高等数学(同济六版)PPT——D8_4空间曲线
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高数同济六版课件D8总复习
• 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
设空间曲线C的一般方程为 消去 z 得投影柱面 则C在xOy 面上的投影曲线 C´为
z
C
H ( x, y ) 0 z0
类似地，消去 x 得C 在yOz 面上的 投影曲线方程，消去y 得C在zOx 面上 的投影曲线方程。
y
x
C
1) 2) (为实数)
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
设 a (a x , a y , a z ) , b (bx , by , bz ) , c (c x , c y , c z )
1. 向量运算 加减: 数乘: 点积: 叉积:
a b (a x bx , a y by , a z bz )
三元二次方程
椭圆抛物面
双曲抛物面
x2 y2 z 2 p 2q • 双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面 2 2 x2 y2 x y 2 2 1 1 2 2 a b a b x2 y2 • 椭圆锥面: 2 z2 a2 b
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( p, q 同号)
• 空间曲线
下页
返回
结束
五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
则有 设 r ( x , y , z ), 作 OM r ,
OP NM r OM ON OQ OR 由勾股定理得
r OM
对两点 与 因
R
O
z
M Q y
N x x2 y2 z 2
P
得两点间的距离公式:
s ( m , n , p ) 为直线的方向向量.
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三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
设空间曲线C的一般方程为 消去 z 得投影柱面 则C在xOy 面上的投影曲线 C´为
z
C
H ( x, y ) 0 z0
类似地，消去 x 得C 在yOz 面上的 投影曲线方程，消去y 得C在zOx 面上 的投影曲线方程。
y
x
C
1) 2) (为实数)
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
设 a (a x , a y , a z ) , b (bx , by , bz ) , c (c x , c y , c z )
1. 向量运算 加减: 数乘: 点积: 叉积:
a b (a x bx , a y by , a z bz )
三元二次方程
椭圆抛物面
双曲抛物面
x2 y2 z 2 p 2q • 双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面 2 2 x2 y2 x y 2 2 1 1 2 2 a b a b x2 y2 • 椭圆锥面: 2 z2 a2 b
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( p, q 同号)
• 空间曲线
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结束
五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
则有 设 r ( x , y , z ), 作 OM r ,
OP NM r OM ON OQ OR 由勾股定理得
r OM
对两点 与 因
R
O
z
M Q y
N x x2 y2 z 2
P
得两点间的距离公式:
s ( m , n , p ) 为直线的方向向量.
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同济六版高数课件(青岛大学)8.4
第四节 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程
第八章
二、空间曲线的参数方程
三、空间曲线在坐标面上的投影
机动
目录
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结束
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
G( x, y, z ) 0 L F ( x, y, z ) 0
S2
S1
例如,方程组
z
2
C
表示圆柱面与平面的交线 C.
机动
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三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C 的一般方程为
消去 z 得投影柱面
则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
z
C
H ( x, y ) 0 z0 y 消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程 x C R( y, z ) 0 x0 T ( x, z ) 0 消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程 y0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如,
x2 y2 z 2 1 C: 2 x ( y 1) 2 ( z 1) 2 1
在xoy 面上的投影曲线方程为
z
C
o x
1 y
x 2 2 y 2 2 y 0 z0
机动
目录
上页
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返回
结束
又如,
上半球面 和锥面
x 2 y 2 ax z0
ay x
x 2 z 2 a 2 y 0
机动
( x 0 , z 0)
目录
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返回
结束
一、空间曲线的一般方程
第八章
二、空间曲线的参数方程
三、空间曲线在坐标面上的投影
机动
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一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
G( x, y, z ) 0 L F ( x, y, z ) 0
S2
S1
例如,方程组
z
2
C
表示圆柱面与平面的交线 C.
机动
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三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C 的一般方程为
消去 z 得投影柱面
则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
z
C
H ( x, y ) 0 z0 y 消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程 x C R( y, z ) 0 x0 T ( x, z ) 0 消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程 y0
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例如,
x2 y2 z 2 1 C: 2 x ( y 1) 2 ( z 1) 2 1
在xoy 面上的投影曲线方程为
z
C
o x
1 y
x 2 2 y 2 2 y 0 z0
机动
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又如,
上半球面 和锥面
x 2 y 2 ax z0
ay x
x 2 z 2 a 2 y 0
机动
( x 0 , z 0)
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《高等数学》第六版上册同济大学出版社课件PPT
1 x
0
1
1
1 t4
1 t2
d
t
t 2 0 1t4
d
t
ห้องสมุดไป่ตู้
0
1
d
x x4
1 2
0 1
d
x x4
x2
0 1 x4
d
x
1
2
1 01
x2 x4
d
x
17
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1
2
0
1 x2
1
1 x2
二无界函数的反常积分第四节常义积分积分限有限被积函数有界推广一无穷限的反常积分反常积分广义积分反常积分第五章1一无穷限的反常积分引例
第四节 反常积分
第五章
积分限有限 常义积分 被积函数有界
推广
反常积分 (广义积分)
一、无穷限的反常积分
二、无界函数的反常积分
1
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一、无穷限的反常积分
F (b)
F(c )
F(c ) F(a)
可相消吗?
12
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例4. 计算反常积分
解: 显然瑕点为 a , 所以
原式
arcsin x a
a 0
arcsin1
π 2
例5. 讨论反常积分
的收敛性 .
解所下:以述1反1解dx常x2法积是分0否1dx1x正x2 确11:0发1dxx散21.11x2 ,0∴1 积 分 1x收敛01
x2
高等数学课件--D8_4空间曲线
8/9/2013 同济版高等数学课件
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例如,
x2 y 2 z 2 1 C: 2 x ( y 1)2 ( z 1)2 1
在xOy 面上的投影曲线方程为
z
C
O
x
1
y
x2 2 y 2 2 y 0 z0
8/9/2013
x
8/9/2013
同济版高等数学课件
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(3)
x z a
2 2
2
x2 y2 a2
z
a
O
a
y
x
8/9/2013 同济版高等数学课件
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P36 题2 (1)
y 5x 1 y x3 y x3
z
y 5x 1
O
y
x
8/9/2013
消去 t 和 , 得旋转曲面方程为
8/9/2013
同济版高等数学课件
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又如, xOz 面上的半圆周
绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为
说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如
8/9/2013
同济版高等数学课件
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三、空间曲线在坐标面上的投影
内容小结
• 空间曲线
• 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
思考与练习
P36 题 1，2，7（展示空间图形）
8/9/2013
同济版高等数学课件
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答案: P36 题1
x 1 (1) y2
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例如,
x2 y 2 z 2 1 C: 2 x ( y 1)2 ( z 1)2 1
在xOy 面上的投影曲线方程为
z
C
O
x
1
y
x2 2 y 2 2 y 0 z0
8/9/2013
x
8/9/2013
同济版高等数学课件
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(3)
x z a
2 2
2
x2 y2 a2
z
a
O
a
y
x
8/9/2013 同济版高等数学课件
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P36 题2 (1)
y 5x 1 y x3 y x3
z
y 5x 1
O
y
x
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消去 t 和 , 得旋转曲面方程为
8/9/2013
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又如, xOz 面上的半圆周
绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为
说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如
8/9/2013
同济版高等数学课件
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三、空间曲线在坐标面上的投影
内容小结
• 空间曲线
• 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
思考与练习
P36 题 1，2，7（展示空间图形）
8/9/2013
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答案: P36 题1
x 1 (1) y2
同济版高等数学第六版课件第八章第五节曲面及其方程
制造领域，如汽车、航空和船舶制造等。
直纹曲面在建筑设计中的应用
总结词
设计曲面建筑外观
VS
详细描述
直纹曲面方程在建筑设计中用于描述复杂 的曲面结构。通过直纹曲面，建筑师可以 创造出独特且富有艺术感的建筑外观。直 纹曲面在建筑设计中的广泛应用，不仅提 高了建筑的审美价值，也为建筑师提供了 更多的创作空间。
方程
锥面的方程通常表示为 x^2 + y^2 = r^2(z)，其中 (x, y) 是平面上的点，r 是锥顶到平面的距离，z 是锥面的参数。
性质
锥面是一个非对称的曲面，在锥顶处曲率为无穷大。
旋转曲面
定义
旋转曲面是由一条平面曲线绕 一条直线旋转一周所形成的曲
面。
方程
旋转曲面的方程通常表示为 x = x(t), y = y(t), z = z(t)，其 中 t 是参数，x(t), y(t), z(t) 是
非标准曲面
定义
01
非标准曲面是指不符合常规形式的曲面，如参数曲面、隐式曲
面等。
性质
02
非标准曲面具有一些特殊的几何性质，如曲率、法向量等，这
些性质有助于理解曲面的几何结构。
应用
03
非标准曲面在计算机图形学、计算几何等领域有广泛的应用，
如动画设计、虚拟现实、游戏开发等。
曲面的微分性质
定义
曲面的微分性质是指曲面在局部的几何性质，如切线、法线、曲率 等。
给定的平面曲线。
性质
旋转曲面是一个具有旋转对称 性的曲面，其曲率随旋转角度
而变化。
直纹曲面
定义
直纹曲面是由一条直线按一定方式移动所形成的曲面 。
方程
直纹曲面的方程通常表示为 z = f(x, y)，其中 f(x, y) 是给定的函数，(x, y) 是平面上的点。
直纹曲面在建筑设计中的应用
总结词
设计曲面建筑外观
VS
详细描述
直纹曲面方程在建筑设计中用于描述复杂 的曲面结构。通过直纹曲面，建筑师可以 创造出独特且富有艺术感的建筑外观。直 纹曲面在建筑设计中的广泛应用，不仅提 高了建筑的审美价值，也为建筑师提供了 更多的创作空间。
方程
锥面的方程通常表示为 x^2 + y^2 = r^2(z)，其中 (x, y) 是平面上的点，r 是锥顶到平面的距离，z 是锥面的参数。
性质
锥面是一个非对称的曲面，在锥顶处曲率为无穷大。
旋转曲面
定义
旋转曲面是由一条平面曲线绕 一条直线旋转一周所形成的曲
面。
方程
旋转曲面的方程通常表示为 x = x(t), y = y(t), z = z(t)，其 中 t 是参数，x(t), y(t), z(t) 是
非标准曲面
定义
01
非标准曲面是指不符合常规形式的曲面，如参数曲面、隐式曲
面等。
性质
02
非标准曲面具有一些特殊的几何性质，如曲率、法向量等，这
些性质有助于理解曲面的几何结构。
应用
03
非标准曲面在计算机图形学、计算几何等领域有广泛的应用，
如动画设计、虚拟现实、游戏开发等。
曲面的微分性质
定义
曲面的微分性质是指曲面在局部的几何性质，如切线、法线、曲率 等。
给定的平面曲线。
性质
旋转曲面是一个具有旋转对称 性的曲面，其曲率随旋转角度
而变化。
直纹曲面
定义
直纹曲面是由一条直线按一定方式移动所形成的曲面 。
方程
直纹曲面的方程通常表示为 z = f(x, y)，其中 f(x, y) 是给定的函数，(x, y) 是平面上的点。
线性代数同济六版共五章全课件-PPT
b11 b12 b1n
D1
b21
b22
b2 n
,
bn1 bn2 bnn
其中，当 k≠ i , j 时, bkp = akp ;当 k = i , j 时，bip = ajp,, bjp = aip ,
于是
D (1) 1
t(
pppp )
1
i
j
n
b1
p1
bipi
bjpj
bnpn
(1)
t(
经对换1与4 得排列 53412
求这两个排列的逆序数. 解 t(5314 2) = 0+1+2+1+3=7
t(53412) = 0+1+1+3+3=8
练习
1. 选择 i 与 k 使 （1）2 5 i 1 k 成偶排列; （2）2 5 i 1 k 成奇排列.
2. a14a21a33a44和a12a43a31a24是否为四阶行列式中项 的，
易知，向量组与它的最4大无关组是等价的.
m×s s×n m×n
例 7 向量组
例5 n 阶行列式 我们也可以证明，如果把矩阵 A 的第 j 行的 k 倍加到第 i 行
为矩阵 A 的秩，矩阵 A 的秩记成 R(A).
假设 r > s, 看齐次线性方程组
一般来说，向量组的最大无关组不是唯一的.
若 x1 = c1 , x2 = c2 , ……, xn = cn 是 ⑴ 的解，记1
一元一次方程 ax = b
一元二次方程 二元 、三元线性方程组
行列式 矩阵及其运算 矩阵的初等变换与线性方程组 向量组的线性相关性 矩阵的特征值和特征向量
第一章 行列式
高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件
具有重要的作用。
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
同济版高等数学第六版课件第八章第六节空间曲线及其方程
直角坐标方程
直角坐标方程是另一种描述空间曲线 的方法，它由一个方程组组成，表示 曲线上任意一点的坐标与三个直角坐 标轴之间的关系。
02
空间曲线的方程
空间曲线的一般方程
空间曲线的一般方程是两个三维空间 的方程联立得到的，通常表示为： F(x,y,z)=0 和 G(x,y,z)=0。
一般方程描述了空间中曲线的形状和 位置，通过解方程组可以求得曲线上 点的坐标。
参数方程
参数方程是描述空间曲线 的一种常用方法，其中参 数的变化反映了曲线上点 的运动轨迹。
空间曲线的弯曲程度
曲率
曲率描述了曲线在某一点 的弯曲程度，曲率越大， 弯曲程度越剧烈。
挠率
挠率描述了曲线在某一点 的方向变化速率，与曲线 的形状和类型有关。
曲率和挠率的关系
曲率和挠率共同决定了空 间曲线的弯曲程度和形状 。
原曲线与投影曲线的位置关系
通过比较原曲线和投影曲线的形状，可以确定它们之间的位 置关系，如相交、相切或相离。
投影曲线的面积与原曲线的关系
投影曲线面积的求解
根据投影曲线的方程，利用定积分计算其面积。
投影曲线面积与原曲线的关系
通过比较投影曲线面积和原曲线的面积，可以分析它们之间的数量关系，如相等 、成比例或相差一个常数倍。
02
极坐标方程的一般形式为：ρ=ρ(θ)，其中 ρ 是极径，θ是极角
。
极坐标方程可以用来表示各种形状的空间曲线，如球面曲线、
03
柱面曲线等。
03
空间曲线的性质
空间曲线的方向
01
02
03
方向向量
空间曲线的方向由其上的 方向向量决定，方向向量 表示了曲线上任意两点的 相对位置。
切线向量
直角坐标方程是另一种描述空间曲线 的方法，它由一个方程组组成，表示 曲线上任意一点的坐标与三个直角坐 标轴之间的关系。
02
空间曲线的方程
空间曲线的一般方程
空间曲线的一般方程是两个三维空间 的方程联立得到的，通常表示为： F(x,y,z)=0 和 G(x,y,z)=0。
一般方程描述了空间中曲线的形状和 位置，通过解方程组可以求得曲线上 点的坐标。
参数方程
参数方程是描述空间曲线 的一种常用方法，其中参 数的变化反映了曲线上点 的运动轨迹。
空间曲线的弯曲程度
曲率
曲率描述了曲线在某一点 的弯曲程度，曲率越大， 弯曲程度越剧烈。
挠率
挠率描述了曲线在某一点 的方向变化速率，与曲线 的形状和类型有关。
曲率和挠率的关系
曲率和挠率共同决定了空 间曲线的弯曲程度和形状 。
原曲线与投影曲线的位置关系
通过比较原曲线和投影曲线的形状，可以确定它们之间的位 置关系，如相交、相切或相离。
投影曲线的面积与原曲线的关系
投影曲线面积的求解
根据投影曲线的方程，利用定积分计算其面积。
投影曲线面积与原曲线的关系
通过比较投影曲线面积和原曲线的面积，可以分析它们之间的数量关系，如相等 、成比例或相差一个常数倍。
02
极坐标方程的一般形式为：ρ=ρ(θ)，其中 ρ 是极径，θ是极角
。
极坐标方程可以用来表示各种形状的空间曲线，如球面曲线、
03
柱面曲线等。
03
空间曲线的性质
空间曲线的方向
01
02
03
方向向量
空间曲线的方向由其上的 方向向量决定，方向向量 表示了曲线上任意两点的 相对位置。
切线向量
第八章 空间解析几何与向量代数(同济六版)ppt课件
z
坐标轴 :
o
y
x轴
y轴
y0 z0
z0 x0
x
坐标面 : xoy面 z 0
x 0 z轴 y 0
x 0 yoz面 zox面 y 0
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2. 向量的坐标表示
i , j , k 分别表示坐标轴x, y, z上的单位向量
(1)设点 M (x, y, z), 则
第八章 空间解 析几何与向量 代数(同济六版 )
§1 向量及其线性运算
§2 数量积，向量积 §3 平面及其方程
§4 空间直线及其方程
§5 曲面及其方程
§6 空间曲线及其方程
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§1 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系
第一次课
四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
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【例1】如果四边形对角线互相平分，则它是
解: 如图 M 为四边形ABCD 对角线的交点, 则
D
A B a b ， 1 1
b
2
a
M
b1
C
2
D C a b 2 2
a
A
1
B
由已知 a a ,b b 1 2 1 2 所以
A B D C
所以ABCD为平行四边形.
( 2 , 3 , )
c a 2 ( 2 )( 1 3 )( 1 ) 0
6 2 0 取λ =1，则μ =3
c (, 58 , 2 )
特殊点的坐标 : 原点 O(0,0,0) ; 坐标面上的点 A , B , C
同济六版高数课件青岛大学
内容特点
同济六版高数教材注重数学基础知识的传授和数学思维的培养，涵盖了高等数学的主要内容，包括极限、导数、微积 分、线性代数、微分方程等。
影响与评价
同济六版高数教材是国内高校应用较为广泛的高等数学教材之一，被广大师生认可和推荐，对于提高学 生的数学素养和思维能力具有积极的作用。
青岛大学高数课程概述
03
第二章：导数与微分
导数定义与性质
01
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线的 斜率，是函数局部变化率的一种度量 。
02
导数的性质
导数具有一些重要的性质，如线性性 质、乘积法则、商的法则、链式法则 等。
03
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点 处的切线的斜率，即函数值增量与自 变量增量之比在增量趋于0时的极限 。
探讨多元函数在某点附近的变化率，为偏导数和全微 分的研究奠定基础。
偏导数与全微分
偏导数
描述多元函数在某一变量上的变化率，通过偏 导数可研究函数局部性质。
全微分
全面研究多元函数在各变量上的变化，通过全 微分可近似计算函数值的变化。
链式法则
探讨复合函数偏导数的计算方法，简化复杂函数的偏导数计算。
二重积分与三重积分
微分的几何意义
微分在几何上表示函数图像在某一点处的切线的纵坐标增量。
微分的应用
微分在近似计算、误差估计、求极值等方面有重要应用。
04
第三章：不定积分
不定积分定义与性质
不定积分定义
不定积分是微积分中的一个重要概念， 它表示一个函数的原函数或反导数。 给定一个函数f(x)，其不定积分记作 ∫f(x)dx，表示f(x)的一个原函数。
物理应用
定积分在物理中有广泛的应用，例如在计算匀加 速直线运动的路程、变力做功等问题中都会用到 定积分的计算方法。
同济六版高数教材注重数学基础知识的传授和数学思维的培养，涵盖了高等数学的主要内容，包括极限、导数、微积 分、线性代数、微分方程等。
影响与评价
同济六版高数教材是国内高校应用较为广泛的高等数学教材之一，被广大师生认可和推荐，对于提高学 生的数学素养和思维能力具有积极的作用。
青岛大学高数课程概述
03
第二章：导数与微分
导数定义与性质
01
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线的 斜率，是函数局部变化率的一种度量 。
02
导数的性质
导数具有一些重要的性质，如线性性 质、乘积法则、商的法则、链式法则 等。
03
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点 处的切线的斜率，即函数值增量与自 变量增量之比在增量趋于0时的极限 。
探讨多元函数在某点附近的变化率，为偏导数和全微 分的研究奠定基础。
偏导数与全微分
偏导数
描述多元函数在某一变量上的变化率，通过偏 导数可研究函数局部性质。
全微分
全面研究多元函数在各变量上的变化，通过全 微分可近似计算函数值的变化。
链式法则
探讨复合函数偏导数的计算方法，简化复杂函数的偏导数计算。
二重积分与三重积分
微分的几何意义
微分在几何上表示函数图像在某一点处的切线的纵坐标增量。
微分的应用
微分在近似计算、误差估计、求极值等方面有重要应用。
04
第三章：不定积分
不定积分定义与性质
不定积分定义
不定积分是微积分中的一个重要概念， 它表示一个函数的原函数或反导数。 给定一个函数f(x)，其不定积分记作 ∫f(x)dx，表示f(x)的一个原函数。
物理应用
定积分在物理中有广泛的应用，例如在计算匀加 速直线运动的路程、变力做功等问题中都会用到 定积分的计算方法。
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P37 题2(2)
z
x2 y2 + =1 4 9 y=3
x
思考: 对平面 y = b 思考:
2
3
y
交线情况如何? 交线情况如何?
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P37 题 7
z
z
ay x
x 2 + y 2 ≤ ax z=0
ay x
x2 + z 2 ≤ a 2 y=0 ( x ≥ 0 , z ≥ 0)
z
2
C
表示圆柱面与平面的交线 C.
o
1 y
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x
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又如,方程组 又如
z
表示上半球面与圆柱面的交线C.
ay
x
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二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数: z 称它为空间曲线的 参数方程. 例如,圆柱螺旋线 的参数方程为 例如,圆柱螺旋线的参数方程为
绕 z 轴旋转
点 M1绕 z 轴旋转,
这就是旋转曲面满足的参数方程 .
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例如, 例如 直线
绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为
消去 t 和 θ , 得旋转曲面方程为
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又如, 又如 xoz 面上的半圆周
绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为
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例如, 例如,
x2 + y2 + z 2 = 1 C : 2 x + ( y 1) 2 + ( z 1) 2 = 1
在xoy 面上的投影曲线方程为
z
C
o
x
1
y
x2 + 2 y 2 2 y = 0 z=0
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又如, 又如, 上半球面 和锥面 所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在 xoy 面上的投影曲线所围之域 . 二者交线
此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为 x + y + x2 + y 2 = 1 z = 0
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M
o
令θ = ω t , b =
v
x
θ
y
ω
上升高度 h = 2π b , 称为螺距 . 螺距
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例1. 将下列曲线化为参数方程表示:
解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
(2) 将第二方程变形为
故所求为
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例2. 求空间曲线 Γ: 时的旋转曲面方程 . 解: 转过角度θ 后到点 则
(2)
z = 4 x2 y2 yx=0
z
z
o o
1
2 y
o
x
2y
x
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(3)
x2 + z2 = a2
x2 + y 2 = a2
z
a
o
a
y
x
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P37 题2 (1)
y = 5x + 1 y = x3 y = x3
z
y = 5x + 1
o
y
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作业 P37 3，5，6, 8 3 5 6,
第五节 目录
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备用题 求曲线
绕 z 轴旋转的曲面与平面
x + y + z = 1的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.
解： 旋转曲面方程为 z = x + y ,它与所给平面的 Q
2 2
z = x 2 + y 2 交线为 x + y + z = 1 此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为
说明: 说明 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如Biblioteka 机动目录上页
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三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C 的一般方程为 消去 z 得投影柱面 则C 在xoy 面上的投影曲线 C为
z
C
H ( x, y ) = 0 z=0 y 消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程 x C′ R( y, z ) = 0 x=0 T ( x, z ) = 0 消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程 y=0
z
在 xoy 面上的投影曲线 所围圆域: x 2 + y 2 ≤ 1, z = 0 .
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C
x
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o
1
y
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内容小结
空间曲线 求投影曲线 三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
思考与练习
P37 题 1，2，7（展示空间图形）
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答案: 答案 P37 题1
x =1 (1) y=2
第四节 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程
第八章 八
三、空间曲线在坐标面上的投影
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一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
G ( x, y , z ) = 0 L F ( x, y , z ) = 0
S2
S1
例如,方程组 例如