分式方程的运用(行程问题)
分式方程的应用行程问题
行程问题1.新化到长沙的距离约为200km，小王开着小轿车，张师傅开着大货车都从新化去长沙，小王比张师傅晚出发20分钟，最后两车同时到达长沙.已知小轿车的速度是大货车速度的1.2倍，求小轿车和大货车的速度各是多少？解：设大货车的速度是x千米/时，则小轿车的速度是1.2x/时，由题意，得200 x −2001.2x=2060，解得x=100，经检验，x=100是原方程的解，且符合题意，则1.2x=120．kk答：大货车的速度为100km/ℎ，小轿车的速度为120km/ℎ．【解析】设大货车的速度是x千米/时，则小轿车的速度是1.2x/时，根据时间关系列出方程，解方程即可．本题考查了分式方程分应用、分式方程的解法；根据时间关系列出方程是解决问题的关键．2.徐州至北京的高铁里程约为700km，甲、乙两人从徐州出发，分别乘坐“徐州号”高铁A与“复兴号”高铁B前往北京.已知A车的平均速度比B车的平均速度慢80km/ℎ，A车的行驶时间比B车的行驶时间多40%，两车的行驶时间分别为多少？【答案】解：设B车行驶的时间为t小时，则A车行驶的时间为1.4t小时，根据题意得：700t −7001.4t=80，解得：t=2.5，经检验，t=2.5是原分式方程的解，且符合题意，∴1.4t=3.5．答：A车行驶的时间为3.5小时，B车行驶的时间为2.5小时．【解析】设B车行驶的时间为t小时，则A车行驶的时间为1.4t小时，根据平均速度=路程÷时间结合A车的平均速度比B车的平均速度慢80km/ℎ，即可得出关于t的分式方程，解之经检验后即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．3.列方程解应用题八年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．【答案】解：设骑车学生的速度为xkm/ℎ，由题意得，10x −102x=13，解得：x=15．经检验：x=15是原方程的解．答：骑车学生的速度为15km/ℎ．【解析】设骑车学生的速度为xkm/ℎ，则汽车的速度为2xkm/ℎ，根据题意可得，乘坐汽车比骑自行车少用20min，据此列方程求解．本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．4.从北京到某市可乘坐普通列车或高铁.已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是520千米.如果高铁的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，且乘坐高铁比乘坐普通列车少用3小时，求高铁的平均速度是多少千米/时？【答案】解：设普通列车平均速度是x千米/时，则高铁平均速度是2.5x千米/时，根据题意得：520 x −4002.5x=3，解得：x=120，经检验x=120是原方程的解，则高铁的平均速度是120×2.5=300(千米/时)，答：高铁的平均速度是300千米/时．【解析】设普通列车平均速度是x千米/时，则高铁的平均速度是2.5x千米/时，根据乘坐高铁比乘坐普通列车少用3小时，列出分式方程，然后求解即可．此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程，解分式方程时要注意检验．5.一辆汽车计划从A地出发开往相距180千米的B地，事发突然，加速为原速的1.5倍，结果比计划提前40分钟到达B地，求原计划平均每小时行驶多少千米？【答案】解：设原计划平均每小时行驶x千米，则加速后平均每小时行驶1.5x千米，根据题意得：180x −1801.5x=4060，解得：x=90，经检验，x=90是原分式方程的根，且符合题意．答：原计划平均每小时行驶90千米．【解析】设原计划平均每小时行驶x千米，则加速后平均每小时行驶1.5x千米，根据时间=路程÷速度结合结果比计划提前40分钟到达，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．6.正在建设的“汉十高铁”竣工通车后，若襄阳至武汉段路程与当前动车行驶的路程相等，约为325千米，且高铁行驶的速度是当前动车行驶速度的2.5倍，则从襄阳到武汉乘坐高铁比动车所用时间少1.5小时.求高铁的速度．【答案】解：设高铁的速度为x千米/小时，则动车速度为0.4x千米/小时，根据题意得：3250.4x −325x=1.5，解得：x=325，经检验x=325是分式方程的解，且符合题意，则高铁的速度是325千米/小时．【解析】设高铁的速度为x千米/小时，则动车速度为0.4x千米/小时，根据题意列出方程，求出方程的解即可．此题考查了分式方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．7.一艘轮船在静水中的最大航速为32km/ℎ，它以最大航速沿江顺流航行96km所用时间，与以最大航速逆流航行64km所用时间相等，江水的流速为多少？【答案】解：设江水的流速为Vkm/ℎ，根据题意可得：9632+V =6432−v，解得：V=6.4，经检验：V=6.4是原分式方程的解，答：江水的流速为6.4km/ℎ．【解析】设江水的流速为Vkm/ℎ，则顺水速=静水速+水流速，逆水速=静水速−水流速.根据顺流航行96千米所用时间，与逆流航行64千米所用时间相等，列方程求解．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键.航行问题常用的等量关系为：逆水速度=静水速度−水流速度，顺水路程=静水速度+水流速度．8.从甲地到乙地有两条公路，一条是全长600km的普通公路，另一条是全长480km的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45km/ℎ，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间．【答案】解：设客车由高速公路从甲地到乙地需x小时，则走普通公路需2x小时，根据题意得：6002x +45=480x，解得x=4经检验，x=4原方程的根，答：客车由高速公路从甲地到乙地需4时．【解析】本题依据题意先得出等量关系即客车由高速公路从A地道B的速度=客车由普通公路的速度+45，列出方程，解出检验并作答．本题主要考查分式方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键.根据速度=路程÷时间列出相关的等式，解答即可．9.小明的家距离学校1600米，一天小明从家里出发去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，正好在校门口追上了他，已知爸爸的速度是小明速度的2倍，求小明的速度．【答案】解：设小明的速度为x米/分，则爸爸的速度是2x米/分，根据题意得：1600x =16002x+10，解得x=80，经检验，x=80是原方程的根．答：小明的速度是80米/分．【解析】设小明的速度为x米/分，则爸爸的速度是2x米/分，根据时间=路程÷速度结合爸爸比小明少用10分钟，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．10.一汽车从甲地出发开往相距240km的乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后比原来的速度加快14，比原计划提前24min到达乙地，求汽车出发后第1小时内的行驶速度．【答案】解：设汽车出发后第1小时内的行驶速度是x千米/小时，根据题意可得：240 x =1+240−x54x+2460，解得：x=80，经检验得：x=80是原方程的根，答：汽车出发后第1小时内的行驶速度是80千米/小时．【解析】根据题意结合行驶的时间的变化得出等式进而求出答案．此题主要考查了分式方程的应用，正确表示出汽车行驶的时间是解题关键．。
分式方程的应用——行程问题
安县沙汀实验中学八年级下数学导学案之十六——分式方程的应用
知识点一：行程问题的应用题
例1：A、B两地相距40千米，甲从A地到B地，如果走的速度为x千米/时，那么需要走小时；如果速度加快2千米/时，那么需要走小时，这样可以比原来
少用小时，如果比原来少用1小时，那么列方程为
例2：、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。
已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。
例3：从2004年5月起某列车平均提速v千米/时，用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度为多少？（解含字母系数的方程）
对应练习：
八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度。
课堂过关测试
1、甲、乙两人分别从距目的6千米和10千米的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4，
结果甲比乙提前20分钟到达目的地，求甲、乙的速度。
2、一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的1、5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地，求前一小时的行驶速度。
3、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的告诉公路。
某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。
分式方程应用行程问题
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分式方程应用（行程问题）
你,我,他——人人都有 创造力. 相信自己是最棒的.
随时小结
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.
2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.
3.列:根据数量和相等关系,正确列出代数式和方程. 4.解:认真仔细. 5.验:有两次检验.
两次检验是:
(1)是否是所列方程的解;
(2)是否满足实际意义.
6.答:注意单位和语言完整.且答案要生活化.
1、在行程问题中，三个基本量是：路程、速度、时间。 它们的关系是： 路程 路程 路程= 速度×时间 ；速度= 时间 ；时间= 速度 .
1、A，B两地相距60km，甲骑自行车从A 地出发到B地，出发1h后，乙骑摩托车从 A• 地到B地，结果甲与乙同时到达B地，已 知乙的速度是甲的3倍，求甲，乙二人的 速度．
4、A，B两地相距60km，甲乙同时从A• 地到B地，Байду номын сангаас出发1小时后，乙回到A地 取东西后立即返回去B地，结果二人同 时到达B地，已知乙的速度是甲的3倍， 求甲，乙二人的速度．
三、归纳整理 列方程解应用题的主要步骤 列方程解应用题的两步检验
畅所欲言
说说这节课你学到的， 感受到的
2、A，B两地相距60km，甲骑自行车从
A地出发到B地，出发1h后，乙骑摩托车 从A• 地到B地，结果甲与乙同时到达B地， 已知乙每小时比甲多走20千米， 求甲，乙二人的速度．
3、A，B两地相距60km，甲骑自行
车从A地出发到B地，出发0.5h后， 乙骑摩托车从A• 地到B地，且乙比甲 早到0.5h，已知乙的速度是甲的3倍， 求甲，乙二人的速度．
分式方程的应用优质数学课件
1 3小.甲时、，乙已两知人甲骑与自乙行速车度各比行为288：公7里，，求甲两比人乙速快度。4
分分析析：关：键t乙找等- t量甲关系14、,
列即方程28 v乙
-
28 v甲
1 4
解：设甲的速度8x 千米/时， 则乙的速度
是7x 千米/时。
依题意得： 28 28 1 7x 8x 4
【行程问题】——航行问题
二、列分式方程解应用题中的“检验”有两点 要求： 一看是不是增根，是增根就得舍去， 二看这个根是否符合题中的实际意义。
作业布置：
完成：《分式方程常见应用题型》
分析： 设小玲骑车的速度是V m/s
路程 小玲 3000 小明 3000
速度
V 1.2V
时间
3000
v 3000
1.2v
等量关系： 小玲用的时间-小明用的时间=5分=5×60秒
归纳：列分式方程解应用题的一般步骤： 1.审: 分析题意,找出数量关系和相等关系. 2.设: 选择恰当的未知数,注意单位和语言完整. 3.列: 根据数量和相等关系,正确列出分式方程. 4.解: 解这个分式方程. 5.验: 检验（一验是否是方程的解，二验是否符合题意） 6.答: 注意单位和语言完整.
经检验，x=18是原分式方程的解，且符合题意。
则 X-6=12（千米） 答：甲每小时骑18千米，乙每小时骑12千米。
【行程问题】——自我检测
2.农机厂 到距工厂15千米的向阳村检修农机，一 部分人骑自行车先走，过了40分钟其余人乘汽车 去，结果他们同时到达。已知汽车的速度是自行 车的3倍，求两车的速度。
解：设自行车的速度为x千米/时，则汽车的速度是
3x千米/时， 依题意得：
15 = 15 2 3x x 3
分式方程的应用--行程问题
1、甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地。
已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍。
求步行的速度和骑自行车的速度。
2、某中学到离学校15千米的西山春游，先遣队与大队同时出发，行进速度是大队的1.2倍，以便提前21 小时到达目的地做准备工作，求先遣队与大队的速度各是多少？3.小明家、王老师家、学校在同一条路上，小明家到王老师家的路程为3千米，王老师家到学校的路程为0.5千米，由于小明的父母战斗在抗“非典”第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学。
已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车速度各是多少千米/时？4、我国“八纵八横”铁路骨干网的第八纵通道——温（州）福（州）铁路全长298千米．将于2009年6月通车，通车后，预计从福州直达温州的火车行驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间缩短2小时．已知福州至温州的高速公路长331千米，火车的设计时速是现行高速公路上汽车行驶时速的2倍．求通车后火车从福州直达温州所用的时间（结果精确到0.01小时）．5、今年4月18日，我国铁路实现了第六次大提速，这给旅客的出行带来了更大的方便．例如，京沪线全长约1500公里，第六次提速后，特快列车运行全程所用时间比第五次提速后少用871小时．已知第六次提速后比第五次提速后的平均时速快了40公里，求第五次提速后和第六次提速后的平均时速各是多少？解：设第五次提速后的平均速度是x 公里/时，6、(2007山东威海课改，7分)甲、乙两火车站相距1280千米，采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是原来速度的3.2倍，从甲站到乙站的时间缩短了11小时，求列车提速后的速度．7、（2007甘肃庆阳课改，3分）轮船先顺水航行46千米再逆水航行34千米所用的时间，恰好与它在静水中航行80千米所用的时间相等，水的流速是每小时3千米，则轮船在静水中的速度是多少?．8甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达乙地，求两车的平均速度．9某人骑自行车比步行每小时多走8千米，已知他步行12千米所用时间和骑自行车走36千米所用时间相等，求这个人步行每小时走多少千米？10某校少先队员到离市区15千米的地方去参加活动，先遣队与大队同时出发，但行进的速度是大队的2.1倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作，求先遣队和大队的速度各是多少.11供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修.技术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果他们同时到达.已知抢修车的速度是摩托车的1.5倍，求这两种车的速度.12轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相等，已知水流速度每小时3千米，求轮船在静水中的速度.13假日工人到离厂25千米的浏览区去旅游；一部分人骑自行车，出发1小时20分钟后，其余的人乘汽车出发，结果两部分人同时到达，已知汽车速度是自行车的3倍，求汽车和自行车速度.。
5.4 分式方程的应用——行程问题
题型剖析
一、顺逆流问题
例2 一轮船往返于A、B两地之间，顺水比逆水快1小时到达.已
知A、B两地相距80千米，水流速度是2千米/时，求轮船在静水
中的速度. 解：设船在静水中的速度为x千米/时,根据题意得
80 80 1. x2 x2
方程两边同乘（x-2)(x+2)得 80x+160 －80x+160=x2 －4.
知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度.
解：设自行车的速度为x千米/时，那么汽车的速度是3x千米/时，
依题意得：
15 15 2 . 3x x 3
解得
x=15.
经检验，x=15是原方程的根.
由x＝15得3x=45. 答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时.
练一练
3. A、B两地相距80千米，一辆公共汽车从A地出 发开往B地，2小时后，又从A地开来一辆小汽车， 小汽车的速度是公共汽车的3倍，结果小汽车比公 共汽车早到40分钟到达B地.求两种车的速度.
四、耽搁问题 例4 某人驾车从A地到B地，出发2小时后车子出了点 毛病，耽搁了半小时修车，为了弥补耽搁的时间他 将车速增加到后来的1.6倍，结果按时到达，已知A、 B两地相距100千米，求某人原来驾车的速度.
练一练 4.一列火车从车站开出，预计行程为450千米， 当它出发3小时后，因特殊情况而多停一站， 因此耽误30分钟，后来把速度提高了20％，结 果准时到达目的地，求这列火车原来的速度。
48 48 9 x4 x4
二、同时不同地 例2 哥哥和弟弟100米赛跑，弟弟在哥哥前面20米， 他们同时出发也同时到达终点，已知哥哥比弟弟快
0.3m/s，他们的速度分别为多少m/s？
三行
分式方程应用题分类解析
分式方程应用题分类解析一．行程问题（1）一般行程问题1.从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的高速公路。
某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上每小时快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。
2.A、B两地距80千米，一公共汽车从A到B，2小时后又从A同方向开出一辆小汽车，小汽车车速是公共汽车的3倍，结果小汽车比公共汽车早40分钟到达B地，求两车速度。
3.我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度。
（2）水航问题4.轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。
已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。
二．工程问题1.某市为了进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路，为使工程能提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12%。
问原计划这项工程用多少个月.2.一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半，加一天乙型拖拉机，两台合耕，1天耕完这块地的另一半。
乙型拖拉机单独耕这块地需要几天？3.甲、乙两个工程队共同完成一项工程,乙队先单独做1天, 再由两队合作2天就完成全部工程,已知甲队与乙队完成此工作时间比是2:3,求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天?4.某市为治理污水，需要铺设一段全长3000米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成了任务，实际每天铺设多长管道？5.市政工程公司修建6000米长的河岸，修了30天后，从有关部门获知汛期将提前，公司决定增派施工人员以加快速度，工效比原来提高了20%，工程恰好比原计划提前5天完成。
求该公司完成这项工程实际的天数.6.为加快西部大开发，某自治区决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程。
分式方程的应用——行程问题(人教版)八年级数学上册PPT课件
解：（1）设第一次购进水果x千克， 依题意可列方程：
解得x=200． 经检验，x=200是原分式方程的解，且符合题意. 答：第一次购进水果200千克.
（2）该商店两次购进的水果按照相同的标价销售 一段时间后，将最后剩下的 50 千克按照标 价的半价出售，售完全部水果后，利润不低 于 3 100 元，则最初每千克水果的标价至少 是多少元/千克？
依题意，得
解得x＝70. 经检验，x＝70是所列分式方程的解，且符合题意. 所以（1+50%）x＝105． 答：公路升级以后汽车的平均速度为105 km/h.
三级拓展延伸练
11. 某列车平均提速 80 km/h，用相同的时间， 该列车提速前行驶 300 km，提速后比提速前 多行驶 200 km，求该列车提速前的平均速 度.
3. （例 2）A，B 两座城市相距 40 千米，甲骑 自行车从 A 城出发前往 B 城，1 小时后，乙 才骑摩托车从 A 城出发前往 B 城，已知乙的 速度是甲的 2.5 倍，且乙比甲早 30 分钟到 B
城，求甲、乙两人的速度各是多少.
解：设甲的速度为x 千米/时，则乙的速度为2.5x 千米/ 时． 根据行驶时间的等量关系，得 解得x＝16. 检验：当x＝16时，2.5x≠0. 所以x＝16是原分式方程的解，且符合题意. 所以乙的速度为2.5x＝40. 答：甲的速度为16 千米/时，乙的速度为40 千米/时．
解：设轿车的速度是x千米/时，则货车的速度是 （x-20）千米/时. 由题意，得 解得x＝120. 经检验：x＝120是原分式方程的解，且符合题意. 所以x-20＝100. 答：轿车的速度是120千米/时，货车的速度是100 千米/时．
2. A 市到 B 市的距离为 210 千米，小刘开着小 轿车，小张开着大货车，都从 A 市去 B 市. 小
分式方程的应用(行程、问题)
将求得的未知数的值代入原分式方程进行检 验，确保解是合理的。
换元法
设定新变量
根据分式方程的特点，设定一个新变量代替原方 程中的某个部分，从而简化方程。
解新方程
解这个关于新变量的整式方程，得到新变量的值 。
建立新方程
用新变量表示原方程，得到一个关于新变量的整 式方程。
回代求解
将求得的新变量的值代回原方程，求出未知数的 值。
抛体运动中的射程和射高计算
在抛体运动中，物体的射程和射高与初速度、抛射角等因素有关。通过设立分式 方程，可以求出物体在抛体运动中的射程、射高以及其他相关信息。
03
工程问题中的分式方程
工作效率问题
工作总量与工作时间的关系
通过设定工作总量为单位“1”，根据工作效率的定义建立分式 方程，求解工作时间或工作效率。
01
02
03
04
观察法
通过观察分式方程的特点和结 构，直接找出方程的解或简化
方程的求解过程。
合并同类项法
将分式方程中的同类项进行合 并，从而简化方程的求解过程
。
分离常数法
将分式方程中的常数项分离出 来，得到一个更简单的分式方
程进行求解。
利用已知条件法
根据题目给出的已知条件，直 接代入分式方程进行求同的地点出发，以不同的速度 相对而行，最终在某一点相遇。通过设立分式方程，可以求出相 遇的时间、地点等关键信息。在追及问题中，一个物体追赶另一 个物体，通过设立分式方程可以求出追及的时间、距离等。
变速直线运动中的分式方程
平均速度的计算
在变速直线运动中，物体的速度会发生变化。通过设立分式方程，可以求出物 体在某段时间内的平均速度，进而计算出路程等其他相关信息。
第11讲 分式方程的应用--尖子班
第11讲分式方程的应用知识点1 分式方程的应用-行程问题1、基本公式：路程=速度×时间2、流水行船问题：顺水速度=水流速度+静水速度逆水速度=静水速度﹣水流速度【典例】例1（2020秋•集贤县期末）李明到离家2.1千米的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距联欢会开始还有48分钟，于是他立即步行（匀速）回家，在家拿道具用了2分钟，然后立即骑自行车（匀速）返回学校．已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20分钟，且骑自行车的速度是步行速度的3倍．（1）李明步行的速度是多少？（2）李明能否在联欢会开始前赶到学校？【方法总结】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．例2 （2020秋•白云区期末）一辆汽车开往距离出发地180km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的 1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地，求前一小时的行驶速度．【方法总结】此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等式是解题关键．【随堂练习】1．马小虎的家距离学校2000米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校400米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．2．（2020秋•乌苏市期末）近年来，安全快捷、平稳舒适的中国高铁，为世界高速铁路商业运营树立了新的标杆．随着中国特色社会主义进入新时代，作为“中国名片”的高速铁路也将踏上自己的新征程，跑出发展新速度，这就意味着今后外出旅行的路程与时间将大大缩短，但也有不少游客根据自己的喜好依然选择乘坐普通列车；已知从A地到某市的高铁行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁行驶路程的1.3倍，请完成以下问题：（1）普通列车的行驶路程为多少千米？（2）若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求普通列车和高铁的平均速度．知识点2 分式方程的应用--销售、利润问题销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。
分式方程行程问题公式
分式方程行程问题公式
分式方程是数学中一种含有分式的方程，行程问题是指涉及到时间、速度和距离的问题。
我们可以通过一个实例来演示分式方程在行程问题中的应用。
假设小明和小红同时从相同的起点出发，小明以每小时10公里的速度向东行驶，小红以每小时8公里的速度向西行驶。
我们需要求他们相遇所需的时间。
设小明和小红相遇所需的时间为t小时。
根据行程问题的描述，小明从起点出发后行驶的路程可以表示为：10t公里，而小红从起点出发后的行驶路程可以表示为：8t公里。
因为他们在相同时间相遇，根据分式方程的概念，我们可以设置以下等式：10t = 8t
接下来，我们可以解这个方程：
10t - 8t = 0 （将8t移到等号右边，得到10t - 8t = 0）
2t = 0 （化简方程，得到2t = 0）
t = 0 （将2t除以2，得到t = 0）
根据方程的解，我们可以得出结论：小明和小红相遇所需的时间为0小时，即他们从起点出发时已经相遇。
通过这个例子，我们展示了如何利用分式方程解决行程问题中的公式，我们设置了方程10t = 8t，并通过对方程进行化简和求解得出结果。
在实际问题中，我们可以根据给定的条件并使用类似的方法来解决行程问题。
分式方程应用行程问
当题目中涉及到两个或两个以上 的对象（如甲、乙两人或两车） 运动时，可以通过设立分式方程
来表示他们之间的行程关系。
设立分式方程的关键是找到各对 象之间的等量关系，通常可以利 用速度、时间和路程之间的关系
来建立方程。
求解分式方程
01
02
03
04
分式方程的求解通常包括去分 母、解整式方程和验根三个步
骤。
例题二：追及问题
题意解析
追及问题中，一个物体以较快的速度从后面追赶另一个物体 ，经过一段时间后可以追上。
解题思路
设追赶物体的速度为$v_1$，被追赶物体的速度为$v_2$，追 及时间为$t$，则追赶物体在追及时间内行驶的路程为$v_1t$ ，被追赶物体在追及时间内行驶的路程为$v_2t$。由于追赶 物体要追上被追赶物体，因此有$v_1t = v_2t + d$，其中 $d$为两物体之间的初始距离。
求解与验证
根据分式方程的特点，选择合适的解法 进行求解。常用的解法有去分母法、换
元法等。
在求解过程中，要注意运算的准确性和 规范性，避免出现计算错误。
得到解后，要验证解的合理性。将解代 入原方程进行检验，看是否符合题目的 条件和要求。同时，也要考虑实际问题
的意义，排除不符合实际情况的解。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
反思与优化
解题思路
根据题意，设两个物体的速度分别为$v_1$和$v_2$，相遇时间为$t$，则它们各 自行驶的路程分别为$v_1t$和$v_2t$。由于它们在相遇点的路程和等于两地之间 的距离$d$，因此有$v_1t + v_2t = d$。
例题一：相遇问题
解题步骤 2. 解方程求出相遇时间$t$；
1. 根据题意设立方程； 3. 利用相遇时间求出各自行驶的路程。
初中数学微课--分式-分式方程的应用——行程问题
分式方程的应用——行程问题
1．为庆祝建党100周年，学校组织初二学生乘车前往距学校132千米的某革命根据地参观学习．二班因事耽搁，比一班晚半小时出发，为了赶上一班，平均车速是一班平均车速的1.2倍，结果和一班同时到达．求一班的平均车速是多少千米/时？
2．截至2021年，高速公路已经贯通云南16个州市，云南省正全力推进县域高速公路“能通全通”“互联互通”工程建设．已知甲、乙两地之间的国道全长为220km，经过改修高速公路后，长度减少了20km，高速公路通后，一辆长途汽车的高速行驶速度比国道行驶速度提高了45km/h，从甲地到乙地的行驶时间减少了一半．
（1）求该长途汽车在国道上行驶的速度；
（2）若该高速公路规定长途汽车限速80km/h，那么该长途汽车从甲地到乙地是否超速？
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分式方程应用行程问题
（行程问题）
1、在行程问题中，三个基本量是：路程、速度、时间。
它们的关系是：
路程
路程= 速度×时间 ；速度= 时间
路程
；时间= 速度 .
基 (1)础小练汽习车：的速度为x千米/时，则15分钟能行驶__14__x_千_米__
(2)甲乙两地相距300千米，客车的速度为x千米/时， 则乘坐该客车从甲地到乙地需___3_0x_0_小__时_.
思考：这是_行_程__问题，三个量
为___路_程__、__速_度__、_时__间______
等量关系：
骑自行车的时间-乘汽车的时间=20分=
1 3
小时
路程km 速度km/h 时间h
骑自行车者 10
10
x
x
乘汽车者 10
2x
10
2x
以下是解题格式
解：
等量关系： 骑自行车的时间-乘汽车的时间=20分=
1 3
小时
设骑车同学的速度为x 千米/时，由题意，得
路程
km
骑自行 车者
10
乘汽车 者
10
速度 km/h
x
2x
时间h
10 x 10 2x
10 10 1 x 2x 3
在方程两边都乘以2x得:
60-30=2x 解得x=15
检验：当x=15时，2x≠0
∴ x=15是原方程的根 答：骑车同学的速度为15千米/时。
小水管2倍的大水管注水,向容器中注满水的全过程共用时间t分。
求两根水管各自的注水速度。 （提示：要考虑大水管的进水速
度是小水管进水速度的多少倍）思考：这是工__程__问题，三个量
大水管的进水速度 是小大水水管管的口径4倍是。小水管
第5讲 分式方程的应用--尖子班
第7讲分式方程的应用知识点1 分式方程的应用-行程问题1、基本公式：路程=速度×时间2、流水行船问题：顺水速度=水流速度+静水速度逆水速度=静水速度﹣水流速度【例1】.小明每天骑自行车到15km的学校上学．最近一条新路开通，路程缩短为12km，路况也变好了，于是骑车的平均速度比原来提高了20%，这样比以前提前20分钟到达学校．试求小明原来骑车的速度为每小时多少千米？【随堂练习】1.一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，按原计划的速度匀速行驶60千米后，再以原来速度的1.5倍匀速行驶，结果比原计划提前40分钟到达目的地，则原计划的行驶速度为_____千米/时2.小张和小王同时从学校出发去距离15千米的上海世博园，小张比小王每小时多行1千米，结果比小王早到半小时，设小王每小时走x 千米，则可列方程（ ）A. 1515112x x -=+ B.1515112x x -=+ C. 1515112x x -=- D. 1515112x x -=- 3.某中学到离学校15千米的某地旅游，先遣队和大队同时出发，先遣队行进速度是大队的1.2倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作．则先遣队的速度是（ ）A. 3.4千米/小时B. 6千米/小时C. 7.2千米/小时D. 8.4千米/小时4.轮船顺水航行50km 所需的时间和逆水航行10km 所需的时间相同，已知水流的速度是2km/h ，则轮船在静水中的速度为______千米/时5.A 、B 两地的距离是80千米，一辆巴士从A 地驶出3小时后，一辆轿车也从A 地出发，它的速度是巴士的3倍，已知轿车比巴士早20分钟到达B 地，则轿车的速度为___千米/时知识点2 分式方程的应用--销售、利润问题销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。
（1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率=（商品利润÷商品成本）×100%（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．【例2】.某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的进价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本．（1）求第一次购书的进价；（2）第二次购书后，按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？【随堂练习】1.某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T 恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．甲种款型的T 恤衫购进_____件2.某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，求该种干果的第一次进价是每千克____元？3.开学初，小芳和小亮去商店购买学习用品，小芳用30元钱购买钢笔的数量是小亮用25元钱购买笔记本数量的2倍，已知每支钢笔的价格比每本笔记本的价格少2元．则每支钢笔和每本笔记本的价格分别是（ ）A. 每支钢笔和每本笔记本各是4元、6元B. 每支钢笔和每本笔记本各是3.5元、5.5元C. 每支钢笔和每本笔记本各是6元、8元D. 每支钢笔和每本笔记本各是3元、5元4.在“母亲节”前夕，某花店用16000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快预售一空．根据市场需求情况，该花店又用7500元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的12，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是_____元5.某校用420元钱到商场去购买“84”消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比按原价购买多买了20瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶x 元，则可列出方程为（ ）A. 420420200.5x x -=-B. 420420200.5x x-=-C. 4204200.520x x -=-D. 4204200.520x x -=-6.为了迎接“五•一”小长假的购物高峰．某服装专卖店老板小王准备购进甲、乙两种夏季服装．其中甲种服装每件的成本价比乙种服装的成本价多20元，甲种服装每件的售价为240元比乙种服装的售价多80元．小王用4000元购进甲种服装的数量与用3200元购进乙种服装的数量相同．（1）甲种服装每件的成本是多少元？（2）要使购进的甲、乙两种服装共200件的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于21100元，且不超过21700元，问小王有几种进货方案？7．某商店销售一种品牌电脑，四月份营业额为5万元．为扩大销售，在五月份将每台电脑按原价8折销售，销售量比四月份增加了4台，营业额比四月份多了6千元．（1）求四月份每台电脑的售价．（2）六月份该商店又推出一种团购促销活动，若购买不超过5台，每台按原价销售；若超过5台，超过的部分7折销售，要想在六月份团购比五月份团购更合算，则至少要买多少台电脑？8．某商家预测“华为P30”手机能畅销，就用1600元购进一批该型号手机壳．面市后果然供不应求，又购进6000元的同种型号手机壳，第二批所购手机壳的数量是第一批的3倍，但进货单价比第一批贵了2元．（1）第一批手机壳的进货单价是多少元？（2）若两次购进手机壳按同一价格销售，全部售完后，为使得获利不少于2000元，那么销售单价至少为多少？9．为厉行节能减排，倡导绿色出行，某区推行“共亨单车”公益活动．么同小区分别投放数量相等的A、B两种不同款型的共享单车，其中B型车的成本单价比A型车高10元，A型、B型单车投放成本分别为33000元和34500元（1）求A型共享单车的单价是多少元？（2）试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开，按照试点投放中A，B两车型的数量比为3：2进行投放，且投资总价值不低于11万元．请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆？知识点3 分式方程的应用--工程问题1、工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。
人教版初二数学上册 分式方程应用题之行程问题 讲义
分式方程应用题之行程问题解题方法：1、速度×时间=路程2、画表格分析例1、小明每天骑自行车去15km的学校上学，最近一条新路开通，路程缩短为12km，路况也变得贼好，于是小明的平均速度比原来提高了20%，这样可以提前1小时到达学校。
试求小明原来骑自行车的速度为每小时多少km？31、甲、乙两火车站相距1280千米，“和谐”号列车提速后，它的行驶速度是原来速度的3.2倍，从甲站到乙站的时间缩短了11小时，求列车提速后的速度2、大车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比大车多行驶20千米，求两车的速度各是多少？3、小明的家距离学校2000米。
有一天，小明从家里去上学。
出发10分钟后，爸爸发现他没带数学书，立刻带上课本追赶小明，在距离学校400米的地方追上了小明。
已知爸爸的速度是小明速度的2倍，求小明的速度4、一个学生从学校回家，先步行2千米然后乘汽车行驶8千米到家，第二天骑自行车按原路返校，所用时间与回家时间相同，已知骑自行车的速度比步行速度快8千米/时，比汽车速度少12千米/时，求自行车速度例2、A、B两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆出租车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知出租车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车速度5、甲、乙两人都从A地出发到B地，已知两地相距50千米，且乙的速度是甲速度的2.5倍，现在甲先出发1小时30分，乙再出发，结果乙反而比甲早到1小时，问甲、乙两人速度各是多少？6、A、B两地相距135km，两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5h，小汽车比大汽车晚到30min，已知小汽车与大汽车的速度比是5：2，求两车速度7、A、B两地距离40km，甲乙二人同时从A地出发前往B地，甲的速度每小时比乙的速度快2km。
当甲来到距B地4km时，因交通阻塞减慢速度，速度每小时减少8km，如果两人同时到达，求甲乙两人原来的速度。
分式方程的应用(1)行程
8年 班 姓名： 学号： 命题人：匡丹丹 20140827 第 8 页分式方程的应用（一）------行程问题教学目标：1．根据路程、速度、时间的关系，列分式方程解决实际问题． 2．理解列分式方程解应用题的步骤，特别注意“验”这一步．3．情感态度价值观：培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生应用数学的意识． 教学重点：找出实际问题中的已知数量与未知数量，确定等量关系，列出分式方程． 教学难点：找出实际问题中的已知数量与未知数量，确定等量关系，列出分式方程． 关键：根据题意确定等量关系并准确列出方程． 教学流程：一、复习旧知：1．列方程解应用题的步骤是：审、设、列、解、验、答．2．行程问题涉及到的量有：路程、速度、时间．它们的关系是：路程= ；速度=时间=二、学习新知：例1．A 、B 两地相距40千米，甲从A 地到B 地，如果走的速度为x 千米/时，那么需要走小时；如果速度加快2千米/时，那么需要走 小时，这样可以比原来少用 小时，如果比原来少用1小时，那么列方程为 ． 练习：小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km ，可早到10分钟，每小时骑12km 就会迟到5分钟．问他家到学校的路程是多少km?设他家到学校的路程是xkm ，则据题意列出的方程是（ ） （A ）60512601015-=+x x （B ）60512601015+=-x x （C ）60512601015-=-x x （D ）5121015-=+xx例2．甲、乙两地之间的高速公路全长200千米，比原来国道的长度减少了20千米．高速公路通车后，某长途汽车的行驶速度提高了45千米/时，从甲地到乙地的行驶时间缩短了一半，求该长途汽车在原来国道上行驶的速度．练习1：轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同．已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度．练习2：八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时达到．已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度．能力提高：甲、乙二人分别从相距36千米的A 、B 两地相向而行，甲从A 地出发1千米后，发现有物品遗忘在A 地，便立即返回，取了物品立即从A 地向B 地行进，这样甲、乙二人恰在AB 中点相遇．如果甲每小时比乙每小时多走0.5千米．求甲、乙二人的速度各是多少？。
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解：设江水的流速是x千米/小时，那么， 轮船顺流航行的速度为(20+x)千米/小时， 轮船逆流航行的速度为(20-x)千米/小时，
100 顺流路程 顺流航速 20+x
逆流路程 60 逆流航速 20-x
x=5 经检验，x=5为原方程的根。 解得： 答：江水的流速是5千米/小时。
举一 反三
轮船在顺水中航行80千米所需的时 间 逆水中航行60千米所需的时间 间和逆水中航行60千米所需的时间 相同。已知水流的速度是3千米/小 时，求轮船在静水中的速度。 解：设轮船在静水中的速度为x 千米/小时，则 轮船在顺水中航行的速度为(x+3)千米/小时 轮船在逆水中航行的速度为(x-3)千米/ 速度=路程÷时间
=
×
例：一艘轮船在静水中的航速为20千 例题1 它沿江顺流航行100千米所 米/小时，它沿江顺流航行100千米所 用的时间，与逆流航行60千米所用的 时间相等 时间相等，问：江水的流速是多少？ 顺流航行100 逆流航行60 解：设江水 的流速为x 千米所用的时 千米所用的 千米/小时。 间 时间
度为x千米/小时。 s s 50 等量关系：时间相等 x vx 行程 思考：这是____问题 路程km 提速前 提速后 速度km/h 时间h
s 50 xv
s x
s
s 50
x xv
甲乙两地相距150千米，两车同时 例题3 大车比小车晚到 从甲地开往乙地，大车比小车晚到 5/4小时 5/4小时，若大车与小车的速度比 为2:3，求两车的速度。 解：设大车的速度为 2xkm/h， 则， 小车的速度为 3xkm/h。 路程km 速度km/h 大车 小车 150 150 2x 3x 时间 h
150 2x 150 3x
150 2x
150 3x
5 4
作业：(做作业本) ①课本96-97页4、10、11 ②报纸34期第2版3.4分式方程(3)1,2,5 要求：应用题抄题、画表格、写过程。
100 顺流路程 顺流航速 20+x
逆流路程 60 20-x 逆流航速
20 顺流航速= 静水中的航速 + 水流速 x 逆流航速= 静水中的航速 - 水流速 20 x
例题1
一艘轮船在静水中的航速为20千米 /小时，它沿江顺流航行100千米所 用的时间，与逆流航行60千米所用 的时间相等，问：江水的流速是多 少？
x3
x3
x=21 解方程，得： 经检验，x=21为原方程的根 答：轮船在静水中的速度为21千米/小时。
例题2
从2004年5月起某列车平均提速v千 某列车平均提速v千 列车提速 米/小时，用相同的时间，列车提速 米/小时 前行驶s千米 提速后比提速前多行 前行驶s千米，提速后比提速前多行 驶50千米，提速前列车的平均速度 驶50千米 为多少？ 解：设提速前列出的平均速