九年级数学上册第21章一元二次方程21.1一元二次方程教案
21.1 一元二次方程(教案)
课题：21.1一元二次方程一、教学目标1.经历一元二次方程概念的形成过程，知道什么是一元二次方程.2.会把一元二次方程化成一般形式，并知道各项及系数的名称.二、教学重点和难点1.重点：一元二次方程的概念.2.难点：把一元二次方程化成一般形式.三、教学过程（一）创设情境，导入新课师：（板书：3x-5=0）这是一个什么方程？（稍停）3x-5=0是一个一元一次方程（板书：一元一次方程）.师：哪位同学知道什么样的方程是一元一次方程？生：……（让几名同学回答）师：（指准3x-5=0）只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程，叫做一元一次方程.（指准“一元一次方程”）一元指的是含有一个未知数，一次指的是未知数的次数是1.师：一元一次方程是我们在初一已经学过的，从今天开始，我们要学习一种新的方程，叫做一元二次方程（板书：一元二次方程）.（二）尝试指导，讲授新课师：什么样的方程是一元二次方程？（板书：x2-x=56）x2-x=56是一个一元二次方程，（板书：4x2-9=0）4x2-9=0也是一元二次方程，（板书：x2+3x=0）x2+3x=0也是一元二次方程，（板书：3y2-5y=7）3y2-5y=7也是一元二次方程.师：从这些一元二次方程，哪位同学能概括什么样的方程是一元二次方程？（等到有一部分同学举手再叫学生）生：……（多让几名同学回答）师：（指准x2-x=56）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程.（师出示下面的板书）只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程.师：请大家把一元二次方程的定义读两遍.（生读）师：根据一元二次方程的定义，（指准方程）我们很容易判断x2-x=56，4x2-9=0，x2+3x=0，3y2-5y=7这些方程都是一元二次方程.（板书：3x(x-1)=5(x+2)）现在请大家判断，这个方程是不是一元二次方程？为什么？（让生思考一会儿）生：……（让几名学生发表看法）师：把这个方程两边去括号，得到3x2-3x=5x+10（边讲边板书：3x2-3x=5x+10），去括号后容易看出，这个方程是一元二次方程.师：（指3x2-3x=5x+10）这个方程还可以继续整理，怎么继续整理？（指准方程）先把右边的5x和10都移到左边去，再合并，得到3x2-8x-10=0（边讲边板书：3x2-8x-10=0）.师：（指原方程和3x2-8x-10=0）大家可以比较这两个方程，这个方程是这个方程经过整理得到的，这个方程的形式又简单又整齐，我们把这种形式叫做一元二次方程的一般形式（板书：一元二次方程的一般形式）.师：从这个例子大家可以看到，任何一个一元二次方程，经过整理，都可以化成一般形式，一般形式就是ax2+bx+c=0这样的形式（边讲边板书：ax2+bx+c=0）.师：（指准ax2+bx+c=0）在一元二次方程的一般形式中，我们把ax2叫做二次项，a 是二次项系数（板书：其中a是二次项系数）；bx叫做一次项，b是一次项系数（板书：b 是一次项系数）；c叫做常数项（板书：c是常数项）.师：（指准3x2-8x-10=0）譬如，在这个方程中，二次项是3x2，二次项系数是3；一次项是-8x，一次项系数是-8；常数项是-10.师：（指x2+3x=0）大家看这个方程，它的二次项、二次项系数是什么？生：二次项是x2，二次项系数是1.（多让几名同学回答）师：（指x2+3x=0）它的一次项、一次项系数是什么？生：一次项是3x，一次项系数是3.（多让几名同学回答）师：（指x2+3x=0）它的常数项是什么？生：常数项是0.（多让几名同学回答，如有必要师作解释）师：（指4x2-9=0）大家再看这个方程，它的二次项、二次项系数是什么？生：二次项是4x2，二次项系数是4.师：（指4x2-9=0）它的一次项、一次项系数是什么？生：……（多让几名同学回答）师：这个方程的一次项可以写成0x（边讲边板书：0x），所以这个方程的一次项是0x，一次项系数是0.师：（指4x2-9=0）它的常数项是什么？生：常数项是-9.师：前面我们学习了一元二次方程的概念和一般形式，下面请大家利用这些知识来做几个练习.（三）试探练习，回授调节1.填空：(1)把5x2-1=4x化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(2)把4x2=81化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(3)把x(x+2)=15化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(4)把(3x-2)(x+1)=8x-3化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .2.填空：(1)一个一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为-5，这个一元二次方程是；(2)一个一元二次方程，它的二次项系数为1，一次项系数为-3，常数项为3，这个一元二次方程是；(3)一个一元二次方程，它的二次项系数为5，一次项系数为-1，常数项为0，这个一元二次方程是；(4)一个一元二次方程，它的二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为-6，这个一元二次方程是 .（四）归纳小结，布置作业师：这节课我们学习了什么？哪位同学能帮老师小结一下？生：……（让一两名学生小结）（作业：P28习题1）四、板书设计一元一次方程：3x-5=03x(x-1)=5(x+2)一元二次方程：x2-x=56 3x2-3x=5x+104x2-9=0 3x2-8x-10=0x2+3x=0 一元二次方程的一般形式：3y2-5y=7 ax2+bx+c=0，其中a是二次项系数，b是一次项系只含有一个未知数……叫做数，c是常数项一元二次方程.课题：22.1一元二次方程（第2课时）一、教学目标1.知道什么是一元二次方程的解（根）.2.会用直接开平方法解一元二次方程，渗透转化思想.二、教学重点和难点1.重点：一元二次方程解（根）的概念，直接开平方法.2.难点：直接开平方法.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空：(1)只含有个未知数，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程；(2)ax2+bx+c=0(a≠0)这种形式叫做一元二次方程的形式，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项.2.填空：(1)把(x+3)(x-4)=0化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是；(2)把(2x+1)2=4x化成一元二次方程的一般形式，结果是，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是 .（二）尝试指导，讲授新课师：（板书：2x-6=0）这是一个一元一次方程，这个方程的解是什么？生：（齐答）解是x=3.（师板书：解是x=3）师：（指准方程）2x-6=0的解是x=3，这话是什么意思？（稍停）把x=3代入方程，左边=2×3-6=0，右边=0，左边和右边恰好相等.2x-6=0的解x=3，意思是，x=3能使方程左右两边恰好相等.师：（板书：x2-x=0）这是一个一元二次方程，这个方程的解是什么？（让生思考一会儿再叫学生）生：解是x=0.（师板书：x=0）师：（指准方程）把x=0代入方程，左边和右边相等，所以x=0是这个一元二次方程的一个解.师：除了x=0，这个方程还有没有别的的解？生：x=1.（师板书：x=1）师：（指准方程）把x=1代入方程，左边和右边相等，所以x=1也是这个一元二次方程的一个解.师：可见x2-x=0有两个解，一个解x1=0（边讲边标下标），另一个解x2=1（边讲边标下标）.师：一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根（板书：（根）），所以也可以这样说，（指准板书）x2-x=0有两个根，一个根x1是0，另一个根x2是1.师：下面请同学们做一个练习.（三）试探练习，回授调节3.填空：在-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4这些数中，是一元二次方程x2-x-6=0的根的是 .4.填空：方程x2-36=0的根是x1= ，x2= .（四）尝试指导，讲授新课师：（板书：x2-36=0）刚才我们求了x2-36=0这个一元二次方程的两个根，x1=6，x2=-6.我们是怎么求的？我们是通过凑数字求的.大家可以想到，凑数字求根是有局限性的，什么局限性？（稍停）通过凑数字只能求那些很简单的一元二次方程的根，如果方程稍微复杂一点，数字就不好凑了.譬如，我们把右边的0改为2x（边讲边把x2-36=0中的0改为2x），x2-36=2x这个方程就很难用凑数字来求根.所以，求一元二次方程的根不能光靠凑数字，还需要有专门的方法.师：解一元二次方程的方法有好几种，下面我们先来介绍第一种方法，叫直接开平方法（板书：直接开平方法）.师：怎么用直接开平方法解一元二次方程？（稍停）让我们来看一个例子.（师出示例题）例解下列一元二次方程：(1)4x2-9=0； (2)3(2x-1)2=15.（师边讲解边板书，解题过程如下所示）解：(1)原方程化成29x=4.开平方，得3x=2±，x1=32，x2=-32.(2)原方程化成2(2x-1)=5.开平方，得2x-1=5±x1=5+12，x2=-5+12.师：（指准例题）从这两个题目，哪位同学会概括用直接开平方法解一元二次方程的步骤？生：……（让一两名好生概括）师：（指准例题）用直接开平方法解一元二次方程，有三步，第一步把原方程化成x2=常数，或者含x的式子的平方=常数的形式（板书：第一步：化成什么2＝常数）；第二步开平方，把一元二次方程化成一元一次方程（板书：第二步：开平方）；第三步解一元一次方程，得到两个根（板书：第三步：解一元一次方程）.师：下面请同学们按这三步来做两个题目.（五）试探练习，回授调节5.完成下面的解题过程：(1)解方程：2x2-6=0；解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .(2)解方程：9(x-2)2=1.解：原方程化成 .开平方，得，x1= ，x2= .（六）归纳小结，布置作业师：（指准板书）本节课我们学习了一元二次方程根的概念，还学习了用直接开平方法解一元二次方程.用直接开平方法解一元二次方程有这么三步，第一步把原方程化成什么2=常数这种形式；第二步开平方，把一元二次方程化成一元一次方程，也就是把二次降为一次（板书：降次）；第三步解一元一次方程，得到两个根.（作业：P28习题3，P42习题1）四、板书设计2x-6=0解是x=3 直接开平方法例x2-x=0解是x1=0,x2=1 第一步：化成什么2＝常数；x2-36=2x 第二步：开平方，降次；第三步：解一元一次方程.。
初中数学人教版九年级上册：第21章《一元二次方程》全章教案
初中数学人教版九年级上册实用资料第二十一章 一元二次方程 21．1 一元二次方程1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念．2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．重点通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题．难点一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．活动1 复习旧知1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式． (1)2x －1 (2)mx ＋n ＝0 (3)1x＋1＝0 (4)x 2＝13．下列哪个实数是方程2x －1＝3的解？并给出方程的解的概念． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 活动2 探究新知 根据题意列方程．1．教材第2页 问题1.提出问题：(1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？(2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？ (3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程． 2．教材第2页 问题2.提出问题：(1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？(3)如果有x 个队参赛，一共比赛多少场呢？3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数．提出问题：本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？ 4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？ 活动3 归纳概念 提出问题：(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？(2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？(3)归纳一元二次方程的概念．1．一元二次方程：只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________，这样的________方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．提出问题：(1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？(2)为什么要限制a≠0，b，c可以为0吗？(3)2x2－x＋1＝0的一次项系数是1吗？为什么？3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根)．活动4例题与练习例1在下列方程中，属于一元二次方程的是________．(1)4x2＝81；(2)2x2－1＝3y；(3)1x2＋1x＝2；(4)2x2－2x(x＋7)＝0.总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程．例2教材第3页例题．例3以－2为根的一元二次方程是()A．x2＋2x－1＝0 B．x2－x－2＝0C．x2＋x＋2＝0 D．x2＋x－2＝0总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等．练习：1．若(a－1)x2＋3ax－1＝0是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围是________．2．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)4x2＝81；(2)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.3．教材第4页练习第2题．4．若－4是关于x的一元二次方程2x2＋7x－k＝0的一个根，则k的值为________．答案：1.a≠1；2.略；3.略；4.k＝4.活动5课堂小结与作业布置课堂小结我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能解一元二次方程吗？作业布置教材第4页习题21.1第1～7题.21.2解一元二次方程21．2.1配方法(3课时)第1课时直接开平方法理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2＋c ＝0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex ＋f)2＋c ＝0型的一元二次方程．重点运用开平方法解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程，领会降次——转化的数学思想． 难点通过根据平方根的意义解形如x 2＝n 的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程．一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题． 问题1：填空(1)x 2－8x ＋________＝(x －________)2；(2)9x 2＋12x ＋________＝(3x ＋________)2；(3)x 2＋px ＋________＝(x ＋________)2.解：根据完全平方公式可得：(1)16 4；(2)4 2；(3)(p 2)2 p2.问题2：目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x 2＝9，根据平方根的意义，直接开平方得x ＝±3，如果x 换元为2t ＋1，即(2t ＋1)2＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢？(学生分组讨论)老师点评：回答是肯定的，把2t ＋1变为上面的x ，那么2t ＋1＝±3 即2t ＋1＝3，2t ＋1＝－3 方程的两根为t 1＝1，t 2＝－2例1 解方程：(1)x 2＋4x ＋4＝1 (2)x 2＋6x ＋9＝2分析：(1)x 2＋4x ＋4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x ＋2)2＝1. (2)由已知，得：(x ＋3)2＝2直接开平方，得：x ＋3＝±2 即x ＋3＝2，x ＋3＝－ 2所以，方程的两根x 1＝－3＋2，x 2＝－3－ 2 解：略．例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m 2提高到14.4 m 2，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x ，一年后人均住房面积就应该是10＋10x ＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x ＝10(1＋x)2解：设每年人均住房面积增长率为x ，则：10(1＋x)2＝14.4 (1＋x)2＝1.44直接开平方，得1＋x ＝±1.2 即1＋x ＝1.2，1＋x ＝－1.2所以，方程的两根是x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x 2＝－2.2应舍去． 所以，每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材第6页练习．四、课堂小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程，那么x＝±p转化为应用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，那么mx＋n＝±p，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解．五、作业布置教材第16页复习巩固1.第2课时配方法的基本形式理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤．重点讲清直接降次有困难，如x2＋6x－16＝0的一元二次方程的解题步骤．难点将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．一、复习引入(学生活动)请同学们解下列方程：(1)3x2－1＝5(2)4(x－1)2－9＝0(3)4x2＋16x＋16＝9(4)4x2＋16x＝－7老师点评：上面的方程都能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±p或mx＋n＝±p(p≥0)．如：4x2＋16x＋16＝(2x＋4)2，你能把4x2＋16x＝－7化成(2x＋4)2＝9吗？二、探索新知列出下面问题的方程并回答：(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？(2)能否直接用上面前三个方程的解法呢？问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，求场地的长和宽各是多少？(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x 的完全平方式而后二个不具有此特征．(2)不能．既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x2＋6x－16＝0移项→x2＋6x＝16两边加(6/2)2使左边配成x2＋2bx＋b2的形式→x2＋6x＋32＝16＋9左边写成平方形式→(x＋3)2＝25降次→x＋3＝±5即x＋3＝5或x＋3＝－5解一次方程→x1＝2，x2＝－8可以验证：x1＝2，x2＝－8都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为2m ，长为8 m .像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．例1 用配方法解下列关于x 的方程： (1)x 2－8x ＋1＝0 (2)x 2－2x －12＝0分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；(2)同上．解：略． 三、巩固练习教材第9页 练习1，2.(1)(2)．四、课堂小结 本节课应掌握：左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．五、作业布置教材第17页 复习巩固2，3.(1)(2)．第3课时 配方法的灵活运用了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤． 通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．重点讲清配方法的解题步骤． 难点对于用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，通常把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方；对于二次项系数不为1的一元二次方程，要先化二次项系数为1，再用配方法求解．一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)x 2－4x ＋7＝0 (2)2x 2－8x ＋1＝0 老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．解：略． (2)与(1)有何关联？ 二、探索新知讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤： (1)先将已知方程化为一般形式； (2)化二次项系数为1； (3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x ＋p)2＝q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x ＝－p±q ；如果q ＜0，方程无实根．例1解下列方程：(1)2x2＋1＝3x(2)3x2－6x＋4＝0(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．解：略．三、巩固练习教材第9页练习2.(3)(4)(5)(6)．四、课堂小结本节课应掌握：1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．2．配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性．在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到．五、作业布置教材第17页复习巩固3.(3)(4)．补充：(1)已知x2＋y2＋z2－2x＋4y－6z＋14＝0，求x＋y＋z的值．(2)求证：无论x，y取任何实数，多项式x2＋y2－2x－4y＋16的值总是正数.21.2.2公式法理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程．重点求根公式的推导和公式法的应用．难点一元二次方程求根公式的推导．一、复习引入1．前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程(1)x2＝4(2)(x－2)2＝7提问1这种解法的(理论)依据是什么？提问2这种解法的局限性是什么？(只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程．)2．面对这种局限性，怎么办？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式．)(学生活动)用配方法解方程2x2＋3＝7x(老师点评)略总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评)．(1)先将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x ＋p)2＝q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x ＝－p±q ；如果q ＜0，方程无实根．二、探索新知 用配方法解方程：(1)ax 2－7x ＋3＝0 (2)ax 2＋bx ＋3＝0如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，试推导它的两个根x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a，x 2＝－b －b 2－4ac2a(这个方程一定有解吗？什么情况下有解？)分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a ，b ，c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2＋bx ＝－c二次项系数化为1，得x 2＋b a x ＝－ca配方，得：x 2＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b2a )2即(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac4a 2∵4a 2>0，当b 2－4ac ≥0时，b 2－4ac4a 2≥0∴(x ＋b 2a )2＝(b 2－4ac 2a)2直接开平方，得：x ＋b2a ＝±b 2－4ac 2a即x ＝－b±b 2－4ac2a∴x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a由上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 而定，因此： (1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0，当b 2－4ac ≥0时，将a ，b ，c 代入式子x ＝－b±b 2－4ac2a就得到方程的根．(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 公式的理解(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 例1 用公式法解下列方程：(1)2x 2－x －1＝0 (2)x 2＋1.5＝－3x (3)x 2－2x ＋12＝0 (4)4x 2－3x ＋2＝0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．补：(5)(x －2)(3x －5)＝0 三、巩固练习教材第12页 练习1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6)． 四、课堂小结 本节课应掌握：(1)求根公式的概念及其推导过程； (2)公式法的概念；(3)应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0；2)找出系数a ，b ，c ，注意各项的系数包括符号；3)计算b 2－4ac ，若结果为负数，方程无解；4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果．(4)初步了解一元二次方程根的情况． 五、作业布置教材第17页 习题4，5.21.2.3 因式分解法掌握用因式分解法解一元二次方程． 通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．重点用因式分解法解一元二次方程． 难点让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简便．一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)2x 2＋x ＝0(用配方法) (2)3x 2＋6x ＝0(用公式法)老师点评：(1)配方法将方程两边同除以2后，x 前面的系数应为12，12的一半应为14，因此，应加上(14)2，同时减去(14)2.(2)直接用公式求解．二、探索新知(学生活动)请同学们口答下面各题．(老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项？ (2)等式左边的各项有没有共同因式？(学生先答，老师解答)上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解． 因此，上面两个方程都可以写成：(1)x(2x ＋1)＝0 (2)3x(x ＋2)＝0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是(1)x ＝0或2x ＋1＝0，所以x 1＝0，x 2＝－12.(2)3x ＝0或x ＋2＝0，所以x 1＝0，x 2＝－2.(以上解法是如何实现降次的？)因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．例1 解方程：(1)10x －4.9x 2＝0 (2)x(x －2)＋x －2＝0 (3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34 (4)(x －1)2＝(3－2x)2思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？解：略 (方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积．) 练习：下面一元二次方程解法中，正确的是( )A ．(x －3)(x －5)＝10×2，∴x －3＝10，x －5＝2，∴x 1＝13，x 2＝7B ．(2－5x)＋(5x －2)2＝0，∴(5x －2)(5x －3)＝0，∴x 1＝25，x 2＝35C ．(x ＋2)2＋4x ＝0，∴x 1＝2，x 2＝－2D ．x 2＝x ，两边同除以x ，得x ＝1 三、巩固练习教材第14页 练习1，2.四、课堂小结 本节课要掌握：(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．(2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.五、作业布置教材第17页 习题6，8，10，11.21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1．掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用． 2．培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力． 3．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律． 4．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．重点根与系数的关系及其推导 难点正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系．一、复习引入1．已知方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是6，则求a 及另一个根的值．2．由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系．其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系？3．由求根公式可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a，x 2＝－b －b 2－4ac 2a .观察两式右边，分母相同，分子是－b ＋b 2－4ac 与－b －b 2－4ac.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？二、探索新知解下列方程，并填写表格：(1)关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2－4q ≥0)的两根x 1，x 2与系数p ，q 之间有什么关系？(2)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根x 1，x 2与系数a ，b ，c 之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？解下列方程，并填写表格：(1)关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2－4q ≥0)的两根x 1，x 2与系数p ，q 的关系是：x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零．)(2)形如ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的方程，可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论．即：对于方程 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) ∵a ≠0，∴x 2＋b a x ＋c a ＝0∴x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca(可以利用求根公式给出证明)例1 不解方程，写出下列方程的两根和与两根积： (1)x 2－3x －1＝0 (2)2x 2＋3x －5＝0 (3)13x 2－2x ＝0 (4)2x 2＋6x ＝ 3 (5)x 2－1＝0 (6)x 2－2x ＋1＝0例2 不解方程，检验下列方程的解是否正确？ (1)x 2－22x ＋1＝0 (x 1＝2＋1，x 2＝2－1)(2)2x 2－3x －8＝0 (x 1＝7＋734，x 2＝5－734) 例3 已知一元二次方程的两个根是－1和2，请你写出一个符合条件的方程．(你有几种方法？) 例4 已知方程2x 2＋kx －9＝0的一个根是－3，求另一根及k 的值．变式一：已知方程x 2－2kx －9＝0的两根互为相反数，求k ；变式二：已知方程2x 2－5x ＋k ＝0的两根互为倒数，求k.三、课堂小结1．根与系数的关系．2．根与系数关系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判别式大于等于零．四、作业布置1．不解方程，写出下列方程的两根和与两根积．(1)x 2－5x －3＝0 (2)9x ＋2＝x 2 (3)6x 2－3x ＋2＝0(4)3x 2＋x ＋1＝02．已知方程x 2－3x ＋m ＝0的一个根为1，求另一根及m 的值．3．已知方程x 2＋bx ＋6＝0的一个根为－2，求另一根及b 的值.21.3 实际问题与一元二次方程(2课时)第1课时 解决代数问题1．经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤．2．通过学生自主探究，会根据传播问题、百分率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤．3．通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．重点利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题．难点如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程，找到传播问题和百分率问题中的数量关系．一、引入新课1．列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？2．科学家在细胞研究过程中发现：(1)一个细胞一次可分裂成2个，经过3次分裂后共有多少个细胞？(2)一个细胞一次可分裂成x 个，经过3次分裂后共有多少个细胞？(3)如是一个细胞一次可分裂成2个，分裂后原有细胞仍然存在并能再次分裂，试问经过3次分裂后共有多少个细胞？二、教学活动活动1：自学教材第19页探究1，思考教师所提问题．有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？(1)如何理解“两轮传染”？如果设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染后共有________人患流感．第二轮传染后共有________人患流感．(2)本题中有哪些数量关系？(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？解答：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有(x＋1)人患了流感，第二轮有x(1＋x)人被传染上了流感．于是可列方程：1＋x＋x(1＋x)＝121解方程得x1＝10，x2＝－12(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．变式练习：如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？活动2：自学教材第19页～第20页探究2，思考老师所提问题．两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率？它们相等吗？(2)若设甲种药品年平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了________元，此时成本为________元；两年后，甲种药品下降了________元，此时成本为________元．(3)增长率(下降率)公式的归纳：设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1±x)；二月(或二年)后产量为a(1±x)2；n月(或n年)后产量为a(1±x)n；如果已知n月(n年)后总产量为M，则有下面等式：M＝a(1±x)n.(4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为：________________.三、课堂小结与作业布置课堂小结1．列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际．2．传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立．3．若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基准数是a，增长(或降低)n次后的量是b，则有：a(1±x)n＝b(常见n＝2)．4．成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的药品，它的下降率不一定也较小．作业布置教材第21－22页习题21.3第2－7题．第2课时解决几何问题1．通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题．2．通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易．3．通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．重点通过实际图形问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的能力．难点在探究几何问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程．活动1创设情境1．长方形的周长________，面积________，长方体的体积公式________．2．如图所示：(1)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为2 cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．(2)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为x cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．活动2自学教材第20页～第21页探究3，思考老师所提问题要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1 cm)．(1)要设计书本封面的长与宽的比是________，则正中央矩形的长与宽的比是________．(2)为什么说上下边衬宽与左右边衬宽之比为9∶7？试与同伴交流一下．(3)若设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长为________cm，宽为________cm，面积为________cm2.(4)根据等量关系：________，可列方程为：________.(5)你能写出解题过程吗？(注意对结果是否合理进行检验．)(6)思考如果设正中央矩形的长与宽分别为9x cm和7x cm，你又怎样去求上下、左右边衬的宽？活动3变式练习如图所示，在一个长为50米，宽为30米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的75%，等宽且互相垂直的两条路的面积占25%，求路的宽度．答案：路的宽度为5米．活动4课堂小结与作业布置课堂小结1．利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系．2．根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解方程，最后对所得结果是否合理要进行检验．作业布置教材第22页习题21.3第8，10题．。
人教版数学九年级上册21.1《一元二次方程(1)》教学设计
人教版数学九年级上册21.1《一元二次方程（1）》教学设计一. 教材分析《一元二次方程（1）》是人教版数学九年级上册第21.1节的内容，本节主要介绍一元二次方程的定义、解法及其应用。
一元二次方程是初中数学的重要内容，也是后续学习高中数学的基础。
通过本节的学习，学生能够了解一元二次方程在实际生活中的应用，培养其解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对一元一次方程有一定的了解。
但在解一元二次方程方面，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生逐步掌握一元二次方程的解法。
三. 教学目标1.知识与技能：理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的解法，能够应用一元二次方程解决实际问题。
2.过程与方法：通过合作交流，培养学生探究问题的能力，提高学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，感受数学与生活的联系。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的定义，一元二次方程的解法。
2.难点：一元二次方程的解法，应用一元二次方程解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作交流法、案例教学法等，引导学生主动探究，合作解决问题。
六. 教学准备1.教师准备：教材、教案、PPT、教学辅助材料等。
2.学生准备：课本、练习本、文具等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入一元二次方程的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解一元二次方程的定义，呈现一元二次方程的解法，引导学生理解并掌握解法。
3.操练（10分钟）学生独立完成一些一元二次方程的练习题，巩固所学知识。
4.巩固（5分钟）对学生的练习进行讲解，解答学生的疑问，帮助学生巩固知识。
5.拓展（10分钟）引导学生思考一元二次方程在实际生活中的应用，让学生尝试解决实际问题。
6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，强调一元二次方程的定义和解法。
7.家庭作业（5分钟）布置一些一元二次方程的练习题，让学生课后巩固所学知识。
人教版数学九年级上册教学设计21.1《一元二次方程》
人教版数学九年级上册教学设计21.1《一元二次方程》一. 教材分析《一元二次方程》是人民教育出版社九年级上册数学的一个重要内容，它标志着学生从简单方程的认识过渡到更复杂的一元二次方程的解决。
本节内容通过实例引入一元二次方程，使学生了解一元二次方程的定义、特点以及解法。
教材通过问题驱动，引导学生探索求解一元二次方程的方法，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了简单方程的解法、不等式的性质等知识，具备了一定的数学基础。
但一元二次方程较为抽象，学生可能难以理解其定义和解法。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知困难，通过实例和问题引导学生理解和掌握一元二次方程。
三. 教学目标1.理解一元二次方程的定义和特点；2.学会求解一元二次方程的配方法、公式法等基本方法；3.能够应用一元二次方程解决实际问题；4.培养学生的数学思维能力和问题解决能力。
四. 教学重难点1.一元二次方程的定义和特点；2.一元二次方程的解法；3.一元二次方程在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.实例导入：通过生活中的实际问题，引导学生认识一元二次方程；2.问题驱动：提出问题，引导学生探索求解一元二次方程的方法；3.小组合作：分组讨论，共同探索一元二次方程的解法；4.归纳总结：引导学生总结一元二次方程的解法，并应用于实际问题。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示一元二次方程的定义、解法等知识；2.实例材料：准备生活中的实际问题，用于导入和巩固知识；3.练习题库：准备一定数量的一元二次方程练习题，用于巩固和拓展知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实际问题，如抛物线与x轴的交点问题，引导学生认识一元二次方程。
通过问题驱动，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解一元二次方程的定义、特点和解法。
通过实例演示和讲解，使学生理解和掌握一元二次方程的基本解法。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，共同探索一元二次方程的解法。
新人教版九年级数学上册 第21章 《一元二次方程》全章教学设计
第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程【知识与技能】1.使学生理解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式,并能将一元二次方程化成一般式,正确识别二次项系数、一次项系数和常数项. 2.会判断一个数是否是一元二次方程的根.【过程与方法】经历由实际问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，让学生体会到方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.【情感态度】进一步培养学生的观察、类比、归纳能力，体验数学的严密性和深刻性. 【教学重点】一元二次方程的概念及其一般表现形式.【教学难点】从实际问题中抽象出一元二次方程的模型；识别方程中的“项”及“系数”.一、情境导入,初步认识(课件展示问题)雷锋纪念馆前的雷锋雕像高为2m，设计者当初设计它的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，即下部高度的平方等于上部与全部的积，如果设此雕像的下部高为xm，则其上部高为（2-x）m，由此可得到的等量关系如何？它是关于x的方程吗？如果是，你能看出它和我们以往学过的方程有什么不同吗？二、思考探究，获取新知由上述问题，我们可以得到x2=2(2-x),即x2+2x-4=0.显然这个方程只含有一个未知数，且x的最高次数为2，这类方程在现实生活中有广泛的应用.探究1见教材第2页问题1.(课件展示问题)【教学说明】针对上述问题可给予5~8分钟时间让学生讨论，教师可相应设置如下问题帮助学生分析：如果设四角折起的正方形的边长为xm，则制成的无盖方盒的底面长为多少?宽为多少?由底面积为3600cm2,可得到的方程又是怎样的?【讨论结果】设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为(100-2x)cm,宽为(50-2x)cm,由此可得到方程(100-2x)(50-2x)=3600,整理为:4x2-300x+1400=0,化简,得x2-75x+350=0,由此方程可得出所切去的正方形的大小.探究2见教材2~3页问题2.【教学说明】教学过程中,教师可设置如下问题:(1)这次排球赛共安排场;(2)若设应邀请x个队参赛，则每个队与其它个队各赛一场，这样共应有场比赛；(3)由此可列出的方程为，化简得.教师提出问题，引导学生思考方程的建模过程，同时注重激发学生解决问题的欲望和兴趣.（课件展示）【讨论结果】设应邀请x个队参赛，通过分析可得到12·x·（x-1）=28,化简，得x2-x=56，即x2-x-56=0.观察思考观察前面所构建的三个方程，它们有什么共同点？可让学生先独立思考，然后相互交流，得出这些方程的特征：（1）方程各项都是整式；（2）方程中只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.【归纳结论】1.一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.想一想1.二次项的系数a为什么不能为0?2.在指出二次项系数、一次项系数和常数项时，a、b、c都一定是正数吗？谈谈你的看法.探究3 从探究2中我们可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，因此可列表如下：可以发现，当x=8时，x2-x-56=0,所以x=8是方程x2-x-56=0的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.思考1.一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？2.方程x2-x-56=0有一个根为x=8，它还有其它的根吗？【探讨结论】1.一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根；2.由于x=-7时，x2-x-56=49-（-7）-56=0，故x=-7也是方程x2-x-56的一个根.事实上，一元二次方程如果有实数根，则必然有两个实数根，通常记为x1=m,x2=n.三、典例精析，掌握新知例1将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中二次项系数、一次项系数及常数项.解：去括号，得3x2-3x=5x+10,移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为3x2-8x-10=0.其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.【教学说明】以上两例均可让学生独立思考，自主完成.教师巡视，了解学生的掌握情况，最后选取几个优秀作业和有代表性问题作业通过幻灯片展示给全班同学学习与思考，加深对本节知识的理解和掌握.四、运用新知，深化理解1.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式，指出其二次项系数、一次项系数及常数项：（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x;（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x;（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的平方，求较短一段的长x.【教学说明】让学生当堂完成上述练习，达到巩固新知目的.最后全班同学核对答案即可.五、师生互动，课堂小结教师提出以下问题，让学生交流，加强反思、提炼及知识归纳.(1)一元二次方程的定义，一般式及二次项系数、一次项系数和常数项；（2）一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)中的括号是否可有可无？为什么？（3）通过这节课的学习你还有哪些收获？1.布置作业：教材“习题21.1”第1,2,3题21.2 解一元二次方程21.2.1 配方法第1课时直接开平方法【知识与技能】1.会利用开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程；2.初步了解形如（x+n）2=p（p≥0）方程的解法.【过程与方法】通过对实例的探究过程，体会类比、转化、降次的数学思想方法.【情感态度】在成功解决实际问题过程中，体验成功的快乐，增强数学学习的信心和乐趣.【教学重点】解形如x2=p(p≥0)的方程.【教学难点】把一个方程化成x2=p(p≥0)的形式.一、情境导入，初步认识问题我们知道，42=16,(-4)2=16，如果有x2=16，你知道x的值是多少吗？说说你的想法.如果3x2=18呢？【教学说明】让学生通过回顾平方根的意义初步感受利用开平方法求简单一元二次方程的思路，引入新课.教学时，教师提出问题后，让学生相互交流，在类比的基础上感受新知.解：如果x2=16，则x=±4;若3x2=18,则x=6.二、思考探究，获取新知探究一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？思考1 设一个盒子的棱长为xdm，则它的外表面面积为，10个这种盒子的外表面面积的和为，由此你可得到方程为，你能求出它的解吗？解：6x2,10×6x2,10×6x2=1500，整理得x2=25,根据平方根的意义，得x=±5,可以验证，5和-5是原方程的两个根，因为棱长不能为负值，所以盒子的棱长为5dm,故x=5dm. 【教学说明】学生通过自主探究，尝试用开平方法解决一元二次方程，体验成功的快乐.教师应关注学生的思考是否正确，是否注意到实际问题的解与对应的一元二次方程的解之间的关系，帮助学生获取新知.【归纳结论】一般地，对于方程x2=p,（Ⅰ）（1）当p>0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不等的实数根x1p,x2p(2)当p=0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根x1=x2=0;(3)当p<0时，因为对任意实数x，都有x2≥0,所以方程（Ⅰ）无实数根.思考2对上面题解方程（Ⅰ）的过程，你认为应该怎样解方程（x+3）2=5?学生通过比较它们与方程x2=25异同，从而获得解一元二次方程的思路.在解方程（Ⅰ）时，由方程x2=25得x=±5.由此想到：由方程（x+3）2=5,②得x+3=5,即55.③于是，方程（x+3）2=5的两个根为x1525【教学说明】教学时，就让学生独立尝试给出解答过程，最后教师再给出规范解答，既帮助学生形成用直接开平方法解一元二次方程的方法，同时为以后学配方法作好铺垫，让学生体会到类比、转化、降次的数学思想方法.【归纳结论】上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.【教学说明】上述归纳结论应由师生共同探讨获得，教师要让学生知道解一元二次方程的实质是转化.三、典例精析，掌握新知例解下列方程：（教材第6页练习）(1)2x2-8=0; (2)9x2-5=3;(3)(x+6)2-9=0; (4)3(x-1)2-6=0;(5)x2-4x+4=5; (6)9x2+5=1.解：(1)原方程整理，得2x2=8,即x2=4,根据平方根的意义，得x=±2,即x1=2,x2=-2.（2）原方程可化为9x2=8,即x2=8/9.两边开平方，得x=±223,即x1=223,x2=-223.(3)原方程整理，得（x+6）2=9，根据平方根的意义,得x+6=±3,即x1=-3,x2=-9.（4）原方程可化为（x-1）2=2,两边开平方，得x-1=±2，∴x1=1+2,x2=1-2;（5）原方程可化为（x-2）2=5,两边开平方，得x-2=±5,∴x1=2+5,x2=2-5.（6）原方程可化为9x2=-4,x2=-4/9.由前面结论知，当p<0时，对任意实数x,都有x2≥0，所以这个方程无实根.【教学说明】本例可选派六位同学上黑板演算，其余同学自主探究，独立完成.教师巡视全场，发现问题及时予以纠正，帮助学生深化理解，最后师生共同给出评析，完善认知.特别要强调用直接开平方法开方时什么情况下是无实根的.四、运用新知，深化理解1.若8x2-16=0，则x的值是.2.若方程2(x-3)2=72，那么这个一元二次方程的两根是.3.如果实数a、b满足3a+4+b2-12b+36=0,则ab的值为.4.已知方程（x-2）2=m2-1的一个根是x=4,求m的值和另一个根.【教学说明】让学生独立完成，加深对本节知识的理解和掌握.五、师生互动，课堂小结教师可以向学生这样提问：(1)你学会怎样解一元二次方程了吗？有哪些步骤？(2)通过今天的学习你了解了哪些数学思想方法？与同伴交流.【教学说明】教师可引导学生提炼本节知识及方法，感受解一元二次方程的降次思想方法.1.布置作业：教材“习题21.2”第1题.21.2.1配方法（第2课时）教学过程教学反思:21.2.2 公式法教学目标1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．2.复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax 2+bx+c=0（a≠0）•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程． 重难点关键1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导． 教学过程一、复习引入（学生活动）用配方法解下列方程（1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=52 解: （1）移项，得：6x 2-7x=-1二次项系数化为1，得：x 2-76x=-16配方，得：x 2-76x+（712）2 = -16+（712）2（x-712）2 = 25144x-712= ±512 x 1=512+712=7512+=1 , x 2=-512+712=7512-=16（2）略总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）． （1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 二、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2+bx+c=0（a≠0）且b 2-4ac≥0，试推导它的两个根x 1x 2=2b a--分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+b a x=-ca配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2ba ）2即（x+2b a）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac≥0且4a 2>0∴2244b aca -≥0直接开平方，得：x+2ba即∴x 1x 2 由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此： （1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac≥0时，将a 、b 、c 代入式子（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． （4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 例1．用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x-1=0 （2）5x+2=3x 2 （3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x 2-3x+1=0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可． 解：（1）a=2，b=-4，c=-1b 2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0== ∴x 1x 2 （2）将方程化为一般形式3x 2-5x-2=0a=3，b=-5，c=-2 b 2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0576±= x 1=2，x 2=-13（3）将方程化为一般形式3x 2-11x+9=0a=3，b=-11，c=9 b 2-4ac=（-11）2-4×3×9=13>0∴x=(11)11236--±=⨯ ∴x 1=116+x 2=116-（3）a=4，b=-3，c=1b 2-4ac=（-3）2-4×4×1=-7<0因为在实数范围内，负数不能开平方，所以方程无实数根． 三、巩固练习教材P 12 练习1 第1题21.2.3 因式分解法【知识与技能】1.会用因式分解法（提公因式法、运用公式）解一元二次方程.2.能根据方程的具体特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.【过程与方法】在经历探索用因式分解法解一元二次方程及依据方程特征选择恰当方法解一元二次方程的过程中,进一步锻炼学生的观察能力，分析能力和解决问题能力.【情感态度】通过因式分解法解一元二次方程的探究活动，培养学生勇于探索的良好习惯，感受数学的严谨性及教学方法的多样性.【教学重点】会用因式分解法解一元二次方程.【教学难点】理解并应用因式分解法解一元二次方程.一、情境导入，初步认识问题根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地面的高度（单位：m）为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.01s）想一想你能根据题意列出方程吗？你能想出解此方程的简捷方法吗？【教学说明】让学生通过具体问题寻求解决问题的方法，激发学生求知欲望，引入新课.二、思考探究，获取新知学生通过讨论，交流得出方程为10x-4.9x2=0.在学生用配方法或公式法求出上述方程的解后，教师引导学生尝试找出其简捷解法为：x(10-4.9 x)=0.∴x =0或10-4.9 x =0,∴x 1=0, x 2=10049≈2.04.从而可知物体被抛出约2.04s后落回到地面.想一想以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次方程的?通过学生的讨论、交流可归纳为：当方程的一边为0，而另一边可以分解成两个一次因式的乘积时，利用a·b=0，则a=0或b=0，把一元二次方程变为两个一元一次方程，从而求出方程的解.这种解法称为因式分解法.【教学说明】让学生自主探索，进行归纳总结，既锻炼学生的分析问题，解决问题能力，又能培养总结化归能力，并从中体验转化、降次的思想方法.三、典例精析，掌握新知例1 解下列方程：（1）x (x -2)+ x -2=0; (2)5 x 2-2 x -14= x 2-2 x +34.解：（1）因式分解，得(x-2)(x+1)=0.故有x-2=0或x+1=0.∴x1=2, x2=-1. （2）原方程整理为4x 2-1=0.因式分解，得(2x +1)(2x-1)=0.∴2x+1=0或2x-1=0.∴x 1=-12, x 2=12.想一想以上两个方程可以用配方法或公式法来解决吗？如果可以，请比较它们与因式分解法的优缺点.【归纳结论】1.配方法要先配方，再降次；公式法可直接套用公式；因式分解法要先使方程的一边为0，而另一边能用提公因式法或公式法分解因式，从而将一元二次方程化为两个一次因式的积为0，达到降次目的，从而解出方程；2.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，而因式分解法则只适用于某些一元二次方程，不是所有的一元二次方程都适用因式分解法来求解.四、运用新知，深化理解1.用因式分解法解方程，下列方程中正确的是（）A.（2x-2）(3x-4)=0,∴2x-2=0或3x-4=0B. (x+3)(x-1)=1,∴x+3=0或x-1=1C.（x+2)(x-3)=6,∴x+2=3或x-3=2D. x(x+2)=0,∴x+2=02.当x= 时，代数式x2-3x的值是-2.3.已知y=x2+x-6,当x= 时，y的值等于0.当x= 时,y的值等于24.（注：4~5题为教材第14页练习）4.解下列方程：（1）x2+x=0; （2）x2-23x=0;（3）3x2-6x=-3; （4）4x2-121=0;（5）3x(2x+1)=4x+2; （6）(x-4)2=(5-2x)2.5.如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍.求小圆形场地的半径.【教学说明】针对所设置的作业，可因不同的学生分层次布置作业，让每个学生都能参与数学的学习，激发学习热情.【答案】1.A 2.1或2 3.2或-35或-6 4~5略.五、师生互动，课堂小结1.用因式分解法解一元二次方程有哪些优缺点？需注意哪些细节问题？2.通过本节课的学习，你还有哪些收获和体会?【教学说明】设计两个问题引导学生回顾本课知识的学习过程，反思学习过程中的疑惑，查漏补缺，完善认知.布置作业：教材“习题21.2”第6题.。
21.1 一元二次方程——教学设计
一元二次方程是中学数学中的一个重要知识点，其教学设计应当围绕以下几个核心环节展开：1. 教学目标设定●知识与技能：使学生理解一元二次方程的基本概念，掌握一元二次方程的一般形式（ax² + bx + c = 0，其中a≠0），学会利用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。
●过程与方法：通过实例引入，引导学生经历从具体到抽象的过程，培养学生观察、分析和解决问题的能力；通过小组合作学习，提高学生的合作交流能力。
●情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探索、敢于挑战的学习态度，体验数学的逻辑美和应用价值。
2. 教学内容安排引入阶段：●生活实例：设计贴近生活的实际问题，如计算矩形面积、利润最大化等，引出一元二次方程的实际背景。
●概念阐述：明确一元二次方程的定义，对比一元一次方程，强调“二次”的特点。
展开阶段：●配方法：以具体的例子演示如何通过加减相同的数使方程左侧成为完全平方形式，从而求解。
●公式法：推导一元二次方程的求根公式，并强调公式的适用条件及使用时的注意事项。
●因式分解法：选择适当的例子，展示如何通过因式分解直接找到方程的根。
巩固练习：●设计不同难度层次的练习题，包括直接应用公式、选择合适解法、解决实际问题等，确保每位学生都能得到适当挑战。
总结提升：●回顾一元二次方程的几种解法及其适用场景，讨论解的性质（如判别式与根的关系）。
●强调解题步骤的规范性和逻辑性，鼓励学生总结解题心得。
3. 教学方法与手段●启发式教学：通过提问引导学生思考，激发他们的探究欲望。
●分组合作：将学生分成小组，共同探讨解题策略，促进思维碰撞。
●多媒体辅助：利用PPT、动画或数学软件（如GeoGebra）直观展示方程的图形解，帮助学生理解根与系数的关系。
●实践操作：让学生动手解题，教师巡回指导，及时反馈。
4. 评价与反馈●过程评价：关注学生在课堂讨论、小组合作中的表现，鼓励积极参与和创新思维。
●作业与测试：通过课后作业和小测验检查学生对知识的掌握程度，根据反馈调整后续教学。
人教版九年级数学第二十一章21.1一元二次方程教案
三、教学难点与重点
1.教学重点
a)一元二次方程的定义：强调方程ax^2+bx+c=0（a≠0）中a、b、c的系数条件，以及x的二次方项是核心内容。
-举例：解释为何a≠0是必要条件，以及如何从实际情境中抽象出一元二次方程。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程的基本概念、求解方法以及在实际生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，加深了对一元二次方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在上完这节一元二次方程的课程后，我思考了一些关于教学过程的问题。首先，我发现学生在理解一元二次方程的定义时，对a≠0这个条件感到有些困惑。在今后的教学中，我需要更加明确地解释为什么a不能为0，可以通过具体的例子来说明这一点，让学生更好地理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示一元二次方程的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
d)根的判别式的应用：学生需要理解判别式的意义，并能准确判断方程根的情况。
-难点：对于判别式的符号判断与实际根的情况之间的联系。
-举例：解释Δ=0时方程有一个重根，Δ>0时有两个不同实根，Δ<0时方程无实根。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
第21章《一元二次方程》教案
分析：要想确定上述方程的根的情况，只需算出“△”， 确定它的符号情况即可． 例 2． 当 k 取什么值时， 关于 x 的方程 2x -(4k+1)x+2k -1=0 (1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等实数根；(3) 方程没有实数根． 例 3. 求证关于 x 的方程(k2+1)x2-2kx+(k2+4)=0 没有实数根.
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课题 学习目标
22.2 解一元二次方程（求根公式法） 1．使学生掌握一般一元二次方程的求根公式的推导过程， 并由此培养学生的分析、综合和计算能力． 2．使学生掌握公式法解一元二次方程的方法． 要求学生正确运用求根公式解一元二次方程． 1.求根公式的推导过程． 2.含有字母参数的一元二次方程的公式解法． 学习流程 讨论完善
讨论完善
同时指导学生把学过的方程分为两大类：
2．一元二次方程的一般形式 注意引导学生考虑方程 x2-70x+825=0 和方程 x(x+5)=150，即 x2+5x=150， 可化为：x2+5x-150=0． 从而引导学生认识到：任何一个一元二次方程，经过 整理都可以化为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式．并称之为一元二次方程的一 般形式． 其中 ax2，bx，c 分别称为二次项、一次项、常数项；a， b 分别称为二次项系数、一次项系数． 【注意】二次项系数 a 是不等于 0 的实数(a=0 时，方程化 为 bx+c=0，不再是二次方程了)；b，c 可为任意实数． 例 把方程 5x(x+3)=3(x-1)+8 化成一般形式．并写出 它的二次项系数、一次项系数及常数项． 课堂练习 P4 练习 1、2 题
第二十一章 一元二次方程 第 3
21.1一元二次方程教案
21.1一元二次方程教学目标：知识技能：1.通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念。
2.了解一元二次方程的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解。
数学思考与问题解决：通过丰富的实例，列出一元二次方程，让学生体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，培养学生初步形成“模型思想”，增强学生应用数学知识解决实际问题的意识。
情感态度使学生经历类比一元一次方程得到一元二次方程概念的过程，减少学生对新知识的陌生感，提高学生学习数学的兴趣。
重点难点：重点：一元二次方程及相关概念难点：一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别。
教学设计：活动一：创设情境1.什么是方程？什么是一元一次方程？2.指出下面哪些方程是已学过的方程？分别是什么方程？（1）3x+4=1（2）6x-5y=7（3）4/3x-5/y=0（4）1/5y=5（5）x²-70x+825=0（6）7+3/y-2=4（7）x(x+5)=150（8）4x/5-y/3=03.什么是“元”？什么是“次”？活动2一元二次方程及其相关概念的学习自学教材2--3页，思考下列问题：1.问题1中列方程的等量关系是__________，所列方程为__________化简后为__________2.问题2中列方程的等量关系是__________，为什么要乘1/2，所列方程为__________化简后为__________观察上面化简后的方程，会发现：一元二次方程概念（1）等号两边都是（）（2）只含有（）个未知数（3）并且未知数的最高次数为（）4.一元二次方程的一般形式是什么？为什么a不为0？5.指出一元二次方程的一般形式中二次项及其系数、一次项及其系数、常数项，在确定系数时要注意什么？6.一元二次方程的解（根）概念，举例说明。
活动3 例题学习与尝试练习1.判断下列方程是否为一元二次方程？=0 (4) x2-4=(x+2) 2 (5)(1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-5xax2+bx+c=02．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（）．A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6 3.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．活动4 课堂小结与作业活动5知识拓展若关于x的方程（㎡+m）+3x=6是一元二次方程，求m的值。
九年级数学上册第21章教案
学 校 班 级 授课教师 授课时间 备课教师集体备课时间课题： 21.1 一元二次方程 （1） 序号：学习目标： 1、知识和技能：理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
2、过程和方法：经历自主学习的过程，会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。
3、情感、态度、价值观：进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
学习重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。
学习难点：由实际问题列出一元二次方程。
导学方法： 课 时： 导学过程一、课前预习：阅读课本P25-27的有关内容，完成《导学》教材导读中的问题及自主测评。
二、课堂导学： 1、导入在前面的学习中，我们已经认识了一些方程，并体会到利用方程可以分析和解决一些实际问题。
这节课我们带着具体的问题再来认识一种新的方程。
2、出示任务 自主学习阅读课本的有关内容，回答下列问题：1）尝试用方程分析解答课本中的问题1、2，并思考题中的等量关系是什么？ 2）观察化简后的方程有什么共同的特点？ 3）什么叫一元二次方程？4）一元二次方程的一般形式是什么？有什么规定？为什么这样规定？对b 、c 有要求吗？5）方程a x 2+bx +c=0(a ≠0)是一元二次方程吗？为什么？什么条件下它是一元二次方程？什么条件下它是一元一次方程？由此反思一个方程是否是一元二次方程应注意什么？6)认真阅读课本例题的解题过程，尝试完成课后练习1，并反思将方程转化为一般形式的方法。
3、合作探究 1）要使是一元二次方程，则k=_______.2）已知关于x 的方程1222-=--x kx x k )(。
问当k 为何值时，方程为一元二次方程？当k 为何值时，方程为一元一次方程？三、展示与反馈：检查预习情况，解决学生疑惑。
四、学习小结：1、一元二次方程的定义只含有一个求知数（一元），并且求知数的最高次数是 2 （二次）的整式方程，叫做一元二次方程。
人教版九年级数学上册：21.1 《一元二次方程》教学设计1
人教版九年级数学上册：21.1 《一元二次方程》教学设计1一. 教材分析《一元二次方程》是人教版九年级数学上册第21.1节的内容。
这部分内容是在学生已经掌握了方程和不等式的基础上，进一步引导学生学习一元二次方程。
一元二次方程是初中数学中的重要内容，也是高考中的热点题型。
通过学习一元二次方程，学生可以更深入地理解数学中的代数思想，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对代数知识有一定的了解。
但是，对于一元二次方程的概念、解法以及应用可能还存在模糊的地方。
因此，在教学过程中，教师需要针对学生的实际情况，引导学生逐步理解一元二次方程的内涵，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握一元二次方程的概念，了解一元二次方程的解法，能够运用一元二次方程解决实际问题。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生探究问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的概念，一元二次方程的解法。
2.难点：一元二次方程的解法，尤其是因式分解法和解的判断。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生自主探究一元二次方程的定义、解法和应用。
2.利用多媒体辅助教学，生动展示一元二次方程的解题过程，提高学生的学习兴趣。
3.通过小组讨论、互助学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。
2.安排学生在课前预习一元二次方程的相关内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过向学生展示一些实际问题，引导学生思考如何用数学方法来解决这些问题。
从而引出一元二次方程的概念。
2.呈现（10分钟）教师通过讲解和示例，向学生介绍一元二次方程的定义、解法和应用。
同时，引导学生通过自主学习、合作交流的方式，深入理解一元二次方程的内涵。
3.操练（10分钟）教师布置一些练习题，让学生独立完成。
新人教版初中数学九年级上册《第二十一章一元二次方程：21.1一元二次方程》优质课教案_0
21.1《一元二次方程》教学设计一、教学内容一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式及一元二次方程的解（根）的概念．二、教学目标（1）体会一元二次方程是刻画实际问题的重要数学模型，并理解一元二次方程的概念．（2）了解一元二次方程的一般形式，会将一元二次方程化成一般形式．（3）会判定一个数是否是方程的根及解决一些概念性的题目．（4）通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．三、教学重、难点重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题． 难点1. 通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．2. 判定一个数是否是方程的根．课时安排1课时．四、教学过程设计（1）复习回顾1、什么叫做方程？2、我们都学过哪些方程？3、我们如何定义方程的“元”和“次”？（2）探究新知1、集思广益方程 2240+-=x x 属于什么方程？其他实际问题中是否也能列出这一类方程呢？分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为(100―2x ) cm ，宽为(50―2x ) cm ．根据方盒的底面积为3600 cm 2，得(100―2x )(50―2x )＝3 600．整理，得 4x 2―300x ＋1 400＝0.化简，得 x 2―75x ＋350＝0问题一、如图，有一块矩形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3600 2cm ，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 问题二、要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，你说组织者应该邀请多少个队参赛？ 分析： 全部比赛共有28场． 若设应邀请x 个队参赛，则每个队要与其他x-1个队各赛一场，比赛共有x(x-1)/2场，由此，我们可以列出方程x(x-1)/2=28，化简得x 2―x=56.042)2(22=-++-m x x m 【设计意图】使学生认识到一元二次方程是刻画某些实际问题的模型，体会学习的必要性，在学生已有的知识的体系中合理的构建一元二次方程这一新知识．学生活动：思考交流以上三个方程有什么共同点？老师点评：（1）等号两边都是整式；(2）只含一个未知数x ；（3）未知数的最高次数是2；二元一次方程的概念：像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．【设计意图】让学生自己给出定义就是对过去所学一元一次方程的定义的类比和对比。
2021版九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程1教案 (全国通用版)
用版）元二次方程1教案（全国通用版）单元要点分析教材内容1．本单元教学的主要内容．一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．2．本单元在教材中的地位与作用．一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．教学目标1．知识与技能了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．2．过程与方法（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．•根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，•导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，•并用该模型解决实际问题．3．情感、态度与价值观经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程用版）也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．教学重点1．一元二次方程及其它有关的概念．2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．教学难点1．一元二次方程配方法解题．2．用公式法解一元二次方程时的讨论．3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．教学关键1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．2．用配方法解一元二次方程的步骤．3．解一元二次方程公式法的推导．课时划分本单元教学时间约需16课时，具体分配如下：21．1 一元二次方程2课时21．2 降次──解一元二次方程7课时21．3 实际问题与一元二次方程4课时教学活动、习题课、小结3课时21．1 一元二次方程第一课时教学内容一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．用版）教学目标了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；•应用一元二次方程概念解决一些简单题目．1．通过设置问题，建立数学模型，•模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．3．解决一些概念性的题目．4．态度、情感、价值观4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重难点关键1．•重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学过程一、复习引入学生活动：列方程．问题（1）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，•两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，•那么门的高和宽各是多少？如果假设门的高为x•尺，•那么，•这个门的宽为_______•尺，•根据题意，•得________．整理、化简，得：__________．问题（2）如图，如果AC CBAB AC，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________．整理得：_________．用版）问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．整理，得：________．老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．二、探索新知学生活动：请口答下面问题．（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）•都有等号，是方程．因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）•（•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．解：去括号，得：40-16x-10x+4x2=18移项，得：4x2-26x+22=0用版）其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练）将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．解：去括号，得：x2+2x+1+x2-4=1移项，合并得：2x2+2x-4=0其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项-4．三、巩固练习教材练习1、2四、应用拓展例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2-8m+17•≠0即可．证明：m2-8m+17=（m-4）2+1∵（m-4）2≥0∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．五、归纳小结（学生总结，老师点评）本节课要掌握：（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）•和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．六、布置作业1．教材习题22．1 1、2．2．选用作业设计．用版）作业设计一、选择题1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5x=0A．1个B．2个C．3个D．4个2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（）．A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，63．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数二、填空题1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．2．一元二次方程的一般形式是__________．3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．三、综合提高题1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）3（x+1）是一元二次方程？2．关于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？用版）3．一块矩形铁片，面积为1m2，长比宽多3m，求铁片的长，小明在做这道题时，•是这样做的：设铁片的长为x，列出的方程为x（x-3）=1，整理得：x2-3x-1=0．小明列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是他的探索过程：第一步：x1234x2-3x-1-3-3所以，________<x<__________第二步：x 3.1 3.2 3.3 3.4x2-3x-1-0.96-0.36所以，________<x<__________（1）请你帮小明填完空格，完成他未完成的部分；（2）通过以上探索，估计出矩形铁片的整数部分为_______，十分位为______．答案:一、1．A 2．B 3．C二、1．3，-2，-42．ax+bx+c=0（a≠0）3．a≠1三、1．化为：ax2+（3）x+1=0，所以，当a≠0时是一元二次方程．用版）2．可能，因为当21220m m m +=⎧⎨+≠⎩，∴当m=1时，该方程是一元二次方程．3．（1）-1，3，3，4，-0.01，0.36，3.3，3.4 （2）3，3【感谢您的阅览，下载后可自由复制或修改编辑，敬请您的关注】。
九年级上册数学第二十一章-一元二次方程教案
第二十一章 一元二次方程21．1 一元二次方程1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念．2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．重点]通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题．难点一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．活动1 复习旧知1．什么是方程你能举一个方程的例子吗2．下列哪些方程是一元一次方程并给出一元一次方程的概念和一般形式． (1)2x －1 (2)mx ＋n ＝0 (3)1x ＋1＝0 (4)x 2＝1·3．下列哪个实数是方程2x －1＝3的解并给出方程的解的概念． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 活动2 探究新知 根据题意列方程．1．教材第2页 问题1. 提出问题：(1)正方形的大小由什么量决定本题应该设哪个量为未知数(2)本题中有什么数量关系能利用这个数量关系列方程吗怎么列方程^(3)这个方程能整理为比较简单的形式吗请说出整理之后的方程． 2．教材第2页 问题2. 提出问题：(1)本题中有哪些量由这些量可以得到什么(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系如果有5个队参赛，每个队比赛几场一共有20场比赛吗如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场(3)如果有x 个队参赛，一共比赛多少场呢3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数． 提出问题： <本题需要设两个未知数吗如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列 4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少 活动3 归纳概念 提出问题：(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点(2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字 (3)归纳一元二次方程的概念．1．一元二次方程：只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________，这样的________方程，叫做一元二次方程． 】2．一元二次方程的一般形式是ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．提出问题：(1)一元二次方程的一般形式有什么特点等号的左、右分别是什么 (2)为什么要限制a≠0，b ，c 可以为0吗(3)2x 2－x ＋1＝0的一次项系数是1吗为什么3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根)．活动4 例题与练习例1 在下列方程中，属于一元二次方程的是________． ,(1)4x 2＝81；(2)2x 2－1＝3y ；(3)1x 2＋1x ＝2；(4)2x 2－2x(x ＋7)＝0.总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程．例2 教材第3页 例题．例3 以－2为根的一元二次方程是( ) A ．x 2＋2x －1＝0 B ．x 2－x －2＝0 C ．x 2＋x ＋2＝0 D ．x 2＋x －2＝0总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等． ；练习：1．若(a －1)x 2＋3ax －1＝0是关于x 的一元二次方程，那么a 的取值范围是________． 2．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)4x 2＝81；(2)(3x －2)(x ＋1)＝8x －3. 3．教材第4页 练习第2题．4．若－4是关于x 的一元二次方程2x 2＋7x －k ＝0的一个根，则k 的值为________． 答案：≠1；2.略；3.略；＝4. 活动5 课堂小结与作业布置 >课堂小结我们学习了一元二次方程的哪些知识一元二次方程的一般形式是什么一般形式中有什么限制你能解一元二次方程吗作业布置教材第4页 习题第1～7题. 解一元二次方程21． 配方法(3课时) 第1课时 直接开平方法:理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2＋c ＝0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex ＋f)2＋c ＝0型的一元二次方程．重点运用开平方法解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程，领会降次——转化的数学思想． 难点通过根据平方根的意义解形如x 2＝n 的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程．。
数学人教版九年级上册21.1一元二次方程教案.1一元二次方程教案(第一课时)
第二十一章一元二次方程
教学内容：21.1 一元二次方程
教学目标：
知识与技能目标：1．使学生了解一元二次方程及整式方程的意义；2．掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项．
过程与方法目标： 1．通过一元二次方程的引入，培养学生分析问题和解决问题的能力；2．通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性．
情感与态度目标：由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数列方程向学生渗透方程的思想方法，由此培养学生用数学的意识．。
教学重、难点与关键：
重点：一元二次方程的意义及一般形式．
难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”。
教辅工具：电子白板
教学程序设计：。
21、1一元二次方程教案
探 究 3: 从探究2中我们可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，因此可列表如下：
可以发现，当x=8时，x²-x-56=0，所以x=8是方程x²-x-56=0的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
思 考: 1.一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根.
解：去括号，得3x²-3x=5x+10，移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为：
3x²-8x-10=0
其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
（四）应用迁移，巩固提高（见课件）
（五）师生互动，课堂小结
（1）一元二次方程的定义是什么？你知道它的一般式、二次项系数、一次项系数流、解读探究
（一）情境导入，初步认识
设计师在设计人体雕像时，一般都考虑到美学角度。雷锋纪念馆前的雷锋雕像，就符合黄金分割比例：腰部以上与腰部以下的高度比等于腰部以下与全身的高度比。
（二）、思考探究，获取新知（学生交流讨论、教师点拨）
解：依题意得：x²=2（2-x），
即：x²+2x-4=0，
显然这个方程只含有一个未知数，
且x的最高次数为2.
问：它是关于x的方程吗？如果是，你能看出它和我们以往学过的方程有什么不同吗？
探 究 1： 如图，有一块矩形铁皮，长100cm。宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm²，那么铁皮各角应切去多大的正方形？（见教科书图21.1—1）
1、板书课题、展示学习目标
学习目标： 1、知道什么是一元二次方程并且能够辨别什么样的方程式一元二次方程；
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课题21.1一元二次方程
教学媒体多媒体
教学目标
知识技能 1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的.
2.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式
3.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根
过程方法 1..通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.
2.通过观察，思考，交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其它三种特殊形式.
3.经历观察，归纳一元二次方程的概念，一元二次方程的根的概念，
情感态度通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 教学重点一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念
教学难点通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
教学过程
一、复习引入
导语：小学五年级学习过简易方程，上初中后学习了一元一次方程，二元一次方程组，可化为一元一次方程的分式方程，运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。
从这节课开始学习一元二次方程知识.先来学习一元二次方程的有关概念.
二、探究新知
● 探究课本问题2
分析：
1.参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？
2.全部比赛场数是多少？若设应邀请x 个队参赛，如何用含x 的代数式表示全部比赛场数？ 整理所列方程后观察：
1.方程中未知数的个数和次数各是多少？
2.下列方程中和上题的方程有共同特点的方程有哪些？
4x+3=0；0422=-+x x ；042=-+y x ；0350752=+-x x ；
0621=-+x x
● 概念归纳：
1.一元二次方程定义：
分析：首先它是整式方程，然后未知数的个数是1，最高次数是2.
2.一元二次方程的一般形式：
分析：
○
1.为什么规定a ≠0？ ○
2.方程左边各项之间的运算关系是什么？关于x 的一元二次方程()002≠=--a c bx ax 的各项分别是什么？各项系数是什么？
3.特殊形式：()002≠=+a bx ax ；()002≠=+a c ax ；()002≠=a ax
● 课本例题 分析：类比一元一次方程的去括号，移项，合并同类项，进行同解变形，化为一般形式后再写出各项系数，注意方程一般形式中的“-”是性质符号负号，不是运算符号减号. ● 一元二次方程的根的概念
1.类比一元一次方程的根的概念获得一元二次方程的根的概念
2.下面哪些数是方程x 2+5x+6=0的根？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
（1）x 2-64=0（2）x 2+1=0（3）x 2
-3x=0（4）0122=++x x
4.思考：一元一次方程一定有一个根，一元二次方程呢？
5.排球邀请赛问题中，所列方程562=-x x 的根是8和-7，但是答案只能有一个，应该是哪个？
归纳：
○
1一元二次方程的根的情况 ○
2一元二次方程的解要满足实际问题 三、课堂训练
1.课本练习
2补充：
1).在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．
①3x 2+7=0②ax 2+bx+c=0③（x-2）（x+5）=x 2-1④3x 2-5x
=0 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个
2）.关于x 的方程（a-1）x 2
+3x=0是一元二次方程，则a 范围________．
3).已知方程5x 2+mx-6=0的一个根是x=3，则m 的值为________
4).关于x 的方程（2m 2+m ）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？
四、小结归纳
1.一元二次方程的概念及其一般形式，能将一个一元二次方程化为一般形式，并正确指出其各项系数.
2.一元二次方程的根的概念，能判断一个数是否是一个一元二次方程的根.
五、作业设计
必做：P4：1.2.4.6.7
选做：.P29：3.5.7
教学反思。