双曲线渐近线探究

双曲线的渐近线探究

一．内容和内容解析

本节课是在学过双曲线的范围、顶点、对称轴、离心率、准线方程等性质之后，探讨双曲线与椭圆相比的一个全新的性质——渐近线，进一步理解双曲线的性质及研究性质的方法与原理，并应用双曲线的渐近线，辅助画出双曲线，理解离心率的大小对双曲线张口大小的影响。

传统的教材处理是把双曲线的渐近线结合在双曲线性质内，与椭圆性质进行类比的方法来教学，我认为双线的渐近线是双曲线的特性，并且它的发现和方程的求法体现特殊的思维方式，很适合在网络环境下自主合作探究学习。所以把这部分内容作为单独的研究性学习的课程来进行教学。

二．目标和目标解析

经历从与形不同角度来发现、探究、证明双曲线与其渐近线的内在联系，理解双曲线渐近线的定义，掌握双曲线渐近线的方程及其求法，并能利用渐近线较准确地画出双曲线的草图，体验用曲线方程研究其性的基本方法与曲与直转化的策略，感悟有限与无限，曲与直个性与共性等辨证思想与美学思想。

提倡知识与技能、过程与方法（在过程中培养能力、形成意识）、情感态度价值观的有机整合，强调过程与结果的有机结合。教师首先要把学生看成是发展中的人，关注学生全面和谐的发展，每个学生都有其发展的潜力，数学教育的最终目的是育人，利用数学…的特点提高学生的数学素养，提高整体素质，而对学生发展的正确认识也真体表现在我们在教学中要教什么、给学生一些什么东西、给学生留下什么东西。

三．教学过程设计

用列表描点法分别画出双曲线 12

22

2=-y x 双曲线都在框外，向左右上下近伸，但这种延伸与函数 2y -=x 的图象一样吗？

问题情境是以学生自身周围环境中的现象、自然、社会和其他科学或数学中的问题为知识学习的切入点，是教学得以展开的起点，是我们为了实现教学目标而营造的特定背景，是数学学习、数学思维和数学活动产生的具体条件。

再观察反比例函数 ，指数函数y=2x

. 教师指导或引导下，让学生经历“数学化”、“再创造”的活动过程，正是为学生的感受、体验和思考提供了有效的途径。让学生置身于适当的学习活动中，学生从自己的经验和认知基础出发，在教师的指导或引导下，通过观察、实验、归纳、类比、抽象概括等活动，用数学的思想与方法去组织、去发现或猜测数学概念或结论，迸一步去证实或否定他们的发现或猜测。

上课开始，学生点击相关栏目，明确学习目标、利用已制作的“几何画板”上的“双曲线图形”，移动鼠标，观察动态图形，发现变化规律，形成感性认识，置身问题情境，寻求解答 。

问题一：双曲线的渐近线是怎样被发现的?(不同小组，不同学生可以有不同的途径与方法)你是如何理解“渐近”两字的含义？

生答：（课本中是从图中可以看出，双曲线122

22=-b

y a x 的各支向外延伸时，与两直线x a

b y ±=逐渐接近故称之“渐近”，按目前水平理解：就是一条曲线和一条直线无限靠近，但永不相交。也可以这样理解，当双曲线上动点M 沿着双曲线无限远离中心时，点M 到这条直线的距离逐渐变小，而无限趋近于零。我们把两条直线x a

b y ±=叫做双曲线的渐近线。 我们阅读课外参考书时，知道渐近线有比较严格的定义：若曲线的上的某点到某直线的距离为d ，当点趋向无穷远时d 能趋近于0，则这条曲线称为该曲线的渐近线。按我们目前水平理解：就是一条曲线和一条直线无限靠近，但永不相交，这就是渐近线的特点。当双曲线的各支向外延伸时，与渐近线逐渐接近，接近的程度是无限的，要多近有多近；也可以这样理解：当双曲线上的动点M 沿着双曲线无限远离双曲线中心时，点M 到这条直线的距离逐渐变小，而无限趋近于0。我们在初中学过的反比例函数y=1/x 图像，其中x 轴即为它的渐近线；还有正切函数y=tanx 的图像，2π=

x 也是其中一条渐近线，又如函数y=x+1/x 的渐近线中，有一条是直线y=x.

问题二： 如何用量化的方法来证明一条直线是双曲线的渐近线？为什么课本中渐近线不按定义来证明？在证明过程中，哪些地方体现了数学的“化归思想”？

生答：如果按定义来证明，若把曲线看成点的轨迹，就要证明动点到直线的距离d 越来越近。这就需要把曲线上任意一点到直线的距离表示出来，即通常所说的目标函数，然后看它是否趋向于零。但是目前我们还无法求解，因此，我们把倾斜的线段MQ 的计算，转化成竖直线段MN 的计算。

先取双曲线第一象限内的部分进行整理，这部分方程可写为y=

a b 22a x -（x>a ）,设M （x,y ）是它上面的点，N(x,Y)是直线y=a b x 上与M 有相同横坐标的点，即Y=a

b x 。 这是投射法，体现了数学中降维的转化思想（这在第七章学习点到直线距离公式时就已学过）这是第一点；为了让|MN|更简单，即把绝对值符号去掉，又进行了一个估计，Y 与y 的大

小问题。

由y=a b

22a x -=a b x <-2)(1x a a b x=Y ，这是第二点。 第三点在计算|MN|=Y-y 时，为了便于计算，又一次运用了转化思想，技巧是分子有理化，

就是|MN|=Y-y=a b (x-22a x -)=a b 222222))((a x x a x x a x x -+-+--⋅=22a

x x ab -+

对于目标函数|MN|来说，当x 逐渐增大时，|MN|

逐渐减小，x 无限增大，x+22a x -也无限增大，|MN|

接近于0，而|MQ|是RT △MNQ 的斜边，|MQ|>|MN|

也随之接近于O ，即证明了，双曲线在第一象限部分的

射线ON 的下放逐渐接近于射线ON 。在其他象限内也可证明类似的情况。

问题三： “列表描点，画双曲线19

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2=-y x ”时，如何检验画出的图形是否正确？（特别是表格外的其余点是否画得对），由此你能得出双曲线的渐近线在画图时起了什么重要的作用？

生答：利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图，具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线。

问题四：双曲线渐近线的斜率a

b ±

，与离心率e 存在着怎样的数量关系？由此，你发现了离心率e 的双曲线张口大小有何影响？生答：1|tan |2-==e a b α，e 越大，a b 也越大，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，由此可知，双曲线的离心率越大，它的张口越大。

问题五：根据双曲线的标准方程怎样尽快正确地写出渐近线方程