高考圆锥曲线中的最值和范围问题解析版

合集下载

第50讲圆锥曲线热点问题第1课时最值、范围问题

课堂考点探究
例3 [2022·陕西西安中学模拟] 已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为y=x,点(2,1)在双曲线上,抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线的右焦点重合.(1)求双曲线和抛物线的标准方程;(2)过点F作互相垂直的直线l1,l2,设l1与抛物线的交点为A,B,l2与抛物线的交点为D,E,求|AB|+|DE|的最小值.
考点二范围问题圆锥曲线范围问题也是高考中的一类重要题型,求解方法与最值问题类似.常见方法有:(1)几何转化代数法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决.(2)代数法,用代数法求范围问题,常需要根据条件构造关于某个变量的不等式或函数表达式,然后利用求解不等式、基本不等式、函数值域(导数与不等式、导数与方程)等方法求出范围,要特别注意变量的取值范围.
课堂考点探究
解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题知直线l的倾斜角不可能为0,故设直线l的方程为x=my+1.由得y2-4my-4=0,Δ=16m2+16>0,∴∴·=x1x2+y1y2=+y1y2=-4=-3,∴向量,的数量积为-3.
课堂考点探究
(2)由(1)知∵=λ,∴y2=-λy1,代入得∴∴=-4m2,即4m2==λ+-2.∵f(λ)=λ+-2在[9,16]上单调递增,∴4m2∈[,],∴m2∈[,],∴m∈[-,-]∪[,],∴l在y轴上的截距-的取值范围为[-,-]∪[,].
练习3 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(-,1)在C上,且|PF1|+|PF2|=4.(1)求C的标准方程;(2)若直线l:y=kx+1与C交于A,B两点,当△OAB的面积最大时,求原点O到直线l的距离.

专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题微点1 圆锥曲线中的最值问题试题及答案

题型四、与面积有关的最值问题
例7．
7．已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为− .记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明：是直角三角形；
最值问题不仅解答题中分量较大，而且客观题中也时常出现．
一、常用方法
解决圆锥曲线中的最值问题，常见的方法有：
（1）函数法：一般需要找出所求几量的函数解析式，要注意自变量的取值范围．求函数的最值时，一般会用到配方法、均值不等式或者函数单调性．
（2）方程法：根据题目中的等量关系建立方程，根据方程的解的条件得出目标量的不等关系，再求出目标量的最值．
题型三、与向量有关的最值问题
例6．
6．如图，已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为A，P为椭圆C1上任一点，MN是圆C2：x2＋(y－3)2＝1的一条直径，在y轴上截距为3－的直线l与AF平行且与圆C2相切．
(1)求椭圆C1的离心率；
(2)若椭圆C1的短轴长为8，求 · 的最大值．
题型二、与角度有关的最值问题
例5．
5．在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为 .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为 .求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.
专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题微点1 圆锥曲线中的最值问题
专题23圆锥曲线中的最值、范围问题

高中数学高考17第一部分板块二专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的最值、范围、证明问题(大题)

设M(x1，y1)，M′(x2，y2)，设 MF1 的方程为 x＝my－ 3，
x＝my－ 3，
由x42＋y2＝1
得(m2＋4)y2－2 3my－1＝0，
故yy11＋y2＝y2＝－mm2 221＋＋3m44.，
设F1M与F2N的距离为d，四边形F1F2NM的面积为S，
则 S＝12(|F1M|＋|F2N|)d＝12(|F1M′|＋|F1M|)d＝12|MM′|d＝ S△MF2M′,
2
PART TWO
真题体验押题预测
真题体验 (2018·全国Ⅰ，文，20)设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l与 C交于M，N两点. (1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
解当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得点M的坐标为(2,2)或(2，－2). 所以直线 BM 的方程为 y＝12x＋1 或 y＝－12x－1. 即x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0.
所以 y1＋y2＝2k，y1y2＝－4.
直线 BM，BN 的斜率之和 kBM＋kBN＝x1y＋1 2＋x2y＋2 2＝x2y1＋x1x＋1y22＋x22＋y12＋ y2.
①
将 x1＝yk1＋2，x2＝yk2＋2 及 y1＋y2，y1y2 的表达式代入①式分子，
可得 x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝2y1y2＋4kky1＋y2＝－8k＋8＝0.
当且仅当 t2＝92，即 t＝±322时取等号.
故△BPQ
的面积的最大值为
2 2.
热点二范围问题
圆锥曲线的范围问题的常见解法 (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系或不等关系或已知参数与新参数之间的等量关系等，则可利用这些关系去求参数的范围.

圆锥曲线专题：最值与范围问题的6种常见考法(解析版)

圆锥曲线专题：最值与范围问题的6种常见考法一、圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：1、几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；2、代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．二、最值问题的一般解题步骤三、参数取值范围问题1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．题型一距离与长度型最值范围问题【例1】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为2，点E 在椭圆上．当线段2EF 的中垂线经过1F 时，恰有21cos EF F ∠．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，且||2AB =，P 是以AB 为直径的圆上任意一点，O 为坐标原点，求||OP 的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（2）max ||OP 【解析】（1）由焦距为2知1c =，连结1EF ，取2EF 的中点N ，线段2EF 的中垂线经过1F 时，1||22EF c ∴==，221212cos ,.1,F N EF F F N F F ∠∴∴-2122,2EF a EF EF a ∴=-∴=+=∴由所以椭圆方程为2212x y +=；（2）①当l 的斜率不存在时，AB 恰为短轴，此时||1OP =；②当l 的斜率存在时，设:l y kx m =+．联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得到222(21)4220k x kmx m +++-=，∴△2216880k m =-+>，122421km x x k -+=+，21222221m x x k -=+．21AB x x =-=2==，化简得2222122k m k +=+．又设M 是弦AB 的中点，121222()221my y k x x m k +=++=+∴()2222222241,,||212121km m k M OM k k k m -+⎛⎫= ⎪⎝⎭+⋅++,∴()()()222222222412141||22212221k k k OM k k k k +++=⋅=++++,令2411k t += ，则244||43(1)(3)4t OM t t t t===-++++∴||1OM =- （仅当t =，又||||||||1OP OM MP OM +=+2k =时取等号）．综上：max ||OP =【变式1-1】已知抛物线21:4C y x =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为3．（1）求椭圆2C 的方程；（2）过椭圆2C 的右焦点F 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆2C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为P ，过点P 做垂直于AB 的直线交x 轴于点D ，试求||||DP AB 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）1(0,)4【解析】（1）抛物线21:4C y x =的焦点F 为(1,0)，由题意可得2221c a b =-=①由1C 与2C 关于x 轴对称，可得1C 与2C 的公共点为2,33⎛± ⎝⎭，可得2248193a b +=②由①②解得2a =，b ，即有椭圆2C 的方程为22143x y+=；（2）设:(1)l y k x =-，0k ≠，代入椭圆方程，可得2222(34)84120k x k x k +-+-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2122834kx x k +=+，212241234k x x k -=+，即有()312122286223434k ky y k x x k k k k -+=+-=-=++，由P 为中点，可得22243()3434k kP k k -++，，又PD 的斜率为1k -，即有222314:3434k k PD y x k k k ⎛⎫--=-- ++⎝⎭，令0y =，可得2234k x k=+，即有22034k D k ⎛⎫⎪+⎝⎭可得2334PD k ==+又AB ==2212(1)34k k +=+，即有DP AB =，由211k +>，可得21011k <<+，即有104<，则有||||DP AB 的取值范围为1(0,)4．【变式1-2】已知曲线C 上任意一点(),P x y2=，（1）求曲线C 的方程；（2）若直线l 与曲线C 在y 轴左､右两侧的交点分别是,Q P ，且0OP OQ ⋅=，求22||OP OQ +的最小值.【答案】（1）2212y x -=；（2）8【解析】（1）设())12,F F ，2=，等价于12122PF PF F F -=<，∴曲线C 为以12,F F 为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为故曲线C 的方程为：2212y x -=；（2）由题意可得直线OP 的斜率存在且不为0，可设直线OP 的方程为()0y kx k =≠，则直线OQ 的方程为1=-y x k ，由2212y x y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，得222222222x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，所以()2222221||2k OP x y k+=+=-，同理可得，()2222212121||1212k k OQ k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==--，所以()()()22222222211111||||22121k k k OP OQ k k -+-++===++()()22222222112222228||||OQ OP OP OQ OP OQOP OQ OP OQ ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当2OP OQ ==时取等号，所以当2OP OQ ==时，22||OP OQ +取得最小值8.【变式1-3】已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3π的直线被E 所截得的弦长为16.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 为抛物线上的任意一点，以C 为圆心的圆过点F ，且与直线12y =-相交于,A B两点，求FA FB FC ⋅⋅的取值范围.【答案】（1）24x y =；（2）[)3,+∞【解析】（1）由抛物线方程得：0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可设过点F 且倾斜角为3π的直线为：2py =+，由222p y x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：220x p --=，由抛物线焦点弦长公式可得：)12122816y y p x x p p ++=++==，解得：2p =，∴抛物线E 的方程为：24x y =.（2）由（1）知：()0,1F ，准线方程为：1y =-；设AFB θ∠=，圆C 的半径为r ，则2ACB θ∠=，FC CA CB r ===，1133sin 2224AFBSFA FB AB AB θ∴=⋅=⋅=，又2sin AB r θ=，3FA FB r ∴⋅=；由抛物线定义可知：11c CF y =+≥，即1r ≥，333FA FB FC r ∴⋅⋅=≥，即FA FB FC ⋅⋅的取值范围为[)3,+∞.题型二面积型最值范围问题20y -=与圆O 相切．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）椭圆C 的上顶点为B ，EF 是圆O 的一条直径，EF不与坐标轴重合，直线BE 、BF 与椭圆C 的另一个交点分别为P 、Q ，求BPQ 的面积的最大值及此时PQ 所在的直线方程．【答案】（1）2219x y +=；（2）()max278BPQ S=，PQ 所在的直线方程为115y x =±+【解析】20y -=与圆O相切，则1b =，由椭圆的离心率223c e a ==，解得：29a =，椭圆的标准方程：2219x y +=；（2）由题意知直线BP ，BQ 的斜率存在且不为0，BP BQ ⊥，不妨设直线BP 的斜率为(0)k k >，则直线:1BP y kx =+．由22119y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22218911991k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，或01x y =⎧⎨=⎩，所以2221819,9191k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.用1k -代替k ，2229189,9k k Q k k ⎛⎫-+ ⎝+⎪⎭则21891k PB k ==+2189BQ k==+，22222111818162(1)22919(9)(19)BPQ k k k S PB BQ k k k k +=⋅=⋅=++++△342221162()162()99829982k k k k k k k k ++==++++，设1k k μ+=，则21621622764829(2)89BPQ S μμμμ∆==≤+-+．当且仅当649μμ=即183k k μ+==时取等号，所以()max278BPQ S=.即21128(()49k k kk-=+-=，1k k -=直线PQ的斜率222222291911191918181010919PQk k k k k k k k k k k k k ---+-⎛⎫++===-= ⎪⎝⎭--++PQ所在的直线方程：1y =+.【变式2-1】在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的周长为12，AB ，AC 边的中点分别为()11,0F -和()21,0F ，点M 为BC 边的中点（1）求点M 的轨迹方程；（2）设点M 的轨迹为曲线Γ，直线1MF 与曲线Γ的另一个交点为N ，线段2MF 的中点为E ，记11NF O MF E S S S =+△△，求S 的最大值.【答案】（1）()221043x y y +=≠；（2）max 32S =【解析】（1）依题意有：112F F =，且211211262MF MF F F ++=⨯=，∴121242MF MF F F +=>=，故点M 的轨迹C 是以()11,0F -和()21,0F 为焦点，长轴长为4的椭圆，考虑到三个中点不可共线，故点M 不落在x 上，综上，所求轨迹方程：()221043x y y +=≠.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，显然直线1MF 不与x 轴重合，不妨设直线1MF 的方程为：1x ty =-,与椭圆()221043x y y +=≠方程联立整理得：()2234690t y ty +--=，()()22236363414410t t t ∆=++=+>，112634t y y t +=+，1129034y y t =-<+,11111122NF O S F y y O ==△，112122211112222MF E MF F S S F F y y ==⋅=△△,∴()()1112122111Δ22234NF O MF E S S S y y y y t =+=+=-=⋅=+△△令()2344u t u =+≥，则()S u ϕ====∵4u ≥，∴1104u <≤，当114u =，即0=t 时，∴max 32S =,∴当直线MN x ⊥轴时，∴max 32S =.【变式2-2】已知双曲线()222210x y a a a-=>的右焦点为()2,0F ，过右焦点F 作斜率为正的直线l ，直线l 交双曲线的右支于P ，Q 两点，分别交两条渐近线于,A B 两点，点,A P 在第一象限，O 为原点．（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）设OAP △，OBP ，OPQ △的面积分别是OAP S △，OBP S △，OPQS ，求OPQ OAP OBPS S S ⋅△△△的范围．【答案】（1）()1,+∞；（2）).【解析】（1）因为双曲线()222210x y a a a-=>的右焦点为()2,0F ，故2c =，由222c a a =+得22a =，所以双曲线的方程为，22122x y -=，设直线l 的方程为2x ty =+，联立双曲线方程得，()222222121021420Δ0120t x y t y ty t x ty y y ⎧⎧-≠⎪-=⎪⇒-++=⇒>⇒<⎨⎨=+⎪⎪⋅<⎩⎩，解得01t <<，即直线l 的斜率范围为()11,k t=∈+∞；（2）设()11,P x y ，渐近线方程为y x =±，则P 到两条渐近线的距离1d ，2d 满足，22111212x yd d-⋅==而21221AAxy x tx ty yt⎧⎧=⎪⎪=⎪⎪-⇒⎨⎨=+⎪⎪=⎪⎪-⎩⎩，OA==21221BBxy x tx ty yt⎧⎧=⎪⎪=-⎪⎪+⇒⎨⎨=+-⎪⎪=⎪⎪+⎩⎩，OB==所以12122112221OAP OBPS S OA d OB d d dt⋅=⋅⋅⋅=-△△由()2222214202x y t y tyx ty⎧-=⇒-++=⎨=+⎩，12OPQ OFP OFQ P QS S S OF y y=+=-△△△所以，OPQOAP OBPSS S=⋅△△△，∵01t<<，∴)2OPQOAP OBPSS S∈⋅△△△.【变式2-3】已知抛物线()2:20E y px p=>的焦点为F，P为E上的一个动点，11,2⎛⎫⎪⎝⎭Q与F在E的同一侧，且PF PQ+的最小值为54.（1）求E的方程；（2）若A点在y轴正半轴上，点B、C为E上的另外两个不同点，B点在第四象限，且AB，OC互相垂直、平分，求四边形AOBC的面积.（人教A版专题）【答案】（1）2y x=；（2）【解析】（1）作出E的准线l，方程为2px=-，作PR l⊥于R，所以PR PF=，即PR PQ+的最小值为54，因为11,2⎛⎫⎪⎝⎭Q与F在E的同一侧，所以当且仅当P，Q，R三点共线时PR PQ+取得最小值，所以5124p+=，解得0.5p=，所以E的方程为2y x=；（2）因为AB，OC互相垂直、平分，所以四边形AOBC是菱形，所以BC x⊥轴，设点()0,2A a，所以2BC a=，由抛物线对称性知()2,B a a-，()2,C a a，由AO OB =，得2a=a =所以菱形AOBC 的边AO =23h a ==，其面积为3S AO h =⋅==题型三坐标与截距型最值范围问题【例3】已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>过点()，渐近线方程为12y x =±，直线l 是双曲线C 右支的一条切线，且与C 的渐近线交于A ，B 两点．（1）求双曲线C 的方程；（2）设点A ，B 的中点为M ，求点M 到y 轴的距离的最小值．【答案】（1）2214x y -=；（2）2【解析】（1）由题设可知2281112a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩则C ：2214x y -=．（2）设点M 的横坐标为0M x >当直线l 斜率不存在时，则直线l ：2x =易知点M 到y 轴的距离为2M x =﹔当直线l 斜率存在时，设l ：12y kx m k ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y ，联立2214x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()222418440k x kmx m -+++=，()()222264164110k m k m ∆=--+=，整理得2241k m =+联立2204x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()22241840k x kmx m -++=，则122288841km km k x x k m m+=-=-=--，则12402Mx x kx m +==->，即0km <则222216444Mk x m m==+>，即2M x >∴此时点M 到y 轴的距离大于2；综上所述，点M 到y 轴的最小距离为2．【变式3-1】若直线:l y =22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.（1）求双曲线的方程；（2）若过点B (0，b )且与x 轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M ，N ，MN 的垂直平分线为m ，求直线m 与y 轴上的截距的取值范围.【答案】（1）2213x y -=；（2）(4,)+∞.【解析】（1）直线323:33l y =-过x 轴上一点(2,0)，由题意可得2c =，即224a b +=，双曲线的渐近线方程为b y x a=±，由两直线平行的条件可得b a =1a b ==，即有双曲线的方程为2213x y -=.（2）设直线1(0)y kx k =+≠，代入2213x y -=，可得22(13)660k x kx ---=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122266,1313k x x x x k k +==--，MN 中点为2231,1313kk k ⎛⎫ --⎝⎭，可得MN 的垂直平分线方程为221131313k y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭，令0x =，可得2413y k =-，由223624(13)0k k ∆=+->，解得232k <，又26031k <-，解得231k <，综上可得，2031k <<，即有2413k -的范围是(4,)+∞，可得直线m 与y 轴上的截距的取值范围为(4,)+∞.【变式3-2】已知动圆C 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦长为4，圆心C 的轨迹为曲线Γ.（1）求Γ的方程：（2）过点(1,0)P 的直线l 与F 相交于,M N 两点.设PN MP λ=，若[]2,3λ∈，求l 在y 轴上截距的取值范围.【答案】（1）24y x =；（2）⎡-⎣【解析】（1）设(,)C x y ，圆C 的半径为R ，则()()22222220R x x y =+=-+-整理，得24y x=所以Γ的方程为24y x =.（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，又(1,0)P ，由PN MP λ=，得()()22111,1,x y x y λ-=--21211(1)x x y y λλ-=-⎧∴⎨=-⎩①②由②，得12222y y λ=，∵2211224,4y x y x ==∴221x x λ=③联立①､③解得2x λ=，依题意有0λ>(2,N N ∴-或，又(1,0)P ，∴直线l 的方程为())11y x λ-=-，或())11y x λ-=--，当[2,3]k ∈时，l 在y轴上的截距为21λ-或21λ--，21=[2,3]上是递减的，21λ≤≤-，21λ-≤-≤-∴直线l 在y轴上截距的取值范围为⎡--⎣.【变式3-3】已知两个定点A 、B 的坐标分别为()1,0-和()1,0，动点P 满足AP OB PB ⋅=（O 为坐标原点）．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设点(),0C a 为x 轴上一定点，求点C 与轨迹E 上点之间距离的最小值()d a ；(3)过点()0,1F 的直线l 与轨迹E 在x 轴上方部分交于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于D 点，求D 点横坐标的取值范围．【答案】（1）24y x =；（2）(),22a a d a a ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩；（3）()3,+∞【解析】（1）设(),P x y ，()1,AP x y =+，()1,0OB =，()1,PB x y =--，()1101AP OB x y x ⋅=+⨯+⨯=+，B P =AP OB PB ⋅=，则1x +，所以2222121x x x x y ++=-++，即24y x =．（2）设轨迹E ：24y x =上任一点为()00,Q x y ，所以2004y x =，所以()()222200004CQ x a y x a x =-+=-+()()20200220x a x a x =--+≥，令()()()220000220g x x a x a x =--+≥，对称轴为：2a -，当20a -<，即2a <时，()0g x 在区间[)0,∞+单调递增，所以00x =时，()0g x 取得最小值，即2min 2CQ a =，所以min CQ a =，当20a -≥，即2a ≥时，()0g x 在区间[)0,2a -单调递减，在区间[)2,a -+∞单调递增，所以02x a =-时，()0g x 取得最小值，即()22min 2244CQ a a a =--+=-，所以minCQ =，所以(),22a a d a a ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩（3）当直线l 的斜率不存在时，此时l ：0x =与轨迹E 不会有两个交点，故不满足题意；当直线l 的斜率存在时，设l ：1y kx =+，()11,M x y 、()22,N x y ，代入24y x =，得2+14y y k =⨯，即2440ky y -+=，所以124y y k +=，124y y k =，121212211242y y y y x x k k k k k--+-+=+==-，因为直线l 与轨迹E 在x 轴上方部分交于M 、N 两点，所以0∆>，得16160k ->，即1k <；又M 、N 两点在x 轴上方，所以120y y +>，120y y >，即40k>，所以0k >，又1k <，所以01k <<，所以MN 中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，即2212,kk k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以垂直平分线为22121y x k k k k ⎛⎫-=--+ ⎝⎭，令0y =，得222111152248x k k k ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为01k <<，所以11k >，所以21115248x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在11k >时单调递增，所以22111511522134848k ⎛⎫⎛⎫-+>-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即3x >，所以D 点横坐标的取值范围为：()3,+∞.题型四斜率与倾斜角最值范围问题【例4】设12F F 、分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点．（1）若P 是该椭圆上的一个动点，求125=4PF PF ⋅-，求点P 的坐标；（2）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．【答案】（1）⎛ ⎝⎭；（2）2,2⎛⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）由题意知，2,1,a b c ===所以())12,F F ，设(,)(0,0)P m n m n >>，则22125(,),)34PF PF m n m n m n ⋅=-⋅-=+-=-，又2214m n +=，有222214534m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=-⎪⎩，解得1m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以P ；（2）显然0x =不满足题意，设直线l 的方程为2y kx =+，设()()1122,,A x y B x y ，，22221(14)1612042x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩，22(16)4(41)120k k ∆=-+⨯>，解得234k >，①1212221612,4141k x x x x k k +=-=++，则212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++，又AOB ∠为锐角，则cos 0AOB ∠>，即0OA OB ⋅>，12120x x y y +>，所以21212121212(1)2()4x x y y y y k x x k x x +==++++2222212(1)1624(4)40414141k k k k k k k +⋅-=-+=>+++，解得204k <<，②由①②，解得322k -<<或322k <<，所以实数k的取值范围为(2,-.【变式4-1】已知椭圆:Γ22221(0x y a b a b +=>>）的左焦点为F ，其离心率22e =，过点F垂直于x 轴的直线交椭圆Γ于P ，Q两点，PQ （1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆的下顶点为B ，过点D （2，0）的直线l 与椭圆Γ相交于两个不同的点M ，N ，直线BM ，BN 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）()1211,,2222k k ⎛⎫⎛+∈-∞⋃-⋃+∞⎪ ⎝⎭⎝【解析】（1）由题可知2222222c e a bPQ a a b c⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.所以椭圆Γ的方程为：2212x y +=.（2）由题可知，直线MN 的斜率存在，则设直线MN 的方程为(2)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y .由题可知2212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得2222(21)8820k x k x k +-+-=22222(8)4(21)(81)8(21)0k k k k ∆=--+-=-->，解得22k ⎛∈- ⎝⎭.由韦达定理可得2122821k x x k +=+，21228221k x x k -=+.由（1）知，点(0,1)B -设椭圆上顶点为A ，(0,1)A ∴，12DA k k ≠=-且12DB k k ≠=，∴()()1212121212211111k x k x y y k k x x x x -+-++++=+=+()()()221221228121212228212k k k x x k k k k x x k -⋅-++=+=+-+()242111212,,221212122k k k k k k ⎛⎫⎛=-==-∈+∞⋃-∞⋃ ⎪ +++⎝⎭⎝∴12k k +的取值范围为()11,,2222⎛⎫⎛-∞⋃-⋃+∞ ⎪ ⎝⎭⎝．【变式4-2】）已知椭圆1C 的方程为22143x y +=，双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点.（1）求双曲线2C 的方程；（2）若直线:2l y kx =+与双曲线2C 恒有两个不同的交点A 和B ，且1OA OB ⋅>（其中O 为原点），求k 的取值范围.【答案】（1）2213y x -=（2）(()1,1-【解析】（1）由题,在椭圆1C 中,焦点坐标为()1,0-和()1,0；左右顶点为()2,0-和()2,0,因为双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点,所以在双曲线2C 中,设双曲线方程为22221x ya b-=,则221,4a c ==,所以2223b c a =-=,所以双曲线2C 的方程为2213y x -=（2）由（1）联立22213y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,消去y ,得()223470k x kx -++=①；消去x ,得()2223121230k y y k -+-+=②设()()1122,,,A x y B x y ,则12,x x 为方程①的两根,12,y y 为方程②的两根；21212227123,33k x x y y k k -+⋅=⋅=--，21212227123133k OA OB x x y y k k -+⋅=⋅+⋅=+>--，得23k >或21k <③,又因为方程①中,()22216384k k k ∆=-4⨯7-=-12+>0,得27k <④,③④联立得k的取值范围(()1,1⋃-⋃【变式4-3】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.【答案】（1）24y x =；（2）最大值为13.【解析】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以该抛物线的方程为24y x =；（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法设()00,Q x y ，则()00999,9PQ QF x y ==--，所以()00109,10P x y -，由P 在抛物线上可得()()200104109y x =-，即20025910y x +=，据此整理可得点Q 的轨迹方程为229525=-y x ，所以直线OQ 的斜率000220001025925910OQ y y y k y x y ===++，当00y =时，0OQ k =；当00y ≠时，0010925OQ k y y =+，当00y >时，因为0092530y y +≥，此时103OQ k <≤，当且仅当00925y y =，即035y =时，等号成立；当00y <时，0OQ k <；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q 的轨迹方程为229525=-y x ．设直线OQ 的方程为y kx =，则当直线OQ 与抛物线229525=-y x 相切时，其斜率k 取到最值．联立2,29,525y kx y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩得22290525k x x -+=，其判别式222940525⎛⎫∆=--⨯= ⎪⎝⎭k ，解得13k =±，所以直线OQ 斜率的最大值为13．题型五向量型最值范围问题【例5】在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:142x y C -=与椭圆222:142x y C +=，A ，B分别为1C 的左､右顶点，点P 在双曲线1C 上，且位于第一象限.（1）直线OP 与椭圆2C 相交于第一象限内的点M ，设直线PA ，PB ，MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求1234k k k k +++的值；（2）直线AP 与椭圆2C 相交于点N （异于点A ），求AP AN ⋅的取值范围.【答案】（1）0；（2）()16,+∞【解析】（1）方法1：设直线():0OP y kx k =>，联立22142y kxx y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，消y ，得()22124k x -=，所以20120k k >⎧⎨->⎩，解得202k <<，设()()1111,0,0P x y x y >>，则11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以P ⎛⎫.联立22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y ，得()22124k x +=，设()()2222,0,0M x y x y >>，则22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以M ⎛⎫.因为()2,0A -，()2,0B ，所以211111221112821124224412k y y x y k k k x x x k k-+=+===-+---，222223422222821124224412ky y x y k k k x x x k k ++=+==--+--+，所以1234110k k k k k k ⎛⎫+++=+-= ⎪⎝⎭.方法2设()()1111,0,0P x y x y >>，()()2222,0,0M x y x y >>，因为()2,0A -，()2,0B ，所以11111221112224y y x yk k x x x +=+=-+-，22223422222224y y x yk k x x x +=+=-+-.因为点P 在双曲线1C 上，所以2211142x y -=，所以221142x y -=，所以1121x k k y +=.因为点Q 在椭圆线2C 上，所以2222142x y +=，所以222242x y -=-，所以2342x k k y +=-.因为O ，P ，M 三点共线，所以1212y y x x =，所以121234120x x k k k k y y +++=-=.（2）设直线AP 的方程为2y kx k =+，联立22224y kx k x y =+⎧⎨-=⎩，消y ，得()()22222184210k x k x k -+++=，解得12x =-，2224212k x k +=-，所以点P 的坐标为222424,1212k k k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，因为点P 位于第一象限，所以222420124012k k k k ⎧+>⎪⎪-⎨⎪>⎪-⎩，解得202k <<，联立22224y kx k x y =+⎧⎨+=⎩，消y ，得()()22222184210k x k x k +++-=，解得32x =-，2422412kx k -=+，所以点N 的坐标为222244,1212k k k k ⎛⎫- ++⎝⎭，所以()22222224161422444221212121214k k k k kAP AN AP AN k k k k k +⎛⎫⎛⎫+-⋅=⋅=--+⋅= ⎪⎪-+-+-⎝⎭⎝⎭，设21t k =+，则312t <<，所以22161616314(1)48384t tAP AN t t t t t ⋅===---+-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.因为函数3()4f x x x=+在区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以当312t <<时，3748t t <+<，所以30841t t ⎛⎫<-+< ⎪⎝⎭，所以1616384t t >⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即16AP AN ⋅>，故AP AN ⋅的取值范围为()16,+∞.【变式5-1】已知O为坐标原点，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为3，且经过点P．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C交于A，B两点，直线OA的斜率为1k，直线OB的斜率为2k，且1213k k=-，求OA OB⋅的取值范围．【答案】（1）22193x y+=；（2）[3,0)(0,3]-.【解析】（1）由题意，223611caa b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，又222a b c=+，解得3,a b==所以椭圆C为22193x y+=.（2）设()()1122,,,A x yB x y，若直线l的斜率存在，设l为y kx t=+，联立22193y kx tx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y得：()222136390+++-=k x ktx t，22Δ390k t=+->，则12221226133913ktx xktx xk-⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，又12k k=121213y yx x=-，故121213=-y y x x且120x x≠，即2390-≠t，则23≠t，又1122,y kx t y kx t=+=+，所以()()()222222222121212221212122691133939313-+++++-+==+=+==---+k t tkx t kx t kt x x ty y t kkk ktx x x x x x tk，整理得222933=+≥t k，则232≥t且Δ0>恒成立．221212121212222122393333133313--⎛⎫⋅=+=-==⋅=⋅=-⎪+⎝⎭t tOA OB x x y y x x x x x xk t t，又232≥t，且23≠t，故2331[3,0)(0,3)⎛⎫-∈-⎪⎝⎭t.当直线l的斜率不存在时，2121,x x y y==-，又12k k=212113-=-yx，又2211193x y+=，解得2192x=则222111233⋅=-==OA OB x y x．综上，OA OB ⋅的取值范围为[3,0)(0,3]-．【变式5-2】已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的离心率为2，F 为双曲线的右焦点，直线l 过F 与双曲线的右支交于P Q ，两点，且当l 垂直于x 轴时，6PQ =；（1）求双曲线的方程；（2）过点F 且垂直于l 的直线'l 与双曲线交于M N ，两点，求MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围．【答案】（1）2213y x -=；（2）(],12-∞-【解析】（1）依题意，2c a =，当l 垂直于x 轴时，226b PQ a==，即23b a =，即223c a a -=，解得1a =，b =2213y x -=；（2）设:2PQ l x my =+，联立双曲线方程2213y x -=，得：()22311290m y my -++=，当0m =时，()()()()2,3,2,3,0,1,0,1P Q M N --，12MP NQ MQ NP ⋅+⋅=-，当0m ≠时，设()()()()11223344,,,,,,,P x y Q x y M x y N x y ，因为直线PQ 与双曲线右支相交，因此1229031y y m =<-，即m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，同理可得234293m y y m =-，依题意()()MP NQ MF FP NF FQ MF NF FP FQ =+⋅+=⋅+⋅⋅，同理可得，()()MQ NP MF FQ NF FP MF NF FP FQ =+⋅+⋅=⋅+⋅，而()212342111FP FQ MF NF m y y y y m ⎛⎫⋅+⋅=+++ ⎪⎝⎭，代入122931y y m =-，234293m y y m =-，()()()()()()222242224222919118163633133103133m m m m m FP FQ MF NF m m m m m m ++-+++⋅+⋅=+==----+--，分离参数得，2429663103m FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=---+，因为3333m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，当210,3m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由22110,3m m ⎛⎫+∈+∞ ⎪⎝⎭，()22966,61310FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=-∈-∞-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以()()2,12MP NQ MQ N FP FQ MF NF P ⋅=⋅+⋅∈∞-⋅-+，综上可知，MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围为(],12-∞-.【变式5-3】已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，直线4x =分别与x 轴交于点P ，与抛物线E 交于点Q ，且54QF PQ =.（1）求抛物线E 的方程；（2）如图，设点,,A B C 都在抛物线E 上，若ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，求AB AC ⋅uu u r uuu r的最小值.【答案】（1）24x y =；（2）32【解析】（1）设点()04,Q y ，由已知000216524py p y y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，则8102p p p +=，即24p =.因为0p >，则2p =，所以抛物线E 的方程是24x y =.（2）设点()222312123123,,,,,444x x x A x B x C x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，直线AB 的斜率为()0k k >，因为AB BC ⊥，则直线BC 的斜率为1k-.因为AB BC =，则1223x x x x -=-，得()2312x x k x x -=-，①因为22121212444x x x x k x x -+==-，则124x x k +=，即124x k x =-，②因为223223231444x x x x k x x -+-==-，则234x x k +=-，即324x x k =--③将②③代入①，得()2242420x k k x k+--=，即()()322212120k k x k kk-+---=，则()()32211k xk k -=+，所以()()()()22222122··cos 451421AB AC AB AC AB x x k k x k ︒===-+=-+()()()()()2332222411614111k k k k k k k k ⎡⎤-+⎢⎥=-+=++⎢⎥⎣⎦因为212k k +≥，则()22214k k +≥，又()22112k k++≥，则()()3222121k k k +≥+，从而()()3222121kk k +≥+当且仅当1k =时取等号，所以AB AC 的最小值为32.题型六参数型最值范围问题【例6】已知点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆222:1(1)xC y a a+=>上，直线,OM ON 的斜率之积是13-，且22212x x a +=.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点()0,2Q 的直线与椭圆C 交于点,A B ，且(1)QB t QA t =>，求t 的取值范围.【答案】（1）2213x y +=；（2）(]1,3【解析】（1）椭圆方程改写为:2222x a y a +=，点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，有222211a y a x =-，222222a y a x =-，两式相乘，得：()()()222222222241142122122a a a y y a x a x x x x x --==-++，由22212x x a +=，得222212241a y y x x =，由直线,OM ON 的斜率之积是13-，得121213y y x x =-，即222212129y y x x =，∴49a =，23a =，椭圆C 的方程为：2213x y +=.（2）过点()0,2Q 的直线若斜率不存在，则有()0,1A ，()0,1B -，此时3t =；当过点()0,2Q 的直线斜率存在，设直线方程为2y kx =+，由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()22131290k x kx +++=，直线与椭圆C 交于点,A B 两点，∴()2221249(13)36360k k k ∆=-⨯⨯+=->，得21k >设()()1122,,,A x y B x y ''''，(1)QB t QA t =>，21x x t '='由韦达定理12122121212(1)13913k x x t x k x x tx k ''''-⎧+==+⎪⎪+⎨⎪⋅+'='=⎪⎩，消去1x '，得()229131441t k t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+，由21k >，2101k<<，∴()2311641t t <<+，由1t >，解得13t <<，综上，有13t <≤，∴t 的取值范围为(]1,3【变式6-1】已知A 、B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，O 为坐标原点，=6AB ，点2,3⎛⎫⎪⎝⎭5在椭圆C 上．过点()0,3P -，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆C 于M 、N 两个不同的点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 落在以线段MN 为直径的圆的外部，求直线的斜率k 的取值范围；（3）当直线的倾斜角θ为锐角时，设直线AM 、AN 分别交y 轴于点S 、T ，记PS PO λ=，PT PO μ=，求λμ+的取值范围．【答案】（1）22195x y +=；（2）227,,1,332k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）因为=6AB ，所以=3a ；又点2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭5在图像C 上即()22252319b⎛⎫⎪⎝⎭+=，所以b 所以椭圆C 的方程为22195x y +=；（2）由（1）可得()3,0B ，设直线3l y kx =-：，设11(,)M x y 、22(,)N x y ，由22=-3=195y kx x y ⎧⎪⎨+⎪⎩得22(59)54360k x kx +-+=，22(54)436(59)0k k ∆=-⨯⨯+>解得23k >或23k <-①∵点()3,0B 在以线段MN 为直径的圆的外部，则0BM BN ⋅>，又12212254+=5+936=5+9k x x k x x k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩②211221212(3,)(3,)(1)3(1)()180BM BN x y x y k x x k x x ⋅=--=+-+++>，解得1k <或72k >由①②得227,,1,332k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）设直线3l y kx =-：，又直线的倾斜角θ为锐角，由（2）可知23k >，记11(,)M x y 、22(,)N x y ，所以直线AM 的方程是：()1133y y x x =++，直线AN 的方程是：()2233y y x x =++.令=0x ，解得113+3y y x =，所以点S 坐标为1130,+3y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；同理点T 为2230,+3y x ⎛⎫⎪⎝⎭.所以1130,3+3y PS x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2230,3+3y PT x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()0,3PO =.由PS PO λ=，PT PO μ=，可得：11333+3y x λ+=，22333+3y x μ+=，所以1212233y yx x λμ+=++++，由（2）得1225495k x x k +=+，1223695x k x =+，所以()()()1212121212122311333338229kx x k x x kx kx x x x x x x λμ--++-+-+=++=+++++()222254231189595254936369595k k k k k k k k ⎛⎫⋅+-- ⎪++⎝⎭=+⎛⎫++ ⎪++⎝⎭21012921k k k +=-⨯+++()()2110291k k +=-⨯++101291k =-⨯++，因为23k >，所以5131,0315k k +><<+，10142,2913k ⎛⎫-⨯+∈ ⎪+⎝⎭，故λμ+的范围是4,23⎛⎫⎪⎝⎭.【变式6-2】设A ，B 为双曲线C ：22221x y a b-=()00a b >>，的左、右顶点，直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形．（1）求双曲线C 的离心率；（2）已知4AB =，若直线AM ，AN 分别交直线1x =于P ，Q 两点，若()0D t ，为x 轴上一动点，当直线l 的倾斜角变化时，若PDQ ∠为锐角，求t 的取值范围．【答案】（1）2；（2）{2t t <-或}4t >【解析】（1）由双曲线C ：22221x y a b-=()00a b >>，可得：右焦点(),0F c ，将x c =代入2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>中，2by a=±，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形，此时AF FM =，即2b ac a+=，整理得：220a ac b +-=，因为222b c a =-，所以2220a ac c +-=，方程两边同除以2a 得：220e e +-=，解得：2e =或1-（舍去），所以双曲线C 的离心率为2；（2）因为24AB a ==，所以2a =，因为2c e a ==，解得4c =，故22212b c a =-=，所以双曲线的方程为221412x y -=，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()4y k x =-，与双曲线联立得：()22223816120kxk x k -+--=，设()()1122,,,M x y N x y ，则212283k x x k +=-，212216123k x x k +=-，则()()()221212121244416y y k x x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦222221612321633k k k k k ⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭22363k k -=-，因为直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于,M N 两点，所以22121222816124,433k k x x x x k k ++=>=>--，解得：23k >，直线()11:22y AM y x x =++，则1131,2y P x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理可求得：2231,2y Q x ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以11,213y D x P t ⎪+⎛⎫=- ⎝⎭，22,213y D x Q t ⎪+⎛⎫=- ⎝⎭，因为PDQ ∠为锐角，所以()()12221192202D y y x Q t x P D t ⋅=+-+>++，即()1122122109224y y x x x t x t +-+++>+，所以22222221203693161216433k k k k t k t k -⨯-++--+++>-所以21290t t +-->即()219t ->，解得2t <-或4t >；当直线l 的斜率不存在时，将4x =代入双曲线可得6y =±，此时不妨设()()4,6,4,6M N -，此时直线:2AM y x =+，点P 坐标为()1,3，同理可得：()1,3Q -，所以()1,3DP t =-，()1,3DQ t =--，因为PDQ ∠为锐角，所以2280DP DQ t t ⋅=-->，解得2t <-或4t >；综上所述，t 的取值范围{2t t <-或}4t >【变式6-3】22122:1y x C a b-=上的动点P 到两焦点的距离之和的最小值为22:2(0)C x py p =>的焦点与双曲线1C 的上顶点重合．（1）求抛物线2C 的方程；（2）过直线:(l y a a =为负常数）上任意一点M 向抛物线2C 引两条切线，切点分别为AB ，坐标原点O 恒在以AB 为直径的圆内，求实数a 的取值范围．【答案】（1）24x y =；（2）40a -<<.【解析】（1）由已知：双曲线焦距为，则长轴长为2，故双曲线的上顶点为(0,1)，即为抛物线焦点.∴抛物线2C 的方程为24x y =；（2）设(,)M m a ，2111(,)4A x x ，2221(,)4B x x ，故直线MA 的方程为211111()42y x x x x -=-，即21142y x x x =-，所以21142a x m x =-，同理可得：22242a x m x =-，∴1x ，2x 是方程242a xm x =-的两个不同的根，则124x x a =，2212121()416OA OB x x x x a a ∴⋅=+=+，由O 恒在以AB 为直径的圆内，240a a ∴+<，即40a -<<．。

微专题-圆锥曲线中的最值问题(解析版)

专题30 圆锥曲线中的最值问题【考情分析】与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。

江苏高考试题结构平稳，题量均匀．每份试卷解析几何基本上是1道小题和1道大题，平均分值19分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广．虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的13%，但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他内容的交汇。

圆锥曲线中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体．俗话说：他山之石可以攻玉．在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时，就很有启发性．比如2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解．再比如2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展【备考策略】与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。

（4）利用代数基本不等式。

代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；【激活思维】1．已知双曲线12222=-by a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是[2,)+∞2． P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为73．抛物线y=-x 2上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是434．已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 32 .5．已知点M (-2，0)，N (2,0)，动点P 满足条件||||22PM PN -=.记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值.解：（Ⅰ）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，所求方程为：22x y 122－＝（x >0）（Ⅱ）当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝x 0，此时A （x 0，2x 2－），B （x 0，－20x 2－），OAO B ⋅ ＝2当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，代入双曲线方程22x y 122－＝中，得：(1－k 2)x 2－2kbx －b 2－2＝0 依题意可知方程1︒有两个不相等的正数根，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则2222122212244(1)(2)0201201k b k b kb x x k b x x k ⎧⎪∆=--∙--≥⎪⎪+=>⎨-⎪⎪+=>⎪-⎩解得|k |>1，又OA OB ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋（kx 1＋b ）（kx 2＋b ）＝（1＋k 2）x 1x 2＋kb （x 1＋x 2）＋b 2＝2222k 242k 1k 1＋＝＋－－>2 综上可知OA OB ⋅的最小值为2【典型示例】求抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值? 分析一：设抛物线上任一点坐标为P(0x ,-x20)，由点到直线的距离公式得P 到直线的距离d(0x )=5|834|200--x x =5320)32(320+-x 34≥，当0x =32时，d(0x )取得最大值34,分析二：设抛物线上点P(0x ,-x20)到直线4x+3y-8=0距离最小，则过P 且与抛物线相切的直线与4x+3y-8=0平行，故y '( 0x )=-2 0x =-34,∴0x =32,∴P(32,-94), 此时d=5|8943324|--⨯+⨯）（=34，. 分析三：设直线方程为4x+3y+C=0则当l 与抛物线相切时l 与4x+3y-8=0间的距离为所求最小，由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=0342C y x y x 得4x-3x 2+C=0，∴△=16+12C=0, ∴c=-34,此时d=345|348|=---）（【分类解析】例1:已知椭圆221259x y +=，A （4，0），B （2，2）是椭圆内的两点，P 是椭圆上任一点，求：（1）求5||||4PA PB +的最小值；（2）求||||PA PB +的最小值和最大值分析：（1）A 为椭圆的右焦点。

圆锥曲线范围问题含详解

圆锥曲线取值范围问题一、圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.二、解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系； ③利用基本不等式求出参数的取值范围； ④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．三、例题．设C 为椭圆22184x y +=的左焦点，直线1y kx =+与椭圆交于A ，B 两点. （1）求CA CB +的最大值；（2）若直线1y kx =+与x 轴、y 轴分别交于M ，N ，且以MN 为直径的圆与线段MN 的垂直平分线的交点在椭圆内部（包括在边界上），求实数k 的取值范围。

【分析】（1）联立直线和椭圆方程，利用焦半径公式，结合韦达定理得到|CA |+|CB |关于k 的表达式，进而利用基本不等式求得最大值；（2）先根据直线的方程求得M ,N 的坐标，进而得到以线段MN 为直径的圆的方程和线段MN 的垂直平分线方程，解方程组求得圆与垂直平分线的交点坐标，利用点在椭圆内的条件得到不等式组求解即得k 的取值范围. 【详解】（1）22184x y +=的半长轴a =半短轴2,b =半焦距2,c =离心率c e a == 设()11,A x y ，()22,B x y ，联立221280y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，可得()2212460k x kx ++-=，所以122412kx x k +=-+，112,CA a ex CB =+==,则)1221212CA CB x x k +=+=≤+；（2）依题意可知1,0M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(0,1)N ，所以圆的方程为1(1)0x x y y k ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭①，垂直平分线为11122y x k k ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭②，联立①②消去y , 111111102222x x x x k k k k k ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦,即221111024x x x k k k ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即22223411044x x x x k k k k ++++-=,即22234111111104x x k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即22111104x x k k ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭, 即21124x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得11122x k =--，11122x k =-+，对应11122y k =+，21122y k =-+，两个交点的坐标为11111111,,,22222222k k k k ⎛⎫⎛⎫--+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则可知2113822k ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭且2113822k ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭，即111111k k ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤+⎪⎩，即111k ≤≤，解得k ≥k ≤四、好题训练1．已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b +=>>的焦距为.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点()0,1A ，点B 在椭圆C 上，求线段AB 长度的最大值. 2．已知椭圆的长轴长是(，0). （1）求这个椭圆的标准方程；（2）如果直线y x m =+与这个椭圆交于两不同的点，求m 的取值范围.3．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P到两点(M N 的距离之和等于4，设点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程.（2）若直线2y kx =+与曲线C 有公共点，求实数k 的取值范围.4．已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>，1F ，2F为椭圆的左右焦点，1,2P ⎛ ⎝⎭为椭圆上一点，且2PF =（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线l ：2x =-，过点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 、直线AB 于M 、N 两点，求tan MAN ∠最小值. 5．已知圆锥曲线E 上的点M 的坐标(),x y．（1）说明E 是什么图形，并写出其标准方程；（2）若斜率为1的直线l 与E 交于y 轴右侧不同的两点A ，B ，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围．6．如图，点1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的左､右焦点，点A 是椭圆C 上一点，且满足2AF x ⊥轴，1230AF F ∠=︒，直线1AF 与椭圆C 相交于另一点B .（1）求椭圆C 的离心率；（2）若2ABF 的周长为M 为椭圆C 上任意一点，求1OM F M →→⋅的取值范围. 7．在平面直角坐标系xOy 中，点D ，E 的坐标分别为()2,0-，()2,0，P 是动点，且直线DP 与EP 的斜率之积等于14-.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）已知直线y kx m =+与椭圆：2214xy +=相交于A ，B 两点，与y 轴交于点M ，若存在m使得34OA OBOM ，求m 的取值范围.8．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离为1. （1）求C 的方程；（2）已知点()()1122,,,A x y B x y 在C 上，且线段AB 的中垂线l 的斜率为12-，求l 在y 轴上的截距的取值范围.9．已知圆F 1：（x +1）2+y 2=16，F 2（1，0），P 是圆F 1上的一个动点，F 2P 的中垂线l 交F 1P 于点Q .（1）求点Q 的轨迹E 的方程；（2）若斜率为k （k ≠0）的直线l 1与点Q 的轨迹E 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的垂直平分线过定点（13，0），求k 的取值范围.10．已知点A ，B 的坐标分别是()0,1-，()0,1，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为12-.（1）求点M 轨迹C 的方程；（2）若过点()2,0D 的直线l 与（1）中的轨迹C 交于不同的两点E ､F （E 在D ､F 之间），DE DF λ=，试求λ的取值范围. 11．已知平面内动点P与点)A和点()B 的连线的斜率之积为12-.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点()1,0F 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，且OMF ONF S S λ=△△（113λ<<），求直线l 斜率的取值范围.12．已知抛物线C ：22y px =()0p >的焦点为F，点(M a 在抛物线C 上．（1）若6MF =，求抛物线C 的标准方程；（2）若直线x y t +=与抛物线C 交于A ，B 两点，点N 的坐标为()1,0，且满足NA NB ⊥，原点O 到直线ABp 的取值范围． 13．已知一动圆M 与圆1C：(221x y ++=外切，且与圆2C：(2249x y -+=内切．（1）求动圆M 的圆心M 的轨迹方程E ；（2）若过点(1,0)A 的直线l （不与x 轴重合）与曲线E 交于,P Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点N ，求PQ AN的取值范围．14．在平面直角坐标系xOy中，直线:l y kx =22:14y E x +=相交于A 、B 两点，与圆22:4O x y +=相交于C 、D 两点．（1）若OC OD ⊥，求实数k 的值；（2）求2AB CD ⋅的取值范围．15．已知点()1,0F 是抛物线C ：()220y px p =>的焦点，O 为坐标原点，过点F 的直线1l 交抛物线与A ，B 两点.（1）求抛物线C 的方程；（2）求OA OB ⋅的值；（3）如图，过点F 的直线2l 交抛物线于C ，D 两点（点A ，C 在x 轴的同侧，A C x x >），且12l l ⊥，直线AC 与直线BD 的交点为E ，记EFC △，ACF 的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的取值范围.16．已知椭圆()22221x y a b a b +=>>的焦距为2，O 为坐标原点，F 为右焦点，点31,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l 的方程为4x =，AB 是椭圆上与坐标轴不平行的一条弦，M 为弦的中点，直线MO 交l 于点P ，过点O 与AB 平行的直线交/于点Q ，直线PF 交直线OQ 于点R ，直线QF 交直线MO 于点S ．①证明：O ，S ，F ，R 四点共圆；②记△QRF 的面积为1S ，△QSO 的面积为2S ，求12S S 的取值范围． 17．已知椭圆C ：22143x y +=左右焦点分别为12,F F ，P 在椭圆C 上且活动于第一象限，PP'垂直于y 轴交y 轴于P '，Q 为PP '中点；连接1QF 交y 轴于M ，连接2QF 并延长交直线:3l x 于N .（1）求直线1QF 与2QF 的斜率之积；（2）已知点(0,1)T -，求22MP NP TQ ⋅+的最大值.18．已知①如图，长为12的矩形ABCD ，以A ､B 为焦点的椭圆2222:1x y M a b+=恰好过CD 两点②设圆22(16x y +=的圆心为S ，直线l 过点T ，且与x 轴不重合，直线l 交圆S 于CD 两点，过点T 作SC 的平行线交SD 于M ，判断点M 的轨迹是否椭圆（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆M 的标准方程；（2）根据（1）所得椭圆M 的标准方程，若圆22:1O x y +=的切线l 与椭圆相交于P ､Q 两点，线段PQ 的中点为T ，求OT 的最大值.19．在平面直角坐标系xOy 中，点()2,0A -，过动点P 作直线4x =-的垂线，垂足为M ，且4AM AP ⋅=-.记动点P 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）过点A 的直线l 交曲线E 于不同的两点B 、C . ①若B 为线段AC 的中点，求直线l 的方程；②设B 关于x 轴的对称点为D ，求ACD △面积S 的取值范围.20()2222:10x y C a b a b +=>>经过点()3,1P .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点P 关于x 轴的对称点为Q ，过点P 斜率为12,k k 的两条不重合的动直线与椭圆C 的另一交点分别为,M N （,M N 皆异于点Q ）.若1213k k =，求点Q 到直线MN 的距离的取值范围.21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，椭圆C 上任意一点P 到焦点距离的最大值是最小值的3倍，且通径长为3（椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过2F 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，则1ABF 的内切圆面积是否存在最大值?若存在，则求出最大值；若不存在，请说明理由.22．已知F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，点P 是抛物线上横坐标为2的点，且3PF =．（1）求抛物线的方程；（2）设直线l 交抛物线C 于,M N 两点，若4MN =，且弦MN 的中点在圆22()1x a y -+=上，求实数a 的取值范围．23．如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆Γ：2212x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，设P 是第一象限内Γ上一点，1PF ，2PF 的延长线分别交Γ于点1Q ，2Q .（1）求12PF Q △的周长；（2）设1r ，2r 分别为12PF Q △，21PF Q △的内切圆半径，求12r r -的最大值.24．设实数0k ≠，椭圆D ：22162x y +=的右焦点为F ，过F 且斜率为k 的直线交D 于P 、Q两点，若线段PQ 的中为N ，点O 是坐标原点，直线ON 交直线3x =于点M ．（1）若点P 的横坐标为1，求点Q 的横坐标；（2）求证：MF PQ ⊥；（3）求PQ MF的最大值．参考答案1．（1）22142x y +=（2 【分析】（1）由题意可得2c =2c e a a ===，求出a ，再由 b b ，从而可求得椭圆方程，（2）设()00,B x y ，然后利用距离公式和二次函数的性质求解即可（1）依题意，得2c c ==2===⇒=c e a a ，所以b所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=.（2）设()00,B x y ，则2200142x y +=，则有0y ≤≤所以20220041422y x y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由两点间的距离公式，得()()222220000||14112y AB x y y ⎛⎫=+-=-+- ⎪⎝⎭ 2200025(1)6y y y =--+=-++，因为0y ≤≤所以当001,=-=y x ||AB 2．（1）2213x y +=；（2）22m -<<.【分析】（1）由已知得2a =c = （2）联立直线与椭圆方程，消元，利用韦达定理能求出m 的取值范围．【详解】解：（1）由已知得2a =c =解得a =2321b ∴=-=， ∴椭圆的标准方程为2213x y +=．（2）由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解方程组并整理得2246330x mx m ++-=，有两个不同的交点∴222(6)44(33)12(4)0m m m ∆=-⨯⨯-=-->．解不等式得22m -<<．m ∴的取值范围(2,2)-．【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．3．（1）2214x y +=；（2）|k k k ⎧⎪≤≥⎨⎪⎪⎩⎭.【分析】（1）根据椭圆的定义，即可求得a ，c 的值，根据a ，b ，c 的关系，求得b 值，即可得答案. （2）联立直线与椭圆方程，根据有公共点，可得0∆≥，化简整理，即可求得答案. 【详解】解：（1）由己知得4PM PN MN +=>=由椭圆定义可知，轨迹C 是以M ，N为焦点，焦距长2c =24a =的椭圆. 所以222431b a c =-=-=，所以曲线C 的方程是2214x y +=.（2）由22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()221416120k x kx +++=. ()()22216412146448k k k ∆=-⨯⨯+=-，因为直线2y kx =+与曲线C 有公共点，所以0∆≥，即264480k -≥，解得k ≤k ≥故实数k的取值范围是|k k k ⎧⎪≤≥⎨⎪⎪⎩⎭. 4．（1）2212x y +=（2）4 【分析】（1）设()1,0(0)F c c ->，根据题中条件求出1c =，得出1PF =出a 的值，再根据222b a c =-即可求出b 的值，即可求出椭圆方程；（2）由题意直线AB 的斜率必定不为零，于是可设直线:1AB x ty =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，根据韦达定理、中点坐标公式、弦长公式，以及题中条件，得到23tan t MN MAN AN+∠==，再根据基本不等式即可求出结果. （1）解：设()2,0F c ，则2PF ==1c =，即()11,0F -.∴1PF =122PF PF a +==，∴a =1b ，故椭圆的标准方程为2212x y +=；（2）解：由题意直线AB 的斜率必定不为零，于是可设直线AB ：1x ty =+，联立方程22112x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210t y ty ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意，()()222442810t t t ∆=++=+>，由韦达定理12222ty y t -+=+，12212y y t =-+，则22Nt y t =-+，∴22221122N N t x ty t t =+=-+=++，MN AB ⊥，∴MNk t =-，∴222226222t MN t t +=--=++，又1212AN AB y y==-=∴23tan4tMNMANAN+⎫∠===≥=，即1t=±时取等号.5．（1）圆锥曲线E是以()，)为焦点，长轴长为22163x y+=（2）(3,-【分析】（1）由平面上两点间距离公式及椭圆的定义即得；（2）由题可设直线l：y x m=+，联立椭圆的方程，利用韦达定理可得3m-<<，即求. （1）由题可知点M到定点()，)的距离之和为∴圆锥曲线E是以()，)为焦点，长轴长为所以其标准方程为22163x y+=.（2）设直线l：y x m=+，()11,A x y，()22,B x y，由22163x yy x m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y，得2234260x mx m++-=，由题意，有()()221221244326043263m mmx xmx x⎧∆=-⨯->⎪⎪⎪+=->⎨⎪⎪-=>⎪⎩，解得3m-<<所以直线l在y轴上的截距的取值范围为(3,-.6．（1（2）5,34⎡⎢⎣【分析】(1)结合已知条件，分别求出a 、c 与2||AF 的关系式，进而求得离心率；(2)结合(1)中结论和已知条件求出椭圆的方程，然后设出M 的坐标，然后利用数量积公式表示出1OM F M →→⋅，最后利用二次函数的性质求解即可. （1）在12Rt AF F △中，∵1230AF F ∠=︒， ∴122AF AF =，122F F =，由椭圆的定义，12223a AF AF AF =+=，22c ， ∴椭圆离心率22c c e a a ====（2）2ABF 的周长为22AF BF AB ++=11224AF BF AF BF a +++==a =∵c e a ==，∴1c =，2222b a c =-=， ∴椭圆C 的标准方程为22132x y +=，可得()11,0F -，设()00,M x y ，则()00,OM x y →=，2200132x y +=， ∵()1001,F M x y →=+，∴()222210000002125123334OM F M x x y x x x x →→⎛⎫⋅=++=++-=++ ⎪⎝⎭，∵0x ≤≤所以由二次函数性质可知，当0x 1OM F M →→⋅的最大值为3当023x =-时，1OM F M →→⋅的最小值为54，所以1OM F M →→⋅的取值范围是5,34⎡⎢⎣.7．（1）()22124x y x +=≠±（2）11(1,)(,1)22-- 【分析】（1）根据直线DP 与EP 的斜率之积列方程，化简求得动点P 的轨迹C 的方程. （2）利用向量的坐标运算，由34OA OBOM 得到123x x =-，联立直线y kx m =+与椭圆：2214x y +=，化简写出根与系数关系、判别式，求得关于m 的不等式，并由此求得m 的取值范围. （1）设(),P x y ，则()1=22+24EP DP y y k k x x x ⋅=⋅-≠±-，所以可得动点P 的轨迹C 的方程为()22124x y x +=≠±.（2）设()()1122,,,,A x y B x y 又()0,M m ，由34OA OBOM 得12123,30,4x x y y m ，123x x =-联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222418440k x kmx m +++-= 222(8)4(41)(4m 4)0km k ∆=-⨯+⨯->，即226416160k m -+>22410k m ∴-+>，且12221228414441km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，又123x x =-22441kmx k ，则222122224443()4141km m x x xk k ， 222216410k m k m ，2221416m k m 代入22410k m -+>得22211014m m m-+->-， 2114m <<，解得11(1,)(,1)22m ∈--.m ∴的取值范围是11(1,)(,1)22--8．（1）22y x =；（2）9(,)16+∞.【分析】(1)利用p 的几何意义直接写出C 的方程即得.(2)根据给定条件设出直线l 及直线AB 的方程，联立直线AB 与抛物线C 的方程，求出弦AB 中点坐标，借助判别式计算作答. （1）因抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离为1，则p =1，所以C 的方程为22y x =. （2）依题意，设直线l 的方程为12y x b =-+，直线AB 的方程为y =2x +m ，设1122(,),(,)A x y B x y ，由222y x y x m⎧=⎨=+⎩消去x 得：20y y m -+=，由题意知Δ140m =->，得14m <，设线段AB 的中点为()00,N x y ，则120122y y y +==，再由002y x m =+，可得0142m x =-，又点N 在直线l 上，则111()2242m b =--+，于是584m b =-，从而有511984416b >-⨯=，所以l 在y 轴上的截距的取值范围为9(,)16+∞.9．（1）22143x y +=（2）15,,5⎛⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）利用椭圆的定义可求椭圆方程.（2）设直线()()11122:,,,,l y kx m A x y B x y =+，联立直线方程和椭圆方程后利用韦达定理可求AB 的中垂线的方程，结合其过1,03⎛⎫⎪⎝⎭所得,k m 的等式，结合判别式为正可得k 的取值范围. （1）由题意可知：11||4PQ QF PF r +===，由2F P 的中垂线l 交1F P 于点Q ，则2||QF PQ =， ∴211242QF QF F F +=>=，则点Q 的轨迹E 为以12,F F 为焦点，4为长轴长的椭圆，即22224,22,3a c b a c ===-=， ∴点Q 的轨迹E 的方程为：22143x y +=.（2）设直线()()11122:,,,,l y kx m A x y B x y =+，将y kx m =+代入椭圆方程，消去y 得()2223484120k x kmx m +++-=，所以()()222(8)4344120km k m ∆=-+->即223043k m +>-①，由根与系数关系得122834km x x k +=-+，则()121226234my y k x x m k +=++=+，所以线段AB 的中点M 的坐标为2243,3434km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.又线段AB 的直平分线l '的方程为113y x k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由点M 在直线l '上，得22314134343m km k k k ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭，即24330k km ++=，所以()21433m k k=-+②，由①②得()222243439k k k+<+，∵2430k +>，∴22439k k +<，所以235k >，即k <k >所以实数的取值范围是15,,5⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭⎝⎭.10．（1）2212x y +=（0x ≠），（2）31λ-<<且13λ≠．【分析】（1）设(,)M x y ，用坐标表示出已知条件即可得；（2）设11(,)F x y ，22(,)E x y ，由DE DF λ=得12,x x 的关系，12,y y 的关系，利用,E F 都是椭圆上的点，适合椭圆方程，可解得1x ，然后由1x ≤求得l 的范围，注意题中有01λ<<，10x ≠，结合起来求得正确的范围．（1）设(,)M x y ，则1112y y x x +-⋅=-（0x ≠），，化简得2212xy +=（0x ≠），此即为曲线C 的方程；（2）设11(,)F x y ，22(,)E x y ，221112x y +=，由DE DF λ=，得21212(2)x x y y λλ-=-⎧⎨=⎩， 212122x x y y λλλ=-+⎧⎨=⎩，E 在椭圆上，则2211(22)()12x y λλλ-++=，把221112x y =-代入得 222222111(22)(22)1222x x x λλλλλλ-+--++-=，解得1312x λλ-=，由1x <得，312λλ-33λ-<<+ 又由于E 在线段DF 上，01λ<<，10x =时，13λ=，所以31λ-<且13λ≠．11．（1）2212x y +=(x ≠；（2）()(),11,-∞-⋃+∞. 【分析】（1）设(),P x y，且x ≠12PA PB k k ⋅=-化简即可得动点P 的轨迹C 的方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l ：1x my =+与椭圆方程联立可得12y y +，12y y ，()221221242y y m y y m +-=+，由12OMF ONFS y S y λ==-， ()212121221122y y y y y y y y λλ+=++=--+，可得221422m m λλ---+=+，根据λ的范围求得12λλ--+的范围，再解不等式可得m 的范围，再求1m的范围即为直线l 斜率的取值范围.（1）设(),P x y，则22122PA PBy k k x ⋅===--，整理可得：2222x y +=，即2212x y +=(x ≠，所以动点P 的轨迹C 的方程为2212x y +=(x ≠，（2）由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为：1x my =+，由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：()222210m y my ++-=，所以12222m y y m -+=+，12212y y m -=+，因为11221212OMFONFOF y S y S y OF y λ⋅⋅===-⋅⋅，()()()2221222221244222y y m m m y y m m +-⎡⎤=⨯-+=⎣⎦++， ()222121212121212212122y y y y y y y y y y y y y y λλ+++==++=--+，所以221422m m λλ---+=+，即221422m m λλ+-=+，因为12y λλ=+-在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以1420,3y λλ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，所以2244023m m <<+，因为22402m m >+，由224423m m <+可得：11m -<<，所以直线l 的斜率11m<-或11m >.所以直线l 斜率的取值范围为()(),11,-∞-⋃+∞. 12．（1）24y x =或220y x =；（2）1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）由已知可得202pa =，由抛物线的定义可得62pa +=，解方程求得p 的值即可求解；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线x y t +=与22y px =，由原点O 到直线AB 的距离不t 的范围，由韦达定理可得12x x +、12x x ，利用坐标表示0NA NB ⋅=可利用t 表示p ，再利用函数的单调性求得最值即可求解. （1）由题意及抛物线的定义得：62pa +=，又因为点(M a 在抛物线C 上，所以202pa =，由62202p a pa⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 可得25p a =⎧⎨=⎩或101p a =⎧⎨=⎩，所以抛物线C 的标准方程为24y x =或220y x =．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22x y t y px+=⎧⎨=⎩消去y 可得：()2220x p t x t -++=，则1222x x p t +=+，212x x t =，因为NA NB ⊥，所以()()()()()()121212121111NA NB x x y y x x t x t x ⋅=--+=--+--()()212122110x x t x x t =-++++=，所以()()22212210t t p t t -++++=，可得22121t t p t -+=+，由原点O 到直线AB≥2t ≥或2t ≤-，因为0p >，所以2t ≤-不成立，所以2t ≥，因为221421411t t p t t t -+==++-++在[)2,+∞上单调递增，所以2222112213p -⨯+≥=+，所以16p ≥，即p 的取值范围为1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．13．（1）221168x y +=（2）( 【分析】（1）设圆M 的半径为r ，则1217MC r MC r ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，即可得到128MC MC +=，即可得到点M 的轨迹是以12,C C 为焦点的椭圆，求出,a b ，即可得到轨迹方程；（2）设l 方程为：(1)y k x =-，1122(,)(,)P x y Q x y ，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，根据弦长公式表示出PQ ，再求出线段PQ 垂直平分线方程，从而求出AN，即可得到PQ AN= （1）解：设圆M 的半径为r ，则1217MC r MC r ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩12128MC MC C C ∴+=>=所以点M 的轨迹是以12,C C为焦点的椭圆，且4,a c ==2228b a c ∴=-=所以所求轨迹方程为221168x y +=．（2）解：经分析，l 斜率存在，设l 方程为：(1)y k x =-，1122(,)(,)P x y Q x y ，由22(11168y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩）消去y 得：222212)42160k x k x k +-+-=（ 221212224216,.1212k k x x x x k k -∴+==++PQ ∴=．． 121222(2)12ky y k x x k -+=+-=+ PQ ∴的中点坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以线段PQ 垂直平分线方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭．令0y =得2212N kx k =+，221112N k AN x k +∴=-=+PQAN ∴= 0k ≠ 211k ∴+> 2141630301k ∴<-<+ PQ AN∴的取值范围为(．14．（1）k = （2）[)4,64 【分析】（1）求出圆心到直线l的距离为d =k 的值；（2）设()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式计算出AB 关于k 的表达式，利用勾股定理可求得CD 关于k 的表达式，再利用不等式的基本性质可求得2AB CD ⋅的取值范围. （1）解：因为OC OD ⊥，且圆O 的半径为2，所以点O 到直线l的距离2sin4d π===k =．（2）解：设()11,A x y 、()22,B x y，由2214y kx y x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消y 整理得()22410k x ++-=，()()2224416160k k ∆=++=+>，所以12x x +=，12214x x k -=+，所以12 AB x x=-=()22414kk+=+．设圆心O到直线l的距离为d=所以CD===所以()()22222222411614142404644144k kkAB CDk k k k+++⋅=⋅⋅==-++++．244k+≥，则21144k<≤+，所以，[)22240644,644AB CDk⋅=-∈+.所以2AB CD⋅的取值范围为[)4,64．15．（1）24y x=（2）3-（3）()0,1【分析】（1）根据题意得到12p=，从而得到抛物线C：24y x=.（2）首先设直线AB的方程为1x ty=+，与抛物线24y x=联立得2440y ty--=，再利用韦达定理求解.（3）设211,4yA y⎛⎫⎪⎝⎭，222,4yC y⎛⎫⎪⎝⎭，21144,By y⎛⎫-⎪⎝⎭，22244,Dy y⎛⎫-⎪⎝⎭，再利用韦达定理和12ECFACFECSSS S AC==△△求解即可.（1）因为抛物线C：()220y px p=>，焦点()1,0F，所以12p=，解得2p=，所以抛物线C：24y x=.24y x =（2）设直线AB 的方程为1x ty =+，与抛物线24y x =联立得：2440y ty --=，由韦达定理得124y y t +=，124y y =-，所以()22212121214416y yy y x x =⋅==，所以1212413OA OB x x y y ⋅=+=-+=- （3）设211,4y A y ⎛⎫⎪⎝⎭，222,4y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21144,B y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，22244,D y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为21222112444AC y y k y y y y -==+-，所以直线AC ：2111244y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，即1212124y y y x y y y y =+++。

高中数学圆锥曲线与最值及取值范围问题(附经典例题与解析)

圆锥曲线与最值问题【知识点分析】方法一、圆锥曲线的的定义转化法借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理．（1）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（2）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）（3）抛物线：到定点与定直线距离相等。

【相似题练习】1．已知抛物线y 2＝8x ，点Q 是圆C ：x 2+y 2+2x ﹣8y +13＝0上任意一点，记抛物线上任意一点到直线x ＝﹣2的距离为d ，则|PQ |+d 的最小值为（） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 1．已知双曲线C ：的右焦点为F ，P 是双曲线C 的左支上一点，M （0，2），则△PFM 周长最小值为．【知识点分析】方法二、函数法二次函数2y ax bx c =++顶点坐标为24b ac b ⎛⎫-- ⎪，1．已知F 1，F 2为椭圆C ：+＝1的左、右焦点，点E 是椭圆C 上的动点，1•2的最大值、最小值分别为（） A ．9，7 B ．8，7 C ．9，8 D ．17，8【知识点分析】方法三、利用最短路径【问题1】“将军饮马”作法图形原理在直线l 上求一点P ，使P A +PB 值最小．作B 关于l 的对称点B ＇连A B ＇，与l 交点即为P ．两点之间线段最短． P A +PB 最小值为A B ＇．【问题2】作法图形原理在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使△PMN 的周长最小．分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇P ＇＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短． PM +MN +PN 的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．【问题3】作法图形原理在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使四边形PQMN 的周长最小．分别作点Q 、P 关于直线1l 、2l 的对称点Q ＇和P ＇连Q ＇P ＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短．四边形PQMN 周长的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．【问题4】作法图形原理作点P 关于1l 的对称点P ＇，作P ＇B ⊥2l 于B ，交l 于A ．点到直线，垂线段最短． P A +AB 的最小值为线段P ＇B 的长．l B A lPB'AB l 1l 2Pl 1l 2NMP''P'P l 1l 2N MP'Q'Q P l 1l 2P Q l 1A P'Pl 1l 2P小．【问题5】作法图形原理A 为1l 上一定点，B 为2l 上一定点，在2l 上求点M ，在1l 上求点N ，使AM +MN +NB 的值最小．作点A 关于2l 的对称点A ＇，作点B 关于1l 的对称点B ＇，连A ＇B ＇交2l 于M ，交1l 于N ．两点之间线段最短． AM +MN +NB 的最小值为线段A ＇B ＇的长．【相似题练习】1．已知双曲线x 2﹣y 2＝1的右焦点为F ，右顶点A ，P 为渐近线上一点，则|PA |+|PF |的最小值为（）A ．B ．C ．2D ．【知识点分析】方法四、利用圆的性质【相似题练习】1．已知椭圆，圆A ：x 2+y 2﹣3x ﹣y +2＝0，P ，Q 分別为椭圆C 和圆A 上的点，F （﹣2，0），则|PQ |+|PF |的最小值为（） A ． B ． C ． D ．l 2l 1ABNMl 2l 1M N A'B'AB【知识点分析】方法五、切线法【相似题练习】1．如图，设椭圆C ：+＝1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，上顶点为A ，点B ，F 2关于F 1对称，且AB⊥AF 2（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）已知P 是过A ，B ，F 2三点的圆上的点，若△AF 1F 2的面积为，求点P 到直线l ：x ﹣y ﹣3＝0距离的最大值．【知识点分析】方法六、参数法1．圆222)()(r b y a x =-+-的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x .2. 椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x .3．抛物线px y 22=的参数方程可表示为)(.2,22为参数t pt y px x ⎩⎨⎧==.【相似题练习】已知点A （2，1），点B 为椭圆+y 2＝1上的动点，求线段AB 的中点M 到直线l 的距离的最大值．并求此时点B 的坐标．【知识点分析】方法七、基本不等式1、均值不等式定理：若0a >，0b >，则2a b ab +≥，2、常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈；②()22,2a b ab a b R +≤∈；③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭；④()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭．【相似题练习】1．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且∠AFB ＝，弦AB 的中点M 在准线l 上的射影为M ′，则的最大值为．方法七、利用三角形的三边关系两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

押新高考第21题圆锥曲线(新高考)(解析版)

圆锥曲线圆锥曲线部分历来是高考的重点,也是学生心中的难点,很多学生对圆锥曲线都有畏惧心理.从高考成绩分析上来看,圆锥曲线也是高考得分较低的部分;从考纲上来看,一般会"考查学生对解析几何基本概念的掌握情况,考查学生对解析几何基本方法的一般应用情况,适当地考查学生对几何学知识的综合应用能力,重视对数学思想方法的渗透".通过近几年的高考可以看到浙江高考题在圆锥曲线这一块考抛物线较多。

圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必有一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程，研究直线与圆锥曲线的位置关系为主，涉及题型有定点、定值、最值、范围、探索性问题等，此类命题第（1）问起点较低，但在第（2）问中一般都有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常以压轴题的形式呈现．解决此类问题的关键是找到已知条件和代求问题之间的联系，实现代求问题代数化，与已知条件得到的结论有效对接，难点在于代求问题的转化问题方法总结1.圆锥曲线中最值问题的求解方法（1）几何法：通过利用圆锥曲线的定义和几何性质进行求解（2）代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．函数主要是二次函数、对勾函数或者导数求解，不等式主要是运用基本不等式求解2.圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．3定点、定值模板1.寻找适合运动变化的量或者参数，如点坐标，直线的斜率，截距等，把相关问题用参数表示备用，或者找寻带有参数的直线与曲线联立方程组，得到关于x 或y 的一元二次方程，利用韦达定理列出x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2的关系式备用2.根据已知条件把定点、定值问题转化为与参数有关的方程问题，与第一步的结论对接3，确定与参数无关点、值，即为所求.1．（2021·湖南·高考真题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点()20A ，3（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线1y x =-与椭圆C 相交于P Q ，两点，求AP AQ ⋅的值. 【详解】（1）椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点()20A ，，所以2a =， 32c ca ==，所以3c =222431b ac =-=-=，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）由22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2580x x ，解得128,05x x ==，所以118583155x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩，或110011x y =⎧⎨=-=-⎩，可得83,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,1Q -，或者83,55Q ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1P -，所以()834312,02,155555AP AQ ⎛⎫⋅=-⋅--=-= ⎪⎝⎭.2．（2021·江苏·高考真题）已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，当0x <时，()()log 2a f x x x =-+(0a >，且1a ≠).又直线():250l mx y m m R +++=∈恒过定点A ，且点A 在函数()f x 的图像上.(1) 求实数a 的值； (2) 求()()48f f -+的值； (3) 求函数()f x 的解析式. 【详解】(1) 由直线l 过定点可得：(2)5m x y +=--，由2050x y +=⎧⎨--=⎩，解得25x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线l 过定点()2,5A --.又因为0x <时，()log ()2a f x x x =-+，所以(2)log 245a f -=-=-，有log 21a =-，12a =. (2) 12(4)log 4810f -=-=-，因为()f x 为偶函数，所以12(8)(8)log 81619f f =-=-=-，所以(4)(8)29f f -+=-.(3) 由(1)知，当0x <时，12()log ()2f x x x =-+. 当0x >时，0x -<，1122()log 2()log 2f x x x x x-=+⋅-=-，又()f x 为偶函数，所以12()()log 2f x f x x x =-=-，综上可知，1212log ()20()log 20x xx f x x x x -+<⎧⎪=⎨->⎪⎩.3．（2021·全国·高考真题）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为(2,0)F 6（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||3MN = 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距2c =6c e a =，所以3a = 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线(:2MN y k x =即20kx y k --=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>2211k k =+，解得1k =±，联立(22213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得246230x x -+=，所以12122343x x x x +=⋅=，所以()212121143MN x x x x =++-⋅所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>211b k =+，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=，所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++，所以()2222212122263314141313kb b MN k x x x x kk k -⎛⎫=++-⋅=+--⋅ ⎪++⎝⎭22241k k =+3 化简得()22310k -=，所以1k =±，所以12k b =⎧⎪⎨=-⎪⎩或12k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:2MN y x =或2y x =-+所以直线MN 过点(2,0)F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是||3MN =4．（2021·浙江·高考真题）如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且2MF =，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F 的直线交抛物线与A ､B 两点，斜率为2的直线l 与直线,,MA MB AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且2RN PN QN =⋅，求直线l 在x 轴上截距的范围. 【详解】（1）因为2MF =，故2p =，故抛物线的方程为：24y x =. （2）[方法一]：通式通法设:1AB x ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，(),0N n ，所以直线:2y l x n =+，由题设可得1n ≠且12t ≠.由214x ty y x=+⎧⎨=⎩可得2440y ty --=，故12124,4y y y y t =-+=，因为2RN PN QN =⋅，故21111+1+1+444R P Q ⎫=⎪⎪⎭，故2R P Q y y y =⋅. 又()11:11y MA y x x =++，由()11112y y x x y x n⎧=+⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩可得()1112122P n y y x y +=+-，同理()2222122Q n y y x y +=+-，由12x ty yx n =+⎧⎪⎨=+⎪⎩可得()2121R n y t -=-，所以()()()2212211212121=212222n n y n y t x y x y -++⎡⎤⨯⎢⎥-+-+-⎣⎦，整理得到()()()2212221112112222y y n t n x y x y -⎛⎫=- ⎪++-+-⎝⎭， ()22221214212222t y y y y -=⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()2222222121212112214212134+++2+442t t t y y y y y y y y y y y y --==+--⨯-+故()222134121n t n t ++⎛⎫= ⎪-⎝⎭-，令21s t =-，则12s t +=且0s ≠，故()22222234242411331+444421t s s s s s s t +++⎛⎫==+=++≥ ⎪⎝⎭-，故213141n n n ⎧+⎛⎫≥⎪ ⎪-⎨⎝⎭⎪≠⎩即214101n n n ⎧++≥⎨≠⎩，解得73n ≤--7431n -+≤<或1n >.故直线l 在x 轴上的截距的范围为743n ≤--731n -+<或1n >. [方法二]：利用焦点弦性质设直线AB 的方程为11x k y =+，直线MA 的方程为21x k y =-，直线MB 的方程为31x k y =-，直线l 的方程为221212,,,,,(,0)244y y y x m A y B y N m ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题设可得1m ≠且112k ≠．由121,4x k y y x=+⎧⎨=⎩得21440y k y --=，所以121124,4y y k y y +==-．因为2112231121114,44y y y k k y y y +==+=+， 12121223111212110444y y y y y y k k k k y y y y ++∴+=+++=+=-=，()21221212231121212111111441642y y y y y y k k k y y y y y y +⎛⎫⎛⎫=++=+⋅+-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．由21,2x k y y x m =-⎧⎪⎨=+⎪⎩得2112p m y k +=-．同理3112Q m y k +=-．由11,2x k y y x m =+⎧⎪⎨=+⎪⎩得1112R m y k -=-．因为2||||||RN PN QN =⋅，所以2R P Q y y y -⋅=即222211231(1)(1)13112422m m m k k k k ⎛⎫ ⎪-++== ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪-+--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故22121314112k m m k ++⎛⎫=⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭．令112t k =-，则222221111113311244m t t m t t t t +++⎛⎫⎛⎫==++=++≥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．所以210,1410,m m m -≠⎧⎨++≥⎩，解得73m ≤--731m -+≤<或1m．故直线l 在x 轴上的截距的范围为(,743)[743,1)(1,)-∞---++∞． [方法三]【最优解】：设()()22,2(0),,2A a a a B b b >，由,,A F B 三点共线得22222221b a ab a a b a -==-+-，即1ab =-．所以直线MA 的方程为22(1)1a y x a =++，直线MB 的方程为2222(1)(1)11b ay x x b a -=+=+++，直线AB 的方程为22(1)1ay x a =--．设直线l 的方程为2(2)y x m m =+≠-，则222(2)(2)(2),,,1112P Q R N m a m a m a my y y x a a a a a a ----====--+++--．所以()()2222222222(2)(2)||||||11m a m a RN PN QN aa aa +-=⋅⇔=--+-．故()()2222222222221112(1)2140,2133111a a a m t t t a m t t a a a a ⎛⎫-- ⎪--+--+⎛⎫⎡⎤⎝⎭====∈ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎣⎦⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭（其中1t a a =-∈R ）．所以(,1483][1483,)m ∈-∞-++∞．因此直线l 在x 轴上的截距为(,743][743,1)(1,)2m-∈-∞---++∞．5．（2021·北京·高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>一个顶点(0,2)A -，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形面积为45．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与直线交y =-3交于点M ，N ，当|PM |+|PN |≤15时，求k 的取值范围．【详解】（1）因为椭圆过()0,2A -，故2b =，因为四个顶点围成的四边形的面积为45，故122452a b ⨯⨯=，即5a =，故椭圆的标准方程为：22154x y +=. （2）设()()1122,,,B x y C x y ，因为直线BC 的斜率存在，故120x x ≠，故直线112:2y AB y x x +=-，令3y =-，则112M x x y =-+，同理222N xx y =-+. 直线:3BC y kx =-，由2234520y kx x y =-⎧⎨+=⎩可得()224530250k x kx +-+=，故()22900100450k k ∆=-+>，解得1k <-或1k >.又1212223025,4545k x x x x k k +==++，故120x x >，所以0M N x x > 又1212=22M N x xPM PN x x y y +=++++ ()()2212121222212121222503024545=5253011114545k kkx x x x x x k k k k k kx kx k x x k x x k k --++++===---++-+++故515k ≤即3k ≤，综上，31k -≤<-或13k <≤.1．（2022·天津·一模）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，离心率为2且6AB (1)求椭圆的方程；(2)过点A 的直线与椭圆相交于点24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭H ，与y 轴相交于点S ，过点S 的另一条直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，且△ASM 的面积是△HSN 面积的32倍，求直线l 的方程.【解析】(1)根据题目列方程2222226a b c c a a b ⎧=+⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩ 解得24a =，22b =，所以椭圆的方程为22142x y +=. (2)由已知得12=-AH k ，所以，直线AH 的方程为()122y x =--，所以，S 点的坐标为()0,1.当直线l 的斜率不存在时，21=-ASM S △，213+=HSN S △，或21=+ASM S △，213-=HSN S △都与已知不符；当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y ，由221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2212420k x kx ++-=， 122412k x x k -+=+，122212x x k -=+， 1sin 2=⋅∠ASM S AS MS ASM △，1sin 2=⋅∠HSN S HS NS HSN △，由△ASM 的面积是△HSN 面积的32可得23=ASM HSN S S △△化简23⋅=⋅AS MS HS NS ，即23=AS NSHS MS，又3==-A HAS xHS x ，所以，2=NS MS ，即212=-x x ，也就是212x x =-，所以，12412--=+k x k ，12412=+k x k ，22812-=+k x k ，()2122223221212k x x k k --==++，解得，2114k =，所以，直线方程为14114=±+y x .2．（2022·福建·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右焦点为12,F F ，22.过点()2,0P 作直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点.若A 是椭圆C 的短轴端点时，23AF AP ⋅=.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)试判断是否存在直线l ，使得21F A ，2112F P ，21F B 成等差数列？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 【解析】(1) 由题意知：2c e a ==，即2a c =；当A 为椭圆的短轴端点时，不妨设()0,A b ，则()2,AF b c =-，(),2AP b =-，2223AF AP b c ∴⋅=+=，又22222a b c c =+=，22∴=b c ，即223c c +=，解得：1c =，2a ∴1b =， ∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=；(2)设():2l y k x =-，由()22212y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得：()2222218820k x k x k +-+-=， ()()42264421820k k k ∆=-+->，22k ⎛∴∈ ⎝⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122821k x x k +=+，21228221k x x k -=+，()()()42222121212224821221k k x x x x x x k -+∴+=+-=+，()11,0F -，()()2222221111111111112222F A x y x x x x ∴=++=++-=++，同理可得：221221222F B x x =++， ()()2242221211122248122244221x x k k F A F B x x k +++∴+=+++=++，又219F P =，()4222481224921k k k++∴+=+，整理得：4228830k k --=，即()()22211430k k -+=，解得：2k =，222k ⎛∈- ⎝⎭，∴不存在直线l 符合题意. 3．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知曲线C ：22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为C 的左､右焦点，过1F 作直线l 与C 交于A ，B 两点，满足115AF F B =，且1222AF F S =.设e 为C 的离心率. (1)求2e ； (2)若32e ≤2a =，过点P （4，1）的直线1l 与C 交于E ，F 两点，1l 上存在一点T 使111EP FP PT +=.求T 的轨迹方程. 【解析】 (1)由题直线l 斜率存在且不为0，设:l x my c =-，()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组22221x my cx ya b =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22222221210m mc c y y ab a a ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，则2222122122222222214,511mc c a a y y y y y y m m a b a b -+=-==-=++，消去2y ，得2222454a m c b =-，不妨设0m >，则()()122121212215452226AF F c y y y y c y y cSy +--====，整理可得64272176136330e e e -+-=，解得212e =3537-3537+（舍）. (2)由题知22:142x y C +=，若1l 斜率不存在，则与C 无交点，不合题意；若1l 斜率存在，设1:(4)1l y k x =-+，与22142x y +=联立，得()()222221416321620k x k k x k k ++-+--=，设()()1122,,,E x y F x y ，则2212122216432162,2121k k k k x x x x k k ---+==++，由()2Δ812810k k =-++>得2727k -+∈⎝⎭，设()00,T x y ，由题120111444x x x +=---，即()1212120811644x x x x x x x --=+-+-，则可得07424x k -=+，若07424x k -=+，则008954,2424k k x y k k +-+==++，消去k 得0042110x y +-=，若07424x k --=+，则0082394,2424k k x y k k ++==++，消去k 得0042250x y +-=，综上，T 的轨迹方程为42110x y +-=或42250x y +-=.4．（2022·广东深圳·二模）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点3M ⎛ ⎝⎭，且焦距1223F F =,AB CD 分别是它的长轴和短轴．(1)求椭圆E 的方程；(2)若(,)N s t 是平面上的动点，从下面两个条件中选一个．．．．．．．．．．．，证明：直线PQ 经过定点． ①31,s t =≠,NA NB 与椭圆E 的另一交点分别为P ，Q ； ②2,t s =∈R ，直线,NC ND 与椭圆E 的另一交点分别为P ，Q ．【解析】(1)由已知，3c =3M ⎛ ⎝⎭在椭圆上，所以221314a b +=，又因为222a c b -=，所以 224,1a b ==，所以椭圆的方程为：224,1a b ==.(2)选①，则()()(1,),2,0,2,0N t A B -，设()(),,,P P Q Q P x y Q x y ， ,,12312NA NB t t t k k t ====-+-所以()():2,:2,3NA NB tl y x l y t x =+=-- ()222314t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：()2222941616360t x t x t +++-=， ()()42222564941636360t t t ∆=-+-=>所以221636294P t x t --=+，所以2281894Pt x t -+=+，则21294P t y t =+，所以22281812,9494t t P t t ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭， ()22214y t x x y ⎧=--⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()222214161640t x t x t +-+-=， ()()422256414164160t t t ∆=-+-=>，所以22164214Q t x t -=+，所以228214Qt x t -=+，则2414Q t y t =+，所以 222824,1414t t Q t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，所以322224222124322429414818823664349414PQt tt t t t t k t t t t t t ---++===-+--+-++，所以直线PQ 的方程为：22224282143414t t t y x t t t ⎛⎫---=- ⎪+++⎝⎭，所以()()43216832162830y x t yt x t y +-++-+=，所以0,4y x ==，故直线PQ 恒过定点()4,0.选②，则()()(,2),0,1,0,1N s C D -，设()(),,,P P Q Q P x y Q x y ， 211213,,NC ND k k s s s s -+====所以13:1,:1,NC ND l y x l y x s s=+=- 221114y x s x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：()22224240s y s y s +++-=， ()()4224444640s s s ∆=-+-=>所以2244P s y s -=+，所以284P s x s -=+，所以22284,44s s P s s ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ 同理：223636Q s y s -=+，所以22436Q s x s =+，所以2222436,3636s s Q s s ⎛⎫- ⎪++⎝⎭()()()2222222222364121212364248161612364PQs s s s s s s k s s s s s s s ---+⋅--++===-+-++所以直线PQ 的方程为：22224128+4164s s s y x s s s --⎛⎫-= ⎪++⎝⎭令0x =，则()()2222212+2841=22424s s s y s s --+==++ 故直线PQ 恒过定点10,2⎛⎫⎪⎝⎭.5．（2022·广东汕头·二模）如图所示，C 为半圆锥顶点，O 为圆锥底面圆心，BD 为底面直径，A 为弧BD 中点．BCD △是边长为2的等边三角形，弦AD 上点E 使得二面角E BC D --的大小为30°，且AE t AD =．(1)求t 的值；(2)对于平面ACD 内的动点P 总有OP //平面BEC ，请指出P 的轨迹，并说明该轨迹上任意点P 都使得OP //平面BEC 的理由．【解析】 (1)易知OC ⊥面ABD ，OA BD ⊥，以,,OD OA OC 所在直线为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐标系，则(0,1,0),(1,0,0),(1,0,0),(0,0,3)A B D C -，(1,0,3),(1,1,0),(1,1,0)BC AD BA ==-=，()1,1,0(1,1,0)(1,1,0)BE BA AE BA t AD t t t =+=+=+-=+-，易知面BCD 的一个法向量为(0,1,0)OA =，设面BCE 的法向量为(,,)n x y z =，则30(1)(1)0n BC x z n BE t x t y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++-=⎪⎩，令1x =，则13(1,,)13t n t +=--，可得222131cos30213113t OA n t OA nt t +⋅-===⋅⎛⎫+⎛⎫++- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，解得13t =或3，又点E 在弦AD 上，故13t =. (2)P 的轨迹为过AD 靠近D 的三等分点及CD 中点的直线，证明如下：取AD 靠近D 的三等分点即DE 中点M ，CD 中点N ，连接,,MN OM ON ，由O 为BD 中点，易知ON BC ∥，又ON ⊄面BEC ，BC ⊂面BEC ，所以ON //平面BEC ，又MN EC ∥，MN ⊄面BEC ，CE ⊂面BEC ，所以MN //平面BEC ，又ON MN N ⋂=，所以面OMN //平面BEC ，即O 和MN 所在直线上任意一点连线都平行于平面BEC ，又MN ⊂面ACD ，故P 的轨迹即为MN 所在直线，即过AD 靠近D 的三等分点及CD 中点的直线.（限时：30分钟）1．已知圆C ：()22116x y -+=，点()1,0F -，P 是圆C 上一动点，若线段PF 的垂直平分线和CP 相交于点M .（1）求点M 的轨迹方程E .（2）A ，B 是M 的轨迹方程与x 轴的交点（点A 在点B 左边），直线GH 过点()4,0T 与轨迹E 交于G ，H 两点，直线AG 与1x =交于点N ，求证：动直线NH 过定点B .【详解】（1）由圆()22116x y -+=，可得圆心()1,0C ，半径4r =，因为24FC =<，所以点F 在圆C 内，又由点M 在线段PF 的垂直平分线上，所以MF MP =，所以4MC MF MP MC PC +=+==，由椭圆的定义知，点M 的轨迹是以F ，C 为焦点的椭圆，其中2a =，1c =，23b =，所以点M 的轨迹方程为22143x y +=.（2）设直线GH 的方程为4x my =+，()11,G x y ，()22,H x y ，()2,0A -，()2,0B ，将4x my =+代入22143x y +=，得()223424360m y my +++=，1222434my y m -+=+，1223634y y m =+，直线AG 的方程为11(2)2y yxx ，令1x =得1132y y x =+，即1131,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭，NH 的直线方程为121121323(1)12y y x y y x x x -+=-+-+， 2x =代入得()()()()121211211212133231231212y y y y x y x x y y x x x x --++-+=+=-+-+ 12112213(6)3(3)(1)(2)y y my y my x x -++--=-+12122146()(1)(2)my y y y x x ++=-+222136244634340(1)(2)mm m m x x -⨯+⨯++==-+，所以直线NH 过定点(2,0)B ．2．已知定点()22,0O ，点P 为圆1O ：()22232x y ++=(1O 为圆心)上一动点，线段2O P 的垂直平分线与直线1O P 交于点G ．(1)设点G 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；(2)若过点2O 且不与x 轴重合的直线l 与(1)中曲线C 交于D ，E 两点，M 为线段DE 的中点，直线OM (O 为原点)与曲线C 交于A ，B 两点，且满足2MD MA MB =⋅，若存在这样的直线，求出直线l 的方程，若不存在请说明理由．【详解】(1)依题意有2111||42GO GO GO GP O P +=+==，所以G 点轨迹是以1O ，2O 为焦点的椭圆，长轴长242a =，焦距24c =，故点G 的轨迹C 方程为22184x y +=；(2)设存在直线l 满足2MD MA MB =⋅，因为()()22AM BM AO OMBO OM AO OM ⋅=+-=-，222MD AO OM =-，设l 方程为2x my =+，()11,D x y ，()22,E x y ，222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)440m y my ++-=，12242m y y m -+=+，12242y y m -=+． 22221222241642(1)11()222m m DE m y mm m m -+=+-=++=+++，222(1)m MD += 121228()42x x m y y m +=++=+，∴2242(,)22m M m m -++，2OM m k =-，224m OM +=，AB 方程为2m y x =-，设()00,A x y ，()00,B x y --，由222184m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22162x m =+， ∴22222000224(1)42m m OA x y x m +=+=+⋅=+∴2222222228(1)4(4)4(4)(2)2(2)m m m m m m +++=-+++，解得：22m =或21m =-(舍)，2m =±，故存在符合条件的直线l ，其方程为220x y +-=或220x --=．3．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率32e =，椭圆E 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C ，D 两点，四边形ACBD 的面积为4．（1）求椭圆E 的方程；（2）若P 是椭圆E 上一点（不在坐标轴上），直线PC ，PD 分别与x 轴相交于M ，N 两点，设PC ，PD ，OP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，过点P 的直线l 的斜率为k ，且123k k kk =，直线l 与x 轴交于点Q ，求MQ NQ -的值．【详解】（1）由题：32c a =，且12242a b ⋅⋅=，又222a c b -=，所以2a =，1b =，所以椭圆的方程为2214x y +=．（2）设()00,P x y ，则220014x y +=即()220041x y =-，不妨设()0,1C ，()0,1D -，直线PC ：0011y y x x -=+，令0y =得001x x y =-，故00,01x M y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭；同理可求00,01x N y⎛⎫ ⎪+⎝⎭．则200012200011114y y y k k x x x -+-=⋅==-，030y k x =，所以004x k y =-，所以直线l 为()00004x y y x x y -=--，令0y =得220004x y x x +=，又220014x y +=，故04x x =即04,0Q x ⎛⎫⎪⎝⎭． ()()0000000002881111x MQ NQ x x y y x y y x =+-=--++--，又220014x y +=即()220041x y =-，代入上式得，02002804x x MQ N x Q --==． 4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别是点A ，B ，直线2:3l x =与椭圆C 相交于D ，E两个不同点，直线DA 与直线DB 的斜率之积为14-，ABD △的面积为23. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 是直线2:3l x =的一个动点(不在x 轴上)，直线AP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，过P 作BQ 的垂线，垂足为M ，在x 轴上是否存在定点N ，使得MN 为定值，若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.【详解】解：（1）设02,3D y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题意得0002022122433142223419DA DB y y k k a a a y y ab ⎧⋅=⋅=-⎪+-⎪⎪⎪⎪⨯⨯=⎨⎪⎪+=⎪⎪⎪⎩， 2214b a ⎧=∴⎨=⎩，∴椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）假设存在这样的点N ，设直线PM 与x 轴相交于点()0,0T x ，由题意得TP BQ ⊥，由（1）得()2,0B ，设2,3P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()11,Q x y ，由题意可设直线AP 的方程为2x my =-，由22214x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22440m y my +-=，1244m y m ∴=+或10y =(舍去)，212284m x m -=+， 223mt =-，83t m∴=， TP BQ ⊥，()0112203TP BQ x x ty ⎛⎫∴⋅=--+= ⎪⎝⎭， 210212284403233416ty m m x x m m +∴=+=+⋅⋅=-+-， ∴直线PM 过定点()0,0T ，∴存在定点()1,0N ，使得1MN =.5．如图，A ，B ，M ，N 为抛物线22y x =上四个不同的点，直线AB 与直线MN 相交于点()1,0，直线AN 过点()2,0.（1）记A ，B 的纵坐标分别为A y ，B y ，求A B y y 的值；（2）记直线AN ，BM 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在实数λ，使得21k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【详解】解：（1）设直线AB 的方程为1x my =+，代入22y x =得2220y my --=，则2A B y y ⋅=-.（2）由（1）同理得2M N y y ⋅=-设直线AN 的方程为2x ny =+，代入22y x =得2240y ny --=，则4A N y y ⋅=- 又122222N A N A N A N A N A y y y y k y y x x y y --===-+-，同理22M B k y y =+ 则212222A N A N A NB M A N y y y y y y k k y y y y λ++=====--+-+ ∴存在实数2λ=，使得212k k =成立.。

圆锥曲线中的最值范围问题高三数学一轮复习

建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方
法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等．
巩固训练1
x2
[2024·江西上饶模拟]已知椭圆C： 2
a
y2
1
＝1(a>b>0)的离心率e＝，
b2
2
+
点F1，F2为椭圆C的左、右焦点且经过点F1(－c，0)的最短弦长为3.
(1)求椭圆C的方程；
高考大题研究课九圆锥曲线中的
最值、范围问题
会用直线与圆锥曲线、函数、不等式的有关知识解决最值、范围问
题，提高学生分析问题、解决问题的能力．
关键能力·题型剖析
题型一最值问题
x2
例1[2024·河北秦皇岛模拟]已知双曲线 2
a
y2
＝1(a>0，b>0)实轴的
b2
−
一个端点是P，虚轴的一个端点是Q，直线PQ与双曲线的一条渐近线
m + = 5，
2
m=4
m = 1，
解得
或
p=2
p = 8，
故抛物线方程为x2＝4y或x2＝16y.
(2)过焦点F直线l与抛物线交于M，N两点，若MN最小值为4，且
∠MAN是钝角，求直线斜率范围．
1
AB
1
的中点且斜率为－的直线与x轴交于点E，记μ＝
，若k∈[ ，2]，
k
求μ的取值范围．
DE
2
题后师说
解圆锥曲线中范围问题的策略
巩固训练2
[2024·吉林长春模拟]已知抛物线x2 ＝2py(p>0)焦点为F，点A(4，m)
在抛物线上，|AF|＝5.
(1)求抛物线方程；

圆锥曲线中的最值、范围问题2

则 x0＝x1＋2 x2＝1－＋33kkt2，y0＝kx0＋t＝1＋t3k2， ∴H－1＋3k3tk2，1＋t3k2. ∵|DP|＝|DQ|，∴DH⊥PQ，即 kDH＝－1k. ∴－1＋1＋t33kk3t2k＋2－20＝－1k，化简得 t＝1＋3k2，② 由①②得，1<t<4.综上，t∈(－2,4)．
F，
离心率为 2 ，过点 F 且垂直于长轴的弦长为 2 .
2
（I）求椭圆 C 的标准方程；
（II）设点 A，B 分别是椭圆的左、右顶点，若过点 P2,0的直线与椭圆相交于不同两点 M,N.
（i）求证： AFM BFN ；
（ii）求 MNF 面积的最大值.
解：（1） e c 2 , 又 2b2 2 ,所以 a 2,b 1.所以椭圆的标准方程为 x2 y2 1…………（4 分）
5．定值问题解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不随参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．
6．最值问题圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数不等式求最值、范围．因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理．

圆锥曲线中的最值、范围、证明问题

第九节圆锥曲线中的最值、范围、证明问题突破点(一) 圆锥曲线中的最值问题圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”利用几何性质求最值[例1] 设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( )A ．9,12B ．8,11C ．8,12D ．10,12[解析] 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|P A |＋|PB |＝2a ＝10，连接P A ，PB 分别与圆相交于两点，此时|PM |＋|PN |最小，最小值为|P A |＋|PB |－2R ＝8；连接P A ，PB 并延长，分别与圆相交于两点，此时|PM |＋|PN |最大，最大值为|P A |＋|PB |＋2R ＝12，即最小值和最大值分别为8,12.[答案] C[方法技巧]利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解，也叫做几何法．建立目标函数求最值本节主要包括3个知识点： 1.圆锥曲线中的最值问题； 2.圆锥曲线中的范围问题； 3.圆锥曲线中的几何证明问题.[例2] 已知△ABP 的三个顶点都在抛物线C ：x 2＝4y 上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，PF ＝3FM .(1)若|PF |＝3，求点M 的坐标； (2)求△ABP 面积的最大值．[解] (1)由题意知焦点F (0,1)，准线方程为y ＝－1. 设P (x 0，y 0)，由抛物线定义知|PF |＝y 0＋1，得y 0＝2，所以P (22，2)或P (－22，2)，由PF ＝3FM ，得M ⎝⎛⎭⎫－223，23或M ⎝⎛⎭⎫223，23. (2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4m ＝0. 于是Δ＝16k 2＋16m >0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ，所以AB 中点M 的坐标为(2k,2k 2＋m )．由PF ＝3FM ，得(－x 0,1－y 0)＝3(2k,2k 2＋m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－6k ，y 0＝4－6k 2－3m .由x 20＝4y 0得k 2＝－15m ＋415，由Δ>0，k 2≥0，得－13<m ≤43.又因为|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝41＋k 2·k 2＋m ，点F (0,1)到直线AB 的距离为d ＝|m －1|1＋k 2，所以S △ABP ＝4S △ABF ＝8|m －1|k 2＋m ＝16153m 3－5m 2＋m ＋1. 记f (m )＝3m 3－5m 2＋m ＋1⎝⎛⎭⎫－13<m ≤43，令f ′(m )＝9m 2－10m ＋1＝0，解得m 1＝19，m 2＝1，可得f (m )在⎝⎛⎭⎫－13，19上是增函数，在⎝⎛⎭⎫19，1上是减函数，在⎝⎛⎭⎫1，43上是增函数，又f ⎝⎛⎭⎫19＝256243>f ⎝⎛⎭⎫43＝59.所以当m ＝19时，f (m )取到最大值256243，此时k ＝±5515.所以△ABP 面积的最大值为2565135. [方法技巧](1)当题目中给出的条件有明显的几何特征，考虑用图象性质来求解．(2)当题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值．求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、单调性法、三角换元法等．利用基本不等式求最值[例3] 已知椭圆M ：x 2a 2＋y 23＝1(a >0)的一个焦点为F (－1,0)，左、右顶点分别为A ，B .经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点．(1)当直线l 的倾斜角为45°时，求线段CD 的长；(2)记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1－S 2|的最大值． [解] (1)由题意，c ＝1，b 2＝3，所以a 2＝4，所以椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1，易求直线方程为y ＝x ＋1，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝x ＋1，消去y ，得7x 2＋8x －8＝0，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，Δ＝288，x 1＋x 2＝－87，x 1x 2＝－87，所以|CD |＝2|x 1－x 2|＝ 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝247.(2)当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝－1，此时△ABD 与△ABC 面积相等，|S 1－S 2|＝0；当直线l 的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x ＋1)，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， Δ>0，且x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，此时|S 1－S 2|＝2||y 2|－|y 1||＝2|y 2＋y 1|＝2|k (x 2＋1)＋k (x 1＋1)|＝2|k (x 2＋x 1)＋2k |＝12|k |3＋4k 2，因为k ≠0，上式＝123|k |＋4|k |≤1223|k |·4|k |＝12212＝3当且仅当k ＝±32时等号成立，所以|S 1－S 2|的最大值为 3. [方法技巧](1)求最值问题时，一定要注意对特殊情况的讨论．如直线斜率不存在的情况，二次三项式最高次项的系数的讨论等．(2)利用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]如图所示，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA ＋OB ＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线C 的方程；(2)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4. 因为OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2－4)＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，k ＝2.所以直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线C 的方程为x 2＝－2y .(2)设P (x 0，y 0)，依题意，知抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP 的面积最大，又y ′＝－x ，所以－x 0＝2，故x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，所以P (－2，－2)．此时点P 到直线l 的距离d ＝|2×(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2＝45＝455.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，故x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝－4，所以|AB |＝1＋k 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋22×(－4)2－4×(－4)＝410. 所以△ABP 面积的最大值为410×4552＝8 2.2.[考点二]平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1，F 2.以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点．过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .①求|OQ ||OP |的值；②求△ABQ 面积的最大值．解析：(1)由题意知2a ＝4，则a ＝2. 又c a ＝32，a 2－c 2＝b 2，可得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1.①设P (x 0，y 0)，|OQ ||OP |＝λ，由题意知Q (－λx 0，－λy 0)．因为x 204＋y 20＝1，又(－λx 0)216＋(－λy 0)24＝1，即λ24⎝⎛⎭⎫x 204＋y 20＝1，所以λ＝2，即|OQ ||OP |＝2.②设A (x 1，y 1)，B (x 2, y 2)．将y ＝kx ＋m 代入椭圆E 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0，由Δ>0，可得m 2<4＋16k 2.(*)则有x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－161＋4k 2.所以|x 1－x 2|＝416k 2＋4－m 21＋4k 2.因为直线y ＝kx ＋m 与y 轴交点的坐标为(0，m )，所以△OAB 的面积S ＝12|m ||x 1－x 2|＝216k 2＋4－m 2|m |1＋4k 2＝2(16k 2＋4－m 2)m 21＋4k 2＝2⎝⎛⎭⎫4－m 21＋4k 2m 21＋4k 2.设m 21＋4k 2＝t .将y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，由Δ≥0，可得m 2≤1＋4k 2.(**) 由(*)(**)可知0<t ≤1，因此S ＝2(4－t )t ＝2－t 2＋4t ，故S ≤2 3. 当且仅当t ＝1，即m 2＝1＋4k 2时取得最大值2 3. 由①知，△ABQ 的面积为3S ，所以△ABQ 面积的最大值为6 3.3.[考点三]定圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆N 过点F (3，0)且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程；(2)设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且|AC |＝|BC |，当△ABC 的面积最小时，求直线AB 的方程．解析：(1)∵F (3，0)在圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16内， ∴圆N 内切于圆M . ∵|NM |＋|NF |＝4>|FM |，∴点N 的轨迹E 为椭圆，且2a ＝4，c ＝3，∴b ＝1， ∴轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①当AB 为长轴(或短轴)时，S △ABC ＝12|OC |·|AB |＝2.②当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为y ＝kx ，A (x A ，y A )，由题意，C 在线段AB 的中垂线上，则OC 的方程为y ＝－1kx .联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx得，x 2A ＝41＋4k 2，y 2A ＝4k 21＋4k 2，∴|OA |2＝x 2A ＋y 2A ＝4(1＋k 2)1＋4k 2.将上式中的k 替换为－1k ，可得|OC |2＝4(1＋k 2)k 2＋4.∴S △ABC ＝2S △AOC ＝|OA |·|OC |＝4(1＋k 2)1＋4k 2·4(1＋k 2)k 2＋4＝4(1＋k 2)(1＋4k 2)(k 2＋4). ∵(1＋4k 2)(k 2＋4)≤(1＋4k 2)＋(k 2＋4)2＝5(1＋k 2)2，∴S △ABC ≥85，当且仅当1＋4k 2＝k 2＋4，即k ＝±1时等号成立，此时△ABC 面积的最小值是85.∵2>85，∴△ABC 面积的最小值是85，此时直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .突破点(二) 圆锥曲线中的范围问题圆锥曲线中的范围问题是高考中的热点问题，常涉及不等式的恒成立问题、函数的值域问题，综合性比较强.解决此类问题常用几何法和判别式法.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”利用判别式构造不等关系求范围[例1] 已知A ，B ，C 是椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的三点，其中点A 的坐标为(23，0)，BC 过椭圆的中心，且AC ·BC ＝0，|BC |＝2|AC |. (1)求椭圆M 的方程；(2)过点(0，t )的直线l (斜率存在时)与椭圆M 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆M 与y 轴负半轴的交点，且|DP |＝|DQ |，求实数t 的取值范围．[解] (1)因为|BC |＝2|AC |且BC 过(0,0)，则|OC |＝|AC |.因为AC ·BC ＝0，所以∠OCA ＝90°，即C (3，3)．又因为a ＝23，设椭圆的方程为x 212＋y 212－c 2＝1，将C 点坐标代入得312＋312－c 2＝1，解得c 2＝8，b 2＝4.所以椭圆的方程为x 212＋y 24＝1.(2)由条件D (0，－2)，当k ＝0时，显然－2<t <2；当k ≠0时，设l ：y ＝kx ＋t ，⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 24＝1，y ＝kx ＋t ，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3t 2－12＝0 由Δ>0可得t 2<4＋12k 2，①设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 中点H (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3kt1＋3k 2，y 0＝kx 0＋t ＝t1＋3k 2，所以H ⎝⎛⎭⎫－3kt 1＋3k 2，t1＋3k 2，由|DP |＝|DQ |，所以DH ⊥PQ ，即k DH ＝－1k ，所以t1＋3k 2＋2－3kt 1＋3k 2－0＝－1k ，化简得t ＝1＋3k 2，②所以t >1，将②代入①得，1<t <4. 所以t 的范围是(1,4)．综上可得t ∈(1,2)．[方法技巧]圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．利用函数性质求范围[例2] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，过点M (1,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，|MA |＝λ|MB |，且当直线l 垂直于x 轴时，|AB |＝ 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若λ∈⎣⎡⎦⎤12，2，求弦长|AB |的取值范围．[解] (1)由已知e ＝22，得c a ＝22，又当直线垂直于x 轴时，|AB |＝2，所以椭圆过点⎝⎛⎭⎫1，22，代入椭圆方程得1a 2＋12b2＝1，∵a 2＝b 2＋c 2，联立方程可得a 2＝2，b 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)当过点M 的直线斜率为0时，点A ，B 分别为椭圆长轴的端点， λ＝|MA ||MB |＝2＋12－1＝3＋22>2或λ＝|MA ||MB |＝2－12＋1＝3－22<12，不符合题意． ∴直线的斜率不能为0.设直线方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程代入椭圆方程得：(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0，由根与系数的关系可得，⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－2mm 2＋2①，y 1y 2＝－1m 2＋2②，将①式平方除以②式可得：y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－4m 2m 2＋2，由已知|MA |＝λ|MB |可知，y 1y 2＝－λ，∴－λ－1λ＋2＝－4m 2m 2＋2，又知λ∈⎣⎡⎦⎤12，2， ∴－λ－1λ＋2∈⎣⎡⎦⎤－12，0， ∴－12≤－4m 2m 2＋2≤0，解得m 2∈⎣⎡⎦⎤0，27. |AB |2＝(1＋m 2)|y 1－y 2|2＝(1＋m 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2＋22＝8⎝⎛⎭⎫1－1m 2＋22， ∵m 2∈⎣⎡⎦⎤0，27， ∴1m 2＋2∈⎣⎡⎦⎤716，12，∴|AB |∈⎣⎡⎦⎤2，928. [方法技巧]利用函数性质解决圆锥曲线中求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的函数，通过求这个函数的值域确定目标的取值范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算方便，在建立函数的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多个变量化为单个变量即可，同时要特别注意变量的取值范围．1.[考点一]设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 24＋y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点，若P 是该椭圆上的一个动点，且1PF ·2PF 的最大值为1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝ky －1与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角(O 为坐标原点)，求k 的取值范围．解析：(1)易知a ＝2，c ＝4－b 2，b 2<4，所以F 1(－4－b 2，0)，F 2(4－b 2，0)，设P (x ，y )，则1PF ·2PF ＝(－4－b 2－x ，－y )·(4－b 2－x ，－y )＝x 2＋y 2－4＋b 2＝x 2＋b 2－b 2x 24－4＋b 2＝⎝⎛⎭⎫1－b 24x 2＋2b 2－4.因为x ∈[－2,2]，故当x ＝±2，即点P 为椭圆长轴端点时，1PF ·2PF 有最大值1，即1＝⎝⎛⎭⎫1－b24×4＋2b 2－4，解得b 2＝1. 故所求椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －1x 24＋y 2＝1得(k 2＋4)y 2－2ky －3＝0，Δ＝(－2k )2＋12(4＋k 2)＝16k 2＋48>0，故y 1＋y 2＝2kk 2＋4，y 1·y 2＝－3k 2＋4.又∠AOB 为锐角，故OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2>0，又x 1x 2＝(ky 1－1)(ky 2－1)＝k 2y 1y 2－k (y 1＋y 2)＋1，所以x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)y 1y 2－k (y 1＋y 2)＋1＝(1＋k 2)·－34＋k 2－2k 24＋k 2＋1＝－3－3k 2－2k 2＋4＋k 24＋k 2＝1－4k 24＋k 2>0，所以k 2<14，解得－12<k <12，故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，12. 2.[考点二]已知圆心为H 的圆x 2＋y 2＋2x －15＝0和定点A (1,0)，B 是圆上任意一点，线段AB 的中垂线l 和直线BH 相交于点M ，当点B 在圆上运动时，点M 的轨迹记为曲线C .(1)求C 的方程；(2)过点A 作两条相互垂直的直线分别与曲线C 相交于P ，Q 和E ，F ，求PE ·QF 的取值范围．解析：(1)由x 2＋y 2＋2x －15＝0，得(x ＋1)2＋y 2＝16，所以圆心为H (－1,0)，半径为4.连接MA ，由l 是线段AB 的中垂线，得|MA |＝|MB |，所以|MA |＋|MH |＝|MB |＋|MH |＝|BH |＝4，又|AH |＝2<4.根据椭圆的定义可知，点M 的轨迹是以A ，H 为焦点，4为长轴长的椭圆，所以a 2＝4，c 2＝1，b 2＝3，所求曲线C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由直线EF 与直线PQ 垂直，可得AP ·AE ＝AQ ·AF ＝0，于是PE ·QF ＝(AE －AP )·(AF －AQ )＝AE ·AF ＋AP ·AQ .①当直线PQ 的斜率不存在时，直线EF 的斜率为零，此时可不妨取P ⎝⎛⎭⎫1，32，Q ⎝⎛⎭⎫1，－32，E (2,0)，F (－2,0)，所以PE ·QF ＝⎝⎛⎭⎫1，－32·⎝⎛⎭⎫－3，32＝－3－94＝－214. ②当直线PQ 的斜率为零时，直线EF 的斜率不存在，同理可得PE ·QF ＝－214. ③当直线PQ 的斜率存在且不为零时，直线EF 的斜率也存在，于是可设直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)，P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，AP ＝(x P －1，y P )，AQ ＝(x Q －1，y Q )，则直线EF 的方程为y ＝－1k(x －1)．将直线PQ 的方程代入曲线C 的方程，并整理得，(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，所以x P ＋x Q ＝8k 23＋4k 2，x P ·x Q ＝4k 2－123＋4k 2.于是AP ·AQ ＝(x P －1)(x Q －1)＋y P ·y Q ＝(1＋k 2)[x P x Q －(x P ＋x Q )＋1] ＝(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1＝－9(1＋k 2)3＋4k 2.将上面的k 换成－1k ，可得AE ·AF ＝－9(1＋k 2)4＋3k 2，所以PE ·QF ＝AE ·AF ＋AP ·AQ ＝－9(1＋k 2)⎝⎛⎭⎫13＋4k 2＋14＋3k 2. 令1＋k 2＝t ，则t >1，于是上式化简整理可得，PE ·QF ＝－9t ⎝⎛⎭⎫14t －1＋13t ＋1＝－63t 212t 2＋t －1＝－63494－⎝⎛⎭⎫1t －122. 由t >1，得0<1t <1，所以－214<PE ·QF ≤－367.综合①②③可知，PE ·QF 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－214，－367.突破点(三) 圆锥曲线中的几何证明问题圆锥曲线中的几何证明问题多出现在解答题中，难度较大，多涉及线段或角相等以及位置关系的证明等.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”圆锥曲线中的几何证明问题[典例] 如图，圆C 与x 轴相切于点T (2,0)，与y 轴正半轴相交于两点M ，N (点M 在点N 的下方)，且|MN |＝3.(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一条直线与椭圆x 28＋y 24＝1相交于两点A ，B ，连接AN ，BN ，求证：∠ANM ＝∠BNM .[解] (1)设圆C 的半径为r (r >0)，依题意，圆心C 的坐标为(2，r )． ∵|MN |＝3，∴r 2＝⎝⎛⎭⎫322＋22，解得r 2＝254. ∴r ＝52，圆C 的方程为(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －522＝254. (2)证明：把x ＝0代入方程(x －2)2＋⎝⎛⎭⎫y －522＝254，解得y ＝1或y ＝4，即点M (0,1)，N (0,4)． ①当AB ⊥x 轴时，可知∠ANM ＝∠BNM ＝0.②当AB 与x 轴不垂直时，可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1. 联立方程 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 24＝1，消去y 得，(1＋2k 2)x 2＋4kx －6＝0.设直线AB 交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－61＋2k 2. ∴k AN ＋k BN ＝y 1－4x 1＋y 2－4x 2＝kx 1－3x 1＋kx 2－3x 2＝2kx 1x 2－3(x 1＋x 2)x 1x 2.若k AN ＋k BN ＝0，则∠ANM ＝∠BNM . ∵2kx 1x 2－3(x 1＋x 2)＝－12k 1＋2k 2＋12k1＋2k 2＝0， ∴∠ANM ＝∠BNM .1．设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，M 是椭圆上任意一点，且△MF 1F 2的周长是4＋2 3.(1)求椭圆C 1的方程；(2)设椭圆C 1的左、右顶点分别为A ，B ，过椭圆C 1上的一点D 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，若点C 满足AB ⊥BC ，AD ∥OC ，连接AC 交DE 于点P ，求证：PD ＝PE .解析：(1)由e ＝32，知c a ＝32，所以c ＝32a ，因为△MF 1F 2的周长是4＋23，所以2a ＋2c ＝4＋23，所以a ＝2，c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 1的方程为：x 24＋y 2＝1.(2)证明：由(1)得A (－2,0)，B (2,0)，设D (x 0，y 0)，所以E (x 0,0)，因为AB ⊥BC ，所以可设C (2，y 1)，所以AD ＝(x 0＋2，y 0)，OC ＝(2，y 1)，由AD ∥OC 可得：(x 0＋2)y 1＝2y 0，即y 1＝2y 0x 0＋2.所以直线AC 的方程为：y 2y 0x 0＋2＝x ＋24. 整理得：y ＝y 02(x 0＋2)(x ＋2)．又点P 在DE 上，将x ＝x 0代入直线AC 的方程可得：y ＝y 02，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，y 02，所以P 为DE 的中点，所以PD ＝PE .2．已知点A (－4,0)，直线l ：x ＝－1与x 轴交于点B ，动点M 到A ，B 两点的距离之比为2.(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)设C 与x 轴交于E ，F 两点，P 是直线l 上一点，且点P 不在C 上，直线PE ，PF 分别与C 交于另一点S ，T ，证明：A ，S ，T 三点共线．解析：(1)设点M (x ，y )，依题意，|MA ||MB |＝(x ＋4)2＋y 2(x ＋1)2＋y 2＝2，化简得x 2＋y 2＝4，即轨迹C 的方程为x 2＋y 2＝4. (2)证明：由(1)知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝4，令y ＝0得x ＝±2，不妨设E (－2，0)，F (2,0)，如图所示．设P (－1，y 0)，S (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)，则直线PE 的方程为y ＝y 0(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 0(x ＋2)，x 2＋y 2＝4得(y 20＋1)x 2＋4y 20x ＋4y 20－4＝0，所以－2x 1＝4y 20－4y 20＋1，即x 1＝2－2y 20y 20＋1，y 1＝4y 0y 20＋1.直线PF 的方程为y ＝－y 03(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－y 03(x －2)，x 2＋y 2＝4得(y 20＋9)x 2－4y 20x ＋4y 20－36＝0，所以2x 2＝4y 20－36y 20＋9，即x 2＝2y 20－18y 20＋9，y 2＝12y 0y 20＋9.所以k AS ＝y 1x 1＋4＝4y 0y 20＋12－2y 20y 20＋1＋4＝2y 0y 20＋3， k AT ＝y 2x 2＋4＝12y 0y 20＋92y 20－18y 20＋9＋4＝2y 0y 20＋3，所以k AS ＝k AT ，所以A ，S ，T 三点共线．[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解析：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1.从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1. 所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0.所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．解析：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1，由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3.所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧x ＝433，y ＝－33，或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝⎛⎭⎫－533＜n ＜3，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0. 于是x 3,4＝－2n ±2(9－n 2)3.因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2. 由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2.当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863.所以四边形ACBD 面积的最大值为863.[课时达标检测] 难点增分课时——设计3级训练，考生据自身能力而选一、全员必做题1．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F 2(1,0)，且该椭圆过定点M ⎝⎛⎭⎫1，22.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点Q (2,0)，过点F 2作直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，且2F A ＝λ2F B ，λ∈[－2，－1]，以QA ，QB 为邻边作平行四边形QACB ，求对角线QC 长度的最小值．解析：(1)由题易知c ＝1，1a 2＋12b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，解得b 2＝1，a 2＝2，故椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线l ：x ＝ky ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，x 22＋y 2＝1得(k 2＋2)y 2＋2ky －1＝0， Δ＝4k 2＋4(k 2＋2)＝8(k 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则可得y 1＋y 2＝－2k k 2＋2，y 1y 2＝－1k 2＋2.QC ＝QA ＋QB ＝(x 1＋x 2－4，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4(k 2＋1)k 2＋2，－2k k 2＋2，∴|QC |2＝|QA ＋QB |2＝16－28k 2＋2＋8(k 2＋2)2，由此可知，|QC |2的大小与k 2的取值有关．由2F A ＝λ2F B 可得y 1＝λy 2，λ＝y 1y 2，1λ＝y 2y 1(y 1y 2≠0)．从而λ＋1λ＝y 1y 2＋y 2y 1＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2y 1y 2＝－6k 2－4k 2＋2，由λ∈[－2，－1]得⎝⎛⎭⎫λ＋1λ∈⎣⎡⎦⎤－52，－2，从而－52≤－6k 2－4k 2＋2≤－2，解得0≤k 2≤27. 令t ＝1k 2＋2，则t ∈⎣⎡⎦⎤716，12，∴|QC |2＝8t 2－28t ＋16＝8⎝⎛⎭⎫t －742－172， ∴当t ＝12时，|QC |min ＝2.2.已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3. (1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．解析：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p2.因为|AF |＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r. 因为点A(2，m)在抛物线E ：y2＝4x 上，所以m ＝±2 2.由抛物线的对称性，不妨设A(2,22)．由A(2,22)，F(1,0)可得直线AF 的方程为 y ＝22(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝22x －1，y2＝4x ，得2x2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G(－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0，从而r ＝|22＋22|8＋9＝4 217 .又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0，所以点F 到直线GB 的距离 d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r.这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．3．已知中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆C ，其上一点P 到两个焦点F 1，F 2的距离之和为4，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋1与曲线C 交于A ，B 两点，求△OAB 面积的取值范围．解析：(1)设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，e ＝c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，c ＝3，b ＝1，故椭圆C 的方程为y 24＋x 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4，设△OAB 的面积为S ，由x 1x 2＝－3k 2＋4<0，知S ＝12×1×|x 1－x 2|＝12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2k 2＋3(k 2＋4)2，令k 2＋3＝t ，知t ≥3， ∴S ＝21t ＋1t＋2. 对函数y ＝t ＋1t (t ≥3)，知y ′＝1－1t 2＝t 2－1t 2>0，∴y ＝t ＋1t 在t ∈[3，＋∞)上单调递增，∴t ＋1t ≥103，∴0<1t ＋1t＋2≤316，∴0<S ≤32. 故△OAB 面积的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，32. 二、重点选做题1．过离心率为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (1,0)作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，设|F A |＝λ|FB |，T (2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若1≤λ≤2，求△ABT 中AB 边上中线长的取值范围．解析：(1)∵e ＝22，c ＝1，∴a ＝2，b ＝1，即椭圆C 的方程为：x 22＋y 2＝1.(2)①当直线的斜率为0时，显然不成立． ②设直线l ：x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－2＝0，x ＝my ＋1得(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0，则y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2，由|F A |＝λ|FB |，得y 1＝－λy 2， ∵－λ＋1－λ＝y 1y 2＋y 2y 1，∴－λ＋1－λ＋2＝(y 1＋y 2)2y 1y 2＝－4m 2m 2＋2，∴m 2≤27，又∵AB 边上的中线长为12 |TA ＋TB |＝12(x 1＋x 2－4)2＋(y 1＋y 2)2＝4m 4＋9m 2＋4(m 2＋2)2＝ 2(m 2＋2)2－7m 2＋2＋4∈⎣⎡⎦⎤1，13216.2．如图所示，已知直线l 过点M (4,0)且与抛物线y 2＝2px (p ＞0)交于A ，B 两点，以弦AB 为直径的圆恒过坐标原点O .(1)求抛物线的标准方程；(2)设Q 是直线x ＝－4上任意一点，求证：直线QA ，QM ，QB 的斜率依次成等差数列．解析：(1)设直线l 的方程为x ＝ky ＋4，代入y 2＝2px 得y 2－2kpy －8p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 1＋y 2＝2kp ，y 1y 2＝－8p ，而AB 为直径，O 为圆上一点，所以OA ·OB ＝0，故0＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ky 1＋4)(ky 2＋4)－8p ＝k 2y 1y 2＋4k (y 1＋y 2)＋16－8p ，即0＝－8k 2p ＋8k 2p ＋16－8p ，得p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .(2)设Q (－4，t )由(1)知y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－16，所以y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k 2＋32.因为k QA ＝y 1－t x 1＋4＝y 1－t y 214＋4＝4(y 1－t )y 21＋16，k QB ＝y 2－t x 2＋4＝y 2－t y 224＋4＝4(y 2－t )y 22＋16，k QM ＝t －8，所以k QA ＋k QB ＝4(y 1－t )y 21＋16＋4(y 2－t )y 22＋16＝4×(y 1－t )(y 22＋16)＋(y 2－t )(y 21＋16)(y 21＋16)(y 22＋16)＝4×y 1y 22＋16y 1－ty 22－16t ＋y 2y 21＋16y 2－ty 21－16t y 21y 22＋16(y 21＋y 22)＋16×16＝－t (y 21＋y 22)－32t 8×16＋4(y 21＋y 22)＝－t (16k 2＋32)－32t 8×16＋4(16k 2＋32) ＝－t 4＝2k QM . 所以直线QA ，QM ，QB 的斜率依次成等差数列．三、冲刺满分题1.已知椭圆C ：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的离心率为32，与坐标轴不垂直且不过原点的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B (如图所示)，过AB 的中点M 作垂直于l 1的直线l 2，设l 2与椭圆C 相交于不同的两点C ，D ，且CN ＝12CD . (1)求椭圆C 的方程；(2)设原点O 到直线l 1的距离为d ，求d |MN |的最大值．解析：(1)依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，c 2＝a 2－b 2，解得b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设直线l 1：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－8mk 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.故M ⎝⎛⎭⎫－4mk 1＋4k 2，m 1＋4k 2. l 2：y －m 1＋4k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x ＋4mk 1＋4k 2，即y ＝－1k x －3m 1＋4k 2.由⎩⎨⎧ y ＝－1k x －3m 1＋4k 2，x 24＋y 2＝1，得⎝⎛⎭⎫1＋4k 2x 2＋24m k (1＋4k 2)x ＋36m 2(1＋4k 2)2－4＝0，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则x 3＋x 4＝－24mk (1＋4k 2)(k 2＋4)，故N ⎝⎛⎭⎫－12mk (1＋4k 2)(k 2＋4)，－3mk 2(1＋4k 2)(k 2＋4). 故|MN |＝|x M －x N | 1＋1k 2＝4|m |(k 2＋1)k 2＋1(1＋4k 2)(k 2＋4). 又d ＝|m |1＋k 2，所以d |MN |＝(1＋4k 2)(k 2＋4)4(k 2＋1)2. 令t ＝k 2＋1(t >1)，则d |MN |＝4t 2＋9t －94t 2＝－94t 2＋94t ＋1＝－94⎝⎛⎭⎫1t －122＋2516≤2516(当且仅当t ＝2时取等号)，所以d |MN |的最大值为2516. 2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝6，直线y ＝kx 与椭圆交于A ，B 两点．(1)若△AF 1F 2的周长为16，求椭圆的标准方程；(2)若k ＝24，且A ，B ，F 1，F 2四点共圆，求椭圆离心率e 的值； (3)在(2)的条件下，设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，且直线P A 的斜率k 1∈(－2，－1)，试求直线PB 的斜率k 2的取值范围．解析：(1)由题意得c ＝3，根据2a ＋2c ＝16，得a ＝5. 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝25，b 2＝16.所以椭圆的方程为x 225＋y 216＝1. (2)法一：由⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝24x ，得⎝⎛⎭⎫b 2＋18a 2x 2－a 2b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．所以x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a 2b 2b 2＋18a 2，由AB ，F 1F 2互相平分且共圆，易知，AF 2⊥BF 2，因为2F A ＝(x 1－3，y 1)，2F B ＝(x 2－3，y 2)，所以2F A ·2F B ＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫1＋18x 1x 2＋9＝0. 即x 1x 2＝－8，所以有－a 2b 2b 2＋18a 2＝－8，结合b 2＋9＝a 2，解得a 2＝12(a 2＝6舍去)，所以离心率e ＝32.(若设A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)相应给分) 法二：设A (x 1，y 1)，又AB ，F 1F 2互相平分且共圆，所以AB ，F 1F 2是圆的直径，所以x 21＋y 21＝9，又由椭圆及直线方程综合可得：⎩⎨⎧ x 21＋y 21＝9，y 1＝24x 1，x 21a 2＋y 21b 2＝1.由前两个方程解得x 21＝8，y 21＝1，将其代入第三个方程并结合b 2＝a 2－c 2＝a 2－9，解得a 2＝12，故e ＝32. (3)由(2)的结论知，椭圆方程为x 212＋y 23＝1，由题可设A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，k 1＝y 0－y 1x 0－x 1，k 2＝y 0＋y 1x 0＋x 1，所以k 1k 2＝y 20－y 21x 20－x 21，又y 20－y 21x 20－x 21＝3⎝⎛⎭⎫1－x 2012－3⎝⎛⎭⎫1－x 2112x 20－x 21＝－14，即k 2＝－14k 1，由－2＜k 1＜－1可知，18＜k 2＜14. 即直线PB 的斜率k 2的取值范围是⎝⎛⎭⎫18，14.。

圆锥曲线的最值和范围问题

距离等于 3 ，抛物线 E: y2 2 px( p 0) 焦点与双曲线 C 的右焦点重合，则抛物线上的动点 M 到直 4
线: l1 : 4x 3y 6 0,l2 : x 1 的距离之和的最小值为
．
【答案】2
【解析】双曲线的渐近线方程为 y x ，右顶点 a, 0 到其一条渐近线的距离等于
(x 2)2 ( y 1)2 (x 2)2 ( y 4)2
1 , 化简得 x 22
4
y2
4
| |
PA PB
| |
1 2
，则 |
PA
|
1 2
|
PB
|
设 F (1, 0), 则由抛物线的定义可得 | QH || QF |
1 PB PQ QH PA PQ QF AF 10, 当且仅当 A, P, Q, F 四点共线时取等号， 2
1 PB PQ QH 的最小值为 2
10
故答案为： x 22 y2 4 ; 10 .
【点睛】本题考查了抛物线的定义及几何性质，同时考查了阿氏圆定义的应用．还考查了学生利用转化思
想、方程思想等思想方法解题的能力．难度较大．
例
2、（2020
年成都市外国语实验学校高三二诊模拟
12
题）已知点
P
在离心率为
2
的双曲线
x2 a2
y2 b2
1的
左支上， A(0, 4 3) ，F 是双曲线的右焦点，若 PAF 周长的最小值是 20，则此时 PAF 的面积为（）
A． 6 3
B．10 3
C．14 3
D．18
【答案】B
【解析】首先由双曲线的定义可知 PAF 周长的最小值等于 AF1 AF 2a ，再根据离心率的值可求出双曲线方程，求出直线 AF1 与双曲线联立即可求出 P 点的坐标，最后利用 SPAF SAF1F SPF1F 即可求出面积.

圆锥曲线中最值、范围、定值及存在性问题

法、函数法、不等式法．几何法是根据图形几何性质
求解的方法；函数法是指将所求变量表示成某个相
关变量的函数，再求函数的最值；不等式法是根据
曲线性质及条件建立一个关于所求变量的不等式，
再解不等式求其最值的方法．
参考文献
刘清源．构建高效教学探求数学本质— — 如何解好三角形［Ｊ］．数学教学与研究，２０１１（３６）：７８—７９．［２］覃埋基．一类解三角形问题的另一解法［Ｊ］．数学通讯，２００３（１２）：９．
圆锥曲线中最值、范围、定值及存在性问题
·３５ ·
显然 △＝（３ｍ）一４×３（ｍ一３）＝３（１２一ｍ）＞０，
故
一１２＜ｍ＜￣／／ｌ２且ｍ≠Ｏ．
由韦达定理，得
ｍ一３
Ｘａ＋ｘＢｍ，ＹＡ＋ＹＢ丁 ’
因此ｌＡＢｌ＝ｖ／１＋ｋＡＢＩＡ一ＢＩ＝
【
＝
பைடு நூலகம்
·
又因为点Ｐ（２，１）到直线Ｚ的距离为
●Ｊ寞金龙（绍兴市第一中学浙江绍兴３１２０００）
１考点回顾
圆锥曲线中最值、范围、定值及存在性问题是历年高考命题的热点之一．此类问题涉及的知识面
广、综合性大、隐蔽性强、计算量大，常常令考生头
疼．解决此类问题常常要用到数学思想方法，有时
【△＝（一４ｍ）一４（ｍ＋３）＞０，
解得

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高考专题圆锥曲线中的最值和范围问题★★★高考要考什么1 圆锥曲线的最值与范围问题 (1)圆锥曲线上本身存在的最值问题： ①椭圆上两点间最大距离为2a (长轴长)．②双曲线上不同支的两点间最小距离为2a (实轴长)．③椭圆焦半径的取值范围为[a －c ，a ＋c ]，a －c 与a ＋c 分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离．④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近．(2)圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题解决，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求解．(3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法．(4)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理． (5)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解．与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。

（4）利用代数基本不等式。

代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。

直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。

因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；（6）构造一个二次方程，利用判别式∆≥0。

★★★突破重难点【练习】1、点A （3，2）为定点，点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在抛物线y 2=4x 上移动，若|P A|+|PF|取得最小值，求点P 的坐标。

若A （1，3）为定点，点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在抛物线y 2=4x 上移动，若|P A|+d|取得最小值，其中d 是点P 到准线的距离，求点P 的坐标2．已知A （3，2）、B （－4，0），P 是椭圆x y 222591+=上一点，则|P A |＋|PB|的最大值为（ C ） A ．10 B ．105- C ．105+ D ．1025+3．已知双曲线221169x y -=，过其右焦点F 的直线l 交双曲线于AB ，若|AB |=5，则直线l 有（ B ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条4．已知点P 是抛物线y 2=4x 上一点，设P 到此抛物线的准线的距离为d 1, 到直线x +2y+10=0的距离为d 2,则d 1+d 2的最小值为（ C ）A ．5B ．4 C．5（D ）115. 5．抛物线y 2=2x 上到直线x-y +3=0距离最短的点的坐标为__________ 21(，1）例题1、若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析设P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，即y 20＝3－3x 204，又因为F (－1,0)，所以OP →·FP →＝x 0·(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2，又x 0∈[－2,2]，即OP →·FP →∈[2,6]，所以(OP →·FP →)max ＝6.练习、已知点M (-2，0)，N (2,0)，动点P满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值. 解：（Ⅰ）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，所求方程为：22x y 122－＝（x >0）（Ⅱ）当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝x 0，此时A （x 0，B （x 0），OA OB ⋅＝2 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，代入双曲线方程22x y 122－＝中，得：(1－k 2)x 2－2kbx －b 2－2＝0依题意可知方程1︒有两个不相等的正数根，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则2222122212244(1)(2)0201201k b k b kb x x k b x x k ⎧⎪∆=--•--≥⎪⎪+=>⎨-⎪⎪+=>⎪-⎩解得|k |>1，又OA OB ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋（kx 1＋b ）（kx 2＋b ）＝（1＋k 2）x 1x 2＋kb （x 1＋x 2）＋b 2＝2222k 242k 1k 1＋＝＋－－>2 综上可知OA OB ⋅的最小值为2 （2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解：(1)设F (c ，0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当l ⊥x 轴时不合题意，故可设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0，例题2、已知动点Q 与两定点(－2，0)，(2，0)连线的斜率的乘积为－12，点Q 形成的轨迹为M .(1)求轨迹M 的方程；(2)过点P (－2,0)的直线l 交M 于A ，B 两点，且PB →＝3PA →，平行于AB 的直线与M 位于x 轴上方的部分交于C ，D 两点，过C ，D 两点分别作CE ，DF 垂直x 轴于E ，F 两点，求四边形CEFD 面积的最大值．解 (1)设Q (x ，y )，则y x ＋2·yx －2＝－12(x ≠±2)，化简得轨迹M 的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠±2)．(2)由(1)知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝my －2，代入椭圆方程得(m 2＋2)y 2－4my ＋2＝0， Δ＝8(m 2－2)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m m 2＋2，①y 1y 2＝2m 2＋2.② 由PB →＝3PA →得，y 2＝3y 1.③ 由①②③可得m 2＝4.经检验，满足Δ>0.不妨取m ＝2，设直线CD 的方程为x ＝2y ＋n ，代入椭圆方程得6y 2＋4ny ＋n 2－2＝0，Δ＝8(6－n 2)，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－23n ，y 3y 4＝n 2－26，又由已知及Δ>0，可得2<n 2<6. 又|x 3－x 4|＝2|y 3－y 4|＝212－2n23，则S 四边形CEFD ＝12|y 3＋y 4||x 3－x 4|＝229n26－n2≤229×62＝223，当且仅当n 2＝3时等号成立．所以四边形CEFD 面积的最大值为223.例题3、如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D . (1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y ＝kx －1. 又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离d ＝1k 2＋1，所以|AB |＝24－d 2＝24k 2＋3k 2＋1. 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4.消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0，故x 0＝－8k4＋k 2. 所以|PD |＝8k 2＋14＋k 2. 设△ABD 的面积为S ，则S ＝12|AB |·|PD |＝84k 2＋34＋k2，所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝161313，当且仅当k ＝±102时取等号．所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1.【例4】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点23(,)22A -，离心率为22，点12,F F 分别为其左右焦点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若24y x =上存在两个点,M N ，椭圆上有两个点,P Q 满足2,,M N F 三点共线，2,,P Q F 三点共线，且PQ MN ⊥，求四边形PMQN 面积的最小值．当直线MN 斜率存在时，设直线方程为：(1)(0)y k x k =-≠ 与24y x =联立得2222(24)0k x k x k -++=，令1122(,),(,)M x y N x y ，则1212242,1x x x x k+=+=， 2222441(1)44MN k k k=++-=+ ∵PQ MN ⊥，∴直线PQ 的方程为：1(1)y x k=--，将直线与椭圆联立得，222(2)4220k x x k +-+-=，令23344341222422(,),(,),,22k P x y Q x y x x x x k k-+==++，由弦长公式222222142222(1)1()422k k PQ kk k -+=+-=++，∴四边形PMQN 的面积 2222142(1)2(2)k S MN PQ k k +==+，令21(1)t k t =+>，上式 22224242142(1)42(1)(1)11t t S t t t t ===+>-+-- 所以42S ≥42,例题5，已知椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。