奥数提高班第二讲 代数式
初中奥数代数式知识点总结整理
⼀、代数式的定义：⽤运算符号把数或表⽰数的字母连结⽽成的式⼦，叫做代数式。
单独的⼀个数或字母也是代数式。
注意：
(1)单个数字与字母也是代数式;
(2)代数式与公式、等式的区别是代数式中不含等号，⽽公式和等式中都含有等号;(3)代数式可按运算关系和运算结果两种情况理解。
⼆、整式：单项式与多项式统称为整式。
1.单项式：数与字母的积所表⽰的代数式叫做单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数;单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。
特别地，单独⼀个数或者⼀个字母也是单项式。
2.多项式：⼏个单项式的和叫做多项式，在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项;在多项式⾥，次数项的次数就是这个多项式的次数。
三、升(降)幂排列：把⼀个多项式按某⼀个字母的指数从⼩到⼤(或从⼤到⼩)的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升(降)幂排列。
列代数式提高培训课件
知识梳理1、代数式的概念：代数式是用运算符号把表示数的字母连接而成的式子．注：①单独一个数或一个字母也是代数式；②“=”不是运算符号，不能将等式与代数式混淆）2、列代数式①抓住关键性词语，如“大“、“小“、“多“、“少“、“和“、“差“、“积“、“商“、“倍“、“分“等．②理清运算顺序．对于一些数量关系的运算顺序，一般是先说的运算在前，后说的运算在后．③正确使用括号．一般地，列代数式时，若先说低级运算，再说高级运算，则必须使用括号；若相反则不需使用括号．④正确利用“的”、“与”划分句子层次．“的”字一般表示从属关系，“与”字一般表示并列关系．例题剖析例1 用代数式表示：（1）比a的3倍还多2的数；（2）a的43倍的相反数；（3）9减去y的13的差；（4）a、b两数的和与a减去b的差的积；（5）a、b平方的差；（6）a、b的差的平方．巩固训练（1）用代数式表示：x平方的倒数减去12的差；（2）x 与y 的47的和；（3）比a 与b 的差的一半小2；（4）a b 、的倒数的差与a b 、的倒数和的积的2倍；（5）a 的2倍与b 平方的差；（6）a 与b 平方的2倍的差．（7）与a-1的和是25的数； （8）与2b+1的积是9的数；（9）与2x2的差是x 的数；（10)除以(y+3)的商是y 的数1 行程问题：设时间为t ，路程为s,速度为v,那么s=______,v=_____,t=_______例1 小兰的家离学校5千米，她步行到速度是v 千米/时，（1）小兰从家到学校需要走_____小时；（2）为了提前到校，她每小时多走了0.2千米，那么她能提前( )小时到校 A 550.5v v -- B 550.5v v -+ C 550.50.5v v --+ D 550.5v v -- 变式：小兰的家离学校5千米，她计划步行t 小时到学校，因事晚出发了10分钟，为了准时到校，她需要把速度提高_________千米/时。
初三数学奥数辅导代数部分完美
（一）知识梳理
1、整式的知识点： （1）高次二项式的变形公式：
x y
5
5
3 x
x y
6
6
3 3 3 3 x y 2x y 4 x
y
3
2 x
y
2
2 2 x y
x y x y
2
x y
7
7
y
奥数培训教程
（初中竞赛，代数部分）
初中竞赛代数内容主要分为四部分
代数式的求值问题
方程与方程组的求解问题及其应用
一元一次不等式（组）及二元一次不等式
（组）的求解及应用 二次函数问题
一、代数式的求值问题
代数式求值的相关考点： 的求值问题
3、二次根式的知识点
（2）二次根式具有如下性质：
（3）二次根式的运算法则如下：
(5)若a b c 0，则a 0, b 0
（6）二次根式的求值
基本思路：先将二次根式化为最简根式
再作加减乘除运算
特殊的方法、技巧：换元法、拆项法、因式 分解法、运用乘法公式、分母有理化。
（二）例题分析 1、公式法求值
例（1）x 3xy 10 y x 9 y 2
2 2
（2） k 为何值时， x 2 xy ky 3x 5 y 2
2 2
能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式
（3） ( x2 3x 2)(4 x2 8x 3) 90
（11）幂指数运算性质：
a a a
4
3 x
y
3
3 3 x y
（2）乘法公式： 完全平方公式：(a b)2 a2 2ab b2
7年级奥数代数式
7年级奥数代数式中国古代有“计算不离口，算术不离手”的智慧谚语，而自古以来，人们就在积极探索和发展数学知识，形成了不同时期的数学体系。
有一种叫做奥数的数学活动，是当今数学研究的热门话题。
下面就以7年级奥数代数式为例，来认识一下奥数中的代数式。
7年级奥数代数式是指7年级小学的学生在学习奥数时，所遇到的关于代数的问题，比如代数式的求解、推导与关系、表达式与图形的图示等。
首先是代数式的求解。
学生们需要准确理解运算符号，运用计算器或者推导法解答问题。
比如，求解如下代数式：2a+3b=18其解为a=6,b=2。
接下来就是代数式的推导与关系。
学生们要掌握一些常用的推导法，比如函数推导、代数推导、分析推导等，把问题看成具有规律的表达式，从而把一个复杂的问题，化简成一组简单的关系式。
最后是表达式与图形的图示。
7年级学生在学习奥数时，要掌握代数式的直观表示法，以及与图形之间的关系。
比如，有如下一个问题：把函数y=x+3x+2的图象画出来此时学生需要熟悉坐标系的概念，以及如何将函数的表达式转化成图形的表示，用绘图软件将函数图像画出来。
以上就是7年级奥数代数式的一些内容，7年级小学生学习奥数，可以充分理解和掌握这些内容，从而发展自己的数学能力。
在学习奥数时，除了要熟练掌握上述内容之外，还要根据自己的目标和实际情况，选取合适的学习方法，如练习、研究、讨论等，努力提高自己的学习成绩，增强自己的学习兴趣，为以后学习奥数奠定良好的基础。
许多孩子在学习奥数时会感到难以理解，不要气馁，可以主动去咨询家长、老师，或是寻求专业网站或者学习平台的帮助，以便对比理解奥数代数式，这样你也会发现自己的学习成果。
总之，7年级奥数代数式是7年级小学生学习奥数的基础，学生们要认真学习，掌握代数式的求解、推导与关系、表达式与图形的图示等，不断提高自己的数学能力。
严格按照奥数课程步骤，努力学习，才能更快更好地学习，进而在未来的数学比赛中取得更高的成绩。
初中奥数代数式基础知识点归纳
初中奥数代数式基础知识点归纳
代数式书写要求：
1.代数式中出现的乘号通常用;t;;表示或者省略不写;数与字母相
乘时，数应写在字母前面;数与数相乘时，仍用;;号;
系数与次数
单项式的系数和次数，多项式的项数和次数。
1.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。
注意：(1)单项式的系数包括它前面的符号;
(2)若单项式的系数是t;1;或-1;时，t;1t;通常省略不写，但;-;
号不能省略。
2.单项式的次数：单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。
注意：(1)单项式的次数是它含有的所有字母的指数和，只与字母
的指数相关，与其系数无关;(2)单项式中字母的指数为1时，1通常省略不写，在确定单项式的次数时，一定不要忘记被省略的1。
3.多项式的次数：多项式中次数的项的次数就是多项式的次数.
4.多项式的项数：在多项式中，每个单项式都叫做多项式的项，
其中不含字母的项称为常数项。
一个多项式有几项，就叫几项式，它
的项数就是几。
多项式的项数实质是;和; 中单项式的个数。
列代数式：用含有数、字母和运算符号的式子把问题中的数量表
示出来就是列代数式。
准确列出代数式，要掌握以下几点：(1)列代数式的关键是理解和
找出问题中的数量关系;(2)要掌握一些常见的数量关系如行程问题、
工程问题、浓度问题、数字问题等;(3)要善于抓住问题中的关键词语，如和、差、积、商、大、小、几倍、平方、多、少等。
代数式求值：一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中指明的运算计算的结果叫做代数式求值。
奥林匹克数学题型代数式的因式分解
奥林匹克数学题型代数式的因式分解奥林匹克数学竞赛是培养学生数学思维和解题能力的重要途径之一。
其中，代数式的因式分解是奥数中常见的题型之一。
通过对代数式进行因式分解，可以简化复杂的表达式，提高解题的效率。
本文将介绍代数式的因式分解的相关概念、方法和应用。
一、代数式的因式分解的概念代数式的因式分解是将一个代数式表示为若干个因式的积的形式。
在进行因式分解的过程中，可以使用不同的方法，如公因式法、提取公因式法、配方法等。
因式分解在代数运算中扮演着重要的角色，可以帮助我们更好地理解代数式的结构，简化运算过程，优化解题方法。
二、公因式法公因式法是一种常用的因式分解方法，适用于求解含有公因式的代数式。
在公因式法中，我们需要找到代数式中的公因式，并将其提取出来。
举例来说，假设有一个代数式2x^2 - 6x，我们可以将2x作为公因式进行提取，得到2x(x - 3)。
因此，原代数式可以被因式分解为2x(x -3)。
三、提取公因式法提取公因式法是一种常用的因式分解方法，适用于含有多个项的代数式。
在提取公因式法中，我们需要对每个项进行因式分解，并将相同的因式提取出来。
例如，对于代数式3x^2 + 6x，我们可以对每个项进行因式分解，得到3x(x + 2)。
然后，提取公因式3x，即可将代数式分解为3x(x + 2)。
四、配方法配方法是一种适用于二次三项式的因式分解方法。
在配方法中，我们需要通过构造一个合适的加法或减法，将二次三项式转化为完全平方式。
比如，对于二次三项式x^2 + 3x + 2，我们可以通过构造一个合适的加法或减法来将其转化为完全平方式。
根据二次三项式的特点，我们可以发现，该式可分解为(x + 1)(x + 2)。
五、因式分解的应用因式分解在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在代数方程的求解、函数的图像绘制和计算等方面，都能够通过因式分解来简化操作过程。
举例来说，对于代数方程x^2 - 5x + 6 = 0，通过因式分解可以得到(x - 2)(x - 3) = 0，进而求得方程的解x = 2或x = 3。
数学七年级上册 代数式(提升篇)(Word版 含解析)
一、初一数学代数式解答题压轴题精选（难）1．A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差别：A公司，年薪20000元，每年加工龄工资200元；B公司，半年薪10000元，每半年加工龄工资50元．（1）第二年的年待遇：A公司为________元，B公司为________元；（2）若要在两公司工作n年，从经济收入的角度考虑，选择哪家公司有利（不考虑利率等因素的影响）？请通过列式计算说明理由．【答案】（1）20200；20250（2）解：A公司：20000+200（n-1）=200n+19800B公司：10000+50(2n-2)+10000+50（2n-1）=200n+19850，∴从应聘者的角度考虑的话，选择B家公司有利．【解析】【解析】（1）解:A公司招聘的工作人员第二年的工资收入是：20000+200=20200元；B公司招聘的工作人员第二年的工资收入是：1000+50×2+1000+50×3=20250元；【分析】（1）根据第二年的年待遇等于年薪+工龄工资，即可算出;(2)分别表示出第n年在A,B两家公司工作的年收入，再比较大小即可。
2．解答题：（1）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为1，求a+b+x2﹣cdx．（2）10箱苹果，如果每箱以30千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录如下：+2，+1，0，﹣1，﹣1.5，﹣2，+1，﹣1，﹣1，﹣0.5．这10箱苹果的总质量是多少千克？（3）小亮用50元钱买了10枝钢笔，准备以一定的价格出售，如果每枝钢笔以6元的价格为标准，超过的记作正数，不足的记作负数，记录如下：0.5，0.7，﹣1，﹣1.5，0.8，1，﹣1.5，﹣2.1，9，0.9．①这10枝钢笔的最高的售价和最低的售价各是几元？②当小亮卖完钢笔后是盈还是亏？【答案】（1）解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，∴a+b=0，cd=1，∴a+b+x2﹣cdx=x2﹣x∵|x|=1，∴x=±1∴当x=1时，x2﹣x=0；当x=﹣1时，x2﹣x=2（2）解：2+1+0﹣1﹣1.5﹣2+1﹣1﹣1﹣0.5=﹣330×10+（﹣3）=897答：这10箱苹果的总质量是897千克．（3）解：①最高售价为6+9=15元最低售价为6﹣2.1=3.9元②6×10+0.5+0.7﹣1﹣1.5+0.8+1﹣1.5﹣2.1+9+0.8﹣50=16.3元答：小亮卖完钢笔后盈利16.3元．【解析】【分析】（1）根据相反数及倒数的性质即可得出a+b=0，cd=1，再根据绝对值的意义，由|x|=1，得x=±1，然后分别将a+b=0，cd=1，x=1与x=-1代入代数式，即可算出答案；（2）首先列出加法算式，算出10箱苹果，超过的千克数或不足的千克数，然后用10乘以标准质量再加上超过或不足的千克数即可算出答案；（3）用6元的基准价加上超过基准价的最大值即可得出这10枝钢笔的最高的售价，用6元的基准价加上超过基准价的最小值即可得出这10枝钢笔的最低的售价，用这十支钢笔的总售价减去进价和为正数则小亮赚钱，和为负数则小亮亏钱。
【人教版】初中数学竞赛讲义：第2章《代数式》专题复习(含答案) 第2章代数式 (1)
2.4根式及其运算 2.4.1★化简：（1（2）(⋅；（3()()11899940001n n --个个．解析 （1）直接计算不是好办法．注意到53361253689+=-=，于是()()2253125368936893636⨯+=-++222289363689=-+=．89=．（2将一些项适当组合，利用平方差公式．⎡⎡⎤⎤+-⎣⎣⎦⎦2277⎡⎤⎡⎤=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(44=+-+(224104=-=． （3）()()211899940001900060001n n n n --=-+个个个个29106101n n =⨯-⨯+ ()23101n =⨯-，3101n =⨯-．2.4.2★化简：（1（2n 是自然数）； （325n n n n ++⋅⋅++⋅⋅（4()090α︒<︒≤．解析（1）原式=121x x =--+．因为1x -，21x +的零点分别是1，12-，我们分情况讨论如下：当12x -≤时，原式()()1212x x x =--++=+；当112x -<≤时，原式()()1213x x x =---+=-；当1x >时，原式()()1212x x x =--+=--． （2）因为()()()1231n n n n ++++ ()()()3121n n n n =++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()223321n n n n =++++()()2223231n n n n =++++()2231n n =++，231n ==++．（3）因为12324623151021020510n n nn n n⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅()()33333312312151012n n⋅⋅+++=⋅⋅+++1231510⋅⋅=⋅⋅，25n n n n ⋅+⋅⋅=++⋅⋅． （4）因为12sin cos αα+22sin 2sin cos cos αααα=++ ()2sin cos αα=+，同理，()212sin cos sin cos αααα-=-．故原式=sin cos sin cos a ααα=++-．由于090α︒<︒≤，sin 0α>，cos 0α>．且当045α︒<<︒时，sin cos αα<；而4590α︒︒≤≤时，sin cos αα≥．故当045α︒<<︒时，原式()()sin cos cos sin 2cos ααααα=++-=； 当4590α︒<︒≤时，原式()()sin cos sin cos 2sin ααααα=++-=．2.4.3 解析1配方法： 2295422-=+--⋅)22=，2．解析2 待定系数法：设29-=，则()9x y -=+-9,20,x y xy +=⎧⎨=⎩解主程组，得5,4,x y =⎧⎨=⎩或4,5x y =⎧⎨=⎩． 从而，2=．解析3公式法：=2==． 评注本题解法中，配方法虽然较简单，但对一些数字较大的题目，其解法仍困难．待定系数法虽然较麻烦，但它仍不失为一种普遍可行的方法．2.4.4．解析被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，因此用待定系数法来化简．设， 两边平方得13+x y z =+++所以13,5,7,35.x y z xy yz zx ++=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩①②③④②⨯③⨯④得()22573535xyz =⨯⨯=．因为x 、y 、z 均非负，所以0xyz ≥，所以⑤÷②，有7z =．同理有5x =，1y =．所求x 、y 、z 显然满足①，所以原式1= 2.4.5★★化简：．解析 设原式x =，则((244x =+++)8821=+=+-)261=+=，显然有0x >，所以原式1x ==． 2.4.6． 解析1 利用()()3333a b a b ab a b+=+++来解．设x = 3403x x =+，即36400x x --=． 将方程左端因式分解有()()244100x x x -++=．因为()22410260x x x ++=++>，所以40x -=，4x =．所以原式4=． 解析2=2==+2原式((=+=．224评注解析２看似简单，但对于三次根号下的拼凑是很难的，因此本题解析1是一般常用的解法．2.4.7★★化简：解析由于2253862425-⨯=，不为完全平方数，故对上式中每一项独立化简很困难．注意到再开方．设m=299m=-218m=+=+18=+18()=+=+182214(22=++⋅2(2=，即m=9=．2.4.8解析设m=311m=++而11127⎛+=- ⎝，所以32m =- 即32m m =-，320m m +-=．()()2120m m m -++=．由于220m m ++=无实数根，所以1m =．所以1=． 2.4.9★★设有正数11a =，2k ≥时，12k k a a -=+60a +++的值．解析因为1k k+==．所以原式(61111222a =+++12=．而11a =，61121a =．原式152==． 2.4.10★★计算：()()()(23212123232121k k k k n n n ++++++++++++． 解析先将通项的分母有理化，并裂项，得((()()()()22232121232123k k k k k k ++=++-++((()()232122123k k k k ++=++12=-⎝⎭，所以，原式1112222=+-++- ⎝ 112⎛= ⎝=2.4.11★★求)()解析设根号内的式子为A ，注意到()121=-，及平方差公式()()22a b a b a b +-=-，所以()()()()()2425621212121211A =-+++++ ()()()()()224825621212121211=-+++++ ()()()()()4481625621212121211=-+++++()()25625621211==-++225622562112⨯⨯=-+=,所以原式224==．2.4.12★★计算解析原式==1=．2.4.13★★★计算：12007S =++．解析考察S 中一般项，有===1111111n n n n n +=-=+-++． 所以11111111111112233420072008S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-++-+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1200720071200720082008=+-=． 2.4.14★★（1）求证：11a ab ab =+-+；（212008． 解析（1）因为 211a a b ab ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭()()2222212111a a a a a b b ab ab b ab ⎡⎤=+++--⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦()()()2222211211a ab a b a a a b ab b ab ⎡⎤+--=+++⎢⎥++⎢⎥⎣⎦()222211a a b ab =+++， 上式两边开平方，得11a ab ab =+-+．（2）在（1）在令2007a =，1b =，则2007200712008=+-120072008=，120072008=． 2.4.15★已知a 23331a a a++的值． 解析因为)121a -=-，即11a．所以 23331a a a ++ 21313a a a ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦)))213311⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦))11211==-=．2.4.16★★记[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]1.31=，1234⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦等），求2013++++⎢⎣的值． 解析因为⎡⎤⎡⎤=11⎡==+=⎢⎣，所以2013++++⎢⎣201211112012=+++=个．2.4.17★★若0x >，0y >8=，求2233x y +的值．解析 设23x p =，23y q =，那么42233x y p q=24233x y pq=．所以23x p=，23y q=，于是，原式即8=，8，(8p q+=．()328p q+=，2384p q+==．即22334x y+=．2.4.18★★已知函数()f x=，求()()()()()13521999f f f f k f++++-++的值．解析因为()()()221f x=+=-12=，所以，()()()()135999f f f f++++(3110002⎡⎤=++++⎣⎦152==．2.4.19★★设333199519961997x y z==，0xyz>，且=求111x y z++的值．解析 因0xyz >，可设333199519961990x y z k ===>，则31995k x =，31996k y =，31997k z =．代入已知式得两边立方，化简，得3111111x y z x y z ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭． 因为0x >，0y >，0z >，所以1111x y z++=． 2.4.20★★已知0a >，0b >，当221ab x b =+时，求的值． 解析 当221ab x b =+时，==1b +=．①同样（但请注意算术根！）． ②将①，②代入原式有原式=()()1111b b b b ++-=+--,11,1b b b b⎧⎪=⎨<⎪⎩当≥时;当时 2.4.21★★化简解析原式==22=-+=2.4.22★★化简x y a=解析a x y a x=a x a x =⋅a x a x=⋅． 若0a >，则1,1,x a x y x x a >⎧==⎨-<-⎩当时,当时若0a <，则1,1,x a x y x x a ->-⎧=-=⎨<⎩当时当时 2.4.23★★化简)1Sx =>． 解析因为21x ±±)21=，所以 )11S =,,22,12x x ⎧⎪=⎨<<⎪⎩≥． 2.4.24★★已知12x =，()0,0a b >>．计算Q =．解析由12x =，得x =．所以===．代入原式，得Q =()2b a ba b a b -=+--(),,0a b a b b b a a b a-⎧⎪=⎨-<<⎪⎩≥ 评注 当0a <，0b <时，其结果如下：(),,,0b a b a b Q a a b a b ⎧--⎪=⎨⎪-<<⎩≥2.4.25★★已知1，求22a b +的值． 解析 移项，两边平方，得()()22221121a b b a -=--， 化简，得()2221b a =-+．两边再平方，得()()()22222224121b a b a b a -=-+-+， 整理得()()22222210a b a b +-++=， 即()22210a b +-=，所以221a b+=．2.4.26★★化简：（1；（2解析（1）原式====．（2）原式===)32=．评注（2）也可用换元法来化简：52x y⎛⎫⎪⎝⎭≥，则252xy+=．原式)3x==+（因为0x≥）)3=．2.4.27★★★化简：解析用换元法设x=231a x=+，2833ax+=+．所以原式+==()()112x x =++-=．2.4.28★★若1a =，计算112121212a ++++（共有200层）的值．解析 先计算几层，看一看有无规律可循． 因为1a =，所以11a ==，所以12121a a++==，所以11112aa ==+． 所以，不论多少层，原式11a==． 2.4.29的值． 解析 用构造方程的方法来解．设原式为x ，利用根号的层数是无限的特点，有x=，两边平方得22x=，即22x -=两边再平方得42442x x x -+=+，所以42420x x x --+=．观察发现，当1x =-，2时，方程成立．因此，方程左端必有因式()()12x x +-，将方程左端因式分解，有()()()21210x x x x +-+-=．所以1x =-，2x =，x又因为02x <<，所以1x =-，2x =，x =应舍去，所以x =．即原式=．2.4.30x ，小数部分为y ，试求2212x xy y ++的值． 解析因为 )2124===，而01<，所以2x =，y =，所以 222114222x xy y ++=+⨯+⎝⎭)(11413522=+-+=．。
奥数-整式加减-第2讲代数式师
第二讲 代数式化简与求值代数式是用基本运算符号，将数和表示数的字母连接而成的式子。
代数式的变形、推导、求值是整个初中数学代数部分的基本功。
它综合了数学中的各种常见方法和技巧，既要求我们对基本的公式及其变形要熟记，同时也要灵活掌握各种解题方法，学会分析代数式条件，建立已知和求解之间的关系，为将来进一步的数学思维的培养打下基础。
当然，这部分内容也是初中竞赛常考的内容之一。
一、 基础知识●代数式定义1 用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式。
单独一个数或字母也是代数式。
● 代数式的值定义2 用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。
● 列代数式列代数式的关键是正确地分析数量关系，要掌握和、差、积、商、幂、倍、分、大、小、多、少、增加、增加到等数学概念和有关知识。
列代数式实质上是把“文字语言”翻译成“符号语言”。
● 求代数式的值代数式的值由它所含字母的取值决定，并随字母取值的改变而改变，字母取不同的值，代数式的值可能同也可能不同。
代数式中所含字母取值时，不能使代数式无意义。
求代数式的值的一般步骤是(1)代入，(2)计算。
二、 例题第一部分 列代数式 例1. 轮船在静水中的速度是每小时a 千米，水流速度为每小时b 千米(b<a)，甲乙两码头间相距S 千米，则轮船在甲乙两码头间往返一趟的平均速度为每小时 千米。
分析：轮船在甲乙两码头间往返一趟的平均速度应为往返一趟的总路程除以总时间。
解 因为轮船在静水中的速度是每小时a 千米，水流速度为每小时b 千米(b<a)则轮船的顺流速度为(a+b)千米，逆流速度为(a-b)千米，所以顺流所用时间是b a +S逆流所用时间是b a -S，轮船在甲乙两码头间往返一趟的平均速度为往返路程的和除以往返所用时间的和，即ab a ba Sb a S 222S-=-++评注：顺流速度=静水中的速度+水流速度；逆流速度=静水中的速度-水流速度。
精选 《代数式2》完整教学课件PPT
解：〔1〕根据时间、路程和速度三者之间的关系， 可知这辆汽车从甲地到乙地需要行驶 h 1 5 0
a
〔2〕如果速度增加2m/h，那么行驶的速度就是
〔a2m/h,所以从甲地到乙地需要行驶 h, 11 5 0
如 小华、小明一共走了 6 6米。
3在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写
法来写。
7 如a÷7= a
4遇到带分数与字母相乘时，要将带分数改写成 假分数。
例3 甲乙两地相距150m，一辆汽车的行驶速度am/h 用代数式表示：
〔1〕这辆汽车从甲地到乙地需要行驶多长时间？ 〔2〕假设速度增加2m/h，那么需要多长时间？加速 后可以早到多长时间？
想一想 代数式105可以表示什么？
1、如果用〔米/ 秒〕表示小明跑步的速度，用 〔米/秒〕表示小明走路的速度，那么10 5表示他 跑步10秒和走路5秒所经过的路程。
2、如果用 和分别表示1元和5角硬币的枚数，那么 10 5就表示 枚1元硬币和枚5角硬币共是多少角钱。
3、我国载人飞船的造价约为10亿，人造卫星造价 约为5亿，在未来的二十年内将造 架载人飞船，和 架人造卫星，那么10 5就表示造 架载人飞船和 架人造卫星共需花的钱。
书写代数式的规定：
1数字与字母、字母与字母、数字或字母与括号相乘 时，乘号通常简写作“·〞或者省略不写；数字与 数字相乘一般仍用乘号；数与字母相乘，数字写在 字母前面。 如 6 6 就是6× 6×的简写。
2在实际问题中含有单位时，如果最后运算结果是和 或差的形式时，要把整个的代数式括起来再写单位。
2、结合实例解释代数式6的意义
通过本节课的学习你对代数式有了 哪些认识 1、代数式的应用； 2、代数式的意义。
华东师大初中七年级上册数学列代数式(提高)知识讲解
列代数式（提高）知识讲解【学习目标】1. 理解字母表示数的意义，能用字母表示简单问题中的数量关系；2. 能按要求列出代数式，会求代数式的值．【要点梳理】要点一、用字母表示数用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更具有普遍意义了．举例：如果用a 、b 表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为：a ＋b ＝b ＋a ．乘法交换律可以用字母表示为：ab ＝ba ．要点二、代数式如：16n ，2a+3b ，34 ，2n ，2)(b a +等式子，它们都是数和字母用运算符号连接所成的式子，称为代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．要点诠释：含有等号或不等号的式子不是代数式，如33x =，33x >，33x ≠等都不是代数式． 要点三、列代数式在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性．要点诠释：代数式的书写规范：（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写；（2）除法运算一般以分数的形式表示；（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写．要点四、代数式的值一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值．要点诠释：求代数式的值的步骤：（1）代入数值； （2）计算结果．【典型例题】类型一、用字母表示数1．填空：(1)某商场将一种商品A 按标价的9折出售(即优惠10%)仍可获利10%，若商场商品A 的标价为a 元，那么该商品的进价为________元(列出式子即可，不用化简)．(2)甲商品的进价为1400元，若标价为a 元，按标价的9折出售；乙商品的进价是400元，若标价为b 元，按标价的8折出售，列式表示两种商品的利润率分别为甲：________ 乙：________．【思路点拨】解答本例需弄清以下两个数量关系：(1)利润＝售价－进价; (2)利润率＝售价-进价进价．【答案】(1)90%10%1a +；(2)甲商品的利润率为90%14001400a -×100%，乙商品的利润率为：80%400400b -×100%． 【解析】本例题属于实际生活问题，应分清“进价”、“标价”、“利润”、“利润率”、“打折”等问题，打几折就是标价的十分之几．【总结升华】原题中的数据有单位，写出的代数式的形式是“和（或差）”的形式的，一定要用括号把代数式括起来.举一反三：【变式】（2015•株洲）如果手机通话每分钟收费m 元，那么通话n 分钟收费 元．【答案】mn ．类型二、列代数式2．（2015•牡丹江）一列代数式：﹣x 2，3x 3，﹣5x 4，7x 5，…，按此规律排列，则第7个代数式为 ．【思路点拨】根据规律，系数是从1开始的连续奇数且第奇数个是负数，第偶数个是正数，x 的指数是从2开始的连续自然数，然后求解即可．【答案】 ﹣13x 8．【解析】解：第7个单项式的系数为﹣（2×7﹣1）=﹣13，x 的指数为8，所以，第7个单项式为﹣13x 8．【总结升华】注意对系数和指数还有符号的观察，寻求规律.举一反三：【变式】观察下列等式： 3211;=332123;+=33321236;++= 33332123410;+++=… …想一想等式左边代数式各项幂的底数与右边代数式各项幂的底数有什么关系，猜一猜可以引出什么规律，并把这种规律用等式写出来： .【答案】33332123(12)n n ++++=+++.类型三、代数式的的值3. 已知，当时，，则问时，y 的值.【思路点拨】整体的代入思想的应用.【答案与解析】解：把3,7x y ==-代入，得： 373332733a b a b -=⨯+⨯+=++，∴27337a b ++=-，∴27310a b +=-.当3x =-时，可得：3(3)(3)32733(10)313y a b a b =⨯-+⨯-+=--+=--+=.【总结升华】（1）在将数字代入字母过程中，有时要适当地加入运算符号或括号，如数字间相乘关系要加入乘号，当幂的底数是分数、负数时，它的底数一定要加括号. (2)注意书写格式，“当……时”的字样不要丢.举一反三： 【变式】如果代数式2213x x -+的值为2，那么代数式223x x -的值等于 （ ）. A.12B.3C.6D.9 【答案】B4．（2016•平阴县一模）定义：a 是不为1的有理数，我们把称为a 的差倒数，如2的差倒数是=﹣1，﹣1的差倒数是=．已知a 1=﹣，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是 a 3的差倒数，…，以此类推，则a 2016为（ ）A ．B ．C ．3D ．1【思路点拨】据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现，每3个数为一个循环组依次循环，用2016除以3，根据余数的情况确定出与a 2016相同的数即可得解．【答案】C【解析】解：∵a 1=﹣，∴a 2==，a 3==3，a 4==﹣，…2016÷3=672．∴a 2016与a 3相同，为3．故选：C ．【总结升华】本题是对数字变化规律的考查，理解差倒数的定义并求出每3个数为一个循环组依次循环是解题的关键．举一反三：【变式】按照如图所示的程序计算，若输入x=8.6，则m=【答案】8类型四、综合应用5．为了节约能源，某单位按以下规定收取每月电费：用电不超过140度，按每度0.43元收费；如果超过140度，超过部分按每度0.57元收费.（1）若某用户10月份用去a 度电，则他应缴多少电费？（2）若该用户11月份用了150度电，则该缴多少电费？【思路点拨】同一个字母，取不同范围值时，对应的代数式不同.【答案与解析】解：（1）当a ≤140时，电费为0.43a 元；当a ＞140时，电费为：0.431400.57(140)(0.5719.6)a a ⨯+⨯-=-元.（2）因为用电量为150度，大于140度，因此把a ＝150代入代数式0.5719.6a -，得0.5715019.665.9⨯-=（元）.因此，该缴电费65.9元.【总结升华】代数式里的字母可取不同的值，但是所取的值不应当使代数式或代数式所表示的数量关系失去实际意义，如此例中a 不能为零且不能为负数．举一反三：【变式1】李想所乘的出租车的起步费是12元，3千米后打车价是每千米2.2元；若李想乘车的路程是s 千米，试用代数式表示他应付的车费.【答案】12 2.2(3)s +-【变式2】某中学决定派三名教师带a 名学生到某风景区举行夏令营活动，甲旅行社收费标准为教师全票，学生半价优惠；乙旅行社收费标准为教师和学生全部按全票价的6折优惠.已知甲、乙两旅行社的全票价均为240元.（1）用代数式表示甲、乙两旅行社的收费各是多少元？（2）当50a =时，如果你是校长，你选择哪一家旅行社？【答案】解：（1）甲旅行社收费(720120)a +元；乙旅行社收费2400.6(3)a ⨯⨯+元，即144(3)a +元.（2）当50a =时，甲旅行社收费：720120720120506720a +=+⨯=（元）；当50a =时，乙旅行社收费144(3)144(503)7632a +=⨯+=（元）.∵ 67207632<∴ 对于校长来说，选甲旅行社合算.。
奥数-乘法公式-(2)代数式学
第二讲 代数式化简与求值代数式是用基本运算符号，将数和表示数的字母连接而成的式子。
代数式的变形、推导、求值是整个初中数学代数部分的基本功。
它综合了数学中的各种常见方法和技巧，既要求我们对基本的公式及其变形要熟记，同时也要灵活掌握各种解题方法，学会分析代数式条件，建立已知和求解之间的关系，为将来进一步的数学思维的培养打下基础。
当然，这部分内容也是初中竞赛常考的内容之一。
一. 基本概念和公式a) 代数式的概念前面我们已经讲了代数式是用基本运算符号，将数和表示数的字母连接而成的式子。
代数式与小学我们研究的算式不同之处在于字母的出现，因此我们理解代数式的关键在于字母与参数的区别。
直接代入是一种题型，恒等式是一种题型。
b) 乘法公式①) 222()2a b a ab b ±=±+②) 33223()33a b a a b ab b ±=±+±③) 22()()a b a b a b +-=-④) 3322()()a b a b aab b ±=±+ ⑤) 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++⑥) 222333()()3a b c a b c ab ac bc a b c abc ++++---=++-⑦) 123221()(...)n n n n n n n a b a a b a b ab b a b ------+++++=-⑧) 2222221[()()()]2a b c ab ac bc a b a c b c ++±±±=±+±+± 二. 典型例题A) 直接带入法例1 已知a 为3的倒数，b 为最小的正整数，求代数式2()2()3a b a b +-++的值B) 特殊值分析——恒等式例2 若不论x 取什么值，代数式38ax bx ++（分母不为零）的值都相同，试求a 与b 的关系例3 已知776276210(31)......x a x a x a x a x a -=+++++，试求765210......a a a a a a +++++的值C) 整体求值例4 当3x =时，代数式38ax bx ++的值是12，求当3x =时，代数式35ax bx +-的值例5 已知代数式3ax bx c ++，当0x =时的值为2；当3x =时的值为1；求当3x =-时，代数式的值？D) 从已知出发，消元例6 已知1a b +=，求代数式333a ab b ++的值例7 已知2,1a b b c -=-=，求代数式222a b c ab ac bc ++---的值E) 从所求出发，构造已知条件代入例8 已知112a b -=，求343232a ab b a ab b -++--的值例9 已知三个正数,,a b c 满足1abc =，求111a b c ab a bc b ac c ++++++++的值例10 已知210x x --=，证明3521,53x x x x =+=+F) 整式除法例11 已知2310x x --=，求326751987x x x +-+的值G) 连等——设而不求例12 已知x y z y z x z x y ==+++，求x y z+的值H) 乘法公式的应用例13 若a 、b 、c 都是有理数，且0a b c ++=，3330a b c ++=，试求555a b c ++的值例14 已知12x x+=，求 a) 221x x+ b) 331x x+I ） 杂题例15 已知2116a a a =++，试求2421a a a ++的值三. 课后练习题练习1 若x 为13的倒数，y 为偶质数，求代数式542()3()()3x y x y x y -+-+--的值练习2 如果不论x 取什么值，代数式34ax bx ++（分母不为零）都得到同样的值，那么a 与b 应满足什么条件？练习3 把26(1)x x -+展开后得121121211210...a x a x a x a x a +++++，则 121086420a a a a a a a ++++++的值为？练习4 已知当7x =时，代数式58ax bx +-的值为4，求当7x =时，代数式5322a b x x ++的值？练习5 若a 、b 均为正数，且1a b =，试求11a b a b +++的值？练习6 已知111,1a b b c +=+=，求1c a +的值？ 练习7 已知122x y+=，求432482x xy y x xy y ++-+-的值练习8 若,,,a b c d 是四个正数，且1abcd =，求 1111a b c d abc ab a bcd bc b dac cd c dab da d +++++++++++++++的值？练习9 若231x x -=，求代数式326751999x x x +-+的值练习10 若x y z a b b c c a ==---，求x y z ++的值练习11 已知222a b c ab bc ac ++=++，且1a =，求2005()a b c +-补充题 设67802413827187120121319782A =，67802413827197120121319784B =，试比较A 与B 的大小。
7年级奥数代数式
7年级奥数代数式代数式，也称为数学表达式，是数学中常用的表示数字、形状和关系的数学符号。
代数式在中学数学课程中尤为重要，尤其是以7年级奥数课程为例，学生开始要学习如何使用代数式来分析和表达问题。
可以说，7年级奥数课程的核心就是代数式。
在这一学段，学生开始学习如何使用代数式来表示和分析问题。
他们需要学习如何把变量和系数放在代数式中，以及如何组织运算符号。
首先，学生需要掌握基本的记号。
几个常用的四则运算符号是+、-、×、÷，而其他的运算符号包括^、√、！等。
如果学生不能记住这些符号，就无法使用它们来表达数学问题。
其次，学生需要学习如何把变量和系数放在代数式中，以及把变量与系数合并成同一项式。
例如，一个二次函数式可以写为y=ax2+bx+c，其中a、b、c是系数，x是变量。
学生还需要学习如何把多个变量和系数组合成一个代数式，例如6x+y+7z。
此外，学生要学习如何组织各类运算符号，并确定其优先级。
例如，3÷2×5-1应该计算为（3÷2）×5-1=7-1=6，而不是3÷（2×5）-1=3÷10-1=-7。
还有，学生需要学习一些常用的解法，例如联立方程解法、使用因式分解来求解一元多次方程解法等。
这些解法都可以利用代数式来完成任务，因此，学生需要学习如何应用代数式来完成这些解法。
最后，7年级学生还需要学习一些数学趣题，这类趣题往往要求学生使用代数式来解决。
例如，一个众所周知的趣题是，“鸡兔同笼，共计48只头，共有几只腿？”样的趣题可以使用如下代数式来解决：2x+4y=48，其中x表示兔子的数量，y表示鸡的数量，2x和4y分别表示兔子和鸡的腿的总数。
总之，7年级学生开始学习如何使用代数式来表达和分析数学问题，他们需要掌握基本的记号、把变量和系数放进代数式中、把变量和系数合并成同一项式、组织各类运算符号，并学会使用一些解法来解决数学趣题。
代数式知识点
代数式知识点代数式知识点概述一、代数式的定义代数式是由数字、字母（代表变量或系数）、和运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）按照一定的规则组合而成的数学表达式。
例如：3x+2、4a^2 - 5ab + 6b^3、7x^0 等。
二、代数式的分类1. 单项式：只包含一个项的代数式，如 5a、-3b^2。
2. 多项式：由若干个单项式通过加减运算组合而成的代数式，如 x^2 + 3x - 2。
3. 有理式：包含分数形式的代数式，分子和分母都是多项式，如(x+2)/(x-1)。
4. 无理式：包含根号的代数式，如√(x+3)。
三、代数式的运算规则1. 加法与减法：- 同类项可以相互合并，不同类项保持不变。
- 合并同类项时，系数相加或相减，字母与指数不变。
- 去括号法则：正负号影响括号内的每一项。
2. 乘法：- 单项式乘单项式：系数相乘，相同字母的指数相加，其余不变。
- 单项式乘多项式：将单项式的每一项分别与多项式的每一项相乘，然后合并同类项。
- 多项式乘多项式：使用分配律，将第一个多项式的每一项分别与第二个多项式相乘，然后合并同类项。
3. 除法：- 多项式除单项式：将多项式的每一项都除以单项式，然后将结果相加。
- 多项式除多项式：需要使用长除法或待定系数法。
4. 乘方：- 幂的乘方：底数不变，指数相乘。
- 积的乘方：每个因数分别取方，然后将结果相乘。
四、代数式的简化1. 合并同类项：将具有相同字母和指数的项合并。
2. 应用运算法则：正确使用加法、乘法、除法和乘方的规则来简化表达式。
3. 因式分解：将多项式分解为若干个单项式的乘积，以简化表达式。
五、代数式的运算技巧1. 使用分配律简化乘法运算。
2. 利用结合律和交换律重新排列运算顺序。
3. 通过观察和试错法找到最佳的因式分解方法。
4. 利用特殊值法检验多项式是否满足特定条件。
六、代数式的应用1. 解方程：通过代数式的运算找到未知数的值。
2. 优化问题：在实际问题中，通过最大化或最小化代数表达式来找到最优解。
最新人教版七年级上册数学代数式(提升篇)(Word版含解析)
->初一数学代数式解答题压轴题精选(难)1.如图(1) 2020年9月的日历如图1所示，用1×3的长方形框出3个数•如果任意圈出一横行左右相邻的三个数，设最小的数为X.用含X 的式子表示这三个数的和为 _____________ :如果任 意圈岀一竖列上下相邻的三个数，设最小的数为y ，用含y 的式子表示这三个数的和为(2) 如图2,用一个2x2的正方形框岀4个数，是否存在被框住的4个数的和为96?如 果存在，请求岀这四个数中的最小的数字：如果不存在，请说明理由(3) 如图2,用一个3x3的正方形框出9个数，在框出的9个数中，记前两行共6个数的 和为去,最后一行3个数的和为a?.若∣a 1-a 2∣=6,请求出正方形框中位于最中心的数字 m 的值. 【答案】(1) 3x+3; 3y+21(2) 解:设所框出的四个数最小的一个为a,则另外三个分別是：(a+l)、(a+7)、 (a÷8),则a+ (a+l) + (a+7) + (a+8) =96,解得，a = 20,由图2知，所框出的四个数存在，故存在被框住的4个数的和为96,其中最小的数为20(3) 解：根据题意得，a ι=m+ ( m - 1) + (m+l) + ( m - 7) + (m - 6) + ( m - 8) =6m -21,a2=Z (m+7) + (m+6) + (m+8) =3m+21 > TlaI ~ a2∣ =6,/. I (6m - 21) - (3m+21) |=6,即 ∣3m -42∣=6,解得，m = 12 (因12位于最后一竖列，不可能为9数的中间一数，舍去)或m = 16,.∙. m = 16・【解析】【解答】(I)解：如果任意圈岀一横行左右相邻的三个数，设最小的数为X ，则 三数的和为：×+ (x+l) + (x+2) =x+×+l+x+2 = 3x+3:如果任意圈出一竖列上下相邻的三个数，设最小的数为y,则三数和为：y+ (y+7) + (y+14) = y+y+7+y+14=3y+21・St上的数字为S （l≤s≤9, S为整数），百位上的数字为t （0≤t<9, t为整数），丁是整数，求这个四位"对称等和数”：（2）已知数A,数B,数C都是三位"对称等和数".A=诟（l≤a≤9, a为整数），设数B 十位上的数字为X （0≤×≤9, X为整数），数C十位上的数字为y （0≤yS9, y为整数）,若A+B+C二1800,求证：y= - ×+15・【答案】（1）解：设这个四位数为元丽（1<S≤9, 0≤t≤9, 0≤a≤9, 0≤b≤9,且s、t、a、b 为整数），由题意得：s+b=t+a=4,.β. b=4 - s, a=4 - t,•••四位数为顽能被11整除，St（Ib =IoooS+100t+10a+b,=IOOOS+100t+10 （4 - t） +4 - s,=999s+90t+44,=IOOIS+88t+44+2t - 2s,=11 （91s+8t÷4） +2 （t - s）,∙.∙ 91s+8t+4 是整数，.∙. 2 （t - S）是11的倍数，即t - s是M的倍数，∙.βl≤s≤9,・•・-9≤ - s≤ - 1,T 0≤t≤9,・•・-9≤t - s≤8>.∙.t∙s只能为0,即t=s,St■: 2 是整数,4 - s≥0, 4 - t≥0,.∙. s=t=2 或s=t=4,当s=t=2 时，a=b=2,当s=t=4 时，a=b=O,综上所述，这个四位"对称等和数”有2个，分别是：2222, 4400（2）解：证法一：证明：T数A是三位"对称等和数"，且A= i^5 （l<a≤9, a为整数），2a=l+5p a=3,・•・ A二135,由题意设：B二五，C= 師.则b+c=2x, d+e=2y,∙∙∙ A+B+C=1800>.・・ B+C=1800 ・ 135=1665.・•・(b + d)G+刃(c+ 0)=1665,••・15≤b+d≤16,①当b+d=15 时，x+y=16, c+e=5,/. b+d+c+e=15+5=2O,即2x+2y=2O,×+y=10≠16,不符合题意；②当b+d=15 时，x+y=15, c+e=15t.∙. b+d+c+e=15+15=3O,即2x+2y二30,x+y=15,符合题意；.β. y=・×+15t③当b+d=16 时，x+y=6t c+e=5 ♦.∙. b+d+c+e=16+5=21,即2x+2y=21,×+y=10.5≠6>不符合题意；④当b+d=16 时，x+y=5 > c+e=15t/. b+d+c+e=16+15=31,即2x+2y=31t×+y=15.5≠5>不符合题意：综上所述，则y=-x+15.证法二：证明：・・・数A是三位〃对称等和数〃，且(l≤a≤9, a为整数)，・・ 2a=l+5, a=3, ・•・ A=135,由题总设：^=mx(2x-nt)，C= ny(2y -n)，••• A+B+C=1800,即135+mx(2x-nt)+ ny(2y -n) =180°* mx(2x-m) +ny(2y -n)=1665, 100m+10×÷2× -m÷100n+10y+2y - n=1665t99 (m+n) +12 (x+y) =1665,33 (m+n) +4 (×+y) =555,χ+y= 555-2 2(77l+n) -139 _ 8 (m+n) 4,-l<7H÷n)4 40≤x≤9t 0≤y≤9,且x、y 是整数,In刀・•・4是整数，β.βl≤m≤9t l≤n≤9..∙∙ 2≤m+n≤l8,・•・3≤l+m+n≤19t则1+ （m+n）二4, 8, 12, 16,.∙. m+n=3» 7, 11> 15,当m+n=3 时,x+y=139 - 8×3+∑i=114 （舍）,当m+n=7 时，×+y=139 - 8×7+^≡=81 （舍），当m+n=ll 时，×+y=139 - 8×11+Ξ11=48（舍），4当m+n=15 时，×+y=139-8×15+^li=15,4.∙. y=・×+15【解析】【分析】（I）设这个四位数为StaI）（l≤s≤9, 0≤t≤9, 0<a≤9, 0<b<9,且s、t、a、b为整数），根据"对称等和数”的意义可得s+b=t+a=4,变形得b=4-s, a=4 - t,再由这个四位数能被11整除和这个四位数的构成可得Stdb=II（91s+8t+4） +2 （t-s）,易得t -S是H的倍数，结合s、t的范围即可求解：（2）根据“对称等和数"的意义和A=/^可得2a=l+5, a=3,则数A可求解，由题意可设Zg（2；-机）'C=ny（2y 为A+B+C=1800,所以将A、B、C代入上式，再根据三位数的构成=IOOX百位上的数字+10χ十位上的数字+个位上的数字可得100m+10x+2x - m+100n+10y+2y - n=1665.整理可得33 （m+n） +4 （x+y） =555> 则x+y 可用含m、n 的代数式表示，结合x、y的取值范围和x、y、m、n是正整数分析即可求解。
初中奥数提高班第2讲_代数式
第二讲代数式一主要知识点回顾字母代表量，是数学重要的抽象，高度的抽象是数学有别其他科学一个最重要的特征，是数学广泛应用的基础。
初一一个最为重要的训练是如何运用字母和代数式解决问题.1．代数式用运算符号把表示数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式.单独一个数或一个字母也是代数式.2. 单项式、多项式数与字母的积的代数式，单独一个数或字母也是单项式.3．整式的意义：单项式和多项式统称为整式4．同类项：多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项5．用字母表示数解题在某些数学问题中，如果把其中的特殊常数用字母表示，即用字母表示数解题，常会收到化繁为简，化难为易的效果.6．求代数式的值：用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值二．典型例题讲解例1：某市出租车收费标准如下：3km以内（含3km）收费8元，超过3km的部分，每千米收费1.5元,(1)请写出收费y(元)与出租车行驶的路程x(km)的关系式;(2)若小明乘出租车行驶6km,则应付车费多少元?(3)若小明付车费17元,则他乘出租车行使了多少千米?例4:如果4a-3b=7，并且3a+2b=19，求14a-2b的值．三、专项练习(一)选择题:1．已知14x 5y 2和－31x 3m y 2是同类项，则代数式12m －24的值是 （ ）（A ）－3 （B ）－5 （C ）－4 （D ）－62.列去括号错误的是 （ ）（A ）2x 2－(x －3y)=2x 2－x ＋3y （B ）31x 2＋(3y 2－2xy)=31x 2－2xy ＋3y 2 （C ）a 2－4(－a ＋1)=a 2－4a －4 （D ）－(b －2a)－(－a 2＋b 2)=－b ＋2a ＋a 2－b 23.a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的相反数是21的倒数，则m 2－2cd ＋mb a +的值为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）54.M 厂库存钢材100吨，每月用去15吨，N 厂库存钢材82吨，每月用去9吨，经过x 个月，两厂所剩钢材相等，x 等于 （ ）（A ）2 （B ）4 （C ）3 （D ）55.a 是有理数，则200011+a 的值不能是（ ） A 1 B 1- C 0 D 2000-6.若a a a 112000,0+<则等于（ ）A a 2007B a 2007-C a 1989-D a 19897.小明编制了一个计算程序。
3。1-3列代数式的提高讲座(复习中用).doc
列代数式的提高讲座一个四边形的周长是48厘米，已知第一边长a 厘米，第二条边比第一条边的2倍长3厘米，第三条边等于第一、二两条边的和.①写出表示第四条边长的代数式.②当a=3厘米或a=7厘米时，还能否构成这个四边形？解：①依题意，第二条边长为（2a+3）厘米，第三条边长为（a+2a+3）,即（3a+3）厘米，则：第四条边长=48-a-(2a+3)-(3a+3)=48-a-2a-3-3a-3=42-6a(厘米)② 当a=3厘米时，42-6×3=24（厘米）∴ 此四边形可以构成.当a=7厘米时，42-6×7=0∵ 边长不可能为零∴ 此四边形不能构成，即实质上是一个三角形.注：在实际问题中，应注意实际量（如边长、周长、面积、路程、时间等）不能是负数或零，其表达式不能为任意值，否则无意义.【生活实际运用】不久前，共青团中央等部门发起了“保护母亲河行动”，捐赠办法中有一种是：5元钱捐植一棵树.某校初一两个班的115名学生积极参与，踊跃捐款，已知甲班的31的学生每人捐了10元，乙班52的学生每人捐了10元，两班其余学生每人捐了5元，设甲班有学生x 人，试用代数式表示两班捐款的总额，并进行化简. （.805-31x ）3.一个三位数,十位数字为a-2,个位数字比十位数字的3倍多2,百位数字比个位数字少3.试用多项式表示这个三位数;当a=3时,这个三位数是多少?如图，甲乙两个零件的横截面的面积哪一个大？大多少？甲 乙例3 小红家的收入分农业收入和其他收入两部分，今年农业收入是其他收入的1.5倍，预计明年农业收入将减少20%，而其他收入将增加40%，那么预计小红家明年的总收入是增加，还是减少？2）求3的相反数，求a+b-2的相反数?求a+b-2的相反数的2倍? 3a+2b与2a+3b谁大？10a一定大于a 吗3.6探索规律教学目标：1.通过观察、分析、总结等一系列过程，经历探索数量关系，运用符号表示规律，通过运算验证规律的过程。
代数式(提升篇)(Word版 含解析)
一、初一数学代数式解答题压轴题精选（难）1．任何一个整数N，可以用一个的多项式来表示:N= .例如：325=3×102+2×10+5.一个正两位数的个位数字是x，十位数字y．（1）列式表示这个两位数；（2）把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置得到一个新的两位数，试说明新数与原数的和能被11整除．（3）已知是一个正三位数.小明猜想：“ 与的差一定是9的倍数。
”请你帮助小明说明理由.（4）在一次游戏中,小明算出、、、与等5个数和是3470,请你求出这个正三位数.【答案】（1）解：10y+x（2）解：根据题意得：10y+x+10x+y=11（x+y），则所得的数与原数的和能被11整除（3）解：∵ - =100a+10b+c-（100b+10c+a）=99a-90b-9c =9(11a-10b-c)，∴与的差一定是9的倍数（4）解：∵ + + + + + =3470+ ∴222（a+b+c）=222×15+140+ ∵100＜＜1000，∴3570＜222（a+b+c）＜4470，∴16＜a+b+c≤20．尝试发现只有a+b+c=19，此时 =748成立，这个三位数为748．【解析】【分析】（1）由已知一个正两位数的个位数字是x，十位数字y ，因此这个两位数是：十位上的数字×10+个位数的数字。
（2）根据题意将新的两位数和原两位数相加，再化简，即可得出结果。
（3）分别表示出两个三位数，再求出它们的差，就可得出它们的差是否为9的倍数。
（4）根据题意求出a+b+c的取值范围，再代入数据进行验证即可。
2．用1块A型钢板可制成2块C型钢板和1块D型钢板；用1块B型钢板可制成1块C 型钢板和3块D型钢板.现购买A、B型钢板共100块，并全部加工成C、D型钢板.设购买A型钢板x块（x为整数）（1）可制成C型钢板块（用含x的代数式表示）；可制成D型钢板块[用含x的代数式表示）.（2）出售C型钢板每块利润为100元，D型钢板每块利润为120元.若将C、D型钢板全部出售，通过计算说明此时获得的总利润.（3）在（2）的条件下，若20≤x≤25，请你设计购买方案使此时获得的总利润最大，并求出最大的总利润.【答案】（1）解：设购买A型钢板x块（x为整数），则购买B型钢板（100﹣x）块，根据题意得：可制成C型钢板2x+（100﹣x）＝（x+100）块，可制成D型钢板x+3（100﹣x）＝（﹣2x+300）块.故答案为：x+100；﹣2x+300（2）解：设获得的总利润为w元，根据题意得：w＝100（x+100）+120（﹣2x+300）＝﹣140x+46000（3）解：∵k＝﹣140＜0，∴w值随x值的增大而减小，又∵20≤x≤25，∴当x＝20时，w取最大值，最大值为43200，∴购买A型钢板20块、B型钢板80块时，可获得的总利润最大，最大的总利润为43200元.【解析】【分析】（1）设购买A型钢板x块（x为整数），则购买B型钢板（100﹣x）块，根据“ 用1块A型钢板可制成2块C型钢板和1块D型钢板；用1块B型钢板可制成1块C型钢板和3块D型钢板”从而用含x的代数式表示出可制成C型钢板及D型钢板的数量.（2）设获得的总利润为w元，根据总利润=100×制成C型钢板的数量+120×制成D型钢板的数量，从而得出结论.（3）利用一次函数的性质求出最大利润及购买方案即可.3．如图（1）2020年9月的日历如图1所示，用1×3的长方形框出3个数.如果任意圈出一横行左右相邻的三个数，设最小的数为x，用含x的式子表示这三个数的和为________；如果任意圈出一竖列上下相邻的三个数，设最小的数为y，用含y的式子表示这三个数的和为________（2）如图2，用一个2×2的正方形框出4个数，是否存在被框住的4个数的和为96？如果存在，请求出这四个数中的最小的数字；如果不存在，请说明理由（3）如图2，用一个3×3的正方形框出9个数，在框出的9个数中，记前两行共6个数的和为a1，最后一行3个数的和为a2.若|a1﹣a2|＝6，请求出正方形框中位于最中心的数字m的值.【答案】（1）3x+3；3y+21（2）解：设所框出的四个数最小的一个为a，则另外三个分别是：（a+1）、（a+7）、（a+8），则a+（a+1）+（a+7）+（a+8）＝96，解得，a＝20，由图2知，所框出的四个数存在，故存在被框住的4个数的和为96，其中最小的数为20（3）解：根据题意得，a1＝m+（m﹣1）+（m+1）+（m﹣7）+（m﹣6）+（m﹣8）＝6m ﹣21，a2＝（m+7）+（m+6）+（m+8）＝3m+21，∵|a1﹣a2|＝6，∴|（6m﹣21）﹣（3m+21）|＝6，即|3m﹣42|＝6，解得，m＝12（因12位于最后一竖列，不可能为9数的中间一数，舍去）或m＝16，∴m＝16.【解析】【解答】（1）解：如果任意圈出一横行左右相邻的三个数，设最小的数为x，则三数的和为：x+（x+1）+（x+2）＝x+x+1+x+2＝3x+3；如果任意圈出一竖列上下相邻的三个数，设最小的数为y，则三数和为：y+（y+7）+（y+14）＝y+y+7+y+14＝3y+21.故答案为：3x+3；3y+21【分析】（1）由三个数的大小关系，表示另两个数，再求和并化简即可；（2）设最小数为a，并用a的代数式表示所框出的四个数的和，再根据四个数和为96可列方程，解方程，若方程有符合条件的解，则存在，反之不存在；（3）且m表示出a1和a2，再由|a1−a2|＝6列方程求解.4．如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着-5，-2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等.（1）求前4个台阶上数的和是多少？（2）求第5个台阶上的数是多少？（3）应用求从下到上前31个台阶上数的和．发现试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数．【答案】（1）解：由题意得前4个台阶上数的和是-5-2+1+9=3（2）解：由题意得-2+1+9+x=3，解得：x=-5，则第5个台阶上的数x是-5（3）解：应用：由题意知台阶上的数字是每4个一循环，∵31÷4=7…3，∴7×3+1-2-5=15，即从下到上前31个台阶上数的和为15；发现：数“1”所在的台阶数为4k-1【解析】【分析】（1）由台阶上的数求出台阶上数的和即可；（2）根据题意和（1）的值，求出第5个台阶上的数x的值；（3）根据题意知台阶上的数字是每4个一循环，得到从下到上前31个台阶上数的和，得到数“1”所在的台阶数为4k-1.5．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表．价目表每月用水量单价不超出6 m3的部分2元/m3超出6 m3但不超出10 m3的部分4元/m3超出10 m3的部分8元/m3注：水费按月结算.则应收水费________元；（2）若该户居民3月份用水a m3(其中6<a<10)，则应收水费多少元？(用含a的整式表示并化简)（3）若该户居民4，5月份共用水15 m3(5月份用水量超过了4月份)，设4月份用水x m3，求该户居民4，5月份共交水费多少元？(用含x的整式表示并化简)【答案】（1）8（2）解：根据题意得，62+4（a-6）=12+4a-24=4a-12（元）答：应收水费（4a-12）元.（3）解：由5月份用水量超过了4月份，可知，4月份用水量少于7.5m3，①当4月份用水量少于5m3时，则5月份用水量超过10m3，该户居民4，5月份共交水费为：2x+[62+44+8（15-x-10）]=2x+（12+16+40-8x）=-6x+68（元）；②当4月份用水量不低于5m3，但不超过6m3时，则5月份用水量不少于9m3，但不超过10m3，该户居民4，5月份共交水费为：2x+[62+4（15-x-6）]=2x+（12+36-4x）=-2x+48（元）；③当4月份用水量超过6m3，但少于7.5m3时，则5月份用水量超过7.5m3但少于9m3，该户居民4，5月份共交水费为：[62+4（x-6）]+[62+4（15-x-6）]=（12+4x-24）+（12+36-4x）=36.答：该户居民4，5月份共交水费为（-6x+68）元或（-2x+48）元或36元.【解析】【解答】（1）根据题意得，24=8（元）【分析】（1）根据表格中“不超出6 m3的部分”的收费标准，求出水费即可；（2）根据a 的范围，求出水费即可；（3）由5月份用水量超过了4月份，可知，4月份用水量少于7.5m3，进而再细分出三种情况：①当4月份用水量少于5m3时，②当4月份用水量不低于5m3，但不超过6m3时，③当4月份用水量超过6m3，但少于7.5m3时，分别求出水费即可.6．已知x1， x2， x3，…x2016都是不等于0的有理数，若y1= ，求y1的值．当x1＞0时，y1= = =1；当x1＜0时，y1= = =﹣1，所以y1=±1（1）若y2= + ，求y2的值（2）若y3= + + ，则y3的值为________；（3）由以上探究猜想，y2016= + + +…+ 共有________个不同的值，在y2016这些不同的值中，最大的值和最小的值的差等于________．【答案】（1）解：∵ =±1， =±1，∴y2= + =±2或0（2）±1或±3（3）2017；4032【解析】【解答】解：（2）∵ =±1， =±1， =±1，∴y3= + + =±1或±3．故答案为±1或±3，（ 3 ）由（1）（2）可知，y1有两个值，y2有三个值，y3有四个值，…，由此规律可知，y2016有2017个值，最大值为2016，最小值为﹣2016，最大值与最小值的差为4032．故答案分别为2017，4032．【分析】（1）根据题意先求出=±1，=±1，就可求出y2的3个值。
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第二讲代数式
一主要知识点回顾
字母代表量，是数学重要的抽象，高度的抽象是数学有别其他科学一个最重要的特征，是数学广泛应用的基础。
初一一个最为重要的训练是如何运用字母和代数式解决问题.
1．代数式：用运算符号把表示数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式.单独一个数或一个字母也是代数式.
2. 单项式、多项式：数与字母的积的代数式，单独一个数或字母也是单项式.
3．整式的意义：单项式和多项式统称为整式
4．同类项：多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项
5．用字母表示数解题：在某些数学问题中，如果把其中的特殊常数用字母表示，即用字母表示数解题，常会收到化繁为简，化难为易的效果.
6．求代数式的值：用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值
二．典型例题讲解
例1：某市出租车收费标准如下：3km以内（含3km）收费8元，超过3km的部分，每千米收费1.5元,
(1)请写出收费y(元)与出租车行驶的路程x(km)的关系式;
(2)若小明乘出租车行驶6km,则应付车费多少元?
(3)若小明付车费17元,则他乘出租车行使了多少千米?
例4:如果4a-3b=7，并且3a+2b=19，求14a-2b 的值．
三、专项练习
(一)选择题:
1．已知14x 5y 2和－31x 3m y 2是同类项，则代数式12m －24的值是 （ ）
（A ）－3 （B ）－5 （C ）－4 （D ）－6
2.列去括号错误的是 （ ）
（A ）2x 2－(x －3y)=2x 2－x ＋3y （B ）31x 2＋(3y 2－2xy)=3
1x 2－2xy ＋3y 2 （C ）a 2－4(－a ＋1)=a 2－4a －4 （D ）－(b －2a)－(－a 2＋b 2)=－b ＋2a ＋a 2－b 2
3.a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的相反数是21的倒数，则m 2－2cd ＋m
b a +的值为（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5
4.M 厂库存钢材100吨，每月用去15吨，N 厂库存钢材82吨，每月用去9吨，经过x 个月，两厂所剩钢材相等，x 等于 （ ）
（A ）2 （B ）4 （C ）3 （D ）5
5.a 是有理数，则2000
11+a 的值不能是（ ） A 1 B 1- C 0 D 2000-
6.若a a a 112000,0+<则等于（ ）
A a 2007
B a 2007-
C a 1989-
D a 1989
7.小明编制了一个计算程序。
当输入任一有理数，显示屏的结果总等于所输入有理数
的平方与1之和。
若输入1-，并将所显示的结果再次输入，这时显示的结果应当是（ ）
A 2
B 3
C 4
D 5
(二)填空题：
8.（ ）－（x 2＋3xy ）=－xy －3
1y 2 9.．化简21a n －41a n －3
2b n ＋b n 的结果是 。
10．当a －b=－1，ab=－2时，(2a －3b －ab)－(a －2b ＋3ab)= 。
11. 观察下列算式，你将发现其中的规律：10122=-；31222=-；52322=-；73422=-；
94522=-；……请用同一个字母表示数，将上述式子中的规律用等式 表示出来： 。
（三）解答题：
12．已知A= mx ²+ 2x- 1，B= 3x ²- nx+ 3,且多项式A- B 的值与m 、n 的取值无关，试确定m 、n 的值.
13.观察下列各式：2a,4a ²,6a ³,8a 4 ,…
（1）写出第n 个单项式 .
（2）当n=2006时，这个单项式是
14．若x:y:z=3:2:1，且2x-y+z=20，那么x+2y-z 的值是多少？
15．当x=21731
时，求代数式｜x ｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜+｜x-4｜+｜x-5｜的值．
16.甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价的8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价的8.5折优惠.设顾客预计购物x 元,(x>300)
(1)请用含x 的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用;
(2)试比较顾客到哪家超市购物更优惠?说明你的理由.
(3)如果顾客在两个超市购物时都付了450元,那么商品的原价分别是多少元?
17.在由x、y、z构成的单项式中，挑出满足下列条件的单项式：
1）系数为1；
2）x、y、z的幂次之和小于等于5；
3）交换x和z的幂次，该单项式不变.
那么你能挑出这样的单项式共有个。
在挑出的单项式中，将x的幂次最低的两两相乘，又得到一组单项式，将这组单项式相加（同类项要合并）得到一个整式，那么该整式是个不同的单项式之和.
四、课外作业
1.某地通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者每月缴纳50元月租费，然后每通话一分钟，再付话费0.35元；“快捷通”不缴纳月租费，每通话一分钟，付话费0.60元（话费均指市内通话）.
（1）若一个月内通话x分钟，则两种方式的费用y
1y
2
分别是多少元？这两种收费相差多少？
（2）若小王估计一个月内通话500分钟，则他选择哪种通讯业务合算？若小李估计一个月内通话180分钟，则他这样选择通讯业务？
2．有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃.中午12点整，电子钟响铃又亮灯。
问：下一次既响铃又亮灯是几点钟？。