本科生组合数学复习要点

2) 若第二个数是 则AB至少出现一次的排列 若第二个数是B,则 至少出现一次的排列 − 数为 4n− 2 ； 3) 若第二个数是 或D,则AB至少出现一次的排 若第二个数是C或 则 至少出现一次的排 列数为 2an− 2 . 于是得递推关系
an = 3an−1 + bn bn = bn −1 + 2an− 2 + 4n− 2
1998 36 = 56
件物品, 即存在某个mi , 使mi ≥ 56.
6、某学者每周工作6天,共42小时,每天工作 某学者每周工作6 42小时, 小时 的小时数是整数,且每天工作时间不少于6 的小时数是整数,且每天工作时间不少于6小时也 不多于8小时,如果编排一周的工作时间表, 不多于8小时,如果编排一周的工作时间表,问有多 少种不同的方案？ 少种不同的方案？
n 1 使得相邻格子异色的涂色方法数有 m ( m − 1) − 种,
其中使得首末两格同色的涂色方法有 hn−1 种, 所以
hn = m ( m − 1)n −1 − hn −1 ( n ≥ 2)
从而
hn = m ( m − 1)n−1 − hn −1 = m ( m − 1)n −1 − m ( m − 1)n − 2 + ( −1)2 hn − 2
= 462 − 336 + 15 = 141
习题一
1. 205
5 8
2. (1) 2978; (2) 1070
4 8 5 7
3. (1) P P P ;
(2) C P C P P
5 14
5 8
4 9
4 8
5 7
17. 证 先将每个盒子放一个球，问题变为将剩余 先将每个盒子放一个球， 的n − r 个相同的球放到r 个不同的盒子里，其放球 个不同的盒子里， 方案数为 (n − r) + r -1 n − 1 n − 1 = = . n−r n − r r − 1
2、有多少个长度为n的0与1串, 在这些串中 既 、有多少个长度为 的 与 串 在这些串中, 不包含子串010，也不包含子串 不包含子串 ，也不包含子串101？ ？ 解 设这种数串的个数为 f n , 则f1 = 2，f 2 = 4，
n ≥ 3时， 将满足条件的数串分为两类： 将满足条件的数串分为两类：
故
an = −
(2 + 3)n+1 2 3
+
(2 − 3)n+1 2 3
+4
n
4、n个单位各派 名代表出席一个会议，2n名 、 个单位各派 名代表出席一个会议， 名 个单位各派2名代表出席一个会议 代表围一圆桌坐下.试问 试问： 代表围一圆桌坐下 试问： (1) 各单位代表入座的方案有多少种 各单位代表入座的方案有多少种? (2) 各单位的2位代表不相邻的方案有多少种 各单位的 位代表不相邻的方案有多少种? 位代表不相邻的方案有多少种 这是2n个元的圆排列 个元的圆排列,故各单位代表入座 解 (1) 这是 个元的圆排列 故各单位代表入座 方式有 (2n − 1)! 种. (2) 设这 个人入座方式的全体为 ，则 设这2n个人入座方式的全体为 个人入座方式的全体为S， | S |= (2n − 1)!. 中第i个单位的两个人相邻的入座方式 中第 个单位的两个人相邻的入座方式} 设Ai = {S中第 个单位的两个人相邻的入座方式 i = 1, 2,L , n，则
| Ai |= 2(2n − 2)!；
| Ai A j |= 2 (2n − 3)!,
2
i ≠ j； i , j , k 互异 ；
| Ai Aj Ak |= 23 (2n − 4)!,
| A1 A2 L An |= 2n ( n − 1)!
由容斥原理，所求方案数为（逐步淘汰原理） 由容斥原理，所求方案数为（逐步淘汰原理） n | A1 ⋅ A2 L An |= (2n − 1)!− 2(2n − 2)! 1
}相 解 设 有 a n 种 不 同 的 编 排 方 法 , 则 { a n }相 应 的 母
函数为
G ( x ) = ( x 6 + x 7 + x 8 )6
36 3 6 −6
∞
G ( x ) = x 36 (1 + x + x 2 )6 = x (1 − x ) (1 − x )
36 3 6
−6 = x (1 − 6 x + 15 x − L)∑ ( − x )k k =0 k
即得定解问题
an − 4an −1 + an− 2 = 4n − 2 a1 = 0, a2 = 1
* n 解得特征根为 q1 = 2 + 3, q2 = 2 − 3，特解 an = 4 .
所以通解为
an = c1 (2 + 3)n + c2 (2 − 3) + 4n
代入初值,得 代入初值 得 c1 = − 2+ 3 2 3 , c2 = 2− 3 2 3 ，
=L = m ( m − 1)n−1 − m ( m − 1)n− 2 + L + ( −1)n− 3 m ( m − 1)2 + ( −1)n− 2 h2
= m ( m − 1)n −1 − m ( m − 1)n− 2 + L + ( −1)n− 3 m ( m − 1)2 + ( −1)n − 2 m ( m − 1)
组合数学复习要点
一、排列组合 1. 排列和组合的基本性质 2. 基本的组合等式及其证明，用组合意义法证明 基本的组合等式及其证明， 组合等式 3. 排列组合的计数公式，多重集的排列数和组合 排列组合的计数公式， 数的求法 4. 多项式系数及其求法
二、母函数 1. 母函数与排列数、组合数的关系 母函数与排列数、 2. 用母函数解决多重集的排列和组合问题 3. 不定方程的整数解的个数与多重集的组合数之 关系 三、递推关系 1. 常系数线性递推关系的解法（特征根法） 常系数线性递推关系的解法（特征根法） 2. 一般递推关系的线性化 3. 用待定系数法求常系数线性非齐次递推关系的 特解(三种类型 三种类型) 特解 三种类型 4. 根据具体问题建立递推关系并求解
n 2 n n n + 2 (2n − 3)!+ L + ( −1) 2 ( n − 1)! 2 n
5、 把一个圆盘分成36个相等的扇形, 然后把 1, 2,L , 36这些数任意填入 36个扇形中,证明存在三 个连续的扇形,其中的数字之和至少是56.
证 用mi ( i = 1, 2,L , 36)表示该圆盘上三个连续 扇形上的数字之和, 这样的数共有 36个. 注意到1, 2,L ,
于是得递推关系
f n = f n −1 + f n − 2 f1 = 2, f 2 = 4
数列,得通解 由Fibonacci数列 得通解 数列 1+ 5 n 1− 5 n f n = c1 ( ) + c2 ( ) 2 2 代入初值,得 代入初值 得 5+ 5 5− 5 c1 = , c2 = 5 5 2 1 + 5 n+1 1 − 5 n+1 ) −( ) 所以 f n = ( 2 2 5
n −1
种.
若题目改成：用m ( m ≥ 2)种颜色去涂1 × n( n ≥ 2) 棋盘, 每个方格涂一种颜色，使得相邻方格颜色 相异，首末两格也异色的涂色方案有多少 ?
表示所求方法数.易知 解 用 hn 表示所求方法数 易知 h2 = m ( m − 1). 用m种颜色去涂 1 × n ( n ≥ m ) 棋盘,每格涂一种颜色 种颜色去涂 棋盘 每格涂一种颜色, 每格涂一种颜色
(, 0)
(r , k )
⋅⋅
( r + 1, k )
( r , 0)
24. 解 考虑从(0, 0)到( n + r + 1 − m , m )的最短路径 数, 则这个数为 (n + r + 1 − m ) + m ) n + r + 1 = m m 将这些路径分类 : (r , m ) (n + r + 1 − m, m ) 而向右, 经过点( r , 0)而向右, 而向右, 经过点( r ,1)而向右, L, 而向右, 经过点( r , k )而向右, L, 而向右. 经过点( r , m )而向右.
5+ k k = ( x − 6 x + 15 x − L)∑ x 5 k =0
∞ 36 39 42
所以x 42的系数 5 + 6 5 + 3 5 + 0 a42 = − 6 + 15 5 5 5
11 8 = − 6 + 15 5 5
= m ( m − 1)[( m − 1)n− 2 − ( m − 1)n− 3 + L + ( −1)n − 3 ( m − 1) + ( −1)n− 2 ]
( m − 1)n −1 + ( −1)n − 2 = m ( m − 1) ( m − 1) + 1
= ( m − 1)[( m − 1)n −1 + ( −1)n − 2 ] = ( m − 1)n + ( −1)n ( m − 1)
练习题
1、 m ( m ≥ 2)种颜色去涂1 × n( n ≥ 2)棋盘, 每 用 个 方 格 涂一 种 颜 色, 使 得 相邻 方 格 颜色 相 异 的涂 色 方 案 有多 少 ?
解 第一 个 方 格可 涂 m种 颜 色之 一 ， 有m 种 涂色 方 法 ；为 使 相邻 方 格颜 色 相异 ， 只须 使 其 余n − 1个方格的颜色异于它左边相邻的那个方 格的颜色, 于是其余的每个方格都有m − 1种涂 法.故所求的涂色方案有m ( m − 1)