北京市延庆区2019-2020学年高二下学期期末考试试题 数学 含答案
2019-2020年高二下学期期末考试 数学试题 含答案
2019-2020年高二下学期期末考试 数学试题 含答案一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分） 1．设，，，则下列结论正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．的共轭复数是（ ）A ．B ．C ．D ．3．若0.311321log 2,log 3,(),2a b c ===则（ ）A. B. C. D. 4. “”是“为真命题”的（ ）A. 充要条件B. 必要但不充分条件C. 充分但不必要条件D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数，下列结论正确的个数是( ) ①图象关于对称 ②函数在上的最大值为2 ③函数图象向左平移个单位后为奇函数 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 2B. 1C. D.7. 若函数()(1)(0xxf x k a a a -=-->且）在R 上既是奇函数，又是减函数，则函数的图象是（ ）8. 设是抛物线的焦点，点是抛物线与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的一个公共点，且轴，则双曲线的离心率为 ( )A. 2B.C.D.9. 右图是函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（ ） A ． B ． C ． D ． 10. 若2*31(1)()()nx x x n N x+++∈的展开式中没有常数项，则n的可能取值是( ) A ．7 B. 8 C. 9 D. 1011. 在中，点是上一点，且Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M, 又, 则的值为（ ） A. B. C. D.12．已知函数，g (x )＝x 2－2bx ＋4，若对任意x 1∈(0，2)，存在x 2∈[1，2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数b 的取值范围是( )A ．B ．[1，＋∞]C ．D ．[2，＋∞] 二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13. 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2+a 5=0, 则＝ . 14. 已知二次函数的导函数为，，f (x )与x 轴恰有一个交点，则的最小值为_______ .15. 有两排座位，前排4个座位，后排5个座位，现安排2人就坐，并且这2人不相邻（一前一后也视为不相邻），那么不同坐法的种数是 .16. 定义在R 上的函数是减函数，且函数的图象关于（1，0）成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是 . 三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17. (本小题满分12分) 中，所对的边分别为，E 为AC 边上的中点且2cos cos cos b B c A a C =+. （Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若的面积，求BE 的最小值.18.（本小题满分12分） 已知函数，，，，，，将它们分别写在六张卡片上，放在一个盒子中，（Ⅰ）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到一个新函数，求所得的函数是奇函数的概率；（Ⅱ）从盒子中任取两张卡片，已知其中一张卡片上的函数为奇函数，求另一张卡片上的函数也是奇函数的概率；（Ⅲ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望．19. (本小题满分12分)如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，和是两个边长为的正三角形，，为的中点，为的中点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求面与面所成角的大小．20. （本小题满分12分）已知椭圆：的右焦点，过原点和轴不重合的直线与椭圆 相交于，两点，且，最小值为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若圆:的切线与椭圆相交于，两点，当，两点横坐标不相等时，问：与是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由． 21．（本小题满分12分）已知函数.(Ⅰ)若函数在上是增函数，求正实数的取值范围； (Ⅱ)若，且，设,求函数在上的最大值和最小值.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. (本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲如图，是△的外接圆，D 是AC⌒ 的中点，BD 交AC 于E ．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，O到AC的距离为1，求⊙O的半径．23. (本小题满分10分) 选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系x O y 中，曲线C1的参数方程为（为参数）M是C1上的动点，P点满足, P点的轨迹为曲线C2(Ⅰ)求C2的方程；(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.24. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数, 其中.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式的解集为，求a的值.高二理科期末考试数学试题答案1---12 DADCDD ABBCCC13---16 -11, 2, 58,17.18. 解：（Ⅰ）-----3分（Ⅱ）412326232623262623=-=-=C C C C C C C C P -------7分 （Ⅲ）可能取值１,２,３,４-----8分 ，，()2033141315121613=⋅⋅==C C C C C C P ξ，()2014141115121613=⋅⋅==C C C C C C P ξ-----------10分则420420310221=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ----------------------------12分 19.（Ⅰ）证明：设为的中点，连接，则∵，，，∴四边形为正方形， ∵为的中点， ∴为的交点， ∵， ∴， (2分) ∵， ∴，，在三角形中，，∴，（3分∵，∴平面 （ 4分）(Ⅱ)方法1：连接，∵为的中点，为中点， ∴，∵平面，平面，∴平面. （8分）A DOCPBEF方法2：由(Ⅰ)知平面，又，所以过分别做的平行线，以它们做轴，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知得： ，， ，，， ， 则，，，. ∴ ∴∵平面，平面， ∴平面； (8分)(Ⅲ) 设平面的法向量为， 则，即， 解得，设平面的法向量为同理可得 则，面与面所成角的大小为（12分） 20．解：（Ⅰ）设AB()F(c,0)则2222=∴==+a a BF AF -----------------------------------------1分 ()()2202222202202021222a x c b b a x x y x AB +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=122min =∴==∴b b AB 所以有椭圆E 的方程为-----------------5分（Ⅱ）由题设条件可知直线的斜率存在，设直线L 的方程为y=kx+mL 与圆相切，∴∴-----------------7分 L 的方程为y=kx+m 代入中得：()()0128,022*******2>-+=∆=-+++m k m kmx xk 令，① ②()22222121221212k k m m x x km x x k y y +-=+++=③--------------------10分0212232122122222222222121=+--=+-++-=+=⋅kk m k k m k m y y x x ∴------------------------------------------------------12分 21.(Ⅰ)解:由题设可得 因为函数在上是增函数， 所以,当时，不等式即恒成立因为,当时，的最大值为，则实数的取值范围是-----4分 (Ⅱ) 解: ，11()ln (1)ln ln x xF x x k x k x x x--=++-=+ 所以,'''22(1)(1)1()x x x x k kx F x x x x----=+= …………6分 （1） 若,则，在上, 恒有，所以在上单调递减 ，…………7分 (2) 时（i ）若，在上,恒有 所以在上单调递减min 111()()ln 1e e F x F e k e k k e e e--==+=+=+- max 1()()1F x F e k e==--…………9分ii)时，因为，所以 ，所以所以在上单调递减min 111()()ln 1e e F x F e k e k k e e e--==+=+=+- max 1()()1F x F e k e==--…………11分综上所述：当时，，；当 且时，，.…………12分22、解：（I ）证明：∵，∴，又，∴△～△，∴，∴CD =DE ·DB ； ………………（5分）23、（I ）设P(x,y),则由条件知M().由于M 点在C 1上，所以⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=∂=sin 222,cos 22y x 即 从而的参数方程为（为参数）（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。
2019-2020年高二下学期期末考试数学试题 含答案
2019-2020年高二下学期期末考试数学试题 含答案考生注意：1、本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面2、在本试题君上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题3、可使用符合规定的计算器答题一、填空题（本大题满分56分，共14个小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分）1、已知向量，且，则2、双曲线的右焦点的坐标为3、与向量垂直的一个单位向量4、若（是复数单位），则5、若()(1)(2)()f n n n n n =++++++L ，则6、已知无穷等比数列的前n 项和，则7、一个方程组的增广矩阵为，则该方程组的解为8、若一个三角形的三个内角成等差数列，且已知一个角为，则另外两个角的读书分别 为9、已知圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为，半径，则该圆锥的体积为10、过球的一条半径的中心，作垂直于半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为11、汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处，已知灯口直径是26厘米，灯深11厘米，则灯泡与反射镜的顶点的距离为 厘米（精确到0.1厘米）12、若，且，则向量与的夹角为13、将全体正整数排成一个三角形的数阵：按照以上排量的规律，第n 行（），从左向右的第3个数为14、在中，已知:1:3,:1:4AM AB AN AC ==BN 与CM 交于点E ，，则（用表示）二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题知且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15、两个非零向量垂直的充要条件是（ ）A ．B ．C ．D ．16、某店一个月的收入和支出总共记录了N 个数据，其中，收入记为正数，支出记为负数，该店用右边的程序框图计算月总收入S 和月净盈利V 那么，在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（ ）A ．B ．C ．D ．17、设椭圆的左、右焦点分别为，抛物线的焦点，若，则的值为（ ）A ．B ．2C ．D ．18、若数列满足当成立时，总可以推出成立，研究下列四个命题：（1）若，则 (2) 若，则(2) 若，则 (4) 若，则其中错误的命题是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个三、解答题（本大题满分74分）共5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．19、（本题满分12分）已知点，（1）求直线AB 的方程（2）若点P 满足，求P 点的轨迹方程．20、（本题满分14分）如图，在直平行六面体中，底面ABCD 是边长为2的菱形，，与底面ABCD 所成角的大小为，M 为的中点．（1） 求四棱锥M-ABCD 的体积；（2） 求异面直线BM 和所成角的大小（结果用反三角函数表示）21、（本题满分14分）已知，命题实系数一元二次方程的两根都是虚数；命题存在复数同时满足且．（1）若命题中根的虚部为整数，求实数的值；（2）若命题同为真命题，求实数的取值范围．22、（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，M 、N 分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，连接AQ ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率k.(1)当直线PA 平分线断MN 时，求k 的值；（2）当k=2时，求点P 到直线AB 的距离d ；（3）对任意k0，求证PAPB ．23、（本题满分18分）已知数列，满足：（1）若，求数列的通项公式；（2）若121,,341n a a a a b n λ=-==⋅=-且是递增数列，求a 的取值范围；（3）若，且，记，求证：数列为等差数列．。
2019-2020学年北京市延庆县数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题含解析
2019-2020学年北京市延庆县数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，对任意的12,[1,1]x x ∈-，均有2121()(()())0x x f x f x --≥.当[0,1]x ∈时，2()(),()1(1)5xf f x f x f x ==--，则290291314315()()()()2016201620162016f f f f -+-++-+-=（ ）A ．112-B ．6-C ．132- D ．254-【答案】C 【解析】 【分析】由f （x ）=1﹣f （1﹣x ），得 f （1）=1，确定f （2902016）=14，利用f （x ）是奇函数，即可得出结论． 【详解】由f （x ）=1﹣f （1﹣x ），得 f （1）=1，令x=12，则f （12）=12， ∵当x ∈[0，1]时，2f （5x）=f （x ），∴f （5x ）=12f （x ），即f （15）=12f （1）=12，f （125）=12f （15）=14，f （110）=12f （12）=14， ∵125＜2902016＜110， ∵对任意的x 1，x 2∈[﹣1，1]，均有（x 2﹣x 1）（f （x 2）﹣f （x 1））≥0∴f （2902016）=14， 同理f （2912016）=…=f （﹣3142016）=f （3152016）=14．∵f （x ）是奇函数，∴f （﹣2902016）+f （﹣2912016）+…+f （﹣3142016）+f （﹣3152016） =﹣[f （﹣2902016）+f （2912016）+…+f （3142016）+f （3152016）]=﹣132，故选：C ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性，考查函数值的计算，属于中档题．2．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(),0-∞上是减函数，若()1a f =-，142log b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.32c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】B 【解析】 【分析】利用函数奇偶性和单调性可得，距离y 轴近的点，对应的函数值较小，可得选项. 【详解】因为函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(),0-∞上是减函数，所以可知距离y 轴近的点，对应的函数值较小；2221log log 224-==-，0.30221>=且0.31222<=，所以b c a >>，故选B. 【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，侧重考查数学抽象和直观想象的核心素养.3．已知函数()sin f x x x =+，如果()()120f t f t -+-<，则实数t 的取值范围是（） A ．32t >B ．32t <C ．12t >D ．12t【答案】A 【解析】 【分析】由函数()sin f x x x =+，求得函数的单调性和奇偶性，把不等式()()120f t f t -+-<，转化为12t t -<-，即可求解．【详解】由函数()sin f x x x =+，可得()1cos 0f x x '=+≥，所以函数()f x 为单调递增函数， 又由()sin()(sin )()f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以函数()f x 为奇函数， 因为()()120f t f t -+-<，即()()12(2)f t f t f t -<--=-， 所以12t t -<-，解得32t >，故选A ． 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数的单调性与函数的奇偶性，合理转化不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 4．若命题00:,1x P x Z e∃∈<，则p ⌝为（ ）A ．,1x x Z e ∀∈<B ．,1x x Z e ∀∈≥C ．,1x x Z e ∀∉<D ．,1x x Z e ∀∉≥【答案】B 【解析】 【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可． 【详解】因为特称命题的否定是全称命题， 所以命题p ：00:,1x P x Z e ∃∈<，则￢p 为：∀x ∈Z ，e x ≥1，故选：B ． 【点睛】本题考查特称命题与全称命题的否定，是基础题．5．若全集{}2|280U x x x =--<，集合{}|1327xA x =<<，则U C A =（ ） A ．()0,3B ．(2,0)(3,4)-C ．(2,0][3,4)-D ．(2,1][2,4)-【答案】C 【解析】 【分析】分别化简求解集合U,A ，再求补集即可 【详解】因为{|24}U x x =-<<，{|03}A x x =<<，所以][()2,03,4U C A =-⋃. 故选：C 【点睛】本题考查集合的运算，考查运算求解能力.6．若函数3ax y e x =+有小于零的极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．30a -<< B ．3a <- C ．13a >-D ．13a <-【答案】A 【解析】分析：函数3axy e x =+有小于零的极值点转化为()'30axf x ae=+=有负根，通过讨论此方程根为负根，求得实数的a 取值范围. 详解：设()3axf x e x =+，则()'3axf x ae =+，函数在x ∈R 上有小于零的极值点，()'30ax f x ae ∴=+=有负根，①当0a ≥时，由()'30axf x ae=+>，()'30ax f x ae ∴=+=无实数根，∴函数3,ax y e x x R =+∈无极值点，不合题意，②当0a <时，由()'30axf x ae =+=，解得13ln x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 当13ln x a a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭时，()'0f x >； 当13ln x a a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭时，()'0f x <， 13ln x a a ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭为函数的极值点， 13ln 0a a ⎛⎫∴-< ⎪⎝⎭，解得30a -<<， ∴实数的a 取值范围是30a -<<，故选A.点睛：本题考查了利用导数研究函数的极值，属于中档题. 求函数()f x 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值. 7．复数21i-在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】化简求得复数为1i +，然后根据复数的几何意义，即可得到本题答案. 【详解】 因为22(1)11(1)(1)i i i i i +==+--+，所以在复平面内对应的点为(1,1)，位于第一象限.故选：A 【点睛】本题主要考查复数的四则运算和复数的几何意义，属基础题.8．若函数()y f x =的图像如下图所示，则函数()'y f x =的图像有可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象的增减性与其导函数的正负之间的关系求解。
2019-2020学年度高二下数学期末考试答案
2019～2020学年度第二学期期末考试高二数学参考答案及评分标准 2020．7一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．BCDA BCDD二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．ACD 10．BC 11．BCD 12．ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．1m - 14．8 15．(,1][2,)-∞+∞ 16． 157301()22 674四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）解：（1）………………………………………………………………………………4分（2）22105(15302040)211.9095550357011K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯． ······································· 8分 因为2 1.909 2.706K ≈<，所以没有90%的把握认为“成绩与班级有关”． ································· 10分 18．（本小题满分12分）解：（1）当0x 时，0x ， ··································································· 1分 因为()f x 是定义在R 上的偶函数， 故22()()()2()323f x f x x x x x ． ································ 5分 所以2223, 0 ,()23, 0 x x x f x x x x ．······················································· 6分（2）223yx x 图象的对称轴为直线10x．又223yx x 的图象开口向上，所以()f x 在[0,)上单调递增． ········· 7分又()f x 是定义在R 上的偶函数， 故(21)(|21|)f m f m ，(2)(|2|)f m f m ． ································ 9分 由(21)(2)f m f m ，得(|21|)(|2|)f m f m ．又()f x 在[0,)上单调递增，所以|21||2|m m ，即22(21)(2)m m ． ····································· 11分 解得11m ．故m 的取值范围是(1,1)．········································· 12分 19．（本小题满分12分） 解：（1）2(4(1)40)ax a bx f x b ．由题意，2(41)40ax a x b 的解集为{|12}x x ，则0a ．且11x ，22x 是方程2(41)40ax a x b 的两个实根．··············· 2分 故12(41)3a x x a，1242b x x a，解得1,6.a b ·················· 4分（2）()0f x ，即(1)(4)0ax x ．·························································· 5分 ①当0a 时，有40x ，得4x ． ··············································· 6分 ②当0a 时，有1()(4)0xx a ，此时14a ．解得14x a ． ············· 7分 ③当0a 时，有1()(4)0xx a． ···················································· 8分 若104a ，则14a ．解得4x ，或1x a ； ···································· 9分 若14a ，此时不等式为2(4)0x ．解得4x ；······························· 10分若14a，此时14a．可得1xa ，或4x ． ······································ 11分 综上，0a 时，解集为1{|4}x x a ；0a 时，解集为{|4}x x ；104a 时，解集为{|4x x ，或1}x a ；当14a 时，解集为{|4}x x ≠；当14a 时，解集为1{|x x a，或4}x ． ············································································· 12分 20．（本小题满分12分）（1）A 恰好答对两个问题的概率为214236C C 3C 5=； ············································ 2分 （2）B 恰好答对两个问题的概率为223214C ()339⋅=． ········································ 4分 （3）X 所有可能的取值为1,2,3．124236C C 1(1)C 5P X ===；214236C C 3(2)C 5P X ===；304236C C 1(3)C 5P X ===． ···································································· 7分所以131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=． ·················································· 8分 由题意，随机变量Y ～2(3,)3B ，所以2()323E Y =⨯=． ·························· 9分 2221312()(12)(22)(32)5555D X =-⨯+-⨯+-⨯=． ····························· 10分 212()3333D Y =⨯⨯=． ····································································· 11分 因为()()E X E Y =，()()D X D Y <，可见，A 与B 的平均水平相当，但A 比B 的成绩更稳定．所以选择投票给学生A ． ·································································· 12分 21．（本题满分12分）解：（1）由题意，判别式214104a ∆=-⨯⨯， ·············································· 2分 解得11a -．所以实数a 的取值范围是11a -． ······························· 4分 （2）当1x >时，()ln 0g x x =-<，()min{(),()}()0h x f x g x g x =<，所以()h x 在(1,)+∞上无零点． ····························································· 6分由题意，()h x 在(0,1]上有三个零点． 5(1)4f a =+，(1)0g =， 若(1)(1)f g ，则54a -，(1)(1)0h g ==，1是()h x 的一个零点；若(1)(1)f g <，则54a <-，(1)(1)0h f =<，1不是()h x 的一个零点． ········· 8分当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->．由题意，1是()h x 的一个零点，且21()4f x x ax =++在(0,1)上有两个零点． ····································································································· 9分所以54a -，且21410,401,21(0)0,45(1)0,4a a f f a ⎧∆=-⨯⨯>⎪⎪⎪<-<⎪⎨⎪=>⎪⎪⎪=+>⎩解得514a -<<-． ······················ 11分综上，若()h x 有三个零点，a 的取值范围是514a -<<-． ······················· 12分 22．（本小题满分12分）证明：（1）()f x 的定义域为R ．由()(1)e 1x f x x x =---，得()e 1x f x x '=-，()(1)e x f x x ''=+． ················· 1分()01f x x ''<⇔<-；()01f x x ''>⇔>-．所以()f x '在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增． ······················· 2分 所以1min ()(1)e 10f x f -''=-=--<． 当1x <-时，显然()0f x '<；当1x >-时， 1211()e 1022f '=-<，(1)e 10f '=->， ······························· 3分故存在唯一的实数01(,1)2x ∈，使得0()0f x '=．综上，()f x 在0(,)x -∞上单调递减，()f x 在0(,)x +∞上单调递增．因此，()f x 存在唯一的极值点，且为极小值点． ···································· 4分 （2）由（1）知，0()(1)20f x f <=-<，2(2)e 30f =->，且()f x 在0(,)x +∞上单调递增．所以()0f x =在0(,)x +∞上存在唯一的实根α，且(1,2)α∈． ··················· 5分 由12α<<，得21α-<-<-．()(1)e 1f αααα--=--+-e [(1)e 1]αααα-=---e ()f αα-=0=， ············ 6分 由（1），01(,1)2x ∈，所以0x α-<．又()f x 在0(,)x -∞上单调递减，所以()0f x =在0(,)x -∞上存在唯一的实根α-． 综上所述，()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为相反数． ············· 7分 （3）由()(1)e 1n f n n n --=--+-e [(1)e 1]n n n n -=---e ()n f n -=，可得()e ()n f n f n =-，因此|()|e |()|n f n f n =-． 由（2）可知，对*n ∀∈N ，()0f n ≠，()0f n -≠．22|()|(22)|()|f n n n f n >++-⇔21|()|(1)|()|2f n n n f n >++-⇔21e |()|(1)|()|2n f n n n f n ->++-⇔21e 12n n n >++． ································ 9分令21()e 12x h x x x =---，求导得()e 1x h x x '=--，()e 1x h x ''=-．当0x >时，()e 10x h x ''=->，因此()e 1x h x x '=--在(0,)+∞上为增函数． 因此，当0x >时，()(0)0h x h ''>=，所以21()e 12x h x x x =---在(0,)+∞上为增函数． ································· 11分 所以，当0x >时，()(0)0h x h >=，即21e 102x x x --->．因此21e 12x x x >++．因为*n ∈N ，所以21e 12n n n >++． 因此原不等式成立．······················· 12分。
北京一零一中2019-2020学年度第二学期高二数学期末复习一答案
当 f ′(x) < 0 即 1 < x < a 时, 函数 f (x) 单调递减.
若 a = 1, 则 f ′(x) = x2 − 2x + 1 = (x − 1)2 0,
当且仅当 x = 1 时取等号, 函数 f (x) 是增函数.
若 a < 1, 当 f ′(x) > 0 即 x < a 或 x > 1 时, 函数 f (x) 单调递增.
当 f ′(x) < 0 即 a < x < 1 时, 函数 f (x) 单调递减.
综上, a > 1 时, 函数 f (x) 单调递增区间为 (−∞, 1), (a, +∞), 单调递减区间为 (1, a);
a = 1 时, 函数 f (x) 单调递增区间为 (−∞, +∞);
a < 1 时, 函数 f (x) 单调递增区间为 (−∞, a), (1, +∞), 单调递减区间为 (a, 1).
(2) 因为
f (x) =
1 3
x3
−
(a
+ 2
1)
x2
+
ax,
所以
f ′(x) = x2 − (a + 1)x + a = 0.
令 f ′(x) = 0, 解得 x = a 或 x = 1.
若 a > 1, 当 f ′(x) > 0 即 x < 1 或 x > a 时, 函数 f (x) 单调递增;
北京一零一中 2019-2020 学年度第二学期高二数学期末复习一参考答案
1. B 2. (2020 昌平二模 5) B 3. (2020 朝阳二模 3) D 4. (2020 朝阳一模 6) D 5. (2020 延庆一模 6) B 6. (2020 朝阳高三上期末 6) C
北京市延庆县2019-2020学年数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题含解析
北京市延庆县2019-2020学年数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已定义在R 上的函数()f x 无极值点，且对任意x ∈R 都有()()32ff x x -=，若函数()()g x f x kx =-在[]1,2-上与()f x 具有相同的单调性，则实数k 的取值范围为（ ）A ．(],0-∞B ．(],12-∞C ．[)0,+∞D ．[)1,+∞【答案】A 【解析】分析：易得函数()f x 是单调函数，令()3f x x t -=，则3f x t x =+（） ，（t 为常数），求出()f x 的单调性，从而求出()g x 在[]1,2-的单调性，得到23k x ≤在[]1,2-恒成立，求出k 的范围即可． 详解：∵定义在R 上的函数()f x 的导函数f x '（）无零点，∴函数()f x 是单调函数，令()3f x x t -=，则3f x t x =+（），230f x x '=≥（） 在[]1,2-]恒成立，故()f x 在[]1,2-递增， 结合题意()()g x f x kx =-在[]1,2-上递增， 故230gx x k '=-≥（）在[]1,2-恒成立， 故23k x ≤ 在[]1,2-恒成立，故0k ≤ ， 故选A ．点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，属于中档题 2．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= A ．2 B ．3C ．2D ．3【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】 余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！3．已知m n kx y （k 是实常数）是二项式()52x y -的展开式中的一项，其中1m n =+，那么k 的值为 A ．40 B ．40- C ．20 D ．20-【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式，求出m ，n 的值，即可求出k 的值． 【详解】展开式的通项公式为T t+1＝5tC x 5﹣t （2y ）t ＝2t 5tC x 5﹣t y t ， ∵kx m y n （k 是实常数）是二项式（x ﹣2y ）5的展开式中的一项， ∴m+n ＝5， 又m ＝n+1， ∴得m ＝3，n ＝2， 则t ＝n ＝2，则k ＝2t 5t C =2225C =4×10＝40，故选A ． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，结合通项公式建立方程求出m ，n 的值是解决本题的关键． 4．下列说法中正确的是 （ ） ①相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， r 越接近于1，相关性越弱； ②回归直线y bx a =+一定经过样本点的中心(),x y ；③随机误差e 满足()0E e =，其方差()D e 的大小用来衡量预报的精确度； ④相关指数2R 用来刻画回归的效果， 2R 越小，说明模型的拟合效果越好. A ．①② B ．③④C ．①④D ．②③【答案】D 【解析】 【分析】运用相关系数、回归直线方程等知识对各个选项逐一进行分析即可 【详解】①相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，r 越接近于1，相关性越强，故错误②回归直线y bx a =+一定经过样本点的中心()x y ，，故正确③随机误差e 满足()0E e =，其方差()D e 的大小用来衡量预报的精确度，故正确 ④相关指数2R 用来刻画回归的效果，2R 越大，说明模型的拟合效果越好，故错误 综上，说法正确的是②③ 故选D 【点睛】本题主要考查的是命题真假的判断，运用相关知识来进行判断，属于基础题5．过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，交其准线于点C ，且A 、C 位于x 轴同侧，若|AC|＝2|AF|，则|BF|等于（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知：|AC|＝2|AF|，则∠ACD 6π=，利用三角形相似关系可知丨AF 丨＝丨AD 丨43=，直线AB 的切斜角3π，设直线l 方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及抛物线弦长公式求得丨AB 丨，即可求得|BF|． 【详解】抛物线y 2＝4x 焦点F （1，0），准线方程l ：x ＝﹣1，准线l 与x 轴交于H 点， 过A 和B 做AD ⊥l ，BE ⊥l ，由抛物线的定义可知：丨AF 丨＝丨AD 丨，丨BF 丨＝丨BE 丨， |AC|＝2|AF|，即|AC|＝2|AD|， 则∠ACD 6π=，由丨HF 丨＝p ＝2，∴32HF CF AD AC ==丨丨丨丨丨丨丨丨，则丨AF 丨＝丨AD 丨43=， 设直线AB 的方程y =x ﹣1），)241y xy x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，整理得：3x2﹣10x+3＝0， 则x 1+x 2103=，由抛物线的性质可知：丨AB 丨＝x 1+x 2+p 163=，∴丨AF 丨+丨BF 丨163=，解得：丨BF 丨＝4，【点睛】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查相似三角形的性质，考查计算能力，数形结合思想，属于中档题．6．二项式102x x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是A ．第10项B ．第9项C ．第8项D ．第7项【答案】B 【解析】展开式的通项公式T r ＋1＝5202102rrrC x-，令5202r -＝0，得r ＝8.展开式中常数项是第9项.选B. 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数. 7．准线为34y =-的抛物线标准方程是（ ） A ．23x y = B ．232y x =-C ．23x y =D ．232x y =-【答案】A 【解析】 准线为34y =-的抛物线标准方程是23x y =，选A. 8．在平面内，点到直线的距离公式为，通过类比的方法，可求得在空间中，点到平面的距离为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】类比得到在空间，点到直线的距离公式,再求解.【详解】类比得到在空间，点到直线的距离公式为，所以点到平面的距离为.故选：B 【点睛】本题主要考查类比推理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.9．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A ．甲地：总体均值为3，中位数为4B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为3【答案】D 【解析】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合. 考点：众数、中位数、平均数、方差 10．若i 为虚数单位，复数m i i-与()21i +的虚部相等，则实数m 的值是 A ．1- B ．2C ．1D ．2-【答案】D 【解析】 【分析】 先化简m i i-与()21i +，再根据它们虚部相等求出m 的值. 【详解】 由题得()2112m i mi i i i-=--+=，，因为复数()m im R i-∈与()21i +的虚部相等， 所以2,2m m -=∴=-. 故选D 【点睛】本题主要考查复数的运算和复数相等的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 11．已知函数2()(12)()f x x x ax b =+++(),a b ∈R 的图象关于点(1,0)对称，则()f x 在[1,1]-上的值域为（ ）A ．[8,]2- B ．[7,2- C ．[8,2- D ．[7,2- 【答案】D 【解析】由题意得，函数2()(12)()f x x x ax b =+++的图象关于点(1,0)对称，则(1)0(2)(0)f f f =⎧⎨=-⎩，即3(1)05(42)a b a b b++=⎧⎨++=-⎩，解得75,22a b =-=，所以275()(12)()22f x x x x =+-+，则2233()612(481)22f x x x x x =-+=-+'，令()0f x '=，解得112x =+或212x =-，当[1,1x ∈--，则()0f x '<，函数()f x 单调递减，当(1x ∈，则()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以min ()(1)7f x f =-=-，min ()(1f x f ==，所以函数()f x 的值域为[7,2-，故选D.点睛：本题考查了函数的基本性质的应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值，其中解答中根据函数2()(12)()f x x x ax b =+++的图象关于点(1,0)对称，列出方程组，求的,a b 得值是解得关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力. 12．已知幂函数()()22322n nf x n n x-=+- ()n Z ∈的图象关于y 轴对称，且在()0,+∞上是减函数，则n =（ ）A ．3--B ．1或2C ．1D ．2【答案】C 【解析】分析：由22221,3n n n n +-=-为偶数，且230n n -<，即可得结果.详解：Q 幂函数()()()22322nnf x n n xn Z -=+-∈的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，22221,3n n n n ∴+-=-为偶数，且230n n -<，解得1n =，故选C.点睛：本题考查幂函数的定义、幂函数性质及其应用，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论： ①从中任取3球，恰有一个白球的概率是35； ②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为43； ③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球的条件下，第二次再次取到红球的概率为25； ④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627. 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①②④. 【解析】 【分析】①根据古典概型概率公式结合组合知识可得结论；②根据二项分布的方差公式可得结果；③根据条件概率进行计算可得到第二次再次取到红球的概率；④根据对立事件的概率公式可得结果. 【详解】①从中任取3个球，恰有一个白球的概率是1224364323216545321C C C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯，故①正确； ②从中有放回的取球6次，每次任取一球， 取到红球次数26,3X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，其方差为22461333⎛⎫⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故②正确； ③从中不放回的取球2次，每次任取一球，则在第一次取到红球后，此时袋中还有3个红球2个白球，则第二次再次取到红球的概率为35，故③错误； ④从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次取到红球的概率为23P =，∴至少有一次取到红球的概率为322611327⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故④正确，故答案为①②④. 【点睛】本题主要考查古典概型概率公式、对立事件及独立事件的概率及分二项分布与条件概率，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.14．已知定义域为R 的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，满足2()()4,(1)1f x xf x f >'+=,则21()2f x x>-的解集为_________． 【答案】()()1,,1+∞-∞-U 【解析】 【分析】令()22()2g x x f x x =-，对函数求导，根据条件可得()g x 单调递增，且()22()2g x x f x x =-单调递增，进而利用单调性和奇偶性求解． 【详解】21()2f x x >-的解集为22()21x f x x -->的解集，令()22()2g x x f x x =-， 则()22()()4g x xf x x f x x ''=+-，因为2()()4f x xf x '+>，所以当0x >时有22()()40xf x x f x x '+->，所以()22()()40g x xf x x f x x ''=+->，即当0x >时，()22()2g x x f x x =-单调递增，又因为(1)1f =，所以()1(1)21g f =-=-，所以22()21x f x x -->的解集为()()1g x g >的解集，由单调性可知，1x >又因为()f x 为偶函数，所以解集为()()1,,1+∞-∞-U 【点睛】本题解题的关键是构造新函数()22()2g x x f x x =-，求导进而得出函数的单调性，然后利用奇偶性和单调性求解．15．在正三棱锥P ABC -中，2PA =，1AB =，记二面角P AB C --，A PC B --的平面角依次为α，β，则23sin 2cos αβ-=______． 【答案】1 【解析】 【分析】作PO ⊥平面ABC ，连接CO 延长交AB 于点D ，连接.PD 可得D 为AB 的中点，CD AB ⊥，.AB PD ⊥于是二面角P AB C --的平面角为.PDO α∠=作AE PC ⊥，垂足为E 点，连接BE ，根据PAC V ≌PBC V ，可得.BE PC ⊥可得AEB ∠为A PC B --的平面角β，利用余弦定理即可得出． 【详解】 如图所示，作PO ⊥平面ABC ，连接CO 延长交AB 于点D ，连接PD ． 则D 为AB 的中点，CD AB ⊥，AB PD ∴⊥．∴二面角P AB C --的平面角为PDO ∠α=．221152()2PD =-=Q ，3CD =，133OD CD ==， 2233OP PD OD ∴=-=211sin 35OP PD α∴==作AE PC ⊥，垂足为E 点，连接BE ，PAC QV ≌PBC V ，BE PC ∴⊥．AEB ∠∴为A PC B --的平面角β，2221221cos 2124PCA ∠+-==⨯⨯Q ．2115sin 11()44AE AC PCA ∠∴=⋅=-=． 在AEB V 中，2227cos 215AE BE AB AE BE β+-==⨯⨯．2221173sin 2cos 3)223515αβ∴-=⨯-⨯=．故答案为1． 【点睛】本题主要考查了正三棱锥的性质、正三角形的性质、余弦定理、勾股定理、二面角、三角形全等，属于难题．16．已知F 为抛物线2:C y x =的焦点，点A 、B 在抛物线上位于x 轴的两侧，且12OA OB ⋅=u u u v u u u v（其中O 为坐标原点），若ABO ∆的面积是1S ，AFO ∆的面积是2S ，则124S S +的最小值是______.【答案】【解析】 【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设10y >，则20y <，利用12OA OB ⋅=uu r uu u r，可得出124y y =-，并设直线AB 的方程为x my b =+，将此直线与抛物线的方程联立，利用韦达定理可求出b 的值，可得出直线AB过定点()4,0E ，再利用三角形的面积公式以及基本不等式可求出124S S +的最小值. 【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设10y >，则20y <，221212121212OA OB x x y y y y y y ⋅=+=+=uu r uu u r ，则()21212120y y y y +-=，易知120y y <，得124y y =-，214y y ∴=-. 设直线AB 的方程为x my b =+，代入抛物线的方程得20y my b --=，则124y y b =-=-，得4b =，所以直线AB 的方程为4x my =+，直线AB 过x 轴上的定点()4,0E ，12121111111114158444222422S S y y y y y y y y ⎛⎫+=⨯⨯-+⨯⨯⨯=++=+≥ ⎪⎝⎭=，当且仅当15y =时，等式成立，因此，124S S +的最小值为【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，常规思路就是设出直线方程，将其与抛物线的方程联立，利用韦达定理求解，另外在求最值时，充分利用基本不等式进行求解，难点在于计算量较大，属于难题. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知函数()e ln xf x a b x =+，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()e 11y x =-+．（1）证明：()f x '在()0,∞+上为增函数．（2）证明：()136f x >． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）求导函数，利用曲线()y f x =在(1，f （1）)处的切线方程，可得f （1），f '（1），由此可求a ，b 的值，再由单调性的性质即可得证；（2）运用函数的零点存在定理可得存在01(2x ∈，2)3，可得0()0f x '=，可得001x e x =，即00ln x x =-，再由单调性可得0()()min f x f x =，再由对勾函数的单调性可得所求结论． 【详解】（1）由()e ln x f x a b x =+，得()e xb f x a x'=+， 所以()1e e f a ==，()1e e 1f a b '=+=-， 解得1a =，1b =-．因此()()1e 0xf x x x'=->， 设()()1e 0xp x x x =->，()21e 0x p x x'=+>， 所以()f x '为增函数．（2）1202f ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，23223235327e 0e 32228f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=->>>= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故存在012,23x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()00f x '=， 即01e x x =，即00ln x x =-. 进而当()00,x x ∈时，()0f x '<；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>， 即()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，则()()0000min 01e ln x f x f x x x x ==-=+． 令()1G x x x =+，12,23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()2221110x G x x x-'=-=<， 所以()G x 在12,23⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 所以()21336G x G ⎛⎫>=⎪⎝⎭， 故()136f x >． 【点睛】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查不等式的证明，解题的关键是构造函数，确定函数的单调区间，求出函数的最值，属于中档题． 18．已知函数()ln m f x x x=+. （Ⅰ）若1m =，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()1f x m x ≥+-在[)1,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为()0,1；（Ⅱ）(],2-∞ 【解析】 【分析】（1）求出()f x '，当1m =时，求出()0,()0f x f x ''><的解即可；（2）所求的问题为ln 10mx x m x++--≥在[)1,+∞上恒成立，设()ln 1mg x x x m x=++--，[1,)x ∈+∞，注意(1)0g =，所以()g x 在[1,)x ∈+∞递增满足题意，若存在区间0[1,)x 递减，则不满足题意，对a 分类讨论，求出()g x 单调区间即可. 【详解】（Ⅰ）当1m =时，()()1ln 0f x x x x=+>， 则()22111x f x x x x-'=-=. 所以当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以函数()f x 的单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为()0,1.（Ⅱ）由()1f x m x ≥+-，得ln 10mx x m x++--≥在[)1,+∞上恒成立.设()ln 1m g x x x m x =++--，则()22211m x x mg x x x x+-'=-+=. 设()()21h x x x m x =+-≥，①当2m ≤时，()0h x ≥，则()0g x '≥在[)1,+∞上恒成立， ()g x 在[)1,+∞上单调递增，()(1)0g x g ≥=在[)1,+∞恒成立，所以当2m ≤时，ln 10mx x m x++--≥在[)1,+∞上恒成立；②当2m >时，令()20h x x x m =+-=，得1x =或2x （舍去）.所以当11,2x ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，则()g x 是⎛ ⎝⎭上的减函数；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0g x '>，则()g x 是⎫+∞⎪⎪⎝⎭上的增函数.所以当11,2x ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()()10g x g ≤=. 因此当2m >时，ln 10mx x m x++--≥不恒成立. 综上所述，实数m 的取值范围是(],2-∞. 【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及到函数单调性、不等式恒成立，考查分类讨论思想，确定分类标准是解题的关键，属于中档题.19．某理财公司有两种理财产品A 和B ，这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）： 产品A产品B注：p ＞0，q ＞0（1）已知甲、乙两人分别选择了产品A 和产品B 投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于35，求实数p 的取值范围；（2）若丙要将家中闲置的10万元人民币进行投资，以一年后投资收益的期望值为决策依据，则选用哪种产品投资较理想？ 【答案】（1）2253p <<； （2）当59p =时，E(X)＝E(Y)，选择产品A 和产品B 一年后投资收益的数学期望相同，可以在产品A 和产品B 中任选一个；当509p <<时，E(X)＞E(Y)，选择产品A 一年后投资收益的数学期望较大，应选产品A ； 当5293p <<时，E(X)＜E(Y)，选择产品B 一年后投资收益的数学期望较大，应选产品B ． 【解析】 【分析】（1）先表示出两人全都不获利的概率，再求至少有一人获利的概率，列出不等式求解； （2）分别求出两种产品的期望值，对期望中的参数进行分类讨论，得出三种情况. 【详解】（1）记事件A 为“甲选择产品A 且盈利”，事件B 为“乙选择产品B 且盈利”，事件C 为“一年后甲，乙两人中至少有一人投资获利”，则()23P A =，()1P B p =-．所以()()()21231113335p P C P AB p =-=--=+>，解得25p >． 又因为113p q ++=，q ＞0，所以23p <．所以2253p <<．（2）假设丙选择产品A 进行投资，且记X 为获利金额（单位：万元），则随机变量X 的分布列为则()()1114021326E X =⨯+⨯+-⨯=． 假设丙选择产品B 进行投资，且记Y 为获利金额（单位：万元），则随机变量Y 的分布列为则()()122220122303333E Y p q p q p p p p ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+-⨯=-=--=-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．讨论： 当59p =时，E(X)＝E(Y)，选择产品A 和产品B 一年后投资收益的数学期望相同，可以在产品A 和产品B 中任选一个；当509p <<时，E(X)＞E(Y)，选择产品A 一年后投资收益的数学期望较大，应选产品A ； 当5293p <<时，E(X)＜E(Y)，选择产品B 一年后投资收益的数学期望较大，应选产品B ． 【点睛】本题考查独立事件的概率以及期望的求法，注意求概率时“正难则反”，若直接求不容易求，则求其相反的事件的概率，反推即可.20．椭圆2222:1(0)xy C a b a b+=>>过点3(1,)2A ，离心率为12，左右焦点分别为12,F F ，过点F 的直线l交椭圆于,A B 两点． （1）求椭圆C 的方程； （2）当2F AB ∆的面积为7时，求直线l 的方程． 【答案】（1）22143x y +=；（2）10x y -+=或10x y ++=． 【解析】 【分析】（1）由已知条件推导出22222191412a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，由此能求出椭圆C 的方程． （2）由（1）知F 1（-1，0），①当l 的倾斜角是2π时，23ABF S ∆=≠,不合题意；当l 的倾斜角不是2π时，设l 的方程为()1y k x =+，由()221431,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得：()22224384120k x k x k +++-=，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由此利用韦达定理能求出直线l 的方程． 【详解】（1）椭圆2222:1x y C a b+=过点31,,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭离心率为11,,22c a ∴= 又,解22222191412a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩得22a 4,3,b ==椭圆C 的方程22143x y +=.（2）由（1）知()11,0F -，①当l 的倾斜角是2π时，l 的方程为1x =-， 交点331,,1,22A B ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时2121112232322ABF S AB F F ∆=⨯=⨯⨯=≠,不合题意； ②当l 的倾斜角不是2π时，设l 的斜率为k,则其直线方程为()1y k x =+， 由()221431,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得：()22224384120k x k x k +++-=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则221212228412,4343k k x x x x k k -+=-=++，，又已知227F ABS ∆=242121122171807k k k k +=⇒+-=, ()()22211718010k k k ⇒-+=⇒-=解得1k =±，故直线l 的方程为()11y x =±+，即10x y -+=或10x y ++=． 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理和函数与方程思想的合理运用．21． [选修4-5：不等式选讲] 设函数()2f x x a a =++.（1）若不等式()1f x ≤的解集为{|24}x x -≤≤，求a 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式2()4f x k k ≥--恒成立，求k 的取值范围. 【答案】（1）1a =-（2）[1,2]- 【解析】试题分析：（1）由条件得12x a a +≤-，进而得2112a x a a -≤+≤-，解得不等式对应解集为{|24}x x -≤≤，即可得解；（2）不等式()24f x k k ≥--恒成立，只需()2min 4f x k k ≥--，从而得解.试题解析：解：（1）因为21x a a ++≤，所以12x a a +≤-， 所以2112a x a a -≤+≤-，所以113a x a -≤≤-. 因为不等式()1f x ≤的解集为{|24}x x -≤≤，所以12134a a -=-⎧⎨-=⎩，解得1a =-.（2）由（1）得()12f x x =--.不等式()24f x k k ≥--恒成立， 只需()2min 4f x k k ≥--，所以224k k -≥--，即220k k --≤， 所以k 的取值范围是[]1,2-.22．（1）3个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，一共有多少种不同的放法？ （2）3个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有2个空盒的放法共有多少种？ 【答案】（1）64；（2）36 【解析】 【分析】（1）根据题意，分析可得3个小球，每个小球有4种放法，由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，分2步分析：①，将3个小球分成2组，②，在4个盒子中任选2个，分别放入分好组的两组小球，由分步计数原理计算可得答案．【详解】（1）根据题意，3个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，每个小球有4种放法，则3个小球有44464⨯⨯=种不同的放法；（2）根据题意，分2步分析：①将3个小球分成2组，有133C=种分组方法，②在4个盒子中任选2个，分别放入分好组的两组小球，有2412A=种选法，则恰有2个空盒的放法有31236⨯=种．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力.。
北京市延庆县2019-2020学年数学高二下期末质量跟踪监视试题含解析
北京市延庆县2019-2020学年数学高二下期末质量跟踪监视试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．现有60个机器零件，编号从1到60，若从中抽取6个进行检验，用系统抽样的方法确定所抽的编号可以是（ ）A ．3，13，23，33，43，53B ．2，14，26，38，40，52C ．5，8，31，36，48，54D ．5，10，15，20，25，30 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意可知：，系统抽样得到的产品的编号应该具有相同的间隔，对此可以选出正确答案.【详解】∵根据题意可知，系统抽样得到的产品的编号应该具有相同的间隔，且间隔是。
∴只有A 符合要求，即后面的数比前一个数大10。
【点睛】本题考查了系统抽样的原则. 2．函数3()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是（ ） A ．()1,2 B ．()2,e C ．(),3e D ．()3,+∞【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】3()ln f x x x=-，∴函数f(x)在（0，+∞）上单调递增，∵f(3)=ln3-1＞0，f(e)=lne-3e =1-3e＜0， ∴f(3)·f(e)＜0，∴在区间（e ，3）内函数f(x)存在零点.3．下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞内单调递增的函数是（ ） A ．3y x =- B ．cos y x =C ．1y x x=+D ．||y x x =【答案】D 【解析】 【分析】由基本初等函数的单调性和奇偶性，对A 、B 、C 、D 各项分别加以验证，不难得到正确答案． 【详解】解：对于A ，因为幂函数y ＝x 3是R 上的增函数，所以y ＝﹣x 3是（0，+∞）上的减函数，故A 不正确； 对于B ，cos y x =为偶函数，且在(0,)+∞上没有单调性，所以B 不正确； 对于C ，1y x x=+在区间（0，1）上是减函数，在区间（1，+∞）上是增函数，故C 不正确； 对于D ，若f （x ）＝x|x|，则f （﹣x ）＝﹣x|x|＝﹣f （x ），说明函数是奇函数， 而当x ∈（0，+∞）时，f （x ）＝x 2，显然是（0，+∞）上的增函数，故D 正确； 故选：D ． 【点睛】本题考查了函数奇偶性和单调性的判断与证明，属于基础题．4．双曲线2213x y a -=的离心率等于2，则实数a 等于（ ）A ．1BC ．3D ．6【答案】A 【解析】 【分析】利用离心率的平方列方程，解方程求得a 的值. 【详解】 由34a a+=可得1a =，从而选A. 【点睛】本小题主要考查已知双曲线的离心率求参数，考查方程的思想，属于基础题. 5．在满分为15分的中招信息技术考试中，初三学生的分数()2~N 11,2x ，若某班共有54名学生，则这个班的学生该科考试中13分以上的人数大约为 （ ） （附：()0.6827P X μσμσ-<≤+=） A ．6B ．7C ．9D ．10【解析】 【分析】 【详解】分析：现利用正态分布的意义和2σ原则结合正态分布曲线的对称性，计算大于13的概率，即可求解得到其人数．详解：因为其中数学考试成绩X 服从2(11,2)XN 正态分布，因为()0.6827P X μσμσ-<≤+=，即(112112)0.6827P X -<≤+= 根据正态分布图象的对称性，可得10.6827(112)0.158652P X -≥+==， 所以这个班级中数学考试成绩在13分以上的人数大约为540.158659⨯≈人，故选C ．点睛：本题主要考查了随机变量的概率分布中正态分布的意义和应用，其中熟记正态分布图象的对称性是解答的关键，着重考查了转化与化归思想方法的应用，属于基础题． 6．用数学归纳法证明不等式“11113(2)12224n n n n ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅>>++”时的过程中，由n k =到1n k =+时，不等式的左边（ ） A ．增加了一项()121k +B ．增加了两项()112121k k +++ C ．增加了两项()112121k k +++，又减少了一项11k + D ．增加了一项()121k +，又减少了一项11k +【答案】C 【解析】解：n=k 时，左边="1" /k+1 +1/ k+2 ++1/ k+k ，n=k 时，左边="1" /(k+1)+1 +1 /(k+1)+2 ++1 /(k+1)+(k+1)="(1/" k+1 +1 /k+2 ++1/ k+k )-1 /k+1 +1 /2k+1 +1/ 2k+2 故选C 7．已知(6,0.6)X B ，则()E X =（ ）A ．0.6B ．3.6C ．2.16D ．0.216【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布的期望的计算公式求解即可得到结果．∵(6,0.6)XB ，∴()60.6 3.6E X =⨯=． 故选B ． 【点睛】本题考查二项分布的期望，解题的关键是熟记此类分布期望的计算公式，属于基础题． 8．设a R ∈，若函数3ax y e x =+，x R ∈有大于零的极值点，则（ ） A ．3a >- B ．3a <- C ．13a >-D ．13a <-【答案】B 【解析】试题分析：设3axy e x =+，则()3axf x ae =+'，若函数在x ∈R 上有大于零的极值点．即()30ax f x ae =+='有正根，当有()30axf x ae =+='成立时，显然有0a <，此时13ln()x a a=-．由0x >，得参数a 的范围为3a <-．故选B ． 考点：利用导数研究函数的极值．9． “0m <”是“函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】显然由于21,log 0x x ≥≥，所以当m<0时，函数f( x)= m+log 2x （x≥1）存在零点;反之不成立，因为当m=0时，函数f(x)也存在零点，其零点为1，故应选A ．10．要将甲、乙、丙、丁4名同学分到,,A B C 三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A 班的概率为（） A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先将四人分成三组，再分别分给三个班级即可求得总安排方法；若甲被安排到A 班，则分甲单独一人安排到A 班和甲与另外一人一起安排到A 班两种情况讨论，即可确定甲被安排到A 班的所有情况，即可求解.将甲、乙、丙、丁4名同学分到,,A B C 三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则将甲、乙、丙、丁4名同学分成三组，人数分别为1，1，2；则共有114322C C A 种方法，分配给,,A B C 三个班级的所有方法有113433224332362C C A A ⨯⋅=⨯⨯=种； 甲被分到A 班，有两种情况：一，甲单独一人分到A 班，则剩余两个班级分别为1人和2人，共有12326C A =种；二，甲和另外一人分到A 班，则剩余两个班级各1人，共有12326C A =种；综上可知，甲被分到A 班的概率为661363+=， 故选：B. 【点睛】本题考查了排列组合问题的综合应用，分组时注意重复情况的出现，属于中档题. 11．下列函数为奇函数的是（ ） A ．122xx -B ．3sin x xC ．2cos 1x +D ．22x x +【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，令()122xx f x =-，则()()11122(2)222x x xx x xf x f x --=-=-=--=-，所以函数()122xx f x =-为奇函数，故选A ． 考点：函数奇偶性的判定．12．将一枚质地均匀的硬币抛掷四次，设X 为正面向上的次数，则()03P X <<等于（ ） A ．18B ．38C ．58D ．78【答案】C 【解析】分析：先确定随机变量得取法12X =，，再根据独立重复试验求概率.详解：因为14244411(1)(),(2)(),22P x C P x C ====所以142444411105(03)(1)(2)()(),2228P x P x P x C C <<==+==+==选C.点睛：n 次独立重复试验事件A 恰好发生k 次得概率为(1)k k n kn C p p --.其中p 为1次试验种A 发生得概率.二、填空题：本题共4小题13．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为12,F F ，点在椭圆上，且120PF PF ⋅=，123tan 3PF F ∠=，则该椭圆的离心率为 ． 【答案】【解析】 试题分析：在中，012120,90PF PF F PF ⋅=∴∠=，012123tan ,30PF F PF F ∠=∴∠=，设，则.考点：椭圆的定义.【易错点晴】本题的考点是椭圆定义的考查，即的等式关系和几何意义.由给定的条件可知三角形不仅是直角三角形，也可以得到其中一个锐角，由此可用来表示直角三角形的三个边，再根据椭圆的定义便可建立等式关系，求得椭圆的离心率.椭圆中研究的关系不仅选择填空会考有时解答题也会出，它是研究椭圆基础.14．已知双曲线22:13y C x -=的左右焦点分别为1F 、2F ，点A 在双曲线上，点M 的坐标为2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，且M 到直线1AF ，2AF 的距离相等，则1||AF = ___ 【答案】1 【解析】 【分析】画出图形，根据M 到直线1AF ，2AF 的距离相等得到M A 为12F AF ∠的平分线，然后根据角平分线的性质得到11222AF F M AF MF ==，再根据双曲线的定义可求得1AF ．【详解】由题意得()()122,0,2,0F F -，点A 在双曲线的右支上， 又点M 的坐标为2,03⎛⎫⎪⎝⎭， ∴1228242,23333F M MF =+==-=． 画出图形如图所示，12,MP AF MQ AF ⊥⊥，垂足分别为,P Q ，由题意得MP MQ =，∴M A 为12F AF ∠的平分线， ∴11222AF F M AF MF ==，即122AF AF =．又122AF AF -=， ∴124,2AF AF ==． 故答案为1． 【点睛】本题考查双曲线的定义和三角形角平分线的性质，解题的关键是认真分析题意，从平面几何图形的性质得到线段的比例关系，考查分析和解决问题的能力，属于中档题． 15．已知抛物线22x py =上的点(2,2)A ，则A 到准线的距离为________ 【答案】52【解析】 【分析】利用点的坐标满足抛物线方程，求出p ，然后求解准线方程，即可推出结果。
北京市延庆县2019-2020学年数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题含解析
北京市延庆县2019-2020学年数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，为()()sin 2f x x ϕ=-+2πϕ⎛⎫< ⎪⎝⎭的一个对称中心，则()f x 的对称轴可能为（ ）A ．2x π=B ．12x π=-C ．3x π=-D ．23x π=【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先确定ϕ的值，然后求解函数的对称轴即可. 【详解】由题意可知，当6x π=时，()226x k k Z πϕϕπ-+=-⨯+=∈，据此可得：()3k k Z πϕπ=+∈，令0k =可得3πϕ=，则函数的解析式为()2sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 函数的对称轴满足：()232x k k Z πππ-=+∈，解得：()5212k x k Z ππ=+∈， 令1k =-可知函数的一条对称轴为12x π=-，且很明显选项ACD 不是函数()f x 的对称轴.本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求解，三角函数对称轴方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．圆221:2410C x y x y ++++=与圆222:4410C x y x y +---=的公切线有几条（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【答案】C 【解析】 【分析】首先求两圆的圆心距，然后判断圆心距与半径和或差的大小关系,最后判断公切线的条数. 【详解】圆()()221:124C x y +++=，圆心1C ()1,2-- ，12r =，圆()()222:229C x y -+-= ,圆心2C ()2,2，23r =，圆心距125C C ==1212C C r r =+∴两圆外切，有3条公切线.故选C. 【点睛】本题考查了两圆的位置关系，属于简单题型.3．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足关系式()()232xf x x xf e '=++，则()2f '的值等于（ ）A ．2-B ．222e -C ．22e -D ．222e --【答案】D 【解析】 【分析】求得函数的导数，然后令2x =，求得()'2f 的值.【详解】依题意()()''232xf x x f e =++，令2x =得()()''22432f f e =++，()2'222e f =--，故选D.【点睛】本小题在导数运算，考查运算求解能力，属于基础题.4．要将甲、乙、丙、丁4名同学分到,,A B C 三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A 班的概率为（） A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先将四人分成三组，再分别分给三个班级即可求得总安排方法；若甲被安排到A 班，则分甲单独一人安排到A 班和甲与另外一人一起安排到A 班两种情况讨论，即可确定甲被安排到A 班的所有情况，即可求解. 【详解】将甲、乙、丙、丁4名同学分到,,A B C 三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则将甲、乙、丙、丁4名同学分成三组，人数分别为1，1，2；则共有114322C C A 种方法，分配给,,A B C 三个班级的所有方法有113433224332362C C A A ⨯⋅=⨯⨯=种； 甲被分到A 班，有两种情况：一，甲单独一人分到A 班，则剩余两个班级分别为1人和2人，共有12326C A =种；二，甲和另外一人分到A 班，则剩余两个班级各1人，共有12326C A =种；综上可知，甲被分到A 班的概率为661363+=， 故选：B. 【点睛】本题考查了排列组合问题的综合应用，分组时注意重复情况的出现，属于中档题. 5．已知1cos 3α=，2π(π)α∈，，则cos 2α等于( ) A．3 B．3-C．3D．3-【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦的半角公式化简、运算，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，可知2π(π)α∈，，则ππ22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，又由半角公式可得cos 23α===-，故选B ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中解答中熟练应用余弦函数的半角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．6．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()ln f x x =，记12a f ⎛⎫⎛ ⎪= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，12b f ⎛⎫⎫=-⎪ ⎪⎭⎝⎭，()3c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．c b a >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>【答案】A 【解析】分析：根据x ＞0时f （x ）解析式即可知f （x ）在（0，+∞）上单调递增，由f （x ）为奇函数即可得出()b f =，然后比较1()32，和的大小关系，根据f （x ）在（0，+∞）上单调递增即可比较出a ，b ，c 的大小关系． 详解：x ＞0时，f （x ）=lnx ； ∴f （x ）在（0，+∞）上单调递增； ∵f （x ）是定义在R 上的奇函数；1122b f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()f ；12＜＜，10(12＜；∴10()32＜＜；∴()()1(32f f f ⎛⎫⎪⎝⎭＜＜； ∴a ＜b ＜c ； 即c ＞b ＞a ． 故选A ．点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．7．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)＝xlnx ，11f e e⎛⎫= ⎪⎝⎭，则f(x)( ) A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值 C ．既有极大值，又有极小值 D ．既无极大值，又无极小值【答案】D 【解析】因为xf′(x)－f(x)＝xlnx ，所以2()()ln xf x f x x x x '-=，所以()ln ()f x xx x '=，所以f(x)＝12xln 2x ＋cx.因为f(1e )＝12e ln 21e ＋c×1e ＝1e ，所以c ＝12，所以f′(x)＝12ln 2x ＋lnx ＋12＝12(lnx ＋1)2≥0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上既无极大值，也无极小值，故选D. 点睛：根据导函数求原函数，常常需构造辅助函数，一般根据导数法则进行：如()()f x f x -'构造()()xf xg x e=，()()f x f x +'构造()()xg x e f x =，()()xf x f x -'构造()()f x g x x =，()()xf x f x +'构造()()g x xf x =等8．设函数21y x =-的定义域A ，函数3x y =的值域为B ，则A B =（ ）A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[1,1]-D ．(0,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质求出A ，再结合指数函数的性质求出B ，取交集即可． 【详解】 210x -，11x ∴-，解得：[1A =-，1] 而3xy =单调递增， 故值域：()0,B ∈+∞，(]0,1A B =∴=，故选：B ． 【点睛】本题考查定义域值域的求法，考查交集等基本知识，是基础题9．.盒子里有25个外形相同的球，其中10个白的，5个黄的，10个黑的，从盒子中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率为 A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球，共有5+10=15种结果， 满足条件的事件是取出的球是一个黑球，共有10种结果， ∴根据等可能事件的概率得到P=故选D ．10．复数131iZ i-=-，则Z 的共轭复数Z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】 【分析】 化简131iZ i-=-，写出共轭复数Z 即可根据复平面的定义选出答案． 【详解】13(13(1)21(1)(1)i i i Z i i i i --+===---+），2+Z i =在复平面内对应点为(2,1) 故选A 【点睛】本题考查复数，属于基础题．11． “读整本的书”是叶圣陶语文教育思想的重要组成部分，整本书阅读能够扩大阅读空间。
北京市延庆区2019-2020学年高二下学期期末考试物理试题+Word版含答案
B．质点 M 的振动始终是加强的
C．质点 M 的振幅最大
图5
D．质点 M 的位移有时为 0
8．矩形线圈 abcd 位于足够长的通电直导线附近，且线圈平面与导线
一平面内，如图 6 所示， 线圈的两条边 ad 和 bc 与导线平行，则下
断正确的是（ ）
A．导线向左平动时，线圈中电流方向为 adcba
B．导线向右平动时，线圈中电流方向为 adcba
3．如图 2 所示，将一个半圆形玻璃砖置于空气中，当一束单色光入射到玻璃砖的圆心 O 时，
下列情况不．可．能．发生的是（ ）
A．
B．
C．
D．
图2 4．光在科学技术、生产和生活中有着广泛的应用，下列说法正确的是( )
A．光学镜头上的增透膜是利用光的干涉现象 B．用三棱镜观察白光看到的彩色图样是利用光的衍射现象 C．在光导纤维内传送图象是利用光的色散现象 D．用透明的标准平面样板检查光学平面的平整程度是利用光的偏振现象 5．如图 3 是双缝干涉实验装置的示意图，S 为单缝，S1、S2 为双缝，P 为光屏。用绿光从左边 照射单缝 S 时，可在光屏 P 上观察到干涉条纹。下列说法正确的是( )
延庆区 2019-2020 学年度第二学期期末试卷
高二物理
2020.7
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
第一部
2．本试卷共 8 页，分为两个部分。第一部分为选择题，包括 15 个小题（共 45
考
分）；第二部分为非选择题，包括两道大题，7 个小题（共 55 分）。
生
须 3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须
-1-
A．减小双缝间的距离，干涉条纹间的距离减小
B．将绿光换为红光，干涉条纹间的距离增大
北京市延庆区2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题(含解析)
f (x1) f (x2 ) 0
x1 x2 ，都有 x1 x2
；② f (x 10) f (x) ；③ f (x 5) 是偶函数；若
a f (2020) ， b f (3) ， c f (18) ，则 a ， b ， c 的大小关系正确的是（ ）
A. a b c
B. b a c
【详解】 a 2 ln 2 ln 2 ，由 0 ln1 ln 2 ln e 1，
所以 0 a 1，
b ( 1 )0.2 20.2 20 1
2
，
c lg 0.2 lg1 0 ，
2 D. 2
D.
所以 c a b .
故选：B
【点睛】本题考查了利用指数函数、对数函数的单调性比较指数式、对数式的大小，属于
【详解】由题意知，将函数
6 的图象向左平移 2 个单位长度得
f
(x)
cos
3
x
2
6
=
cos
3x
3 2
6
cos
3x
2
6
cos
3x
2
6
sin
3x
6
，所以函数解析式为：
y
sin(3x
6
)
故选 D
y Asin ωx φ
【点睛】此题主要考查三角函数
图象的变换平移，属于中低档题，也是
延庆区 2019—2020 学年第二学期期末试卷
高二数学
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项.
1.设全集U
R ，集合 A {x | x 1} ， B {x | x 2}，则集合
2019-2020学年北京市延庆区高二下学期期末考试数学试题及答案
17．（Ⅰ）因为 f (x) 2sin x cos x 3 cos2 x 3 sin2 x sin 2x 3 cos 2x
=2
sin(2
x
π) 3
.
所以函数 f (x) 的最小正周期T .
因为函数 y sin x 的的单调递减区间为[2k , 2k 3 ], k Z ，
2
2
所以 2k 2x 2k 3 (k Z ) ，
则 C(0 ，0 ，0) ， D(1，0 ，0) ， B(0 ，1，0) ， A(2 ，1，0) ， P(2 ，1，2) .
则 PB (2, 0, 2) ， CD (1, 0, 0) ， CP (2,1, 2)
2
1
P
27
9
9
27
数学期望为
E 0 8 30 4 60 2 90 1 30 （元），
27
9
9
27
按照方案 2 奖励的总金额为 2 (28 60 2 12 3) 30 5520 （元），
因为由 1 2 ，所以施行方案 1 投资较少.
19．（Ⅰ）选择①，连结 AC ， 因为 PA 平面 ABCD ， 所以 PA AC ，
2
（Ⅲ）当 x 0 时，若曲线 y f x 在曲线 y ax2 4ax 1 的下方，求实数 a 的取值范围.
21．已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的短轴长为
2，离心率为
3 ， A1 、 A2 分别是椭圆长轴的左右两 2
个端点，P 是椭圆上异于点 A1 、 A2 的点. （Ⅰ）求出椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）设点 Q 满足： QA1 PA1 ， QA2 PA2 .求 △PA1A2 与 △QA1A2 面积的比值.
北京市延庆县2019-2020学年高二第二学期期末数学质量跟踪监视试题
基础练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z 满足22i 1iz -=+ ，其中i 为虚数单位，则z = A ．1i -B ．1i +C ．1i -+D ．1i --2．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．3．若实数的取值如表，从散点图分析，与线性相关，且回归方程为，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（ ）A ．-55B ．-61C ．-63D ．-735．在正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1AC 的一个平面交1BB 于E ，交1DD 于F 得四边形1AEC F ，则下列结论正确的是（ ） A ．四边形1AEC F 一定为菱形B ．四边形1AEC F 在底面ABCD 内的投影不一定是正方形 C ．四边形1AEC F 所在平面不可能垂直于平面11ACC A D ．四边形1AEC F 不可能为梯形6．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理数根，那么、、中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ） A ．假设、、都是偶数 B ．假设、、都不是偶数 C ．假设、、至多有一个偶数D ．假设、、至多有两个偶数7．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．下面是利用数学归纳法证明不等式221223(1)n n ⋅⋅+-<（2n ≥，且*)n ∈N 的部分过程：“……，假设当(2)n k k =≥时，2(12⋅＋23⋅＋…＋2(1))k k k -⋅<，故当1n k =+时，有 ，因为2(1)k k ⋅+22k k =+< ，故2(12⋅＋23⋅＋…＋(1)k k -⋅+(1))k k ⋅+<2(1)k +，……”，则横线处应该填（ ）A ．2(12⋅＋23⋅＋…＋(1)k k -⋅+(1))k k ⋅+＜22k +(1)k k ⋅+，21k +B ．2(12⋅＋23⋅＋…＋(1))k k -⋅<22k +(1)k k ⋅+，21k +C ．2(12⋅＋23⋅＋…＋(1)k k -⋅+(1))k k ⋅+<22k +(1)k k ⋅+，22k +D ．2(12⋅＋23⋅＋…＋(1))k k -⋅<22k +(1)k k ⋅+，22k +9．4名同学分别从6所大学中选择一所参观，则不同选法有（ ） A ．64种B ．46种C ．46A 种D ．46C 种10．已知 1.22a =，0.82b =，52log 2c =，则,,a b c 的大小关系为( )． A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a <<11．设随机变量X 的分布列如下：则方差D (X)＝（）． A ．0B ．1C ．2D ．312．若函数()y f x =图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则对称点(,)A B 为函数()y f x =的“孪生点对”，且点(,)A B 对(,)B A 与可看作同一个“孪生点对”.若函数322,0()692,0x f x x x x a x <⎧=⎨-+-+-≥⎩恰好有两个“孪生点对”，则实数a 的值为（ ） A ．0B ．2C ．4D ．6二、填空题：本题共4小题13．学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有_________种．14．满足不等式组22y x y x ⎧≥⎨≤+⎩的点(,)x y 所围成的平面图形的面积为________．15．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数：907966191925271932812458569683 431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为__________.16．设等差数列{}n a 的公差为d ，若1234576,,,,,,a a a a a a a 的方差为1，则d =________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
【数学】北京市延庆区2019-2020学年高二下学期期中考试试题
联系电话：4000-916-716北京市延庆区2019-2020学年高二下学期期中考试试题本试卷共4页，满分150分，考试时间90分钟第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ，集合{|10}A x x =+<，{|40}B x x =-≤，则()UA B =（A ）{|1x x <-} （B ）{|x 4}x ≤（C ）{|1}x x ≥- （D ）{|4}x x >2.计算()21i -=（A ）2i （B ）2i - （C ）2i - （D ） 2+i 3.已知点(0,1),(1,2)A B ，向量(2,3)AC =，则向量BC = （A ）(1,2) （B ）(1,2)--（C ）(3,6) （D ）(3,5)--4.复数1+ii在复平面内对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 5.已知函数()f x 的定义域为R ,则“(1)(1)f f -=”是“()为偶函数f x ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 6.圆222430x y x y ++-+=的圆心到直线0x y +=的距离为（A ）2 （B（C ） 1 （D ）7.对任意实数x ，都有log (e 4)1xa +≥（0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围是（A ）1(0,)4（B ）(1,4) （C ）(]1,4 （D ） [4,)+∞ 8.已知函数()sin cos ,()f x x x g x =+是()f x 的导函数，则下列结论中错误的是 （A ）函数()f x 的值域与()g x 的值域相同（B ）若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数g()x 的零点联系电话：4000-916-716（C ）把函数()f x 的图象向左平移π2个单位，就可以得到函数()g x 的图象 （D ）函数()f x 和g()x 在区间ππ(,)44-上都是增函数第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分.9.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线222x y -=的一个焦点,则p = .10.在ABC ∆中, 1,3a C π=∠=,ABC ∆,则b = ; c = . 11.已知平面α，β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ⊂α；④α∥β； ⑤α⊥β.当满足条件 时，m ⊥β.12.已知函数()22,1ln 1.x ax x f x a x x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩‚‚① 当1x <时，若函数()f x 有且只有一个极值点，则实数a 的取值范围是 ； ② 若函数()f x 的最小值为-1，则a = ．三、解答题：本大题共5小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 13.（本小题满分15分）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且15a =-，2345,3,1a a a +++成等比数列，14b a =，248b b a =．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式和{}n a 的前n 项和n S 及n S 的最小值； （Ⅱ）求和: 13521n b b b b -++++．14.（本小题满分16分）已知函数()2sin (sin cos )f x a x x x =--的图象经过点(,1)2π-,（Ⅰ）求a 的值,并求函数()f x 的单调递增区间;（Ⅱ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,不等式()f x m ≤恒成立,求实数m 的取值范围.15. （本小题满分15分）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后X≥为考核合格. 为了了解本次对学生进行了考核. 记X表示学生的考核成绩，并规定60培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：50116601433587237687178114529902130(Ⅰ) 请根据图中数据，写出该考核成绩的中位数、众数，若从参加培训的学生中随机选取1人，估计这名学生考核为合格的概率；X∈6069的学生中任取3人，设Y表示这3人中成绩满足(Ⅱ)从图中考核成绩满足[,]|70|6X-≤的人数，求Y的分布列和数学期望；联系电话：4000-916-716 联系电话：4000-916-71616.（本小题满分16分）如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，已知//AB CD ，AD CD ⊥，1222AB AD=CD ==．（Ⅰ）求证：//平面BF CDE ；（Ⅱ）求平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值；（Ⅲ）线段EC 上是否存在点M ，使得平面平面BDM BDF ⊥?若存在，求出 EMEC的值；若不存在，说明理由．17.（本小题满分16分）已知函数()22xf x ex e =-，2()xe g x x ex=-.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(,())f 11处的切线方程； （Ⅱ）求曲线()y f x =的最值；（Ⅲ）求证:()0g x <对任意的(,)x ∈+∞0成立.联系电话：4000-916-716参考答案一、选择题：（6848⨯=） 1. D 2. B 3 .A 4.D 5. B 6.B 7. C 8. D 二、填空题：（6424⨯=） 9.4；10.3后3）；11. ②④；12. 1,1a >-.（前3后3）三、解答题：本大题共5小题，共78分. 13.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）根据三者成等比数列，可知()()()2324351a a a +=++， …1分 故()()()252355531d d d -++=-++-++，解得2d =， …2分 故()52127n a n n =-+-=-； …3分 由()252762n n n S n n-+-⋅==-， …5分该二次函数开口向上，对称轴为3n =，故3n =时，n S 取最小值-9. …7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知141b a ==，89a =. …9分 所以249b b =,可得33b =或3-（舍）.…11分因此23q =.…13分从而数列21{}n b -是等比数列，公比为3，首项为1. 所以 21352121(1)3112n n n q b b b b q ---++++==- …15分14. (本小题满分16分） 解：（Ⅰ）根据题意得2sin(sincos )1222a πππ--=-, …1分即21(10)1a -⨯⨯-=-,解得1a =. …2分联系电话：4000-916-716所以()12sin (sin cos )f x x x x =--212sin 2sin cos cos2sin 2x x x x x =-+=+ …4分)4x π=+. …5分由222()242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈, …6分得3()88k x k k Z ππππ-≤≤+∈, …7分 所以函数()f x 的单调递增区间是3[,],()88k k k Z ππππ-+∈. …8分 (一个k Z ∈都没写的扣一分)（Ⅱ）由（Ⅰ）可知())4f x x π+.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, …10分所以sin(2)42x π⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦.所以()f x ⎡∈-⎣. …12分 当242x ππ+=,即8x π=时, f(x)取得最大值,. …14分因为“不等式()f x m ≤恒成立”等价于“max ()m f x ≥”, …15分所以m ≥故实数m的取值范围是)+∞. …16分15. （本小题满分15分）解：（Ⅰ）中位数为76.5，众数为77， …4分设该名学生考核成绩合格为事件A ，由茎叶图中的数据可以知道， …5分30名同学中，有26名同学考核合格，所以所求概率()P A 约为26133015=.…7分 （Ⅱ）Y 的所有可能取值为0,1,2,3 …8分 因为成绩[60,70]X∈的学生共有7人，其中满足|70|6X -≤的学生有3人， …9分 联系电话：4000-916-716所以34374(0)35C P Y C ===， 21433718(1)35C C P Y C === 12433712(2)35C C P Y C ===， 33371(3)35C P Y C === …13分随机变量Y 的分布列为Y123P43518351235135418121459()012335353535357E Y =⨯+⨯+⨯+⨯== …15分16. (本小题满分16分）解：（Ⅰ）因为//AB CD ，平面AB CDE ⊄，平面CD CDE ⊂，所以 //平面AB CDE ，…1分 同理，//平面AF CDE ， …2分又 ABAF =A ，所以//平面平面ABF CDE ， …3分因为 平面BF ABF ⊂，所以//平面BF CDE ． …4分（Ⅱ）因为平面平面ABEF ABCD ⊥，=平面平面ABEFABCD AD ，CD AD ⊥，平面CD ABCD ⊂，所以 平面CD ADEF ⊥,又 平面DE ADEF ⊂，故CD ED ⊥，而四边形ADEF 为正方形，所以 AD DE ⊥．又AD CD ⊥，所以以D 为原点， 联系电话：4000-916-716,DA DC,DE 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -， …6分如图:则 (000)，，D ，(120)，，B (101)，，F ，(040)，，C ，(001)，，E ，则(1,2,0)DB =,(1,0,1)DF =取平面CDE 的一个法向量=(100)，，DA ， …7分 设平面BDF 的一个法向量=()n x y z ，，，则00，，n DB n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20x y x z +=⎧⎨+=⎩…8分 令2x =-，则1y =，2z =，，则=(-212)，，n ．…9分 设平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的大小为θ，则∴1(2)01022cos cos ,313DA n θ⨯-+⨯+⨯=<>==⨯所以平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值为23．…10分 （Ⅲ）若M 与C 重合，则平面BDM(C)的一个法向量=(001)，，m ．由（Ⅱ）知平面BDF 的一个法向量=(-212)，，n ，则n =20m ⋅≠，则此时平面BDF 与平面BDM 不垂直． …11分 若M 与C 不重合，如图， 设(01)EM=ECλλ≤<，则 (041)(04)，，，，EM =EC λλλλ=-=-．所以(041)，，M λλ- …12分 设平面BDM 的一个法向量m =()，，x y z ，则00，，m DB m DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即x 2041)0，，y y+(-z λλ+=⎧⎨=⎩令2x =，则1y =-，41z λλ=-，所以4m =(2-1)1，，λλ-，…14分 联系电话：4000-916-716若平面平面BDM BDF ⊥，则0m n ⋅=，即84101λλ--+=-，所以5[0,1)13λ=∈． 所以，线段EC 上存在点M 使平面平面BDM BDF ⊥，且513EM =EC ．…16分 17. (本小题满分16分）（Ⅰ）因为()22xf x ex e =-,所以()22xf x e e '=-, …1分所以'()f =10，而()f =10 …3分所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为00(1)y x -=⨯- ，化简得0y = …4分（Ⅱ）因为()22xf x e e '=-,令()0f x '=，得1x =， …5分则x ，'()f x ，()f x 在区间(,)-∞+∞ 的变化情况如下表：…8分所以()f x 在x =1时取得最大值()f =10,无最小值. …10分（Ⅲ）由222()x xe ex e g x x ex ex-=-=，因为0x >， 所以只需证明2()20xh x ex e =-<即可 …12分 因为()22()xh x ex e f x '=-=，由（Ⅱ）知()h x '≤0 …13分 （仅在x =1处()h x '=0，其余各处()h x '<0） …14分 所以()h x 在(,)x ∈+∞0上单调递减，所以()(0)20h x h <=-<，所以()0g x <对任意的(,)x ∈+∞0成立. …16分。
2020-2021学年北京市延庆区高二(下)期末数学试卷
2020-2021学年北京市延庆区高二（下）期末数学试卷试题数：21，总分：1501.（单选题，4分）若全集U=R，A={x|x＜-1}，B={x|x＞1}，则（）A.A⊆BB.B⊆AC.∁U A⊆BD.B⊆∁U A2.（单选题，4分）复数2i1−i=（）A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i3.（单选题，4分）设向量a⃗ =（1，x-2），b⃗⃗ =（x+2，4），若a⃗ || b⃗⃗，则x=（）A.0B. ±2√2C. 103D. 2√24.（单选题，4分）“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.（单选题，4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=2b，sinB=√34，则（）A. A=π3B.A= π3或A= 2π3C. sinA=√33D. sinA=√3986.（单选题，4分）焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为2的抛物线的标准方程是（）A.x2=4yB.y2=8xC.x2=8yD.y2=4x7.（单选题，4分）设等差数列{a n}的前n项和S n，且a1=10，a3=8，那么下列不等式中成立的是（）A.a11+a12＜0B.a11-a12＜0C.S11-S12＜0D.S11-S10＜08.（单选题，4分）若f(x)=sinx−√3cosx在[-a，a]是增函数，则a的最大值为（）A.1B.2C. π6D. 5π69.（单选题，4分）学校要邀请9位学生家长中的6人参加一个座谈会，其中甲，乙两位家长不能同时参加，则邀请的不同方法为（）A.140种B.98种C.84种D.49种10.（单选题，4分）设集合A⊆{1，2，4，⋯，11}．若A中的任意三个元素均不构成等差数列，则A中的元素最多有（）A.6个B.7个C.8个D.9个11.（填空题，5分）曲线y=−1x在x=3处切线的斜率为 ___ ．12.（填空题，5分）若(x+ax2)6的展开式中的常数项为30，则常数a的值为 ___ ．13.（填空题，5分）若函数f （x ）=-x 2+ax 在区间（-1，0）上恰有一个极值点，则a 的取值范围是 ___ ．14.（填空题，5分）已知f （x ）=（x+1）3，设（x+1）3=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3，则a 1+2a 2+3a 3=___ ．15.（填空题，5分）已知函数 f (x )={|x +4e |，x ≤ 0，x +1x，x ＞0. 若关于x 的方程f （x ）=a （a∈R ）有四个实数解x i （i=1，2，3，4），其中x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则（x 1+x 2）（x 3-x 4）的取值范围是 ___ ．16.（问答题，14分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n∈N *，从条件 ① 、条件 ② 和条件 ③ 中选择两个作为已知，并完成解答．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{b n }满足b 3=a 2，b 4=a 4，求数列{a n +b n }的前n 项和T n ．条件 ① ：a 2=4；条件 ② ：a n+1-a n =2；条件 ③ ：S 2=6．17.（问答题，14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA⊥平面ABCD ，PA=AD=CD=2，BC=3， AC =2√2 ，E 为PB 中点，CD⊥BC ．（Ⅰ）求证：BC || 平面PAD ；（Ⅱ）求直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值．18.（问答题，14分）2020年我国全面建成小康社会，其中小康生活的住房标准是城镇人均住房建筑面积30平方米．下表为2007年-2016年中，我区城镇和农村人均住房建筑面积统计数据．单位：平方米2平方米的概率；（Ⅱ）在给出的10年数据中，随机抽取三年，记X为同年中农村人均住房建筑面积超过城镇人均住房建筑面积4平方米的年数，求X的分布列和数学期望E（X）．19.（问答题，14分）已知函数f（x）=e x+ax（a∈R）．（Ⅰ）若a＜0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=3，证明：当x＞0时，f（x）＞x2+3x+1恒成立．20.（问答题，14分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)经过点（0，2），且e=√22．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线y=kx+m与椭圆C相切于点M，与直线x=x0相交于点N．已知点P（-2，0），且PM⊥PN，求此时x0的值．21.（问答题，15分）已知数列A n：a1，a2，⋅⋅⋅，a n（n≥2）满足：① |a1|=1；② |a k+1||a k|=2（k=1，2，⋅⋅⋅，n-1）．记S（A n）=a1+a2+…+a n．（Ⅰ）直接写出S（A3）的所有可能值；（Ⅱ）证明：S（A n）＞0的充要条件是a n＞0；（Ⅲ）若S（A n）＞0，求S（A n）的所有可能值的和．2020-2021学年北京市延庆区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（单选题，4分）若全集U=R，A={x|x＜-1}，B={x|x＞1}，则（）A.A⊆BB.B⊆AC.∁U A⊆BD.B⊆∁U A【正确答案】：D【解析】：由题意可得∁U A={x|x≥-1}，∁U B={x|x≤1}，再判断集合间的关系即可．【解答】：解：∵全集U=R，A={x|x＜-1}，B={x|x＞1}，∴∁U A={x|x≥-1}，∁U B={x|x≤1}，故B⊆∁U A，故选：D．【点评】：本题考查了补集的求法及集合间的关系应用，属于基础题．2.（单选题，4分）复数2i1−i=（）A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i【正确答案】：C【解析】：根据已知条件，运用复数的运算法则，即可求解．【解答】：解：2i1−i = 2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i．故选：C．【点评】：本题主要考查了复数的运算法则，属于基础题．3.（单选题，4分）设向量a⃗ =（1，x-2），b⃗⃗ =（x+2，4），若a⃗ || b⃗⃗，则x=（）A.0B. ±2√2C. 103D. 2√2【正确答案】：B【解析】：利用向量平行的性质，可得（x+2）（x-2）=4，然后求出x的值．【解答】：解：∵向量a⃗ =（1，x-2），b⃗⃗ =（x+2，4），a⃗ || b⃗⃗，∴（x+2）（x-2）=4，解得x= ±2√2．故选：B．【点评】：本题考查了向量平行的性质，考查运算求解能力，是基础题．4.（单选题，4分）“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：根据题意，由等比数列的定义可得若“ad=bc”，不一定有“a，b，c，d成等比数列”，反之若“a，b，c，d成等比数列”，必有“ad=bc”，结合充分必要条件的定义分析可得答案．【解答】：解：根据题意，若“ad=bc”，不一定有“a，b，c，d成等比数列”，如ad=bc=0时，反之，若“a，b，c，d成等比数列”，必有“ad=bc”，则“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件，故选：B．【点评】：本题考查充分必要条件的判断，涉及等比数列的定义和性质，属于基础题．5.（单选题，4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=2b，sinB=√34，则（）A. A=π3B.A= π3或A= 2π3C. sinA=√33D. sinA=√398【正确答案】：B【解析】：根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．【解答】：解：∵a=2b，sinB=√34，∴由正弦定理可得，asinA =bsinB，则sinA= asinBb=2×√34=√32，∵A∈（0，π），∴A= π3或A= 2π3．故选：B．【点评】：本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．6.（单选题，4分）焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为2的抛物线的标准方程是（）A.x2=4yB.y2=8xC.x2=8yD.y2=4x【正确答案】：D【解析】：由题意设抛物线方程为y2=2px（p＞0），再由焦点到准线的距离为2，得p=2，则抛物线方程可求．【解答】：解：由题意可设抛物线方程为y2=2px（p＞0），且p=2，则抛物线方程为y2=4x，故选：D．【点评】：本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的几何性质，是基础题．7.（单选题，4分）设等差数列{a n}的前n项和S n，且a1=10，a3=8，那么下列不等式中成立的是（）A.a11+a12＜0B.a11-a12＜0C.S11-S12＜0D.S11-S10＜0【正确答案】：A【解析】：设出等差数列的公差为d ，根据a 1=10和a 3=8求出a 1和d ，即可逐一判断．【解答】：解：设等差数列的公差为d ，由a 1=10，a 3=a 1+2d=10+2d=8，得到d=-1，所以a n =11-n ．对于A ，a 12+a 11=a 1+11d+a 1+10d=-1＜0，故正确；对于B ，a 11-a 12=-d ＞0，故B 错；对于C ，S 11-S 12=-a 12=-（11-12）＞0，故C 错；对于D ，S 11-S 10=a 11=11-11=0，故D 错；故选：A ．【点评】：本题考查了等差数列的性质，属于基础题．8.（单选题，4分）若 f (x )=sinx −√3cosx 在[-a ，a]是增函数，则a 的最大值为（ ）A.1B.2C. π6D. 5π6【正确答案】：C【解析】：利用辅助角公式进行化简，求出函数的单调递增区间，根据函数的单调性建立不等式进行求解即可．【解答】：解：f （x ）=2sin （x- π3 ），由2kπ- π2 ≤x - π3 ≤2kπ+ π2 ，k∈Z ，得2kπ- π6 ≤x≤2kπ+ 5π6 ，k∈Z ，当k=0时，函数的递增区间为[- π6 ， 5π6 ]，∵f （x ）在[-a ，a]是增函数，∴ {−a ≥−π6a ≤5π6，得0＜a≤ π6 ， 即a 的最大值为 π6 ，故选：C ．【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，求出函数的单调区间是解决本题的关键，是中档题．9.（单选题，4分）学校要邀请9位学生家长中的6人参加一个座谈会，其中甲，乙两位家长不能同时参加，则邀请的不同方法为（）A.140种B.98种C.84种D.49种【正确答案】：D【解析】：分甲，乙两位家长都不参加，甲，乙两位家长只有1人参加，两种情况求解．【解答】：解：若甲，乙两位家长都不参加，则有C76=7种不同的方法，若甲，乙两位家长只有1人参加，则有C21C75=42种不同的方法，综上所述，共有7+42=49种不同的方法．故选：D．【点评】：本题考查了组合及计数问题，考查分类讨论的思想，属于基础题．10.（单选题，4分）设集合A⊆{1，2，4，⋯，11}．若A中的任意三个元素均不构成等差数列，则A中的元素最多有（）A.6个B.7个C.8个D.9个【正确答案】：A【解析】：若数列a1，a2，a3，a4，……，a n中任意三个元素均不构成等差数列，则数列a1-k，a2-k，a3-k，a4-k，……，a n-k（k为任意实数）中任意三个元素也均不构成等差数列，从而转化为A中的元素从小到大排序后从1开始，且后一项尽量小即可，从而写出集合A即可．【解答】：解：由等差数列的性质可得，若数列a1，a2，a3，a4，……，a n中任意三个元素均不构成等差数列，则数列a1-k，a2-k，a3-k，a4-k，……，a n-k（k为任意实数）中任意三个元素也均不构成等差数列，故若使A中的元素最多，则可以使A中的元素从小到大排序后从1开始，且后一项尽量小即可；则a1=1，a2=2，a3=4，a4=5，a5=10，a6=11，故选：A．【点评】：本题考查了学习转化能力，同时考查了等差数列的应用及转化思想方法的应用，属于中档题．11.（填空题，5分）曲线y=−1x在x=3处切线的斜率为 ___ ．【正确答案】：[1] 19【解析】：对y=−1x求导，利用导数的几何意义求解即可．【解答】：解：y′= 1x2，所以y′|x=3= 19，即曲线y=−1x 在x=3处切线的斜率为19．故答案为：19．【点评】：本题主要考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．12.（填空题，5分）若(x+ax2)6的展开式中的常数项为30，则常数a的值为 ___ ．【正确答案】：[1] ±√2【解析】：先求出二项展开式的通项公式，再令x的指数为0，求出r的值，即可求得展开式中的常数项的值，再结合已知即可求解a的值．【解答】：解：(x+ax2)6的展开式的通项公式为T r+1= C6r x6-r(ax2)r=a r C6r x6-3r，令6-3r=0，可得r=2，所以(x+ax2)6的展开式中常数项为a2C62 =30，解得a=± √2．故答案为：± √2．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，考查运算求解能力，属于基础题．13.（填空题，5分）若函数f （x ）=-x 2+ax 在区间（-1，0）上恰有一个极值点，则a 的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1]（-2，0）【解析】：利用导数求得极值点，即可求解．【解答】：解：∵f′（x ）=-2x+a ，令f′（x ）=0，可得x= a 2，∵函数f （x ）=-x 2+ax 在区间（-1，0）上恰有一个极值点，∴-1＜ a2 ＜0， ∴-2＜a ＜0，故答案为：（-2，0）．【点评】：考查利用导数研究函数的极值问题，体现了数形结合和转化的思想方法，属于中档题．14.（填空题，5分）已知f （x ）=（x+1）3，设（x+1）3=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3，则a 1+2a 2+3a 3=___ ． 【正确答案】：[1]12【解析】：对f （x ）求导，再令x=1，即可求解．【解答】：解：对f （x ）求导可得f′（x ）=3（x+1）2=a 1+2a 2x+3a 3x 2， 令x=1可得a 1+2a 2+3a 3=3×22=12． 故答案为：12．【点评】：本题主要考查二项式定理，导数的应用，考查运算求解能力，属于基础题． 15.（填空题，5分）已知函数 f (x )={|x +4e |，x ≤ 0，x +1x ，x ＞0. 若关于x 的方程f （x ）=a （a∈R ）有四个实数解x i （i=1，2，3，4），其中x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则（x 1+x 2）（x 3-x 4）的取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1] (0，16e√4e 2−1]【解析】：由函数的图象及性质判断出x 1，x 2，x 3，x 4之间的关系，进而把所求式子转化为y=x- 1x 在（0，2e- √4e 2−1 ）上的取值范围，即可得到所求范围．【解答】：解：函数f(x)={|x+4e|，x ≤ 0，x+1x，x＞0.的图象如右：关于x的方程f（x）=a（a∈R）有四个实数解，可得y=f（x）的图象与直线y=a有四个交点，可以判断2＜a≤4e，x1+x2=2×（-4e）=-8e，x3+1x3≤4e，x4+1x4≤4e，即x3，x4是方程x²-4ex+1=0的两个根，则可得x3∈（0，2e- √4e2−1 ]，x4∈（1，2e+ √4e2−1 ]，且有x3x4=1，所以x4= 1x3，故（x1+x2）（x3-x4）=-8e（x3- 1x3），其中x3∈（0，2e- √4e2−1 ]，又由函数y=x- 1x在（0，2e- √4e2−1 ]上递增，可得函数y=x- 1x在（0，2e- √4e2−1 ]上的值域为[-2 √4e2−1，0），可知-8e（x3- 1x3）的取值范围为（0，16 √4e2−1 ]．故答案为：（0，16 √4e2−1 ]．【点评】：本题考查函数图象的运用及函数方程的关系，考查数形结合思想，正确作出函数图象，并从图象中挖掘出有效信息是解题的关键，属于中档题．16.（问答题，14分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*，从条件① 、条件② 和条件③ 中选择两个作为已知，并完成解答．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{b n}满足b3=a2，b4=a4，求数列{a n+b n}的前n项和T n．条件① ：a2=4；条件② ：a n+1-a n=2；条件③ ：S2=6．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由已知可得数列{a n }是首项为a 1=2，公差为d=2的等差数列，即可求解； （Ⅱ）可得 b n =b 1q (n−1)=2n−1 ，分组求和即可．【解答】：解：（Ⅰ）选 ① ② 由已知a 2=4，a n+1-a n =2 所以数列 {a 1+d =4d =2⇒{a 1=2d =2 ，选 ② ③ 由已知S 2=6，a n+1-a n =2 所以数列 {2a 1+d =6d =2⇒{a 1=2d =2 ，选 ① ③ 由已知S 2=6，a 2=4 所以数列 {2a 1+d =6a 1+d =4⇒{a 1=2d =2，所以数列{a n }是首项为a 1=2，公差为d=2的等差数列，所以数列{a n }的通项公式为：a n =a 1+（n-1）d=2+（n-1）2=2n ， （Ⅱ）设等比数列{b n }满足b 3=a 2，b 4=a 4， 所以数列 {a 1q 2=4a 1q 3=8⇒{a 1=1q =2 ， 所以数列{b n }是首项为b 1=1，公比为q=2的等比数列， 所以数列{b n }的通项公式为： b n =b 1q (n−1)=2n−1 ，因为数列{a n +b n }的前n 项和 T n =(2+4+6+⋯+2n )+(1+2+4+⋯2n−1) = (2+2n )n2+(1−2n )1−2=n 2+n+2n -1．【点评】：本题考查了等差、等比数列的性质，考查了数列求和，属于中档题．17.（问答题，14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA⊥平面ABCD ，PA=AD=CD=2，BC=3， AC =2√2 ，E 为PB 中点，CD⊥BC ． （Ⅰ）求证：BC || 平面PAD ；（Ⅱ）求直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（I ）由题意推导出AD || BC ，再由线面平行的判定定理即可得证；（Ⅱ）过A 作AD 的垂线交BC 于点M ．以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz ．求出平面PCD 的法向量与 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，再由两向量所成角的余弦值可得直线AE 与平面PCD 所成的角的正弦值．【解答】：（I ）证明：因为PA=AD=CD=2， AC =2√2 所以AD 2+CD 2=AC 2.所以AD⊥CD ． 因为BC⊥CD ，所以AD || BC ． 因为AD⊂平面PAD ． 因为BC⊄平面PAD ， 所以BC || 平面PAD ．（Ⅱ）解：过点A 作AD 的垂线交BC 于点M ． 因为PA⊥平面ABCD ， 所以PA⊥AM ，PA⊥AD ，所以以点A 为坐标原点，以AM ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则A （0，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2），B （2，-1，0）． 因为E 为PB 的中点，∴E （1，- 12，1）．所以 AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，- 12 ，1）， PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，2，-2）， PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，2，-2）． 设平面PCD 的法向量为 n ⃗⃗ =（x ，y ，z ），则{n ⃗⃗•PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2x +2y −2z =0n ⃗⃗•PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2y −2z =0 ，令y=1，得 n ⃗⃗ =（0，1，1）． 设直线AE 与平面PCD 所成的角为α，所以 sinα=|cos〈n ⃗⃗，AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗〉|=n⃗⃗⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ⃗⃗||AE⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=−12×1+1×1√2×32=√26． 所以直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值为 √26 ．【点评】：本题考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系的判定，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，属于中档题． 18.（问答题，14分）2020年我国全面建成小康社会，其中小康生活的住房标准是城镇人均住房建筑面积30平方米．下表为2007年-2016年中，我区城镇和农村人均住房建筑面积统计数据． 单位：平方米2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年 2014年 2015年 2016年城镇 18.66 20.25 22.7925 27.1 28.3 31.6 32.9 34.6 36.6 农村 23.324.8 26.5 27.9 30.7 32.4 34.1 37.1 41.2 45.8 2平方米的概率；（Ⅱ）在给出的10年数据中，随机抽取三年，记X 为同年中农村人均住房建筑面积超过城镇人均住房建筑面积4平方米的年数，求X 的分布列和数学期望E （X ）．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）分别写出“抽取连续两年数据”和“两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米”的基本事件数 ，再由古典概型，得解；（Ⅱ）X 所有可能的取值为0，1，2，3，再根据超几何分布计算概率的方式求得每个X 的取值所对应的概率，进而得数学期望．【解答】：解：（Ⅰ）随机抽取连续两年数据共9次，其中两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米的共5次．设“两年中城镇人均住房建筑面积增长不少于2平方米”为事件A，所以P(A)=59．（Ⅱ）X所有可能的取值为0，1，2，3，在这10年中，农村人均住房建筑面积超过城镇人均住房建筑面积4平方米的年份为2007年，2008年，2012年，2014年，2015年，2016年，共6年，P(X=0)=C60C43C103=130，P(X=1)=C61C42C103=310，P(X=2)=C62C41C103=12，P(X=3)=C63C40C103=16，所以随机变量X的分布列为故E(X)=30×0+10×1+2×2+6×3=5．【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查对数据的分析与处理能力，属于中档题．19.（问答题，14分）已知函数f（x）=e x+ax（a∈R）．（Ⅰ）若a＜0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=3，证明：当x＞0时，f（x）＞x2+3x+1恒成立．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）对f（x）求导，利用导数与单调性的关系即可求解；（Ⅱ）令g（x）=f（x）-（x2+3x+1）=e x-x2-1，对g（x）求导，利用导数求出g（x）的单调性，从而可得g（x）＞0即可得证．【解答】：（Ⅰ）解：f'（x）=e x+a，当a＜0时，令f'（x）=0，解得x=ln（-a）．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：在（ln（-a），+∞）上单调递增．（Ⅱ）证明：令g（x）=f（x）-（x2+3x+1）=e x-x2-1，则g'（x）=e x-2x．令h（x）=e x-2x，则h'（x）=e x-2，当0＜x＜ln2时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞ln2时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；所以h（x）≥h（ln2）=e ln2-2ln2=2-2ln2＞0，即g'（x）＞0恒成立．所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以g（x）＞g（0）=1-0-1=0，所以e x-x2-1＞0，即当x＞0时，f（x）＞x2+3x+1恒成立．【点评】：本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查不等式恒成立的证明，考查运算求解能力，属于中档题．20.（问答题，14分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)经过点（0，2），且e=√22．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线y=kx+m与椭圆C相切于点M，与直线x=x0相交于点N．已知点P（-2，0），且PM⊥PN，求此时x0的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由椭圆过点（0，2），且e=√22，列方程组，解得a，b，即可得出答案．（Ⅱ）设N（x0，0），设直线方程为y=kx+m，联立椭圆的方程，由Δ=0，得m2=8k2+4，解得M点坐标，设N（x0，y0），则y0=kx0+m，则N（x0，kx0+m），若在x轴存在P（-2，0）使MP⊥MQ ，则 PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，解得答案．【解答】：解：（Ⅰ）由已知得， {e =ca =√22b =√a 2−c 2=2，解得 {a 2=8b 2=4，椭圆E的方程为 x 28+y 24=1 ．（Ⅱ）设N （x 0，0），设直线方程为y=kx+m ， 代入 x 28+y 24=1 得x 2+2（kx+m ）2=8，化简得（2k 2+1）x 2+4kmx+2m 2-8=0， 由Δ=（4km ）2-4（2k 2+1）（2m 2-8）=0， 得8k 2+4-m 2=0，m 2=8k 2+4， 方程的解为 x =−2km2k 2+1=−8k m ，y=kx+m=k• −8k m +m= 4m， 则 M (−8k m ，4m) ， 设N （x 0，y 0），则y 0=kx 0+m ，则N （x 0，kx 0+m ），所以在x 轴存在P （-2，0）使MP⊥MQ ． PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x 0+2，kx 0+m) ， PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−8k m +2，4m ) ，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x 0+2)(−8k m +2) +(kx 0+m )4m =0 ，-4kx 0-16k+2x 0m+8m=0， x 0=−(8m−16k )2m−4k=−4 ，所以x 0=-4．【点评】：本题考查直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题． 21.（问答题，15分）已知数列A n ：a 1，a 2，⋅⋅⋅，a n （n≥2）满足： ① |a 1|=1； ②|a k+1||a k |=2 （k=1，2，⋅⋅⋅，n-1）．记S （A n ）=a 1+a 2+…+a n ．（Ⅰ）直接写出S （A 3）的所有可能值； （Ⅱ）证明：S （A n ）＞0的充要条件是a n ＞0； （Ⅲ）若S （A n ）＞0，求S （A n ）的所有可能值的和．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由A n、S（A n）的定义，可得所求值；（Ⅱ）分别从充分性和必要性证明，结合等比数列的通项公式和求和公式，以及数列A n，即可得证；（Ⅲ）由（Ⅱ）和A n、S（A n）的定义，计算可得所求和．【解答】：解：（Ⅰ）S（A3）的所有可能值是-7，-5，-3，-1，1，3，5，7．…………………（3分）（Ⅱ）证明：充分性：若a n＞0，即a n=2n−1．所以满足a n=2n−1，且前n项和最小的数列是-1，-2，-4，…，-2n-2，2n-1．+2n−1 =1．所以a1+a2+⋅⋅⋅+a n ≥ −(1+2+4+⋅⋅⋅+2n−2)+2n−1 = −1−2n−2⋅21−2所以S（A n）．……………………（6分）必要性：若S（A n）＞0，即a1+a2+⋅⋅⋅+a n＞0．假设a n＜0，即a n=−2n−1．所以S(A n)=a1+a2+⋅⋅⋅+a n≤ (1+2+4+⋅⋅⋅+2n−2)−2n−1=−1＜0，与已知S（A n）＞0矛盾．所以S（A n）＞0．……………………（8分）综上所述，S（A n）＞0的充要条件是a n＞0．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，S（A n）＞0可得a n＞0，所以a n=2n−1．因为数列A n：a1，a2，…，a n（n≥2）中a1有-1，1两种，a2有-2，2两种，a3有-4，4两种，…，a n-1有-2n-2，2n-2两种，a n有2n-1一种，所以数列A n：a1，a2，…，a n（n≥2）有2n-1个，且在这2n-1个数列中，每一个数列都可以找到前n-1项与之对应项是相反数的数列．所以这样的两数列的前n项和是2×2n-1．×2n−1=22n−2．所以这2n-1个数列的前n项和是2×2n−1×12所以S（A n）的所有可能值的和是22n-2.……………………（15分）【点评】：本题考查数列的新定义的理解和运用，考查数列的求和，以及转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。
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北京市延庆区2019-2020学年高二下学期期末考试试题
本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．设全集U =R ，集合{|1}A x x =<，{|2}B x x =<，则集合()=U A B
（A ）(,)-∞+∞ （B ）[1,)+∞ （C ）[1,2) （D ）(,1)
[2,)-∞+∞
2．焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为3的抛物线的标准方程是
（A ）212y x = （B ）23y x = （C ）26x y = （D ）26y x =
3. 已知向量，(2,1)=b .若，则a 的值为 （A
（B
（C
（D
）2 4
．设0.21
2ln (),lg 0.22
a b c -===，则 （A ）c b a << （B ）c a b << （C ）a b c << （D ）b a c <<
5. 在下列函数中，定义域为实数集的奇函数为
（A ）3y x = （B ）cos y x = （C ）tan y x = （D ）x y e =
6. 圆224220x y x y ++-+=截x 轴所得弦的长度等于
（A
） （B
） （C
） （D ） 2
7．已知两条不同的直线,l m 和两个不同的平面βα,，下列四个命题中错误的为
（A ）若//l α，l β⊥，则αβ⊥ （B ）若//αβ，m α⊥，则m β⊥
（C ）若m αβ=,l ∥α且l ∥β,则l ∥m （D ）若//αβ，//m α，则//m β
8. 已知函数()sin (0)f x x ωω=>，则“()f x 在ππ[,]63
上单调递减”是“34ω≤≤”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
(,1)t =a ⊥a b
9．将函数()cos(3)6f x x π=+的图象向左平移2
π个单位长度，得到的图象的函数解析式为 （A ）sin(3)6y x π=-+ （B ）cos(3)2
y x π=+ （C ）cos(3)6y x π=-+ （D ）sin(3)6y x π=+ 10．已知函数()f x 的定义域为R ，且满足下列三个条件：
①对任意的12,[5,10]x x ∈，且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-；
②(10)()f x f x +=；③(5)f x +是偶函数； 若(2020)a f =，(3)b f =，(18)c f =-，则a ，b ，c 的大小关系正确的是
（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）a c b << （D ）c b a <<
第Ⅱ卷（非选择题，共110分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．已知复数42i i
z -=，则 ． 12．双曲线
，则其渐近线方程为 . 13．数列n a 中，13a ，12n n a a ，*n N ∈. 若其前k 项和为93，则k ___ ____.
14．在△中，4AB =5AC =，6BC =，，则AC 边上的高等于 .
15．已知函数(),()x f x e g x kx ==：① 函数()f x 的单调递减区间为(,0)-∞；
② 若函数()()()F x f x g x =-有且只有一个零点，则1k =±；
③ 若(1,)(,)k e e ∈+∞，则，使得函数()0f x b -=恰有2个零点，，
()0g x b -=恰有一个零点，且123x x x ≠≠，1231x x x ++=.
其中，所有正确结论的序号是_______.
三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分14分）
已知{}n a 是公差为d 的无穷等差数列，其前n 项和为n S . 又4d =-，且540S =，是否存在大于1的正整数k ,使得1k S S =？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由.
z =)0,0(1:22
22>>=-b a b
y a x M ABC b ∃∈R 1x 2x 3x
17.（本小题满分14分）
已知函数2()cos (2sin )f x x x x x =+．
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； （Ⅱ）若当π[0,]2
x ∈时，关于x 的不等式()f x m ≥有解，求实数m 的取值范围．
18. （本小题满分14分）
在天猫进行6.18大促期间，某店铺统计了当日所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：
（Ⅰ）将当日的消费金额超过2000元的消费者称为“消费达人”，现从所有“消费达 人”中随机抽取3人，求至少有1位消费者，当日的消费金额超过2500元的概率； （Ⅱ）该店铺针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案：
方案1：按分层抽样从消费金额在不超过1000元，超过1000元且不超过2000元， 2000元以上的消费者中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励金，每人分别为100元、200元和300元．
方案2：每位会员均可参加线上翻牌游戏，每轮游戏规则如下：有3张牌，背面
都是相同的喜羊羊头像，正面有1张笑脸、 2张哭脸，将3张牌洗匀后背面朝上摆放，每次只能翻一张且每翻一次均重新洗牌，共翻三次． 每翻到一次笑脸可得30元奖励金．如果消费金额不超过1000元的消费者均可参加1轮翻牌游戏；超过1000元且不超过2000元的消费者均可参加2轮翻牌游戏；2000元以上的消费者均可参加3轮翻牌游戏（每次、每轮翻牌的结果相互独立）．
以方案2的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少?并说明理由．。