转化思想在中学数学解题中的应用111
转化思想在初中数学解题中的应用
转化思想在初中数学解题中的应用作者：崔素英来源：《理科考试研究·初中》2016年第05期转化思想不仅是一种有效的解题思路，而且是一种灵活的数学思维方式.辅助学生在解题过程中掌握转化思想是新课程标准的要求，有利于培养学生敏捷的数学思维能力和创新能力.初中时代是培养学生的转化思想和数学思维能力的最佳阶段，教师需要在教学过程中注意融入转化思想，为学生创设具有影响力的数学思维氛围，辅助学生掌握数学元素之间的规律与联系，引导学生学会在配方法、待定系数法和整体代入法等解题方法中使用转化思想，这样方能促使学生在解题过程中灵活运用转化思想，全面提高学生的数学思维能力.一、转化思想的内涵转化思想的定义是在研究和解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法.一般情况下是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.基本功能是化生疏为熟悉，化复杂为简单，化抽象为直观，化含糊为明朗.从哲学角度来看，转化思想的实质是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决.配方法、待定系数法和整体代入法等解题方法中经常会使用转化思想.二、初中学生的思维特点初中学生一般都具备独立的思考意识以及具体形象思维与初步的抽象逻辑思维，他们的思想较为活跃，求知欲很强，能够区分数学概念的本质与非本质的属性.在做题过程中，初中学生能够运用数学概念与定律来进行判断与推理，得出正确答案.与具体形象思维相比，学生的抽象逻辑思维还处于初级阶段，这是因为在教学过程中，教师没有平衡发展学生的抽象逻辑思维能力.培养学生的抽象逻辑思维需要加强学生的转化思想能力，维持学生的初步逻辑思维、经验逻辑思维和理论逻辑思维的均衡发展.另一方面，据教学研究表明，青春期是具体形象思维向抽象逻辑思维发展的过渡期.但是，初中学生的抽象思维能力还属于初级阶段，学生的转化思想以及对数学概念的对比分析、综合运用和抽象理解方面尚有欠缺.因此，教师要在提高学生具体形象思维能力的同时要重视培养他们的转化思想与抽象思维意识，指导学生养成积极探索的学习习惯，灵活运用所学的知识.三、转化思想在初中数学解题中的应用1.使用转化思想掌握配方法教师在进行配方法教学的过程中，要注重为学生创设具有影响力的思维氛围，依据数学教材，做好课堂互动，应用实际情境教育和多媒体教学工具来讲解数学理论知识和例题，辅助学生在理解数学公式的基础上学会灵活运用转化思想来解决问题.教师理应告诉学生数学理论知识是对空间形式和数量关系的抽象总结与概括，引导学生灵活运用转化思想，向抽象逻辑思维过渡.教师可以分步骤来讲解配方法，培养学生的转化思想.以下例题就是运用转化思想解析一元二次方程.2.在待定系数法中使用转化思想培养学生的转化思想首先要引导学生养成良好的思维习惯，促使学生在学习与运用数学知识的同时提高思维能力.教师应该指导学生做好课前预习，找出自己不懂的问题，然后进行独立地思考，尝试运用分析、判断、比较、推理、抽象、联想、概括等思维方式来解决问题.例如在进行勾股定理、三角函数、中位数与中心对称的教学过程中，教师理应让学生对比分析这些相关数学理论知识，掌握数学元素之间的转换规律，像三角函数之间的联系包括倒数关系：待定系数法的解题过程中会广泛应用转化思想，教师可以加强学生在这方面的训练.以下例题就是待定系数法的基本步骤.3.使用转化思想掌握整体代入法教师在进行数学教育，可以让学生练习使用整体代入法来解方程，从而加强学生的转化思想，以下两道例题就是用整体代入法来解题.例4 某班去看表演，甲票价24元一张，乙票价18元一张，如果35名同学购票恰好用去750元，甲乙两种票各买多少张？综上所述，转化思想不仅是一种有效的解题思路，而且是一种灵活的数学思维方式，广泛应用于配方法、待定系数法和整体代入法等解题方法中.新课程标准要求在数学教学中注重培养初中学生的转化思想能力以促进学生的全面发展，实现素质教育的目标.因为初中学生的转化思想尚未成熟，所以教师要积极培育学生的转化思想，发展学生的抽象罗辑思维.在培养学生转化思想的过程中，教师应该为学生创设具有影响力的思维氛围，辅助学生在理解数学公式的基础上学会灵活运用转化思想来掌握配方法的解题技巧，引导学生养成良好的思维习惯，在待定系数法中使用转化思想，让学生练习使用整体代入法来解方程，从而加强学生的转化思想，这样才能有效提高学生的数学思维能力，推动数学教育的发展.。
转化思想在中学数学解题中的应用111
转化思想在中学数学解题中的应用摘要数学学习，不仅要熟练掌握基础知识，更要重视思想的学习．数学思想方法是数学的精髓，也是将理论知识转化为实践技能的桥梁。
在众多数学思想方法中，转化思想是我们解决问题经常采用的一种方法，它也是数学中最基本最重要的思想方法之一。
本文将就转化思想的概念、分类、研究价值以及应用转化思想解题时应该遵循的基本原则作简单的阐述，并通过对中学数学中常见的数学题型的研究，初步分析该思想在解中学代数问题与几何问题中的应用，以期引起同行的共识，注意在日常教学中加强对学生数学思想的“渗透”。
在解决数学问题时，根据问题的实际性与联系性，科学的设计解决问题的思路，采取得体的数学思想方法适时疏导，用恰当的语言对所学知识进行概括和总结，以知识讲方法，以方法取知识，提高学生学习数学的积极性。
关键词：中学数学；转化思想；数学问题目录1．引言 (2)2．文献综述 (2)2.1国内外研究现状 (2)2.2国内外研究现状的评价 (2)2.3提出问题 (3)3．转化思想的概述 (3)3.1转化思想的概念 (3)3.2转化思想在应用上应遵循的基本原则 (3)4．转化思想的应用 (4)4.1已知与未知之间的转化 (4)4.2不同与相同之间的转化 (5)4.3复杂与简单之间的转化 (6)4.4正面与反面之间的转化 (7)5. 结论 (8)5.1主要发现 (8)5.2启示 (8)5.3局限性 (8)5.4努力方向 (8)参考文献 (9)1．引言在数学学习中，掌握一定的数学思想方法远比掌握一般的数学知识要有用的多。
一方面，数学思想方法是学习数学的“工具”，为我们解决数学问题提供清晰的思路，另一方面在实际工作中也能为我们指明正确的工作方向。
特别是在将来的实际工作中，《课程标准》要求教师要加强对学生数学思想方法的培养。
在众多的数学思想方法中，转化思想是我们解决问题经常采用的一种方法，它也是一种最基本最重要的思想方法。
转化思想又称转换或化归思想，是一种把待解决的问题经过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去。
转化思想在初中数学解题中的运用
转化思想在初中数学解题中的运用张金辉初中数学在学生的整个数学学习生涯中占据着重要的地位，是学生们初步接触代数、几何和函数的阶段，对于学生在高中以及大学阶段更加深入的学习数学知识来说起到了打基础的作用，所以在这个阶段带领学生充分的理解知识点非常重要，这就需要老师们能够灵活地运用各种手段来加深学生对数学知识的理解。
其中，使学生理解转化思想就是一个至关重要的手段，同时转化思想也是数学思维里面非常精华的部分，能够帮助学生形成良好的数学思维习惯。
本文通过简单介绍转化思想，并且详细分析转化思想在数学解题中的运用，来帮助解读转化思想的重要性，也同时能给教育工作者带来更多的教学灵感。
数学思想与数学知识一样是丰富多彩的，在初中阶段为学生建立良好的转化思想对于学生的学习来说有极大的帮助，因为良好的数学思想能更快地为学生找到题干中的关键点，加快解题过程。
而转化思想作为数学思想的基础，也是对于数学知识里的理论与解题方法的概括与总结，并且教师帮助学生理解转化思想也同时是帮助学生能自主将复杂的问题简单化，使学生能够在解答数学题目是举一反三，找到更快的解题办法。
1 转化思想的分类1.1 类比转化思想在初中数学的教育方法中，采用类比转化思想，主要要掌握的要点就是将两种性质相近的事物进行类比，通过类比在学生理解一种解题方法的情况下能够融会贯通的解决类似题目。
如在进行不等式的计算的时候将其类比为方程计算，这样在后期学习过程中，不管是学习一元一次还是一元二次的不等式组学生都能直接类比解题。
1.2 分解转化思想分解转化思想顾名思义就是在解决难题时，将复杂的题目区分成各个小的简单地知识点进行解答。
在许多的综合性题目中采取这种转化思路就能够更容易的解题，如整式的运算以及因式分解等。
1.3 语言转化思想在初中数学知识里，学生就已经开始接触到几何图形了，对于新接触到的学生来说，理解几何图形或许有一定的困难，这个时候就需要老师通过自身过硬的语言表述能力，将复杂的几何图案转化为语言展现给学生，这种方法也是帮助学生在学习几何图形时建立起自身的语言理解能力，能够自主理解后，对接下来的深入几何图形、应用题学习也有好处。
浅谈转化思想在中学数学解题中的应用
浅谈转化思想在中学数学解题中的应用
转化思想在中学数学解题中是非常重要的。
一些难题，通过转
化思想，我们能够在解题过程中寻找出可操作性较大的方法，从而
解决问题。
以下是几个例子阐述转化思想在中学数学解题中的应用：
1.二次方程的求解
在求解二次方程时，一个常用的方法是配方法，即通过加减常数，使得方程中的一些项可以被转化为平方差、完全平方等形式，
从而进行一系列的代数运算得到解。
通过转化思想，我们可以将问
题转化为解决一元二次不等式，将方程的解表示为某一区间，进而
更精准地找出解的范围。
2.证明题的求解
在证明中，往往需要引入一些中间变量进行推导。
通过转化思想，我们可以选择合适的变量进行推导，在中间过程中引入一些有
用的条件、定理等，从而简化证明过程或者得到更优秀的结论。
3.几何题的求解
几何题求解中，通过转化思想，我们能够将一个不太容易处理
的形式转化为更容易处理的形式，从而得到一些结论。
例如，我们
可以通过相似三角形的处理，将某些图形转化为比较规则的图形，
进而求得某些定量的结论。
在中学数学的学习过程中，灵活运用转化思想不仅能够帮助我
们更好地理解数学知识，还能帮助我们解决一些原本难以处理的问题。
浅谈转化思想在中学数学解题中的应用
浅谈转化思想在中学数学解题中的应用转化思想在中学数学解题中的应用对于学生的考试成绩有着非常重要的作用。
从知识的角度来看，数学是一门非常抽象的学科，学习这门课程需要学生具备高度的逻辑思维能力和娴熟的解题技巧。
因此，转化思想的应用能有效的帮助学生提升数学解题能力。
首先，转化思想有助于学生了解数学中不同问题之间的关系。
通过对不同问题进行对比，可以更好地理解数学中各个问题所涉及的核心概念，并使学生能够得出比较完整的数学解答。
其次，转化思想可以帮助学生更有效率地定位并解决问题，因为转化思想可以使学生通过缩小问题范围，更加高效地找到正确的解决途径。
此外，转化思想对数学思考的发展也非常有帮助。
以此来看，通过转化思想，学生能够更好地理解数学思想的演变，进而更好地分析类似的问题，以针对性的解决方案，培养学生灵活思考问题、分析问题的能力。
总得来说，转化思想是一种有效的数学思想，它能够帮助学生更好地理解数学，更快速地学习数学，从而掌握更多的数学技巧来解决数学问题。
因此，转化思想应当被大力弘扬，以便让更多的中学生可以受益于它。
在实际的学习中，教师可以引导学生在解决相关数学解题时运用转化思想。
例如，当学生面临一个比较复杂的物理问题时，教师可以让学生通过转化思想把物理问题转化成数学问题去解决，从而使学生能够更好地理解和深入研究物理问题。
此外，教师也可以结合实际教学加强学生对转化思想的学习，如引入一些简单的案例，引导学生在解决相关问题时去思考转化的可能性，从而提升学生的解题能力。
另外，学生自身也应该养成运用转化思想的习惯，而不是按照常规方法来解决问题。
例如，在分析某一数学问题时，学生要善于思考是否可以通过转化思想来把问题变成更容易解决的问题。
通过这种方式，学生在解题的同时，也能够学会思考如何利用转化思想来突破瓶颈，达到更好的解题效果。
综上所述，转化思想在中学数学解题中的应用非常重要，它有助于学生了解数学问题的发展过程，从而更好地理解这门学科，为在考试中取得更好的成绩提供了助力。
转化思想在初中数学解题中的应用
课程篇转化思想是数学学习中最重要的思想，运用转化思想，可以把复杂问题变成简单问题，把抽象问题转化成形象直观的问题，能提高解题效率。
结合初中数学教学实践，对转化思想在解题中的应用进行了探索。
一、转化思想在代数与方程解题中的应用转化思想作为数学的重要思想和有效解题方法，在有理数解题、代数和方程解题中有着广泛应用，通过转化能够降低解题难度，有效提高解题效率。
例1.计算1225÷135解析：1225÷135=1225÷85=1225×58=12×525×8=3×15×2=310点评：在本题中为了计算方便，把除法转化成了乘法就容易计算了。
在有理数运算中，常常把减法运算转化成加法、把除法运算转化成乘法运算、把有绝对值的问题转化成没有绝对值的问题等，以此来降低解题难度，使计算更简单方便。
例2.对所给代数式进行因式分解：x 4+x 2+2ax +1-a 2解析：在本题中如果我们把x 作为主元进行因式分解就非常困难，如果我们把它转化成以a 为主元的代数式进行因式分解，就比较容易。
x 4+x 2+2ax +1-a 2=-［（a 2-2ax +x 2）-（x 4+2x 2+1）］=-［（a -x ）2-（x 2+1）2］=（x 2+x -a +1）（x 2-x +a +1）点评：化复杂为简单是转化思想的重要目的之一，当在解题中遇到困难时，就要考虑把问题换个角度、换个方法来考虑问题，就能够顺利解决。
此题通过转换主元使问题容易解决。
例3.解方程x +2√=3解析：对方程两边平方得x +2=9，x =7，经检验x =7是方程的根。
点评：在解方程中常常需要把无理数方程转化成有理数方程、分式方程转化成整式方程、二次方程转化成一次方程、二元二次方程转化成二元一次方程，以降低解题难度。
二、转化思想在函数解题中的应用在初中函数的学习中，如果能把对函数的方程、性质问题转化成图像问题，就能使函数的问题变得简单直观，从而提高解题效率。
转化思想在初中数学解题中的应用思考
㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ １６转化思想在初中数学解题中的应用思考转化思想在初中数学解题中的应用思考Һ王晓静㊀（济宁市第十五中学，山东㊀济宁㊀２７２１００）㊀㊀ʌ摘要ɔ转化思想是学习数学的基本思想，指将题目化复杂为简单，化抽象为具体，化生疏为熟悉，化零为整，化静为动等．转化思想可应用于函数㊁几何㊁代数㊁方程等类型题．转化是重要的数学思想之一，教师应提高重视程度，转化思想也是新课标对学生数学思想培养提出的要求．ʌ关键词ɔ转化思想；初中数学；化繁为简前㊀言转化，即将陌生的知识转化为熟悉的知识㊁将复杂的内容转化为精简的内容的过程．作为一种基本的数学思想，转化思想越来越被教师关注．初中阶段学生开始由单纯的知识学习转向进行理性思考，此时教师应注重对学生思维的塑造及培养．下面笔者对转化思想在初中数学解题中的具体应用展开讨论．一㊁转化思想在初中数学的具体化简（一）化复杂为简单进入初中之后，学生遇到的应用性问题日渐增多，不同学生的学习能力差异也日益凸显，原因是一些学生很难将生活化㊁有实际应用意义的数学问题转化为具体的数学解题思路，甚至一些学生不能理解一道应用题的条件．若学生掌握了转化思想，则能在复杂的应用问题中找到熟悉的知识点，解出题目．随着学习的深入，数学题目对学生综合运用知识的能力要求提高，考查多个知识点．因此，化复杂为简单的转化思想有利于学生串联知识点，在复杂的题目中找出熟悉的知识点，解决问题．（二）化抽象为具体数学学科对学生的思维能力要求较高，要求学生找到正确的解题思路．化抽象为具体是指将抽象的数学概念㊁思路等转化为具体的㊁可观感的内容．这一思想常用于有关数形结合的题目，学生用数形结合的方法将具体的概念㊁关系等用图像表示出来，以解出题目．初中阶段学生对事物认知的方式以直观为主，转化思想有利于学生理解题意．数学学科是一门对逻辑思维能力要求较高的学科，学生的思维培养不是一蹴而就的，而转化思想有利于培养学生的逻辑思维．（三）化生疏为熟悉转化思想也可应用于知识的学习过程．学生学习新的知识点时很难快速掌握，而数学恰好是逻辑性较强的学科，如立体几何的学习可应用转化思想．在学习多面㊁多角的立体图形时，学生会有很多困惑．此时，教师可将立体几何转化为平面几何，降低学习难度，顺利开展教学工作．教师不仅要将知识点教给学生，还要培养学生的数学思维和教授学生解决问题的方法．当转化思想成为学生的一种思考意识㊁识记方法时，学生会自觉找寻知识点间的联系，提高学习质量．二㊁转化思想在初中数学的应用例谈（一）转化思想在题目分析中的应用转化思想是学生分析问题时的重要辅助工具，能帮助学生找到解题的有效条件和思路．下面以一道方程题为例具体阐释．例题㊀现有一地区突发洪水，灾区现场急需雨靴这一物资．灾区附近有一家鞋厂，该厂共有９条生产线，即４条皮鞋生产线和５条布鞋生产线．该工厂表示可以为灾区提供救援物资，并制订生产计划，在三天内生产１０００双雨靴．已知一条皮鞋生产线和两条布鞋生产线可以在一天内产出１０５双雨靴．两条皮鞋生产线和三条布鞋生产线可在一天内产出１７８双雨靴．试分析，每条皮鞋生产线与布鞋生产线平均每天可生产多少双雨靴？如上述条件均可实现，那么工厂能不能在三天内完成生产计划？这道题内容比较多，很多学生从开始就出现了畏难情绪 题目太长了，一眼看下去分不清主次，找不到关键信息．在这种情况下，教师可以有意识地指导学生运用转化思想，将问题转化为熟悉的数学公式等，再加以解决．首先，将问题中的题干转化为两个等量关系，设定未知数为ｘ㊁ｙ，这样，问题就转化为学生熟悉的方程问题，可列式ｘ＋２ｙ＝１０５，２ｘ＋３ｙ＝１７８，计算可知ｘ＝４１，ｙ＝３２，即每条皮鞋生产线每天生产雨靴４１双，每条布鞋生产线生产雨靴３２双．学生能进一步得出该生产厂家无法在３天内生产１０００双雨靴．在解决复杂问题时，教师要有意识地引导学生运用转化思想，让学生自觉应用转化思想解题．（二）运用转化思想解决函数与方程式间的转化运用转化思想解决函数与方程的转化问题，是转化思想应用．方程的学习是循序渐进的过程，学生在小学接触一元一次方程，认识ｘ，ｙ这两个未知数，到初中阶段学习一元二次方程㊁二元一次方程㊁方程组等．方程问题的常见解决方法为换元法．教师可将转化思想与换元法结合起来做延伸．如２ｘ４－３ｘ２＋８＝０，首先要将此方程进行降次，将ｘ２设成ｙ，即ｙ＝ｘ２，将原方程转化为２ｙ２－ｙ－８＝０，用公式进行求解．下面笔者通过例题阐释如何用转化思想解初中数学方程题．例题㊀当ｙ＝２ｘ＋３时，有恒等式ｘ２＋２ｘ＋３＝ａｙ２＋ｂｙ＋ｃ成立，求ａｂｃ的值．此题中包含５个未知数，有２个未知数之间存在等量关系．若用待定系数法计算，则计算量极大，且难以得出正确. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ １６结论．此时，可考虑使用换元法．学生在做题时可能会将ａ㊁ｂ㊁ｃ三数之积误以为是分别求解ａ㊁ｂ㊁ｃ的值．因此，教师在引导学生使用换元法时，要着重强调审题的重要性，使学生明确题目究竟问什么．分析之后，教师可组织学生进行小组合作解题．教师可以采用多种教学方式，丰富课堂教学，为学生带来愉快的学习体验，激发学生的学习兴趣．（三）运用转化思想解决动态几何问题动态几何是初中阶段学习的难点，对学生的综合分析能力㊁知识应用能力要求较高．学生要分清点动㊁线动㊁面动的情况，找到其中的关联，进而找到题目要求的关系，求解答案．例题㊀如图１，在平面直角坐标系中，直线ｙ＝１２ｘ＋１与抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ－３交于Ａ㊁Ｂ点，点Ａ在ｘ轴上，点Ｂ的纵坐标为３．点Ｐ是直线ＡＢ下方的抛物线上的动点（不与Ａ㊁Ｂ两点重合），过点Ｐ作ｘ轴的垂线交直线ＡＢ与点Ｃ，做ＰＤʅＡＢ于点Ｄ．（１）求ａ㊁ｂ及ｓｉｎøＡＣＰ的值；（２）设点ｐ的坐标为ｍ，①用含ｍ的代数式表示线段ＰＤ的长，并求出线段ＰＤ长的最大值；②连接ＰＢ，线段ＰＣ将әＰＤＢ分为两个三角形，是否存在适合的ｍ值，使这两个三角形的面积之比为９ʒ１０？若存在，直接写出ｍ值；若不存在，说明理由．图１运用转化思想分析这道问题，学生可以得到如下思路．（１）问要求未知数ａ㊁ｂ，就要将点Ｂ的纵坐标代入直线解析式中求出点Ｂ的横坐标，再求出Ａ点坐标，将两点坐标代入抛物线解析式中求解，难度不大．至于角的正弦值的求解，可利用图中的线段㊁角㊁边关系求解．根据直线方程求出直线ｙ与ｙ轴的交点（确定为Ｅ），得出әＡＯＥ的三边比值，再用ＰＣ与ｘ轴的垂直得出线段平行关系，推出角相等，进而求出ｓｉｎøＡＣＰ的值．在此过程中，学生需要进行角之间的转化．但这一点不容易看出，大多数学生可能会利用әＰＣＤ来求解．由于不清楚点Ｃ坐标，所以思路容易中断．因此，教师要引导学生审题，探索题目中存在的可用的关系式．这类题目在初中阶段一般是考试的压轴题目，学生运用转化思想能够理清思路，找到解决问题的路径．教师可有意识地将转化思想教给学生，学生在解决问题时灵活运用转化思想．（四）转化思想在几何解题中的应用几何是初中数学中的重要学习内容，要求学生具备扎实的数学知识，并且具备一定空间想象能力．其中三角形和四边形题目是教学的重点．转化思想有利于求解几何题目，下面通过例题说明．例题㊀现有一圆，如图２所示．已知圆的直径为ＢＣ，过点Ｂ作一条垂直于ＢＣ的垂线，垂线上有一点Ａ，作圆的切线ＡＤ，且Ｄ为切点．最后，过点Ｄ作一条ＢＣ的垂线ＤＦ，且ＤＦ㊁ＡＣ相交于Ｅ点．证明：ＥＦ＝ＤＥ．图２简单分析题干，可知两点信息：ＢＣʅＡＢ，ＢＣʅＤＦ．根据简单的推论便可以得出ＤＦʊＡＢ．如此一来，ＡＢ与ＥＦ的关系就是位似对应线段．题干要求证明ＥＦ＝ＤＥ，就是要证明Ｅ是ＤＦ的中点．因此，学生在解答问题时可以应用转化思想，将问题转化为 证明Ａ点是ＤＦ的位似对应线段的中点 ．在明确解题方向后，学生就可以按照要求进行解题．首先，将ＣＤ连接并进行延长，与ＢＡ的延长线相交于Ｇ点；然后，连接ＢＤ．根据题干信息可知，ＢＣ是圆的直径，所以øＣＤＢ必然是直角，可知øＧＤＢ也是直角．如此，根据三角形性质可知，әＧＤＢ是直角三角形．此时，要想证明点Ａ是ＤＦ的位似对应线段ＢＧ的中点，那么需要证明ＡＧ＝ＡＢ，运用转化思想，即求证ＡＤ＝ＡＢ．ＡＢ和ＡＤ都是圆的切线，所以ＡＤ＝ＡＢ．９０ʎ－øＡＤＢ＝ø９０ʎ－øＡＢＤ，所以øＡＧＤ＝øＡＤＧ，ＡＤ＝ＧＡ．总体来说，在解答几何类问题时，简单的转化能够降低问题的难度并降低计算的复杂程度，进一步强化学生的解题能力．这道例题考查学生对几何题目的分析．当遇到复杂的几何问题时，学生应运用转化思想，将立体转化为平面，将图像转化为等式．结㊀语在初中数学教学中，教师应充分运用转化思想，完成教学工作，培养学生的数学思维．如何在具体教学中渗透转化思想，是值得教师思考的问题．ʌ参考文献ɔ［１］刘井慧．探析转化思想在初中数学解题中的应用［Ｊ］．数理化解题研究，２０１５（４）：７８－７９．［２］陈旺，谢蓉．转化思想在数学解题中的几个策略［Ｊ］．语数外学习（数学教育），２０１３（９）：１３３．［３］谭德胜．换个角度思考问题：也谈中学数学解题中的化归和转化思想［Ｊ］．理科爱好者（教育教学版），２０１２（３）：４５－４７．［４］王玲，陈伟．转化思想在初中数学解题中的应用与实践［Ｊ］．数理化解题研究（初中版），２０１３（５）：９１－９２．［５］董莹．小议化归与转化思想在初中数学解题中的应用［Ｊ］．读与写（教育教学刊），２０１６（４）：８３－８５．. All Rights Reserved.。
浅谈转化思想在初中数学解题教学中的有效应用
浅谈转化思想在初中数学解题教学中的有效应用摘要：转化思想指的是将一个问题由难化易、由繁化简、由复杂化简单的过程，广泛适用于各类解题中。
初中数学内容相较于小学数学内容而言，深度与难度均有所提升，学生遇到难题的概率越来越大，在遇到难题时若不能有效解决，则会影响学生学习数学知识的积极性，使他们产生畏难情绪，从而降低数学学习效果。
关键词：转化思想；初中数学；解题教学；有效应用引言在新课改后，教师逐渐将教学重心由讲述理论知识转变为培养核心素养，以潜移默化的方式，帮助学生提升自身的逻辑思维和创新思想。
在数学学习中，转化思想是一种常用的、能够帮助学生解决疑难问题和复杂问题的方法，能够拓展学生的思维，培养学生的数学核心素养。
一、实施分层次转化思想，有效解决数学方程问题初中数学的最大特点是以数量关系反映客观世界，将空间形式进行对立统一的矛盾转化。
方程问题是初中数学的学习重点，不仅涉及基本的数量关系，还涉及多个变量。
因此，在解方程的过程中，教师要有效运用转化思想，引入加减消元法和代入法，将多个变量关系转化为一个变量，引导学生运用已经掌握的知识点进行分析，能够有效提高学生解决数学方程问题的正确率。
教师在实施转化思想时，应根据学生的性格特征和学习习惯等，合理控制数学方程问题的难度，采取分层次的转化思想，有效促进学生实现个性化的全面发展。
例如，在分析二元一次方程组题目“有甲乙两数，其和是9，其中乙数是甲的2倍，求两数各是多少”时，教师应先给学生讲授基本的列方程的步骤：假设甲数为x，乙数为y，那么可以将文字式的数学题转化为方程组：（1）x+y=9（2）y=2x。
因x表示甲数是固定的，y表示乙数也是固定的，因此，方程（1）中的y可以用方程（2）中的2x来表示。
将方程（2）代入方程（1）中，从而得出x+2x=9的一元一次方程，最终得出x=3的正确答案。
再将x=3代入方程（2）中，得出y=6。
将这个二元一次方程组进行整合，从而得出该方程组的解：x=3，y=6。
转化思想在初中数学解题中的应用
转化思想在初中数学解题中的应用
初中数学的学习和解题是一项艰苦的任务，两者之间的关系密切，学习得不好，解题也就做不好，因此学习数学和解题都要注重理解解题的思路，而思维的转化是解题的有效策略之一。
转化思维是指从一种思维方式转换成另一种思维方式，也就是思考另一种表示方法。
这一思维方式对初中数学解题特别重要，有时候给出的一道题目可以用多种表示方法表示出来，并以不同的方式去解决，而思维的转化就能有效地帮助我们将这些思维方式联系起来，让我们能够从不同的思维方式去思考和解答同一个问题，从而更好地理解概念，面对比较困难的问题，运用转化思维也能够解开问题。
在解题过程中，首先要把问题转化成一种更容易理解的状态，即将题目中给出的信息用数学公式表示出来，其次需要根据题目要求考虑出多种解法，从而能够通过转化思维来选择更有效的解题思路。
以求出一元二次方程的两个根为例，若已知其一根，则可以采取转化思维，把一元二次方程转化为一元一次方程，然后再根据已知条件求出一元一次方程的解，进而求出另一根。
总之，转化思维是解题的重要思维方式，能够有效地帮助我们运用不同的思维方式来分析问题，理解知识点，避免重复思考，提高解题分析问题的效率，最终达到解题的目的。
在数学学习中，除了转化思维，还要重视归纳总结、抽象思维等，从而进一步提高掌握知识点和解题能力。
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转化思想在初中数学解题中的应用探索
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１１２㊀题，从而实现高效解题，增强学生的解题信心，培养学生的解题能力．举例而言，在教学 二元一次方程组 时，由于学生已经学过了与一元一次方程有关的内容，教师可指导学生对二元一次方程组的题目实施分解，将其转为一元一次方程进行解答．例如，对于由２ｘ－５ｙ＝７和３ｙ＋２ｘ＝－１联立而成的方程组，教师就可引导学生用第一个方程组减去第二个方程组，得出ｙ＝－１，再代入第一个方程组，将其转化为一元一次方程求解．通过这种转化，学生能够感知到，很多看似抽象㊁复杂的数学问题，实际上都是基础题目的集成，这能够增强学生的解题自信．类似的教学案例在代数解题中十分常见，为增强学生对转化思想的理解，在教学过程中，教师应多为学生讲授与配方㊁分解㊁代换有关的转化方法，指导学生将问题转化为一个更简单的式子，以更好地理解㊁应用基础概念和计算方法，在理解问题本质的基础上，更高效㊁准确地解答题目．（二）基于化复杂为简单的数学解题应用在数学学习的过程中，学生有时会遇到一些复杂的问题，这些问题可能涉及多个概念㊁多个步骤或多个变量，为学生带来解题困难，如不能解答这些问题，学生甚至会形成一种挫败感，这十分影响学生的学习积极性．此种情况下，教师可指导学生使用化复杂为简单的转化思想，将复杂的问题转化为一系列简单的子问题，从而使学生更地理解㊁解决数学难题．通过逐步解决子问题，并将它们的结果组合起来，学生最终可得到整个问题的解答，这种思想可帮助学生更好地掌握解题思路，形成一定的数学思维．举例而言，在教学 一元二次方程 时，教师可指导学生使用转化思想解答类似的问题，如对于２（ｘ－２）２－６（ｘ－２）＝－４这道题，教师可指导学生设ｙ＝ｘ－２，将ｙ代入原方程，得到２ｙ２－６ｙ＝－４，通过解答子问题的方式解答原问题，能够使学生的解题变得更高效，明显降低问题的复杂程度，从而增强学生的解题自信．（三）基于化抽象为具体的数学解题应用在数学解题中，有些数学问题往往具有较高的抽象性，常令学生感到难以理解．此种情况下，教师可指导学生采用化抽象为具体的思想，将抽象问题转化为具体实例，通过具体的案例理解㊁解决问题，这种转化思想可帮助学生更好地理解问题的本质，使问题变得更加直观，使学生的解题变得更为便利．举例而言，在指导学生解答概率问题时，对于一些相对抽象的概念和计算方法，教师可指导学生借助化抽象为具体的思想，将问题转化为具体的实例或模拟实验，从而更为直观地理解㊁解答问题．例如，对于一个有关 硬币抛掷 的概率问题，可通过模拟实验，通过实际抛掷硬币并记录结果，帮助学生理解㊁应用概率的概念和计算方法解答问题，使学生更直观地理解概率的含义和计算过程．类似地，在解决几何㊁代数问题时，化抽象为具体的思想也可发挥作用．这类问题常常涉及抽象的概念，对于学生而言可能较难理解．在这种情况下，教师可通过数形结合思想帮助学生理解㊁解答数学问题．例如，在引导学生解答 求最值 问题时，教师可为学生提供相应的代数题，如：求ｘ２＋４＋（１２－ｘ）２＋９的最小值．实践证明，对该式进行直接求取的难度较大，因此教师可指导学生利用转化思想，将该题转化为图形的形式进行解答：如图１，可先作ＡＢ垂直于ＢＣ，ＣＤ垂直于ＢＣ，且设ＡＢ，ＣＤ，ＢＣ的长分别为２，３，１２，点Ｅ在ＢＣ上，这样就可利用勾股定理，通过解方程解答此题，过程如下：设ＢＥ＝ｘ，则ＣＥ＝１２－ｘ，依据勾股定理可列出方程式ＡＥ＝ｘ２＋４，ＤＥ＝（１２－ｘ）２＋９，可将原式转变为求取ＡＥ＋ＥＤ的最小值．教师可指导学生分析图形（如图１），通过观察㊁分析可知，在Ａ，Ｅ，Ｄ三点处于一条线上时（如图２），ＡＥ＋ＤＥ的值最小，且由于图２中әＡＤＦ为直角三角形，通过勾股定理可推出ＡＤ＝１３，即原式的最小值为１３．图１㊀㊀图２（四）基于化零为整的数学解题应用对于一些较为复杂㊁无法通过常规方式进行解答的数学问题，教师也可指导学生通过化零为整的转化思想，挖掘数学知识中隐藏的内在规律，立足局部与整体之间的关系解答问题，此种情况下，学生不仅可形成直观㊁具体㊁高效的解题思路，还会对数学知识之间的逻辑联系产生更为深刻的理解，形成一定的数学思想，这能够增强学生的数学思维，使学生在遇到实际问题时，也能够通过把握数学问题的规律，更好地解答问题．举例而言，在指导学生解答与方程有关的问题时，教师可引导学生解这一道题：已知２ｘ－ｙ＝１，求－８ｘ＋４ｙ＋２０２４的值．由于题目给出的条件相对有限，学生很难通过常规思路解答这一问题，教师可引导学生㊀㊀㊀解题技巧与方法１１３㊀㊀将－８ｘ＋４ｙ看作一个整体，再思考其与２ｘ－ｙ之间的关系，从而解答这一问题．（五）基于化一般为特殊的数学解题应用在数学解题教学中，有些数学问题可能比较复杂，已知条件与所求问题之间或许并没有必然联系，此时教师可指导学生使用从一般到特殊的转化思想进行解题，将问题转化为易于解答的特殊问题，从而更快地找到正确的解题思路．如，可通过引入一些特殊条件，将一般化的问题转为特殊情形的问题，从而使问题更易于理解和解决．举例而言，如图３为一个半圆形机械的零件剖面图，在两个半圆中，长度为６ｃｍ的弦ＡＢ与大半圆的直径ＣＤ平行且与小半圆相切，求图中阴影部分的面积．这道题给出的已知条件较少，尤其是小圆与大圆的半径，在题目中并没有给出，因此学生很难在ＡＢ长度与阴影面积之间建立起有效的联系．此时，教师可引导学生使用转化思想解答问题．如，可将小圆移动到左边，使得两个圆的圆心重合（如图４），此时，就可使用勾股定理解答此题，即Ｓ阴影＝１２πˑＯＢ２－１２πˑＯＥ２＝１２πˑＢＥ２＝１２ˑπˑ３２＝９π２．图３㊀㊀图４三㊁转化思想在初中数学解题中应用的体会（一）能够帮助学生更深入地理解数学概念和解题方法通过使用转化思想，将问题进行转化和变换，学生能够从不同的角度出发，观察㊁思考题目中给出的条件，通过逻辑推理，感知数学学科的本质与数学知识之间的内在规律．例如，在解答几何问题时，学生可通过将抽象的几何概念转化为具体的图形和实例，更加直观地理解几何性质和定理．此种情况下，对转化思想的应用，能够使学生以更深入的方式探索㊁理解数学知识，提高数学学习的质量和水平．（二）能够培养学生的问题转化㊁解答能力在解决数学难题的过程中，学生需要将复杂的问题拆解为简单的子问题，并逐步解决这些子问题，最终得到整个问题的答案．通过以这种方式应用转化思想，学生能够形成一定的分析㊁判断能力，掌握问题转化㊁整合的技巧，这种能力对于学生的学习和未来的发展有着重要的意义．（三）能够培养学生的创造力与创新思维在使用转化思想解决问题的过程中，学生需要通过转化和变换的方式来思考和探索新的解决方法，这种思维方式可培养学生的创造力和创新思维，使他们能够以更富有创意的方式解决问题，这能够促进学生核心素养㊁综合素质的成长．（四）能够使数学教学符合现代教育的发展要求整体看来，数学解题教学中对于转化思想的应用，是契合现代教育的发展形势的．传统教学模式常需要教师以灌输的方式向学生传递知识点，学生对知识点的应用往往是十分机械化的，而转化思想则倡导学生主动㊁积极地对知识展开探索．通过引导学生运用转化思想解决数学难题，教师能够激发学生的学习兴趣和学习动力，培养学生的自主学习能力和解决问题的能力，这有助于在数学课堂中构建起以学生为中心的教学模式，促进学生的全面发展．（五）能够培养学生的核心素养教育实践证明，数学解题教学中，对转化思想的应用，也能够培养学生的核心素养．课程改革背景下，教育部门更加重视对学生核心素养㊁综合能力㊁创新能力的培养，而对转化思想的应用，正是培养学生核心素养的一种有效途径．通过应用转化思想解决问题，学生能够形成一定的数学抽象㊁逻辑推理㊁数学建模㊁直观想象㊁数学运算㊁数据分析能力，为其后续的数学学习打下良好的铺垫．结㊀语综上所述，转化思想在初中数学课堂中是一种重要的解题方法，可帮助学生更好地理解㊁解决数学难题．通过采用语言转化㊁类比转化㊁间接转化㊁等价转化㊁数形转化㊁分解转化等多种转化方法，学生可从不同的角度出发，更好地思考㊁解决问题，提升解题水平．因此，在初中数学教学中，教师应重视培养学生的转化思维，引导他们灵活运用转化思想解决数学难题，从而提高学生的学习效果．ʌ参考文献ɔ［１］游建平．初中课堂教学渗透转化数学思想研究［Ｊ］．亚太教育，２０２２（２３）：１２３－１２６．［２］陈银珠．转化思想在初中数学教学中的应用［Ｊ］．名师在线，２０２２（２７）：６１－６３．［３］林亚额．巧用转化思想解答数学难题［Ｊ］．数理化解题研究，２０２２（２６）：２３－２５．［４］刘亚男．借助转化思想助推初中生高效解答数学题［Ｊ］．数理天地（初中版），２０２２（８）：３５－３６．㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１１４㊀基于核心素养的初中生解题能力培养研究基于核心素养的初中生解题能力培养研究㊀㊀㊀ 以 相似三角形 解题教学为例Һ李㊀晨㊀（南京市玄武高级中学梅园校区，江苏㊀南京㊀２１００１８）㊀㊀ʌ摘要ɔ数学解题能力集中体现了学生的数学综合能力，是数学基础知识㊁数学思维㊁数学能力的浓缩．培养学生的数学解题能力，是发展学生数学核心素养的关键．文章以此为切入点，以相似三角形中常见题目出发，从审题㊁解题等方面展开详细探究，旨在强化学生数学解题能力，促进学生数学核心素养的 落地生根 ．ʌ关键词ɔ初中数学；核心素养；解题能力；相似三角形‘义务教育数学课程标准（２０２２年版）“中，明确了 数学核心素养 的教学目标，旨在促进学生的全面发展．解题能力作为初中数学教学的重要内容，不仅反映了学生的数学知识掌握情况，也反映了数学知识的迁移与应用㊁数学思维发展，以及学生的知识应用能力水平等情况．可以说，从学生的数学解题水平即可窥见学生的数学核心素养的发展．在初中数学几何教学体系中，相似三角形尤为重要，也是考查的重点知识，对学生的数学核心素养提出了更高的要求．鉴于此，加强相似三角形解题教学，培养学生解题能力，是提升学生成绩㊁发展学生数学核心素养的重要渠道．一㊁制约初中生解题能力发展的主要因素分析第一，审题能力低下，无法精准理解题目含义．审题是解题的第一个环节，学生唯有认真审题，理清题目中已知条件和所求结论的关系，才能形成明确的解题思路．但在实践中，由于一些学生缺乏教师的正确引导，致使他们缺乏审题技巧，常常误认为审题等同于阅读题目，也有部分学生受态度的影响，审题中常常出现断章取义㊁草草了事等现象．第二，思维能力薄弱．许多学生关于 相似三角形 的学习依然停留在表层阶段，仅仅掌握了基本的性质与定理，至于知识之间的逻辑关系㊁联系等依然处于混沌的状态．这就严重束缚了学生的数学思维，既无法发挥思维的灵活性，又制约了思维的深度．在这种情况下，学生的解题思维也会更加狭窄，难以应对灵活多变的数学题目．第三，运算能力弱，难以精准解答问题．计算是数学解题中的重要组成，尤其是在 相似三角形 问题中，存在一定的计算量，部分学生在解题时，由于运算能力弱㊁粗心等，容易出现错误，进而影响解题正确率．二㊁核心素养下初中生 相似三角形 解题能力培养路径（一）明确题目要求数学解题建立在审题基础之上，学生重视审题㊁掌握必备的审题技巧，才能通过科学审题，抓住题目关键点㊁深挖题目中隐含条件㊁理清数量关系，并由此形成明确的解题思路．鉴于此，面对数学核心素养下的要求，依托 相似三角形 培养学生解题能力应从正确审题开始．这就要求教师应引导学生认真阅读题目，并融入一定的数学思想，将繁杂的问题明朗化㊁清晰化，以便于学生在审题中找到解题的切入点．㊀图１例１㊀如图１，点Ｇ在平行四边形ＡＢＣＤ的ＤＣ延长线上，连接ＡＧ交ＢＣ，ＢＤ于Ｅ，Ｆ两点，求әＡＧＤʐ（㊀㊀）ʐ（㊀㊀）．解析㊀在审本题时，学生不仅要分析题目中的已知条件，还应关注公共角øＧ，并挖掘其中 边边平行 的隐含条件，分析出图形中的公共角㊁对顶角，以及平行线所产生的角关系：如图１，因为ＢＣʊＡＤ，由此得出ø１＝ø２，结合公共角øＧ，根据相似三角形判定定理得出әＡＧＤʐәＥＧＣ；同时，结合题目分析，根据对顶角相等，得出ø１＝ø３，又因为ＡＢʊＤＧ，即可得出ø４＝øＧ，由此根据相似三角形判定定理得出әＥＧＣʐәＥＡＢ，所以әＡＧＤʐәＥＡＢ．可以说，本题目难度系数比较低，学生认真审题，深层次挖掘题目中隐含的条件，探寻图形之间的关系，即可运用相似三角形判定定理进行解答．（二）理清解题思路在解答 相似三角形 问题时，当完成审题之后，学生还应基于题目中已知条件和结论之间的关系展开分析，并据此形成明确的解题思路．在实际解题中，由于一些题目难度系数高，已知条件和结论联系比较隐蔽，需要经过深入分析方能形成题目的解题思路，并在明确解题思路的引导下，将原本复杂的题目进行分解，使其分解为几个简单的目标，最终通过小目标的逐渐靠拢，完成最终的解答．。
转化思想在初中数学解题中的应用
转化思想在初中数学解题中的应用摘要：现阶段，我国教育体系不断完善，教育质量逐渐提高。
转化思想可以称之为化归思想，其主要指的是将一个问题由难化易、有繁化简，是复杂到简单的有效转化过程，经常被应用于理科学习及研究之中。
数学对于学生而言本就是基础学习科目，在初中阶段也是必不可少的课程内容，可是相较于其他课程而言较为抽象，学生理解起来并不深刻。
而转化思想的有效应用则能改善这一现象，将陌生、未知、抽象、难以理解的问题转变成为学生熟悉且能够解决的问题，从而真正深化学生对于抽象数学知识的理解，有效提升数学教学效率。
关键词：转化思想；初中数学；解题应用引言数学是一门实用性较强的学科，这门学科要求学生具备较高的逻辑思维能力，因此，只有学生能够熟练地掌握和运用数学理论知识，具有一定的思维能力，才能够获得更好的学习成效。
而这就需要老师关注学生的数学思维能力培养，在教学中融入转化思想，通过有效教学来提升学生的思维能力，培养学生的转化意识，帮助学生灵活运用各项知识，提升学生自身的数学核心素养，这样才能够真正有效提高学生的数学成绩，提高数学教学效率。
1转化思想的相关概述转化思想一般是指化归思想，而化归思想则是将一个问题由难华易、由繁化简的过程，是转化与归结的简称。
初中数学涉及到的数学思想较多，像是数形结合思想、分类讨论思想、转化思想等，在众多数学思想之中转化思想可以说是教师教学中经常会使用的一种数学思想，其对于初中生数学能力的提升而言意义非凡，是能够深化学生对数学知识的理解，并且让学生形成应用及转化理论知识的能力。
转化思想是一个非常重要的规划及转化过程，将其应用于数学课堂上能够将一些抽象、复杂的数学问题变得简单化，也可以说简化处理问题的过程。
在初中数学教学过程中，转化思想不仅是帮助学生解决问题的重要思想方法，也是学生在遇到问题之后的第一解题思路，是一种科学的数学思维。
2转化思想在初中数学解题中运用的重要性所谓转化思想，就是在解题过程中不再局限于一种解题方式，而是从多角度、多层次进行分析和求解，寻找效率最高的解题方式。
转化思想在初中数学解题中的运用
转化思想在初中数学解题中的运用作者：陈振刚来源：《中学生数理化·教与学》2017年第01期在初中数学教学中，数学思想是十分重要的内容，其中，转化思想是精髓和核心.在初中数学教学中，教师应依据教学需要将复杂、抽象的教学内容转化为比较简单、形象的题目，使学生深入地对数学题目进行分析，从而提高数学解题效率.一、将陌生的问题转化为熟悉的问题初中数学题目有很多，学生不可能将其全部做一遍，但是教师可以通过一定数量的练习，明确数学解题的方法，培养学生的解题能力.解题其实是一种创造性的思维能力，要具备这种能力需要学生细心观察，科学地利用学过的知识，将陌生的问题转化为熟悉的问题.在初中数学教学中，教师应将教材中比较抽象的知识转化为学生通过努力就能接受的知识，缩小学生接触知识的陌生程度，避免遇到大量的陌生知识使学生出现心理障碍，从而提高教学效果.例如，在讲“二元一次方程”时，对于方程组3x+4y=29，x+2y=13，学生不知道应该怎样解题，教师可以指导学生使用转化思想解题，将方程转化为x=（29-4y）/3，x=13-2y，进而得到（29-4y）/3=13-2y.这样，比较陌生的二元一次方程组就可以转化为熟悉的一元一次方程.遇到新问题时，学生要冷静思考，利用学过的知识解决新问题.这就需要学生熟悉基础知识和解题方法.二、将实际生活问题转化为数学问题注重数学知识的合理运用，实现数学知识与实际生活的联系，这是当前数学教学改革的重点，并且成为教育教学改革的重要指导思想，也是教学课标要求的重点.新的数学教材在强化数学意识方面有一定的改善与提升，注重数学教学的理论与实践的联系，将数学知识应用到实际生产生活中，从而使学生在解决实际问题方面具有更强的能力.在初中数学教学中，将数学知识与实际相联系的目的，就是为了强化学生的基础知识，培养学生数学学习的意识，提高学生分析和解决问题的能力.近年来，中考试题中有很多应用型问题，并且其重要性逐渐提高，在解决实际问题时强化学生的数学分析能力.例如，在地震后，灾区急需大量的帐篷，一家服装厂原本有4条成衣生产线和5条童装生产线，工厂决定转为生产帐篷，想要在3天时间内赶制1200件帐篷，然后运输到灾区，如果启用1条成衣生产线和2条童装生产线，一天可以生产帐篷110顶；如果启用3条成衣生产线和 2条童装生产线，一天可以生产帐篷186顶.那么，每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶？如果工厂实现满负荷转产，能否按时完成任务？这是一道与实际生活联系比较密切的问题，教师通过题干让学生列出方程式进行解答.对于第一个问题，可以设每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷分别为x顶和y顶.则x+2y=110，3x+2y=186，解之，得x=38，y=36.对于第二个问题，可以得到3×（ 38×4 + 36×5） =996三、实现“数”与“形”的有效转化在初中数学教学中，教学内容已经实现以“数”为主转变为以“形”为主，其教学的特点、抽象程度等都发生了一定的变化，有些学生可能无法马上适应，代数过渡到几何，使初中数学教学难度增大.在初中数学教学中，教师应指导学生实现“数”与“形”的相互转化，探索出科学合理的解题道路，使学生心中的疑惑能够得到解决，培养学生的数学能力.比如，可以通过直角坐标系对几何问题进行解决，或是利用图形表达出复杂的数量关系，使数学问题得到解决.例如，在讲“一元一次不等式组”时，教师可以创设“杜鹃花种植问题”的教学情境，让学生认识到解二元一次方程组其实与解一元一次不等式组是一样的，帮助学生实现实际问题到不等式组的建模，使学生对不等式有更加清晰的认识.教师也可以将不等式的解集在数轴上进行直接表示，让学生看到不等式是有多个解的，通过数与形的结合，使数学问题得到解决.总之，在初中数学解题中运用转化思想，能够使数学题目变得简单、灵活.在初中数学解题中，教师要引导学生对转化思想有更加清晰的认识，使学生将转化思想融入到数学解题中，让学生感受到解题的成功与喜悦感.。
转化思想在初中数学解题中的运用
数学学习与研究2014.24数学解题中常用的解题思想就是转化思想,转化思想能够将复杂的题目通过简易的、灵活的、巧妙的方法来对其进行解决.一般数学中的都是包含着数学的解题方法和数学的解题思想.对于数学中概念和定理以及公式,都只是数学的纯理论知识,数学的解题思想和解题方法,才是推动数学发展的主要因素,具有一定的价值,只有把握住数学的思想和方法,才能够掌握数学的发展命脉,将数学一次次推向热点的新高潮.新课改之后,教学过程中,教师越来越注重学生学习能力的培养,然而,在初中数学中,教师更在意对学生数学解题方法和解题思想的掌握.在培养学生转化思想的同时,能够提高学生的自主学习性,还能够激发学生的探索精神,从而帮助学生养成良好的学习习惯.1.初中数学解题中的转化方法1.1类比转化类比转化一般都是指在解题过程中,将一个事物转化成另一个与之相近或者是形似的事物.例如:分数的约分和通分,就是将一个不一样的分子式转化成分母或者是分子相同的分子式;再例如:一元一次不等式可以与一元一次方程式作类比转化,这样,在遇到形似的题型时,做起来就会得心应手一些.1.2语言转化语言转化就是指把语言的表达形式进行适当的转变.例如:数学中的很多语言都是通过生活中的语言所转化而来的,数学中的公式和基本的法则都是通过生活中的语言将其进行转化,还有几何题型中的符号和文字以及图形等都是可以进行相互转化的.1.3间接转化间接转化就是指在解题过程中,运用间接的解题方法来解决问题.例如:在解方程的时候,一般都会运用到换元法,在解析几何的解题中,为了解题,还会自己作一条辅助线,对于应用题的解答,通常会使用设立未知数来进行解答.1.4等价转化等价转化就是指事物与事物之间互相对应并且没有出现什么出入.例如:加法运算中,将加法转化成乘法;整式运算可以将其转化成分式运算;两点之间的距离运算,可以根据一定的转化,将其变成平行线之间的距离运算;而乘法的运算也可是转化成开平方运算.1.5数形转化数形转化就是将图形和数字结合起来进行转化,从而将问题解决好.例如:在进行方程建立的运算中,就会利用到图形转化;在不等式中也会应用到图像的构造;在研究正比例函数和反比例函数时,都会应用图形来表达.图形的表达更能够将抽象的概念变得形象起来.1.6分解转化分解转化就是将一个比较复杂的问题,对其进行分解,通过将大问题分解成一个一个小问题,从而将问题进行简化.例如:在做综合题型时,就可以运用分解转化的思想来解题;在解析几何中,遇到比较复杂的图形,也可以将其划分成很多小部分图形进行解答;在对加减乘除进行整式计算的时候,可以通过分解和组合,将题目组合成简要的题型,从而对整式计算,进行灵活简易的解答.2.转化思想在初中数学解题中的运用2.1利用换元法在数学解题中的应用有些初中数学题,在问题的关系上比较复杂,条件也不够明确,所以,为了将难题简化,利用换元法将其进行简化,把复杂的条件变得更加明确.一般在代数代换中都会需要使用到换元法对其进行解题.例如:解不等式x 1+x 2√+1-x 21+x 2>0.分析一眼看上去,不等式x 1+x 2√+1-x 21+x 2>0与三角函数的公式比较相似,所以可以从三角函数下手.解设x =tan θ-π2<θ<π2(),因此可以得到x 1-x 2√=tan θ1+tan 2θ√=sin θ,化简可得1-x 21+x 2=cos 2θ-sin 2θ=1-sin 2θ>0,简化不等式可得sin 2θ-sin θ-1<0,得到2sin 2θ-sin θ-1<0.解得-12<sin θ<1,解得-π6<θ<π2.因为tan θ>-3√3,所以可得x >-3√3.2.2数形转化在数学解题中的应用在初中数学中,由于教学的重点不一样,所以数学分为代数和几何两个方面,代数的知识重点在于数量之间的关系,相对于几何来说,是具有抽象性的.几何数学中,重点在于几何的形状,更具有直观性,所以,只要具有敏锐的观察力就能够将问题分析得比较透彻,就能够比较容易找到解题的思路和方法.因此,在学习数学的过程当中,一定要注意直观性和抽象性,不能够将重点偏向于哪一点,太过于偏向哪一点就会影响学生逻辑思维的发展.数形转化思想,在数学解题中占有一定的主导地位,利用数形转化思想解题,更容易找到题目的解题方法.2.3一元与多元的转化在数学中的应用很多时候,在解题过程中,要选择主要的未知数,把次要的先进行排除,看清题目中主要是求什么,这样就能够轻松地解决多元多解的更好层次的代数题型.2.4等式与不等式的转化等式与不等式之间的转化就是指将不等式的题目通过一定的变换转变成等式的形式,从而来进行运算.等式与不等式的转化方法有很多种,所以,在进行等式与不等式转化的时候,要注意审题,找到适当的并且简单的方法,把题目解出来.所以,在应用转化思想的时候,一定要注意灵活使用.3.结束语综上所述,数学解题中常用的解题思想就是转化思想,转化思想能够将复杂的题目通过简易的、灵活的、巧妙的方法来对其进行解决.通常的转化方法包括:类比转化、语言转化、间接转化、等价转化、数形转化、以及分级转化.在数学解题中,要视情况而定,根据题型来选择相应的转化方法,切不可盲目使用,盲目使用转化思想可能还会造成自己走过多的弯路,反而达不到解题的要求.应该怎样更好地让学生掌握好转化思想来进行解题,能够灵活地应用转化思想进行解题,这还需要教师在教学过程中不断地灌输和讲解.让学生享受解题成功的喜悦感.教师在教学过程中,也要注意教学方式和教学手段,好的教学方式能够吸引更多的学生参与到课堂中来,能够间接地提高教学效率和学习质量.上述几个例子中,可以发现,转化思想在初中数学解题应用中起到了一定的主导作用,因此,值得在教学中大力推广和使用.转化思想在初中数学解题中的运用◎嵇孝柏(南京外国语学校仙林分校210023). All Rights Reserved.。
浅析转化思想在初中数学解题中的应用
浅析转化思想在初中数学解题中的应用发表时间：2018-01-31T10:29:56.667Z 来源：《中学课程辅导●教学研究》2017年9月下作者：李叔军[导读] 转化思想作为数学教学中重要的一种数学思想。
摘要：转化思想作为数学教学中重要的一种数学思想，是指教师根据相同的数学知识、数学问题从另一个角度切入、另一种语言表达、另一种思维思考，使数学知识学习颇为变化莫测。
这种转化思想运用在数学教学中，不仅提升数学教学的趣味性、生动性，为学生营造良好的教学氛围，也使学生充分调动自己的思绪，积极思考数学知识和数学问题，培养学生多角度思考问题、多层次看待问题、多方式解决问题的能力，从而促进学生长远发展。
本文特此选取初中相关数学问题对于转化思想进行简单地阐述，使学生深入认识数学知识，掌握数学知识，能够运用已有知识解决复杂数学问题，从而保证学生学习数学的质量。
关键词：初中数学解题；转化思想；应用；转化方法转化思想是学习数学比较常见的数学思想之一，是指在研究数学问题的时候遵循复杂问题简单化、抽象问题具体化、繁琐问题层次化的原则，使学生能够运用已学知识对数学问题进行解答，提升学生数学问题解决的成就感，保证数学教学质量。
为此，在初中数学教学过程中，教师不能运用一种方式固定学生的数学思维，而是根据学生的特点，运用多种教学方式引导学生培养多向思维、转化思维，激发学生学习数学知识的兴趣，调动学生参与数学教学的积极主动性，从而保证学生学习期数学的治疗和效果。
一、转化思想在数学解题的重要性在初中数学教学过程中，教师应该根据学生的特点，运用合理的教学方式将转化思想授予给学生，使学生具备转化思想的能力和方法，便于有效地学习初中数学。
对于学生而言，转化思想是学习新知识的基本方式，是解决问题的重要方法。
只有学生充分具备转化思想，才能将复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到解决问题的目的，便于更好掌握初中数学知识和能力，促进学生全面发展和进步。
转化思想在初中数学解题中的作用
转化思想在初中数学解题中的作用在初中数学教学中，数学思想是十分重要的内容，其中，转化思想是精髓和核心．在初中数学教学中，教师应依据教学需要将复杂、抽象的教学内容转化为比较简单、形象的题目，使学生深入地对数学题目进行分析，从而提高数学解题效率．一、将陌生的问题转化为熟悉的问题初中数学题目有很多，学生不可能将其全部做一遍，但是教师可以通过一定数量的练习，明确数学解题的方法，培养学生的解题能力．解题其实是一种创造性的思维能力，要具备这种能力需要学生细心观察，科学地利用学过的知识，将陌生的问题转化为熟悉的问题．在初中数学教学中，教师应将教材中比较抽象的知识转化为学生通过努力就能接受的知识，缩小学生接触知识的陌生程度，避免遇到大量的陌生知识使学生出现心理障碍，从而提高教学效果．二、将实际生活问题转化为数学问题注重数学知识的合理运用，实现数学知识与实际生活的联系，这是当前数学教学改革的重点，并且成为教育教学改革的重要指导思想，也是教学课标要求的重点．新的数学教材在强化数学意识方面有一定的改善与提升，注重数学教学的理论与实践的联系，将数学是为了强化学生的基础知识，培养学生数学学习的意识，提高学生分析和解决问题的能力．近年来，中考试题中有很多应用型问题，并且其重要性逐渐提高，在解决实际问题时强化学生的数学分析能力．计算题，能够使应用题得到轻松解决．三、实现“数”与“形”的有效转化在初中数学教学中，教学内容已经实现以“数”为主转变为以“形”为主，其教学的特点、抽象程度等都发生了一定的变化，有些学生可能无法马上适应，代数过渡到几何，使初中数学教学难度增大．在初中数学教学中，教师应指导学生实现“数”与“形”的相互转化，探索出科学合理的解题道路，使学生心中的疑惑能够得到解决，培养学生的数学能力．比如，可以通过直角坐标系对几何问题进行解决，或是利用图形表达出复杂的数量关系，使数学问题得到解决．例如，在讲“一元一次不等式组”时，教师可以创设“杜鹃花种植问题”的教学情境，让学生认识到解二元一次方程组其实与解一元一次不等式组是一样的，帮助学生实现实际问题到不等式组的建模，使学生对不等式有更加清晰的认识．教师也可以将不等式的解集在数轴上进行直接表示，让学生看到不等式是有多个解的，通过数与形的结合，使数学问题得到解决．总之，在初中数学解题中运用转化思想，能够使数学题目变得简单、灵活．在初中数学解题中，教师要引导学生对转化思想有更加清晰的认识，使学生将转化思想融入到数学解题。
转化思想在初中数学解题中的应用与实践
[转载]谈“转化思想”在初中数学解题中的应用(2011-05-07 15:04:02)转载▼标签：转载原文地址：谈“转化思想”在初中数学解题中的应用作者：诚至石开布卢姆在《教育目标分类学》明确指出：数学转化思想是“把问题元素从一种形式向另一种形式转化的能力”。
如果学生在掌握双基的同时，接受了数学思想，学会了数学方法，就能激发学习数学兴趣，提高分析问题和解决问题的能力，并为以后的学习数学打下坚实的基础。
数学解题的本质就是转化，即把生疏问题转化为熟悉问题，把抽象问题转化为具体问题，把复杂问题转化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题，把高次问题转化为低次问题；把未知条件转化为已知条件，把一个综合问题转化为几个基本问题；因此学生学会数学转化，它包含了数学特有的数、式、形的相互转换，也包含了心理达标的转换。
转化的目的是不断发现问题、分析问题，最终解决问题。
下面结合自己多年的教学实践，谈谈在数学解题中常见的基本转化类型和转化方法。
一、运用数与形之间的“转化”，化抽象为直观。
初中数学是以“数”与“形”这两个基本概念为基础而展开的。
《初中数学新课程标准》（以下简称《新课标》）在学习内容中要求：“能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。
”如运用平面直角坐标系来解决有关函数方面的问题，可以通过图形将复杂或抽象的数量关系，直观形象地翻译出来。
探索出一条合理而乘势的解题途径；达到解决学生心中存在的困惑，培养学生的数学解题能力目的。
例：(2009 广东肇庆中考)如图,已知一次函数y1=x+m(m为常数)的图象与反比例函数y2= (k ≠0)的图象相交于点A(1,3)。
(1)求这两个函数的解析式及其图象的另一个交B的坐标。
（2）观察图象，写出使函数值y1＞y2的自变量的取值范围。
分析：(1)本题要求函数解析式，只要把点A(1,3)代入函数关系式（点转化为数），即解得m=2，k=3。
(2)要求两图象的另一交点B，只要解两个函数联立成的方程组，解得的另一组解（数转化为点），即得点B(-3,-1)，此解题就是将数转化为形过程（使学生直接感受到抽象的方程组解，就是在平面直角坐标系中两个图象的交点的坐标）。
浅谈转化思想在初中数学解题教学中的有效应用
浅谈转化思想在初中数学解题教学中的有效应用摘要：数学是研究数量关系和空间形式的科学。
初中生要想在数学学习中具备良好的知识运用能力，前提是能够对数学思想进行灵活应用。
在初中数学学习中，学生会接触分类、化归、转化等多种思想，其中转化思想是学生需要重点把握的思想之一。
基于此，以下对浅谈转化思想在初中数学解题教学中的有效应用进行了探讨，以供参考。
关键词：转化思想；初中数学；解题教学；有效应用一、转化思想的定义转化思想，广义上是指受外部因素和内在因素的影响，人在思想方面的转变；在数学解题中，具体是指教师通过创新教学方式，转化学生的内在思想，从而有效开展课堂教学。
简单来说，转化思想就是将新旧知识相衔接，从多种角度进行思考如正与反的转化，常量与变量的转化，数与形的转化，实际问题与数学模型的转化，部仅仅是一种重要的解题思想，也是一种基本的思维策略，更是一种思维方式，另辟蹊径。
灵活应用转化思想，在解题过程中能够正确解决难度较高的证明题和应用题，从而提升学生对初中数学学习的自信心。
转化思想以发散性思维为基础，利用学生头脑中的认知改变，让学生的思想进行内部转化，对解题的方向、强度进行灵活的变化，以新思想代替旧思想，取得良好的解题效果。
在转化思想过程中，教师应注意学生在解题过程中的量变和质变，从转化思想中的顺从、认同和内化出发，引导学生完成从被动转变思想到自主转化解题思路的思想态度转变，从而实现学生对转化思想的认同，最终完成转化思想的质变过程。
学生一旦将转化思想内化为自己的思想，转化思想在解题过程中的应用就会更加高效，而这也突出了学生在解题过程中的主观作用，实现由被动到主动、由主动到自觉的学习过程。
因此，在初中数学解题教学中，教师应积极运用转化思想，引导学生积极主动地思考，寻找突破口，准确切入复杂的问题，将问题简单化、分散化，逐级突破，从而培养学生的逻辑思维能力，为学生的未来学习和发展奠定良好的基础。
二、转化思想在初中数学解题教学中的有效应用（一）复杂向简单的转化，助推学生轻松解题复杂向简单的转化其实就是化繁为简。
转化思想在初中数学解题中的应用
转化思想在初中数学解题中的应用摘要：新课标明确指出,教师在教学过程中应当关注对学生学习积极性的培养,多提供一些实践机会,让学生通过课堂学习获得创新能力、解题能力的提升,这对学生的个人成长有非常重要的作用。
教师可以在初中数学教学中给学生渗透类比思想、转化思想、数形结合思想以及讨论思想等。
学生只有熟练掌握这些思想并在学习过程中主动贯彻落实,才能有效地解决各种数学问题。
关键词：转化思想;初中数学;数学解题;转化思想在数学教学中有非常重要的意义,教师可以结合自己的教学经验来制订合理的教学方案,同时也应当关注学生个人的性格特点。
将相同的数学知识、数学问题从另一个角度思考,将其转换成语言表达的方式。
这样一来,学生接受起来会更容易,学习的难度也会大大降低。
与此同时,教师也可以充分地将学生的学习积极性调动起来,让学生主动参与到学习中去。
一、转化思想在数学解题中的重要性转化思想在数学学科的学习中体现得淋漓尽致,它不仅是一种非常高效的数学学习方法,更是学生在长期学习过程中形成的一种数学思维方式。
转化思想的应用对学生数学思维能力和创新能力的提升有非常重要的意义。
初中阶段是一个人素质提升和思维习惯培养的关键时期,是学生转化思想和数学思维能力形成的最佳阶段。
教师在教学过程中应当注意转化思想的应用,结合学生的年龄特点,为学生创设良好的数学思维氛围,让学生通过初中数学的学习,掌握数学元素之间的规律与联系,进而培养学生的数学学科素养。
教师在教学时应当引导学生利用转化思想来解题,在解题的过程中不断地思考,形成新的思路。
二、初中生的思维特点初中阶段是学生从幼稚期到成熟期过渡的关键时期,他们的思想大多比较活跃,对一切新鲜事物充满了好奇。
教师的指导作用非常关键。
教师可以从数学概念的本质与非本质属性之间的关系进行分析,让学生养成利用数学概念与定律判断与推理的习惯。
从教学活动开展的实际情况看,初中生思想都不是很成熟,缺乏必要的抽象逻辑思维。
转化思想在初中数学解题教学中的运用
转化思想在初中数学解题教学中的运用发布时间：2021-04-30T14:02:34.157Z 来源：《中国教师》2021年第3期作者：刘扬[导读] 在数学解题过程中巧借转化思想这一有利法宝对于解决数学难题有着巨大的帮助。
刘扬黑龙江省齐齐哈尔市依安县泰安学校161500摘要：在数学解题过程中巧借转化思想这一有利法宝对于解决数学难题有着巨大的帮助。
数学中的转换思想通常包括：抽象转化为简单、几何转化为代数、空间转化为平面等等多种不同的形式。
新课改之后，教师更加关注学生的学习能力的养成，因此在初中的数学授课中让学生掌握正确的解题思想和解题方法显得尤为重要，而转化思想则成为教师教学的重要部分。
关键词：转化思想数学解题教学运用策略研究正文：数学思想既是学生学习数学的重要内容，同时也是学生解决数学问题的有利武器，其中转化思想则是在解决数学难题时使用最为广泛的一种解题思想。
因此本文就转化思想在初中的数学难题教学实践中的应用做简单论述。
一、在初中数学中运用转化思想解决数学问题的重要性初中数学在难度上有所增加，同时对学生的逻辑思维能力也有了更高的要求。
如果教师仅仅依靠分析数学公式或定理进行授课的话，难免会让学生产生数学兴趣低迷的状况，他们只会在枯燥乏味的讲解中失去对数学的学习信心。
如果老师积极解放思想在解题时教会学生转变思路，把复杂的问题转换成易于理解的形式，那么学生自然能够增加学习兴趣，同时也能够领悟到数学的解题思路和方法。
古语云：授人鱼不如授人以渔，同样教给学生解决数学难题的方法、增强学生剖析问题、解决难题的能力远比教会学生一些数学定理公式要有效得多。
二、在初中数学中运用转化思想的策略2.1启发学生在解题过程中数形转化数形转化是一种极其有效的数学方法。
它能把抽象的数学难题变的清晰明了，对于培养学生的形象思维具有重要的辅助作用。
数形转化思想就是指在学习过程中，把抽象的题目利用图形将复杂的内容简易化，形象直观地重现在学生眼前。
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转化思想在中学数学解题中的应用尚高飞摘要数学学习，不仅要熟练掌握基础知识，更要重视思想的学习．数学思想方法是数学的精髓，也是将理论知识转化为实践技能的桥梁.在众多数学思想方法中，转化思想是我们解决问题经常采用的一种方法，它也是数学中最基本最重要的思想方法之一.本文将就转化思想的概念、分类、研究价值以及应用转化思想解题时应该遵循的基本原则作简单的阐述，并通过对中学数学中常见的数学题型的研究，初步分析该思想在解中学代数问题与几何问题中的应用，以期引起同行的共识，注意在日常教学中加强对学生数学思想的“渗透”. 在解决数学问题时，根据问题的实际性与联系性，科学的设计解决问题的思路，采取得体的数学思想方法适时疏导，用恰当的语言对所学知识进行概括和总结，以知识讲方法，以方法取知识，提高学生学习数学的积极性.关键词：中学数学；转化思想；数学问题Transforming thinking in mathematics problemsolving of middle schoolAbstract ：Mathematics learning, not only to master the basic knowledge, but also to pay attention to mathematical thinking learning. Mathematical way of thinking is the essence of mathematics and it is theoretical knowledge into practical skills of the bridge. Among the many mathematical way of thinking, the transformation of thought is often used to solve the problem we have a method, it is also the most fundamental and important mathematical ideas methods. This paper will into the concept of thinking, classification, research value and application into thinking should be followed in solving a simple exposition of the basic principles and common middle school mathematics through the mathematical study Questions, preliminary analysis of the thinking in solving high school algebra problems and geometric problems in the application in order to raise peer consensus, attention in daily teaching to the students of mathematical thinking of the "infiltration". in solving mathematical problems, according to the problem of the practical and link, science design ideas to solve the problem, the mathematical way of thinking to take appropriate, timely counseling and appropriate language for the knowledge to generalize and summarize the knowledge about ways to approach access knowledge and to improve mathematics learning initiative.Keywords: middle school mathematics；transforming thinking；mathematical problem】目录1．引言 (3)2．文献综述 (3)2.1国内外研究现状 (3)2.2国内外研究现状的评价 (3)2.3提出问题 (4)3．转化思想的概述 (4)3.1转化思想的概念 (4)3.2转化思想的分类 (4)3.3转化思想在应用上应遵循的基本原则 (5)3.4转化思想的研究价值 (5)4．转化思想的应用 (5)4.1已知与未知之间的转化 (6)4.2不同与相同之间的转化 (8)4.3复杂与简单之间的转化 (10)4.4正面与反面之间的转化 (13)4.5一般与特殊之间的转化 (15)5. 结论 (19)5.1主要发现 (19)5.2启示 (19)5.3局限性 (19)5.4努力方向 (19)参考文献 (21)1．引言在数学学习中，掌握一定的数学思想方法远比掌握一般的数学知识要有用的多. 一方面，数学思想方法是学习数学的“工具”，为我们解决数学问题提供清晰的思路，另一方面在实际工作中也能为我们指明正确的工作方向.特别是在将来的实际工作中，《课程标准》要求教师要加强对学生数学思想方法的培养.在众多的数学思想方法中，转化思想是我们解决问题经常采用的一种方法，它也是一种最基本最重要的思想方法.转化思想又称转换或化归思想，是一种把待解决的问题经过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去.能掌握并合理利用这种方法，将对学生数学思维的培养、解题方法的灌输等产生重大而深远的影响.本文首先对转化思想的概念、分类、研究价值以及应用转化思想解题时应该遵循的基本原则作出了明确分析；其次归纳总结了转化思想在中学数学解题中的应用. 中学数学中转化思想无处不在无时不在，贯穿于代数、几何问题中，在方程、不等式、函数等问题的解决过程中经常用到.2．文献综述2.1 国内外研究现状国内外许多中学数学文献对转化思想问题进行了研究.现查阅到的国内外参考文献[1]-[17]中，欧阳维诚、肖果能、吴炯忻、林培榕、陈振宣、王书、郑隆炘、毛鄂涴等在文献[1]-[5]中用不同的方式、从不同的方面阐述了数学转化思想的概念、转化模型以及转化思想的分类；胡炯涛、朱慕菊、囡杨梦、董晓珍、高中伟在文献[6]-[10]中探讨了如何恰当的使用转化这种数学思想方法以及转化思想方法的研究价值；田隆岗、徐建华、刘俊、付本路、姚玉平、薛金星、张嘉谨、史承灼等在文献[11]-[17]中以中学数学典型例题从不同的方面阐述了转化思想方法的应用.2.2 国内外研究现状的评价在所查阅到的国内外参考文献中，对转化思想的概述以及应用方面只是作了简单、零散的介绍，他们所研究的只是转化思想的一个方面且没有深入探讨，也未通过实例加以说明.2.3 提出问题鉴于转化思想方法在数学学习中的重要地位和作用，常规的数学解题方法计算量比较大，就必须对数学转化思想方法进行深入研究，但是在数学领域有关谈论数学转化思想的文献并不是很具体和深入，所以就需要将这些零散的知识归纳起来. 并通过实例加以说明，深入探讨数学转化思想的具体的应用对培养学生的思维意识具有一定的指导意义．3．转化思想的概述3.1转化思想的概念数学是一门严谨的学科，有较强的逻辑性，大多数学问题并不是主观思维能够解决出来的]2[.因此在解决数学问题的过程中，常遇到一些问题直接求解比较困难，往往需要对问题进行观察、分析、类比、联想等思维过程，对问题进行变形，直至把原问题转化为某个较熟悉的问题上去，通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称为“转化的思想方法”.转化思想的实质是揭示问题的联系，实现转化]4[.除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是需要转化为简单问题来解决的.转化思想是解决问题的根本思想，解题过程实际上就是一步一步转化的过程.在解决数学问题过程中随处可见，例如：数形结合的思想体现了数与形的转化；数与方程思想体现了函数、方程、不等式之间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化等等.它们都是转化思想的具体体现.各种变换的方法如分析法、观察法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段.3.2转化思想的分类从转化思想的本质上讲，转化思想可分为等价转化思想和非等价转化思想.等价转化前后是充要条件，即旧问题通过转化成新问题的过程中不需要限制条件，新旧问题完全等价，这种转化思想就叫做等价转化思想，等价转化的特点是具有灵活性和多样性, 在应用等价转化思想去解决数学问题时，不能按照一个统一的模式去进行]1[.可以在数与数、形与形、数与形之间进行转化；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转化，即所说的恒等变形、消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化.等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变. 例如若0>m ,则02=-+m x x 有实数根，转化为02=-+m x x 没有实数根，则m 小于等于0， 这两个命题是相等的.而在不得已的条件下才进行不等价转化，不等价转化的过程中应该附加限制条件，以保证等价性或对所得结论进行必要的验证，不等价转化在明确附加限制条件后也有等价转化同样的意义和应用.3.3转化思想在应用上应遵循的基本原则熟悉化原则.就是将陌生的问题转化为熟悉的问题，利于我们应用熟知的知识、经验来解决问题.和谐化原则.指转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐形式，或者转化命题，使其成为有利于运用某种数学方法或其方法符合的思维规律.简单化原则.就是将复杂的问题转化为简单的问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的或获得某种解题的启示和依据.正难则反原则.当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解]5[.直观化原则.将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决.3.4转化思想的研究价值问题的转化实现了问题的规范性、模式化以便应用已知理论知识、方法技巧解决问题，现代《教学大纲》对教学目的作出进一步的要求：学生在学好基础知识、基本技能的同时也要掌握在解题过程中所蕴含的思想方法，并能够迁移应用于相关学科和社会生活实践中. 转化思想对解决问题具有重要的指导意义，而转化意识、转化能力的高低也是一个人数学水平高低的体现.4．转化思想的应用数学上每个问题都有相互联系的问题，它们或相互等价或构成矛盾，在解决问题的过程中无不在一定条件下相互转化：已知与未知、不同与相同、复杂与简单、正面与反面、一般与特殊它们之间都存在一定的转化关系.下面就从这几个方面深入说明.4.1已知与未知之间的转化当人们面临一些新问题，用正规的思维方法不能解答时，我们就需要转化为我们熟知的已解决问题中，从而使未解决的问题变得熟悉和简单，体现了转化思想的熟悉化原则.（1）转化思想在集合中的应用集合是现代数学的基本概念，是研究数学问题的基础和工具，可见其重要性.在解决一些集合问题时从集合的表达形式不好入手，就需要进行转化，转化到我们所学过的知识上，这样便能迅速的得到解决问题的思路，如：A 是B 的子集可以转化为A B A = 、B B A = 等.例1 已知}1|),{(22=+=y x y x A ,}1|),{(=+=y x y x B ,求B A .分析：由A 、B 两集合中元素的表示形式可知两集合表示的是平面上的点，}1|),{(22=+=y x y x A 表示以原点为圆心，1为半径的圆上的所有的点的集合,}1|),{(=+=y x y x B ,表示直线01=-+y x 上的所有的点的集合.所以B A 表示圆与直线其图像的交点.解：∵}1|),{(22=+=y x y x A ,}1|),{(=+=y x y x B∴根据⎩⎨⎧=-+=+01122y x y x得两图像的交点为 )0,1(、)1,0(∴)0,1{(=B A 、)}1,0(.说明：点的交集问题往往可转化为曲线之间的公共点问题，进而转化为方程组求解的问题，或者使用数形结合的思想将问题的题设和结论转化到图形中，使问题直观形象化，从而有利于问题的解决.(2）转化思想在方程、不等式中的应用可以说每个方程、不等式的解决都渗透了转化思想，将方程和不等式中的未知数向已知数转化就是一个典型的转化，当然在解题的过程中转化思想也随处体现，例如：将分式方程转化为整式方程；将无理方程转化为有理方程；将分式不等式转化为整式不等式等等.例2 解分式方程：xx 332=-． 解: 方程两边同乘以)3(-x x ，得)3(32-=x x解这个方程，得9=x ．检验：将9=x 代入原方程，得左边==31右边 所以，9=x 是原方程的根．说明：在解分式方程或分式不等式时都要转化为整式方程或整式不等式，在转化的过程中注意原式分母的取值情况.（3）转化思想在几何中的应用在解决代数问题时我们常用到数形结合的思想，即由代数式转化为图形，而在解决几何问题时，我们所用到是形与形之间的转化，即在一个大图形中实行局部图形之间的转化或是在多个图形中根据相似、全等等特征实行线段与线段、图形与图形之间的转化.例3 如图14-所示，BC 是半圆的直径，过B 作BC 的垂线，在这垂线上任取一点A ，过A 作半圆的切线AD ，D 为切点.作BC DF ⊥,连结AC 交DF 于E ，求证：EF DE =.分析：由题意,∵BC AB ⊥,BC DF ⊥ ,∴DF AB //.则AB 是EF 的位似对应线段（以C 为位似中心，以FCBC 为位似比）.欲证E 点为DF 的中点，只需证明A 点为DF 的位似对应线段的中点即可.连结CD 并延长与BA 的延长线交于G ,连结BD , ∵BC 为半圆直径，∴︒=∠90BDC ，∴︒=∠90BDG ,BDG ∆为直角三角形，欲证AG AB =,只需证AD AB =即可.∵AB 、AD 同为切线，∴AD AB =,只需要证明AD AG =.即要证AGD ADG ∠=∠,又∵ADB ADG ∠-=∠︒90, ABD AGD ∠-=∠︒90,于是D C A EG B 图4-1F问题解决.证明（略）.说明：在上述解决几何问题的过程中，我们用到了线段与线段之间的转化思想，这种转化方式称为线段的位似转化，通过线段之间的联系将未知线段通过已知线段求解出来.位似转化思想在图形与图形的转化中也是适用的.例4 求证等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于腰上的高.已知：在ABC ∆中，AC AB =,D 是BC 上任一点，AC DE ⊥交AC 于E ，AB DF ⊥交AB 于F ，AC BG ⊥交AC 于G .求证：BG DF DE =+.分析：由题意如图24-所示，问题可转化为ACD ABD ABC S S S ∆∆∆+=，变得非常简单.证明：连结AD ，则ACD ABD ABC S S S ∆∆∆+=即 DE AC DF AB BG AC ⨯+⨯=⨯212121 ∵AC AB = ∴ BG DF DE =+.说明：利用面积法解决图形中的线段关系，从已知条件出发，使未知条件与已知条件联系在一起，找到解题的思路，从而解决未知问题.4.2不同与相同之间的转化求“相同”寻“不同”是非常重要的思想方法，化“不同”为“相同”同样也很重要，在函数问题中较为广范应用，尤其是在三角函数的化简和求值、指数函数与对数函数问题、函数与反函数之间的关系中的应用得到很好的体现.(1)转化思想在三角函数中的应用中学数学中三角函数的问题是一个难点，我们学习的时候只针对特殊角︒0、︒30、︒45、︒60、︒90进行正弦、余弦、正切、余切的求值，而想要求出一般角的三角函数就需要查表，这样无疑比较麻烦，如果根据三角函数自身的特征将不同的三角函数问题划归到同一个三角函数问题上就可能使问题迎刃而解.例5 利用三角公式化简)10tan 31(50sin ︒︒+. D B CA F G E 图4-2分析：该题中涉及到︒10、︒50这些不特殊的角，不能直接求出其三角函数值.就必须进行转化：︒︒︒=10cos 10sin 10tan ，再从代数式的结构上看很容易联想到两角和的三角函数求法.解：原式=)10cos 10sin 31(50sin ︒︒︒+ =︒︒︒︒+⨯10cos )10sin 3310cos 21(250sin =︒︒︒︒︒︒+⨯10cos 10sin 30cos 10cos 30sin 50sin 2 =︒︒︒⨯10cos 40sin 40cos 2 =︒︒10cos 80sin =︒︒10cos 10cos 1=.说明：上述解题过程中充分体现了数学转化思想，在三角函数的化简和求值问题中转化思想随处可见，如：ααα2s i n c o s s i n2=、αααcos sin tan =、ααα2cos sin cos 22=-等.（2）转化思想在初等函数中的应用转化思想在初等函数中也有广泛的应用，尤其是在解决指数问题、对数问题是体现得很到位.例6 化简)625()23(log +-分析：本题中由于对数的底数和真数是无理数，且都比较复杂，不能直接求解，但是由真数和底数的结构我们能联想到2)23(625+=+，而1)23)(23(=-+，得2)23(625--=+，再代换到原式中去就能简单求解.解: ∵222)23()2(62)3(625+=++=+ 又∵1)23)(23(=-+ ∴2)23(625--=+ ∴2)23()23()625()23(log log ---+-=2-=.说明：在一些复杂对数的化简和求值过程中，将真数通过各种变换转化成与底数有联系的代数式，就能直接求解.化“不同”为“相同”在不能转化为完全相同的情况下，只需将对数中的各项转化为都具有某种相同的结构，也能让我们发掘出解决问题的思路.4.3复杂与简单之间的转化复杂与简单是一对矛盾，在一定条件下同样能发生转化.在代数中，高次方程通过因式分解、因式变形，达到降次的目的；多元方程通过消元，转化为一元方程；解析几何里常用曲线的参数方程表示曲线上点的坐标，以减少变量的个数；立体几何中，常将三维空间问题转化为二维平面几何问题，达到降维的目的.对于含有较多条件的命题往往抓住主要条件，突破一点推动全局，其目的都是使问题化繁为简、化难为易.而在数形结合的问题上将代数问题转化到几何中解决同样也是将复杂问题简单化.在转化的过程中要注意问题的本质和所涉及各个方面的内在联系，逐步迫近目标直至获解.（1）转化思想在方程组中的应用方程组一般都涉及到多个方程、多个未知数，解方程组常用的方法有换元法和消元法.都是将复杂问题简单化，转化思想的引入使问题一步步得以解决.例7 若1x 、2x 、3x 、4x 和5x 满足：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=++++=++++962482242122625432154321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x确定5423x x +的值.分析：将5个方程相加，可得3154321=++++x x x x x ……○1然后用最后两个方程分别减去○1即可求出：174=x 、655=x所以：1812354=+x x .解（略）.说明：该题的解答过程中使用了消元法，消元法有为加减消元和乘除消元两种类型，都是将多个方程转化为一个或两个方程的情况，方便对问题的求解.（2）转化思想在曲线问题中的应用高中数学涉及到的参数问题多指圆和椭圆的曲线参数，由于在三角函数中1cos sin 22=+αα、圆的标准方程1)()(22=+++b y a x 和椭圆的标准方程12222=+by a x ，所以往往可以把一些复杂的曲线问题转化到三角函数问题中，如：在圆中可以令αsin =+a x 、αcos =+b y 等等.例8 以圆点为圆心，分别以a 、b )0(>>b a 为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过A 点作Ox AN ⊥垂足为N ，过B 点作AN BM ⊥垂足为M ，求当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹方程.分析：本题所涉及的是多元曲线的交点轨迹问题，题设没有给出曲线的方程，只有借助曲线本身方程的性质列出参数方程进行求解.解：由题意，如图34-所示，设点M 的坐标是),(y x ，ϕ是以Ox 为始边，OA 为终边的正角，ϕ为参数，那么⎪⎩⎪⎨⎧====ϕϕsin cos OB NM y OA ON x 也就是 ⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x 这是所求点M 的参数方程.分别将上述方程组中的两个方程变形，得 B MO xA N y图4-3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x再将上述两方程两边平方后相加，得 1sin cos 222222=+=+ϕϕb y a x消去参数方程中的参数后，得到的方程是椭圆的标准方程12222=+b y a x由此可知，点M 的轨迹是椭圆，椭圆方程为 ：12222=+by a x . 说明：在引入参数方程解决曲线轨迹问题时，应注意所给的条件和结论所适应的范围，以便进行取舍，作出轨迹.（3）转化思想在数形结合中的应用对解决数学问题而言，借助图形性质来研究数量关系或借助数量关系来研究图形性质，即根据“数”与“形”之间的相互转化来解决数学问题的方法就称为数形结合法，这种数与形之间相互转化的过程也充分体现了转化思想的应用.例9 已知}9|),{(},|),{(2x y x N b x y y x M -=+==，若N M =Ø，求b 的范围.分析：本题所涉及的不是整圆，仅仅是圆的一部分.集合M 是斜率为1，在y 轴上的截距为b 的一束直线，集合N 是以原点为圆心，半径为3的圆在x 轴上方的部分包括与x 轴的交点.解：由题意作图44-,如图当直线b x y +=，过)0,3(A 时：3-=b 当直线与半圆相切时，则点到直线的距离为：32==bd Mx A (3,0)y 图4-4N O所以 23±=b由图形易知 0>b故 23=b则 233<<-b .（4）转化思想在立体几何中的应用在高中数学教学中，三维空间问题是一个难点，由于图形比较复杂，在立体几何中求解线段或是面积问题时，我们可以将已知条件和所要解决的问题联系起来，将问题所在的平面从立体图形中分割出来，将三维空间问题转化为二维平面问题，这样使问题比较直观，便于求解.例10 设正方体棱长为a 2，分别以8个顶点为球心作半径为a 的8个球.试求空间中与这8个球相切的球的半径.分析：根据图形的对称性，可借助辅平面，将问题转化为平面几何问题.辅助平面的选择,应要求它与空间图形相截所得的平面图形能够较全面地概括原问题的位置关系与度量关系，因为本题所求的两个球和正方体的外接球是同心球.所以应以正方体的对棱面为辅助平面，将相切球问题转化为相切圆的问题.解：由题意如图54-所示∵a AD 2=∴a DE 22=、a OA 3= ∴a OG )13(-=、a OB )13(+=∴所求两个相切球的半径分别为 a )13(-和a )13(+.说明：上述的立体几何问题涉及到的图形太多，很难想象出图形的轮廓组成，更不能画出完整的图形，就需要将问题转化到与之有联系的平面中去.4.4正面与反面之间的转化一个命题的题设和结论是因果关系的辩证统一体，解题过程中，如果按照直观的思维去解题往往会遇到不必要的麻烦，就不能正常的完成解题，不妨从它的反面出发，逆向思维，会另有捷径.GB D E FA 图4-5O（1）补集思想在转化中的应用在集合中U 代表全集，若给定集合A ，则A C U 代表的是集合A 的补集，在解决问题时，如果从正面直接求解集合A 比较困难，我们可以考虑其反面，利用补集的思想来解决问题.例11 已知集合}023|{2=-+=x ax x A 且A 中元素至多只有一个，求实数a 的取值范围.分析：本题中如果直接讨论集合A 中至多只有一个元素的情况，就比较复杂，需要对方程进行无实根和有一个实根两类情况分别讨论，而反面只需考虑有两个不等实根的情况.可用补集思想求解.解：方程0232=-+x ax 有两个不等实根的条件为⎩⎨⎧>+≠0890a a解得 89->a 因而方程至多有一个实根的条件为 89-≤a . 说明：补集思想在解题中的应用，是根据在集合中：若全集U 中有两个集合A 集合和B 集合，则B C A U =或A C B U =的性质来解题的.（2）转化思想在概率中的应用根据对立事件的实质，如果事件A 和事件B 互为对立事件，则)(1)(B P A P -=，当我们解决概率问题时所求问题的概率比较繁琐时可将问题转化到对立问题上去，进而快速求解.例12 在两个袋子中分别放有6张卡片，且每个袋子中的每张卡片分别标有1、2、3、4、5、6的不同数字，现在从两个袋子中任意各抽出一张卡片，则两张卡片上的数字之和不是7的概率是多少？分析：直接求解需要分别求出两张卡片上的数字之和为2、3、4、5、6、8、9、10、11、12的概率，然后相加，这样就比较繁琐，问题可以转化为用1减去出现两张卡片上数字之和为7的概率.解：由于出现数字之和为7的情况有61+、52+、43+、34+、25+、16+共6种情况，而总共可能出现的情况有361616=⨯A A 种.所以所求概率为:653661=- 说明：概率问题的解决通常渗透了排列、组合的问题，而且经常用到分类讨论的思想，这样就使得问题复杂化，我们可根据已知条件从问题的反面出发，解决对立问题，在根据)(1)(B P A P -=求出原问题的解.4.5一般与特殊之间的转化由“一般”向“特殊”的转化是一种具有方法论意义的思维形式，是人类认识世界的普遍规律]12[.在数学中有着十分广泛的应用，“一般”与“特殊”总是相对的，对于“一般”问题来说“特殊”问题的解决往往是比较容易的，可利用“特殊”问题中蕴含的本质联系通过归纳思维来引出“一般”问题的解法.这种解决问题的方法叫做“特殊化法”，是一种把研究对象或要解决的问题从大范围缩小到较小范围或个别情况，甚至极端情况来考虑.实行“以退位进”的策略，对条件和结论之间关系不明确或题目本身抽象的数学问题，用“特殊化”替代一般情况往往能起到化繁为简、化难为易的功效.（1）转化思想在选择题、填空题中的应用在解选择题、填空题时，当选择题、填空题结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个值时，可采用特殊化法.特殊化法一般可取特殊值、特殊位置、特殊数列、构造特殊图形或几何体等.例13 当c b a <<，z y x <<时，下列代数的值中最大的一个是（ ）. A .cz by ax ++ B .bz cy ax ++ C .cz ay bx ++ D .az cy bx ++分析：此题的正确结论唯一，故可取满足条件的特殊值（要考虑简单）进行演算推理，以达到判断各选项正确与否的目的.解：取1==x a ，2==y b ，3==z c 分别代入四个选项，计算得四个选项的值分别为14、13、13、11，因此选A .说明：解选择题时，因为不要求清晰的解题思路和明确的解题过程，只要求答案符合原题意即可，所以在做选择题时我们可根据题意对问题中的未知数取特殊值或限定特殊范围，再对各选项进行排除最后方可得到答案.。