矩阵初等变换的推广及其应用
矩阵的初等变换及其应用
3.矩阵的初等变换的应用
3.1求矩阵的秩
求矩阵秩的方法很多，一般有定义法、初等变换法、相关公式法、综合法、但当矩阵的具体元素为已知时，一般采用初等变换法即求非零行（列）的个数。
定义3.1.1 矩阵 中非零子式的最高阶数 称为矩阵 的秩.亦即， 中存在不为0的 阶子式，而所有 阶子式（若有的话）均为0，这时矩阵 的秩记作 (或 或秩 )
定义3.5.1 设 是一个 阶方阵，如果存在一个数 及一个 维非零列向量 ，使得
即
成立，则称数 为方阵 的一个特征值，非零列向量 称为方阵 的对应于（或属于）特征值 的特征向量.
定义3.5.2 行列式 （或 ）称为矩阵 的特征多项式（注：特征多项式是 的 次多项式.） 是矩阵 的特征方程，具体形式为：
总之，矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算手段，我们可以利用矩阵初等变换求矩阵的秩，求逆矩阵，求矩阵方程等各种计算实例。随着科学技术的不断发展，矩阵的应用已经深入到了自然，社会，工程，经济等各个领域，而且人工智能、手机通讯和一般的算法设计和阐发等，矩阵在其应用中是通讯优化。我们不能局限于书本的学习，要理论联系实际，更好的运用理论知识解决实际遇到的问题。
时，子块 就化为 ，使得 。此时，若令 ，则 化为标准形
例8 化二次型 为标准形。
解：二次型矩阵为
实施初等变换
这样，经坐标变换 ，其中
二次型化为标准形
注：二次型可以用多种方法化标准形，其标准形不唯一。
总 结
在解决代数方面的一些题目时，运用矩阵的初等变换可以使问题简单化，比如在化二次型为标准型时，除了可以用初等变换法，还可以用正交变换法和配方法来计算，相比较初等变换更为简单，易于计算，好理解。矩阵的初等变换在解决线性代数的计算问题中有很多应用，这些计算格式有不少类似之处，一旦掌握了矩阵的运算，我们分析和解决方程组的能力将会大大增强。
矩阵的初等变换及其应用
在数学中矩阵最早来源于方程组的系数及常数所构成的方阵，现在矩阵是线性代数最基本也是最重要的概念之一。
在线性代数及其许多的问题中都能看到矩阵的身影，它能把抽象的问题用矩阵表示出来，通过对矩阵进行计算得出结果。
作为矩阵的基础及核心，矩阵的初等变换及应用是非常重要的，它能够把各种复杂的矩阵转化成我们需要的矩阵形式，从而使计算变得更加的简便。
本文总结了线性变换在线性代数、初等数论、通信、经济、生物遗传等方面的应用。
关键词：矩阵；初等变换；标准型；逆矩阵；标准型；秩；方程组ABSTRACTMatrix derived from the first phalanx of the coefficients and constants of the equations in mathematics, now matrix is the most fundamental and important concepts of linear algebra, in linear algebra and many other questions can be seen the figure of the matrix, It can abstract the matrix representation, then matrix calculated results. As the foundation and core of the matrix, the elementary transformation matrix and its application is very important, it can conversion a variety of complex matrix into a matrix form we need, then the calculation becomes more simple.This paper summarizes the application of linear algebra, elementary number theory, communications, and economic, biological heredity.Key words:Matrix; Elementary transformation; standard; inverse matrix; standard; rank; equations;1矩阵及其初等变换的概念 (1)2矩阵初等变换的应用 (1)2.1在线性代数中的应用 (2)2.1.1 将矩阵化简为阶梯型和等价标准型 (2)2.1.2矩阵的分块和分块矩阵的初等变换 (3)2.1.3求伴随矩阵和逆矩阵 (4)2.1.4求矩阵的秩，向量组的秩 (5)2.1.5求矩阵的特征值和特征向量 (6)2.1.6 解线性方程组 (7)2.1.7求解矩阵方程 (8)2.1.8化二次型为标准型 (9)2.1.9判断向量组的线性相关性，求其极大线性无关组 (11)2.2在数论中的应用 (11)2.3在通信中的应用 (13)2.4在经济方面的应用 (14)2.5在生物遗传方面的应用 (15)总结 (18)致谢 (19)参考文献 (20)矩阵的初等变换及其应用在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为对这些矩阵的转化过程，除方程组之外，还有很多方面的问题也都涉及矩阵的概念及其应用，这些问题的研究常常转化为对矩阵的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的。
矩阵初等变换及其在线性代数中的应用
矩阵初等变换及其在线性代数中的应用线性代数是一门重要的数学分支，它研究的是线性变换及其代数分析性质。
其中，矩阵是线性代数中非常重要的工具，它可以把线性方程组转化成一个更简单的形式，使得我们可以更容易地进行求解。
而矩阵的初等变换则是在求解线性方程组时必须要用到的一种基本技巧。
本篇文章将深入探讨矩阵初等变换及其在线性代数中的应用。
矩阵初等变换到底是什么？矩阵初等变换是指对于一个矩阵来说，可以通过三种基本变换操作得到新的矩阵。
这三种操作分别是：交换矩阵的任意两行或两列；用一个非零常数 k 乘以矩阵的某一行或某一列；将矩阵的某一行或某一列加上另一行或另一列的 k 倍。
这三种操作称为矩阵的行初等变换或列初等变换。
首先来看一个示例，假设有如下矩阵：$$\begin{bmatrix}1 &2 \\3 &4 \\\end{bmatrix}$$对于这个矩阵，我们可以进行如下初等变换：①交换第一行和第二行$$\begin{bmatrix}3 &4 \\1 &2 \\\end{bmatrix}$$②将第二行乘以2$$\begin{bmatrix}1 &2 \\6 & 8 \\\end{bmatrix}$$③将第二行减去第一行的两倍$$\begin{bmatrix}1 &2 \\4 & 4 \\\end{bmatrix}$$通过这三种基本变换，我们可以将原始矩阵变换成一个新的矩阵。
这个过程通常用矩阵的运算符号表示，比如将第二行减去第一行两倍的操作可以表示为：$$\begin{bmatrix}1 & 0 \\-2 & 1 \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 &2 \\3 &4 \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 &2 \\1 & 0 \\\end{bmatrix}$$其中，左侧的矩阵就是一个变换矩阵，它表示了对原矩阵的操作。
矩阵的初等变换及其应用
矩阵的初等变换是指对矩阵进行一系列特定的行变换、列变换或行列变换，其目的是简化矩阵的形式或者解方程组。
常见的初等变换包括以下三种：
1.交换两行或两列：将矩阵中的两行或两列进行交换。
2.某一行或列乘以一个非零常数**：将矩阵中的某一行或某一列的所有元素乘以一个非零常数。
3.某一行或列加上另一行或列的若干倍**：将矩阵中的某一行或某一列的元素分别加上另一行或列对应位置元素的若干倍。
矩阵的初等变换可以应用于多个领域，主要包括以下几个方面的应用：
1.线性方程组的求解：通过对增广矩阵进行初等变换，将线性方程组化简为最简形式，从而求得方程组的解。
2.矩阵的求逆：通过初等变换将原矩阵化为单位矩阵或对角矩阵，从而求得原矩阵的逆矩阵。
3.矩阵的标准形式：利用初等变换将矩阵化为标准形式，如行阶梯形矩阵或最简行阶梯形矩阵，便于进一步的研究和计算。
4.特征值和特征向量的求解：通过初等变换将矩阵转化为对角矩阵，
从而求得矩阵的特征值和特征向量。
5.线性空间的基变换：在线性代数中，我们可以通过初等变换将一组向量变换为线性空间的一组基，从而简化问题的处理。
总的来说，矩阵的初等变换在线性代数、方程组求解、特征值分析等领域都具有重要的应用价值，能够简化计算、找出规律、解决实际问题。
矩阵的初等变换及其应用
矩阵的初等变换及其应用线性代数第一次讨论课1.导语2.讨论内容目录3.正文4.个人总结导语:矩阵是研究线性代数方程组和其他相关问题的有力工具，也是线性代数的主要研究啊、对象之一。
它的理论和方法在自然科学、工程技术、社会科学等众多领域等都有极其广泛的应用。
矩阵作为一些抽象数学的具体表现，在数学研究中占有极其重要的地位。
本文从矩阵的概念讨论矩阵的运算及性质，进而讨论用途很广的矩阵的初等变换及其应用。
讨论内容目录矩阵的初等变换及其应用1.两个矩阵的等价2.两个矩阵的乘积3.将矩阵化为行阶梯型、行最简形、标准型4.求矩阵的秩5.求可逆矩阵的逆矩阵6.求线性方程组的解7.判断向量组的线性相关性8.求向量组的秩与极大无关组9.求矩阵的对角化矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值）10.二次型化为标准形正文一、矩阵的等价1.定义：若矩阵A经过一系列初等行变换化为B矩阵,则称A与B行等价；若矩阵A经过一系列初等列变换化为B矩阵,则称A与B列等价；若矩阵A经过一系列初等变换化为B矩阵,则称A与B等价（相抵）。
2.矩阵的等价变换形式主要有如下几种：1）矩阵的i行（列）与j行（列）的位置互换；2）用一个非零常数k乘矩阵的第i行（列）的每个元；3）将矩阵的第j行（列）的所有元得k倍加到第i行（列）的对应元上去；即如果两个矩阵可通过有限次上述变换中的一个或几个的组合变为一样的，两个矩阵等价。
3.矩阵等价具有下列性质（1）反身性任一矩阵A与自身等价；（2）对称性若A与B等价，则B与A等价；（3）传递性若A与B等价，B与C等价，则A与C等价；注意：矩阵作初等变换是矩阵的一种运算，得到的是一个新矩阵，这个矩阵一般与原矩阵不会相等。
下面举例说明矩阵等价及等价变换：13640824100412204128--?? ?- ? ?-- ?-??13r r +→43213131414331222136413640824100824100412204122041280 412813641364082410082410000300030060000r rr r r r r rr r r r B ++-++-----???? ? ?-- ? ????→???→---- ? ?-------- ? ?→= ? ? ? ?????1231213121310341813601030013001300001000100000000r r r r r r r r r C -------???? ?-- ? ?→→= ?显然，根据矩阵等价的定义，以上变换过程中的每一个矩阵均为等价的，每个步骤都是等价转换。
矩阵的初等变换及应用的总结
矩阵的初等变换及应用的总结矩阵的初等变换是线性代数中非常重要的一个概念，它可以通过对矩阵的行或列进行一系列的操作，得到新的矩阵。
初等变换主要包括三种：行交换、行倍乘和行倍加。
在实际应用中，初等变换可以用来求解线性方程组、计算矩阵的逆和秩等。
一、行交换：行交换是将矩阵中的两行进行调换。
具体操作是互换两行的顺序，即将矩阵的第i行与第j行进行互换。
这个操作可以用一个初等矩阵来表示，即单位矩阵中将第i行和第j行进行交换。
应用：在线性方程组的求解中，我们可以通过行交换将系数矩阵的行变换成一个上三角矩阵，从而方便进行后续的计算。
二、行倍乘：行倍乘是将矩阵中的其中一行的所有元素同时乘以一个非零常数k。
具体操作是将矩阵的第i行的每个元素都乘以k。
这个操作可以用一个初等矩阵来表示，即在单位矩阵的第i行的对角线位置上放置k。
应用：行倍乘在求解线性方程组时，可以用来将一些方程的系数标准化，使得系数矩阵变为一个拥有单位元的对角矩阵，从而简化方程组的求解。
三、行倍加：行倍加是将矩阵中的其中一行的每个元素都乘以一个非零常数k，并加到另一行的对应元素上。
具体操作是将矩阵的第i行的每个元素都乘以k，然后加到矩阵的第j行的对应元素上。
这个操作可以用一个初等矩阵来表示，即在单位矩阵的第j行的第i列上放置k。
应用：行倍加在线性方程组的求解中，可以用来将一些方程的k倍加到另一个方程上，从而使一些方程的一些变量消失，达到消元的目的。
综上所述，矩阵的初等变换是通过对矩阵的行或列进行一系列的操作，得到新的矩阵。
初等变换主要包括行交换、行倍乘和行倍加。
在实际应用中，初等变换可以用来求解线性方程组、计算矩阵的逆和秩等。
在线性方程组的求解中，通过矩阵的初等变换可以将系数矩阵变为一个上三角矩阵，从而方便后续的计算。
同时，可以通过初等变换将方程组化为最简形式，从而得到方程组的解。
在计算矩阵的逆时，可以通过初等变换将原矩阵左边加上单位矩阵，并经过一系列的操作将原矩阵化为单位矩阵，从而得到矩阵的逆。
矩阵初等变换及其应用毕业论文
矩阵初等变换及其应用毕业论文矩阵初等变换及其应用毕业论文摘 要：初等变换是高等代数和线性代数学习过程中非常重要的，使用非常广泛的一种工具。
本文列举了矩阵初等变换的几种应用，包括求矩阵的秩、判断矩阵是否可逆及求逆矩阵、判断线性方程组解的状况、求解线性方程组的一般解及基础解系、证向量的线性相关性及求向量的极大无关组、求向量空间两个基的过渡矩阵、化二次型为标准形。
并用具体例子说明矩阵初等变换在以上几种应用中是如何运用的。
关键词：矩阵 初等变换 初等矩阵在代数的学习过程中，我发现矩阵的初等变换有许多应用，几乎贯穿着始终。
本文将对矩阵的初等变换进行介绍并以具体例子说明矩阵初等变换的七种应用。
虽然这些计算格式有不少类似之处，但是也指出由于这些计算格式有不同的原理，所以它们的应用也有一些明显的区别。
定义1：矩阵的行（列）初等变换是指对一个矩阵施行的下列变换： （1）交换矩阵的两行（列）(交换第i ，j 两行（列），记作()ij ij r c ）；（2）用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素（用数k 乘以第i 行（列），记作()(())i i r k c k ；（3）用某一个数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一个元素再加到另一行（列）的对应元素上(第i 行（列）k 倍加到第j 行（列），记作()(())ij ij r k c k 。
初等行、列变换统称为初等变换。
定义2：对单位矩阵I 仅施以一次初等变换后得到的矩阵称为相应的初等矩阵，分别记为第1、2、3类行（列）初等矩阵为()ij ij R C ，()(())i i R k C k ，()(())ij ij R k C k ，有ij R =ij C =10111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ()i R k =()i C k =1k1⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()ij R k =()ij C k =11j 11i k⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭行行 初等变换与初等矩阵之间有下列基本性质。
初等矩阵定理
初等矩阵定理初等矩阵定理是线性代数中的一个基本定理，它描述了矩阵的初等变换与矩阵的乘法之间的联系。
在本文中，我们将探讨初等矩阵定理的原理和应用，以及它在解线性方程组和计算矩阵的逆等问题中的重要性。
初等矩阵是一种特殊的方阵，它通过对单位矩阵进行一次初等变换而得到。
初等变换包括三种类型：交换矩阵的两行或两列、将某行或某列乘以一个非零常数、将某行或某列的倍数加到另一行或另一列。
初等矩阵的定义是，除了对角线上的元素为1之外，其余元素都为0。
根据初等矩阵的定义，我们可以将初等变换表示为矩阵的乘法。
初等矩阵定理的核心思想是，对于任意一个矩阵A，我们可以通过对A进行一系列的初等变换得到一个对角矩阵D，同时也可以通过对单位矩阵进行相同的初等变换得到一个初等矩阵E。
因此，矩阵A可以表示为矩阵E的逆矩阵乘以矩阵D的乘积，即A=ED。
初等矩阵定理的应用非常广泛。
首先，它可以用来解线性方程组。
对于一个线性方程组Ax=b，我们可以将其表示为矩阵形式，即AX=B，其中X和B分别表示未知数和常数向量。
通过对系数矩阵A进行初等行变换，我们可以将其化为一个对角矩阵D，同时对常数向量B进行相同的初等行变换。
这样，原方程组可以转化为一个对角线方程组DX=E·B，其中E是初等矩阵。
由于对角线方程组的求解较为简单，我们可以通过初等矩阵定理来求解原线性方程组的解。
初等矩阵定理还可以用来计算矩阵的逆。
对于一个可逆矩阵A，我们可以通过对A进行一系列的初等行变换，将其化为一个单位矩阵I，同时对单位矩阵进行相同的初等行变换得到一个初等矩阵E。
这样，我们可以得到矩阵A的逆矩阵A的求解过程可以通过初等矩阵定理来简化。
除了解线性方程组和计算矩阵的逆之外，初等矩阵定理还可以用来证明矩阵的性质。
例如，我们可以通过初等矩阵定理来证明矩阵的行秩和列秩相等，以及矩阵的秩等于它的非零特征值的个数等。
初等矩阵定理是线性代数中的一个重要定理，它描述了矩阵的初等变换与矩阵的乘法之间的联系。
关于矩阵初等变换的两个定理及应用
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矩阵的初等变换及应用的总结
矩阵的初等变换及应用内容摘要：矩阵是线性代数的重要研究对象。
矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。
一矩阵的概念定义：由于m×n个数aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，n）排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m×n矩阵二矩阵初等变换的概念定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换1.初等行变换矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换:(1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作);(2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作);(3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为).1.初等列变换把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换3 ,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:(1) 反身性;(2) 对称性若,则;(3) 传递性若,,则.三矩阵初等变换的应用1.利用初等变换化矩阵为标准形定理：任意一个m×n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形2.利用初等变换求逆矩阵求n阶方阵的逆矩阵：即对n×2n矩阵（A¦E）施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^(-1)即(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时，若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。
设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵，为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即.这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法.同理, 求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利用初等列变换求矩阵. 即.3．利用矩阵初等变换求矩阵的秩矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法.定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即若A~B则R（A）=R(B)为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成阶梯矩阵解体矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩利用矩阵值得概念，能够讨论线性方程组有解的条件，然后通过研究向量组的线性相关性，向量组的秩等重要概念，讨论线性方程组的结构。
矩阵 初等变换
矩阵初等变换矩阵初等变换：线性代数中的重要工具一、引言矩阵初等变换是线性代数中的重要工具，它通过对矩阵进行一系列特定的操作，可以改变矩阵的性质和形态。
矩阵初等变换在解线性方程组、求逆矩阵、求特征值等问题中具有广泛的应用。
二、矩阵初等变换的定义矩阵初等变换是指对矩阵进行一系列的行变换或列变换，使得矩阵的性质发生改变。
矩阵初等变换包括三种类型：交换两行（列）、某一行（列）乘以非零常数、某一行（列）乘以非零常数加到另一行（列）上。
三、矩阵初等变换的作用1. 解线性方程组利用矩阵初等变换可以将线性方程组转化为简化的行阶梯形矩阵，从而可以方便地求解方程组的解。
通过对矩阵进行初等变换，可以使得方程组的系数矩阵变为单位矩阵或对角矩阵，从而可以直接得到方程组的解。
2. 求逆矩阵矩阵初等变换也可以用来求解矩阵的逆。
通过对矩阵进行一系列的初等变换，可以将原矩阵转化为单位矩阵，同时对应的初等变换作用于单位矩阵上，从而得到原矩阵的逆矩阵。
3. 求特征值和特征向量对于给定的矩阵，通过对其进行一系列的初等变换，可以将矩阵转化为对角矩阵，对角线上的元素即为矩阵的特征值。
同时，通过初等变换得到的矩阵与原矩阵具有相同的特征向量。
四、矩阵初等变换的性质1. 可逆性矩阵初等变换是可逆的，即对矩阵进行初等变换后再进行逆变换，可以得到原矩阵。
2. 保持行（列）线性关系矩阵初等变换保持行（列）之间的线性关系不变，即对矩阵进行初等变换后，矩阵的行（列）之间的线性组合关系保持不变。
3. 保持秩不变矩阵初等变换不改变矩阵的秩，即对矩阵进行初等变换后，矩阵的秩保持不变。
5. 矩阵初等变换的运算规律矩阵初等变换具有一些运算规律，包括交换律、结合律和分配律。
六、矩阵初等变换的应用举例1. 解线性方程组的应用通过对系数矩阵进行初等变换，可以将线性方程组转化为简化的行阶梯形矩阵，从而可以方便地求解方程组的解。
例如，对于如下线性方程组：2x + 3y = 74x + 5y = 9可以通过矩阵初等变换将其转化为如下形式：1 0 | a0 1 | b从而可以直接得到解x=a、y=b。
矩阵的初等变换及其应用
㊀㊀㊀㊀㊀㊀矩阵的初等变换及其应用矩阵的初等变换及其应用Һ顾江永㊀（宿迁学院文理学院，江苏㊀宿迁㊀２２３８００）㊀㊀ʌ摘要ɔ矩阵的初等变换在代数学中具有重要的地位，本文给出了运用初等变换求解方程组的基础解系㊁特征值㊁多项式的最大公因式和Ｊｏｒｄａｎ标准形相似变换矩阵等方法，这些方法具有直观㊁简捷㊁有效等特点．ʌ关键词ɔ初等变换；基础解系；最大公因式；相似变换矩阵ʌ基金项目ɔ２０１９江苏省高校教学研究一般项目（２０１９ＳＪＡ１９９７）一㊁引㊀言矩阵的初等变换包括矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换，矩阵的初等行（列）变换有三种形式［１］：（１）交换两行（列）；（２）任一行（列）的ｋ倍（ｋʂ０）；（３）任一行（列）的ｋ倍加到另一行（列）．在代数学中，矩阵的初等变换有着非常重要且广泛的应用，它常被应用于行列式的计算㊁方程组以及矩阵方程的求解㊁向量线性关系的判定㊁求矩阵的秩以及逆㊁λ－矩阵的不变因子和矩阵的Ｊｏｒｄａｎ标准形等．张家宝给出了初等变换求逆的几种方法［２］；石擎天等研究了初等变换求解方程组的特殊方法［３］；于莉琦等介绍了初等变换在行列式㊁矩阵和方程组中的应用［４］．本文给出了矩阵的初等变换求解方程组的基础解系㊁最大公因式和Ｊｏｒｄａｎ标准形的相似变换矩阵等方法及应用．二㊁预备知识引理１［５］㊀设矩阵Ａｍˑｎ的秩为ｒ，且Ａｍˑｎ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷Ｑ，其中Ｐｍˑｍ，Ｑｎˑｎ为可逆矩阵，则有Ｐ－１００Ｅｎæèçöø÷ＡＥｎæèçöø÷Ｑ－１＝Ｅｒ０００Ｑ－１æèççöø÷÷．证明㊀因为Ａｍˑｎ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷Ｑ，所以Ｅｒ０００æèçöø÷＝Ｐ－１ＡｍˑｎＱ－１，故Ｐ－１００Ｅｎæèçöø÷ＡＥｎæèçöø÷Ｑ－１＝Ｐ－１ＡＥｎæèçöø÷Ｑ－１＝Ｐ－１ＡＱ－１Ｑ－１æèçöø÷＝Ｅｒ０００Ｑ－１æèççöø÷÷，注：引理１给出了化一个矩阵为标准形的求Ｑ－１的方法．引理２㊀设矩阵Ａｍˑｎ的秩为ｒ，则矩阵ＡＥｎæèçöø÷仅经初等列变换可以化为β１，β２， ，βｒ，０， ，０Ｑ－１æèçöø÷，其中β１，β２， ，βｒ线性无关，且ＡＱ＝β１，β２， ，βｒ，０， ，０()．证明㊀因为Ａｍˑｎ的秩为ｒ，所以Ａｍˑｎ的列秩等于ｒ，即矩阵Ａｍˑｎ列向量组的最大线性无关组由ｒ个向量构成，不妨设为β１，β２， ，βｒ，故由初等变换的性质可得ＡＥｎæèçöø÷仅经初等列变换可以化为β１，β２， ，βｒ，０， ，０Ｑ－１æèçöø÷．引理３［６］㊀设Ａ是数域Ｐ上的ｎ阶方阵，将矩阵λＥ－Ａ经初等变换化为上三角形矩阵ｆ１（λ）０ ０∗ｆ２（λ）０︙︙⋱︙∗∗ｆｎ（λ）æèççççöø÷÷÷÷，则ｆｉ（λ）＝０（ｉ＝１，２， ，ｎ）在数域Ｐ上的根即为矩阵Ａ的全部特征根．证明㊀根据初等变换的性质可知，初等变换不改变λＥ－Ａ＝０的根，故ｆ１（λ）０ ０∗ｆ２（λ） ０︙︙⋱︙∗∗ｆｎ（λ）＝ｆ１（λ）ｆ２（λ） ｆｎ（λ）＝０的根即为矩阵Ａ的全部特征根．引理４㊀设ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ）， ，ｆｓ（ｘ）是数域Ｐ上的多项式，且ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ）， ，ｆｓ（ｘ）()Ｔ经初等行变换化为ｄ（ｘ），０， ，０()Ｔ，则ｄ（ｘ）即为ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ）， ，ｆｓ（ｘ）的最大公因式．证明㊀由辗转相除法原理直接可得［１］．三㊁主要结论定理１㊀设齐次线性方程组Ａｍˑｎｘ＝０，其系数矩阵Ａｍˑｎ的秩为ｒ，且Ａｍˑｎ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷Ｑ，又设Ｑ－１＝（η１， ，ηｒ，ηｒ＋１， ，ηｎ），则ηｒ＋１，ηｒ＋２， ，ηｎ是线性方程组Ａｍˑｎｘ＝０的基础解系．证明㊀设Ｑｘ＝ｙ１︙ｙｒ︙ｙｎæèçççççöø÷÷÷÷÷＝ＹｒＹｎ－ｒæèçöø÷，由Ａｍˑｎｘ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷Ｑｘ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷ＹｒＹｎ－ｒæèçöø÷＝０，可得Ｙｒ＝ｙ１︙ｙｒæèççöø÷÷＝０，所以ｘ＝Ｑ－１ＹｒＹｎ－ｒæèçöø÷＝Ｑ－１０︙０ｙｒ＋１︙ｙｎæèççççççöø÷÷÷÷÷÷．㊀㊀㊀㊀㊀令Ｑ－１＝（η１， ，ηｒ，ηｒ＋１， ，ηｎ），则ｘ＝ｙｒ＋１ηｒ＋１＋ｙｒ＋２ηｒ＋２＋ ＋ｙｎηｎ．因为Ｑ是可逆矩阵，则ηｒ＋１，ηｒ＋２， ，ηｎ线性无关，所以ηｒ＋１，ηｒ＋２， ，ηｎ为方程组的一个基础解系．定理２［７］㊀设Ａ是数域Ｐ上的ｎ阶方阵，矩阵λＥｎ－ＡＥｎæèçöø÷经初等变换化为φ１（λ）０⋱０φｎ（λ）Ｑ（λ）æèççççöø÷÷÷÷（其中初等行变换只能在前ｎ行进行）．设Ｑ（λ）的第ｊ列为ｑｊ（λ），若λ－λ０()ｋ为φｊ（λ）的初等因子，则Ａｑｊ（λ０），ｑᶄｊ（λ０）１！，ｑᵡｊ（λ０）２！， ，ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！æèçöø÷＝ｑｊ（λ０），ｑᶄｊ（λ０）１！，ｑᵡｊ（λ０）２！， ，ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！æèçöø÷λ０１００λ００︙︙⋱１００λ０æèççççöø÷÷÷÷．证明㊀由题设知，存在可逆矩阵Ｐ（λ），Ｑ（λ），使得Ｐ（λ）λＥｎ－Ａ()Ｑ（λ）＝φ１（λ）０⋱０φｎ（λ）æèççöø÷÷．因为ｑｊ（λ）是Ｑ（λ）的第ｊ列，所以Ｐ（λ）λＥｎ－Ａ()ｑｊ（λ）＝（０， ，０，φｊ（λ），０， ，０）Ｔ．又设ｑｊ（λ）的幂级数展开式为ｑｊ（λ）＝ｑｊ（λ０）＋ｑᶄｊ（λ０）１！λ－λ０()＋ｑᵡｊ（λ０）２！λ－λ０()２＋ ，代入Ｐ（λ）λＥｎ－Ａ()ｑｊ（λ）＝（０， ，０，φｊ（λ），０， ，０）Ｔ，得λ０Ｅｎ－Ａ()ｑｊ（λ０）＝０，λ０Ｅｎ－Ａ()ｑᶄｊ（λ０）＋ｑｊ（λ）＝０，λ０Ｅｎ－Ａ()ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！＋ｑｋ－２()ｊ（λ０）ｋ－２()！＝０．上面等式两边相加㊁移项并提取矩阵Ａ可得Ａ(ｑｊ（λ０），ｑᶄｊ（λ０）１！，ｑᵡｊ（λ０）２！， ，ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！)＝(ｑｊ（λ０），ｑᶄｊ（λ０）１！，ｑᵡｊ（λ０）２！， ，ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！)λ０１００λ０ ０︙︙⋱１００λ０æèççççöø÷÷÷÷．四㊁应用举例例１㊀求多项式ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ），ｆ３（ｘ）的最大公因式，其中ｆ１（ｘ）＝ｘ４＋２ｘ３＋４ｘ２＋３ｘ＋２，ｆ２（ｘ）＝ｘ４＋ｘ３＋３ｘ２＋ｘ＋２，ｆ３（ｘ）＝ｘ３＋２ｘ２＋３ｘ＋２．解㊀因为ｆ１（ｘ）ｆ２（ｘ）ｆ３（ｘ）æèççöø÷÷＝ｆ１（ｘ）－ｆ２（ｘ）ｆ２（ｘ）－ｘｆ３（ｘ）ｆ３（ｘ）æèççöø÷÷＝ｘ３＋ｘ２＋２ｘ－ｘ３－ｘ＋２ｘ３＋２ｘ２＋３ｘ＋２æèççöø÷÷＝ｘ３＋ｘ２＋２ｘｘ２＋ｘ＋２ｘ２＋ｘ＋２æèççöø÷÷＝ｘ３＋ｘ２＋２ｘｘ２＋ｘ＋２０æèççöø÷÷＝ｘ２＋ｘ＋２００æèççöø÷÷，所以由引理４知，ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ），ｆ３（ｘ）的最大公因式为ｄ（ｘ）＝ｘ２＋ｘ＋２．例２㊀求齐次线性方程组ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５＝０，３ｘ１＋２ｘ２＋ｘ３＋ｘ４－３ｘ５＝０，５ｘ１＋４ｘ２＋３ｘ３＋３ｘ４－ｘ５＝０{的基础解系．解㊀对系数矩阵Ａ施行初等行变换如下Ａ＝１１１１１３２１１－３５４３３－１æèççöø÷÷ ｒ２－３ｒ１ｒ３－５ｒ１１１１１１０－１－２－２－６０－１－２－２－６æèççöø÷÷ ｒ１＋ｒ２ｒ２ˑ（－１）ｒ３－ｒ２１０－１－１－５０１２２６０００００æèççöø÷÷．又１０－１－１－５０１２２６１０００００１０００００１０００００１０００００１æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷ ｃ３＋ｃ１ｃ４＋ｃ１ｃ５＋５ｃ１１０００００１２２６１０１１５０１０００００１０００００１０００００１æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷ ｃ３－２ｃ２ｃ４－２ｃ２ｃ５－６ｃ２１０００００１０００１０１１５０１－２－２－６００１０００００１０００００１æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷则由引理２知，方程组的基础解系为η１＝（１，－２，１，０，０）Ｔ，η２＝（１，－２，０，１，０）Ｔ，η３＝（５，－６，０，０，１）Ｔ．ʌ参考文献ɔ［１］王萼芳，石生明．高等代数（第五版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１９：５．［２］张家宝．浅谈求逆矩阵的几种方法［Ｊ］．数学学习与研究，２０２０（１０）：４－５．［３］石擎天，黄坤阳．线性方程组求解及应用［Ｊ］．教育教学论坛，２０２０（１２）：３２５－３２７．［４］于莉琦，高恒嵩．初等变换概述［Ｊ］．数学学习与研究，２０１９（０６）：１１６．［５］徐仲，陆全，等．高等代数考研教案（第２版）［Ｍ］．西安：西北工业大学出版社，２００９．［６］卢博，田双亮，等．高等代数思想方法及应用［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１７．［７］朱广化．关于‘相似变换矩阵的简单求法“的改进［Ｊ］．数学通报，１９９４（１１）：４４－４６．。
矩阵初等变换的应用
矩阵初等变换的应用
矩阵初等变换在矩阵运算中有着广泛的应用，其中包括以下几种常见的应用：
1. 线性方程组求解：将系数矩阵经过矩阵初等变换变成一个上三角矩阵或行简化阶梯形矩阵，然后利用高斯-约旦消元法或高斯消元法求解线性方程组。
2. 矩阵求逆：通过利用矩阵初等变换将待求逆的矩阵转换成单位矩阵，然后将初等变换应用到一个单位矩阵上得到该矩阵的逆。
3. 矩阵乘法：矩阵乘法可通过矩阵初等变换实现。
例如，通过在左侧乘一个初等矩阵将矩阵进行行变换、在右侧乘初等矩阵将矩阵进行列变换、以及在左右两侧同时乘同一个初等矩阵进行对称变换等等。
4. 特征值与特征向量求解：通过利用初等变换将待求特征值的矩阵转换成上三角矩阵或者特征分解形式，然后求解特征值与特征向量。
5. 矩阵分解：通过初等变换将一个矩阵分解成一个上三角矩阵和一个正交矩阵的乘积（QR分解）、或者将矩阵分解成一个对称矩阵和一个特殊矩阵的乘积（奇异值分解）等等。
总之，在矩阵运算中，矩阵初等变换是一种非常有用的工具，它可以简化计算过程、提高计算效率、为后续计算提供便利。
矩阵初等变换的研究现状
矩阵初等变换的研究现状
矩阵初等变换是矩阵运算中的一种基本操作，它包括三种类型：交换矩阵的两行或两列、将矩阵某一行或列乘以一个非零常数、将某一行或列加上另一行或列的若干倍。
这些操作称为矩阵的初等变换。
矩阵初等变换的研究现状主要涉及到两个方面：一是初等变换的基本理论研究，二是初等变换在实际应用中的具体应用。
在基本理论研究方面，矩阵初等变换的研究主要涉及到初等变换的性质、初等变换与矩阵的关系、初等变换的逆运算等。
其中，初等变换的性质是研究初等变换的基础，包括初等变换对矩阵的行列式、秩、特征值等的影响。
初等变换与矩阵的关系研究初等变换如何影响矩阵的性质，如何改变矩阵的特征。
初等变换的逆运算是指如何将一个矩阵通过一系列初等变换变成单位矩阵，即矩阵的逆运算。
在实际应用中，矩阵初等变换的具体应用包括线性方程组的求解、矩阵的相似与对角化、矩阵的正规化等。
其中，线性方程组的求解是矩阵初等变换的最重要应用之一，通过矩阵初等变换可以将线性方程组化为简化的行阶梯形方程组，进而求解解析解或数值解。
矩阵的相似与对角化是矩阵初等变换的另一个重要应用，通过初等变换可以将矩阵相似于对角矩阵，进而求解矩阵的特征值和特征向量。
矩阵的正规化是指将一个矩阵变成一个正规矩阵，即可对其进行谱分解，矩阵初等变换在该应用中也起到了关键作用。
矩阵初等变换在数学中有着重要的地位和应用，对其进行深入研究可以推动数学理论的发展，同时也有助于更好地应用到实际问题中。
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(α1 , …,αn ,β1 , …,βn ,α1 +β1 , …,αn +βn ) 初等列变换 (α1 , …,αn ,β1 , …,βn , 0, …, 0)
初等列变换 (αi1 ,αi r1 ,βj1 , …, +βi r2 , 0…, 0)
其中
α i
1
,
…,αir1
是
α 1
,
…,αn 的极大无关组 ,
412 判定向量组的线性相关性
例 2 设 α,β,γ,η线性无关 ,证明 α +β,β +γ +η,γ +η,η +α线性无关 。 证 因为
(α +β,β +γ +η,γ +η,η +α) c2 - c3 (α +β,β,γ +η,η +α) c1 - c2
(α,β,γ +η,η +α) c4 - c1 (α,β,γ +η,η) c3 - c4 (α,β,γ,η) 所以 (α,β,γ,η) 与 (α +β,β +γ +η,γ +η,η +α) 等价 ,由性质 2、4 (α +β,β +γ +η,γ +η,η +α) 线性无关 。
s-
k个向量添加到向量组
( 4) 上 ,得向量组
(3) ,则
(3) 与
( 4) 等价 ,结
论也成立 。
参考文献 :
[ 1 ] 北京大学数学系. 高等代数 (第二版 ) [M ]. 北京 :高等教育出版社 , 1988: 123. [ 2 ] 张禾瑞 ,郝丙新. 高等代数 (第四版 ) [M ]. 北京 :高等教育出版社 , 1999: 231～232. [ 3 ] 徐德余. 高等代数 [M ]. 成都 :四川大学出版社 , 2002: 86～87. [ 4 ] 张禾瑞 ,郝丙新. 高等代数 (第三版 ) [M ]. 北京 :高等教育出版社 , 1983: 221～223. [ 5 ] 张小红. 高等代数专题研究选编 [ C ]. 西安 :陕西科学技术出版社 , 1992: 318～321.
Abstract: In this paper, we give the definition of the elementary transformations of vector gronp s, and have a research into its p roperties and app lications.
1
×m 向量矩阵
(α1 ,α2 ,
…,αm
)
的形式 ,则称上面的初等变换为列初等变换 ;如果
写成 m ×1向量矩阵 (α1 ,α2 , …,αm ) T 的形式 ,则称上面的初等变换为行初等变换 。 为方便计 ,我们把第 1种列变换记为 ci ∴ cj;把第 2种列变换记作 kci第 3种列变换记作 ci + kcj。相应的行
1 向量组的初等变换的定义
定义 1 设 {α1 ,α2 , …,αm } 是数域 F上的线性空间 V的一组有序的向量 。我们称下面三种变换为向量组
的初等变换 :
(
1)
互换
α i
与
α j
的位置
;
(2) 用
F 中的非零数
k
乘向量
α i
;
(3)
把
α j
的
k倍加到
α i
,
k
∈
F。
如果
α 1
,α2
…,αm
写成
第
2005年 10 24卷 第
月 5期
绵阳师范学院学报 Journal of M ianyang Normal University
Oct. , 2005 Vol. 24 No.
5
矩阵初等变换的推广及其应用
徐德余
(绵阳师范学院数学与信息科学系 ,四川绵阳 621000)
摘 要 : 初等变换对线性方程组与矩阵的研究都起了很重要的作用 ,向量组的初等变换的概念到目前为止还 未曾见到 ,它是矩阵初等变换的推广 。文章首先引入了向量组的初等变换的概念 ,然后研究了它的基本性质 ,最后 给出了它在判定向量组的等价 、判定向量组的线性相关性 、证明秩的有关结论及替换定理的证明等四个方面的应 用。
413 证明关于向量组秩的一些不等式
例 3 证明 :如果向量组 ( 1) 可由向量组 ( 2) 线性表出 ,那么 ( 1) 的秩不超过 ( 2) 的秩 。
证 设向量组 ( 1) 为 (α1 ,α2 , …,αs ) ,向量组 ( 2) 为 (β1 ,β2 , …,βt ) ,因为 ( 1) 可由 ( 2) 线性表出 ,
The Genera liza tion of M a tr ix Elem en tary Tran sforma tion s and Its Applica tion s
XU De2yu (Departm ent of M athm atics and Information Science ,M ianyang Normal University,M ianyang Sichuan 621000)
性质 2 设向量组 A = (α1 ,α2 , …,αm ) (AT ) 经过一系列初等列 (行 ) 变换化为 A1 (A1T ) 则向量组 A (AT )
收稿日期 : 2005203226 作者简介 :徐德余 (1944～ ) ,男 ,教授 ,主要从事环论 、矩阵论的研究
·7·
绵阳师范学院学报
2005 Vol. 24 No15
m
-
1倍加到第
m
向量
α m
,
把
α m
-
2的
m
-
2倍加到
α m
-
1
,
…, 把
α 1
加到
α 2
,
最后将
α 1
+α2
加到
α 1
,
通过
cm
+ (m
-
1) cm - 1 , cm - 1
+ (m
-
2) cm - 2 , …, c2
+ c1 , c1 + c2 这 m 次初等变换 ,前一组向量变为第二组向量 ,由性质 2,这两组向量等价 。
关键词 : 线性空间 ; 向量组 ; 向量组的初等变换 ; 向量组的秩 ; 等价向量组 ; 替换定理 中图分类号 : 015112 文献标识码 : A 文章编号 : 16722612x (2005) 0520007203
线性方程组与矩阵的初等变换应用是广泛的 ,作用是很重要的 。能否将此概念推广到线性空间的一般 向量组上 ? 如果能够 ,它在研究向量组的关系上是否也起着基本的 、重要的作用 ? 为此目的 ,我们先引入向 量组的初等变换的概念 。
设 r > s,则方程组 AX r×1 = 0有非零解 ( k1 , …, kr ) T 。从而
k1
k1
0
(α1 ,α2 , …,αr ) ⁝ = (β1 ,β2 , …,βs ) A ⁝ = (β1 , …,βr ) ⁝ = 0,于是
kr
kr
0
α 1
,α2
,
…,αr 线性相关
, 与已知矛盾
,故
r ≤ s。
设 r(α1 , …,αr,β1 ,β1 , …,βs ) = k则 k ≥ r。因为
(α1 , …,αr,β1 ,β1 , …,βs ) 初等列变换 ( 0, …, 0,β1 ,β2 , …,βs ) ,所以 k ≤ s (性质 3)
以
α 1
,α2
,
…,αr 为基础
, 扩充为
α 1
,
…,αr ,β1
411 判定向量组等价
例
1 判定线性空间
V
的向量组
α 1
,α2
,
…,αm
与向量组
2α1
+α2 ,α1
+α2 , 2α2
+α3 , …,
(m
-
2 )αm - 2
+
α m
-
1
,
(m
-
1)αm - 1
+αm 是否等价 ?如果等价 ,说明理由 。
解
这两组向量等价 。把第一组向量的倒数第
2个向量
α m
-
1
的
通过直接验算 ,容易证明定理 1。把初等变换与初等矩阵联系起来 ,可以把向量组的初等变换的过程 , 用 矩阵的乘积的等式表示出来 ,这样可简化计算或证明 。
3 向量组的初等变换的性质
性质 1 初等变换是可逆的 ,即向量组 A = (α1 ,α2 , …,αm ) (AT = (α1 ,α2 , …,αm ) T ) 经过一系列初等列 (行 ) 变换化为 A1 (A1T ) ,则 A1 (A1T ) 也可以通过一系列初等列 (行 ) 变换化为 A (AT ) 。
,α2
,
…,αr 线性无关 ,那么
r ≤ s。
推论 2 两个线性无关的等价的向量组 ,必含相同个数的向量 。
由上面的推论及性质 2容易证明下面两个性质 。
性质 3 初等变换不改变向量组的秩 。
性质 4 初等变换不改变向量组的线性相关性 ,即变换前的向量组线性相关 (无关 ) ,变换后的向量组也
线性相关 (无关 ) 。
( 2 )中向量重新编号
,使得用
α 1
,α2
,
…,αr 替换
β 1
,β2
,
…,βr 后
,
所得的向量组
{α1 ,α2 , …,αr ,β1 ,β2 , …,βk }