第四章摩擦
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第四章 摩 擦
本章将讨论与研究物体的接触面不是光滑 的情况
按接触物间的相对运动情况
滑动摩擦
滚动摩擦 干摩擦 湿摩擦
按接触物间是否有润滑剂
本章只研究干摩擦时物体的平衡问题
§4-1 滑动摩擦
两个表面粗糙的物体，当其接触面之间具有相对 滑动趋势或相对滑动时，彼此之间作用着阻碍对 方相对滑动的阻力，这力称为摩擦力。 摩擦力的三要素： 1、作用于两物体的相互接触处 2、方向与相对滑动的趋势或相对滑动的 方向相反 3、大小由主动力决定（摩擦力为被动力） 根据研究物体的相对滑动趋势、平衡的临界状态 和滑动这三种情况，摩擦力可分为静滑动摩擦力、 最大静滑动摩擦力和动滑动摩擦力。
d
M a
a
F
列平衡方程 ∑Fx = 0，NA － NB = 0 ∑Fy= 0，F－FA － FB = 0 ∑MD ( F ) = 0，
(1) (2)
A
NA
FA D
NB (3)
b B d FB
F · － NB · + FA · － FB · = 0 a b d/2 d/2 补充： F A = f s NA (4) F B = f s NB (5)
a F
由式(1)、(4)和(5) 得： FA = FB = F max = f s NB = f s NA 代入式(2)和(3)得： F = 2 F max (6) NA = NB = F / ( 2 fs ) (7) F · － NB · = 0 a b (8) b 式(7)代入(8)得： a极限 2 fs
得：
例4-1讨 论
sin f s cos sin f s cos P F1 P cos f s sin cos f s sin
若不计摩擦，即f s = 0 前面解得的结果就退化为唯一答案 F1 = P tan α 这与直接用平衡条件求解同。 特别注意： 从补充方程 F max = f s N 可见，由于f s是正系 数，而N方向恒确定，导致N符号永正，这意 味着F max 总是正值。换言之， F max 方向确定， 绝不可随意画。
实验测定摩擦系数
将要测定的两种材料分别做成斜面和物块。
实验测定摩擦系数说明
FR
F
由于物块仅受重力和全约束反力的作用而平衡，所以 F和FR 等值、反向、共线。 全约束反力与法线的夹角也正是平板与水平面的夹角 。 当物块处于临界状态时， = 。 算得摩擦系数 f s = tan = tan
2．最大静滑动摩擦力
静摩擦力Fs 的大小随着主动力F 的增大而增大这 是静摩擦力和一般约束反力的共同特性。 静摩擦力Fs 又与一般约束反力不同，它并不随 主动力 F 的增大而无限增大，当 F 的大小达到某一 数值时，物块处于平衡的临界状态（物块将滑还未 滑），这时的Fs 达到最大值——最大静摩擦力，以 Fmax 表示。如果 F 再增大， Fs 不再增大，显然 0 ≤ Fs ≤ Fmax 由库仑定理 Fmax = f s N f s —— 静摩擦系数
在固定平面上放置一个重 P，半径为 r 的圆轮， 在轮心处施加一个水平力Q，摩擦力 Fs 阻止轮滑动 Q 与 Fs 组成一力偶使轮转动,但实际轮当 Q 不大时并不动。 滚动摩阻理论认为，轮在重力和水平力的共同作用 下，与轮相接触的平面并非刚性，有变形。 将分布力向A点简化，得到一个力 R 和一个力偶，力 偶矩为M。力 FR 分解成摩擦力 Fs 和约束反力 N 正是这个矩为 M 的力偶阻碍了轮的滚动。
滚动摩阻
P Q Fs N M Fs P Q N N’ Mmax
d
滚动摩阻力偶矩 M 随主动力矩的增加而增加，当平衡 临界状态，其到达最大值，称为最大滚动摩阻力偶矩， 记作Mmax。显然， 0 M Mmax 滚动摩阻定理： Mmax = · N —— 滚动摩阻系数，具有长度单位，一般用mm。 滚阻系数的物理意义：将平衡临界状态下的N和Mmax根 据力线平移定理，简化成一个力N’， M d max N’作用线距中心线的距离 显然， = d N
物块重为 P，放在倾角为α的斜面上，它与斜 面间的摩擦系数为 fs，当物体处于平衡时，求水平力 F1 的大小。 y x 解：经验表明水平力过大， F1max 物块上滑，而水平力太小， 重力又可能导致物块下滑。 FmaxLeabharlann Baiduα 1、物块上滑时的临界状态 N P 受力分析如图。
∑Fx = 0， F1max cos α － P sin α － Fmax = 0 ∑Fy = 0，F1max sin α + P cos α － N = 0 （1） （2）
1．静滑动摩擦力
在粗糙平面上，放 置一个物块。 物块重P，法向反力 为N，物块平衡。 在物块上作用一个 大小可变的水平拉力F
FN
F
Fs
P
物块仍保持平衡，这是因为还有一个接触面阻 碍物块向右水平运动的切向力——静摩擦力。 静摩擦力作用于平面与物块的接触处、方向与物 块的滑动趋势相反、大小由平衡条件确定，即 ∑Fx = 0 ，F － Fs = 0 → Fs = F 静摩擦力Fs的大小随着主动力F的增大而增大
结果分析
① 由式(8)， F · － NB · = 0 a b 可见，当 b 和 F 大小确定时，a 与 NB 成正比，即 a 大 NB 大，最大摩 擦力也大，推杆不动； a 小 NB 小，也就是 F max 减小。 ② 由式(2)， F－FA － FB =0 可得 F = FA + FB = 常数
A
NA
FA
NB
b B d FB
a F
① 告诉我们 a 小 NB 小，也就是 F max 减小。②又告诉我 们 FA 和 FB 之和不变，这就可能导致 最大摩擦力小于摩擦 力的矛盾结果。 b 所以当 a 2 fs 时，推杆不会被卡住。
§4-4 滚动摩阻的概念
P Q Fs N FR M P Q Fs N M P Q
2、自锁现象
如果作用于物块的全部主动 力合力 F 的作用线落在摩 擦角之内，则无论此合力多 大，物块必保持静止。这种 现象称为自锁现象 这是因为在此情况下，主动 力F和接触面法线间的夹角 必有全约束反力FR与之相平 衡，且 = 利用自锁原理可设计一些机构， 使它们始终保持平衡，如千斤 顶等。
本章小结
1、 摩擦现象分为滑动摩擦和滚动摩阻两类。 2、 滑动摩擦力是在两个物体相互接触的表面之间有相 对滑动趋势或有相对滑动时出现的阻力。前者称为 静滑动摩擦力，后者称为动滑动摩擦力。 （1）静摩擦力的方向与接触面间相对滑动趋势的方向相 反，它的大小随主动力改变，根据平衡方程确定。 当物块处于平衡的临界状态（物块将滑还未滑）， 这时的静摩擦力Fs 达到最大值——最大静摩擦力。 静摩擦力必满足 0 ≤ Fs ≤ Fmax F max = f s N 其中 f s 为静摩擦系数， N 为法向约束反力。 （2）动摩擦力的方向与接触面间的相对滑动的速度方向 相反，其大小为 F=f N 其中 f 为静摩擦系数， N 为法向约束反力。
对有粗糙表面物体的平衡问题的研究与前几章 基本相同，但需注意： （1）受力分析时，还需要考虑静摩擦力Fs （2）列出补充方程 Fs≤f s N （3）由于Fs 需满足 0≤ Fs ≤f s N，所以，问题 的解往往有一定的范围。 上面的注意（1）说明分析时增加了未知量； 而注意（2）又增加了与新增Fs个数相同的方程 数，从而使问题有解； 注意（3）又告诉我们，问题中可能有最大值和 最小值问题。
A
凸轮机构如图， f s和b已知，凸轮与推杆 接触处摩擦忽略。问 a 为多大，推杆才不至于 被卡住。
解： 取推杆为研究对象，受力 分析。 考虑平衡的临界状态，即 推杆有向上的运动趋势， 将动还未动，此时A、B 两点的摩擦力都达到最大 值，方向向下。
A FA NB NA b B d FB
例4-2
b
B
物块平衡时，静摩擦力可以 在 0 到 Fmax范围内变化，所 以全约束反力作用线和接触 面法线间的夹角必满足： 0≤ ≤ 全约束反力必在摩擦角之内。
FR
N
Fmax
当物块的滑动趋势方向改变时，全约束反力作用线的 方位也随之改变。同样 全约束反力必在摩擦锥之内。 摩擦角与摩擦因数一样，都是表示材料的表面性质的量
3、全约束反力的作用线与支承面的公法线的夹角的 最大值 称为摩擦角
Fmax fs N tan fs N N
当主动力的合力作用线落在摩擦角内时发生自锁。
4、物体滚动时会受到阻碍滚动的滚动摩阻力偶的作用。 滚动摩阻力偶矩 M 随主动力矩的增加而增加，变化的 范围为 0 M Mmax 滚动摩阻定理： Mmax = · N —— 滚动摩阻系数，具有长度单位，一般用mm。 N —— 接触面的法向反力。
2、考虑物块下滑时的 临界状态
F’max
α
P
∑Fx = 0， F1min cos α － P sin α + F’max = 0 ∑Fy = 0， F1min sin α + P cos α － N = 0
N
（4） （5）
补充： F’max = f s N 式(6)代入式(4) + f s ×(5)式 ,即
摩 擦 锥
FR
N
FR N
Fmax
Fmax
摩擦角的正切等于静摩擦系数。 当物块的滑动趋势方向改变时，全约束反力作用线 的方位也随之改变。 在临界状态下， 全约束反力 FR 作用线画出的一个以接触点为顶点的锥面称为摩擦锥。
Fmax fs N tan fs N N
全约束反力和摩擦角
N
F
Fs
f s需通过实验测定，影响其的因素很复杂。
P
3．动滑动摩擦力
N F Fd P
当静滑动摩擦力已经达到最大值，若再增大主 动力F，接触面之间将出现相对滑动。
接触面之间仍作用有阻碍物块滑动的阻力。
称为动摩擦力，以Fd 表示。 实验表明 Fd =f N f 为动摩擦系数 一般情况下， f < f s
例4-1
补充： F max = fs N 式(3)代入式(1) － fs ×(2)式 ,即
F1max (cos α － fs sin α ) －P (sin α + fs cos α) = 0
（3）
得：
F1max
sin f s cos P cos f s sin
y
x
F1min
§4-2 摩擦角和自锁现象
FR
N
FR
N
Fs
Fmax
1、摩擦角
支承面对平衡物块的法向约束反力和切向约束反力 的合力 FR = N + Fs 称为支承面的全约束反力。 全约束反力的作用线与支承面的公法线的夹角为 当物块处于临界状态，静摩擦力达到最大值，此时全约 束反力的作用线与支承面的公法线的夹角的最大值 称 为摩擦角
F
FR
F
如果全部主动力的合 力 F 的作用线落在摩擦角 之外，则无论这个力如何 小，只要它不等于零，物 块就一定会滑动。 因为在此情况下， 主动力 F 和接触面法线 间的夹角 > 。 而 ，即支承面 的全约束反力必须落在摩擦 角内，无法与 F 平衡。
FR
斜面的自锁条件
由前面的分析可知，斜面的自锁(不下滑）条件是：
斜面的自锁条件也是螺 纹自锁的条件。 这是因为螺纹可看作是 绕在一个圆柱上的斜面。 螺母相当于放置在斜面 上的滑块 施于螺母上的轴向载荷 相当于物块的重力 螺纹升角 就是斜面的 倾角 。
R FR
P
§4-3 考虑摩擦时的物体平衡问题
F1min (cos α + f s sin α ) －P (sin α － f s cos α) = 0
（6）
sin f s cos F1min P cos f s sin sin f s cos sin f s cos 最后得 : P F1 P cos f s sin cos f s sin
本章将讨论与研究物体的接触面不是光滑 的情况
按接触物间的相对运动情况
滑动摩擦
滚动摩擦 干摩擦 湿摩擦
按接触物间是否有润滑剂
本章只研究干摩擦时物体的平衡问题
§4-1 滑动摩擦
两个表面粗糙的物体，当其接触面之间具有相对 滑动趋势或相对滑动时，彼此之间作用着阻碍对 方相对滑动的阻力，这力称为摩擦力。 摩擦力的三要素： 1、作用于两物体的相互接触处 2、方向与相对滑动的趋势或相对滑动的 方向相反 3、大小由主动力决定（摩擦力为被动力） 根据研究物体的相对滑动趋势、平衡的临界状态 和滑动这三种情况，摩擦力可分为静滑动摩擦力、 最大静滑动摩擦力和动滑动摩擦力。
d
M a
a
F
列平衡方程 ∑Fx = 0，NA － NB = 0 ∑Fy= 0，F－FA － FB = 0 ∑MD ( F ) = 0，
(1) (2)
A
NA
FA D
NB (3)
b B d FB
F · － NB · + FA · － FB · = 0 a b d/2 d/2 补充： F A = f s NA (4) F B = f s NB (5)
a F
由式(1)、(4)和(5) 得： FA = FB = F max = f s NB = f s NA 代入式(2)和(3)得： F = 2 F max (6) NA = NB = F / ( 2 fs ) (7) F · － NB · = 0 a b (8) b 式(7)代入(8)得： a极限 2 fs
得：
例4-1讨 论
sin f s cos sin f s cos P F1 P cos f s sin cos f s sin
若不计摩擦，即f s = 0 前面解得的结果就退化为唯一答案 F1 = P tan α 这与直接用平衡条件求解同。 特别注意： 从补充方程 F max = f s N 可见，由于f s是正系 数，而N方向恒确定，导致N符号永正，这意 味着F max 总是正值。换言之， F max 方向确定， 绝不可随意画。
实验测定摩擦系数
将要测定的两种材料分别做成斜面和物块。
实验测定摩擦系数说明
FR
F
由于物块仅受重力和全约束反力的作用而平衡，所以 F和FR 等值、反向、共线。 全约束反力与法线的夹角也正是平板与水平面的夹角 。 当物块处于临界状态时， = 。 算得摩擦系数 f s = tan = tan
2．最大静滑动摩擦力
静摩擦力Fs 的大小随着主动力F 的增大而增大这 是静摩擦力和一般约束反力的共同特性。 静摩擦力Fs 又与一般约束反力不同，它并不随 主动力 F 的增大而无限增大，当 F 的大小达到某一 数值时，物块处于平衡的临界状态（物块将滑还未 滑），这时的Fs 达到最大值——最大静摩擦力，以 Fmax 表示。如果 F 再增大， Fs 不再增大，显然 0 ≤ Fs ≤ Fmax 由库仑定理 Fmax = f s N f s —— 静摩擦系数
在固定平面上放置一个重 P，半径为 r 的圆轮， 在轮心处施加一个水平力Q，摩擦力 Fs 阻止轮滑动 Q 与 Fs 组成一力偶使轮转动,但实际轮当 Q 不大时并不动。 滚动摩阻理论认为，轮在重力和水平力的共同作用 下，与轮相接触的平面并非刚性，有变形。 将分布力向A点简化，得到一个力 R 和一个力偶，力 偶矩为M。力 FR 分解成摩擦力 Fs 和约束反力 N 正是这个矩为 M 的力偶阻碍了轮的滚动。
滚动摩阻
P Q Fs N M Fs P Q N N’ Mmax
d
滚动摩阻力偶矩 M 随主动力矩的增加而增加，当平衡 临界状态，其到达最大值，称为最大滚动摩阻力偶矩， 记作Mmax。显然， 0 M Mmax 滚动摩阻定理： Mmax = · N —— 滚动摩阻系数，具有长度单位，一般用mm。 滚阻系数的物理意义：将平衡临界状态下的N和Mmax根 据力线平移定理，简化成一个力N’， M d max N’作用线距中心线的距离 显然， = d N
物块重为 P，放在倾角为α的斜面上，它与斜 面间的摩擦系数为 fs，当物体处于平衡时，求水平力 F1 的大小。 y x 解：经验表明水平力过大， F1max 物块上滑，而水平力太小， 重力又可能导致物块下滑。 FmaxLeabharlann Baiduα 1、物块上滑时的临界状态 N P 受力分析如图。
∑Fx = 0， F1max cos α － P sin α － Fmax = 0 ∑Fy = 0，F1max sin α + P cos α － N = 0 （1） （2）
1．静滑动摩擦力
在粗糙平面上，放 置一个物块。 物块重P，法向反力 为N，物块平衡。 在物块上作用一个 大小可变的水平拉力F
FN
F
Fs
P
物块仍保持平衡，这是因为还有一个接触面阻 碍物块向右水平运动的切向力——静摩擦力。 静摩擦力作用于平面与物块的接触处、方向与物 块的滑动趋势相反、大小由平衡条件确定，即 ∑Fx = 0 ，F － Fs = 0 → Fs = F 静摩擦力Fs的大小随着主动力F的增大而增大
结果分析
① 由式(8)， F · － NB · = 0 a b 可见，当 b 和 F 大小确定时，a 与 NB 成正比，即 a 大 NB 大，最大摩 擦力也大，推杆不动； a 小 NB 小，也就是 F max 减小。 ② 由式(2)， F－FA － FB =0 可得 F = FA + FB = 常数
A
NA
FA
NB
b B d FB
a F
① 告诉我们 a 小 NB 小，也就是 F max 减小。②又告诉我 们 FA 和 FB 之和不变，这就可能导致 最大摩擦力小于摩擦 力的矛盾结果。 b 所以当 a 2 fs 时，推杆不会被卡住。
§4-4 滚动摩阻的概念
P Q Fs N FR M P Q Fs N M P Q
2、自锁现象
如果作用于物块的全部主动 力合力 F 的作用线落在摩 擦角之内，则无论此合力多 大，物块必保持静止。这种 现象称为自锁现象 这是因为在此情况下，主动 力F和接触面法线间的夹角 必有全约束反力FR与之相平 衡，且 = 利用自锁原理可设计一些机构， 使它们始终保持平衡，如千斤 顶等。
本章小结
1、 摩擦现象分为滑动摩擦和滚动摩阻两类。 2、 滑动摩擦力是在两个物体相互接触的表面之间有相 对滑动趋势或有相对滑动时出现的阻力。前者称为 静滑动摩擦力，后者称为动滑动摩擦力。 （1）静摩擦力的方向与接触面间相对滑动趋势的方向相 反，它的大小随主动力改变，根据平衡方程确定。 当物块处于平衡的临界状态（物块将滑还未滑）， 这时的静摩擦力Fs 达到最大值——最大静摩擦力。 静摩擦力必满足 0 ≤ Fs ≤ Fmax F max = f s N 其中 f s 为静摩擦系数， N 为法向约束反力。 （2）动摩擦力的方向与接触面间的相对滑动的速度方向 相反，其大小为 F=f N 其中 f 为静摩擦系数， N 为法向约束反力。
对有粗糙表面物体的平衡问题的研究与前几章 基本相同，但需注意： （1）受力分析时，还需要考虑静摩擦力Fs （2）列出补充方程 Fs≤f s N （3）由于Fs 需满足 0≤ Fs ≤f s N，所以，问题 的解往往有一定的范围。 上面的注意（1）说明分析时增加了未知量； 而注意（2）又增加了与新增Fs个数相同的方程 数，从而使问题有解； 注意（3）又告诉我们，问题中可能有最大值和 最小值问题。
A
凸轮机构如图， f s和b已知，凸轮与推杆 接触处摩擦忽略。问 a 为多大，推杆才不至于 被卡住。
解： 取推杆为研究对象，受力 分析。 考虑平衡的临界状态，即 推杆有向上的运动趋势， 将动还未动，此时A、B 两点的摩擦力都达到最大 值，方向向下。
A FA NB NA b B d FB
例4-2
b
B
物块平衡时，静摩擦力可以 在 0 到 Fmax范围内变化，所 以全约束反力作用线和接触 面法线间的夹角必满足： 0≤ ≤ 全约束反力必在摩擦角之内。
FR
N
Fmax
当物块的滑动趋势方向改变时，全约束反力作用线的 方位也随之改变。同样 全约束反力必在摩擦锥之内。 摩擦角与摩擦因数一样，都是表示材料的表面性质的量
3、全约束反力的作用线与支承面的公法线的夹角的 最大值 称为摩擦角
Fmax fs N tan fs N N
当主动力的合力作用线落在摩擦角内时发生自锁。
4、物体滚动时会受到阻碍滚动的滚动摩阻力偶的作用。 滚动摩阻力偶矩 M 随主动力矩的增加而增加，变化的 范围为 0 M Mmax 滚动摩阻定理： Mmax = · N —— 滚动摩阻系数，具有长度单位，一般用mm。 N —— 接触面的法向反力。
2、考虑物块下滑时的 临界状态
F’max
α
P
∑Fx = 0， F1min cos α － P sin α + F’max = 0 ∑Fy = 0， F1min sin α + P cos α － N = 0
N
（4） （5）
补充： F’max = f s N 式(6)代入式(4) + f s ×(5)式 ,即
摩 擦 锥
FR
N
FR N
Fmax
Fmax
摩擦角的正切等于静摩擦系数。 当物块的滑动趋势方向改变时，全约束反力作用线 的方位也随之改变。 在临界状态下， 全约束反力 FR 作用线画出的一个以接触点为顶点的锥面称为摩擦锥。
Fmax fs N tan fs N N
全约束反力和摩擦角
N
F
Fs
f s需通过实验测定，影响其的因素很复杂。
P
3．动滑动摩擦力
N F Fd P
当静滑动摩擦力已经达到最大值，若再增大主 动力F，接触面之间将出现相对滑动。
接触面之间仍作用有阻碍物块滑动的阻力。
称为动摩擦力，以Fd 表示。 实验表明 Fd =f N f 为动摩擦系数 一般情况下， f < f s
例4-1
补充： F max = fs N 式(3)代入式(1) － fs ×(2)式 ,即
F1max (cos α － fs sin α ) －P (sin α + fs cos α) = 0
（3）
得：
F1max
sin f s cos P cos f s sin
y
x
F1min
§4-2 摩擦角和自锁现象
FR
N
FR
N
Fs
Fmax
1、摩擦角
支承面对平衡物块的法向约束反力和切向约束反力 的合力 FR = N + Fs 称为支承面的全约束反力。 全约束反力的作用线与支承面的公法线的夹角为 当物块处于临界状态，静摩擦力达到最大值，此时全约 束反力的作用线与支承面的公法线的夹角的最大值 称 为摩擦角
F
FR
F
如果全部主动力的合 力 F 的作用线落在摩擦角 之外，则无论这个力如何 小，只要它不等于零，物 块就一定会滑动。 因为在此情况下， 主动力 F 和接触面法线 间的夹角 > 。 而 ，即支承面 的全约束反力必须落在摩擦 角内，无法与 F 平衡。
FR
斜面的自锁条件
由前面的分析可知，斜面的自锁(不下滑）条件是：
斜面的自锁条件也是螺 纹自锁的条件。 这是因为螺纹可看作是 绕在一个圆柱上的斜面。 螺母相当于放置在斜面 上的滑块 施于螺母上的轴向载荷 相当于物块的重力 螺纹升角 就是斜面的 倾角 。
R FR
P
§4-3 考虑摩擦时的物体平衡问题
F1min (cos α + f s sin α ) －P (sin α － f s cos α) = 0
（6）
sin f s cos F1min P cos f s sin sin f s cos sin f s cos 最后得 : P F1 P cos f s sin cos f s sin