双曲线渐近线探究

双曲线的渐近线探究一．内容和内容解析本节课是在学过双曲线的范围、顶点、对称轴、离心率、准线方程等性质之后，探讨双曲线与椭圆相比的一个全新的性质——渐近线，进一步理解双曲线的性质及研究性质的方法与原理，并应用双曲线的渐近线，辅助画出双曲线，理解离心率的大小对双曲线张口大小的影响。

传统的教材处理是把双曲线的渐近线结合在双曲线性质内，与椭圆性质进行类比的方法来教学，我认为双线的渐近线是双曲线的特性，并且它的发现和方程的求法体现特殊的思维方式，很适合在网络环境下自主合作探究学习。

所以把这部分内容作为单独的研究性学习的课程来进行教学。

二．目标和目标解析经历从与形不同角度来发现、探究、证明双曲线与其渐近线的内在联系，理解双曲线渐近线的定义，掌握双曲线渐近线的方程及其求法，并能利用渐近线较准确地画出双曲线的草图，体验用曲线方程研究其性的基本方法与曲与直转化的策略，感悟有限与无限，曲与直个性与共性等辨证思想与美学思想。

提倡知识与技能、过程与方法（在过程中培养能力、形成意识）、情感态度价值观的有机整合，强调过程与结果的有机结合。

教师首先要把学生看成是发展中的人，关注学生全面和谐的发展，每个学生都有其发展的潜力，数学教育的最终目的是育人，利用数学…的特点提高学生的数学素养，提高整体素质，而对学生发展的正确认识也真体表现在我们在教学中要教什么、给学生一些什么东西、给学生留下什么东西。

三．教学过程设计用列表描点法分别画出双曲线 12222=-y x 双曲线都在框外，向左右上下近伸，但这种延伸与函数 2y -=x 的图象一样吗？问题情境是以学生自身周围环境中的现象、自然、社会和其他科学或数学中的问题为知识学习的切入点，是教学得以展开的起点，是我们为了实现教学目标而营造的特定背景，是数学学习、数学思维和数学活动产生的具体条件。

再观察反比例函数 ，指数函数y=2x. 教师指导或引导下，让学生经历“数学化”、“再创造”的活动过程，正是为学生的感受、体验和思考提供了有效的途径。

让学生置身于适当的学习活动中，学生从自己的经验和认知基础出发，在教师的指导或引导下，通过观察、实验、归纳、类比、抽象概括等活动，用数学的思想与方法去组织、去发现或猜测数学概念或结论，迸一步去证实或否定他们的发现或猜测。

上课开始，学生点击相关栏目，明确学习目标、利用已制作的“几何画板”上的“双曲线图形”，移动鼠标，观察动态图形，发现变化规律，形成感性认识，置身问题情境，寻求解答 。

问题一：双曲线的渐近线是怎样被发现的?(不同小组，不同学生可以有不同的途径与方法)你是如何理解“渐近”两字的含义？生答：（课本中是从图中可以看出，双曲线12222=-by a x 的各支向外延伸时，与两直线x ab y ±=逐渐接近故称之“渐近”，按目前水平理解：就是一条曲线和一条直线无限靠近，但永不相交。

也可以这样理解，当双曲线上动点M 沿着双曲线无限远离中心时，点M 到这条直线的距离逐渐变小，而无限趋近于零。

我们把两条直线x ab y ±=叫做双曲线的渐近线。

我们阅读课外参考书时，知道渐近线有比较严格的定义：若曲线的上的某点到某直线的距离为d ，当点趋向无穷远时d 能趋近于0，则这条曲线称为该曲线的渐近线。

按我们目前水平理解：就是一条曲线和一条直线无限靠近，但永不相交，这就是渐近线的特点。

当双曲线的各支向外延伸时，与渐近线逐渐接近，接近的程度是无限的，要多近有多近；也可以这样理解：当双曲线上的动点M 沿着双曲线无限远离双曲线中心时，点M 到这条直线的距离逐渐变小，而无限趋近于0。

我们在初中学过的反比例函数y=1/x 图像，其中x 轴即为它的渐近线；还有正切函数y=tanx 的图像，2π=x 也是其中一条渐近线，又如函数y=x+1/x 的渐近线中，有一条是直线y=x.问题二： 如何用量化的方法来证明一条直线是双曲线的渐近线？为什么课本中渐近线不按定义来证明？在证明过程中，哪些地方体现了数学的“化归思想”？生答：如果按定义来证明，若把曲线看成点的轨迹，就要证明动点到直线的距离d 越来越近。

这就需要把曲线上任意一点到直线的距离表示出来，即通常所说的目标函数，然后看它是否趋向于零。

但是目前我们还无法求解，因此，我们把倾斜的线段MQ 的计算，转化成竖直线段MN 的计算。

先取双曲线第一象限内的部分进行整理，这部分方程可写为y=a b 22a x -（x>a ）,设M （x,y ）是它上面的点，N(x,Y)是直线y=a b x 上与M 有相同横坐标的点，即Y=ab x 。

这是投射法，体现了数学中降维的转化思想（这在第七章学习点到直线距离公式时就已学过）这是第一点；为了让|MN|更简单，即把绝对值符号去掉，又进行了一个估计，Y 与y 的大小问题。

由y=a b22a x -=a b x <-2)(1x a a b x=Y ，这是第二点。

第三点在计算|MN|=Y-y 时，为了便于计算，又一次运用了转化思想，技巧是分子有理化，就是|MN|=Y-y=a b (x-22a x -)=a b 222222))((a x x a x x a x x -+-+--⋅=22ax x ab -+对于目标函数|MN|来说，当x 逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x 无限增大，x+22a x -也无限增大，|MN|接近于0，而|MQ|是RT △MNQ 的斜边，|MQ|>|MN|也随之接近于O ，即证明了，双曲线在第一象限部分的射线ON 的下放逐渐接近于射线ON 。

在其他象限内也可证明类似的情况。

问题三： “列表描点，画双曲线191622=-y x ”时，如何检验画出的图形是否正确？（特别是表格外的其余点是否画得对），由此你能得出双曲线的渐近线在画图时起了什么重要的作用？生答：利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图，具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线。

问题四：双曲线渐近线的斜率ab ±，与离心率e 存在着怎样的数量关系？由此，你发现了离心率e 的双曲线张口大小有何影响？生答：1|tan |2-==e a b α，e 越大，a b 也越大，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，由此可知，双曲线的离心率越大，它的张口越大。

问题五：根据双曲线的标准方程怎样尽快正确地写出渐近线方程生答：根据双曲线的标准方程写出渐近线方程的方法有两种：（1）画出以实轴长，虚轴长为邻边的矩形，写出其对角线方程，特别要注意对角线的斜率的确定。

（2）如果给出的双曲线方程为12222=-by a x （a>0,b>0）。

将双曲线标准方程等号右边的1改为0，即得双曲线的渐近线方程，再由此推出y=kx 的形式。

其渐近线方程为x a b y ±=，但是对于12222=-bx a y （a>0,b>0）来说，其渐近线方程则为x ba y ±=。

从某种意义上说，当双曲线的两个焦点无限靠近时，双曲线退化成它的渐近线。

问题六：已知双曲线的渐近线方程，其对应的双曲线方程是唯一的吗？若不是，它们有何共同特点，请用曲线系方程表示。

生答：双曲线12222=-by a x 的渐近线方程是x a b y ±=，但是以x a b y ±=为渐近线的双曲线方程不一定是12222=-b y a x ，而可以是)0(2222≠=-λλby a x 。

所以x a b y ±=为渐近线的双曲线，焦点可以在x 轴上)0(>λ，也可以在y 轴上)0(<λ，而且有无数多个。

类似直线系方程这些双曲线称为共渐近线的双曲线系。

四．课后反思教师不仅是设计者、组织者，而且是学生的合作者。

当学生遇到困难时，要数学上给予启发指导，要在情感上给予鼓励和充分肯定，帮助学生树立克服困难的自信心。

同时教师利用现代信息技术网络环境要给学生创设一个互动的良好环境，要主动了积极思考学生在活动过程中出现的种种问题，包括心理上的、数学上的、认知上的，针对学生的问题给予帮助，更好地、更有效地在师生互动的过程中帮助学生构建和发展认知结构。

教师以丰富的情感，人性化的语言，对双曲线的渐近线作描述，这些诗一般的语言，生动、形象，给学生留下深刻的印象。

数学教育作为教育的重要组成都分，在发展和完善人的教育活动中，起着别的学科不能替代的作用，在学校教育中，数学教育主要是在课堂中通过数学教学活动来进行的。

因此，很重要的是，我们应该认识到数学教学不仅是知识的教学，还应该体现数学的价值、数学的教育价值，应该促进学生全面和谐的发展，而在知识教学中要努力体现数学的思想和本质。

我们在数学教学活动中要以发展的观点来认识和进行基本知识和基本技能的教学，有意识地通过数学知识的学习过程使学生感悟数学的思考方式；要通过数学推理过程培养学生说理、批判、置疑、求真求实的理性恩维和理性精神；通过数学问题的解决培养学生提出问题、分析和解决问题的能力，进而发展学生的应用意识和创新精神，以及在解决挑战性大的问题中培养学生克服因难的顽强意志和锲而不舍的精神；等等。

我们的学生在未来的人生历程中，即使有很多不是以数学为事业，也不从事数学或数学教育的作，会忘记具体的数学内容，但是，数学留给他们的思考方式、留给他们的精神和态度、意识和观念，他们终身受益，使他们学会认知（学习）、学会合作、学会生存、学会做事，为促进他们终身学习和终身发展奠定良好的基础。