在“活动”中学习，在“主动”中体验，在“合作”中发展，在“探究”中创新．在自主学习中探究，在质疑问难中探究，在观察比较中探究，在矛盾冲突中探究，在问题解决中探究，在实践活动中探究；3．教师要注重从学生的生活实际出发，通过设计问题串引导学生思考、促进学生理解，宏观引导，适时点拨，规范演示，及时提炼．。
一元一次不等式与一次函数整理
一元一次不等式与一次函数整理一元一次不等式和一次函数是初中数学中的重要内容，它们在实际生活中有着广泛的应用。
本文将从概念、性质、解法和应用四个方面来介绍一元一次不等式和一次函数。
一、概念一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次不等式，例如：ax+b>c，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
一次函数是指函数的表达式为y=kx+b，其中k、b为常数，x、y为自变量和因变量。
二、性质1. 一元一次不等式的解集是一个区间，可以用数轴表示出来。
2. 一次函数的图像是一条直线，斜率k表示函数的增长速度，截距b表示函数的起点。
3. 一元一次不等式和一次函数都具有可加性和可减性，即若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
三、解法1. 一元一次不等式的解法有两种：图像法和代数法。
图像法是将不等式转化为数轴上的图形，通过观察图形来确定解集。
代数法是通过移项、化简等代数运算来求解。
2. 一次函数的解法是通过求出函数的斜率和截距，然后画出函数的图像，根据图像来确定函数的性质和解析式。
四、应用1. 一元一次不等式和一次函数在经济学中有着广泛的应用，例如：利润、成本、收益等问题都可以用一次函数来描述。
2. 一元一次不等式和一次函数在物理学中也有着重要的应用，例如：速度、加速度、力等问题都可以用一次函数来描述。
3. 一元一次不等式和一次函数在生活中也有着实际的应用，例如：购物打折、优惠券等问题都可以用一元一次不等式来描述，而房价、工资等问题都可以用一次函数来描述。
一元一次不等式和一次函数是初中数学中的重要内容，它们在实际生活中有着广泛的应用。
掌握一元一次不等式和一次函数的概念、性质、解法和应用，对于提高数学素养和解决实际问题都有着重要的意义。
北师大版初二下数学目录及知识点(最新整理)
两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 一般地，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行
5. 三角形内角和定理的证明
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180
四边形的内角和等于 360 度 6 关注三角形的外角 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 回顾与思考： 1. 直观是重要的，但它有时也会欺负人，你还能找出这样的例子吗 2. 请你用自己的语言说一下什么叫定义、命题、公理和定理 3. 什么条件下两条直线平行？两条直线平行又会怎样？这两类命题的条件和结论有什么
3.运用公式法 平方差、 十字相乘法特点：二次项系数是 1，常数项是两数积、一次项系数是这两个因数的和
完全平方：形如 a2 2ab b2和a2 2ab b2 的式子称为完全平方式。
分解因式的方法：提公因式法、运用公式法、十字相乘法 回顾与思考：1.举例说明什么是分解因式 2.分解因式与整式乘除有什么关系 3. 分解因式常用方法有哪些？
6.一元一次不等式组 关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。 一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫这个一元一次不等式组的解集。 用数轴表示不等式组的解集 提高：不等式表示的平面区域 回顾与思考：1.不等式有哪些基本性质，它与等式的基本性质有什么异同？ 2.解一元一次不等式和解一元一次方程有什么异同？ 3.举例说明在数轴上如何表示一元一次不等式（组）的解集 4.说运用不等式解决实际问题的基本过程以及个人体会 5.举例说明不等式、函数、方程的联系
（1）两个角对应相等的两个三角形相似；
（2）三边对应成比例的两个三角形相似；
（3）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 直角三角形形似的条件： （1）一对锐角对应相等，两直角三角形相似 （2）斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似 （3）被斜边上的高分成是两个三角形相似，并与原三角形相似
数学北师大版八年级下册综合与实践《生活中的“一次模型”》
北师大2014版数学八年下册级综合与实践生活中的“一次模型”贺兰县第四中学金朝东一、学情分析1、到目前为止,学生已经学习了一元一次不等式、一元一次方程与一次函数,积累了一定的知识基础和活动经验,也对这三者之间的内在联系有了初步的认识,初步感受到了这三个“一次模型”的广泛运用。
2、学生对于这样的开放式课堂比较缺乏经验,可能在思考、交流、表达观点等方面不够有效,不够规范,但是积极性和参与热情是足够的。
二、教学目标1、通过回顾总结,尝试提出问题，发现并运用一元一次不等式与一元一次方程、一次函数解决的一些实际问题具有相同的生活情境,体会模型思想，发展应用意识,提高实践能力,了解数学的价值。
2、综合运用一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的相关知识解决问题,体会三者之间的内在联系。
3、会反思参与活动的全过程，将研究的过程和结果形成报告，并能进行交流，进一步积累数学活动经验。
三、重点难点1、教学重点:进一步加深一元一次不等式、一元一次方程与一次函数三者之间的内在联系的认识，并运用“一次模型”解决实际问题。
2、教学难点:理解为什么能将这三者集中融入一个问题情境,并能初步感知如何将这些“一次模型”运用在一个生活背景中解决不同情况下的问题，将研究的过程和结果形成报告并展示交流。
四、教学准备1、指导学生复习一元一次方程、一元一次不等式、一次函数的相关内容。
2、指导学生如何撰写数学研究方案。
3、将学生合理分成研究小组，提前预设一些生活中的实际问题，让学生提出问题并汇总确定好主题，进行数据的收集、整理、分析，共同形成方案。
一元一次不等式kx+b＞c(k≠0) 不等式一个未知数，解是范围一次函数y=kx+b(k≠0) 等式两个未知数，都是变量内在联系三者都是描述现实世界中的量与量之间的关系的模型。
例如：已知某地居民生活用水收费标准，用水量与水费之间的关系在特定条件下就可以转化为可以用以上三种模型解决的实际问题。
同学们仔细回想一下,在整个的学习过程中,生活情境基本上是相同的,比如我们从七年级到八年级,就一直在研究生活用水问题、每月缴纳电费问题、出租车费问题等等,但是同样的这些情境却会出现在不同的知识板块,我们用不同板块的知识解决了同一情境下出现的不同问题，这充分说明知识之间是有内在联系的。
北师大版八年级下册数学《2.5 第2课时 一元一次不等式与一次函数的综合应用》说课稿
北师大版八年级下册数学《2.5 第2课时一元一次不等式与一次函数的综合应用》说课稿一. 教材分析北师大版八年级下册数学《2.5 第2课时一元一次不等式与一次函数的综合应用》这一节，是在学生已经掌握了一次函数和一元一次不等式的知识基础上进行教学的。
本节课的主要内容是让学生掌握一元一次不等式与一次函数的综合应用，通过解决实际问题，让学生学会如何将数学知识运用到生活中。
本节课的教学内容主要包括两个方面：一是理解一元一次不等式与一次函数的关系；二是学会如何运用一元一次不等式和一次函数解决实际问题。
在教材的处理上，我将以学生已有的知识为基础，通过引导学生的思考，让学生自主探究，从而达到对知识的理解和应用。
二. 学情分析在进入八年级下册的学习之前，学生已经学习了一次函数和一元一次不等式的相关知识，对于如何解一元一次不等式，以及如何绘制一次函数的图像，学生都已经有了初步的了解。
然而，对于如何将这两个知识点结合起来，解决实际问题，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将以学生的实际需求为导向，引导学生进行探究和学习。
三. 说教学目标本节课的教学目标主要有以下几点：1.让学生理解一元一次不等式与一次函数之间的关系，掌握如何将一元一次不等式和一次函数结合起来解决实际问题。
2.提高学生的数学思维能力，培养学生的解决问题的能力。
3.通过解决实际问题，让学生感受到数学的价值，提高学生学习数学的兴趣。
四. 说教学重难点本节课的教学重难点主要是让学生理解一元一次不等式与一次函数之间的关系，以及如何运用这两个知识点解决实际问题。
其中，如何将一元一次不等式和一次函数结合起来，解决实际问题，是本节课的教学难点。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用引导探究法、案例教学法和小组合作法等教学方法，以学生已有的知识为基础，通过设置问题和案例，引导学生进行自主探究和学习。
同时，我还将运用多媒体教学手段，以直观的图像和动画，帮助学生更好地理解和掌握知识。
第二章《一元一次不等式与一元一次不等式组》小结与复习-八年级数学下册课件(北师大版)
巩固练习 拓展提高
6. 某公司为了扩大经营,决定购进6台机器用于生产某种活塞,
甲
乙
现有甲、乙两种机器供选择,其中每种机器的价格和每台机器日生 价格(万元/台) 7
5
产活塞的数量如下表所示,经过预算,本次购买机器所耗资金不能
每台日产量(个) 100 60
超过34万元,则按该公司的要求可以有几种购买方案?
＞ 大于,高出 大于
小于或等于 号
≤
不大于, 小于或 不超过 等于
大于或等于 号
≥
不小于, 大于或
至少
等于
不等号
≠
不相等 不等于
Hale Waihona Puke 创设情境 引入新课比较不等式与等式的基本性质：
变形 两边都加上（或减去）同一个整式 两边都乘以（或除以）同一个正数 两边都乘以（或除以）同一个负数
等式 仍成立 仍成立 仍成立
解不等式的应用问题的步骤包括审、设、列、解、 找、答这几个环节，而在这些步骤中，最重要的是 利用题中的已知条件，列出不等式（组），然后通 过解出不等式（组）确定未知数的范围，利用未知 数的特征（如整数问题），依据条件，找出对应的 未知数的确定数值，以实现确定方案的解答.
巩固练习 拓展提高
7. 暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人500元的两家 旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的 优惠条件是家长、学生都按八折收费.假设这两位家长带领x名学生去旅游，他们应该选择哪家旅 行社？
创设情境 引入新课
一元一次不等式与一次函数在决策型应用题中的应用
实际问题
写出两个函数表达式
画出图象
分析图象
八年级数学下册（新版北师大版）精品导学案【第二章_一元一次不等式和一元一次不等式组】
⼋年级数学下册（新版北师⼤版）精品导学案【第⼆章_⼀元⼀次不等式和⼀元⼀次不等式组】第⼆章⼀元⼀次不等式和⼀元⼀次不等式组第⼀节不等关系【学习⽬标】1．理解不等式的概念，感受⽣活中存在的不等关系。
2．能根据条件列出不等式，增强学⽣的符号感，发展其数学化的能⼒。
3．通过观察、分析、猜想、独⽴思考的过程感受不等式这个重要的过程，发展学⽣归纳、猜想能⼒。
【学习⽅法】⾃主探究与⼩组合作交流相结合．【学习重难点】重点：对不等式概念的理解。
难点：怎样建⽴量与量之间的不等关系。
【学习过程】模块⼀预习反馈⼀．学习准备1．⼀般地，⽤符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连成的式⼦叫做。
注意：⽤符号“≠”连接的式⼦也叫不等式。
2．列不等式：列不等式类似于列⽅程，列⽅程依据的是等量关系，列不等式依据的是不等关系，列不等式的关键是找不等关系。
⼤于⽤符号表⽰，⼩于⽤符号表⽰；不⼤于⽤符号表⽰，不⼩于⽤符号表⽰。
3.阅读教材：第⼀节不等关系⼆．教材精读4.例题：如图，⽤两根长度均为l cm的绳⼦，分别围成⼀个正⽅形和圆，（1）如果要使正⽅形的⾯积不⼤于25cm2，那么绳长l应满⾜怎样的关系式？（2）如果要使圆的⾯积不⼩于100 cm2，那么绳长l应满⾜怎样的关系式？（3）当l=8时，正⽅形和圆的⾯积哪个⼤？l=12呢？（4）你能得到什么猜想？改变l的取值再试⼀试？分析：正⽅形的⾯积等于边长的平⽅.圆的⾯积是πR2，其中R是圆的半径.两数⽐较有⼤于、等于、⼩于三种情况，“不⼤于”就是等于或⼩于. “不⼩于”就是⼤于或等于。
做⼀做：通过测量⼀棵树的树围（树⼲的周长），可以计算出它的树龄，通常规定以树⼲离地⾯1.5m的地⽅作为测量部位。
某树栽种时的树围为5㎝，以后树围每年增加约3㎝，这棵树⾄少⽣长多少年其树围才能超过2.4m？（只列关系式）归纳⼩结：⼀般地，⽤符号“〈”（或“≤”），“〉”（或“≥”）连接的式⼦叫做不等式。
实践练习：判断下列各式哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式。
一次函数一元一次方程和一元一次不等式讲解
一次函数一元一次方程和一元一次不等式讲解1.什么是一次函数一次函数，也称为一次多项式函数或线性函数，是指形如$y=a x+b$的函数，其中$a$和$b$是常数，$x$是自变量，$y$是因变量。
一次函数的图像为一条直线，具有特定的斜率和截距。
一次函数的基本形式为$y=ax+b$，其中$a$表示斜率，决定了函数图像的倾斜程度，$b$表示截距，决定了函数图像与$y$轴的交点。
2.一元一次方程的求解等式性质一元一次方程是指只含有一个变量的一次方程。
解一元一次方程的核心思想是通过运用和**方程统一变形原则**，将方程逐步化简，最终得到变量的解。
求解一元一次方程的一般步骤如下：1.对方程中的项进行整理和合并，使得方程成为$a x+b=0$的形式；2.根据方程统一变形原则，将方程中的常数项移至方程的右侧，得到$a x=-b$；3.利用解方程的等式性质，将方程两边同时乘以$\fr ac{1}{a}$，得到$x=\f ra c{-b}{a}$；4.化简得到最终解，即$x$的值。
通过以上步骤，可以求得一元一次方程的解。
3.一元一次不等式的求解等式性质一元一次不等式是指只含有一个变量的一次不等式。
求解一元一次不等式的方法与求解一元一次方程类似，同样可以运用和**不等式统一变形原则**。
求解一元一次不等式的一般步骤如下：1.对不等式中的项进行整理和合并，使得不等式成为$a x+b<c$或$a x+b>c$的形式；2.根据不等式的性质，将常数项移至不等式的右侧；3.根据不等式统一变形原则，将不等式两边同时乘以正数或除以负数，注意在乘或除的过程中要考虑到反号问题；4.根据不等式的性质，得到不等式的最终解。
需要注意的是，在进行不等式符号的翻转时，需要根据乘或除的正负进行对应，以确保不等式符号的方向正确。
4.总结一次函数、一元一次方程和一元一次不等式在数学中起着重要的作用。
掌握了一次函数的概念和性质，以及求解一元一次方程和不等式的方法，能帮助我们更好地理解和解决数学问题。
北师大版数学八（下）各章节教学目标
北师大版数学八（下）各章节教学目标第一篇：北师大版数学八(下)各章节教学目标八(下)数学北师大版 2004年11月第3版第一章一元一次不等式和一元一次不等式组1.经历将一些实际问题抽象为不等式的过程，体会不等式也是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，进一步发展符号感。
2.能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义。
3.经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，掌握不等式的基本性质。
4.理解不等式（组）的解及解集的含义；会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示一元一次不等式的解集；会解一元一次不等式组，并会在数轴上确定其解集；初步体会数形结合的思想。
5.能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式（组），解决简单的实际问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。
6.初步体会不等式、方程、函数之间的内在联系与区别。
§1 不等关系1.感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式的意义，初步体会不等式是研究量与量之间关系的重要模型之一。
2.经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感与数学化的能力。
§2 不等式的基本性质1.经历不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。
2.掌握不等式的基本性质。
§3 不等式的解集1.理解不等式的解与解集的意义。
2.了解不等式解集的数轴表示。
§4 一元一次不等式1.经历一元一次不等式概念的形成过程。
2.会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集。
3.初步认识一元一次不等式的应用价值，发展学生分析问题、解决问题的能力；初步感知实际问题对不等式解集的影响，积累利用一元一次不等式解决简单实际问题的经验。
§5 一元一次不等式与一次函数1.通过作函数图象、观察函数图象，进一步理解函数概念，并从中初步体会一元一次不等式与一次函数的内在联系。
2.通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系。
一次函数与一元一次方程、一元一次不等式PPT
通过观察函数值的正负变化，可以确定不等式解的范围。当函数值从负数变为正数时， 对应的x值范围即为不等式的解集。
函数图像与不等式解的关系
函数图像与不等式解的交点
一次函数图像与不等式的交点即为满足不等式条件的x值。在图像上表现为直线上的某些点。
函数图像与不等式解的个数
函数图像与不等式的交点个数即为满足不等式条件的x值的个数。若只有一个交点，则不等式有一个 解；若有多个交点，则不等式有多个解。
详细描述
一元一次方程的标准形式是 ax + b = 0， 其中 a 和 b 是常数，且 a ≠ 0。这个方 程只有一个未知数 x，且 x 的最高次数 为1。
一元一次方程的解法
总结词
求解一元一次方程通常涉及移项、合并同类项和系数化为1等 步骤。
详细描述
解一元一次方程时，首先将方程中的未知数项移到等式的一侧， 常数项移到另一侧。然后合并同类项，最后将方程两边的系数 化为1，即可得到未知数的解。
一次函数与一元一次方程、一元一 次不等式
目录
• 一次函数 • 一元一次方程 • 一元一次不等式 • 一次函数与一元一次方程、一元一次不等
式的关系 • 综合应用
01 一次函数
一次函数的定义
一次函数的一般形式为 $y = kx + b$，其中 $k$ 和 $b$ 是常数，
且 $k neq 0$。
$k$ 称为函数的斜率，$b$ 称为 函数的截距。
一元一次方程与一元一次不等式的综合应用
一元一次方程与一元一次不等式在形式上具有相似性，可 以通过对方程或不等式进行变形，转化为对方的形式，从 而利用对方的形式进行求解。
例如，对于方程 $y = kx + b$ 和不等式 $y < kx + b$，可 以通过将方程变形为 $y - kx - b = 0$，将不等式变形为 $y - kx - b < 0$，从而利用对方的形式进行求解。
新北师大版八年级数学下册《合与实践 ⊙ 生活中的“一次模型”》教案_2
教学设计一.教学目标：知识与技能：经历用数学眼光发现现实生活中的数学问题，尝试提出问题，并加以解决的全过程，体会模型思想，发展应用意识，提高实践能力，了解数学的价值.过程与方法：综合运用一元一次不等式与方程、一次函数的相关知识解决问题，体会三者之间的内在联系.情感态度与价值观：会反思参与活动的全过程，将研究的过程和结果形成结论并能进行交流，进一步积累数学活动经验.教学重点：根据情境提出问题并会运用一元一次不等式、一元一次方程与一次函数解决实际问题.教学难点：体会一元一次不等式与一元一次方程、一次函数之间的内在联系，形成对数学知识系统性的认识.二.教学设计思路和过程设计：（一）设计思路：到目前为止，学生已经学习了一元一次不等式、一元一次方程与一次函数，积累了一定的知识基础和活动经验，也初步发现了它们彼此之间的内在联系，但本综合与实践是以一种新的形式呈现，且教科书给出的任务比较宽泛，没有给定的背景，没有具体的安排，只是规定了一个大的方向：要求将一元一次方程、一元一次不等式和一次函数集体融入到一个问题情境.由于对多数同学来说，从事这样开放性比较强的综合与实践活动的经验可能还一些不足，因此，教师选取了生活中常见的相遇问题进行研究，给定学生一个情境，让学生自己提出问题并解答，同过三个问题的解决，让学生体会一次方程、一元一次不等式与一次函数的内在联系.最后学生自己总结，可以用“一次模型”解决的行程问题，必须是匀速的行程问题.（二）教学过程：【第一环节】创设情境，引出课题数学源于生活，我们学习数学是为了更好地服务于生活。
通过一个生活中常见的情境：A、B两地相距180千米，甲、乙两人分别从A、B 两地相向而行.假设他们始终保持匀速行驶.教师询问学生：接下来，甲乙两人会怎样？通过提问，让学生自己想象接下来会发生的情境.从而引出我们要研究的行程问题是相遇问题.然后教师继续提问，两人相遇的地点确定吗？一定是A、B两地的中点吗？让学生意识到相遇地点与他们各自的速度有关.然后，让学生根据情境自己提出问题.【第二环节】实践探究（一）——建立一元一次方程与一元一次不等式模型解决问题教师选取了几个有代表性的问题让学生解决：①经过多长时间两人相遇？②何时两人相距20千米？③何时两人相距小于20千米？学生在解决问题的过程中发现，情境中缺少甲、乙两人速度这个条件，通过添加条件，让学生自己画线段图解决问题.对于问题一，学生通过画线段图用算术法或列一元一次方程都可以解决，相遇的时间为x=3.6小时.对于问题二，学生借助线段图分析两人相距20千米会有两种情况，一种是相遇前两人相距20千米，一种是相遇后两人相距20千米，学生列一元一次方程可以求出相距20千米有两个答案x=3.2或x=4.第三个问题，何时两人相距小于20千米？学生通过线段图可以分析得到，从第一次相距20千米之后，两人距离越来越小，直到相遇时两人之间距离最小为0，随后两人之间距离逐渐拉大，直到再次相距20千米.所以，对于第三问，很多同学会直接写出答案3.24<<，然后由老师分析，这其实是一个不等式问x题，只要将两人之间的距离表示出来，然后让其小于20千米即可，通过列出的两个不等式并解答，发现最终答案确实是3.24<<.x【第三环节】实践探究（二）——建立一次函数模型解决问题教师总结，对于刚才的问题，我们借助线段图分析，运用一元一次方程和一元一次不等式可以解决，那么有没有更加直观的方法描述刚才的情境从而更直观的解决问题？让学生意识到，可以画函数图像.让学生小组活动，自己讨论如何画函数图像.学生能想到画出甲、乙两人到某地距离的函数图像：通过分析图像，分别求出两条函数图像的解析式，明确两个解析式中的k分别是甲、乙的速度.从而借助解析式，最终也是转化成一元一次方程或一元一次不等式解决刚才提出的三个问题，并且让学生明确两条图像的交点的含义，明确图像与坐标轴交点的含义.可以让学生再提出几个问题借助图像解决.个别小组想到，可以画出两人之间距离的函数图像：然后通过分析这个图像，求出这个图像各段的表达式，仍然可以解决刚才的问题.需要注意的是，这个图像的解析式在求解过程中，学生会遇到困难，例如图像的第一段，只知道一个点并不能求出函数解析式，需要引领学生分析，相遇问题两人之间距离的减少是两人共同运动造成的，类比第一个图像的斜率k分别是甲、乙两人的速度，可以得出此线段的斜率k是甲、乙两人的速度和，又因为y随x的增大而减小，所以k=-180,从而可以直接写出第一段的解析式为y=-50x+180.以此类推，可以得到后面两段的函数解析式.从而借助此图像，仍然可以解决刚才的问题.最后引导学生找到这两个图像之间的关系，让学生分别在两个图像中可以找到，表示两人相遇的点是哪个点，表示乙到达终点的点是哪个，表示甲到达终点的点是哪个.【第四环节】课堂小结，指导概括教师总结，通过图像，也就是“型”的角度，解决了数的问题，这就是“数形结合”的思想，鼓励学生在今后的学习中灵活运用这种思想.教师继续提问，为什么列出的方程和不等式一定是一元一次的？为什么画出的函数图像一定是一条直线？或者说，为什么函数关系一定是一次函数？学生通过讨论探究，发现只有是匀速运动才是一次的，是因为在整个过程中，速度不变，路程只和时间这一个变量有关，且路程随着时间的变化而均匀变化，所以，路程与时间的变化率不变，所以路程与时间的关系才一定是一次函数.回顾整个探究过程，可以得到，对于匀速的行程问题，我们可以用一元一次方程、一元一次不等式或者是一次函数去解决，那么这个过程就是在建立“一次模型”.然后鼓励学生，能否在匀速的追及问题中建立“一次模型”解决问题.【第五环节】随堂练习，跟踪检测例题：A、B两地相距50km，甲于某日下午13：00骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午骑摩托车从A地出发驶往B地。
一元一次不等式与一次函数题型及做题技巧
一元一次不等式与一次函数题型及做题技巧一、引言在数学学习过程中，一元一次不等式与一次函数题型是我们经常会遇到的内容。
它们不仅在中学阶段占据着重要的位置，而且在后续学习中也有着深远的影响。
本文将以一元一次不等式与一次函数为主题，探讨其相关的题型及做题技巧，帮助读者更好地理解和掌握这一部分内容。
二、一元一次不等式的基础概念在开始探讨一元一次不等式的题型及做题技巧之前，我们首先需要了解一元一次不等式的基础概念。
一元一次不等式是指形如ax+b>c或ax+b<c的不等式，其中a、b、c均为实数，且a ≠ 0。
在解一元一次不等式时，我们需要找到不等式的解集，即满足不等式的实数的集合。
针对一元一次不等式，我们通常会涉及到一些常见的题型，例如绝对值不等式、含参数的不等式等。
在解题过程中，需要根据不等式的特点选取合适的解法，以便快速有效地求解不等式。
三、一元一次不等式题型及做题技巧1. 绝对值不等式绝对值不等式是一种常见的不等式类型，它的形式通常为|ax+b|>c或|ax+b|<c。
在解绝对值不等式时，我们需要将不等式分为两种情况讨论，即当ax+b>0时和ax+b<0时。
对于不等式|ax+b|>c，我们需要分别解出ax+b>c和ax+b<-c的不等式组，并将其合并得到最终的解集。
而对于不等式|ax+b|<c，我们同样需要分别解出ax+b<c和ax+b>-c的不等式组，然后得到最终的解集。
在解绝对值不等式时，我们需要注意 |ax+b| = a * x + b 或者 |ax+b| = -a * x - b ，然后分别进行讨论。
2. 含参数的不等式含参数的不等式是指不等式中存在未知参数的情况，通常我们需要根据参数的取值范围来求解不等式。
在解含参数的不等式时，我们需要分情况讨论参数的取值范围，然后分别求解不等式并得出最终的解集。
与绝对值不等式类似，在解含参数的不等式时，我们需要将不等式分为不同情况进行讨论，以免遗漏某些情况带来的解集。
一次函数与一元一次方程、一元一次不等式
本次演讲将探讨一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的定义、性质以 及它们在实际问题中的应用举例。
一次函数的定义和性质
一次函数是指函数表达式为一次多项式的函数，如y = ax + b。它具有线性关系和常比例性质，是数学中最基本的函 数之一。 一次函数图像通常表现为一条直线，斜率代表变化率，截距表示函数与y轴的交点。
通过解不等式，我们可以找到满足不等式关系的未知数的值，来描述实际问 题中的范围和限制。
一元一次方程与一元一次不等式的比较
一元一次方程和一元一次不等式都是一次项的代数表达式，但方程是等式，而不等式则是具有不等关系。 方程的解表示使等式成立的未知数值，而不等式的解表示使不等式关系满足的未知数值集合。
一次函数与一元一次方程的关 联
一次函数与一元一次方程有密切的关联。通过一次函数的图像，可以获得方 程的斜率和截距，进而求解方程。
反过来，给定一元一次方程，可以绘制出对应的一次函数图像，并分析函数 在不同区间的特点。
一次函数与一元一次不等式的 关联
一次函数与一元一次不等式也存在关联。通过一次函数的图像，可以判断不 等ห้องสมุดไป่ตู้在不同区间的解集。
类似地，给定一元一次不等式，可以绘制出对应的一次函数图像，并找到使 不等式关系成立的区间。
实际问题中的应用举例
一次函数、一元一次方程和一元一次不等式在现实生活中有广泛的应用。
例如，使用一次函数模型可以预测商品的销售量，解决线性规划问题，而一 元一次方程和一元一次不等式可以用来计算、规划和优化各类实际场景，如 成本估计、收益预测和资源分配。
一元一次方程的定义和求解方法
一元一次方程是指只有一个未知数的一次方程，如2x + 3 = 7。求解一元一次方程的方法包括图解法、等式性质法和 系数分离法。 通过解方程，我们可以找到使等式成立的未知数的值，从而解决实际生活中的问题。
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1、某食品加工厂，准备研制加工两种口味的核桃巧克力，即原味核桃巧克力和益智核桃巧克力．现有主要原料可可粉410克，核桃粉520克．计划利用这两种主要原料，研制加工上述两种口味的巧克力共50块．加工一块原味核桃巧克力需可可粉13克，需核桃粉4克；加工一块益智核桃巧克力需可可粉5克，需核桃粉14克．加工一块原味核桃巧克力的成本是1.2元，加工一块益智核桃巧克力的成本是2元．设这次研制加工的原味核桃巧克力x 块． （1）求该工厂加工这两种口味的巧克力有哪几种方案？ （2）设加工两种巧克力的总成本为y 元，求y 与x 的函数关系式，并说明哪种加工方案使总成本最低？总成本最低是多少元？2、某饮料厂为了开发新产品，用A 种果汁原料和B 种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x 千克，两种饮料的成本总额为y 元．（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y 与x 之间的函数关系式．（2）若用19千克A 种果汁原料和17.2千克B 种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据；请你列出关于x 且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，3、园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A 、B 两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A 种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B 种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来． （2）若搭配一个A 种造型的成本是800元，搭配一个B 种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？4、某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产A 、B 两种型号的冰箱100台．经预算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于 4.75万元，不高于4.8万元，两种型号的冰箱生产成本和售（1）冰箱厂有哪几种生产方案？（2）该冰箱厂按哪种方案生产，才能使投入成本最少？“家电下乡”后农民买家电（冰箱、彩电、洗衣机）可享受13%的政府补贴，那么在这种方案下政府需补贴给农民多少元？（3）若按（2）中的方案生产，冰箱厂计划将获得的全部利润购买三种物品：体育器材、实验设备、办公用品支援某希望小学．其中体育器材至多买4套，体育器材每套6000元，实验设备每套3000元，办公用品每套1800元，把钱全部用尽且三种物品都购买的情况下，请你直接写出实验设备的买法共有多少种．5、某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x 千米，个体车主收费y1元，国营出租车公司收费为y2元，观察下列图象可知，当x________时，选用个体车较合算.6、甲有存款600元，乙有存款2000元，从本月开始，他们进行零存整取储蓄，甲每月存款500元，乙每月存款200元.(1)列出甲、乙的存款额y1、y2(元)与存款月数x(月)之间的函数关系式，画出函数图象.(2)请问到第几个月，甲的存款额超过乙的存款额？7、某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经市场调研发现，如果本月初出售，可获利10%，然后将本利再投资其他商品，到下月初又可获利10%；如果下月初出售可获利25%，但要支付仓储费8000元.请你根据商场的资金情况，向商场提出合理化建议，说明何时出售获利较多．8、某市为鼓励居民节约用水，对每户用水按如下标准收费：若每户每月用水不超过8 m3，则每m3按1元收费；若每户每月用水超过8m3，则超过部分每m3按2元收费.某用户7月份用水比8m3多xm3，交纳水费y 元.(1)求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围. (2)此用户要想每月水费控制在20元以内，那么每月的用水量最多不超过多少m3?9、（2007年河南省）某商场用36万元购进A 、B 两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表： （注：获利＝售价－进价）(1) 该商场购进A 、B 两种商品各多少件?(2) 商场第二次以原进价购进A 、B 两种商品．购进B 种商品的件数不变，而购进A 种商品的件数是第一次的2倍，A 种商品按原价出售，而B 种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B 种商品最低售价为每件多少元?10、为了加快教学手段的现代化，某校计划购置一批电脑，已知甲公司的报价是每台5800元，优惠条件是购买10台以上，则从第11台开始按报价的70%计算；乙公司的报价也是每台5800元，优惠条件是每台均按报价的85%计算.假如你是学校有关方面负责人，在电脑品牌、质量、售后服务等完全相同的前提下，你如何选择？请说明理由？11、小杰到学校食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多（设为a人，a > 8），就站到A窗口队伍的后面. 过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人.（1）此时，若小杰继续在A窗口排队，则他到达窗口所花的时间是多少（用含a的代数式表示）？（2）此时，若小杰迅速从A窗口队伍转移到B窗口队伍后面重新排队，且到达B窗口所花的时间比继续在A窗口排队到达A窗口所花的时间少，求a的取值范围（不考虑其他因素）.12、苏州地处太湖之滨，有丰富的水产养殖资源，水产养殖户李大爷准备进行大闸蟹与河虾的混合养殖，他了解到如下信息：①每亩水面的年租金为500元，水面需按整数亩出租；②每亩水面可在年初混合投放4公斤蟹苗和20公斤虾苗；③每公斤蟹苗的价格为75元，其饲养费用为525元，当年可获1400元收益；④每公斤虾苗的价格为15元，其饲养费用为85元，当年可获160元收益；（1）若租用水面亩，则年租金共需__________元；（2）水产养殖的成本包括水面年租金、苗种费用和饲养费用，求每亩水面蟹虾混合养殖的年利润（利润=收益－成本）；（3）李大爷现在资金25000元，他准备再向银行贷不超过25000元的款，用于蟹虾混合养殖.已知银行贷款的年利率为8%，试问李大爷应该租多少亩水面，并向银行贷款多少元，可使年利润超过35000元？13、某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车至少要购买3辆，轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司可投入的购车款不超过55万元；（1）符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由；（2）如果每辆轿车的日租金为200元，每辆面包车的日租金为110元，假设新购买的这10辆车每日都可租出，要使这10辆车的日租金不低于1500元，那么应选择以上那种购买方案？14、哈尔滨市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟，再付0.4元；“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟，付话费0.6元（这里均指市内通话）.若一个内通话时间为x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1元和y2元.（1）写出y1，y2与x的关系式；（2）一个月通话为多少分钟时，两种通讯方式的费用相同？参考答案：1．解：（1）根据题意，得135(50)410414(50)520x xx x+-⎧⎨+-⎩≤≤解得1820x≤≤x为整数181920x∴=，，当18x=时，50501832x-=-=当19x=时，50501931x-=-=当20x=时，50502030x-=-=∴一共有三种方案：加工原味核桃巧克力18块，加工益智巧克力32块；加工原味核桃巧克力19块，加工益智巧克力31块，加工原味核桃巧克力20块，加工益智巧克力30块．6分（2） 1.22(50)y x x=+- =0.8100x-+0.80-<y∴随x的增大而减小∴当20x=时，y有最小值，y的最小值为84．∴当加工原味核桃巧克力20块、加工益智巧克力30块时，总成本最低．总成本最低是84元．···················2、解：（1）依题意得：43(50)150y x x x=+-=+（2）依题意得：0.50.2(50)19(1)0.30.4(50)17.2(2)x xx x+-⎧⎨+-⎩≤…………≤………解不等式（1）得：30x≤解不等式（2）得：28x≥∴不等式组的解集为2830x≤≤150y x=+，y是随x的增大而增大，且2830x≤≤∴当甲种饮料取28千克，乙种饮料取22千克时，成本总额y最小，28150178y=+=最小3、解：设搭配A种造型x个，则B种造型为(50)x-个，依题意，得：8050(50)34904090(50)2950x xx x+-⎧⎨+-⎩≤≤解得：3331xx⎧⎨⎩≤≥，∴3133x≤≤∵x是整数，x可取31、32、33，∴可设计三种搭配方案：①A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；②A种园艺造型32个，B种园艺造型18个；③A种园艺造型33个，B种园艺造型17个．（2）方法一：由于B种造型的造价成本高于A种造型成本．所以B种造型越少，成本越低，故应选择方案③，成本最低，最低成本为：33×800+17×960=42720（元）方法二：方案①需成本：31×800+19×960=43040（元）；方案②需成本：32×800+18×960=42880（元）；方案③需成本：33×800+17×960=42720（元）；∴应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元．n。